浙江金华第一中学等校2025-2026学年高二下学期开学数学练习（含答案）

高二数学练习
考生须知:
1. 本卷满分 150 分, 练习时间 120 分钟;
2. 答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；
3. 所有答案必须写在答题卷上, 写在试卷上无效:
4. 练习结束后，只需上交答题卷。
一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。
1. 已知全集 ，集合
A. B. C. D.
2. 直线 的倾斜角为( ▲ )
A. B. C. D.
3. 如图，在平行六面体 中， 与 的交点为 . 设 ,则下列向量中与 相等的向量是( ▲ )
A. B.
C. D.
4. 圆 与圆 的位置关系是( ▲ )
A. 外离 B. 相交 C. 相切 D. 内含
5. 已知 直线 与直线 平行,则 是 的( ▲ )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,过 的直线交双曲线右支于 ,且 ,则双曲线的离心率为 ( )
A. B. C. D.
7. 已知数列 的前 项和为 ， ， ，则 的值是( ▲ )
A. 1 B. C. D.
8. 已知正方体 的棱长为 2,点 为棱 的中点. 球体 为与正方体的所有棱都相切的球体，则 三边与球体 公共部分的长度总和是( ▲ )
A. B. C. D.
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求。全部选对得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 若复数 ，则下列结论正确的是( A )
A. 的虚部为 -4i B. 的共轭复数为
C. D.
10. 已知正实数 满足 ，则下列结论正确的是( ▲)
A. B.
C. D.
11. 已知平面内动点 到定点 的距离与到定直线 的距离之和等于 3,其轨迹为曲线 ,若过点 的直线与曲线 交于 两点,则下列结论正确的是( ▲ )
A. 点 的轨迹方程为
B. 若 ,则
C. 的最小值为 3
D. 若半径为 的圆与曲线 有且只有一个交点,且与 轴切于点 ,则
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 设函数 ,则
13. 动直线 与动直线 相交于点 ，则 的最小值为_____.
14. 已知 的三个角 的对边分别为 ,且满足 ,则 为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. 已知函数 ,且函数 的最小正周期为 .
(1)求 及 的值；
(2)将函数 的图象向左平移 个单位，得到函数 ，求 在区间 上的值域.
16. 已知函数 ，其中 .
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若 ， ，求 的取值范围.
17. 如图,四棱锥 中, 平面 , 是 的中点.
(1)求证: 平面 ；
(2)若 ，在线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
18. 已知正项数列 的前 项和为 ,且 表示不超过 的最大整数,如
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，求 的值；
(3)记 ，若 ，求 的最小值.
19. 已知椭圆 的焦点为 ，直线 与 轴交于点 ，与椭圆 交于点 ， ( 在 轴上方),且当线段 轴时,其长度为 3 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)若 为线段 的中点，求点 到直线 距离 的最小值(其中 为坐标原点)；
(3)若直线 与 轴交于点 ，直线 与椭圆 交于 、 两点，且满足 . 若过点 的切线与直线 交于点 ，求 的面积.
高二数学练习
考生须知:
1. 本卷满分 150 分, 练习时间 120 分钟;
2. 答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；
3. 所有答案必须写在答题卷上, 写在试卷上无效;
4. 练习结束后, 只需上交答题卷。
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B A A A C B D
8. 已知正方体 的棱长为 2，点 为棱 的中点. 球体 为与正方体的所有棱都相切的球体,则三角形 三边与球体 公共部分的长度总和是( )
【答案】D
根据已知棱切球的球心就是正方体中心 ,半径 . 如
图,设 与 的交点为 ,过球心 作平面 的垂线,垂足为
斜边上高 ,所以 ,所以平面
截球所得截面圆 圆心是 ) 的半径 .
如图,在矩形 中,作 ,交 于点 ,在 中, ,所以 , 所以 .
在三角形 中,如图建立直角坐标系,
所以 ,截面圆 ,
圆 与三角形各边的交点分别为 ,
所以三角形 三边与正方体的棱切球(与 12 条棱都相切的球)的
公共部分长度总和为 .
所以
所以
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求。全部选对得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
题号 9 10 11
答案 BC ACD BCD
11: 已知平面内动点 到定点 的距离与到定直线 的距离之和等于 3,其轨迹为曲线 ,若过点 的直线与曲线 交于 两点,则下列结论正确的是 ( )
A. 点 的轨迹方程为
B. 若 ,则
C. 的最小值为 3
D. 若半径为 的圆与曲线 有且只有一个交点,且与 轴切于点 ,则 .
【答案】BCD
由题意知,
化简,得: 当 时, ,当 时, ,所以 错.
对于 选项,如图所示, ,正确.
对于 选项,当 交在左支,最小值为通径 4,当 交在两支时,最小值为 3 .
D 选项代数法: 设切点 ,切线方程为 (*)
圆:
去切点.
将(*)代入上式得，
代入,得
几何法:【光学性质】设抛物线与圆 相切与点
为 的角平分线, 轴,
又 轴
等边三角形
所以 方程:
联立抛物线方程:
易知与右支有一交点,且与 轴切于点 的圆不存在,
所以 .
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 4; 13. 2 ;
14.
14. 由正弦定理得, ,代入余弦定理 ,得 ,同除 得 ,其中 ,故 ,即 ,因此 .
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. 已知函数 ,且函数 的最小正周期为 .
(1)求 及 的值；
(2)将函数 的图象向左平移 个单位，得到函数 ，求 在区间 上的值域.
(1) 由题意, ,
, 2 分
.4 分
函数 的最小正周期为 , 6 分
.7 分
(2) 10 分
,所以
所以 在区间 上的值域为
16. 已知函数 ,其中 .
(1)当 时，求函数 的单调区间;
( 2 )若 ，求 的取值范围.
(1) 因为 3 分
所以 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增. .7 分
(2)因为 ，所以
又因为 ,所以
所以 .10 分
令 ,则
令
当且仅当 ,即 时取等. .14 分
所以 . .15 分
17. 如图,四棱锥 中, 平面 , 是 的中点.
(1)求证: 平面 ；
(2)若 ，在线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
(1) 取 中点 为 中点, ,且 , 又 ,且 ,
四边形 为平行四边形,即 , 3 分
平面 平面 ,
平面 分
(2)① 平面 ，且 ，
则以点 为坐标原点， ， ， 方向为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，
得 ,
, 8 分
存在点 满足题意,
易知 ,假设存在点 满足题意,设
,
设平面 的法向量为 ,
则 ,令 ,则 , .11 分
所以直线 与平面 所成角的正弦值为
. .12 分因为 ,解得 ,即 . 15 分
18. 已知正项数列 的前 项和为 ,且 表示不超过 的最大整数,如
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，求 的值；
(3)记 ，若 ，求 的最小值.
(1) ,两式相减可得: 所以 ,又因为 ,所以 3 分
(2)
分
.7 分
所以 ,所以 .9 分
(3)
可得: 当 时, .11 分
当 时, .13 分
则
两式相减可得: .15 分
因为 时, ,所以
则
所以 ,因为 ,所以 ,所以 .17 分
19. 已知椭圆 的焦点为 ,直线 与 轴交于点 ,与椭圆 交于点 , ( 在 轴上方),且当线段 轴时,其长度为 3 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)若 为线段 的中点，求点 到直线 距离 的最小值(其中 为坐标原点)；
(3)若直线 与 轴交于点 ，直线 与椭圆 交于 、 两点，且满足 . 若过点 的切线与直线 交于点 ,求 的面积.
(1)易知 . 当 轴时, ,故 ,解得 2 分所以,椭圆 的方程为: . .4 分
(2)设 ，则 ，联立椭圆 得 ，所以 ,解得
.6 分
所以 ,
可得 ,进而 8 分
于是
令 ,所以
当 时 取最小值 . 所以点 到直线 距离 的最小值 10 分
(3) 直线 的倾斜角为 ,且 ,
直线 与直线 的斜率之积为 1 . 12 分
设直线 的方程为: .
联立 ,消去 可得: ,
,故直线 与直线 的斜率之积
即 ,即 ,
即 ，即 分
当 时,直线 过点 ,
当 时,直线 过点 ,结合图像可知,不符合题意.
此时,
所以 17 分