专题突破　专题二　第3讲　数列的综合应用 学案

第3讲　数列的综合应用
1.(2023·全国乙卷理，T10)已知等差数列{an}的公差为，集合S={cos an|n∈N*}，若S={a，b}，则ab等于(　　)
A.-1 B.- C.0 D.
2.(2024·北京，T14)汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为65 mm，325 mm，325 mm，且斛量器的高为230 mm，则斗量器的高为　　　　mm，升量器的高为　　　　mm.(不计量器的厚度)
3.(2025·全国Ⅰ卷，T16)已知数列{an}中，a1=3，=+.
(1)证明：数列{nan}为等差数列；
(2)给定正整数m，设函数f(x)=a1x+a2x2+…+amxm，求f'(-2).
命题热度：
本讲是历年高考命题常考的内容，属于中高档题目，三种题型都有所考查，分值约为5~10分.
考查方向：
一是数列的实际应用，主要考查等差数列、等比数列的定义及运算；二是数列与其他知识的结合，主要考查数列与不等式、函数导数、解析几何、概率统计等结合，特别是与概率统计相结合，考查概率统计中的递推关系.
1.答案　B
解析　方法一　由题意得an=a1+(n-1)，
cos an+3=cos
=cos
=cos
=cos
=cos an，
所以数列{cos an}是以3为周期的周期数列，
又cos a2=cos
=-cos a1-sin a1，
cos a3=cos
=-cos a1+sin a1，
因为集合S中只有两个元素，
所以有三种情况：cos a1=cos a2≠cos a3，
cos a1=cos a3≠cos a2，
cos a2=cos a3≠cos a1.
下面逐一讨论：
①当cos a1=cos a2≠cos a3时，
有cos a1=-cos a1-sin a1，
得tan a1=-，
所以ab=cos a1
=-cos2a1+sin a1cos a1
=
=
==-.
②当cos a1=cos a3≠cos a2时，
有cos a1=-cos a1+sin a1，
得tan a1=，
所以ab=cos a1
=-cos2a1-sin a1cos a1
=
=
==-.
③当cos a2=cos a3≠cos a1时，
有-cos a1-sin a1=-cos a1+sin a1，
得sin a1=0，
所以ab=cos a1
=-cos2a1=-(1-sin2a1)=-.
综上，ab=-.
方法二　取a1=-，则cos a1=，
cos a2=cos=，
cos a3=cos=-1，
所以S=，ab=-.
2.答案　23　57.5
解析　设升、斗量器的高分别为h1 mm，h2 mm，
升、斗、斛量器的容积分别为V1 mm3，V2 mm3，V3 mm3，因为升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，所以V3=10V2，
即π××230=10×π××h2，
解得h2=23.
又V2=10V1，
即π××23=10×π××h1，
所以h1=57.5，所以升、斗量器的高分别为57.5 mm，23 mm.
3.(1)证明　在数列{an}中，a1=3，=+，n∈N*，
∴(n+1)an+1=nan+1，即(n+1)an+1-nan=1，又当n=1时，1×a1=3，
∴数列{nan}是以3为首项，1为公差的等差数列.
(2)解　由(1)可知，nan=3+(n-1)×1=n+2，
由题意得f'(x)=a1+2a2x+3a3x2+…+mamxm-1
=3+4x+5x2+…+(m+2)xm-1， ①
又xf'(x)=3x+4x2+5x3+…+(m+1)xm-1+(m+2)xm， ②
①-②得(1-x)f'(x)=3+x+x2+…+xm-1-(m+2)xm，
令x=-2，得3f'(-2)=3+(-2)+(-2)2+…+(-2)m-1-(m+2)(-2)m=3+-(m+2)(-2)m=-(-2)m，
故f'(-2)=-(-2)m.
　　　　　　　　　　　　　　　　
考点一　数列在实际问题中的应用
例1　(1)(2025·昆明模拟)天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙，丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2025年是乙巳年，请问：在100年后的2125年为(　　)
A.癸未年 B.辛丑年
C.乙酉年 D.戊戌年
答案　C
解析　天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，
100÷10=10余0，则2125年对应的天干为乙，
100÷12=8余4，则2125年对应的地支为酉，
所以2125年为乙酉年.
(2)现将一圆形花坛从圆心向外栽种8圈某种花卉，圆心处栽1株(视为第一圈)，第二圈栽3株花卉，从第二圈起，第n圈栽种花卉比第n-1圈多栽种2(n-1)(2≤n≤8，n∈N*)株，则第8圈栽种花卉(　　)
A.57株 B.56株
C.55株 D.54株
答案　A
解析　设第n圈栽种花卉an株，
则an-an-1=2(n-1)，2≤n≤8，n∈N*，
又a1=1，a2=3，
则a8-a7=14，a7-a6=12，a6-a5=10，…，a2-a1=2，
所以a8=(a8-a7)+(a7-a6)+(a6-a5)+…+(a2-a1)+a1
=14+12+10+…+2+1
=+1=57.
[规律方法]　数列应用问题首先要仔细审题，抓住数量关系建立数学模型，再设出数列，判断数列模型，利用数列的定义、公式和性质求解.常见数列模型：
(1)等差模型：后一个量比前一个量增加(或减少)的是同一个固定值.
(2)等比模型：后一个量与前一个量的比是同一个固定的非零常数.
(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，那么应考虑an与an+1(或者相邻三项)之间的递推关系，或者Sn与Sn+1(或者相邻三项)之间的递推关系.
跟踪演练1　(2025·龙岩模拟)一个弹力球从1 m高处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的处，那么在第n次着地后，它经过的总路程超过5 m，则n的最小值是(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
答案　C
解析　设小球第一次落地时经过的路程为a1，第n-1次落地到第n次落地经过的路程为an(n≥2)，
由题意，a1=1，数列{an}从第二项起构成以首项为a2=1××2=，公比为的等比数列，
则第n次着地后经过的路程为
a1+a2+…+an=1+≥5，
即≤，
结合选项，当n=4时，>，
当n=5时，<成立，
所以n的最小值是5.
考点二　数列与其他知识的交汇
考向1　数列与不等式
例2　(2025·湖南省名校联考)已知{an}是无穷等比数列，其前n项和为Sn，a1=1，S2=.若对任意正整数n，都有Sn-(-1)n·A>0，则实数A的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　由a1=1，S2=a1+a2=，
故a2=-，所以公比q=-，
故Sn==，
由Sn-(-1)n·A>0可得-(-1)n·A>0，
当n为奇数时，则+A>0，故A>-，
由于f(n)=-，n∈N*单调递增，且f(n)<-，故A≥-，
当n为偶数时，则-A>0，故A<，
由于g(n)=，n∈N*单调递增，
当n=2时，此时g(n)=取最小值，故A<，综上可得-≤A<，
故实数A的取值范围是.
考向2　数列与函数
例3　(2025·菏泽模拟)对于任意x∈R，xf(x+1)=(x+1)f(x)+1，且f(2)=3，则f(2 025)等于(　　)
A.-1 B.1 C.2 025 D.4 049
答案　D
解析　由xf(x+1)=(x+1)f(x)+1，当x∈N*时，可得=+=+-，赋值可得
利用累加法可得=+-，
代入f(2)=3可得=+-= f(2 025)=4 049.
考向3　数列与几何
例4　(2025·大庆模拟)已知数列{an}为等差数列，且公差d≠0，直线l：anx+an+2y+an+5=0(n∈N*)与圆C：(x-1)2+(y+2)2=1交于A，B两点，则∠ACB的最小值为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　由题意可知，圆C：(x-1)2+(y+2)2=1的圆心为C(1，-2)，半径r=1，
设等差数列{an}的公差为d，
则直线anx+an+2y+an+5=0可化为anx+(an+2d)y+an+5d=0，
即(x+y+1)an+(2y+5)d=0.
令解得
可知直线l过定点D，
如图，当CD⊥AB时，弦长|AB|最小，此时∠ACB最小.
又因为|CD|=，
则|AB|=2=，
在△ACB中，可知|CA|2+|CB|2=|AB|2，则∠ACB=，故∠ACB的最小值为.
考向4　数列与概率统计
例5　将16处景观分别用A1，A2，…，A16表示，某游客按照箭头所示方向(不可逆行)可以任意选择一条路径走向其它景观，并且每个景观至多经过一次，那么他从入口出发，按图中所示方向到达A6有　　　　 种不同的打卡路线；若该游客按上述规则从入口出发到达景观Ai的不同路线有ai条，其中1≤i≤16，i∈N*，记a2n+1=m(1≤n≤7，n∈N*)，则a2i=　　　　(结果用m表示).
答案　8　m-1
解析　由题意知，到达A2点共有1种走法，
到达A3点共有1+1=2(种)走法(一种是经过A2点到达A3，一种是直接到达A3)，
到达A4点共有1+2=3(种)走法(一种是经过A2，一种是经过A3，所以到达A4的走法是将到达A2，A3的走法加起来)，
到达A5点共有2+3=5(种)走法(一种是经过A2和A4，一种是经过A3，所以到达A5的走法是将到达A4，A3的走法加起来)，
到达A6点共有3+5=8(种)走法(一种是经过A2和A4，一种是经过A3和A5，所以到达A6的走法是将到达A4，A5的走法加起来)，故按图中所示方向到达A6有8种不同的打卡路线.
由题意知，a1=1，a2=1，a3=a1+a2=2，a4=a2+a3=3，a5=a3+a4=5，…，an+an+1=an+2(1≤n≤14且n∈N*)，
因为an+an+1=an+2(1≤n≤14且n∈N*)，
所以a1+a2=a3，a3+a4=a5，a5+a6=a7，…，a2n-1+a2n=a2n+1(1≤n≤7且n∈N*)，
将上式累加可得a1+a2+a3+a4+a5+a6+…+a2n-1+a2n=a3+a5+a7+…+a2n+1(1≤n≤7且n∈N*)，
整理可得a1+a2+a4+a6+…+a2n=a2n+1，又a1=1，a2n+1=m，
所以a2+a4+a6+…+a2n=a2n+1-a1=m-1，即a2i=m-1.
[规律方法]　数列与函数、不等式、几何、概率统计的综合问题，是高考命题的一个方向，考查逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养.解决此类问题，一是把数列看成特殊的函数，利用函数的图象、性质求解；二是将新数列问题转化为等差或等比数列，利用特殊数列的概念、公式、性质，结合不等式的相关知识求解.
跟踪演练2　(1)将被3除余2的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，记数列{an}的前n项和为Sn，则的最小值为(　　)
A.20 B.25 C. D.40
答案　B
解析　被3除余2的正整数按照从小到大的顺序所构成的数列是一个首项为2，公差为3的等差数列{an}，则Sn=2n+×3=n2+n，
∴==3n++1
≥2+1=25，
当且仅当3n=，即n=4时，等号成立，故所求最小值为25.
(2)(2025·昆明模拟)已知函数f(x)=x3+x，数列{an}是等差数列，且a1 013<0，则f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a2 024)+f(a2 025)的值(　　)
A.大于0 B.小于0
C.等于0 D.不能确定
答案　B
解析　函数y=x3，y=x均为奇函数且为增函数，则函数f(x)=x3+x为奇函数且为增函数，
由数列{an}是等差数列，
得a1+a2 025=2a1 013<0，即a1<-a2 025，
于是f(a1)即f(a1)+f(a2 025)<0，同理f(a2)+f(a2 024)<0，
f(a3)+f(a2 023)<0，…，f(a1 012)+f(a1 014)<0，f(a1 013)<0，
因此f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a2 024)+f(a2 025)<0.
(3)(2025·辽宁名校联盟模拟)如图，正方形A1B1C1D1的边长为1，取正方形各边的四等分点A2，B2，C2，D2，得到第2个正方形A2B2C2D2，再取正方形A2B2C2D2各边的四等分点A3，B3，C3，D3，得到第3个正方形A3B3C3D3，依此方法一直进行下去，若从第k个正方形开始，它的面积小于第1个正方形面积的，则正整数k的最小值为(参考数据：lg 2≈0.3)(　　)
A.8 B.9 C.10 D.11
答案　C
解析　由已知得正方形的边长成等比数列，第二个正方形的边长为=，
所以其公比为.
设第n个正方形的面积为an，则==(n≥2)，
当n=1时，a1=1，所以an=，
由ak所以(k-1)lg即k-1>===≈=8.5，
所以k>9.5，所以正整数k的最小值为10.
专题强化练
[分值：80分]
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.(2025·上饶模拟)某统计数据共有13个样本xi(i=1，2，3，…，13)，它们依次成公差d=1的等差数列，若这组数据的60%分位数是26，则x13为(　　)
A.32 B.31 C.19 D.18
答案　B
解析　因为数列为公差d=1的等差数列，且13×0.6=7.8，
所以该组数据的60%分位数为x8，由x8=x1+7=26得x1=19.
所以x13=x1+12d=19+12=31.
2.(2025·苏州模拟)在平面直角坐标系中，若直线l：3x+4y+n=0与圆C：(x-2)2+y2=(an>0，n∈N*)相切，则数列{an}的前10项和为(　　)
A. B. C.23 D.27
答案　C
解析　由圆C：(x-2)2+y2=(an>0，n∈N*)，可得圆心为C(2，0)，半径为r=an，
可得圆心C(2，0)到直线l：3x+4y+n=0的距离为d==，
因为直线l：3x+4y+n=0与圆C相切，
则d=r，即an=，{an}为等差数列，
所以数列{an}的前10项和为S10==5×=23.
3.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”. 画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D(第一段圆弧)，再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧…，以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为(　　)
A.44π B.64π C.70π D.80π
答案　D
解析　由题意每段圆弧的圆心角都是，每段圆弧的半径依次增加1，
则第n段圆弧的半径为n，弧长记为an，则an=·n，
所以S15=×(1+2+3+…+15)=80π.
4.(2025·长春模拟)已知递减的等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=2，a1+a2=6a3，若N≤Sn-≤M恒成立，则M-N的最小值为(　　)
A. B. C.2 D.
答案　D
解析　由题可设等比数列{an}的公比为q，0∵a1=2，a1+a2=6a3，
∴2(1+q)=12q2，解得q=-(舍去)或q=，
∴an=2×=，
Sn==4，
∴Sn<4，又Sn≥S1=a1=2，
∴2≤Sn<4，
令t=Sn，∴f(t)=t-，t∈[2，4)，
显然函数f(t)在[2，4)上单调递增，
∴=f(2)≤f(t)故若N≤Sn-≤M恒成立，则N≤，M≥，故M-N≥-=，即M-N的最小值为.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.将函数f(x)=sin(ω>0，x>0)的零点按照从小到大的顺序排列，得到数列{an}，且a1=，则(　　)
A.ω=2
B.f(x)在(1，2)上先单调递增后单调递减
C.a10=
D.数列{an}的前n项和为
答案　BD
解析　由f(x)=0，得ωx-=kπ(k∈Z)，则x=(k∈Z)，
因为ω>0，且a1=，
所以当k=0时，=(当k≤-1且k∈Z时，x<0，不符合题意，舍去)，得ω=π，故f(x)=sin，A错误；
若x∈(1，2)，则πx-∈，
故f(x)=sin在(1，2)上先单调递增后单调递减，B正确；
由于ω=π，故周期为2，所以数列{an}是首项为，公差为1的等差数列，
则a10=+9×1=，数列{an}的前n项和Sn=n+×1=，C错误，D正确.
6.(2025·兰州模拟)如图所示，作边长为3的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆.如此下去，则(　　)
A.第n个圆的面积为
B.这n个圆的半径成公比为的等比数列
C.第一个圆的面积为
D.前n个圆的面积和为π
答案　ABD
解析　设第n个正三角形的内切圆的半径为an，
因为从第二个正三角形开始，每个正三角形的边长是前一个正三角形的，
每个正三角形的内切圆半径也是前一个正三角形内切圆半径的，
即这n个圆的半径成公比为的等比数列，故B正确；
因为a1==，
a2=a1，a3=a2，…，an+1=an，
所以数列{an}是以为首项，为公比的等比数列，
所以an=×，则=×，
则第n个圆的面积为π=××π=，
第一个圆的面积为，故A正确，C错误；
设前n个圆的面积和为Sn，
则Sn=
=×=π=π，故D正确.
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.(2025·南宁模拟)在公差不为0的等差数列{an}中，若a3是ax与ay的等差中项，则+的最小值为　　　　　.
答案　
解析　因为在公差不为0的等差数列{an}中，a3是ax与ay的等差中项，
所以2a3=ax+ay，所以x+y=6，
且x≥1，y≥1，x，y∈N*，
所以+=(x+y)=≥=，
当且仅当=，即x=2，y=4时等号成立，
所以+的最小值为.
8.(2025·唐山模拟)设n∈N*，xn是曲线y=x2n-1-2在点(1，-1)处的切线与x轴交点的横坐标，记an=，则数列{an}的前50项和为　　　　.
答案　
解析　y'=(2n-1)x2n-2，
当x=1时，y'=2n-1，
∴在点(1，-1)处的切线为y-(-1)=(2n-1)(x-1)，
化简得y=(2n-1)x-2n，
令y=0，得x=，即xn=，
∴an=====1+=1+，
则数列{an}的前50项和为a1+a2+a3+…+a50
=50+×
=50+×=50+=.
四、解答题(共28分)
9.(13分)(2025·广州模拟)已知向量a=，b=，函数f(x)=a·b，f(x)的所有大于0的零点构成递增数列{an}.
(1)写出{an}的前6项；(8分)
(2)求{an}的前100项和S100.(5分)
解　(1)由题意得f(x)=sin·cos-sin2=sin πx-(1-cos πx)
=(sin πx+cos πx)-=sin-.
由f(x)=0，得sin=.
所以πx+=2kπ+或πx+=2kπ+，k∈Z.
即x=2k或x=2k+，k∈Z，取其中的正数构成递增数列{an}.
所以{an}的前6项为，2，，4，，6.
(2)依题意
S100=+(2+4+…+100)
=+
=5 025.
10.(15分)(2025·江门模拟)已知数列{an}满足a1=2，且对于任意正整数n，均有nan+1-(n+1)an=n(n+1)，且bn=.
(1)证明：{bn}为等差数列；(5分)
(2)设cn=，Sn为数列{bn}的前n项和，Tn为数列{cn}的前n项和，若-Tn≤对任意的n∈N*恒成立，求实数k的取值范围.(10分)
(1)证明　由题意，等式nan+1-(n+1)an=n(n+1)两边同时除以n(n+1)，可得-=1，
因为bn=，
则bn+1-bn=1，且b1=a1=2，
所以数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列.
(2)解　由(1)可得bn=2+n-1=n+1，
所以cn==，
Sn==，
Tn=+++…+，
则Tn=++…++，
上述两个等式作差可得Tn=+++…+-=+-
=-，
所以Tn=-，
因为-Tn≤对任意的n∈N*恒成立，
即≤=，则k≥，
令xn=，则k≥(xn)max，
xn+1-xn=-=，
当n=1时，x2-x1>0，即x1当n≥2且n∈N*时，xn+1-xn<0，即xn+1所以数列的最大项为x2==，故k≥，因此实数k的取值范围是.
(每小题5分，共10分)
11.(2025·大连模拟)小明同学在如图所示的“汉诺塔”游戏中发现了数列递推的奥妙：有A，B，C三个木桩，A木桩上套有编号分别为1，2，3，4，5，6的六个圆环，规定每次只能将一个圆环从一个木桩移动到另一个木桩，且任意一个木桩上不能出现“编号较大的圆环在编号较小的圆环之上”的情况，现要将这六个圆环全部套到B木桩上，则所需的最少的次数为(　　)
A.31 B.63 C.127 D.128
答案　B
解析　设圆环的个数为n，移动n个圆环所需的最少的次数为an，n∈N*.
当n=1时，即只有1个圆环，从一个木桩移动到另一个木桩，只需移动1次，所以a1=1.
当n>1时，要把n个圆环从A木桩移动到B木桩，我们可以先把上面n-1个圆环从A木桩借助B木桩移动到C木桩，需要an-1次；
然后把最大的第n个圆环从A木桩移动到B木桩，需要1次；
最后再把C木桩上的n-1个圆环借助A木桩移动到B木桩，又需要an-1次.所以可得递推公式an=2an-1+1.
由an=2an-1+1，可得an+1=2(an-1+1).则数列{an+1}是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列，故an+1=2×2n-1=2n，所以an=2n-1.
当n=6时，可得a6=26-1=64-1=63，故所需的最少的次数为63.
12.(5分)(2025·石家庄模拟)已知函数f(x)=x2-nx-1(n∈N*)，xn为函数f(x)的正零点，若an=[xn]([x]表示不超过x的最大整数)，则数列的前10项和S10=　　　　.
答案　
解析　f(x)是关于x的二次函数，其对称轴为直线x=，
因为f(0)=-1<0，且f(x)在区间上单调递增，
所以正零点xn一定在区间内，
又因为f(n)=n2-n·n-1=-1<0，
f(n+1)=(n+1)2-n·(n+1)-1=n>0，
所以xn∈(n，n+1)，所以an=[xn]=n，
则==-，
故S10=1-+-+…+-=1-=.