专题突破　专题五　第2讲　圆锥曲线的方程与性质 学案

第2讲　圆锥曲线的方程与性质
1.(2025·全国Ⅰ卷，T3)已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为(　　)
A. B.2 C. D.2
2.(2025·全国Ⅱ卷，T6)设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点A在C上，过A作C的准线的垂线，垂足为B，若直线BF的方程为y=-2x+2，则|AF|等于(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
3.(2024·新课标Ⅱ卷，T5)已知曲线C：x2+y2=16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP'，P'为垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为(　　)
A.+=1(y>0) B.+=1(y>0)
C.+=1(y>0) D.+=1(y>0)
4.(2024·新课标Ⅰ卷，T12)设双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|=13，|AB|=10，则C的离心率为　　　　.
5.(2024·新课标Ⅱ卷，T10)抛物线C：y2=4x的准线为l，P为C上的动点，过P作☉A：x2+(y-4)2=1的一条切线，Q为切点.过P作l的垂线，垂足为B.则(　　)
A.l与☉A相切 B.当P，A，B三点共线时，|PQ|=
C.当|PB|=2时，PA⊥AB D.满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个
命题热度：
本讲是历年高考命题必考的内容，属于中高档题目，三种题型都有所考查，分值约为10~12分.
考查方向：
一是圆锥曲线的定义与标准方程，主要考查圆锥曲线标准方程的求解以及定义的灵活应用；二是圆锥曲线的几何性质，主要考查离心率、双曲线渐近线的求解；三是直线和圆锥曲线的位置关系，主要考查弦长与三角形面积的计算以及相关的判断与证明问题.
1.答案　D
解析　设双曲线的实轴长、虚轴长、焦距分别为2a，2b，2c，由题意知b=a，
于是c2=a2+b2=a2+7a2=8a2，则c=2a，
即e==2.
2.答案　C
解析　对lBF：y=-2x+2，令y=0，则x=1，
所以F(1，0)，p=2，所以抛物线C：y2=4x，故抛物线的准线方程为x=-1，当x=-1时，y=4，
故B(-1，4)，则yA=4，代入抛物线C：y2=4x得xA=4.
所以|AF|=|AB|=xA+=4+1=5.
3.答案　A
解析　设点M(x，y)，
则P(x，y0)，P'(x，0)，
因为M为PP'的中点，
所以y0=2y，即P(x，2y)，
又P在曲线x2+y2=16(y>0)上，
所以x2+4y2=16(y>0)，
即+=1(y>0)，
即点M的轨迹方程为+=1(y>0).
4.答案　
解析　|F1A|=13，|AF2|=|AB|=5，
且AF2⊥F1F2，
|F1F2|==12.
由双曲线定义可得2a=|F1A|-|AF2|=8，
2c=|F1F2|=12，
化简得a=4，c=6，
则C的离心率e==.
5.答案　ABD
解析　A选项，抛物线y2=4x的准线为x=-1，
☉A的圆心(0，4)到直线x=-1的距离显然是1，
等于圆的半径，
故准线l和☉A相切，A选项正确；
B选项，当P，A，B三点共线时，
即PA⊥l，则P的纵坐标yP=4，
由=4xP，
得到xP=4，故P(4，4)，
此时切线长|PQ|===，B选项正确；
C选项，当|PB|=2时，xP=1，
此时=4xP=4，
故P(1，2)或P(1，-2)，
当P(1，2)时，A(0，4)，B(-1，2)，
kPA==-2，
kAB==2，
不满足kPAkAB=-1；
当P(1，-2)时，A(0，4)，B(-1，-2)，
kPA==-6，
kAB==6，
不满足kPAkAB=-1，
于是PA⊥AB不成立，C选项错误；
D选项，方法一　(利用抛物线定义转化)
设抛物线C的焦点为F，根据抛物线的定义，
|PB|=|PF|，这里F(1，0)，
于是=时P点的存在性问题转化成=时P点的存在性问题，
A(0，4)，F(1，0)，AF的中点为，
AF中垂线的斜率为-=，
于是AF的中垂线方程为y=，
与抛物线y2=4x联立可得y2-16y+30=0，
Δ=(-16)2-4×1×30=136>0，
即AF的中垂线和抛物线有两个交点，
即存在两个P点，使得=，D选项正确.
方法二　(设点直接求解)
设P，
由PB⊥l可得B(-1，t)，
又A(0，4)，=，
根据两点间的距离公式，
=+1，
整理得t2-16t+30=0，
Δ=(-16)2-4×1×30=136>0，
则关于t的方程有两个解，
即存在两个这样的P点，D选项正确.
考点一　圆锥曲线的定义与标准方程
例1　(1)(2025·永州模拟)已知椭圆E：+=1，点F(-1，0)，若直线x+λy-1=0(λ∈R)与椭圆E交于A，B两点，则△ABF的周长为(　　)
A.2 B.4 C.4 D.8
答案　D
解析　椭圆E：+=1的长半轴长a=2，半焦距c==1，
则点F(-1，0)为椭圆的左焦点，其右焦点为(1，0)，
而直线AB：x+λy-1=0恒过定点(1，0)，
所以△ABF的周长为4a=8.
(2)(2025·西南名校联盟联考)设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，过C上一点A作其准线的垂线，设垂足为B，若cos∠BAF=，=10，则p等于(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案　D
解析　由题意可知，抛物线C的焦点为F，
准线为x=-，且==10，
因为cos∠BAF=，
所以由余弦定理得
2-2cos∠BAF=200×=80=，即=4，
设A(xA，yA)，由=xA+=10，
所以xA=10-，=2pxA=20p-p2.
设E为准线与x轴的交点，=p，
则+=p2+20p-p2==80，则p=4.
[规律方法]　求圆锥曲线的标准方程时的常见错误
(1)双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；
(2)椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a2=b2+c2，双曲线中的关系式为c2=a2+b2；
(3)确定圆锥曲线的方程时还要注意焦点位置.
跟踪演练1　(1)(2025·赤峰模拟)经过点P(-4，0)，Q(0，-2)的椭圆的标准方程为　　　　.
答案　+=1
解析　已知椭圆经过P(-4，0)，Q(0，-2)两点.
点P(-4，0)在x轴上，点Q(0，-2)在y轴上，
且|-4|>|-2|，所以椭圆的焦点在x轴上.
对于焦点在x轴上的椭圆，设其标准方程为+=1(a>b>0)，
因为椭圆过点P(-4，0)，所以a=4，
又椭圆过点Q(0，-2)，所以b=2.
将a=4，b=2代入椭圆标准方程+=1中，
可得+=1，即+=1.
(2)(2025·绍兴适应性考试)已知双曲线Γ：x2-=1的左焦点为F，点A，B在Γ的右支上，且=6，则+的最小值为(　　)
A.4 B.6 C.10 D.14
答案　C
解析　双曲线x2-=1，
则a=1.
设双曲线的右焦点为F2，由双曲线的定义可知，点A在双曲线的右支上，则|FA|-|F2A|=2a=2，即|FA|=|F2A|+2；
同理，点B在双曲线的右支上，则|FB|-|F2B|=2a=2，
即|FB|=|F2B|+2.
所以|FA|+|FB|=(|F2A|+2)+(|F2B|+2)=|F2A|+|F2B|+4.
则|F2A|+|F2B|≥|AB|，
当且仅当A，B，F2三点共线时，等号成立.
又|AB|=6，则|F2A|+|F2B|+4≥|AB|+4=6+4=10，即|FA|+|FB|≥10.
所以|FA|+|FB|的最小值为10.
考点二　椭圆、双曲线的几何性质
例2　(1)(多选)(2025·常州模拟)已知点P在椭圆C上，C的左、右焦点F1，F2在x轴上，PF1和PF2分别交C于另一点A，B，△PAF2的周长为20，C的左顶点和上顶点之间的距离为，设离心率为e，那么(　　)
A.椭圆C的焦距为3
B.e=
C.△PF1F2面积的最大值为12
D.PF1和PF2斜率的乘积为定值
答案　BC
解析　因为点P，A在椭圆上，所以|PF1|+|PF2|=2a，|AF1|+|AF2|=2a，
故△PAF2的周长为|PA|+|AF2|+|PF2|=|PF1|+|PF2|+|AF1|+|AF2|=4a=20，解得a=5，
因为左顶点和上顶点之间的距离为==，解得b=4，
则c==3，焦距为2c=6，故A错误；
e==，故B正确；
=×|F1F2|×|yP|=c|yP|≤bc=12，
当点P位于y轴上时，△PF1F2的面积取得最大值12，故C正确；
设P(x，y)，则+=1，即y2=16-x2，
因为F1(-3，0)，F2(3，0)，
所以=，=，
故·=·==·，不是定值，故D错误.
(2)(多选)(2025·安阳模拟)已知F1，F2分别是双曲线C：x2-=1(b>0)的左、右焦点，斜率为且过点F2的直线交C的右支于A，B两点，A在第一象限，且=，则(　　)
A.点F1到C的渐近线的距离为
B.=10
C.C的离心率为2
D.分别以BF1，F1F2为直径的圆的公共弦长为
答案　ACD
解析　因为双曲线C：x2-=1(b>0)，所以a=1，
又因为tan∠BF2F1=，
可得sin∠BF2F1= ，
cos∠BF2F1=，
又因为|AF1|=|AB|，
所以|BF2|=|AB|-|AF2|=|AF1|-|AF2|=2a=2，
|BF1|=2a+|BF2|=4，
则在△BF1F2中，由余弦定理得|BF1|2=+-2|F1F2||BF2|cos∠BF2F1，
即16=+4-2×2|F1F2|×，
解得|F1F2|=4或|F1F2|=-3(舍去)，
则2c=|F1F2|=4，即c=2，
所以b==，
即点F1到C的渐近线的距离等于，A正确；
C的离心率为e==2，C正确；
在△AF1F2中，由余弦定理可得|AF1|2=+-2|F1F2||AF2|cos∠AF2F1，
则=42+-2×4×|AF2|×，
解得|AF2|=6，
所以|AB|=|AF1|=|AF2|+2a=8≠10，B错误；
过点F1作F1E⊥AB于点E，
因为∠BEF1=∠F1EF2=，
则点E在以BF1，F1F2为直径的圆上，
所以以BF1，F1F2为直径的圆的公共弦为F1E，
且|BF1|=2a+|BF2|=4=|F1F2|，
所以|F1E|==，D正确.
[规律方法]　(1)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合椭圆(或双曲线)的定义，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系.
(2)求双曲线渐近线方程的关键在于求或的值，也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到.
(3)求离心率的范围时常利用最大角、通径、三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(不等式组)求解.
跟踪演练2　(1)(2025·合肥质检)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)，过顶点A作C的一条渐近线的垂线，交y轴于点B，且|AB|=，则C的离心率为(　　)
A.3 B.2 C. D.
答案　D
解析　不妨令渐近线方程为y=x，顶点A为(a，0)，
则过顶点A与渐近线垂直的直线的方程为y-0=-(x-a)，
令x=0，得y=，则B，
所以|AB|==，
又因为|AB|=，所以a=b，
又因为c2=a2+b2，
所以c=a，所以e=.
(2)(多选)(2025·临汾模拟)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A，B为椭圆C上关于原点对称的两点，且=，则(　　)
A.AF1⊥AF2
B.四边形AF1BF2的周长为4a
C.四边形AF1BF2的面积为b2
D.椭圆C的离心率的取值范围为
答案　ABD
解析　依题意，AB，F1F2互相平分，且=，
则四边形AF1BF2是矩形，令其半焦距为c，
对于A，AF1⊥AF2，A正确；
对于B，四边形AF1BF2的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a，B正确；
对于C，四边形AF1BF2的面积为2=|AF1||AF2|==2a2-2c2=2b2，C错误；
对于D，由以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆有公共点，得c≥b，即c2≥b2=a2-c2，
解得≥，
即离心率e的取值范围为，D正确.
考点三　抛物线的几何性质
例3　(1)(多选)已知O为坐标原点，点F为抛物线C：y2=4x的焦点，点P(4，4)，直线l：x=my+1交抛物线C于A，B两点(不与P点重合)，则以下说法正确的是(　　)
A.|FA|>1
B.存在实数m，使得∠AOB<
C.若=2，则m=±
D.若直线PA与PB的倾斜角互补，则m=-2
答案　ACD
解析　由题意可知，抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程为x=-1，
直线x=my+1恒过点F(1，0)，如图所示.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，作AA1垂直于准线x=-1，垂足为A1，
根据抛物线定义可知，|FA|=|AA1|=x1+1，易知x1≥0，所以|FA|=x1+1≥1，
但当|FA|=1时，点A与坐标原点重合，直线与抛物线仅有一个交点，因此|FA|≠1，所以|FA|>1，故A正确；
联立直线x=my+1和抛物线C：y2=4x，得y2-4my-4=0，所以y1y2=-4，x1x2=×=1，
此时·=||||cos∠AOB=x1x2+y1y2=-3<0，
所以cos∠AOB<0，因为∠AOB∈(0，π)，
故∠AOB>，所以不存在实数m，使得∠AOB<，故B错误；
若=2，由几何关系可得y1=-2y2，结合y1y2=-4，可得y2=或y2=-，
即B或B，将B点的坐标代入直线方程可得m=±，故C正确；
若直线PA与PB的倾斜角互补，则kPA+kPB=0，即+=0，
整理得2my1y2-(4m+3)(y1+y2)+24=0，
代入y1y2=-4，y1+y2=4m，
化简可得4m2+5m-6=0，解得m=-2或m=，
当m=时，直线l过点P(4，4)，不符合题意，所以m=-2，故D正确.
(2)(多选)(2025·云南大联考)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线C上异于O的一点，过点P作PQ⊥l于点Q，下列结论正确的是(　　)
A.线段FQ的垂直平分线经过点P
B.过点P且与抛物线C相切的直线垂直平分线段FQ
C.直线QF与直线PF可能垂直
D.若△PQF是直角三角形，则直线OP的斜率为±2
答案　ABD
解析　因为线段FQ的垂直平分线上的点到点F，Q的距离相等，且点P在抛物线C上，根据定义可知，=，所以线段FQ的垂直平分线经过点P，A正确；
不妨设点P在第一象限，设P(x0，)，Q，F，
线段FQ的中点坐标为.
结合A选项的结论可得，
线段FQ的垂直平分线的斜率为
=.
由y2=2px，可得当y>0时，y=，y' =，
所以过点P的切线的斜率为，
所以过点P的切线与线段FQ的垂直平分线重合，
即过点P且与抛物线C相切的直线垂直平分线段FQ，B正确；
=，=(-p，)，
若直线QF与直线PF垂直，则·=-p·+2px0=0，
解得p=0或x0=-，都不符合题意，所以直线QF与直线PF不可能垂直，C错误；
若△PQF是直角三角形，结合C选项的结论，只能是∠QPF=90°，所以P，直线OP的斜率为±2，D正确.
[规律方法]　利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直角梯形等)来建立已知量与p的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少数学运算.
跟踪演练3　(多选)(2025·黄山模拟)已知抛物线C：y2=2px的焦点为F，点A(8，8)在抛物线上，过点F作直线交抛物线于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点，则(　　)
A.的最小值为4
B.以线段MN为直径的圆与直线x=-2相切
C.当=2时，则=9
D.·=-12
答案　BCD
解析　由题设82=2p×8 p=4，
则C：y2=8x，F(2，0)，
可设MN：x=ty+2，
联立抛物线得y2-8ty-16=0，显然Δ>0，
所以y1+y2=8t，y1y2=-16，
则=·=8(1+t2)≥8，
当且仅当t=0时等号成立，A错误；
由抛物线的定义知=x1+x2+4，
而MN的中点横坐标为，
所以MN的中点与直线x=-2的距离为+2，
即为的一半，
所以以线段MN为直径的圆与直线x=-2相切，B正确；
若=2，不妨设y1>0>y2，
则y1=2|y2|，而y1y2=-16，
所以y1=4，y2=-2，
则y1+y2=8t=2 t=，
所以x1+x2=t(y1+y2)+4=×2+4=5，
则=x1+x2+4=9，C正确；
由·=x1x2+y1y2=(t2+1)y1y2+2t(y1+y2)+4=-16t2-16+16t2+4=-12，D正确.
专题强化练
[分值：90分]
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.(2025·温州模拟)双曲线-x2=1(a>0)的一个焦点为(0，2)，则a等于(　　)
A. B. C.3 D.
答案　A
解析　由题意得c2=a2+1=4，所以a=.
2.(2025·红河州、文山州、普洱市、临沧市检测)已知椭圆C：+=1的右焦点为F(2，0)，则C的长轴长为(　　)
A. B.2 C. D.2
答案　B
解析　因为椭圆C的右焦点为F(2，0)，所以c=2，且焦点在x轴上，所以m2-6=4，解得m=±，所以椭圆C的长轴长为2.
3.(2025·江苏七市调研)已知椭圆C：+y2=1(a>0)的右顶点与抛物线y2=8x的焦点重合，则C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　由题意得y2=8x的焦点为(2，0)，
则a=2，而b=1，得到c=，离心率为.
4.(2025·河南豫东名校模拟)已知抛物线C：y2=2px(p>0)，过C的焦点F的直线交C于A，B两点，交C的准线于P，且=3，=3，则C的方程为(　　)
A.y2=x B.y2=2x
C.y2=4x D.y2=6x
答案　C
解析　记C的准线与x轴的交点为M，过A，B分别作准线的垂线，垂足为A1，B1，
因为=3，
所以|PB|=3|BF|，又|BB1|=|BF|，则|PB|=3|BB1|，
由于|AF|=3，所以|AA1|=3，
由△PBB1∽△PAA1可知=，
|PA|=9，
所以|PF|=6，而|FM|=p，
由△PFM∽△PBB1可知p=|FM|=2，
即C的方程为y2=4x.
5.(2025·烟台、东营模拟)已知A为抛物线y2=2px(p>0)上一点，若过点A且与该抛物线相切的直线交x轴于点(-2，0)，则p的值为(　　)
A.1 B.2 C.4 D.8
答案　C
解析　不妨令m>0，由y=，
则y'==，
所以切点为A的切线的斜率为k=1，
则切线为y=x+2，故m=+2，
又m2=2p×=p2，
即m=p(负值舍去)，则+2=p p=4.
6.(2025·广州测试)已知点P在双曲线C：-=1(a>0，b>0)上，且点P到C的两条渐近线的距离之积等于，则C的离心率为(　　)
A.3 B.2 C. D.
答案　D
解析　设P(x0，y0).
∵点P在双曲线C：-=1(a>0，b>0)上，
∴-=1，
即b2-a2=a2b2.
又双曲线C：-=1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为bx+ay=0和bx-ay=0，
点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为
·=
==，
∴=，即c2=2b2.
又c2=a2+b2，
∴a2=b2，c2=2a2，
∴e===.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.(2025·乐山检测)设O为坐标原点，椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A(0，3)为定点，而点B在椭圆C上，且位于第一象限，若|AB|=|AF2|=2|OF2|，则(　　)
A.a2-b2=3
B.∠F1BF2=60°
C.当△BF1F2的面积为6-3时，C的方程为+=1
D.当AB∥x轴时，C的离心率e=
答案　ACD
解析　对于A，由|AB|=|AF2|=2|OF2|，
则∠OAF2=30°，又|OA|=3，
∴|OF2|=，即c=，
∴a2-b2=3，故A正确；
对于B，由对称性可得|AF1|=|AF2|，∴点F1，F2，B在以点A为圆心，2为半径的圆上，
∴∠F1BF2=∠F1AF2=∠OAF2=30°，故B错误；
对于C，∵∠F1BF2=30°，
由椭圆焦点三角形面积公式得=b2tan 15°=6-3，
∴b2(2-)=6-3，
解得b2=3，则a2=6，
∴椭圆C的方程为+=1，故C正确；
对于D，当AB∥x轴时，可得yB=3，由椭圆焦点三角形面积公式得b2tan 15°=×2c×yB，
即b2(2-)=3，
解得b2=9+6，
∴a2=12+6，则e2==，
解得e=，故D正确.
8.(2025·锦州质检)某数学研究小组发现，函数y=+的图象是双曲线，设其焦点为M，N，点P为其图象上任意一点，则(　　)
A.直线y=x是它的一条渐近线
B.它的离心率为
C.点(，2)是它的一个顶点
D.||PM|-|PN||=2
答案　ABD
解析　因为在函数y=+中，x≠0，当x>0时，y>，
所以函数y=+在第一象限的图象夹在直线y=x和y轴之间且无限接近于两直线，
令f(x)=+，
因为f(-x)=-f(x)，所以函数y=+为奇函数，图象关于原点对称，
所以直线y=x和y轴是双曲线的渐近线，所以A正确；
因为两渐近线的夹角为，所以双曲线的焦点所在的直线是两渐近线的夹角的角平分线所在直线，即y=x，
联立可得或
所以顶点坐标为，，所以C错误；
两顶点之间的距离为=2，因为焦点为M，N，点P为其图象上任意一点，根据双曲线的定义可得||PM|-|PN||=2，所以D正确；
若将双曲线绕其对称中心(原点)顺时针旋转可使直线y=x变为x轴，其渐近线变为直线y=±，则双曲线的离心率e==，所以B正确.
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2025·泰州调研)过抛物线y2=4x的焦点作斜率为1的直线l交抛物线于A，B两点，则以AB为直径的圆被y轴截得的弦长为　　　　.
答案　2
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
直线l的方程为y=x-1，
将其代入y2=4x中并整理得x2-6x+1=0，
所以x1+x2=6，
所以AB的中点即以AB为直径的圆的圆心，其横坐标为3，所以圆心到y轴的距离为3，|AB|=p+x1+x2=8，所以以AB为直径的圆的半径为4，由已知及垂径定理得以AB为直径的圆被y轴截得的弦长为2=2.
10.(2025·承德NT20名校联合体调研)双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线PF2⊥x轴且与双曲线C在第一象限交于点P.设△F1PF2内切圆的半径为r，若|PF2|≥4r，则双曲线C的离心率的取值范围为　　　　　.
答案　[3，+∞)
解析　设△F1PF2内切圆E与△F1PF2的三边分别相切于点M，N，Q，如图，
则|EM|=|EN|=|EQ|=r，且|F1M|=|F1Q|，
|F2M|=|F2N|，|PQ|=|PN|，
所以Rt△EMF2≌Rt△ENF2，
因为直线PF2的倾斜角为90°，
所以∠EF2M=45°，
所以|F2M|=|F2N|==r.
因为|F1M|=2c-r=|QF1|，|PQ|=|PN|=|PF2|-r，
由双曲线的定义可知，|PF1|-|PF2|=|QF1|-|F2N|=|F1M|-|F2M|=2a，即2c-r-r=2a，
所以r=c-a，又|PF2|=，所以≥4(c-a)，
则b2≥4ac-4a2，即c2-4ac+3a2≥0，
两边同时除以a2，则e2-4e+3≥0，
解得e≥3或e≤1，又e>1，则e的取值范围是[3，+∞).
四、解答题(共26分)
11.(13分)(2025·南宁模拟)已知双曲线C的中心为坐标原点O，且焦点在x轴上，点P(4，-3)在双曲线C上，其一条渐近线方程为x+2y=0.
(1)求双曲线C的标准方程；(6分)
(2)过点Q(0，2)且倾斜角为45°的直线l与双曲线C交于M，N两点，求△OMN的面积.(7分)
解　(1)已知双曲线C的中心为坐标原点O，且焦点在x轴上，故设其标准方程为-=1(a>0，b>0)，又其渐近线方程为x+2y=0，
即=， ①
又点P(4，-3)在双曲线C上，代入得-=1， ②
联立①②，解得a=2，b=，
所以双曲线C的标准方程为-=1.
(2)直线l过点Q(0，2)且倾斜角为45°，故其方程为y=x+2，将其代入双曲线方程，联立得-=1，化简得x2+16x+28=0，解得x1=-2和x2=-14，
代入直线l，求得y1=0和y2=-12，
不妨取M(-2，0)，N(-14，-12)，所以S△OMN=|OM||y2|=×2×12=12.
12.(13分)(2025·蚌埠适应性考试)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为，点P在椭圆C上.
(1)求椭圆C的标准方程；(5分)
(2)过点Q(0，6)的直线(非y轴)交椭圆于A，B两点，以AB为直径的圆经过原点O，求直线AB的方程.(8分)
解　(1)由e==，得a=2c，
则a2=4c2=b2+c2，
所以b2=3c2，
将点P代入椭圆方程得+=1，解得c2=3，所以椭圆C的标准方程为+=1.
(2)依题意直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=kx+6，点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2).
方法一　联立方程
消去y得(3+4k2)x2+48kx+108=0，
依题意，Δ=(48k)2-4×108(4k2+3)=144(4k2-9)>0，
所以|k|>，
且x1+x2=，x1x2=，
依题意·=0，
即x1x2+(kx1+6)(kx2+6)=0，
整理得(k2+1)x1x2+6k(x1+x2)+36=0，
从而(k2+1)·+6k·+36=0，
所以216-36k2=0，解得k1=-，k2=，
满足|k|>.
从而直线AB的方程为y=±x+6.
方法二　将y=kx+6即6=y-kx代入3x2+4y2=36，得3x2+4y2=(y-kx)2，
整理得，3+2k+3-k2=0，
依题意，Δ=(2k)2-4×3(3-k2)>0，
所以|k|>，又OA⊥OB，
依题意，kOA·kOB=·==-1，
解得k=±，满足|k|>，
所以直线AB的方程为y=±x+6.
(每小题6分，共12分)
13.(多选)(2025·济宁模拟)若双曲线C：x2-=1的左、右焦点分别为F1，F2，过C的右支上一点P作圆(x-3)2+y2=1的切线，切点为A，B，则下列结论正确的是(　　)
A.若·=0，则△PF1F2的面积为9
B.若Q为圆(x-3)2+y2=1上的一动点，则|PF2|+|PQ|的最小值为3
C.四边形PAF2B面积的最小值为
D.·的最小值为2-3
答案　BC
解析　圆(x-3)2+y2=1的圆心为(3，0)，半径为1，双曲线的焦点F1(-3，0)，F2(3，0)，
对于A，由双曲线焦点三角形的面积公式可得===8，故A错误；
对于B，由双曲线的定义可得|PF2|+|PQ|=|PF1|+|PQ|-2≥5-2=3，
当P，F1，Q三点的坐标分别为(1，0)，(-3，0)，(2，0)时取等号，故B正确；
对于C，=2=2××|PA|×1=|PA|，所以当|PA|最小时，四边形的面积最小，
由|PA|=，可得当点P位于右顶点时，|PF2|最小，即|PA|最小，
所以|PA|==，所以四边形PAF2B面积的最小值为，故C正确；
对于D，·=cos 2∠APF2=(-1)(1-2sin2∠APF2)
=(-1)
=+-3
≥2-3=2-3，
当且仅当=时取等号，但|PF2|≥2，所以取不到等号，故D错误.
14.(多选)(2025·太原模拟)已知动点P(x，y)到点F(0，1)和直线y=4的距离和为5，记其轨迹为曲线C.点M(x1，y1)，N(x2，y2)是曲线C上的两个不同点，点A(0，a)(a∈R)，则下列结论正确的是(　　)
A.曲线C的方程为y=-x2+5
B.对于任意a∈R，都存在点M，N，使得|AM|=|AN|成立
C.当y1≠y2时，若点M，N关于点A对称，则a的取值范围为
D.若点M，N关于点A对称，则|AM|+|AN|的取值范围为(0，8]
答案　BCD
解析　对于A，根据题意，+|y-4|=5.
当y≤4时，化简可得x2=4y；
当y>4时，化简可得y=-x2+5，故A错误；
对于B，作出曲线C如图，
可知曲线C关于y轴对称，所以对于任意a∈R，都存在点M，N，只要x1+x2=0，y1=y2，就能使得|AM|=|AN|成立，故B正确；
对于C，因为y1≠y2，且M，N关于点A(0，a)对称，所以M，N一定分别在曲线y=-x2+5(y>4)和x2=4y(y<4)上.
不妨设M，N(-4则2a=-+5=+5，因为0≤<16，所以5≤2a<8，即≤a<4，故C正确；
对于D，若y1=y2，因为M，N关于A(0，a)对称，所以当M，N分别对应点(4，4)和(-4，4)，且A(0，4)时，|AM|+|AN|取得最大值8；
当M，N接近曲线C的上、下顶点时，|AM|+|AN|接近于0；
若y1≠y2，由C可知，|AM|+|AN|=|MN|，且|MN|2=+ =++25，0≤<16.
所以25≤|MN|2<64 5≤|AM|+|AN|=|MN|<8.
综上，0<|AM|+|AN|=|MN|≤8，故D正确.