思想方法　第3讲　分类讨论思想 学案

第3讲　分类讨论思想
思想概述　分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，需对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想.
方法一　由概念、公式、法则、计算性质引起的分类讨论
　　概念、定理分类整合即利用数学中的基本概念、定理对研究对象进行分类，如绝对值的定义、不等式的转化、等比数列{an}的前n项和公式等，然后分别对每类问题进行解决.
例1　(1)直线l过点(0，3)与圆C：x2+y2-2x-2y-2=0交于A，B两点，且|AB|=2，则直线l的方程为(　　)
A.3x+4y-12=0
B.3x+4y-12=0或4x+2y+1=0
C.x=0
D.x=0或3x+4y-12=0
思路分析　设直线方程→斜率不存在，l：x=0→k存在，l：y=kx+3→由圆心到直线l的距离d=1求解.
答案　D
解析　将圆C：x2+y2-2x-2y-2=0的方程化为(x-1)2+(y-1)2=4，
则圆C的圆心坐标为(1，1)，半径为2.
当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x=0时，代入圆的方程得y2-2y-2=0，
解得y1=1+，y2=1-，
此时|AB|=1+-(1-)=2，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+3，
由|AB|=2，得圆心C到直线l的距离为=1，故=1，解得k=-，
故此时直线的方程为y=-x+3，即3x+4y-12=0，
综上可得，直线l的方程为x=0 或3x+4y-12=0.
(2)已知数列{an}满足a1=-2，a2=2，an+2-2an=1-(-1)n，则下列选项不正确的是(　　)
A.{a2n-1}是等比数列
B.(a2i-1+2)=-10
C.{a2n}是等比数列
D.ai=52
思路分析　an+2-2an=1-(-1)n→n为奇数，{a2n-1}为等比数列；n为偶数，{a2n}为等比数列.
答案　B
解析　对于A，当n是奇数时，an+2-2an=2，
所以an+2+2=2(an+2)，
又因为a1=-2，所以a1+2=0，
所以当n是奇数时，an+2=0，即an=-2，
即{a2n-1}是以-2为首项，1为公比的等比数列，
即选项A正确；
对于B，由A知，当n是奇数时，an+2=0，
所以(a2i-1+2)=0，即选项B错误；
对于C，当n为偶数时，an+2-2an=0，
即an+2=2an，
又因为a2=2，所以=2，
所以{a2n}是以2为首项，2为公比的等比数列，
即选项C正确；
对于D，ai=(a1+a3+a5+a7+a9)+(a2+a4+a6+a8+a10)=-10+=52，
即选项D正确.
批注　涉及数列中(-1)n的问题，一般需分奇、偶讨论，当n为奇数时，首项是a1，an是第个奇数项；当n为偶数时，首项是a2，an是第个偶数项.
[规律方法]　解题时应准确把握数学概念的本质，根据需要对所有情形分类.设直线方程需分斜率存在和不存在两种情况，数列中含(-1)n需分奇、偶两种情况，要注意分类讨论，要有理有据、不重不漏.
方法二　由图形位置或形状引起的分类讨论
　　图形位置、形状分类整合是指由几何图形的不确定性而引起的分类讨论，这种方法适用于对几何图形中点、线、面的位置关系以及解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系的研究.
例2　(多选)已知P是圆O：x2+y2=4上任意一点，定点A在x轴上，线段AP的垂直平分线与直线OP相交于点Q，当P在圆O上运动时，Q的轨迹可以是(　　)
A.圆 B.椭圆
C.双曲线 D.抛物线
思路分析　分类讨论点A的位置(圆内、圆上、圆外)→求||QO|-|QA||或|QA|+|QO|→利用圆锥曲线定义判断形状.
答案　ABC
解析　当点A在圆外时，如图(1)，(2)所示，设AP的中点为B，过B作AP的垂线交直线OP于Q，连接AQ，则|QP|=|QA|，则||QO|-|QA||=|OP|=2，又|AO|>2，则此时Q的轨迹为以O，A为焦点的双曲线；
当点A在圆内(非原点)时，如图(3)所示，此时|QA|+|QO|=|QO|+|QP|=|OP|=2，又|AO|<2，则此时Q的轨迹为以O，A为焦点的椭圆；
当A在坐标原点时，如图(4)所示，此时B，Q重合，|QO|=1，则此时Q的轨迹为以O为原点，半径为1的圆；
当点A在圆上时，如图(5)所示，由垂径定理，可知Q与O重合，此时Q的轨迹为点O.
批注　点A在x轴上，但没明确是在圆内、圆外，还是圆上，所以需分类讨论，仔细审题，理解题意是关键.
[规律方法]　圆锥曲线的形状、焦点位置不确定时要分类讨论；立体几何中点、线、面的位置变化，三角形和平行四边形的不确定性都要进行分类讨论.
方法三　由参数变化引起的分类讨论
　　某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等.解决这类问题要根据需要合理确定分类标准，讨论中做到不重不漏，结论整合要周全.
例3　已知函数f(x)=ln x+，a∈R.
(1)若函数f(x)在[1，e]上的最小值是，求a的值；
(2)讨论f(x)在[1，e]上的最大值.
思路分析　(1)求f'(x)→分a≤1，1(2)讨论f(x)在［1，e］上的单调性→由单调性求f(x)的最大值.
解　(1)f'(x)=-=，x>0，
若a≤1，则f'(x)≥0在[1，e]上恒成立，
所以f(x)在[1，e]上单调递增，
所以f(x)min=f(1)=a=，不满足题意；
若1令f'(x)>0，解得a所以函数f(x)在[1，a)上单调递减，在(a，e]上单调递增，
所以f(x)min=f(a)=ln a+1=，解得a=，满足题意；
若a≥e，则f'(x)≤0在[1，e]上恒成立，
所以f(x)在[1，e]上单调递减，
所以f(x)min=f(e)=1+=，解得a=，不满足题意，综上，a=.
(2)由(1)可知若a≤1，则f'(x)≥0在[1，e]上恒成立，
所以f(x)在[1，e]上单调递增，
f(x)max=f(e)=1+；
若10，解得a①当1+≥a，即1f(x)max=f(e)=1+，
②当1+f(x)max=f(1)=a；
若a≥e，则f'(x)≤0在[1，e]上恒成立，
所以f(x)在[1，e]上单调递减，f(x)max=f(1)=a，
综上，当a≤时，f(x)max=f(e)=1+；
当a>时，f(x)max=f(1)=a.
批注　本题针对闭区间上的最值问题，讨论导数等于零的根分布在所给区间的两侧和区间内，再根据单调性进行求最值.
[规律方法]　若遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义和对结果的影响进行分类讨论，此类题目为含参型，应全面分析参数变化引起的结论的变化情况，在分类讨论时要遵循分类的原则：一是分类的标准要一致，二是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量避免分类，杜绝无原则的分类讨论.
专题强化练
[分值：80分]
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.已知集合 A=，B=.若 B∩ RA= ，则实数m的取值范围为(　　)
A.(-∞，3] B.(-∞，9]
C.(-∞，3]∪[9，+∞) D.[3，9]
答案　A
解析　因为集合A=，
所以 RA=(-∞，-2)∪(10，+∞).
因为集合B=，
B∩ RA= ，
当B不为空集时，
解得0≤m≤3；
当B为空集时，1+m<1-m，解得m<0.
综上，m的取值范围为(-∞，3].
2.已知a>0且a≠1，则“0”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　A
解析　当0=，可得a<，此时0当a>1时，由aa>=，可得a>，此时a>1，
所以满足不等式aa>的实数a的取值范围是，
因为是的真子集，
故“0”的充分不必要条件.
3.(2025·沈阳检测)已知等比数列的前n项和为Sn，a1=-1，S10=S5，则a4等于(　　)
A.- B. C. D.4
答案　B
解析　设等比数列的公比为q，q≠0.
当q=1时，由a1=-1，
可得S10=-10，S5=-5，
此时S10=S5不成立；
当q≠1时，由等比数列的前n项和公式可得=×，
解得q=-.
所以a4=a1q3=.
4.(2025·郑州模拟)已知函数f(x)=则不等式f(x)≥x-1的解集为(　　)
A. B.(-∞，1]
C.(0，2] D.[2，+∞)
答案　A
解析　当x<1时，f(x)=x2-2x≥x-1，
得2x2-5x+2=(2x-1)(x-2)≥0，解得x≤或x≥2(舍去).
当x≥1时，令g(x)=ln x-1-=ln x-x，
则g'(x)=-=，
所以当x∈[1，2)时，g'(x)>0，g(x)在[1，2)上单调递增；
当x∈(2，+∞)时，g'(x)<0，g(x)在(2，+∞)上单调递减，
所以g(x)≤g(2)=ln 2-1<0，
即当x≥1时，ln x-1所以当x≥1时，不等式f(x)≥x-1无解.
综上，所求不等式的解集为.
5.已知集合M={x||x-2|≤1}，定义函数f(x)=且当x∈[m，m+2]时，函数f(x)的值域为，则实数m的取值范围是(　　)
A. B.
C.(-∞，1] D.∪
答案　A
解析　由题意知M={x||x-2|≤1}={x|1≤x≤3}，则f(x)=
当x<0时，f(x)===+1；
当0≤x<1时，f(x)==-1；
当1≤x≤3时，f(x)=-x2+5x-5=-+；
当x>3时，f(x)==1，
综上，可画出函数f(x)的大致图象，如图，
由图可知，要使函数f(x)在区间[m，m+2]上的值域为，
则需满足解得≤m≤1，故实数m的取值范围是.
6.已知函数f(x)=ln x-x+-1，g(x)=-x2+2bx-4，若对任意的x1∈(0，2)，x2∈[1，2]，不等式f(x1)≥g(x2)恒成立，则实数b的取值范围是(　　)
A. B. (1，+∞)
C. D.
答案　A
解析　依题意，原问题等价于f(x1)min≥g(x2)max，x1∈(0，2)，x2∈[1，2]，
f(x)=ln x-x+-1(x>0)，
所以f'(x)=--=.
由f'(x)>0，解得1同理得f(x)的单调递减区间是(0，1)和(3，+∞)，
故在区间(0，2)上，f(x1)min=f(1)=-.
函数g(x)=-x2+2bx-4的对称轴为直线x=b，
当b<1时，g(x)在[1，2]上单调递减，g(x2)max=g(1)=2b-5；
当1≤b≤2时，g(x2)max=g(b)=b2-4；
当b>2时，g(x)在[1，2]上单调递增，g(x2)max=g(2)=4b-8.
所以或
或
解第一个不等式组得b<1，
解第二个不等式组得1≤b≤，第三个不等式组无解.
综上所述，实数b的取值范围是.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.对于给定的实数a，不等式ax2+(a-1)x-1<0的解集可能是(　　)
A. B.
C. D.R
答案　AB
解析　当a=0时，不等式可化为-x-1<0，则不等式的解集为，
当a≠0时，原不等式可化为a(x+1)<0；
则当a>0时，不等式的解集为；
当a<0时，原不等式可化为(x+1)>0，
当<-1，即-1当=-1，即a=-1时，不等式的解集为，
当>-1，即a<-1时，不等式的解集为.
综上，A，B符合题意，C，D不符合题意.
8.(2025·昭通模拟)已知直线l：x=ty-2，圆C：x2+y2-4x-4=0，则下列说法正确的有(　　)
A.若t=1，则l与圆C相切
B.若l与圆C相交，则t<-1或t>1
C.圆C可能关于直线l对称
D.若t=，则l被圆C截得的弦长为4
答案　ABD
解析　直线l过定点(-2，0)，圆C：(x-2)2+y2=8，
所以圆心为C(2，0)，半径为2.
对于A，若t=1，则圆心C(2，0)到直线x-y+2=0的距离为=2，所以l与圆C相切，故A正确；
对于B，依题意，由圆心C(2，0)到直线x-ty+2=0的距离为<2，解得t<-1或t>1，故B正确；
对于C，将(2，0)代入到l的方程，得2=t×0-2不成立，故l不可能经过圆心C，即圆C不可能关于直线l对称，故C错误；
对于D，若t=，圆心C(2，0)到直线x-y+2=0的距离为=2，则弦长为2=4，故D正确.
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.已知圆x2+y2=4，则经过点P(2，4)且与圆相切的直线方程为　　　　　　　.
答案　x=2或3x-4y+10=0
解析　当直线的斜率不存在时，直线x=2与圆相切，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线方程为y-4=k(x-2)，
即kx-y-2k+4=0.
由题意得=2，
解得k=，此时直线方程为3x-4y+10=0.
故所求直线方程为x=2或3x-4y+10=0.
10.设F1，F2为椭圆+=1的两个焦点，P为椭圆上一点.已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|>|PF2|，则的值为　　　　.
答案　2或
解析　若∠PF2F1=90°，
则|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2，
又|PF1|+|PF2|=6，|F1F2|=2，
解得|PF1|=，|PF2|=，
∴=；
若∠F2PF1=90°，
则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2=|PF1|2+(6-|PF1|)2，且|PF1|>|PF2|，
解得|PF1|=4，|PF2|=2，∴=2，
综上所述，=或=2.
四、解答题(共28分)
11.(13分)已知函数g(x)=(a∈R)，f(x)=ln(x+1)+g(x).
(1)若函数g(x)过点(1，1)，求函数f(x)的图象在x=0处的切线方程；(5分)
(2)讨论函数f(x)的单调性.(8分)
解　(1)函数g(x)=过点(1，1)，则有1=，
即a=2，f(x)=ln(x+1)+g(x)=ln(x+1)+，
则f'(x)=+，
f(0)=0，f'(0)=3，
则函数f(x)的图象在x=0处的切线斜率为3，切点为(0，0)，
即函数f(x)的图象在x=0处的切线方程为y=3x.
(2)f(x)=ln(x+1)+，x∈(-1，+∞)，
f'(x)=+=，
当a≥0时，f'(x)>0在(-1，+∞)上恒成立，则f(x)在(-1，+∞)上单调递增；
当a<0时，令f'(x)>0，得x>-1-a，则f(x)在(-1-a，+∞)上单调递增，
令f'(x)<0，得-1综上可得，当a≥0时，f(x)的单调递增区间为(-1，+∞)；
当a<0时，f(x)的单调递增区间为(-1-a，+∞)，单调递减区间为(-1，-1-a).
12.(15分)已知椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点F重合，且椭圆短轴的两个端点与点F构成正三角形.
(1)求椭圆的标准方程；(5分)
(2)若过点(1，0)的直线l与椭圆交于不同的两点P，Q，试问在x轴上是否存在定点E(m，0)，使·恒为定值？若存在，求出E的坐标，并求出这个定值；若不存在，请说明理由.(10分)
解　(1)由题意知抛物线的焦点为F(，0)，
所以c==.
因为椭圆短轴的两个端点与点F构成正三角形，
所以b=×=1.
则a=2，故椭圆的标准方程为+y2=1.
(2)假设存在满足条件的点E，当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为y=k(x-1).
由
得(4k2+1)x2-8k2x+4k2-4=0，Δ=16(3k2+1)>0，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
所以x1+x2=，x1x2=.
则=(m-x1，-y1)，=(m-x2，-y2)，
所以·=(m-x1)(m-x2)+y1y2
=m2-m(x1+x2)+x1x2+y1y2
=m2-m(x1+x2)+x1x2+k2(x1-1)(x2-1)
=m2-++k2
==
=(4m2-8m+1)+.
要使·为定值，则2m-=0，
即m=，此时·=.
当直线l的斜率不存在时，直线l为x=1，
不妨取P，Q，
由E，可得=，
=，
所以·=-=.
综上，存在点E，使·为定值.