专题突破　专题五　第1讲　直线与圆 学案

第1讲　直线与圆
1.(2025·天津，T12)已知l1：x-y+6=0与x轴交于点A，与y轴交于点B，与(x+1)2+(y-3)2=r2(r>0)交于C，D两点，|AB|=3|CD|，则r=　　　　.
2.(2024·全国甲卷，理T12)已知b是a，c的等差中项，直线ax+by+c=0与圆x2+y2+4y-1=0交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　)
A.1 B.2 C.4 D.2
3.(2023·新课标Ⅱ卷，T15)已知直线x-my+1=0与☉C：(x-1)2+y2=4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值为　　　　.
4.(2023·新课标Ⅰ卷，T6)过点(0，-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α，则sin α等于(　　)
A.1 B. C. D.
5.(2025·全国Ⅰ卷，T7)已知圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上到直线y=x+2的距离为1的点有且仅有两个，则r的取值范围是(　　)
A.(0，1) B.(1，3)
C.(3，+∞) D.(0，+∞)
6.(多选)(2021·新高考全国Ⅰ卷，T11)已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上，点A(4，0)，B(0，2)，则(　　)
A.点P到直线AB的距离小于10 B.点P到直线AB的距离大于2
C.当∠PBA最小时，|PB|=3 D.当∠PBA最大时，|PB|=3
命题热度：
本讲是历年高考命题常考的内容，属于中低档题目，主要以选择题或填空题的形式进行考查，分值约为5~6分.
考查方向：
一是直线的方程、两直线的位置关系、距离问题；二是圆的方程，主要考查圆的方程的求解以及几何性质的应用；三是直线和圆的位置关系，主要考查位置关系的判断，由位置关系求解参数的值或范围，由弦长、半径和圆心距引发解三角形是重点；四是圆与圆的位置关系，主要考查位置关系的判断和公共弦等相关问题.
1.答案　2
解析　由题意得直线l1：x-y+6=0与x轴交于A(-6，0)，与y轴交于B(0，6)，
所以|AB|==6，则|CD|=2，
圆(x+1)2+(y-3)2=r2的半径为r，圆心(-1，3)到直线l1：x-y+6=0的距离为d==，故|CD|=2=2=2，
解得r=2(负值舍去).
2.答案　C
解析　因为b是a，c的等差中项，
所以2b=a+c，c=2b-a，
代入直线方程ax+by+c=0得ax+by+2b-a=0，
即a(x-1)+b(y+2)=0，
令得
故直线恒过(1，-2)，设P(1，-2)，
圆化为标准方程得x2+(y+2)2=5，
设圆心为C，画出直线与圆的图形，如图，
由图可知，当PC⊥AB时，|AB|最小，
又|PC|=1，|AC|=，
此时|AB|=2|AP|=2
=2=4.
3.答案　2
解析　设直线x-my+1=0为直线l，点C到直线l的距离为d，由弦长公式得|AB|=2，
所以S△ABC=×d×2=，
解得d=或d=，
又d==，
所以=或=，
解得m=±或m=±2.
4.答案　B
解析　如图，设A(0，-2)，两切点分别为B，C，
由x2+y2-4x-1=0得(x-2)2+y2=5，所以圆心坐标为(2，0)，半径r=，
所以圆心到A(0，-2)的距离为=2，
由于圆心与A(0，-2)的连线平分∠BAC，
所以sin===，
所以cos∠BAC=1-2sin2=-<0，
所以∠BAC为钝角，且∠BAC+α=π，
所以sin α=sin∠BAC==.
5.答案　B
解析　由题意，在圆x2+(y+2)2=r2(r>0)中，圆心为E(0，-2)，半径为r，
∵圆心E(0，-2)到直线y=x+2的距离为d==2，
故由图可知，
当r=1时，
圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上有且仅有1个点(A点)到直线y=x+2的距离等于1；
当r=3时，
圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上有且仅有3个点(B，C，D点)到直线y=x+2的距离等于1，
则当r的取值范围为(1，3)时，
圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上有且仅有2个点到直线y=x+2的距离等于1.
6.答案　ACD
解析　设圆(x-5)2+(y-5)2=16的圆心为M(5，5)，由题易知直线AB的方程为+=1，即x+2y-4=0，则圆心M到直线AB的距离d==>4，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4+d=4+，4+<5+=10，故A正确.
易知点P到直线AB的距离的最小值为d-4=-4，-4<-4=1，故B不正确.
过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当∠PBA最小时，点P与N重合，|PB|===3，当∠PBA最大时，点P与Q重合，|PB|=3，故C，D都正确.
考点一　直线、圆的方程
例1　(1)(多选)下列说法正确的是(　　)
A.已知直线x+y-a=0与直线3x-ay+3=0平行，则它们之间的距离是
B.“a=-1”是“直线a2x-y+1=0与直线x-ay-2=0互相垂直”的充要条件
C.当点P(3，2)到直线mx-y+1-2m=0的距离最大时，m的值为-1
D.已知直线l过定点P(1，0)，且与以A(2，-3)，B(-3，-2)为端点的线段有交点，则直线l的斜率k的取值范围是(-∞，-3]∪
答案　ACD
解析　对于A，直线x+y-a=0与直线3x-ay+3=0平行，则1×(-a)-3=0，解得a=-3，
直线3x+3y+3=0，即x+y+1=0，
则直线x+y+3=0与直线x+y+1=0的距离为=，选项A正确；
对于B，由两直线互相垂直得，a2×1+(-1)×(-a)=0，解得a=-1或a=0，可知“a=-1”是两直线垂直的充分不必要条件，选项B错误；
对于C，将直线方程变形为m(x-2)+1-y=0，
由得
则直线mx-y+1-2m=0过定点Q(2，1)，斜率为m，
当直线mx-y+1-2m=0与PQ垂直时，点P(3，2)到直线mx-y+1-2m=0的距离最大，
因为kPQ==1，所以m=-1，选项C正确；
对于D，如图，kPA==-3，
kPB==，
由图可知，当k≥或k≤-3时，直线l与线段AB有交点，故选项D正确.
(2)(多选)(2025·咸阳模拟)已知圆C的方程为x2+y2-8x+12=0，点M(x0，y0)是圆C上任意一点，O为坐标原点，则下列结论正确的是(　　)
A.圆C的半径为2
B.满足|OM|=5.5的点M有两个
C.x0+2y0的最大值为4+2
D.若点P在x轴上，则使|OM|=2|PM|恒成立的点P有两个
答案　ABC
解析　对于A，圆的方程可化为(x-4)2+y2=4，所以圆心C(4，0)，半径为2，故A正确；
对于B，由于|OC|=4，所以圆C上任意一点到原点的最大距离是4+2=6，
最小距离是4-2=2，因此满足|OM|=5.5的点M有两个，故B正确；
对于C，令x0+2y0=t，则x0=t-2y0，所以M(t-2y0，y0)，
将点M(t-2y0，y0)代入圆C的方程并整理，
得5+(16-4t)y0+(t2-8t+12)=0，
依题意有Δ=(16-4t)2-20(t2-8t+12)≥0，即t2-8t-4≤0，
解得4-2≤t≤4+2，
因此x0+2y0的最大值为4+2，故C正确；
对于D，不妨设P(a，0)，由于|OM|=2，
所以=2，
整理得+-x0+=0.
因为点M(x0，y0)在圆C上，
所以+-8x0+12=0，
则x0+=0，
因为x0为点M的横坐标，且点M为圆C上任意一点，
所以
解得a=3，所以符合要求的点P是唯一的，故D错误.
[规律方法]　(1)解决直线方程问题的三个注意点
①利用A1B2-A2B1=0后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性.
②要注意直线方程每种形式的局限性.
③讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在.
(2)解决圆的方程问题一般有两种方法
①几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程.
②代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.
跟踪演练1　(1)(多选)已知直线l：y=kx+2k-3，则下列说法正确的是(　　)
A.直线l恒过定点(-2，-3)
B.若直线l在x轴上的截距为1，则k=1
C.若直线l与直线2x+y-1=0垂直，则k=-
D.若k≥，则直线l的倾斜角的取值范围为
答案　AB
解析　直线l：y=kx+2k-3=k(x+2)-3，令x+2=0，即x=-2，得y=-3，
所以直线l恒过定点(-2，-3)，故A正确；
若直线l在x轴上的截距为1，则直线l过点(1，0)，代入直线l的方程得0=k+2k-3，
解得k=1，故B正确；
若直线l与直线2x+y-1=0垂直，则k×(-2)=-1，解得k=，故C错误；
设直线l的倾斜角为θ，则k=tan θ≥，
又θ∈[0，π)，所以由正切函数的单调性可知θ∈，故D错误.
(2)(2025·江西四月适应性联考)与直线y=x和直线y=x都相切且圆心在第一象限，圆心到原点的距离为的圆的方程为　　　　　　　.
答案　(x-1)2+(y-1)2=
解析　设圆心坐标为(a，b)(a>0，b>0)，
由于所求圆与直线y=x和直线y=x都相切，
故=，
化简得a2=b2，而a>0，b>0，则a=b，
又圆心到原点的距离为，即a2+b2=2，
解得a=b=1，即圆心坐标为(1，1)，
则半径为=，
故所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=.
考点二　直线、圆的位置关系
考向1　直线与圆的位置关系
例2　(多选)(2025·石家庄模拟)已知直线l：x+ay-3=0与圆C：x2+y2-8x+6y+16=0，则下列说法正确的是(　　)
A.当a=2时，直线l与圆C相交
B.若直线l与圆C相切，则a=
C.圆C上一点P到直线l的最大距离为+3
D.若圆C上恰好有三个点到直线l的距离为2，则a=
答案　AC
解析　当a=2时，直线l：x+2y-3=0，圆C的方程可化为(x-4)2+(y+3)2=9，
所以圆心C(4，-3)，半径r=3，
则圆心C到直线l的距离d==<3，
所以直线l与圆C相交，故A正确；
因为直线l与圆C相切，所以圆心C到直线l的距离d==3，解得a=-，故B错误；
因为直线l恒过定点(3，0)，
所以圆心C到直线l的最大距离为=，
则圆C上一点P到直线l的最大距离为+r=+3，故C正确；
因为圆C上恰好有三个点到直线l的距离为2，
所以圆心C到直线l的距离d==1，解得a=0或a=，故D错误.
考向2　圆与圆的位置关系
例3　(多选)(2025·铜仁模拟)已知圆C1：x2+(y+2)2=4，圆C2：x2+y2-4y+a=0，则下列说法正确的是(　　)
A.a<4
B.若a=0，则圆C1与圆C2有且仅有1个公共点
C.若圆C1与圆C2的公共弦长为4，则a=-16
D.当a=-32时，若动圆M与圆C1外切，同时与圆C2内切，则点M的轨迹方程为+=1
答案　ABC
解析　对于圆C2：x2+y2-4y+a=0，
转化为标准方程x2+(y-2)2=4-a，
因为半径为>0，所以a<4，A正确；
若a=0，圆C1：x2+(y+2)2=4，
圆心C1(0，-2)，半径r1=2，
圆C2：x2+(y-2)2=4，
圆心C2(0，2)，半径r2=2，
两圆心间的距离==4=r1+r2，则两圆外切，
所以两圆有且仅有1个公共点，B正确；
若圆C1与圆C2的公共弦长为4，因为圆C1的直径为4，
所以公共弦为圆C1的直径，即两圆的公共弦所在的直线过圆C1的圆心(0，-2)，
由两式相减可得8y-a=0，
将(0，-2)代入8y-a=0得a=-16，C正确；
当a=-32时，圆C2：x2+(y-2)2=36，
圆心C2(0，2)，半径r2=6，
圆C1：x2+(y+2)2=4，圆心C1(0，-2)，半径r1=2.
设动圆M的半径为R，因为动圆M与圆C1外切，同时与圆C2内切，
则=R+2，=6-R，
所以+=8>=4，
根据椭圆的定义可知点M的轨迹是以C1(0，-2)，C2(0，2)为焦点的椭圆，且2a=8，2c=4，
可得a=4，c=2，b2=a2-c2=16-4=12，
故其轨迹方程为+=1(y≠-4)，D错误.
[规律方法]　(1)与圆的弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，及半弦长，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理.
(2)两圆相交公共弦的方程可通过两圆的方程相减求得，进而在一个圆内，利用垂径定理求公共弦长.
跟踪演练2　(1)(2025·湖南名校联合体模拟)已知直线l：y=kx(k<0)与圆C：x2+y2-2x+4y+1=0相交于M，N两点，其中点C为圆心，若0<∠MCN≤，则k的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　x2+y2-2x+4y+1=0化为(x-1)2+(y+2)2=4，
所以圆心C(1，-2)，半径为2.
0<∠MCN≤ 1≤d<2，
其中d为圆心C到直线l的距离.
因为d=，
所以1≤<2，
因为k<0，所以-≤k<0.
(2)已知圆C：(x-4)2+(y-3)2=1和两点A(-m，0)，B(m，0)(m>0).若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为　　　　.
答案　6
解析　以AB为直径的圆O的方程为x2+y2=m2，圆心为原点，半径为r1=m，
圆C：(x-4)2+(y-3)2=1的圆心为(4，3)，半径为r2=1.
要使圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则圆O与圆C有公共点，
所以|r1-r2|≤|OC|≤|r1+r2|，
即|m-1|≤≤|m+1|，
所以解得4≤m≤6，
所以m的最大值为6.
考点三　隐圆
例4　(1)已知点A(-3，0)，B(3，0)，若圆(x-a+1)2+(y-a-2)2=1上存在点M满足·=-5，则实数a的值不可能为(　　)
A.2 B.1 C.0 D.-2
答案　A
解析　设M(x，y)，因为·=-5，=(-3-x，-y)，=(3-x，-y)，
所以·=(-3-x)(3-x)+(-y)2=x2-9+y2=-5，即x2+y2=4，
所以点M的轨迹是圆，方程为x2+y2=4.
由题意知，圆x2+y2=4与圆(x-a+1)2+(y-a-2)2=1有公共点，
所以2-1≤≤2+1，解得-2≤a≤1，故A不满足题意.
(2)(多选)已知动点M与两个定点O(0，0)，P(3，0)的距离的比为，动点M的轨迹为曲线C，则(　　)
A.动点M的轨迹方程为(x+1)2+y2=4
B.直线x-y+2=0与曲线C交于A，B两点，则的长为
C.曲线C与曲线D：(x-1)2+y2=4的公切线有2条
D.已知点E(-1，1)，点N为曲线C上任意一点，则2-的最大值为
答案　ACD
解析　设M(x，y)，由=可得=，
化简得x2+y2+2x-3=0，即(x+1)2+y2=4.
故动点M的轨迹方程为(x+1)2+y2=4，A正确；
(x+1)2+y2=4的圆心为(-1，0)，半径为r=2，
所以圆心到直线x-y+2=0的距离d==，
所以=2=2=，B错误；
曲线D的圆心为(1，0)，半径为2，
因为两圆心间的距离为=2，大于半径差小于半径和，所以两个圆是相交关系，所以公切线有2条，C正确；
由题意得动点N与点O(0，0)，点P(3，0)的距离的比为，所以2-=-≤=，D正确.
[规律方法]　发现隐圆的主要方法
(1)由定义可以判断(动点到定点的距离为定值).
(2)由两定点A，B，动点P满足·=λ(λ是常数)，求出点P的轨迹方程确定圆.
(3)由两定点A，B，动点P满足|PA|2+|PB|2是定值确定圆.
(4)由两定点A，B，动点P满足=λ(λ>0 且λ≠1)确定圆(阿波罗尼斯圆).
跟踪演练3　(多选)在平面直角坐标系中，存在三点A(-1，0)，B(1，0)，C(0，7)，动点P满足|PA|=|PB|，则(　　)
A.点P的轨迹方程为(x-3)2+y2=8
B.当△PAB面积最大时，|PA|=2
C.当∠PAB最大时，|PA|=2
D.点P到直线AC距离的最小值为
答案　ABD
解析　设P(x，y)，
由|PA|=|PB|得|PA|2=2|PB|2，
即(x+1)2+y2=2[(x-1)2+y2]，
化简得(x-3)2+y2=8，
即点P的轨迹方程为(x-3)2+y2=8，A正确；
∵直线AB过圆(x-3)2+y2=8的圆心，
∴点P到直线AB的距离的最大值为圆(x-3)2+y2=8的半径r，即为2，
∵|AB|=2，
∴△PAB的面积最大为×2×2=2，
此时P(3，±2)，
∴|PA|==2，B正确；
当∠PAB最大时，
则PA为圆(x-3)2+y2=8的切线，
∴|PA|==2，C错误；
直线AC的方程为7x-y+7=0，
则圆心(3，0)到直线AC的距离为=，
∴点P到直线AC距离的最小值为-2=，D正确.
专题强化练
[分值：85分]
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1.(2025·乌鲁木齐适应性检测)直线l：2x+3y-1=0的一个方向向量为(　　)
A.(3，2) B.(3，-2)
C.(2，3) D.(2，-3)
答案　B
解析　由直线方程为2x+3y-1=0，则(3，-2)是直线的一个方向向量.
2.(2025·新余模拟)已知直线(m+1)x+3y+1=0与直线4x+my+1=0平行，则m的值为(　　)
A.3 B.-4
C.3或-4 D.3或4
答案　B
解析　由题意得m(m+1)-12=m2+m-12=(m+4)(m-3)=0，可得m=-4或m=3，
当m=-4时，直线3x-3y-1=0与直线4x-4y+1=0平行，符合题意；
当m=3时，直线4x+3y+1=0与直线4x+3y+1=0重合，不符合题意；
∴m=-4.
3.(2025·绍兴模拟)直线x=2被圆(x-1)2+(y-2)2=5截得的弦长为(　　)
A.2 B.4 C.2 D.2
答案　B
解析　圆(x-1)2+(y-2)2=5的圆心为(1，2)，半径r=，
又圆心(1，2)到直线x=2的距离d==1，
所以弦长为2=2=4.
4.(2025·佛山质检)在平面直角坐标系中，曲线C：+=1的周长为(　　)
A.12 B.14 C.16 D.20
答案　D
解析　曲线C：+=1等价于
或
或或
其中表示以(4，0)和(0，3)为端点的线段，
其长度为=5，同理可得，其他线段的长度均为5，
所以曲线C：+=1的周长为4×5=20.
5.(2025·包头模拟)若(x+2)2+(y+1)2=2，则的最小值为(　　)
A.-1 B.0 C.1 D.2
答案　B
解析　令P(x，y)，又=+1，
令=k，整理得kx-y-1=0，
由题意可得≤，整理得k2-1≤0，解得-1≤k≤1，
所以0≤≤2，故的最小值为0.
6.(2025·宁波模拟)已知点M(a，0)，N(2，3)到同一直线的距离分别为2，3，若这样的直线恰有2条，则a的取值范围为(　　)
A.(-2，0) B.(-2，6)
C.(0，6) D.(2，6)
答案　B
解析　以M(a，0)为圆心，2为半径的圆为(x-a)2+y2=4，
以N(2，3)为圆心，3为半径的圆为(x-2)2+(y-3)2=9，
若符合题意的直线恰有2条，则上述两圆相交，
而|MN|=，
所以1<|MN|<5，即1<<5，
可得1<(2-a)2+9<25，
所以-4<2-a<4，解得-27.(2025·安庆模拟)已知点P在圆+y2=上，A(-2，0)，M(1，1)，则+的最小值为(　　)
A.1 B. C.2 D.
答案　B
解析　设P(x，y)，B(a，0)，|PA|=|PB|，
则=，
整理得x2+y2-x+=0，
已知点P的轨迹方程展开整理得x2+y2-5x+4=0，
则解得a=2，所以B(2，0).
所以|PA|+|PM|=|PB|+|PM|≥==，
当P在线段BM上时等号成立，所以|PA|+|PM|的最小值为.
8.(2025·沈阳模拟)函数f(x)=x+(0≤x≤4)的最小值为(　　)
A.4 B. C. D.5
答案　C
解析　因为f(x)=x+，
当x=0时，f(0)=5；
当0设P(x，3)，C(0，3)，A(4，0)，∠PCB=45°，PB⊥CB于点B，
则f(x)=sin∠PCB+=+，
由图可知，+ 的最小值为点A到直线BC的距离d.
易知直线BC的方程为y=x+3，
即x-y+3=0，
所以d==<5，
故f(x)的最小值为.
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9.(2025·潍坊模拟)已知点P(2，2)，圆C：x2+y2=18，则(　　)
A.点P在圆C内
B.点P与圆C上的点之间的最大距离为6
C.以点P为中点的弦所在直线的方程为x+y-4=0
D.过点P的直线被圆C截得弦长的最小值为
答案　AC
解析　对于A，因为22+22=8<18，所以点P在圆C内，故A正确；
对于B，由==2，圆C的半径r=3，
知点P与圆C上的点之间的最大距离为2+3=5，故B错误；
对于C，由kPC==1，
可知以点P为中点的弦所在直线的斜率为k=-1，故以点P为中点的弦所在直线的方程为y-2=-(x-2)，即x+y-4=0，故C正确；
对于D，由圆的性质可知，当PC与过点P的弦垂直时，所得弦长最短，此时弦长为2=2=2，故D错误.
10.下列说法错误的是(　　)
A.“a=-1”是“直线x-ay+3=0与直线ax-y+1=0互相垂直”的充要条件
B.直线xcos α-y+3=0的倾斜角θ的取值范围是∪
C.若圆C1：x2+y2-6x+4y+12=0与圆C2：x2+y2-14x-2y+a=0有且只有一个公共点，则a=34
D.若直线l过点M(-2，3)且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为x+y=1
答案　ACD
解析　对于A，当a=-1时，直线x+y+3=0与直线-x-y+1=0互相平行，
即“a=-1”不是“直线x-ay+3=0与直线ax-y+1=0互相垂直”的充要条件，所以A错误；
对于B， 由直线xcos α-y+3=0的倾斜角θ满足tan θ=cos α∈[-1，1]，
因为θ∈[0，π)，可得0≤θ≤或≤θ<π，所以θ∈∪，所以B正确；
对于C，圆C1：x2+y2-6x+4y+12=0的圆心为C1(3，-2)，半径r=1，
圆C2：x2+y2-14x-2y+a=0的圆心为C2(7，1)，半径R=(a<50)，
因为两圆有且只有一个公共点，则两圆外切或内切，
则=5=1+ 或=5=|1-|，
解得a=34或a=14，所以C错误；
对于D，由直线l过点M(-2，3)，
当直线l在两坐标轴上的截距相等，且不为0时，设直线l的方程为+=1，
可得+=1，解得a=1，此时直线方程为x+y=1；
当直线l过原点时，满足在两坐标轴上的截距相等，此时直线l的方程为y=-x，所以D错误.
11.(2025·渭南质检)设直线系M：xcos θ+(y-2)sin θ=3(0≤θ<2π)，则下列四个命题为真命题的是(　　)
A.M中所有直线均经过一个定点
B.存在定点P不在M中的任一条直线上
C.M中的直线所能围成的正三角形面积都相等
D.对于任意整数n(n≥3)，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上
答案　BD
解析　对于A，令
消去θ可得x2+(y-2)2=9，圆心(0，2)到直线系M中每条直线的距离d==3=r，
故直线系M表示圆x2+(y-2)2=9的切线的集合，故A错误；
对于B，对任意θ，存在定点(0，2)不在直线系M中的任一条直线上，故B正确；
对于C，直线系M中的直线所能围成的正三角形边长不一定相等，故面积也不一定相等，如图中的等边△ABC和等边△ADE，故C错误；
对于D，由于圆x2+(y-2)2=9的外切正n边形(n≥3)，其所有边均在直线系M中的直线上，故D正确.
三、填空题(每小题5分，共15分)
12.(2025·安徽A10联盟质检)已知圆C：x2+y2-mx-4=0上存在两点关于直线x-y-3=0对称，则圆C的半径为　　　　.
答案　
解析　因为圆上存在两点关于直线x-y-3=0对称，所以直线x-y-3=0过圆心，
从而-3=0，解得m=6，
则圆C的方程为(x-3)2+y2=13，
故圆C的半径为.
13.(2025·红河州、文山州、普洱市、临沧市检测)已知直线l：mx+ny=3(m>0，n>0)，若直线l被圆x2+y2-2x-2y=0所截得的弦长为2，则mn的最大值为　　　　.
答案　
解析　因为圆(x-1)2+(y-1)2=2的半径r=，
圆心(1，1)，直线l被圆所截得的弦长为2，
所以圆心(1，1)在直线mx+ny=3上，即m+n=3，
又因为mn≤=，
当且仅当m=n=时，等号成立.
所以mn的最大值为.
14.(2025·齐鲁名校联考)已知三个正数r1，r2，r3构成公比为q(q>1)的等比数列，圆Ci：+y2=(i=1，2，3)，过圆C3上一点P分别作圆C1，C2的切线，切点分别为Q，R，若=，则q=　　　　.
答案　3
解析　不妨设r1=1，r2=q，r3=q2，
则三个圆心分别为C1(1，0)，C2(q，0)，C3(q2，0)，
根据勾股定理得=-1，=-q2，
所以==，
因为点P在圆+y2 =q4上，
故可设点P(q2cos θ+q2，q2sin θ)，其中θ≠π，
则=，
整理得=，
即=，解得q=3.
(每小题6分，共12分)
15.(多选)(2025·新余模拟)数学之美，古来共谈.如图甲，在平面直角坐标系中有☉O：x2+y2=1与x轴分别交于A，B两点，P为☉O上的动点，以AP为直径的☉E的位置随P点位置的变化而变化，当P点逆时针转过一周时，☉E扫过的区域是图乙所示的美丽的“心形”(记作M)，则下列说法正确的是(　　)
A.若∠PAB=，则☉E与x轴公共点的坐标为(-1，0)和
B.图乙中M内的点到y轴距离的最大值为1.25
C.若以O为圆心的圆可以完全覆盖区域M，则该圆的半径最小为
D.图乙中M与y轴的公共部分上的点到x轴距离的最大值为
答案　ABD
解析　对于A，设☉E与x轴交于A，A'，连接PA'，PB，
∵AP为☉E的直径，∴PA'⊥x轴，
由题意可知|AB|=2，∠PAB=，∴|AP|=，
∴|AA'|=，∴☉E与x轴公共点的坐标为A(-1，0)和A'，故A正确；
对于B，设∠PAB=θ，θ∈，
如图，过E作CD⊥y轴于点D，延长DE交☉E于点C，过点E作EF⊥x轴于点F，
∵∠APB=，|AB|=2，∴|AP|=2cos θ，
∴|CE|=|AE|=|AP|=cos θ，∴|AF|=cos2θ，
∴|ED|=|FO|=1-|AF|=1-cos2θ，
∴|CD|=1-cos2θ+cos θ，
令cos θ=t∈(0，1]，
∴|CD|=-t2+t+1=-+，
∴|CD|max==1.25，即M内的点到y轴距离的最大值为1.25，故B正确；
对于C，如图，连接OE并延长交☉E于点G，
由垂径定理得OG⊥AP，G就是☉E上到原点O距离最远的点，
下面我们求|OG|的最大值：
设∠PAB=θ，θ∈，
∵|GE|=|AP|=cos θ，|OE|=sin θ，
∴|OG|=|GE|+|OE|=cos θ+sin θ=sin，∴当θ=时，|OG|取得最大值，即满足条件的圆的半径最小为，故C错误；
对于D，如图，
设☉E与y轴交于Q点(图中为上方的点)，连接QA，则QA⊥QP，
反面想，对于y轴正半轴上一点Q作l⊥QA，若l与☉O有公共点即为P点，当Q离x轴最远时，l与☉O有且仅有一个公共点P.设Q(0，y0)(y0>0)，
则lAQ：y=y0x+y0，l：y=-x+y0，
原点到l的距离为=1，
解得y0=，
即M与y轴的公共部分上的点到x轴距离的最大值为，故D正确.
16.(多选)(2025·大庆模拟)过点P(-1，0)向曲线Cn：x2-2nx+y2=0(n∈N*)引斜率为kn(kn>0)的切线ln，切点为Pn(xn，yn)，则下列结论正确的是(　　)
A.ln xi=-ln 2 026
B.yn=
C.x1·x3·x5·…·x2n-1<
D.>sin
答案　ACD
解析　由题意，得直线ln：y=kn(x+1)，kn>0，
联立方程
可得(1+)x2+(2-2n)x+=0，
则Δ=-4(1+)=0，
解得kn=(负值舍去)，
所以2xn=，xn=，yn=kn(xn+1)=，故B错误；
所以ln xi=ln=ln+ln+…+ln=ln=-ln 2 026，故A正确；
因为==，
又因为4n2>4n2-1，
则<=，
即<，所以<，
则x1·x3·x5·…·x2n-1=××…×<==，故C正确；
因为=×=，
所以=，且0<<1，
令t=，设函数f(t)=t-sin t，t∈(0，1)，
则f'(t)=1-cos t>0，所以函数f(t)在(0，1)上单调递增，则f(t)>f(0)=0，即t>sin t，
所以>sin，故D正确.