专题突破　专题五　第3讲　圆锥曲线中的二级结论 学案

第3讲　圆锥曲线中的二级结论
1.(2023·全国甲卷，文T7)设F1，F2为椭圆C：+y2=1的两个焦点，点P在C上，若·=0，则|PF1|·|PF2|等于(　　)
A.1 B.2 C.4 D.5
2.(多选)(2022·新高考全国Ⅱ卷，T10)已知O为坐标原点，过抛物线C：y2=2px(p>0)焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M(p，0).若|AF|=|AM|，则(　　)
A.直线AB的斜率为2 B.|OB|=|OF|
C.|AB|>4|OF| D.∠OAM+∠OBM<180°
3.(多选)(2025·全国Ⅰ卷，T10)已知抛物线C：y2=6x的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线l：x=-的垂线，垂足为D，过F且与直线AB垂直的直线交l于点E，则(　　)
A.|AD|=|AF| B.|AE|=|AB|
C.|AB|≥6 D.|AE|·|BE|≥18
4.(2022·新高考全国Ⅱ卷，T16)已知直线l与椭圆+=1在第一象限交于A，B两点，l与x轴、y轴分别交于M，N两点，且|MA|=|NB|，|MN|=2，则l的方程为　　　　.
命题热度：
本讲是历年高考命题必考的内容，属于中高档题目，三种题型都有所考查，分值约为10~12分.
考查方向：
一是圆锥曲线的定义与标准方程，主要考查圆锥曲线标准方程的求解以及定义的灵活应用；二是圆锥曲线的几何性质，主要考查离心率、双曲线渐近线的求解；三是直线和圆锥曲线的位置关系，主要考查弦长与三角形面积的计算以及相关的判断与证明问题.
1.答案　B
解析　方法一　因为·=0，
所以∠F1PF2=90°，
从而=b2tan 45°=1=|PF1|·|PF2|，
所以|PF1|·|PF2|=2.
方法二　因为·=0，
所以∠F1PF2=90°，
由椭圆方程可知，c2=5-1=4，解得c=2，
所以+==42=16，
又|PF1|+|PF2|=2a=2，
平方得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=16+2|PF1|·|PF2|=20，所以|PF1|·|PF2|=2.
2.答案　ACD
解析　对于A，由题意，得F.因为|AF|=|AM|，且M(p，0)，所以xA==p，将其代入抛物线方程y2=2px，得yA=p，所以A，所以直线AB的斜率kAB=kAF==2，故A正确；
对于B，方法一　+=+=，解得|BF|=p，xB=，yB=-p，所以|OB|2=+=≠|OF|2，故B错误；
方法二　由选项A的分析，知直线AB的方程为y=2，代入y2=2px，得12x2-13px+3p2=0，解得x=p或x=p，所以xB=p，所以yB=-p，所以|OB|==p≠|OF|，故B不正确；
对于C，由抛物线的定义及选项A，B的分析，得|AB|=xA+xB+p=p+p=p>2p，即|AB|>4|OF|，故C正确；
对于D，方法一　易知|OA|=p，|AM|=p，|OB|=p，|BM|=p，
则cos∠OAM===>0，
cos∠OBM===>0，
所以∠OAM<90°，∠OBM<90°，所以∠OAM+∠OBM<180°，故D正确.
方法二　由选项A，B知A，
B，=，
=，=，
=，
所以·=-<0，所以∠AOB为钝角，
又·=-<0，所以∠AMB为钝角，
又∠AOB+∠AMB+∠OAM+∠OBM=360°，
所以∠OAM+∠OBM<180°，故D正确.
3.答案　ACD
解析　方法一　易知l为抛物线的准线，点A在抛物线C上，由抛物线的定义可知A选项正确；
设∠AFx=θ，易证△ADE≌△AFE，则∠DAE=∠EAF=，
因为|AF|=|AD|=|AF|·cos θ+p，
所以|AF|=，同理|BF|=，
所以|AE|==，
则|AB|=|AF|+|BF|=+=≠|AE|，选项B错误；
|AB|=≥2p=6，选项C正确；
由∠DAE=∠EAF=，则AE为抛物线C的切线，同理BE也为抛物线C的切线，
由阿基米德三角形可知AE⊥BE，
|AE||BE|=|AB|·|EF|=·=≥18，选项D正确.
方法二　对于A，抛物线C：y2=6x，
则p=3，其准线为l：x=-，焦点F，
则|AD|为抛物线上的点A到准线的距离，|AF|为抛物线上的点A到焦点的距离，
由抛物线的定义可知，|AD|=|AF|，故A正确；
对于B，过点B作准线l的垂线，垂足为P，
由题意可知AD⊥l，EF⊥AB，则∠ADE=∠AFE=90°，
又|AD|=|AF|，|AE|=|AE|，所以△ADE≌△AFE，
所以∠AED=∠AEF，同理∠BEP=∠BEF，
又∠AED+∠AEF+∠BEP+∠BEF=180°，
所以∠AEF+∠BEF=90°，即∠AEB=90°，
显然AB为Rt△ABE的斜边，则|AE|<|AB|，故B错误；
对于C，当直线AB的斜率不存在时，|AB|=2p=6；
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=k(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立消去y，得k2x2-(3k2+6)x+k2=0，
易知Δ>0，则x1+x2=3+，x1x2=，
所以|AB|=|x1-x2|=×
=×=6>6，
综上，|AB|≥6，故C正确；
对于D，在Rt△ABE与Rt△AEF中，∠BAE=∠EAF，
所以Rt△ABE∽Rt△AEF，则=，即|AE|2=|AF|·|AB|，
同理|BE|2=|BF|·|AB|，
当直线AB的斜率不存在时，|AB|=6，|AF|=|BF|=|AB|=3，
所以|AE|2·|BE|2=|AF|·|BF|·|AB|2=3×3×62，即|AE|·|BE|=18；
当直线AB的斜率存在时，|AB|=6，
|AF|·|BF|==x1x2+(x1+x2)+
=++=9，
所以|AE|2·|BE|2=|AF|·|BF|·|AB|2=9×36，
则|AE|·|BE|=3×6=18>18，
综上，|AE|·|BE|≥18，故D正确.
方法三　对于A，抛物线C：y2=6x，
则p=3，其准线为l：x=-，焦点F，
因为点A在抛物线C上，
由抛物线的定义可知，|AD|=|AF|，故A正确；
对于B，过点B作准线l的垂线，垂足为P，如图，
由题意可知AD⊥l，EF⊥AB，则∠ADE=∠AFE=90°，
又|AD|=|AF|，|AE|=|AE|，所以△ADE≌△AFE，
所以∠AED=∠AEF，同理∠BEP=∠BEF，
又∠AED+∠AEF+∠BEP+∠BEF=180°，
所以∠AEF+∠BEF=90°，即∠AEB=90°，
显然AB为Rt△ABE的斜边，则|AE|<|AB|，故B错误；
对于C，易知直线AB的斜率不为0，
设直线AB的方程为x=my+，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立消去x，得y2-6my-9=0，
易知Δ>0，则y1+y2=6m，y1y2=-9，
又x1=my1+，x2=my2+，
所以|AB|=x1+x2+p=m(y1+y2)+3+3=6m2+6≥6，
当且仅当m=0时取等号，故C正确；
对于D，在Rt△ABE与Rt△AEF中，∠BAE=∠EAF，
所以Rt△ABE∽Rt△AEF，则=，即|AE|2=|AF|·|AB|，
同理|BE|2=|BF|·|AB|，
又|AF|·|BF|==(my1+3)(my2+3)
=m2y1y2+3m(y1+y2)+9=-9m2+18m2+9=9(m2+1)，
|AB|=6m2+6=6(m2+1)，
所以|AE|2·|BE|2=|AF|·|BF|·|AB|2=9(m2+1)×36，
则|AE|·|BE|=3×6(m2+1)=18≥18，当且仅当m=0时取等号，故D正确.
4.答案　x+y-2=0
解析　方法一　设直线l的方程为+=1(m>0，n>0)，C为AB的中点，则C也是MN的中点，分别令y=0，x=0，得点M(m，0)，N(0，n)，则C.
由垂径定理知，kAB·kOC=-=-，
又kAB=-，kOC==，
所以kOC+kAB=0，所以kAB=-，
所以=，又|MN|=2，即m2+n2=12，
解得所以直线l的方程为+=1，
即x+y-2=0.
方法二　设直线l的方程为+=1(m>0，n>0)，分别令y=0，x=0，得点M(m，0)，N(0，n).
设A(x1，y1)，B(x2，y2).
由题意知线段AB与线段MN有相同的中点，
所以即
因为kAB=kMN，
所以==-.
将A(x1，y1)，B(x2，y2)代入椭圆方程，得相减得+=0，
由题意知x1+x2≠0，x1≠x2，
所以·=-，
即·=-，
整理得m2=2n2. ①
又|MN|=2，
所以由勾股定理，得m2+n2=12， ②
由①②并结合m>0，n>0，
得
所以直线l的方程为+=1，
即x+y-2=0.
考点一　焦半径与焦点弦
例1　(1)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作倾斜角为θ的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，其中点A在第一象限，且cos θ=.若|AB|=|AF1|，则双曲线C的离心率为(　　)
A.4 B. C. D.2
答案　D
解析　|AF2|=，|BF2|=，
|AB|=|AF2|+|BF2|=|AF1|=2a+|AF2| |BF2|=2a =2a 2e2-e-6=(2e+3)(e-2)=0 e=2(负值舍去).
(2)已知椭圆方程为+y2=1，AB为椭圆过右焦点F的弦，则|AF|+2|FB|的最小值为　　　　　.
答案　
解析　由焦半径公式可得+=4，
∴|AF|+2|FB|
=(|AF|+2|FB|)
=++≥，
当且仅当=时取等号，
又+=4，
得
∴|AF|+2|FB|的最小值为.
[规律方法]　(1)椭圆
①通径：.
②椭圆上点到焦点的距离：[a-c，a+c].
③焦半径：(ⅰ)坐标式：|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0；(ⅱ)角度式：长焦半径|AF1|==，短焦半径|BF1|==，+=..
④焦点弦弦长公式：|AB|=|AF1|+|BF1|=.
(2)双曲线
①通径：.
②双曲线上点到焦点的距离：[c-a，+∞).
③焦半径：(ⅰ)坐标式： |PF1|=|a+ex0|，|PF2|=|a-ex0|；(ⅱ)角度式：若直线与双曲线交于一支(如图1)，则|AF1|=，|BF1|=，+=.
若直线与双曲线交于两支(如图2)，则|AF1|=，|BF1|=，=.
图1　　　　　　 图2
④焦点弦弦长公式：若直线与双曲线交于一支，则|AB|=|AF1|+|BF1|=.
若直线与双曲线交于两支，则|AB|=||AF1|-|BF1||=.
(3)抛物线
①通径：2p.
②焦半径：(ⅰ)坐标式：|AF|=x0+；(ⅱ)角度式：|AF|==，|BF|==，+==.
③抛物线焦点弦弦长公式：
|AB|=|AF|+|BF|==.
(4)焦点弦定理
已知焦点在 x轴上的椭圆或双曲线或抛物线，经过其焦点F的直线交曲线于 A，B两点，直线AB的倾斜角为α，=λ，则曲线的离心率e满足等式|ecos α|=.
跟踪演练1　已知椭圆C：+=1的左焦点为F，过F的直线l交椭圆C于A，B两点，若|AF|=3，则|AB|=　　　　.
答案　
解析　设|AF|>|BF|，∠AFO=α，则由焦半径公式，|AF|===3，
解得cos α=，
由焦点弦公式|AB|==.
考点二　焦点三角形
例2　(2023·全国甲卷)设O为坐标原点，F1，F2为椭圆C：+=1的两个焦点，点P在C上，cos∠F1PF2=，则|OP|等于(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　方法一　设∠F1PF2=2θ，0<θ<，
所以=b2tan=b2tan θ，
由cos∠F1PF2=cos 2θ=
==，
解得tan θ=(负值舍去)，
由椭圆方程可知，a2=9，b2=6，c2=a2-b2=3，
所以=×|F1F2|×|yP|
=×2×|yP|=6×，
解得=3.
代入椭圆方程得=9×=，
因此|OP|===.
方法二　因为|PF1|+|PF2|=2a=6， ①
|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2=|F1F2|2，
即|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=12， ②
联立①②，解得|PF1||PF2|=，
设P(x0，y0)，由焦半径公式得|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0，
所以|PF1||PF2|=a2-(ex0)2，
解得=，则=6×=3，
因此|OP|===.
方法三　因为|PF1|+|PF2|=2a=6， ①
|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2=|F1F2|2，
即|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=12， ②
联立①②，解得|PF1||PF2|=，|PF1|2+|PF2|2=21，
而=+)，
所以|OP|=||=|+|
=
==.
方法四　因为|PF1|+|PF2|=2a=6， ①
|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2=|F1F2|2，
即|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=12， ②
联立①②，解得|PF1|2+|PF2|2=21，
由中线定理可知，2|OP|2+|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2，
解得|OP|=.
[规律方法]　焦点三角形的面积公式：
P为椭圆(或双曲线)上异于长轴(或实轴)端点的任意一点，F1，F2为其焦点，记∠F1PF2=θ，则在椭圆中，=b2tan；在双曲线中，=.
跟踪演练2　(2025·宁波模拟)已知双曲线C：x2-=1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在C上，且2|AF1|=|AF2|，△AF1F2的面积为2.若∠F1AF2为钝角，则C的焦距为(　　)
A. B.2 C.7 D.14
答案　B
解析　根据双曲线的定义，a2=1，c2=a2+b2=1+b2，|F1F2|=2c，|AF2|-|AF1|=2a=2，
又因为2|AF1|=|AF2|，
可得|AF1|=2，|AF2|=4，
因为△AF1F2的面积为2，
所以|AF1||AF2|sin∠F1AF2=2 ×2×4×sin∠F1AF2=2，解得sin∠F1AF2=，
因为∠F1AF2为钝角，所以∠F1AF2=，
又==2，
所以b2=6，c2=a2+b2=7，
因此双曲线的焦距为2.
考点三　垂径定理
例3　(多选)已知A，B是椭圆+=1(a>b>0)上任意两点，且弦AB不平行于x轴和y轴，弦AB不过坐标原点O，M为线段AB的中点，则有kAB·kOM等于(　　)
A. B.- C.-1 D.e2-1
答案　BD
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则M，
kOM=，kAB=，kAB·kOM=，
∵A，B在椭圆上，代入A，B坐标得
+=1，+=1，
两式相减得+=0，
整理得=-，
∴kAB·kOM=-=e2-1.
[规律方法]　双曲线中的垂径定理：已知A，B是双曲线-=1(a>0，b>0)上任意两点，且弦AB不平行于x轴和y轴，弦AB不过坐标原点O，M为线段AB的中点，则有kAB·kOM==e2-1.
跟踪演练3　(多选)(2025·泸州模拟)已知双曲线C：-=1的左、右焦点分别是F1，F2，其中=2c，过右焦点F2的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，则下列说法中正确的是(　　)
A.弦AB的最小值为
B.若|AB|=m，则△F1AB的周长为2m+4a
C.若AB的中点为M，且AB的斜率为k，则kOM·k=
D.若直线AB的斜率为，则双曲线的离心率e∈[2，+∞)
答案　ABC
解析　对于A，弦AB的最小值为通径，故A正确；
对于B，由双曲线的定义得-=2a，
-=2a，
所以=+2a，=+2a，
+=+2a++2a=|AB|+4a，
则△F1AB的周长=++|AB|=2|AB|+4a=2m+4a，故B正确；
对于C，根据双曲线中的垂径定理可得kAB·kOM=，故C正确；
对于D，
若直线AB的斜率为，所以<，
所以b2<3a2，所以c2<4a2，
所以e=∈，故D错误.
专题强化练
[分值：52分]
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.设直线y=kx与双曲线C：-=1(a>0，b>0)相交于A，B两点，P为C上不同于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，若C的离心率为，则k1·k2等于(　　)
A.3 B.1 C.2 D.
答案　B
解析　由题意可知点A，B关于原点对称，根据双曲线的第三定义可知k1·k2=e2-1，
又由e=，则k1·k2=1.
2.设O为坐标原点，F1，F2为椭圆C：+=1的两个焦点，点P在C上，cos∠F1PF2=，则·等于(　　)
A. B. C.2 D.
答案　A
解析　记∠F1PF2=θ，由焦点三角形公式变形得
|PF1||PF2|=，
即|PF1||PF2|=，
则·=||||cos∠F1PF2=×=.
3.(2025·辽宁模拟)过椭圆C：+=1的左焦点F作倾斜角为45°的直线l与椭圆C交于A，B两点，则+等于(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　方法一　由焦点弦的性质+==.
方法二　由+=1，
得a2=5，b2=4，c2=a2-b2=1，左焦点为(-1，0).
则过左焦点F，倾斜角为45°的直线l的方程为y=x+1.
代入+=1，
得9x2+10x-15=0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1x2=-，x1+x2=-，
又y1y2=(x1+1)·(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=-，
根据弦长公式得
|AB|=×=，
且|AF||BF|=·=·=2|y1y2|=，
所以+==.
4.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作倾斜角为的直线与椭圆相交于A，B两点，若=2，则椭圆C的离心率e为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　由题意得||=2||，则=2· ecos θ= e=.
5.已知直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点(点A在第一象限)，若=4，则△AOB的面积为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　设直线l的倾斜角为θ(0<θ<π)，
由题意知=3，|AF|=，
|BF|=，
∴=3，解得cos θ=，则sin θ=，
又抛物线焦点弦弦长|AB|=，
∴S=|OF|·|AB|·sin θ===.
6.已知F为抛物线C：y2=4x 的焦点，过F作两条互相垂直的直线 l1， l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于 D，E两点，则 |AB|+|DE|的最小值为(　　)
A.16 B.14 C.12 D.10
答案　A
解析　设 l1 的倾斜角为 θ，不妨设θ∈，
那么|AB|==，
因为l1⊥l2，所以 l2 的倾斜角为θ+，
则|DE|==，
求|AB|+|DE|的最小值，即求4在上的最小值，
令f(θ)=4==，θ∈，
当sin22θ=1，即θ=时，f(θ)取得最小值16，即|AB|+|DE|的最小值为16.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.下列与双曲线有关的结论，正确的是(　　)
A.双曲线的焦点到渐近线的距离为常数b
B.双曲线的顶点到渐近线的距离为常数
C.双曲线上任意一点P到两条渐近线的距离乘积为定值
D.过双曲线x2-y2=2上任意一点P(m，n)分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB的面积为2mn
答案　ABC
解析　对于A，B，由点到直线的距离公式知A，B正确；对于C，设双曲线方程为-=1(a>0，b>0)，
过点P作两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，
设P(x0，y0)，则|PA|=，
|PB|=，
|PA|·|PB|=·
=，
又点P(x0，y0)在双曲线上，
所以-=1，b2-a2=a2b2，
即|PA|·|PB|=，C正确；
对于D，双曲线x2-y2=2的渐近线方程为
x+y=0和x-y=0，
直线x+y=0与x-y=0相互垂直，
又PA⊥OA，PB⊥OB，
所以四边形OAPB为矩形，所以四边形OAPB的面积为|PA|·|PB|==1，D错误.
8.已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，若直线AB过抛物线的焦点F且倾斜角为θ，则下列命题正确的是(　　)
A.x1x2=
B.|AB|=x1+x2+p=
C.+=
D.y1y2=-2x1x2
答案　ABC
解析　对于选项A，D，设直线AB的方程为x=my+，代入y2=2px，
可得y2-2pmy-p2=0，Δ>0，
所以y1y2=-p2，
x1x2==，选项A正确，选项D错误；
对于选项B，因为AB是过抛物线y2=2px的焦点的弦，
所以由抛物线定义可得|AB|=|AF|+|BF|=x1++x2+=x1+x2+p，
由选项A知，y1y2=-p2，y1+y2=2pm，
所以+=-2y1y2=4p2m2+2p2.
即+=2p(x1+x2)=4p2m2+2p2，
解得x1+x2=2pm2+p，
当θ=时，m=0，所以|AB|=2p，
当θ≠时，m=，
所以|AB|=+2p=2p =2p=，
当θ=时，sin θ=1也适合上式，所以|AB|=x1+x2+p=，选项B正确；
对于选项C，不妨设θ∈，点A在x轴上方，设A'，B'分别是A，B在准线上的射影，C是A在x轴上的射影，K是准线与x轴的交点，如图，
|AF|=|AA'|=|CK|=p+|CF|=p+|AF|cos θ，
所以|AF|=，同理可得|BF|=，
所以+=，
同理可证θ∈时，等式也成立，选项C正确.
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.已知椭圆C：+=1的左焦点为F，过F且倾斜角为45°的直线l交椭圆C于A，B两点，则|AB|=　　　；若|AF|>|BF|，则|AF|∶|BF|=　　　　.
答案　　3∶1
解析　如图，设∠AFO=α，
则α=45°，由焦点弦公式，
|AB|=
==.
由焦半径公式，
|AF|===2，
|BF|==，所以|AF|∶|BF|=3∶1.
10.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为，与过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线相交于A，B两点.若=3，则k=　　　　.
答案　
解析　设直线的倾斜角为α，α∈，
则|ecos α|=，即=，
即cos α=(负值舍去)，
则sin α=，所以k=tan α=.