河北张家口市第一中学2025-2026学年高二下学期3月8日数学试卷（含答案）

2026 年 3 月 8 日 高二数学试卷
一、单选题(每小题 5 分，共 40 分)
1. 设集合 ，则 ()
A. B. C. D.
2. 已知正实数 满足 ,若 恒成立,则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
3. 若实数 满足 ，则( )
A. B. C. D.
4. 命题“ ”为假命题，则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
5. 函数 是奇函数的充要条件是( )
A. B. C. D.
6. 设全集 ,集合 ( )
A. B. C. D.
7. 已知 ,则
A. 64 B. 32 C. 63 D. 31
8. 某校组队参加辩论赛，从 6 名学生中选出 4 人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参加且不担任四辩，则不同的安排方法种数为( )
A. 180 B. 120 C. 90 D. 240
二、多选题(每小题 6 分，共 18 分)
9. 已知不等式 的解集为 ，且 ，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 有最大值 -6
D. 不等式 的解集为
10. 已知 ,且 ,则下列说法正确的是( )
A. B. C. 的最小值为 D.
11. 柜子里有 4 双不同的鞋子, 从中随机地取出 2 只, 下列计算结果正确的是 ( )
A. “取出的鞋不成双”的概率等于
B. “取出的鞋都是左鞋”的概率等于
C. “取出的鞋都是一只脚的”的概率等于
D. “取出的鞋一只是左脚的,一只是右脚的,但不成双”的概率等于
三、填空题(每小题 5 分，共 15 分)
12. 已知随机事件 互相独立，且满足 ，则 _____.
13. 抛一枚均匀硬币，连续抛三次，记正面朝上的次数为 ，则 _____.
14. 若 的展开式中 的系数为 121,则 _____.
四、解答题(共 77 分)
15. (本小题 13 分) 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程, 检验员每天从该生产线上随机抽取 10 个零件, 并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验，可以认为这条生产线在正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 .
(1)假设生产状态正常，记 表示一天内抽取的 10 个零件中其尺寸在 之外的零件数，求 及 的数学期望.
(2)该工厂对生产的零件制定了两种销售方案(假设每种方案对销售量没有影响):方案一:每个零件均按 85 元定价销售.方案二:若零件的实际尺寸在 范围内，则该零件为 级零件，每个零件定价 100 元；否则为 级零件，每个零件定价为 30 元.问哪种销售方案的利润更大？请根据数据计算说明. 附:若 ,则 ,
瓦,
16. (本小题 15 分) 已知四棱锥 中,底面 是梯形,
是等腰直角三角形, 为棱 上一点.
(1)当 为 中点时,求证: 平面 ；
(2)若 ，当 时，求平面 与平面 夹角的余弦值.
17. (本小题 15 分) 甲乙两人进行围棋比赛，每局比赛只有胜和负两种情况，无平局，胜者得 2 分，输者得 1 分,甲胜的概率为 ,每局胜负不受其他因素的影响.
(1)在三局比赛中，设甲的累计得分为 ，求 的分布列和数学期望；
(2)设 局 比赛中，甲累计得分为 的概率为 ，求 .
18. (本小题 17 分) DeepSeek 是由中国杭州的 DeepSeek 公司开发的人工智能模型, 其中文名“深度求索” 反映了其探索深度学习的决心. DeepSeek 主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景. 为提高 DeepSeek 的应用能力,某公司组织 两部门的 50 名员工参加 DeepSeek 培训.
(1)此次 DeepSeek 培训的员工中共有 6 名部门领导参加，恰有 3 人来自 A 部门. 从这 6 名部门领导中随机选取 2 人，记 表示选取的 2 人中来自 部门的人数，求 的分布列和数学期望；
(2)此次 DeepSeek 培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为 ，每轮培训结果相互独立, 至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格.
(i)求每位员工经过培训合格的概率；
(ii)经过预测，开展 DeepSeek 培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润 30 万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润 20 万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付 3 万元的其他成本和费用. 试估计该公司 两部门培训后的年利润 (公司年利润=员工创造的利润-其他成本和费用).
19. (本小题 17 分) 已知函数 .
(1)若曲线 在 处的切线的斜率为 ，求 的值；
( 2 )若 是 的极小值点，求 的取值范围.
瓦，共 2 页
《2026 年 3 月 8 日 高二数学》参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
B A A A D A C A ACD BD ABC
12.
因为 互相独立,所以 .
又因为 ,
把 代入可得: ,
故 .
由 相互独立,得 .
故答案为:
13.
15. (1)抽取的一个零件的尺寸在 之内的概率为 0.9545，从而零件的尺寸在 之外的概率为 0.0455 , 故 . 因此 .
的数学期望为 .
(2)对方案二，设零件价格的随机变量为 ，故 可取 30，100，可得
. 故
又方案一中, 每个零件售价均为 85 , 故可得方案二的利润更大.
16. (1)
取 中点 ,连接 ,则 ,且 , 又 ,所以 且 , 则四边形 是平行四边形,所以 ,
又 平面 平面 ,所以 平面 . (2)
在平面 内,过点 作直线 ,
由已知 且 ，又 ， 平面 ,
所以 平面 ,又 平面 ,所以 , 由 平面 , 可得 平面 ,
以 为原点， 分别为 轴建系，
则 ,
由 可得 ,则 ,则
,设平面 的法向量为 ,
则 ,取 ,则 所以 ,
不妨取平面 的一个法向量 ,设平面 与平面 夹角为 ,
则 ，所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
17. ( 1 )记甲胜的局数为 ，则 ，且 ， 可得 ;
所以 的分布列为
3 4 5 6
3 8
数学期望 .
(2)由题意可知: 局比赛中，甲累计得分为 分，即 局比赛中甲胜 2 局，
当 时， ；当 时， ；
综上所述: ,则 ,
所以 .
18. 的所有可能取值为 0,1,2,且 服从超几何分布.
的分布列为
0 1 2
1,共 2 页
15 3 5 1 5
的数学期望 .
(2)(i)记 “每位员工经过培训合格”， “每位员工第 轮培训达到优秀”( )，
,根据概率加法公式和事件相互独立定义得,
.
即每位员工经过培训合格的概率为 .
(ii) 记 两部门开展 DeepSeek 培训后合格的人数为 ,则 ,
,则 (万元)
即估计 两部门的员工参加 DeepSeek 培训后为公司创造的年利润为 1100 万元.
19. ( 1 )已知 ，根据求导公式 ， ， ， 可得 ，因为曲线 在 处的切线的斜率为 ，
所以 ,解得 由 可得 ,令
则 ,
若 是 的极小值点,则 ,
则 在 左侧附近小于 0,在 右侧附近大于 0,
这意味着 在 处的导数 ,
把 代入 得 ,解得 ;
当 时，
因为 ,当且仅当 ,即 时,等号成立,
所以 恒成立,则 在 上单调递增,
当 时, 单调递减;
当 时, 单调递增,所以 是 的极小值点;
当 时,此时 ,令 ,
则 ,此时 ,
因为 ,
当且仅当 ,即 时,等号成立,所以 恒成立,
则 在 上单调递增,
当 时, 单调递减; 当 时, ;
所以 是 的极小值点;
当 时,
令 ,即 ,设 ,
则 ,整理得 ,
由一元二次方程求根公式 ,
因为 ,所以 ,
存在 ,使得在 附近,当 在 到 0 之间或 0到 之间时, 单调递减,
此时 在 两侧不满足左负右正,则 不是 的极小值点;
综上 的取值范围是 .