专题突破　专题六　第1讲　不等式 学案

第1讲　不等式
1.(2025·全国Ⅱ卷，T4)不等式≥2的解集是(　　)
A.{x|-2≤x≤1} B.{x|x≤-2}
C.{x|-2≤x<1} D.{x|x>1}
2.(2025·北京，T6)已知a>0，b>0，则(　　)
A.a2+b2>2ab B.+≥
C.a+b> D.+≤
3.(2021·新高考全国Ⅰ卷，T5)已知F1，F2是椭圆C：+=1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　)
A.13 B.12 C.9 D.6
4.(2021·全国乙卷，文T8)下列函数中最小值为4的是(　　)
A.y=x2+2x+4 B.y=|sin x|+
C.y=2x+22-x D.y=ln x+
5.(多选)(2020·新高考全国Ⅰ卷，T11)已知a>0，b>0，且a+b=1，则(　　)
A.a2+b2≥ B.2a-b>
C.log2a+log2b≥-2 D.+≤
6.(多选)(2022·新高考全国Ⅱ卷，T12)若x，y满足x2+y2-xy=1，则(　　)
A.x+y≤1 B.x+y≥-2
C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1
命题热度：
本讲是历年高考命题常考的内容，特别是基本不等式经常和函数、数列、三角函数、解析几何等相结合考查，高中低档题目都有考查，主要以选择题或填空题的形式进行考查，分值约为5~6分.
考查方向：
一是不等式的解法，主要是结合集合考查一元二次、分式、绝对值不等式的解法；二是三个一元二次之间的关系，不等式恒成立的问题；三是基本不等式，主要考查利用基本不等式求最值，以及基本不等式的应用.
1.答案　C
解析　≥2即为≤0，即故-2≤x<1，
故不等式的解集为{x|-2≤x<1}.
2.答案　C
解析　对于A，当a=b时，a2+b2=2ab，故A错误；
对于B，D，取a=，b=，此时+=2+4=6<=8=，
+=2+4=6>=4=，故B，D错误；
对于C，由基本不等式可得a+b≥2>，故C正确.
3.答案　C
解析　由椭圆C：+=1，得|MF1|+|MF2|=2×3=6，则|MF1|·|MF2|≤=32=9，当且仅当|MF1|=|MF2|=3时等号成立.
4.答案　C
解析　选项A，因为y=x2+2x+4=(x+1)2+3，所以当x=-1时，y取得最小值，且ymin=3，所以选项A不符合题意.
选项B，因为y=|sin x|+≥2=4，所以y≥4，
当且仅当|sin x|=，即|sin x|=2时不等式取等号，但是|sin x|=2不可能成立，因此可知y>4，所以选项B不符合题意.
(或设|sin x|=t，则t∈(0，1]，根据函数y=t+在(0，1]上单调递减可得ymin=1+=5，所以选项B不符合题意.)
选项C，因为y=2x+22-x≥2=4，当且仅当2x=22-x，即x=2-x，即x=1时不等式取等号，所以ymin=4，所以选项C符合题意.
选项D，当0综上，所给函数中最小值为4的是选项C中的函数.
5.答案　ABD
解析　因为a>0，b>0，a+b=1，
所以a+b≥2，
当且仅当a=b=时，等号成立，即有ab≤.
对于A，a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab≥1-2×=，故A正确；
对于B，2a-b=22a-1=×22a，
因为a>0，所以22a>1，即2a-b>，故B正确；
对于C，log2a+log2b=log2ab≤log2=-2，故C错误；
对于D，由(+)2=a+b+2=1+2≤2，得+≤，故D正确.
6.答案　BC
解析　因为ab≤≤(a，b∈R)，
由x2+y2-xy=1可变形为
(x+y)2-1=3xy≤3，
解得-2≤x+y≤2，
当且仅当x=y=-1时，x+y=-2，
当且仅当x=y=1时，x+y=2，所以A错误，B正确；
由x2+y2-xy=1可变形为
(x2+y2)-1=xy≤，
解得x2+y2≤2，当且仅当x=y=±1时取等号，所以C正确；
因为x2+y2-xy=1可变形为
+y2=1，
设x-=cos θ，y=sin θ，
所以x=cos θ+sin θ，
y=sin θ，
因此x2+y2=cos2θ+sin2θ+sin θcos θ=1+sin 2θ-cos 2θ+
=+sin∈，
所以当x=，y=-时满足等式，
但是x2+y2≥1不成立，所以D错误.
考点一　不等式的解法
例1　(1)设集合A={x||x-a|<1}，B=.若A∩B= ，则实数a的取值范围是(　　)
A.{a|0≤a≤6} B.{a|4≤a≤6}
C.{a|a≤0或a≥6} D.{a|2≤a≤4}
答案　C
解析　由|x-a|<1得，-1即a-1所以A={x|a-1由<-1得，<0，解得1所以B={x|1因为A∩B= ，所以a+1≤1或a-1≥5，
解得a≤0或a≥6，即实数a的取值范围是{a|a≤0或a≥6}.
(2)(2025·济南模拟)已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则实数k的取值范围为(　　)
A.[-5，3) B.[2，3)
C.[2，3)∪[4，5) D.[-5，3)∪(4，5]
答案　D
解析　由x2-2x-8>0，即(x-4)(x+2)>0，解得x<-2或x>4，
由2x2+(2k+7)x+7k<0，即(2x+7)(x+k)<0，
当k=时，不等式(2x+7)(x+k)<0即为2<0，无解；
当k>时，不等式(2x+7)(x+k)<0的解集为，
结合题意，此时原不等式组的解集为，且仅有一个整数解，
所以-5≤-k<-4，即4当k<时，不等式(2x+7)(x+k)<0的解集为，
结合题意，要使不等式组仅有一个整数解，
则-3<-k≤5，即-5≤k<3.
综上所述，实数k的取值范围为[-5，3)∪(4，5].
[规律方法]　对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类.
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数.
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论.
跟踪演练1　(2025·南通模拟)已知关于x的一元二次不等式x2-bx+2b-3<0的解集为(x1，x2)，+<2，则实数b的取值范围是　　　　.
答案　
解析　因为关于x的一元二次不等式x2-bx+2b-3<0的解集为(x1，x2)，
即关于x的一元二次方程x2-bx+2b-3=0的两根为x1，x2，
则
所以
解得b<或b>6.
故实数b的取值范围是.
考点二　基本不等式
例2　(1)(多选)(2025·曲靖模拟)已知正数a，b满足a+2b=1，则(　　)
A.ab的最大值为
B.a2+4b2的最小值为
C.+的最大值为2
D.2a+4b的最小值为2
答案　ABD
解析　对于A，因为a，b是正数，所以1=a+2b≥2 ab≤，当且仅当a=2b，即a=，b=时取等号，所以ab的最大值为，A正确；
对于B，因为a，b是正数，≤ a2+4b2≥，当且仅当a=2b，即a=，b=时取等号，a2+4b2的最小值为，B正确；
对于C，因为(+)2=a+2b+2=1+2≤1+2=2，当且仅当a=2b，即a=，b=时取等号，+≤，+的最大值为，C错误；
对于D，2a+4b=2a+22b≥2=2=2，当且仅当2a=22b，即a=2b，即a=，b=时取等号，2a+4b的最小值为2，D正确.
(2)(2025·重庆模拟)已知x2+y2=2x2y2(xy≠0)，则2-x2-9y2的最大值为(　　)
A.6 B.-6 C.8 D.-8
答案　B
解析　由x2+y2=2x2y2(xy≠0)，
两边同时除以x2y2，得+=2，
x2+9y2=(x2+9y2)×
=
≥=8，
当且仅当=，即x2=3y2=2时取等号，
所以2-x2-9y2=2-(x2+9y2)≤2-8=-6，
故2-x2-9y2的最大值为-6.
[规律方法]　基本不等式求最值
(1)前提：“一正”“二定”“三相等”.
(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.
(3)条件最值的求解通常有五种方法：一是直接法；二是配凑法；三是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；四是消元法；五是构造不等式法.
跟踪演练2　(1)若x>0，y>0，x+2y=5，则的最小值为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　因为x>0，y>0，x+2y=5，
所以5=x+2y≥2，
所以xy≤，当且仅当x=，y=时等号成立，所以≥，即的最小值为.
(2)(2025·泉州模拟)若x≥0，y≥0，且+=1，则3x+4y的最小值为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.8
答案　B
解析　因为x≥0，y≥0，则x+1≥1，2x+4y≥0，
由题意可知2x+4y≠0，则2x+4y>0，
3x+4y=(3x+4y+1)-1
=[(x+1)+(2x+4y)]-1
=2++-1
≥2+2-1=3，
当且仅当
即时等号成立，
所以3x+4y的最小值是3.
考点三　不等式的综合应用
例3　(2025·昭通模拟)已知a>0，b∈R，若关于x的不等式(ax-1)(x2+bx-8)≥0在(0，+∞)上恒成立，则b+的最小值为　　　　　.
答案　8
解析　因为关于x的不等式(ax-1)(x2+bx-8)≥0在(0，+∞)上恒成立，
所以是方程x2+bx-8=0的根，
则+b·-8=0，即b=8a-，且a>0，
所以b+=8a+≥2=8，当且仅当8a=，即a=，b=2时取等号，故b+的最小值为8.
[规律方法]　基本不等式常作为工具，与函数、导数、数列、三角、向量、复数、简易逻辑问题、立体几何、解析几何、实际问题、新定义问题等考点交汇，常常需要借助不等式来解决其中的最值问题.
跟踪演练3　(多选)(2024·邢台模拟)如图，曲线C的形状是一个斜椭圆，其方程为x2+y2-xy=6，点P(m，n)是曲线C上的任意一点，点O为坐标原点，则下列说法正确的是(　　)
A.曲线C关于直线y=x对称
B.m+n的最大值为2
C.该椭圆的离心率为
D.n的最大值为2
答案　ABD
解析　将曲线C方程中的x与y对调后，该方程不变，所以曲线C关于直线y=x对称，A正确；
由题意知m2+n2-mn=6，因为m2+n2≥，
mn≤，所以m2+n2-mn=6≥，则m+n≤2，当且仅当m=n=时等号成立，所以m+n的最大值为2，B正确；
联立方程解得顶点坐标为(，)和(-，-)，所以椭圆的长轴长为2a=4 a=2，同理可得另外两个顶点坐标为(，-)和(-，)，所以椭圆的短轴长为2b=4 b=2，所以c===2，所以该椭圆的离心率e===，C错误；
将m2+n2-mn=6看作关于m的一元二次方程，令Δ=n2-4(n2-6)≥0，解得-2≤n≤2，所以n的最大值为2，D正确.
专题强化练
[分值：84分]
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1.(2025·广安模拟)不等式≥1的解集是(　　)
A.{x|x<-1或-1B.{x|-1≤x≤2}
C.{x|x≤2}
D.{x|-1答案　D
解析　因为≥1，所以-1=≥0，
即≤0，可得
解得-1故原不等式的解集是{x|-12.(2025·石家庄模拟)如果ab>0，那么“a>b”是“<”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　C
解析　若ab>0，a>b，则b-a<0，
则-=<0，
即<，充分性成立；
若ab>0，<，则-=<0，则b-a<0，即a>b，必要性成立，所以如果ab>0，那么“a>b”是“<”的充要条件.
3.(2025·菏泽模拟)已知a>1，b>1，且ab=4，则log2a·log2b的最大值为(　　)
A. B.1 C.4 D.16
答案　B
解析　log2a·log2b≤==1，当且仅当log2a=log2b=1，即a=b=2时取等号，故log2a·log2b的最大值为1.
4.若对x∈[1，4]，不等式x2+ax-1≥0有解，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C.{a|a≥0} D.
答案　D
解析　方法一　因为对x∈[1，4]，不等式x2+ax-1≥0有解，
则a≥-x+在x∈[1，4]上有解，
又因为y=-x和y=在[1，4]上单调递减，
所以f(x)=-x+在[1，4]上单调递减，
f(x)min=f(4)=-4+=-，
即a≥-.
方法二　因为对x∈[1，4]，不等式x2+ax-1≥0有解，
设g(x)=x2+ax-1，则g(x)max≥0，
即g(1)≥0或g(4)≥0，解得a≥-.
5.(2025·北京朝阳区模拟)已知向量a=(x，1)，b=(3，-y)，c=(1，1)，若a，b在c上的投影向量相等，则x2+y2的最小值为(　　)
A.2 B.1 C. D.
答案　A
解析　由题意得·=·，
可得a·c=b·c，
故x+1=3-y，即x+y=2，
所以x2+y2≥=2，
当且仅当x=y=1时取等号，
所以x2+y2的最小值为2.
6.(2025·临沂模拟)已知{an}为正项等差数列，若4a3-a7=8，则a1a3的最大值为(　　)
A.4 B.6 C.8 D.10
答案　C
解析　设等差数列{an}的公差为d，
则4a3-a7=4(a1+2d)-(a1+6d)=3a1+2d=8，
解得a1=，
由于{an}为正项等差数列，
则解得0a1a3=·=
=(8-2d)(4+2d)≤·=8，
当且仅当8-2d=4+2d，即d=1，a1=2时等号成立，所以a1a3的最大值为8.
7.(2025·哈尔滨模拟)已知圆柱的底面半径为r，圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，若圆柱和圆台的高和体积都相等，则(　　)
A.2rr1+r2
C.r2=r1r2 D.r2答案　B
解析　不妨设圆柱和圆台的高为h，
由体积公式可知πr2h=π(++r1r2)h，
即r2=++r1r2)，
则4r2-(r1+r2)2=++r1r2)-(++2r1r2)=(r1-r2)2，
因为在圆台中，r1≠r2，所以(r1-r2)2>0，
即4r2>(r1+r2)2，2r>r1+r2，故A错误，B正确；
由基本不等式，结合r1≠r2，得<平方后得到r2>r1r2，故C，D错误.
8.(2025·萍乡模拟)若不等式x(x+a)ln(x+a)≥0恒成立，则a的取值集合为(　　)
A.{1} B.(0，1]
C. D.[1，+∞)
答案　A
解析　设x+a=t，则x=t-a，t>0，
原不等式可化为(t-a)tln t≥0.
因为t>0，所以(t-a)ln t≥0，
当0当t=1时，ln t=0，所以(t-a)ln t≥0恒成立；
当t>1时，ln t>0，所以t-a≥0在t∈(1，+∞)上恒成立，即a≤1.
综上可得，a=1.
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9.(2025·汕头模拟)若关于x的不等式ax2-bx+c>0的解集为M={x|-1A.a<0
B.不等式cx2+bx+a>0的解集为{x|1C.4a+2b+c<0
D.函数y=ax2+bx+c在上单调递增
答案　ACD
解析　对于A，由题意得，方程ax2-bx+c=0的两个实数根为-1和2，且a<0，故A正确；
由根与系数的关系得
即
对于B，不等式cx2+bx+a>0可化为-2ax2+ax+a>0，即2x2-x-1>0，解得x>1或x<-，故B错误；
对于C，因为b=a，c=-2a，且a<0，故4a+2b+c=4a+2a-2a=4a<0，故C正确；
对于D，y=ax2+bx+c即y=ax2+ax-2a=a-，因为a<0，所以该函数在上单调递增，故D正确.
10.(2025·临沂模拟)已知a>b>c，则下列不等式正确的是(　　)
A.< B.ab2>cb2
C.a+b>c D.a2+c2>b2
答案　AD
解析　对于A，-==，
因为a>b>c，所以c-b<0，a-c>0，a-b>0，
即<0，所以<，故A正确；
对于B，取a>b=0>c，此时ab2=cb2=0，故B错误；
对于C，取a=-1>b=-2>c=-3，则a+b=c=-3，故C错误；
对于D，若b=0，则a2+c2>b2=0显然成立，
若b>0，则a2+c2≥a2>b2成立，
若b<0，则a2+c2≥c2>b2成立，
综上所述，只要a>b>c，就一定有a2+c2>b2，故D正确.
11.已知a>0，b>0，a2+b2-ab=2，则下列不等式恒成立的是(　　)
A.+≤ B.ab≤2
C.a+b≤2 D.a2+b2≥4
答案　BC
解析　对于B，由a2+b2≥2ab，可得ab+2≥2ab，解得ab≤2，
当且仅当a=b=时，等号成立，故B正确；
对于A，由a>0，b>0，得+≥，而ab≤2，所以≥，所以+≥，当且仅当a=b=时，等号成立，故A错误；
对于C，由ab≤，a2+b2-ab=2，得(a+b)2-2=3ab≤，解得(a+b)2≤8，即a+b≤2，当且仅当a=b=时，等号成立，故C正确；
对于D，由ab≤，a2+b2-ab=2，得a2+b2-2=ab≤，解得a2+b2≤4，当且仅当a=b=时，等号成立，故D错误.
三、填空题(每小题5分，共15分)
12.(2025·合肥模拟)已知F1，F2是椭圆C：+=1的两个焦点，点M在C上，则+的最小值为　　　　　.
答案　
解析　由题意得|MF1|+|MF2|=6，
所以+
=×(|MF1|+|MF2|)
=
≥=，
当且仅当|MF1|=|MF2|=3时，取等号，
所以+的最小值为.
13.(2025·赣州模拟)若关于x的不等式x2+2(m-1)x+m2-m<0的解集为(x1，x2)，且+=2，则实数m的值为　　　　.
答案　-1
解析　因为关于x的不等式x2+2(m-1)x+m2-m<0的解集为(x1，x2)，
所以x1+x2=-2(m-1)，x1x2=m2-m，
Δ=4(m-1)2-4(m2-m)>0，解得m<1，
因为+==2，
所以=2，解得m=-1.
14.(2025·白银模拟)若正实数a，b满足a+b=1，则+的最小值是　　　　.
答案　
解析　方法一　设a+1=s，b+2=t，
则s+t=a+b+3=4，
∵+=+=s-2++t-4+=s+t++-6=+-2，
∴+=(s+t)
=≥=，
当且仅当s=，t=，即a=，b=时取等号，
∴+≥-2=，故所求最小值是.
方法二　∵a+b=1，∴a+1+b+2=4，
∴+=(a+1+b+2)
=
≥
=(a2+2ab+b2)=(a+b)2=，
当且仅当a=，b=时取等号，故所求最小值是.
(15题5分，16题6分，共11分)
15.(2025·鞍山模拟)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数y=ax(a>1)的图象上两个不同的点，则(　　)
A.loga<
B.loga>
C.logaD.loga>x1+x2
答案　B
解析　由题意不妨设x1因为函数y=ax(a>1)是增函数，
所以0<<，即0对于选项A，B，因为=>=>0，即>>0，
且函数y=logax是增函数，
所以loga>loga=，故B正确，A错误；
对于选项C，例如a=2，x1=-1，x2=-2，则y1=，y2=，
可得log2=log2=log23-3∈(-2，-1)，
即log2>-3=x1+x2，故C错误；
对于选项D，例如a=2，x1=0，x2=1，则y1=1，y2=2，可得log2=log2∈(0，1)，
即log2<1=x1+x2，故D错误.
16.(多选)(2025·成都模拟)已知集合S={(x，y)|x>0，y>0，x+y=6，且xy-3k≥0}(k>0)，则称集合S为k-分集.下列说法正确的是(　　)
A.当k=3时，{(3，3)}是唯一的k-分集
B.对任意k>3，总存在至少一个k-分集
C.若S是2-分集，则|x-y|>2
D.若S是1-分集，则(x-2)2+(y-4)2<24
答案　AD
解析　由x>0，y>0，x+y=6，得xy≤==9，当且仅当x=y=3时等号成立，即(xy)max=9.
对于A，当k=3时，则S={(x，y)|x>0，y>0，x+y=6，且xy≥9}，又xy≤9，故S={(x，y)|x=y=3}={(3，3)}，故A正确；
对于B，当k>3时，xy≥3k>9，不符合(xy)max=9，故B不正确；
对于C，当k=2时，xy≥6，所以|x-y|=≤==2，故C不正确；
对于D，当k=1时，xy≥3，又x>0，y>0，x+y=6，所以x(6-x)≥3，解得3-≤x≤3+，(x-2)2+(y-4)2=(x-2)2+(6-x-4)2=2(x-2)2≤2(1+)2=14+4<24，故D正确.