浙江省温州市泰顺县育才高级中学2025-2026学年高二下学期第五次限时训练（B卷）数学试题（含答案）

泰顺育才高中 2024 级高二年级第五次限时训练(B 卷) 数学学科 试题
本试题卷考查范围:所学内容
注意事项:
1. 全卷共 4 页, 14 小题, 满分 100 分, 考试时间 75 分钟.
2. 作答选择题时,选出每小题答案后,用 铅笔把答题卷上对应题目的选项的答案信息点涂黑； 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题卷上.
3. 非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.
4. 考生必须保持答题卷的整洁, 不要折叠, 不要弄破.
选择题部分(共47分)
一、单项选择题:本题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分. 在每小题给出的选项中，只有一项是符 合题目要求的.
1. 命题 “ ” 的否定是 ( )
A. B.
C. D.
2. 已知圆心角为 的扇形的弧长为 ,则该扇形的面积是 ( )
A. B. C. D.
3. 若 的最小正周期为 ,则 ( )
A. 0 B. 1 C. D. 2
4. 已知向量 为单位向量, ,则 的夹角为 ( )
A. B. C. D.
5. 已知点 在圆 上,点 ,当 最大时,则 ( )
A. B. C. D.
6. 已知正项等差数列 的前 项和为 ,则 的最大值为 ( )
A. 20 B. 25 C. 40 D. 50
7. 已知函数 与 的图象在 处的切线重合,则 ()
A. B.
C. D.
二、多项选择题: 本题共 2 小题, 共 12 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得 2 分, 有选错的得 0 分.
8. 下列是古典概型的是 ( )
A. 任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点时
B. 求任意的一个正整数平方的个位数字是 1 的概率, 将取出的正整数作为样本点时
C. 从甲地到乙地共 条路线,求某人正好选中最短路线的概率
D. 从袋子中的 3 个红球和 2 个白球中任取 2 个小球, 计算所取的两个小球都是白球的概率
9. 下列说法正确的是 ( )
A. 直线 的一个方向向量为 ,则直线 的斜率等于 -2
B. “ ” 是 “直线 与直线 互相垂直” 的充要条件
C. 当点 到直线 的距离最大时, 的值为 -1
D. 已知直线 过定点 且与以 为端点的线段有交点,则直线 的斜率 的取值范围是
非选择题部分(共53分)
三、填空题:本题共 2 小题, 每小题 5 分, 共 10 分
10. 在 的展开式中,若各二项式系数的和等于 64,则 _____.
11. 我国 “天宫勘探计划” 中, 自主从编号 的深空探测目标 (含行星、小行星等) 里随机选一个执行任务，定义:
事件 : “选中奇数编号目标” (对应具有稀有金属开采价值的天体)
事件 : “选中编号小于 7 的目标” (对应我国近地测控覆盖范围内的天体)
事件 : “选中 1,2,4,8 号目标” (对应已通过天眼确认存在特殊星际物质的重点目标)
现在需要分析 选择探测目标时，以下任务事件的概率关系正确的有_____.
①
②
③
④
四、解答题:本题共 3 小题, 共 43 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.
12.(13分)甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投，先投中者获胜，直到有人获胜或每人都已投三次结束,设甲每次投篮投中的概率为 ,乙每次投篮投中的概率为 ,且各自投篮互不影响.
(1)求比赛结束但仍没有决出胜负的概率;
(2)求甲获胜的概率.
13.(13分)已知圆 经过点 ， 和原点 .
(1)求圆 的方程；
(2)点 (均异于点 )在抛物线 上，若 是圆 的一条直径，求 .
14.(17 分)如图，在多面体 中，平面 平面 ，四边形 为直角梯形,四边形 为平行四边形, .
(1)证明: ；
(2)若点 是 中点，求点 到平面 的距离；
(3)在线段 上是否存在一点 ，使得平面 平面 若存在，求出 的值；若不存在, 请说明理由。
高二数学第五次限时训练 参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案
1. A 因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以命题的否定为 “ ”. 故选: A.
2. 设扇形的半径为 ,由题意圆心角为 ,所以弧长 ,解得 ,则该扇形的面积 . 故选:
3. 因为 的最小正周期为 ,所以 ,即 ,所以
. 故选:
4. 由 可得
解得 ,因 ,则 . 故选: .
5. 设圆 的圆心为 ,则 ,半径 , 过 作圆的切线,设交点为 ,如图,
由图可知,当 与圆相切,且 点在第四象限时, 最大,因为 ,所以 ,又 ,所以 ,所以
6. 由题意得 ,解得 ,由等差中项的性质可得 ,解得 10，由题意知 ，根据基本不等式 ，当且仅当 时等号成立, 的最大值为 25 .
7. . 由题意知 ,即 ,解得 . 所以 .
8. 项中由于点数的和出现的可能性不相等,故 不是; 项中的样本点是无限的,故 不是; 和 项满足古典概型的有限性和等可能性,故 和 都是. 故选:
9. 对于 ,因为直线 的一个方向向量为 ,则直线 的斜率等于 ,所以 正确;
对于 ,由直线 与直线 互相垂直,
可得 ,即 ,解得 或 ,
所以 “ ” 是 “直线 与 互相垂直” 的充分不必要条件,所以 错误;
对于 ,因为直线 ,可化为 , 由 ,解得 ,即直线 恒过定点 ,
当直线 与直线 垂直时,点 到直线 的距离最大,
所以 ,解得 ,所以 正确;
对于 ,因为 ,可得 ,
如图所示,要使得过定点 的直线 与以线段 有交点,
则满足 或 ,所以直线 的斜率 的取值范围是 ,所以 正确.
10. 6由于 的展开式中,各二项式系数的和等于
64,解得: .
11. ①②④总共有 12 个等可能的样本点,事件 的样本点有 1,3, 5,7,9,11,共 6 个,所以 ,事件 的样本点有1,2,3,4,5,6, 共 6 个,所以 ,事件 的样本点有1,2,4,8,共 4 个,所以 .
对于①:事件 ，共 3 个样本点，所以 ，所以 ,等式成立,①正确;
对于②:由题 ,等式成立,② 正确;
对于③:事件 ，共 8 个样本点，则事件
,有 5 个样本点,因此 ; 所以 ,等式不成立,③错误;
对于④: 事件 ,则 ; 又 ,等式成立,④正确.
12. (1) 设事件 “甲在第 次投篮投中”,事件 “乙在第 次投篮投中”， ，
则 ,
记 “比赛结束但仍没有决出胜负” 为事件 ,则 ,
可得 ,
所以比赛结束但仍没有决出胜负的概率为
(2)记 “甲获胜”为事件 ，则 ， 可得
所以甲获胜的概率为 .
13. (1) 因为圆 经过点 和原点 ,所以圆心 在 的中垂线 上,
设圆心 ,由 ,可得 ,解得 ,
又由 ,所以圆 的方程为 .
(2)因为 是圆 的直径，所以 的中点为圆心 ，且 ,
设 ,
因为 的中点为圆心 ,可得 ,
所以 ,
所以 .
又 ,可得 ,即 ,
整理得 ,所以 ,即 ,解得 或 .
14. (1) 因为 ,故 ,故 .
因为平面 平面 ,平面 平面 , 平面 ,故 平面 ,而 平面 ,
故 .
(2)由(1)可得 平面 ，而 ，
故可建立如图所示的空间直角坐标系,
则 ,
因为 ,
故 ,所以 ,故 ,
而 ,设平面 的法向量为 ,
则 即 ,取 ,
故 到平面 的距离为 .
(3)不存在
假设在线段 上存在一点 ，使得平面 平面 。
设 ,
,
。
设平面 的法向量为 ，
则 ,
取 ，得 。
平面 平面 ，
，即 ，
解得 。
不符合题意。
故在线段 上不存在点 ，使得平面 平面 。