专题突破　专题六　第2讲　函数的图象与性质 学案

第2讲　函数的图象与性质
1.(2024·全国甲卷，理T7)函数f(x)=-x2+(ex-e-x)sin x在区间[-2.8，2.8]的图象大致为(　　)
2.(2025·全国Ⅰ卷，T5)已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)=5-2x，则f 等于(　　)
A.- B.- C. D.
3.(多选)(2022·新高考全国Ⅰ卷，T12)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R，记g(x)=f'(x).若f ，g(2+x)均为偶函数，则(　　)
A.f(0)=0 B.g=0 C.f(-1)=f(4) D.g(-1)=g(2)
4.(2023·全国甲卷文，T14)若f(x)=(x-1)2+ax+sin为偶函数，则a=　　　　.
命题热度：
本讲是历年高考命题必考的内容，高中低档题目都有考查，主要以选择题或填空题的形式进行考查，分值约为10~12分.
考查方向：一是函数的性质，主要考查函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及其性质的综合应用；二是基本初等函数，主要考查幂指对函数的图象与性质；三是函数的图象，主要考查画图、识图以及图象的应用.
1.答案　B
解析　f(-x)=-x2+(e-x-ex)sin(-x)
=-x2+(ex-e-x)sin x=f(x)，
又函数f(x)的定义域为[-2.8，2.8]，
故该函数为偶函数，可排除A，C，
又f(1)=-1+sin 1>-1+sin=-1->->0，
故可排除D.
2.答案　A
解析　由题意知f(x)=f(-x)，f(x+2)=f(x)对一切x∈R成立，
于是f =f =f =5-2×=-.
3.答案　BC
解析　方法一　(转化法)因为f ，g(2+x)均为偶函数，
所以f =f ，
即f =f ，
g(2+x)=g(2-x)，
所以f(3-x)=f(x)，g(4-x)=g(x)，
则f(-1)=f(4)，故C正确；
函数f(x)，g(x)的图象分别关于直线x=，x=2对称，
又g(x)=f'(x)，且函数f(x)可导，
所以g=0，g(3-x)=-g(x)，
所以g(4-x)=g(x)=-g(3-x)，
所以g(x+2)=-g(x+1)=g(x)，
所以g=g=0，
g(-1)=g(1)=-g(2)，故B正确，D错误；
若函数f(x)满足题设条件，
则函数f(x)+C(C为常数)也满足题设条件，
所以无法确定f(0)的函数值，故A错误.
方法二　(特例法)因为f ，g(2+x)均为偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x=对称，函数g(x)的图象关于直线x=2对称.取符合题意的一个函数f(x)=1(x∈R)，则f(0)=1，排除A；
取符合题意的一个函数f(x)=sin πx，则f'(x)=πcos πx，即g(x)=πcos πx，所以g(-1)=πcos(-π)=-π，g(2)=πcos 2π=π，所以g(-1)≠g(2)，排除D.故选BC.
4.答案　2
解析　∵f(x)=(x-1)2+ax+sin
=(x-1)2+ax+cos x=x2+(a-2)x+1+cos x，
且函数为偶函数，
∴a-2=0，解得a=2.
经验证，当a=2时满足题意.
考点一　函数的性质
例1　(1)(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)=在R上单调递增，则a的取值范围是(　　)
A.(-∞，0] B.[-1，0]
C.[-1，1] D.[0，+∞)
答案　B
解析　因为f(x)在R上单调递增，
且x≥0时，f(x)=ex+ln(x+1)单调递增，
则需满足
解得-1≤a≤0，
即a的取值范围是[-1，0].
(2)(多选)(2025·银川模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=-f ，f(-1)=1，f(0)=-2，且f 为奇函数，则(　　)
A.f(x)为奇函数
B.f(x)为偶函数
C.f(x)是周期为3的周期函数
D.f(0)+f(1)+…+f(30)=-2
答案　BCD
解析　对于A，因为f(x)是定义在R上的函数，且f(0)=-2，所以f(x)不是奇函数，故A错误；
对于B，因为f 为奇函数，所以f =-f ，
由f(x)=-f 可得，
f =-f =-f ，
所以-f =-f ，
即f =f ，
所以f(-x)=f(x)，即f(x)是偶函数，故B正确；
对于C，由f(x)=-f 可得，f(x+3)=-f =f(x)，所以f(x)是周期为3的周期函数，故C正确；
对于D，f(2)=f(-2)=f(1)=f(-1)=1，
所以f(0)+f(1)+f(2)=0，由周期性可得，
f(0)+f(1)+…+f(30)=10[f(0)+f(1)+f(2)]+f(0)=-2，故D正确.
[规律方法]　(1)函数的奇偶性的判断方法有定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数)；函数单调性的判断方法有定义法、图象法、导数法、性质法(在共同的单调区间内，增函数+增函数为增函数等)；函数的单调性和奇偶性的联系密切，涉及比较大小、解不等式、求函数最值(值域)、零点等.
(2)函数的周期性和对称性的常用结论
①若f(x+a)=-f(x)，则f(x)的一个周期为2|a|.
②若f(x)的图象关于直线x=a和x=b对称，则f(x)的一个周期为2|a-b|.
③若f(x)的图象关于点(a，0)和直线x=b对称，则f(x)的一个周期为4|a-b|.
④若函数f(x)满足关系式f(a+x)+f(a-x)=2b，则函数y=f(x)的图象关于点(a，b)对称.
⑤若函数f(x)满足关系式f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=对称.
跟踪演练1　(1)(2025·黄冈模拟)已知函数f(x)=sin x+ex-e-x，若a=f(-2)，b=f ，c=f(ln 2)，则(　　)
A.aC.c答案　A
解析　由f(x)=sin x+ex-e-x得，
f'(x)=cos x+ex+e-x，
∵ex+e-x≥2=2，
当且仅当ex=e-x，即x=0时等号成立，
而cos x∈[-1，1]，∴f'(x)=cos x+ex+e-x>0，
即f(x)在R上单调递增，
∵-2<=ln ∴f(-2)(2)(多选)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)，f(1)=1，则(　　)
A.f(0)=2
B.f(3-x)=f(3+x)
C.f(x)是周期函数
D.f(x)的解析式可能为f(x)=2sinx
答案　ABC
解析　由f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)，
f(1)=1，
令x=1，y=0，有f(1)+f(1)=f(1)f(0)，
可得f(0)=2，故A正确；
令x=0，则f(y)+f(-y)=f(0)f(y)=2f(y)，
则f(y)=f(-y)，
又f(x)的定义域为R，故函数f(x)是偶函数，
而f(x)=2sinx为奇函数，故D错误；
令y=1，则f(x+1)+f(x-1)=f(x)f(1)=f(x)，
所以f(x+1)=f(x)-f(x-1)，
则f(x)=f(x-1)-f(x-2)，
f(x+1)=[f(x-1)-f(x-2)]-f(x-1)
=-f(x-2)，
所以f(x)=-f(x-3)=f(x-6)，则f(x)的一个周期为6，故C正确；
由于f(x)为偶函数且一个周期为6，
故f(3-x)=f(x-3)=f(3+x)，故B正确.
考点二　基本初等函数
例2　(1)(多选)已知幂函数f(x)=(8m2-5)，则(　　)
A.m=±
B.f(x)的定义域为R
C.f(x)为非奇非偶函数
D.不等式f(2x+1)>f(5-x)的解集为
答案　AC
解析　由幂函数f(x)=(8m2-5)知，8m2-5=1，解得m=±，故A正确；
f(x)==，则f(x)的定义域为[0，+∞)，所以f(x)为非奇非偶函数，故B错误，C正确；
由f(x)=知，函数f(x)在[0，+∞)上单调递增，
由f(2x+1)>f(5-x)可得，0≤5-x<2x+1，解得f(5-x)的解集为，故D错误.
(2)(2025·全国Ⅰ卷)已知2+log2x=3+log3y=5+log5z，则x，y，z的大小关系不可能为(　　)
A.x>y>z B.x>z>y
C.y>x>z D.y>z>x
答案　B
解析　方法一　设2+log2x=3+log3y=5+log5z=m，
令m=2，则x=1，y=3-1=，z=5-3=，此时x>y>z，A有可能；
令m=5，则x=8，y=9，z=1，此时y>x>z，C有可能；
令m=8，则x=26=64，y=35=243，z=53=125，此时y>z>x，D有可能.
方法二　设2+log2x=3+log3y=5+log5z=t，
则x=2t-2，y=3t-3，z=5t-5.
当x>y时，2t-2>3t-3，解得t<<5；
当z>y时，5t-5>3t-3，解得t>>5.
因此当x>z>y时，t无解，故选B.
[规律方法]　(1)指数函数、对数函数的图象与性质受底数a的影响，解决与指数函数、对数函数有关的问题时，首先要看底数a的取值范围.
(2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化.
跟踪演练2　(1)已知函数f(x)=的值域为M.若(1，+∞) M，则实数a的取值范围是(　　)
A.
B.
C.∪
D.
答案　B
解析　当a=0时，f(x)=2-x+1∈(0，+∞)，符合题意；
当a≠0时，因为函数f(x)=的值域为M，且满足(1，+∞) M，
由指数函数的单调性可知，二次函数y=ax2-x+1的最小值ymin≤0，
当a>0时，依题意有y=ax2-x+1的最小值≤0，即0当a<0时，不符合题意.综上，0≤a≤.
(2)(2025·北京)在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T=klog2N(单位：小时)，其中k为常数.在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加(单位：小时)(　　)
A.2 B.4 C.20 D.40
答案　B
解析　设当N取106个单位，1.024×109个单位，4.096×109个单位时所需时间分别为T1，T2，T3，
由题意，T1=klog2106=6klog210，
T2=klog2(1.024×109)=klog2(210×106)=k(10+6log210)，
T3=klog2(4.096×109)=klog2(212×106)=k(12+6log210)，
因为T2-T1=k(10+6log210)-6klog210=10k=20，所以k=2，
所以T3-T2=k(12+6log210)-k(10+6log210)=2k=4，
所以当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加4小时.
考点三　函数的图象
例3　 (1)(2025·成都模拟)函数f(x)=的部分图象大致为(　　)
答案　D
解析　根据题意，函数f(x)的定义域为R，
且f(-x)==-=-f(x)，
所以函数f(x)为奇函数，图象关于原点对称，排除A，B；
又当x∈(0，1)时，πx∈(0，π)，所以sin πx>0，且ex+e-x>0恒成立，
则f(x)>0，排除C，所以只有D满足.
(2)已知函数f(x)=若aA.(0，e] B.(0，e)
C.[e，+∞) D.(e，+∞)
答案　A
解析　因为f(x)=
当x>0时，f(x)=|ln x|=
所以f(x)在(1，+∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减，且f=f(e)=1；
当x≤0时，f(x)=2x，所以f(x)在(-∞，0)上单调递增，且f(0)=1，
所以f(x)的图象如图所示，又a结合图象可知，0所以0[规律方法]　(1)确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特殊点排除不符合要求的图象.
(2)函数图象的应用主要体现为数形结合思想，借助于函数图象的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题.
跟踪演练3　(1)(2025·天津)已知函数y=f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为(　　)
A.f(x)=
B.f(x)=
C.f(x)=
D.f(x)=
答案　D
解析　由题图可知，该函数为偶函数，而函数f(x)=和函数f(x)=为奇函数，故A，B错误；
又当x∈(0，1)时，1-x2>0，x2-1<0，此时f(x)=>0，f(x)=<0，由题图可知当x∈(0，1)时，f(x)<0，故C错误，D正确.
(2)已知a>0，且a≠1，则函数y=loga的图象一定经过(　　)
A.第一、二象限 B.第一、三象限
C.第二、四象限 D.第三、四象限
答案　D
解析　当x=0时，y=loga=-1，则当0当a>1时，如图2，函数图象经过第一、三、四象限，
所以函数y=loga的图象一定经过第三、四象限.
专题强化练
[分值：85分]
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1.函数y=f(x)的图象与函数y=3x的图象关于直线y=x对称，则f +f(9)等于(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案　A
解析　因为函数y=f(x)的图象与函数y=3x的图象关于直线y=x对称，所以f(x)=log3x，所以f +f(9)=log3+log39=-1+2=1.
2.(2025·天津滨海新区模拟)已知a=30.9，b=log29，c=e-ln 3，则(　　)
A.b>a>c B.b>c>a
C.c>a>b D.a>c>b
答案　A
解析　由题意得，c=e-ln 3==<1=30a>c.
3.(2025·西安模拟)若函数f(x)=在(1，+∞)上单调，则实数a的取值范围是(　　)
A.[-2，+∞) B.[-1，+∞)
C.(-∞，-2] D.(-∞，-1]
答案　A
解析　因为函数y=2x在R上为增函数，y=x2+ax-3在上单调递减，在上单调递增，
且函数f(x)=在(1，+∞)上单调，
根据复合函数的单调性，可得-≤1，即a≥-2，
所以实数a的取值范围是[-2，+∞).
4.(2025·石家庄模拟)已知函数g(x)=ax2+bx+a-b，其中a，b为常数，若函数f(x)=的图象如图所示，则(　　)
A.g(x)的图象与坐标轴有三个交点
B.g(x)的图象的对称轴在y轴左侧
C.关于x的方程g(x)=1有两个不等实根
D.g(x)在区间(1，+∞)上单调递增
答案　D
解析　函数f(x)的图象在R上为减函数，则0<<1，即a>1，又图象经过点(-1，1)，即f(-1)==1，故得-1-b=0，解得b=-1，
于是g(x)=ax2-x+a+1为开口向上的抛物线，对称轴为直线x=，又∈，故B错误；
由g(x)在上单调递增，得g(x)在区间(1，+∞)上单调递增，故D正确；
令g(x)=ax2-x+a+1=0，
因为a>1，所以Δ=1-4a(a+1)<0，所以函数g(x)的图象与x轴没有交点，与y轴有唯一交点，即g(x)的图象与坐标轴只有一个交点，故A错误；
对于C，方程g(x)=1即为ax2-x+a=0，又a>1，故Δ=1-4a2<0，所以方程无实数根，故C错误.
5.(2025·沧州模拟)已知a>0，且f(x)=ln为奇函数，则(　　)
A.f >f >0
B.f >f >0
C.f >0>f
D.f >0>f
答案　A
解析　方法一　因为f(x)的定义域为，f(x)为奇函数，所以a=3，则f(x)=ln=ln，
因此f(x)在上为增函数，
f =f ，f =f ，且>>>0>-，
所以f >f >f(0)=0，
故f >f >0.
方法二　因为f(x)=ln为奇函数，所以f(-x)+f(x)=0，
故ln+ln=ln=0，
所以=1，所以a2=9，又a>0，所以a=3，
所以f(x)=ln，
又f =f =ln 3，
f =f =ln 2，
因为ln 3>ln 2>0，故f >f >0.
6.(2025·赣州模拟)已知a=log23+log32，b=log45+log54，则下列结论正确的是(　　)
A.a>b>2 B.a>2>b
C.b>a>2 D.2>a>b
答案　A
解析　设f(x)=x+，x>0，
易知f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，则f(x)min=f(1)=2，
且a=log23+log32=log23+=f(log23)，
b=log45+log54=log45+=f(log45)，
因为log23>log2=log45>1，
所以f(log23)>f(log45)>f(1)，即a>b>2.
7.(2025·北京)已知函数f(x)的定义域为D，则“函数f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x0∈D，使得|f(x0)|>M”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　A
解析　若函数f(x)的值域为R，则对任意M∈R，一定存在x1∈D，使得f(x1)=|M|+1，
取x0=x1，则|f(x0)|=|M|+1>M，充分性成立；
取f(x)=2x，D=R，则对任意M∈R，一定存在x1∈D，使得f(x1)=|M|+1，
取x0=x1，则|f(x0)|=|M|+1>M，但此时函数f(x)的值域为(0，+∞)，必要性不成立；
所以“函数f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x0∈D，使得|f(x0)|>M”的充分不必要条件.
8.下列可以作为方程x3+y3=4xy的图象的是(　　)
答案　D
解析　当x<0时，x3=4xy-y3=y(4x-y2)<0，
若y<0，则4x-y2>0，即y2<4x<0，不成立，
故x<0，y<0不可能同时成立，故A，B，C错误.
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9.(2025·北京东城区模拟)已知f(x)=下列选项中，不能使f(x)既是奇函数又是增函数的是(　　)
A.g(x)=x B.g(x)=x2
C.g(x)=ex D.g(x)=ln|x|
答案　ACD
解析　对于A选项，函数f(x)的图象如图①中实线部分所示，符合题意；
对于B选项，函数f(x)的图象如图②中实线部分所示，不符合题意；
对于C选项，函数f(x)的图象如图③中实线部分所示，符合题意；
对于D选项，函数f(x)的图象如图④中实线部分所示，符合题意.
10.(2025·白银模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(-x)+f(x+2)=6，且 t≠0，tf(x+t)-tf(x)<0，则下列说法正确的是(　　)
A.函数y=f(x+1)-3为偶函数
B.函数f(x)为减函数
C.函数f(x)的图象关于点(1，3)中心对称
D.f(3x-2)-3>0的解集为(1，+∞)
答案　BC
解析　因为f(-x)+f(x+2)=6，所以f(-x+1)-3=-[f(x+1)-3]，
所以函数y=f(x+1)-3为奇函数，
函数f(x)的图象关于点(1，3)中心对称，故A错误，C正确；
因为 t≠0，tf(x+t)-tf(x)<0，即t[f(x+t)-f(x)]<0，当t>0时，f(x+t)当t<0时，f(x+t)>f(x)，所以函数f(x)为减函数，故B正确；
令x=-1，则f(1)+f(-1+2)=6，所以f(1)=3，
则f(3x-2)-3>0等价于f(3x-2)>f(1)，
因为函数f(x)为减函数，
所以3x-2<1，即x<1，故f(3x-2)-3>0的解集为(-∞，1)，故D错误.
11.(2025·深圳模拟)已知函数f(x)的定义域为R，f(f(x+y))=f(x)+f(y)，f(1)=1，则(　　)
A.f(0)=0
B.f(x)的图象关于点(0，0)中心对称
C.f(x)的图象关于直线x=对称
D.f(2 025)=2 025
答案　ABD
解析　对于A，令x=1，y=0，则f(f(1))=f(1)+f(0)，因为f(1)=1，所以f(1)=f(1)+f(0)，解得f(0)=0，故A正确；
对于B，令y=-x，则f(f(x-x))=f(x)+f(-x)，即f(f(0))=f(x)+f(-x)，
由A可知，f(0)=0，所以f(0)=f(x)+f(-x)=0，即f(-x)=-f(x)，
所以f(x)的图象关于点(0，0)中心对称，故B正确；
对于C，由f(0)=0，f(1)=1，知f(0)≠f(1)，所以f(x)的图象不关于直线x=对称，故C错误；
对于D，令y=1-x，则f(f(x+1-x))=f(x)+f(1-x)=f(f(1))=f(1)=1，
即f(x)+f(1-x)=1，
又f(-x)=-f(x)，则有f(x)-f(x-1)=1，
即f(x)=f(x-1)+1，
所以f(2)=f(1)+1=2，f(3)=f(2)+1=3，…，f(2 025)=2 025，故D正确.
三、填空题(每小题5分，共15分)
12.已知函数 f(x)=loga(3-x)+(a>0 且 a≠1) 的图象经过定点A，若幂函数y=g(x)的图象也经过该点，则g=　　　　.
答案　4
解析　因为f(2)=，所以A，
设幂函数y=g(x)=xα，
因为幂函数y=g(x)的图象经过A，
所以2α=，解得α=-2，故g(x)=x-2，
因此g==4.
13.(2025·河南名校学术联盟模拟)已知定义在R上的函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且f(x)满足f(x)=f(4-x)，f(x)在区间(-∞，2)上单调递减，f(0)=0，则关于x的不等式<0的解集为　　　　.
答案　(0，2)∪(4，+∞)
解析　由f(x)=f(4-x)得，f(x)的图象关于直线x=2对称，
所以f(4)=f(0)=0，
由f(x)在(-∞，2)上单调递减，可知f(x)在(2，+∞)上单调递增，
画出f(x)的大致图象如图所示，
结合图象及<0可得，
或
解得04，
故不等式<0的解集为(0，2)∪(4，+∞).
14.(2025·镇江模拟)已知A，B，C是函数f(x)=|log2x|的图象上的三点，且A在x轴上，BC∥x轴，BC=，则·=　　　　.
答案　
解析　函数f(x)的大致图象如图所示，
因为点A在x轴上，所以A(1，0)，
因为BC=，根据对称性，不妨设B(x，|log2x|)，
C，x>0，
则-log2x=log2，所以=x+，
化简得4x2+15x-4=0，
解得x=-4(舍去)或x=，
所以B，C(4，2)，
所以=，=(3，2)，
所以·=-×3+2×2=.
(每小题6分，共12分)
15.(多选)(2025·江西省新八校模拟)已知函数f(x)的定义域为R，f(x)+f(x-2)=f(x-1)，且f(17)>f(25)，f(18)>f(16)，则下列结论一定正确的是(　　)
A.f(x)=f(x+6) B.f(2)+f(4)=0
C.f(20)<20 D.f(30)>30
答案　AC
解析　因为f(x)=f(x-1)-f(x-2)，
所以f(x+1)=f(x)-f(x-1)，
所以f(x+1)=-f(x-2)，则f(x+4)=-f(x+1)，所以f(x+4)=f(x-2)，
则f(x+6)=f(x)，故A正确；
设f(1)=a，f(2)=b，
则f(3)=b-a，f(4)=-a，f(5)=-b，f(6)=-b+a，
所以f(17)=f(5)=-b，f(25)=f(1)=a，f(18)=f(6)=-b+a，f(16)=f(4)=-a，
由f(17)>f(25)，得-b>a，即a+b<0，
由f(18)>f(16)，得-b+a>-a，即2a-b>0，
所以
所以f(2)+f(4)=b-a=(a+b)-(2a-b)<0，故B错误；
f(20)=f(2)=b=(a+b)-(2a-b)<0<20，故C正确；
f(30)=f(6)=-b+a=-(a+b)+(2a-b)>0，无法判断是否大于30，故D不一定正确.
16.(多选)(2025·北京改编)关于定义域为R的函数f(x)，以下说法正确的有(　　)
A.存在在R上单调递增的函数f(x)使得f(x)+f(2x)=-x恒成立
B.存在在R上单调递减的函数f(x)使得f(x)+f(2x)=-x恒成立
C.使得f(x)+f(-x)=cos x恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个
D.使得f(x)-f(-x)=cos x恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个
答案　BC
解析　对于A，若存在R上的增函数f(x)，满足f(x)+f(2x)=-x，
则f(0)+f(2×0)=-0，即f(0)=0，
故当x>0时，f(4x)>f(2x)>f(x)>0，故f(4x)+f(2x)>f(x)+f(2x)，
故-2x>-x，即x<0，矛盾，故A错误；
对于B，取f(x)=-x，该函数为R上的减函数且f(x)+f(2x)=-x，
故该函数符合题意，故B正确；
对于C，取f(x)=cos x+mx，m∈R，
此时f(x)+f(-x)=cos x，由m∈R可得f(x)有无穷多个，故C正确；
对于D，若存在f(x)，使得f(x)-f(-x)=cos x，
令x=0，则0=cos 0，但cos 0=1，矛盾，
故满足f(x)-f(-x)=cos x恒成立的函数f(x)不存在，故D错误.