浙江台州市2026年高三普通高中数学竞赛试题（含答案）

2026 年台州市普通高中数学竞赛试题
一、填空题(本大题共 12 小题，每小题 8 分，共 96 分.)
1. 集合 ，则 中元素个数为_____▲_____.
2. 设 ,则不等式 的解集为_____▲_____.
3. 已知 为等差数列,且 ,函数 ,则 .
4. 已知函数 ,若对任意的 恒成立, 则实数 _____▲_____.
5. 已知 是关于 的方程 的两个根,若 ,则 _____▲_____.
6. 已知复数 满足 ，则 的最小值是_____▲_____.
7. 在平面直角坐标系中,点 分别在双曲线 的两支上,过点 作 的切线分别与 轴交于点 ，则 的面积最小值为_____▲_____.
8. 如图，已知圆 ， 的半径均为 1 ，且圆 ， 外切于点 ， 动点 分别在圆 上，则 的最大值为_____▲_____.
9. 在 中, ,则 的最小值为_____▲_____.
10. 给定三棱锥 ,满足 , 为锐二面角. 动点 分别在 上,满足 ,若直线 与平面 所成角等于锐二面角 的一半, 则 _____▲_____.
11. 数列 满足 ,则 的最小值是_____▲_____
12. 已知 为互不相等的整数,则 的最小值为_____▲_____.
二、解答题 (本大题共 3 小题, 第 13 题 14 分, 第 14-15 题各 20 分, 共 54 分. 解答应写出 必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)
13. 如图,已知双曲线 的右焦点为 ,原点为 ,过点 且不与坐标轴垂直的直线与双曲线 交于点 ,双曲线 在点 处的两条切线的交点为点 . 设直线 与直线 的夹角为 .
(1)求证: ；
(2)求 的最小值.
14. 已知整数 使得关于 的多项式 ,可以表示为两个非常数整系数多项式的乘积,求所有 的可能值. (定义: 为关于 的多项式)
15. 设 ,若
恒成立,求 的最大值.
2026 年台州市普通高中数学竞赛试题
一、填空题(本大题共 12 小题，每小题 8 分，共 96 分.)
1. 集合 ，则 中元素个数为_____▲_____.
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2. 设 ，则不等式 的解集为_____▲_____.
3. 已知 为等差数列,且 ,函数 ,则 . 1013 函数 关于点 对称.
4. 已知函数 ,若对任意的 恒成立, 则实数 _____▲_____.
简析:-1函数 在 取极大值 0,故 ,得 .
5. 已知 是关于 的方程 的两个根,若 ，则 _____▲_____
答案: 2
,故 ,则 .
6. 已知复数 满足 ，则 的最小值是_____▲_____.
82 利用三角形中线长公式.
7. 在平面直角坐标系中,点 分别在双曲线 的两支上,过点 作 的切线分别与 轴交于点 ，则 的面积最小值为_____▲_____.
答案: 4
固定点 ,由双曲线 的对称性,当 关于原点对称时,此时点 处的切线平行, 边上的高度最小,不妨设 ,则得到切线方程后,有 的面积为 4 .
8. 如图,已知圆 的半径均为 1,且圆 外切于点 ,动点 分别在圆 上,则 的最大值为_____.
法一: 固定点 ,当 时, 在 上投影最大,
设 ,则 , . 法二: 先求 的最小值,设 , , 故 的最大值为 .
9. 在 中, ,则 的最小值为 . , 得到 ,
.
10. 给定三棱锥 ,满足 为锐二面角. 动点 分别在 上,满足 ,若直线 与平面
所成角等于锐二面角 的一半，则 _____▲_____. 法 1: ,等价于 与 所成角等于 与 所成角,只需 ,计算可知当 时 .
法 2: 取 ,故可证明 面 ,所以 与平面 所成角为 为锐二面角即 ,故只需满足 ,解得 .
11. 数列 满足 ,则 的最小值是_____▲_____.
取倒数,令 ,则 ,平方得 , 退位相减得 ,故 或者 ,
由于 ,当 时, ,则 ,
当 时, ,则 ,则 . 故 .
由 得 ,又由于 ,得 .
12. 已知 为互不相等的整数,则 的最小值为 为互不相等的整数,
二、解答题 (本大题共 3 小题, 第 13 题 14 分, 第 14-15 题各 20 分, 共 54 分. 解答应写出 必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)
13. 如图,已知双曲线 的右焦点为 ,原点为 ,过点 且不与坐标轴垂直的直线与双曲线 交于点 ,双曲线 在点 处的两条切线的交点为点 . 设直线 与直线 的夹角为 .
(1)求证: ；
(2)求 的最小值.
解析: (1) 设直线 方程: ,联立 ,得
故 ,
设 ,则切点弦 方程为 , 4 分
与方程 比较得
故 ,而 ,则 . 8 分
(2)
12 分
,当 时取等. 14 分
14. 已知整数 使得关于 的多项式 ,可以表示为两个非常数整系数多项式的乘积,求所有 的可能值. (定义: 为关于 的多项式)
解析: ,其中 均为整数,
不妨设 或 , 4 分
若 ,则 ,
故 ,得 , 8 分
又 ,得 ,故 ,矛盾. 12 分
若 ,则 ,有 , 16 分
另一方面, ,得 ,有 .
综上,所有 的可能值为66,37,3,4. 20 分
15. 设 ,若
恒成立,求 的最大值.
解析: 由均值不等式,
. 4 分 8 分
令 ,只需满足: . 12 分
等价于 ,其中 .
求导得 , 16 分
故 . 当 时取等. 20 分