浙江省温州市乐清市荆山公学2025-2026学年下学期高三数学模拟卷（含答案）

2026 届高三数学模拟卷
(考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分)
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
4. 测试范围:全国 I 卷高考所有内容。
一、单选题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要 求的。
1. 已知集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 若复数 满足 ，则 ()
A. 1 B. C. 2 D.
3. 已知函数 的部分图象如图所示 为图象与 轴的一个交点, 为图象的一个最高点 ，且 ，则 的一个对称中心可以是( )
A. B.
C. D.
4. 已知向量 与 的夹角为 ，则 ()_____
A. -2 B. 0 C. D. 2
5. 在正项数列 中，设甲: ， : 是等比数列，则()
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
6. 已知等比数列 的公比 ，前 项和为 ，则对于 ，下列结论一定正确的是( )
A. B.
C. D.
7. 晋祠圣母殿是现存宋代建筑艺术的杰出代表，图1是该建筑的剖面画图圣母殿以其独特的木构技术、 历史价值与艺术成就闻名，被誉为研究中国宋代建筑的“活标本”现使用图 2 简单模拟圣母殿的屋顶结构，其中四边形 为矩形， ， ， ， ， 为四段全等的圆弧，其对应的圆半径为6 m，圆心角为 . 已知区域 和 是被瓦片覆盖的区域，则该模型中瓦片覆盖区域的总面积为( )
图1
图2
A. B. C. D.
8. 已知直线 与 相交于点 ，点 在圆 上，则( ).
A. 有最大值 B. 有最大值
C. 有最小值 D. 有最小值
二、多选题: 本题共 3 小题, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。
9. 在二项式 的展开式中,前3 项的系数成等差数列,则下列结论中正确的是( )
A. B. 展开式中所有奇数项的二项式系数和为128
C. 常数项为 D. 展开式中系数最大项为第3项和第4项
10. 已知正数 满足 ,则( )
A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
11. 已知函数 ，其中实数 ， ，则下列结论正确的是( )
A. 当 时， 必有两个极值点
B. 过点 可以作曲线 的 3 条不同切线,则
C. 若 有三个不同的零点 ，且 ，则
D. 若 有三个不同的零点 ，则
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 记 为数列 的前 项和,若 ,则 _____.
13. 甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字1,3,5,7, 乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8,两人进行四轮比赛,在每轮比赛中,两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用机则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_____.
14. 已知双曲线 的左焦点为 ，过 且斜率为 的直线交双曲线于点 ,交双曲线的渐近线于点 且 若 ,则双曲线的离心率是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
记 的内角 的对边分别为 ,已知 .
(1)求A；
(2)在 边上存在一点 ，使得 ，连接 ，若 的面积为 ， 的平分线交 于 点，求 的值.
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 的正方形， 平面 ，若点 满足 ，点 为 中点，过 的平面 满足 ，且平面 与棱PD, 分别交于点 .
(1)求证: ；
(2)试判断 六点能否在同一个球面上？
若能, 求该球的表面积; 若不能, 请说明理由.
17. (本小题15分)
在深化课程改革、推动教育高质量发展的新阶段，命题能力已成为教师专业发展的关键能力某省开展 2025年学科教师命题能力高质量研修提升培训会，参会人员包括300名经验丰富教师(年龄在35岁及以上的教师), 200 名经验不丰富教师(年龄在35岁以下的教师)，会后均参加相关知识考核，考核结果为优秀、合格两种情况，统计并得到如下列联表:
经验丰富教师 经验不丰富教师 总计
优秀 200 150 350
合格 100 50 150
总计 300 200 500
(1)根据小概率值 的独立性检验，能否认为这次考核结果与经验丰富与否有关？
(2)若从参会人员中，采用分层抽样的方法随机抽取10名教师，再从这10名教师中随机抽取4 人进行调研，设抽取的4人中经验不丰富教师的人数为X，求X的分布列和数学期望.
附: ,其中 .
0.1 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
18. (本小题17分)
已知圆心在 轴上移动的圆经过点 ，且与 轴， 轴分别交于 ， 两个动点记动点 轨迹为曲线 .
(I)求点 的轨迹方程
(II)设直线 与曲线 相交于 ， 两点，与圆 相切于点 ，若 为 ， 中点， 求 的纵坐标取值范围
(III)过点 作圆 (圆在曲线 内部) 的两条切线分别交于曲线 于 两点(异于 D点), 探究直线 是否过定点.
19. (本小题17 分)
已知函数 在区间 和 各恰有一个零点,分别记为 和 .
(1)求实数 的取值范围；
(2)记曲线 在点 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为 ，求 的最大值；
(3)若函数 有三个零点 ，其中 ，证明: .
答案和解析
1.【答案】
解: 由题意得 ,所以 . 又 ,所以 .
2.【答案】
解: ,所以 .
3.【答案】
解: 因为 为图象的一个最高点,所以 点的纵坐标为 ,
已知 ，且 为图象与 轴的一个交点，所以 ，
设 ， ，由函数 的图象可知， 到 的水平距离是 个周期,
即 ,解得 ,
根据周期公式 ,可得 ,所以 ,
令 ,解方程: ,
当 时， ，所以 的一个对称中心为 ，故选 B.
4.【答案】
解: 向量 与 的夹角为 ,
则 ,即 ,解得 . 故选 D.
5.【答案】
解: 在正项数列 中, ,令 ,则 ,即 (常数), 所以数列 是以 为首项, 为公比的等比数列,
故由条件甲可以推出条件乙;
若 是等比数列,设其公比为 ,则 ,
那么 . 而 ,
当 时， ，所以由条件乙不能推出条件甲.
故甲是乙的充分条件但不是必要条件. 故选: .
6.【答案】D
解: 当 时, 不符合,舍去;
当 时, 选项: 等比数列 的前 项和 ,
则 ,则 ,
所以 , 选项错误;
选项:
所以 选项正确.
7.【答案】B
解: 由题意可知区域 和 全等,且都是底面半径为 ,高为 的圆柱的侧面的一部分,将区域 还原到如图所示圆柱中.
由图可知 ,
由扇形的弧长公式可知， 的长为 ,
结合圆柱的侧面积公式可知
所以 ,
所以被瓦片覆盖的区域 和 的总面积为 .
8.【答案】
解: 对于直线 ,可变形为 , 令 ,解得 ,所以直线 恒过定点 ,
对于直线 ,可变形为 ,
令 ,解得 ,所以直线 恒过定点 ,
因为 ,所以 ,
又因为两直线相交于点 ,所以点 在以 为直径的圆上 (不包含点 ).
已知 ，则中点坐标为 ，
，所以半径 ，
故 所在圆的方程为 ,
已知圆 的圆心 ，半径 ，则圆心 与点 轨迹圆的圆心 的距离为 ,
的最大值为圆心距加上两圆半径，即 ,
由于轨迹不包含点 ,故不存在最小值. 故选: .
9.【答案】
解: 展开式的通项为 , 则第1项的系数为 ; 第2项的系数为 ; 第3项的系数为 , 由前3项的系数成等差数列,得 ,解得 ,故 正确; 展开式中所有奇数项的二项式系数和为 ,故 正确;
令 ,得 ,则常数项为 ,故 C 错误;
设展开式中第 项的系数最大,则 ,又 ,解得 或 , 则展开式中系数最大项为第3项和第4项,故 D 正确. 故选: ABD.
10.【答案】
解: ,当且仅当 时取得等号, 对.
，
,当且仅当 时取得等号, 错.
当且仅当 时取得等号, 对.
当且仅当 ,即 时取 “ ”,此时 .
当且仅当 时第一个不等号取 “ ”,而两次基本不等式等号成立条件不同, 错. 故选 AC.
11.【答案】
解: 由题意得 ,要使 有两个极值点,
故 有两个不等实根,所以 ,即 ,选项 正确;
,设切点为 ,
在点 处的切线方程为 ,
又 切线过点 ,
解得 ,即 ,
过点 可以作曲线 切线条数可转化为 与 图象的交点个数,
当 时, 与 图象有 3 个交点,
即过点 可以作曲线 的 3 条切线,选项 B 正确;
若 成等差数列,则 ,
,即 ,选项 C 错误;
同理 ,
选项 D 正确. 故选: .
12.【答案】-63
解: 根据 ,可得 ,两式相减得 ,
即 ,当 时, ,解得 ,
所以数列 是以 -1 为首项,以 2 为公比的等比数列,所以 ,故答案是: -63 .
13.【答案】
解: 不妨设甲的顺序是1,3,5,7,考虑甲得分为0,1的情况
(1)0分情况:只有1种，
(2)1分情况:① 甲出3的时候得分，此时只有1种
②甲出5的时候得分，
此时乙对应有两种情况:乙出4的时候有1种情况，乙出2的时候有2种情况，所以共3种
甲出7的时候得分，
此时乙对应有3种情况:乙出6的时候有1种情况，乙出4的时候有2种情况，乙出2的时候有4种情况从而共7种情况.
总得分小于 2 的概率为 ，则甲的总得分不小于 2 的概率为 .
14.【答案】
解: 由题意得 ,渐近线方程 ,
联立方程 解得: ,所以 ,
因为 ,所以 ,代入 方程得 ,解得 , 所以 ,把点 代入 得 ,即 ,解得: .
15.【答案】解: (1) 由 及正弦定理得 ,
又 ，所以 ，
因为 ,所以 ,所以 ,所以 .
(2)因为 ， ，所以 ，
则 ，所以 ，
又由余弦定理得 ,可得 ,所以 ,
由角平线定理得 .
16.【答案】解:(1)证明:如图:
设 ，由底面 是正方形知:O是线段 的中点，
因为 平面 ,平面 ,所以 ,
而 是线段 的中点，因此 是线段 的中点，
因为 平面 ,所以平面 与 必相交于过 的直线],
不妨设 ，
因为 , 平面 ,平面 ,所以
,
而 ,因此 ,所以 是线段 的中点,
连接HK,延长交 于 ,
因为 平面 ,所以平面 ,
因为 ,所以 ,因此点 是线段 的中点,
因为 平面 ,所以平面 ,
而 ， 平面 ，因此 ，
所以由点 是线段 的中点得: 是线段 的中点，
因此五边形 是 截四棱锥P- 所面,
得截
以
因为 ,所以 ;
(2)因为 、 ，
而底面 是边长为 的正方形，，因此 、
两两垂直，
以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系如下:
设 六点所在球的球心为 ,
因此由 (1) 知: ,
由 ,
即 ,
结合 解得:
因此 ,
且球 的半径平方为 ,
所以球 的方程为 ,
因为 ，所以点 在球 上，
因此 六点能在同一个球 上, 且该球的表面积为 .
17.【答案】解:(1)零假设为 :这次考核结果与经验丰富与否无关，
查临界值表, 对应的临界值 ,由于 ,
故依据小概率值 的独立性检验,我们推断 成立,
即认为这次考核结果与经验丰富与否无关，此推断犯错的概率不大于 0.01 .
(2)分层抽样时，经验丰富教师抽取比例为 ,
因此: 经验丰富教师抽取人数: 人,
经验不丰富教师抽取人数: 人，
从 10 人中抽取 4 人，设经验不丰富教师人数为 ，则 服从超几何分布，可能取值为 0,1,2,3,4, 计算各概率:
,则 的分布列为:
X 0 1 2 3 4
1 14 8 2 3 35 210
数学期望 由超几何分布性质得:
18.【答案】解:(I)设圆心为 ，因圆过点 ，故半径 ，圆的方程为
圆与 轴交于 ,得 ,解得 (舍去 ,即点 ),故 .
圆与 轴交于 ,得 . 将 代入 ，得: ，
故点 的轨迹方程为 ；
(II) 设 为 中点，则 . 由 ,相减得:
因 为圆心),故 ,即: .
在圆 上，故 .
直线 过 且斜率为 ,方程为 ,整理得 ,
代入抛物线方程 ,得: .
因直线与抛物线有两个交点, ,
当 时，直线 为 ，符合条件. 故 的纵坐标取值范围为 ；
(III) 依题意,过点 的两切线斜率存在,设过 的切线方程为 ,
即 . 因切线与圆 相切,圆心 到直线的距离等于半径:
,整理为 .
设切线 斜率分别为 ,由根与系数的关系得 .
联立切线 与抛物线 ,得: .
因 是交点,得另一个交点 的横坐标 ,纵坐标 .
同理,另一条切线与抛物线的交点 的坐标为 .
设 ,则 ,且 ,
直线 的两点式方程为: ,化简得: ,
无论 取何值,当 且 时方程恒成立,故直线 过定点 .
19.【答案】解: (1) 由题意,函数 在区间 和 上各有一个零点. 所以 ,解得: .
(2) .
是方程 的两根,所以 .
,将 代入，得 .
切线方程为 ,在 轴上得截距为 .
有 .
,其中 .
设 .
令 ,得 .
当 时, 单调递增
当 时, 单调递减.
故 的最大值为 .
(3)证明:记 的导函数为 ，有 ，显然 是增函数.
又 时, ,故存在 ,使得 .
当 时, 单调递减; 当 时, 单调递增.
又 时, 时, .
所以存在 使得 .
此时 在 和 单调递增,在 单调递减.
所以 .
设曲线 在点 处的切线 的方程为 ,
则 .
设函数 ,
记 的导函数为 ,
则 ，所以 单调递减，又 .
所以 时, 单调递增
所以 单调递减;
故 ,有 .
设直线 与直线 交点的横坐标为 .
根据 斜率 ,有 .
相同地，设曲线 在点 处的切线 的方程为 ，
则 .
设函数 由 时, ,可得 .
设直线 与直线 交点的横坐标为 ,由 .
的斜率 ,有 .
所以 .
又 ,
根据 ,有 .
即 ,可得 ,所以 .