2025-2026人教版八年级数学分层精练精析21.3.2菱形（含解析）

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2025-2026学年人教版八年级数学下分层精练精析
21.3.2菱形
知识点1、菱形的性质
1．如图所示，四边形是菱形，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在菱形中，连接，过点作于点，若，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
3．如下图，菱形的对角线，的长分别为6和8，则这个菱形的边长是（ ）
A．5 B．10 C．6 D．8
4．菱形的周长为60，，则的长为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．30
5．如图，在菱形中，对角线与相交于点，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，边长为5的菱形的对角线、交于点，是的中点，则的长为_____________．
7．如图，在菱形中，点、点在对角线上，连接、，．求证：．
8．如图，菱形中，对角线，交于点，，．求证：．
知识点2 菱形的面积
1．菱形的对角线，相交于点O．若，，则菱形的面积为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
2．如图，在菱形中，为对角线，，，则菱形的面积为（ ）
A． B．30 C． D．60
3．如图，在菱形中，，，分别为，的中点，且，则菱形的面积为___________．
4．如图，菱形的对角线，相交于点，，，与交于点F．若，，则菱形的面积为_____．
5．如图，在中，，．
(1)请用尺规作图的方法作一个菱形，使点D在线段上；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，若，，求菱形的面积．
6．已知：如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点．
(1)判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若，，求四边形的面积．
知识点3菱形的判定
有一组邻边相等的平行四边形是菱形
1．如图，四边形的对角线，相交于O，且互相平分，添加下列条件，能判定四边形为菱形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，以的顶点为圆心、边的长为半径画圆弧交边于点，过点作交边于点，则四边形是_____________．
3．已知：如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点．
(1)判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若，，求四边形的面积．
4．如图，在中，为对角线上的中点，连接，且，垂足为点．求证：是菱形．
四边相等的四边形是菱形
5．如图，为等腰三角形，若把它沿底边翻折得到，则四边形为菱形的依据是___________________．
6．如图，在的两边上分别截取，，使；再分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧交于点C；再连接，，，．能直接判定四边形是菱形的依据是_____．
7．如图，矩形的对角线，相交于点，将沿直线翻折得到.
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，则菱形的面积为______．
8．如图，在中，，是边上的中线，点E在的延长线上，连接，过点C作交的延长线于点F，连接，．求证：四边形是菱形．
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
9．如图，在平行四边形中，，对角线相交于点O，点E，F是对角线上的点，且，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，，求点D到的距离h．10．如图，在平行四边形中，、相交于点，过点作，分别交、于点、，连接、．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，，求菱形的面积．
1．如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则菱形的面积为（ ）
A． B． C．48 D．96
2．将一个长为，宽为的矩形纸片从下向上，从左到右对折两次后，得到如图所示的矩形，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的四边形的面积为______．
3．如图，在菱形中，对角线相交于点，点在边上，且，若，则的度数为______．
4．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接、，连接交于点．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)若菱形的边长为8，，求的值．
5．如图，在矩形中，，，点O是对角线的中点，过点O的直线分别交，边于点E，F．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当时，求的长．
6．如图所示，在四边形中，，，为的中点，连接，，．连接，若，，求的长．
7．如图，在四边形中，，．点P从点A出发，以1/秒的速度向点B运动；同时点Q从点C出发，以2/秒的速度向点D运动．规定其中一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动．设点Q运动的时间为t秒．
(1)当四边形是矩形时，直接写出t的值为 ；
(2)在点P，Q运动过程中，若四边形能够成为菱形，求的长．
8．如图，四边形的对角线、交于点O，延长至点E，使得，连接交边于点F，点D、F分别是、的中点，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求四边形的面积．
9．如图，平行四边形中，是对角线上一点，且．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求四边形的面积．
10．如图，在四边形纸片中，，，点是上一点，将纸片沿折叠，点恰好落在点处，连接．

(1)判断四边形的形状并证明；
(2)若，，求的长．
1．综合与实践
问题情境：如图，在平行四边形中，，的平分线交于点，交于点．
问题解决：
(1)判断四边形的形状并说明理由；
(2)若，，平行四边形的面积为120，直接写出的长．
2．在综合与实践课上，同学们以“三角形的折叠”为主题开展数学活动．
【操作探究】
同学们用一张钝角三角形纸片（为钝角），进行了如下操作：
第一步：如图1，折出的角平分线；
第二步：如图2，展平纸片，再次折叠该三角形纸片，使点与点重合，折痕分别与，交于点，点；
第三步：如图3，再次展平纸片，连接，，可得四边形，与交于点．
【问题解决】
（1）在图4的中利用尺规做出折痕；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）试判断图3中四边形的形状，并写出证明过程．

【迁移探究】
（3）如图5，小明用一张直角三角形纸片（其中，，）也进行了如上三步操作，直接写出此时线段的长．
3．综合与实践
问题情境：
在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将沿折叠，点D的对应点为．
分析探究：
（1）如图1，当，当点恰好落在边上时，三角形的形状为 ．
问题解决：
（2）如图2，当E，F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若的面积为24，，请直接写出线段的长．
2025-2026学年人教版八年级数学下分层精练精析
21.3.2菱形（解析版）
知识点1、菱形的性质
1．如图所示，四边形是菱形，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边对等角和三角形内角和定理，由菱形的性质可得，再由等边对等角和三角形内角和定理可得答案．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
2．如图，在菱形中，连接，过点作于点，若，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的对角线平分对角是解题的关键．
先根据，求出，再根据菱形的对角线平分对角求解即可．
【详解】解：∵，
∴．
∵，
∴．
∵菱形，
∴，，
∴，
∴．
故选：C．
3．如下图，菱形的对角线，的长分别为6和8，则这个菱形的边长是（ ）
A．5 B．10 C．6 D．8
【答案】A
【分析】先根据菱形的性质得出，，再根据勾股定理得出答案．
【详解】解：∵四边形是菱形，，
∴，
∴．
根据勾股定理，得，
所以这个菱形的边长为5．
4．菱形的周长为60，，则的长为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．30
【答案】B
【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，由菱形的性质得到，，再证明是等边三角形，由等边三角形的性质即可得到答案．
【详解】解：如图所示，
∵菱形的周长为60，
∴，，
∴
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
故选：B．
5．如图，在菱形中，对角线与相交于点，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查菱形的性质，掌握“菱形的对角线互相垂直平分但不一定相等”是解题的关键．根据菱形的性质依次判断即可．
【详解】A．∵菱形的对角线互相垂直，又∵四边形是菱形，对角线与交于点，∴，该选项正确；
B．∵菱形的四条边相等，又∵四边形是菱形，、是菱形的邻边，∴，该选项正确；
C．∵菱形的对角线仅满足互相垂直且平分，不一定相等，又∵题目中仅说明四边形是菱形，未说明是正方形，∴无法推出，该选项错误；
D．∵菱形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分，又∵四边形是菱形，对角线与交于点，∴是的中点，即，该选项正确．
故选：C．
6．如图，边长为5的菱形的对角线、交于点，是的中点，则的长为_____________．
【答案】
【分析】根据菱形的性质可得，，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，且边长，
，，
，
∵是的中点，
．
7．如图，在菱形中，点、点在对角线上，连接、，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了利用菱形的性质证明，全等的性质和（）综合（或者）等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解．
先利用菱形的性质得出，再证明，从而可利用线段差求得．
【详解】证明：四边形是菱形，
，
，
又，
，
，
，
即．
8．如图，菱形中，对角线，交于点，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定，矩形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质，平行四边形的判定与矩形的判定与性质是解题的关键．
由，可得四边形是平行四边形，由四边形是菱形，可得，则，从而四边形是矩形，根据矩形对角线相等，则有．
【详解】证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴．
知识点2 菱形的面积
1．菱形的对角线，相交于点O．若，，则菱形的面积为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【详解】解：∵菱形的面积等于对角线乘积的一半，在菱形中，，，
∴菱形的面积为．
2．如图，在菱形中，为对角线，，，则菱形的面积为（ ）
A． B．30 C． D．60
【答案】C
【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
连接，与交于点O，根据菱形对角线互相垂直平分求出，再利用勾股定理求出，进而得到，最后根据菱形的面积等于，据此解答即可．
【详解】解：如图，连接，与交于点O，
四边形是菱形，
、，
在中，由勾股定理得，
，
，
菱形的面积为，
故选：C．
3．如图，在菱形中，，，分别为，的中点，且，则菱形的面积为___________．
【答案】
【分析】根据三角形中位线定理，可得，然后根据菱形的面积为即可求解．
【详解】解：∵，分别为，的中点，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴菱形的面积为，
4．如图，菱形的对角线，相交于点，，，与交于点F．若，，则菱形的面积为_____．
【答案】24
【分析】根据菱形的对角线性质可得、，易证得四边形是矩形，进而得到，再利用勾股定理求出的长，进而得到的长，从而计算菱形的面积．
【详解】解：菱形的对角线，相交于点，
、，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
在中，，
，
，
故答案为：24．
5．如图，在中，，．
(1)请用尺规作图的方法作一个菱形，使点D在线段上；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，若，，求菱形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理、菱形的判定及性质、尺规作垂直平分线以及尺规作线段，熟练掌握菱形的判定及性质是解题的关键．
（1）作线段的垂直平分线交于点O，交于点D，在线段的垂直平分线上取，连接、、，则四边形为所求作的四边形；
（2）由菱形的性质得，再根据勾股定理构造方程即可得解．
【详解】（1）解：四边形为所求作的四边形；
（2）解：∵四边形为菱形，
∴，
设，
∵，，，
∴在中，，
∴，
∴在中，，
即，解得，
∴，
∴．
6．已知：如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点．
(1)判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若，，求四边形的面积．
【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析；
(2)
【分析】（1）先根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判定四边形为平行四边形，再利用矩形对角线相等且互相平分的性质得到，结合“一组邻边相等的平行四边形是菱形”完成判定；
（2）先计算矩形的面积，再利用矩形对角线分矩形为四个面积相等的三角形得到的面积，最后根据菱形的面积是面积的2倍，求出四边形的面积．
【详解】（1）解：四边形是菱形，
理由：∵，，
∴四边形是平行四边形．
∵四边形是矩形，
∴，且，，
∴．
∴平行四边形是菱形．
（2）解：∵四边形是矩形，，，
∴，
∴．
∵四边形的形状是菱形，
∴根据对称性，，
∴．
即四边形的面积为．
知识点3菱形的判定
有一组邻边相等的平行四边形是菱形
1．如图，四边形的对角线，相交于O，且互相平分，添加下列条件，能判定四边形为菱形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：四边形的对角线，相交于O，且互相平分，
四边形是平行四边形．
A、是平行四边形的性质，不能判定四边形为菱形，故A不符合题意；
B、四边形是平行四边形，，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，能判定四边形为菱形，故B符合题意；
C、四边形是平行四边形，，根据对角线相等的平行四边形是矩形，不能判定四边形为菱形，故C不符合题意；
D、四边形是平行四边形，
．
，
．
四边形是矩形．
不能判定四边形为菱形，故D不符合题意．
2．如图，以的顶点为圆心、边的长为半径画圆弧交边于点，过点作交边于点，则四边形是_____________．
【答案】菱形
【分析】由平行四边形的性质，结合已知条件，可得平行四边形，根据作图过程可知一组邻边相等，即可判定四边形的形状．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
由作法得：，
∴四边形是菱形．
3．已知：如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点．
(1)判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若，，求四边形的面积．
【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析；
(2)
【分析】（1）先根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判定四边形为平行四边形，再利用矩形对角线相等且互相平分的性质得到，结合“一组邻边相等的平行四边形是菱形”完成判定；
（2）先计算矩形的面积，再利用矩形对角线分矩形为四个面积相等的三角形得到的面积，最后根据菱形的面积是面积的2倍，求出四边形的面积．
【详解】（1）解：四边形是菱形，
理由：∵，，
∴四边形是平行四边形．
∵四边形是矩形，
∴，且，，
∴．
∴平行四边形是菱形．
（2）解：∵四边形是矩形，，，
∴，
∴．
∵四边形的形状是菱形，
∴根据对称性，，
∴．
即四边形的面积为．
4．如图，在中，为对角线上的中点，连接，且，垂足为点．求证：是菱形．
【答案】见解析
【分析】根据“邻边相等的平行四边形是菱形”结合线段垂直平分线的性质即可证明是菱形．
【详解】证明：为对角线上的中点，，
垂直平分，
，
∵四边形是平行四边形，
是菱形．
四边相等的四边形是菱形
5．如图，为等腰三角形，若把它沿底边翻折得到，则四边形为菱形的依据是___________________．
【答案】四条边相等的四边形是菱形
【分析】由折叠的性质，可得，又由为等腰三角形，即可证得，又由四条边都相等的四边形是菱形，即可判定四边形是菱形．
【详解】解：∵是沿底边翻折所得，
∴，
∵为等腰三角形，
∴，
∴四边形是菱形．
故四边形为菱形的依据是： 四条边相等的四边形是菱形
6．如图，在的两边上分别截取，，使；再分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧交于点C；再连接，，，．能直接判定四边形是菱形的依据是_____．
【答案】四条边相等的四边形是菱形
【分析】由题意得，即可得出结论．
【详解】解：由作图得：，
∴四边形是菱形，依据是四条边相等的四边形是菱形．
7．如图，矩形的对角线，相交于点，将沿直线翻折得到.
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，则菱形的面积为______．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】本题考查了菱形的判定及性质、矩形的性质、折叠的性质以及勾股定理：
（1）根据矩形的性质得到，利用翻折后两个三角形全等可知，由此可知是菱形；
（2）根据勾股定理求出，得到的面积，再求出的面积，菱形的面积是的面积的两倍．
【详解】（1）证明：是矩形，
，
沿直线翻折得到，
，
，
四边形是菱形．
（2）解：是矩形，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
8．如图，在中，，是边上的中线，点E在的延长线上，连接，过点C作交的延长线于点F，连接，．求证：四边形是菱形．
【答案】见解析
【分析】根据三线合一的性质可得出垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得出，根据证明，得出，然后根据菱形的判定即可得证．
【详解】证明：是边上的中线，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是菱形．
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
9．如图，在平行四边形中，，对角线相交于点O，点E，F是对角线上的点，且，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，，求点D到的距离h．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质， 利用含30度的性质等知识．
（1）利用菱形的判定方法和性质证明即可．
（2）利用菱形的性质结合已知条件得出是等边三角形，再利用含30度的性质设，则，，利用勾股定理得出以及x，最后根据菱形求面积即可求出h．
【详解】（1）证明：∵是平行四边形，
∴是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
在中，，
即，
解得，负值舍去，
则，，
∴，
∴，
即，
则．
10．如图，在平行四边形中，、相交于点，过点作，分别交、于点、，连接、．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，，求菱形的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题综合考查了平行四边形的性质、菱形的判定以及菱形面积计算等知识．
（1）关键是先证三角形全等得到对角线互相平分，再结合对角线垂直判定菱形．
（2）利用直角三角形锐角互余和等边对等角知识得到的长度，进而求出菱形的对角线长度得到面积．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴．
∵，
∴．
在和中，
∴，
∴．
又，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：在中，，，，
由勾股定理得．
∵四边形是菱形，
∴，．
∴．
∵，
∴，，
∴，
∴，即是的中点，
∴．
在中，，，
∴，
∴，
∴．
1．如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则菱形的面积为（ ）
A． B． C．48 D．96
【答案】C
【分析】由菱形的性质得，，再由直角三角形斜边上的中线性质求出的长度，然后由菱形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
2．将一个长为，宽为的矩形纸片从下向上，从左到右对折两次后，得到如图所示的矩形，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的四边形的面积为______．
【答案】
【分析】由折叠可得得到的四边形是菱形，再根据菱形的面积两条对角线乘积的一半可以求出面积．
【详解】解：如图：
由题意得：，，
由折叠得：，
四边形是菱形，
．
3．如图，在菱形中，对角线相交于点，点在边上，且，若，则的度数为______．
【答案】
【分析】根据菱形的性质可得，由可得，设，再由，即可解答．
【详解】解：在菱形中，对角线、相交于点，
，
，
，
设，
∵，，
，
，
，
，
∴．
4．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接、，连接交于点．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)若菱形的边长为8，，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先求出四边形是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出，即可证明是矩形；
（2）根据菱形的性质得出，再根据勾股定理得出的长度即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴
，
∴四边形是平行四边形．
，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：在菱形中，，，，
∴是等边三角形，
，
∴，
∴在矩形中，，
∵矩形中，
∴在中，．
5．如图，在矩形中，，，点O是对角线的中点，过点O的直线分别交，边于点E，F．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用矩形的性质证明，得到，进而即可求证；
（2）由得四边形是菱形，即得，再利用矩形的性质和勾股定理求出即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，点是对角线的中点，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴当时，四边形是菱形，
∴，
∵四边形是矩形，点是对角线的中点，
∴，
∵，，
设，则，
∵，
∴，
解得，
∴．
6．如图所示，在四边形中，，，为的中点，连接，，．连接，若，，求的长．
【答案】
【分析】本题考查菱形的判定和性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，属于中考常考题型．先证出四边形为菱形，得出，，再由勾股定理即可得出答案．
【详解】解：∵，E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形；
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形，
∴，，
∵，
∴．
故答案为：．
7．如图，在四边形中，，．点P从点A出发，以1/秒的速度向点B运动；同时点Q从点C出发，以2/秒的速度向点D运动．规定其中一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动．设点Q运动的时间为t秒．
(1)当四边形是矩形时，直接写出t的值为 ；
(2)在点P，Q运动过程中，若四边形能够成为菱形，求的长．
【答案】(1)；
(2)4
【分析】（1）利用时间路程速度，可确定t的取值范围，当运动时间为t（）时，，，，，根据四边形是矩形（即），可列出关于t的一元一次方程，解之可得出t的值；
（2）根据四边形是菱形（即），可列出关于t的一元一次方程，解之可得出t的值，将其代入中，可求出的长，再利用勾股定理，即可求出的长．
【详解】（1）解：（秒），（秒）．
当运动时间为t（）时，，，，，
根据题意得：，
解得：t，
∴当四边形是矩形时，t的值为．
故答案为：；
（2）解：当四边形为菱形时，，
∴，
解得：，
∴，
∴．
答：的长为．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、勾股定理、菱形的性质以及矩形的性质，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
8．如图，四边形的对角线、交于点O，延长至点E，使得，连接交边于点F，点D、F分别是、的中点，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求四边形的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查菱形的性质和判定，勾股定理；
（1）先证明得到，，得出四边形是平行四边形，再证明邻边即可；
（2）由菱形的性质和勾股定理求出，即可求出四边形的面积．
【详解】（1）证明：∵点D、F分别是、的中点，，
∴，，，
又∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴设，则，
∵，
∴，解得：，
∴，
∵四边形是菱形，
∴．
9．如图，平行四边形中，是对角线上一点，且．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求四边形的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查菱形的判定与性质，平行四边形的性质，菱形的面积，勾股定理；
（1）连接与交于点，证明，得到，即，则平行四边形是菱形；
（2）先求出，再勾股定理求出，则，再根据菱形的面积是代入求值即可．
【详解】（1）解：连接与交于点，
∵平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：∵，平行四边形是菱形，
∴，
∴，即，
∴菱形的面积是．
10．如图，在四边形纸片中，，，点是上一点，将纸片沿折叠，点恰好落在点处，连接．

(1)判断四边形的形状并证明；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)四边形是菱形，见解析
(2)
【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，勾股定理：
（1）根据平行线的性质以及折叠的性质可得，从而得到，进而得到，可证明四边形是平行四边形，再由，即可求证；
（2）设，在中，利用勾股定理可得，连接，在中，利用勾股定理可得，然后根据，即可求解．
【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下：
如图，
，
．
纸片沿折叠，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形．
，
是菱形．
（2）解：由（1）得，
设，
在中，，
∴，
∴，
解得：，
即，
连接，

在中，，
．
，
，
．
1．综合与实践
问题情境：如图，在平行四边形中，，的平分线交于点，交于点．
问题解决：
(1)判断四边形的形状并说明理由；
(2)若，，平行四边形的面积为120，直接写出的长．
【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析
(2)2.5
【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
（1）根据平行四边形的性质得出，结合可得出四边形是平行四边形，再证明为等腰三角形，易得，即可证明结论；
（2）根据菱形的性质和勾股定理，求得菱形的面积，进而根据得出，即可求解．
【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，，，
∴，，，，
∴，
∴，
∴菱形的面积，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴．
2．在综合与实践课上，同学们以“三角形的折叠”为主题开展数学活动．
【操作探究】
同学们用一张钝角三角形纸片（为钝角），进行了如下操作：
第一步：如图1，折出的角平分线；
第二步：如图2，展平纸片，再次折叠该三角形纸片，使点与点重合，折痕分别与，交于点，点；
第三步：如图3，再次展平纸片，连接，，可得四边形，与交于点．
【问题解决】
（1）在图4的中利用尺规做出折痕；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）试判断图3中四边形的形状，并写出证明过程．

【迁移探究】
（3）如图5，小明用一张直角三角形纸片（其中，，）也进行了如上三步操作，直接写出此时线段的长．
【答案】（1）见详解；（2）菱形，证明见解析；（3）
【分析】（1）作的角平分线与交于点D，即可；
（2）由折叠可知，是的角平分线，是的垂直平分线，再通过垂直平分线和角平分线的性质可得，即可证明四边形是平行四边形，再根据，得证平行四边形是菱形；
（3）勾股定理得出，设第一次翻折点的对应点为，根据翻折的性质可得，得出，在中，勾股定理求出，根据四边形是菱形，得出，在中，勾股定理求出，．
【详解】解：（1）如图所示，即为所求；
（2）菱形，
证明：由折叠可知，是的角平分线，是的垂直平分线，
∵是的垂直平分线，
，
，
∵是的角平分线，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
又 ∵，
∴平行四边形是菱形．
（3）∵，
∴，
如图，设第一次翻折点的对应点为，
根据翻折的性质可得，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
同（2）可得四边形是菱形，
则，
在中，，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查的是尺规作图、菱形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，垂直平分线和角平分线的性质，掌握以上知识点是解题的关键．
3．综合与实践
问题情境：
在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将沿折叠，点D的对应点为．
分析探究：
（1）如图1，当，当点恰好落在边上时，三角形的形状为 ．
问题解决：
（2）如图2，当E，F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若的面积为24，，请直接写出线段的长．
【答案】（1）等边三角形；（2）；（3）
【分析】（1）利用平行四边形的性质及折叠的性质可得，，可得四边形是菱形，可知，根据即可得是等边三角形；
（2）利用折叠的性质可得，，结合三等分点可知，进而可得，利用三角形外角性质可得，进而可知，可得四边形是平行四边形，再结合平行四边形的性质即可得与的数量关系；
（3）由折叠可知：，，易知为等腰直角三角形，延长交于，可知，由平行四边形的性质可得，，，进而可知由的面积为24，，得，求得，可得，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：（1）∵四边形是平行四边形，
∴，，则
由折叠可知：，，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形，
∴，
∴是等边三角形，
故答案为：等边三角形；
（2），理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，，
又∵E，F为边的三等分点，
∴，
由折叠可知：，，
则，
∴，
由三角形外角可知：，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，则，
∴；
（3）由折叠可知：，，
∴，则为等腰直角三角形，
∴，
延长交于，则

∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，即，
∴
∵的面积为24，，即：，
∴，
则，
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，菱形的判定及性质，翻折的性质，等边三角形的判定，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键．
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