2025-2026人教版八年级数学分层精练精析21.3.3 正方形（含解析）

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2025-2026学年人教版八年级数学下分层精练精析
21.3.3 正方形
知识点1、正方形的性质
1．下列结论中，正确的有（ ）
①正方形具有平行四边形的一切性质；②正方形具有矩形的一切性质；③正方形具有菱形的一切性质；④正方形有两条对称轴；⑤正方形有4条对称轴
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是（ ）
A．平行四边形 B．正方形 C．菱形 D．矩形
3．如图，由边长相同的9个小正方形组成的图形，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．四条边都相等 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分
5．如图，在正方形中，，分别为边与上一点，连接，，交点为，且，已知，，则正方形的边长为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
6．如图，点是正方形的对角线上一点，于点，．则点到直线的距离为（ ）
A．2 B． C．3 D．
7．如图，平行四边形和正方形，其中点E在边上．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，有两个正方形、和一个等边三角形，则图中度数为的角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，已知在正方形中，E是的中点，F在上，且．
(1)请你判断的形状，并说明理由．
(2)若此正方形的面积为16，求的长．
10．如图所示，在正方形中，，是上的一点．且．连接．动点从点沿向终点运动，当以点为顶点的三角形和以点为顶点的三角形全等时，求点运动的路程．
知识点2 正方形的判定
1．下列说法正确的是（ ）
A．有一个角是直角的平行四边形是正方形 B．四边都相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是正方形
2．下列命题中正确的是 （ ）
A．四角相等且两边相等的四边形是正方形
B．对角线相等的平行四边形是正方形
C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
D．对角线和一边的夹角是的菱形是正方形
3．如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，垂足为．添加下列哪个条件，不能使成为正方形的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知菱形的对角线交于点O，E，F是对角线所在直线上的两点，且，，连接，得四边形．求证：四边形是正方形．
6．如图，在矩形中，菱形的三个顶点E，G，H分别在矩形的边，，上，．求证：四边形为正方形．
7．如图所示，在中，在，平分，于E．于F，求证：四边形是正方形．
8．如图，已知．请用尺规作图法，求作正方形，使得点D是边的中点，在边上，且点G在的内部．（保留作图痕迹，不写作法）
9．如图，点分别是，，的中点，连接，，，；
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)现有三个条件：①；②平分；③；请你从中选择两个条件（写序号）：使得四边形是正方形，并加以证明．
10．如图，中，，，外角平分线交于点，过点分别作直线，的垂线，，为垂足．
(1)______（直接写出结果不写解答过程）；
(2)①求证：四边形是正方形．
②若，求的长．
(3)如图（2），在中，，高，，则的长度是______（直接写出结果不写解答过程）．
11．在菱形中，E，F是对角线所在直线上的两点，且，连接
(1)求证：四边形是正方形；
(2)若，求的长．
12．如图，正方形的边长为4，点为对角线的中点，点为边上的动点，点在边上，连接，，．
(1)求证：．
(2)当点在边上运动时，四边形的面积是否会发生变化？若不变，请求出其面积；若改变，请说明理由．
13．如图， 正方形的对角线相交于点O，作，交于点E，求证：四边形为正方形．
14．如图，在矩形中，的平分线交于点，于点，于点，与交于点．
(1)判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若，，求的长．
1．如图，分别在正方形的边上截取相等的线段，连接得四边形．求证：四边形是正方形．
2．如图，已知正方形 的边长为1，P，E分别是上的点，且，．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)若点P在线段上移动，其他条件不变，设，求y关于x的表达式，并写出自变量x的取值范围．
3．如图，在中，是边上的中线，以为边作，连接分别与相交于点．
(1)求证：四边形为正方形；
(2)若，求的长．
4．在等腰中，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．
(1)证明：四边形是正方形；
(2)若，求正方形的面积．
5．【问题提出】
（1）如图1，菱形的四个顶点、、、分别在正方形的边、、、上，其中．求证：菱形是正方形；
【问题解决】
（2）如图2，四边形是一个正方形的游乐场，其中，，为了进一步提高周围居民的生活质量，政府计划对其进行扩建，根据规划要求，游乐场的三个游乐项目、、分别在正方形的边、、上，游乐项目扩建在正方形外，且，．当美食城区域的面积为时，求游乐项目到入口的距离的长度．
6．如图，在正方形中，E、F、G、H分别是、、、上的一点，且．
(1)求证：四边形为正方形；
(2)若正方形的面积为4，连接，求的长．
7．已知，正方形的边在正方形的边上，延长到H，使，K在边上，且，求证：四边形为正方形．
8．在菱形中，对角线，交于点O，点E，F在对角线上的位置如图所示，且，，连接，，，．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)若，，求的长．
9．如图，在正方形中，，点是上的一点，连结．过点作，交于点，以为邻边作矩形，连接．
(1)求证：矩形是正方形；
(2)若恰为的中点，请求出的长．
10．如图，四边形是平行四边形，延长至点，使点为的中点．连接，，，已知．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)若还满足，则四边形的形状为 ．
1．推理能力【几何探究】综合与实践．
【问题情境】如图，E为正方形内一点，．将绕点B按顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为C）．延长交于点F，连接．
【猜想证明】
（1）试判断四边形的形状，并说明理由．
（2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系，并加以证明．
【解决问题】
（3）如图①，若，请直接写出的长．
2．综合与实践
数学活动课上，同学们开展了以折叠为主题的探究活动，如图①，已知矩形纸片，其中，．
(1)操作判断
将矩形纸片按图①折叠，使点B落在边上的点处，请判断四边形的形状，并说明理由；
(2)探究发现
将图①的纸片展平，把四边形剪下来，如图②，取边的中点，将沿折叠得到，延长交CD于点N．
①求的长；
②直接写出的周长．
3．综合与实践
如图1，正方形的对角线与交于点，，两边分别与，交于点，．
(1)与的数量关系为______；（直接写出答案）
(2)如图2，点是正方形对角线上一点，，经过点，交于点，连接．猜想线段与的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，在图2的基础上，连接，点是的中点，分别连接，．判断的形状，并说明理由．
2025-2026学年人教版八年级数学下分层精练精析
21.3.3 正方形（解析版）
知识点1、正方形的性质
1．下列结论中，正确的有（ ）
①正方形具有平行四边形的一切性质；②正方形具有矩形的一切性质；③正方形具有菱形的一切性质；④正方形有两条对称轴；⑤正方形有4条对称轴
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据正方形，矩形，菱形的性质，逐一判断即可解答．
【详解】∵正方形属于平行四边形，也是特殊的矩形，特殊的菱形，
∴正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，故①②③正确，
∵正方形的对称轴分别为两组对边的中垂线（2条）和两条对角线所在直线（2条），共4条对称轴，∴④错误，⑤正确，
综上，正确的结论共有4个．
2．下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是（ ）
A．平行四边形 B．正方形 C．菱形 D．矩形
【答案】B
【分析】本题考查特殊四边形的对角线性质，根据平行四边形、正方形、菱形、矩形的对角线特征来逐一判断选项即可．
【详解】解：A.平行四边形的对角线互相平分，但不一定相等且垂直，A选项不符合题意；
B.正方形的对角线相等且互相垂直平分，B选项符合题意；
C.菱形的对角线互相垂直平分，但不一定相等，C选项不符合题意．
D.矩形的对角线相等且互相平分，但不一定垂直，D选项不符合题意．
故选：B．
3．如图，由边长相同的9个小正方形组成的图形，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了网格中的度数、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、角的和差等知识点，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
如图：先判定可得，进而得到，由正方形的性质可得，然后求和即可解答．
【详解】解：如图：
根据题意和图形可知可看作两个全等矩形的对角线，
∴，
由图可知，
∴
∴
，
∴，
∵可以看作是正方形对角线和边构成的角，
∴
∴．
故选B．
4．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．四条边都相等 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分
【答案】B
【分析】本题考查的是正方形及菱形的性质，熟练掌握正方形及菱形的性质是解题关键，选项A、C和D是菱形的必然性质，故排除；选项B是菱形不一定具有的，对角线相等是正方形特有而菱形不一定具有的性质据此得出结论．
【详解】解：∵正方形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等（只有正方形时相等），
∴正方形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等．
故选：B．
5．如图，在正方形中，，分别为边与上一点，连接，，交点为，且，已知，，则正方形的边长为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】根据正方形的性质以及已知条件，根据等角的余角相等，得出，进而根据含度角的直角三角形的性质，即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
6．如图，点是正方形的对角线上一点，于点，．则点到直线的距离为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】C
【分析】本题考查了正方形的性质，角平分线的性质，掌握正方形的性质是解题的关键．过点作，垂足为，根据正方形的性质及角平分线的性质可知，即可解答．
【详解】解：过点作，垂足为，
∵是正方形的对角线，
∴，
∵，，
∴，
即点到直线的距离为，
故选：C．
7．如图，平行四边形和正方形，其中点E在边上．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了正方形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识；由平角的定义求出，由三角形内角和定理求出，再由平行四边形的对角相等即可得出结果.
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴(平行四边形对角相等）．
故选：B．
8．如图，有两个正方形、和一个等边三角形，则图中度数为的角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查了正方形的性质及等边三角形的性质，根据等边三角形的性质可得，再根据正方形的性质可得，利用角的和差得和等于；再利用四边形内角和为求出，由平角的定义即可得到和等于，即可得出结论．
【详解】解：如图，
∵三角形是等边三角形，
∴，
∵正方形、，
∴，
∴；
∵，
∴，
故选：D．
9．如图，已知在正方形中，E是的中点，F在上，且．
(1)请你判断的形状，并说明理由．
(2)若此正方形的面积为16，求的长．
【答案】(1)为直角三角形．理由见解析
(2)
【分析】本题考查了正方形的性质、比例关系、勾股定理及其逆定理等初中数学知识点，解题关键在于通过设定正方形边长，利用比例关系计算各线段长度，再应用勾股定理验证直角三角形的条件，最后结合正方形面积求解目标线段的长度，体现了数学建模和逻辑推理的能力．
（1）可通过设正方形边长，利用勾股定理计算三边平方关系来确定；
（2）先由正方形面积得出边长的平方，再结合第（1）问结论求的长．
【详解】解：（1）为直角三角形．理由如下：
设正方形的边长为，则．
是的中点，
．
在正方形中，
在中，；
在中，；
在中，，
，
为直角三角形；
（2）因为正方形的面积为16，
，
，
（负值已舍去）．
10．如图所示，在正方形中，，是上的一点．且．连接．动点从点沿向终点运动，当以点为顶点的三角形和以点为顶点的三角形全等时，求点运动的路程．
【答案】7或13
【分析】本题考查了正方形性质、全等三角形性质，根据题意，分两种情况讨论，由全等三角形性质得到对应边相等，从而列式求解即可得到答案，熟练掌握三角形全等的性质是解决问题的关键．
【详解】解：如图所示：
①当点在上时，
，
，
由题意可得：；
②当点在上时，
，
，
由题意得：，
当以点为顶点的三角形和以点为顶点的三角形全等时，点运动的路程为7或13．
知识点2 正方形的判定
1．下列说法正确的是（ ）
A．有一个角是直角的平行四边形是正方形 B．四边都相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是正方形
【答案】B
【分析】本题主要考查正方形，菱形，矩形的判定，熟练掌握正方形，菱形，矩形的判定是解题的关键；根据矩形、菱形、正方形的判定定理逐一判断各选项即可．
【详解】解：∵有一个角是直角的平行四边形是矩形，不一定是正方形，∴A错误；
∵四边都相等的四边形是菱形，∴B正确；
∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，∴C错误；
∵对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，∴D错误；
故选：B．
2．下列命题中正确的是 （ ）
A．四角相等且两边相等的四边形是正方形
B．对角线相等的平行四边形是正方形
C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
D．对角线和一边的夹角是的菱形是正方形
【答案】D
【分析】本题考查命题，命题是由题设和结论两部分组成的陈述句，正确的命题叫真命题；错误的命题叫假命题，熟记正方形的判定是解决问题的关键．
根据特殊平行四边形的判定与性质，逐项验证即可得到答案．
【详解】解：A、四角相等的四边形是矩形，再加上两边相等，这两边未明确是对边还是邻边，只要不是邻边相等，该四边形不能判定为正方形，选项命题是错误的，不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，不是正方形，选项命题是错误的，不符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不是正方形，选项命题是错误的，不符合题意；
D、在菱形中，邻边相等，若对角线和一边的夹角是，进而得到有一个内角为，则此菱形是正方形，选项命题是正确的，符合题意；
故选：D．
3．如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键．
根据正方形的判定逐个判定即可得到答案．
【详解】解：选项A、时不能判定矩形是正方形，故A不符合题意，
选项B、时，矩形是正方形，故B符合题意，
选项C、时不能判定矩形是正方形，故C不符合题意，
选项D、时不能判定矩形是正方形，故D不符合题意，
故选：B．
4．如图，在中，，垂足为．添加下列哪个条件，不能使成为正方形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平行四边形、菱形、正方形的判定定理，首先明确平行四边形、菱形、正方形的判定关系：平行四边形中，对角线互相垂直的是菱形；菱形要成为正方形，需满足有一个内角为直角或对角线相等．本题先由得出是菱形，再分析各选项能否让菱形变为正方形．
【详解】四边形是平行四边形，且，
是菱形．
若，菱形的对角线相等．根据“对角线相等的菱形是正方形”，此时菱形是正方形，故A不符合“不能使”的要求．
若，菱形的一个内角为直角．根据“有一个角是直角的菱形是正方形”，此时菱形是正方形，故B不符合“不能使”的要求．
若，是菱形的边，是对角线．仅“边与对角线相等”无法推出菱形有直角或对角线相等，因此不能保证菱形是正方形，故C符合“不能使”的要求．
若，因菱形对角线互相平分（，），则，，即．结合“对角线相等的菱形是正方形”，此时菱形是正方形，故D不符合“不能使”的要求．
故选C
5．如图，已知菱形的对角线交于点O，E，F是对角线所在直线上的两点，且，，连接，得四边形．求证：四边形是正方形．
【答案】见解析
【分析】本题考查菱形的判定和性质，正方形的判定，熟练掌握相关判定定理和性质，是解题的关键．根据菱形的性质，得到，线段的和差得到，进而得到四边形为菱形，得到，进而得到，即可得出结论．
【详解】证明：∵菱形，
∴，
∵，
∴，即，
∴四边形为平行四边形形，
又，
∴四边形为菱形，
∴，
∴，
∴四边形为正方形．
6．如图，在矩形中，菱形的三个顶点E，G，H分别在矩形的边，，上，．求证：四边形为正方形．
【答案】见解析
【分析】本题考查正方形的判定，熟练掌握菱形的性质以及全等三角形的判定和性质是解题的关键．
根据题意利用菱形的性质以及全等三角形的判定先证得，进而证得四边形为正方形．
【详解】证明：四边形为矩形，四边形为菱形，
，
在和中，
，
，
，
，
，
四边形为正方形．
7．如图所示，在中，在，平分，于E．于F，求证：四边形是正方形．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了正方形的判定，角平分线的性质，根据已知可得四边形是矩形，再由角平分线性质可得，由有一组邻边相等的矩形是正方形即可得出结论．
【详解】证明：∵，，，
∴四边形是矩形，
又∵平分，，，
∴，
∴矩形是正方形．
8．如图，已知．请用尺规作图法，求作正方形，使得点D是边的中点，在边上，且点G在的内部．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了正方形的判定，线段垂直平分线的尺规作图和线段的尺规作图．先作的垂直平分线交于点D，再过点D作于点E，然后在上截取，再分别以D，F为圆心，长为半径画弧，两弧交于点G，即可．
【详解】解：如图，正方形即为所求．
理由：由作图得：，，
∴四边形是菱形，
∵，
∴四边形是正方形．
9．如图，点分别是，，的中点，连接，，，；
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)现有三个条件：①；②平分；③；请你从中选择两个条件（写序号）：使得四边形是正方形，并加以证明．
【答案】(1)证明见解析
(2)选①②或①③，证明见解析
【分析】本题考查三角形中位线的性质，正方形的判定：
（1）利用三角形中位线即可证明；
（2）选①②：根据四边形为平行四边形，平分，可得四边形是菱形，再由可得四边形是正方形；选①③：根据四边形为平行四边形，，可得四边形是矩形，再由及三角形中位线的性质可得，从而可证四边形是正方形；选②③：不能证明四边形是正方形．
【详解】（1）分别是的中点，
都是的中位线，
，
四边形为平行四边形；
（2）选择①②：
四边形为平行四边形，平分，
四边形是菱形，
又∵，
四边形是正方形．
选择①③：
四边形为平行四边形，
四边形是矩形，
点分别是的中点，
是的中位线，
四边形是正方形．
选②③：
四边形为平行四边形，平分，
四边形是菱形，
点分别是的中点，
是的中位线，
故四边形不一定是正方形．
10．如图，中，，，外角平分线交于点，过点分别作直线，的垂线，，为垂足．
(1)______（直接写出结果不写解答过程）；
(2)①求证：四边形是正方形．
②若，求的长．
(3)如图（2），在中，，高，，则的长度是______（直接写出结果不写解答过程）．
【答案】(1)
(2)①见解析；②
(3)
【分析】根据平角的定义得到，根据角平分线的定义得到，，求得，根据三角形的内角和定理即可得到结论；
作于，如图所示：则，先证明四边形是矩形，再由角平分线的性质得出，即可得出四边形是正方形；
设，根据已知条件得到，由得四边形是正方形，求得，根据全等三角形的性质得到，同理，，根据勾股定理列方程即可得到结论；
把沿翻折得，把沿翻折得，延长、交于点，由得：四边形是正方形，，，，得出，，设，则，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：，
，
，
平分，平分，
，，，
，
．
故答案为；
（2）作于，如图所示：
，，
，
四边形是矩形，
，外角平分线交于点，
，，
，
四边形是正方形；
设，
，
，
由得四边形是正方形，
，
在与中，
≌，
，
同理，，
在中，，
即，
解得：，
的长为；
（3）如图所示：把沿翻折得，把沿翻折得，延长、交于点，
由得：四边形是正方形，，，，
，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
解得：，即．
故答案为．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、外角平分线性质、矩形与正方形的判定及性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识点．构造辅助线　，结合垂直关系和角平分线性质证明邻边相等是解题的关键．
11．在菱形中，E，F是对角线所在直线上的两点，且，连接
(1)求证：四边形是正方形；
(2)若，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了菱形的性质，正方形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）先根据“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”得四边形是菱形，再根据“有一个角是直角的菱形是正方形”得出答案；
（2）先根据菱形的性质求出，进而求出，再根据正方形的性质可得，然后根据勾股定理求出，则此题可解．
【详解】（1）证明：连接，交于点O，
∵四边形是菱形，
∴
∵，
∴，
即
∵，
∴四边形是菱形，
∴，
∴，
∴四边形是正方形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
在中，，
∴．
12．如图，正方形的边长为4，点为对角线的中点，点为边上的动点，点在边上，连接，，．
(1)求证：．
(2)当点在边上运动时，四边形的面积是否会发生变化？若不变，请求出其面积；若改变，请说明理由．
【答案】(1)见详解
(2)四边形的面积不会发生变化，始终等于4
【分析】此题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）过点O作于点M，于点N，证明四边形是正方形，得，，再根据得，由此可依据“”判定和全等，再根据全等三角形的性质即可得出结论；
（2）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的性质得，则正方形的面积为4，由（1）可知和全等，则，由此得．
【详解】（1）解：过点O作于点M，于点N，如图所示：
∴，
∵四边形是正方形，且边长为4，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴矩形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：当点E在边上运动时，四边形的面积不会发生变化，始终等于4，理由如下：
连接，如图所示：
∵四边形是正方形，点为对角线的中点，
∴，，
∴是等腰直角三角形
∵
∴
则
由（1）得
∴
由（1）得，矩形是正方形，
则．
13．如图， 正方形的对角线相交于点O，作，交于点E，求证：四边形为正方形．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，由正方形的性质可得，再证明四边形是平行四边形，进而可证明四边形是正方形．
【详解】证明：∵正方形的对角线相交于点O，
∴；
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∵，
四边形是正方形．
14．如图，在矩形中，的平分线交于点，于点，于点，与交于点．
(1)判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)正方形；理由见解析
(2)1
【分析】本题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质，全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
（1）根据矩形性质及得，则四边形为矩形，再根据是的平分线得，由此即可得出结论；
（2）根据四边形为正方形，得，证明和全等得，由此可得的长．
【详解】（1）解：四边形为正方形．理由如下：
四边形为矩形，
．
，
，
∴四边形为矩形，
∵是的平分线，
．
四边形为正方形．
（2）解∶∵四边形为正方形，，
．
，
．
∵是的平分线，
．
在和中，
，
．
1．如图，分别在正方形的边上截取相等的线段，连接得四边形．求证：四边形是正方形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．
由正方形性质得到，结合已知条件，由三角形全等的判定得到，再由全等性质得到，即可得证四边形是菱形，再求出，由正方形的判定即可得证．
【详解】证明：四边形是正方形，
，
又，
，
，
则四边形是菱形，
又，
，
，
四边形是正方形．
2．如图，已知正方形 的边长为1，P，E分别是上的点，且，．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)若点P在线段上移动，其他条件不变，设，求y关于x的表达式，并写出自变量x的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了正方形的性质与判定、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题（2）的关键．
（1）由正方形的性质得出，平分，由角平分线的性质定理得，根据正方形的判定定理即可证明；
（2）作于点F．先证是等腰直角三角形，进而证明四边形为矩形，得出，．再证，由全等三角形的性质得出，再由正方形的性质得出，代入即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，为其对角线，
∴，平分．
又∵，
∴，．
∴四边形是正方形．
（2）解：如图，作于点F．
∵四边形是边长为1的正方形，
∴．
∴，
∴是等腰直角三角形．
∵，
∴， ．
∵，
∴，
又∵，，
∴四边形为矩形，
∴，．
∴，
∴．
又∵，，
∴．
∴．
由（1）知四边形是正方形，
∴
∴，
即
整理得，
其中自变量x的取值范围为．
3．如图，在中，是边上的中线，以为边作，连接分别与相交于点．
(1)求证：四边形为正方形；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由等腰三角形的“三线合一”得到，从而是矩形，由直角三角形斜边上中线的性质得到，从而得到矩形是正方形；
（2）先由勾股定理求得，进而得到，根据正方形的性质得到，，因此，，证明得到，即可解答．
【详解】（1）证明：∵，是边上的中线，
∴，
∴是矩形，
∵，是边上的中线，
∴，，
∴，
∴矩形是正方形．
（2）解：∵，，
∴，
∵是的中线，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，．
∵在正方形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查直角三角形的性质，正方形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握直角三角形的性质及正方形的性质是解题的关键．
4．在等腰中，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．
(1)证明：四边形是正方形；
(2)若，求正方形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)16
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、正方形的判定与性质、平行四边形的判定与性质及正方形的面积计算，熟练掌握正方形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
（1）证明，可得，再由D是的中点，即，根据可证四边形是平行四边形，再利用直角三角形的性质可得和，即可得出结论；
（2）根据正方形的性质可得，再利用正方形的面积公式即可计算出结果．
【详解】（1）解：证明：∵，
，
∵E是的中点，
∴，
又∵，
在和中，
，
，
，
∵D是的中点，
，
，
又，
∴四边形是平行四边形，
∵，，D是的中点，
∴在中，，，
∴平行四边形是正方形；
（2）解：，
，
由（1）知，，
在中，，
．
5．【问题提出】
（1）如图1，菱形的四个顶点、、、分别在正方形的边、、、上，其中．求证：菱形是正方形；
【问题解决】
（2）如图2，四边形是一个正方形的游乐场，其中，，为了进一步提高周围居民的生活质量，政府计划对其进行扩建，根据规划要求，游乐场的三个游乐项目、、分别在正方形的边、、上，游乐项目扩建在正方形外，且，．当美食城区域的面积为时，求游乐项目到入口的距离的长度．
【答案】（1）见解析；（2）游乐项目到入口的距离的长度为
【分析】此题考查了正方形的性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识．
（1）证明，则，求出，即可证明结论成立；
（2）过点作，交的延长线于点，连接，证明四边形为菱形，求出，设，则，得到，求出，即，即可得到答案．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，
四边形是菱形，
，
在和中，，，
，
，
，
，
菱形为正方形．
（2）解：过点作，交的延长线于点，连接，
∴，
四边形是正方形，
，，
，
，
四边形为菱形，
，，
，
，
在和中，，，，
，
，
设，则，
，
，即，
故游乐项目到入口的距离的长度为．
6．如图，在正方形中，E、F、G、H分别是、、、上的一点，且．
(1)求证：四边形为正方形；
(2)若正方形的面积为4，连接，求的长．
【答案】(1)证明过程见解析；
(2)的长为．
【分析】（1）由正方形的性质，结合已知可证明，可得，，从而可得，即可证得结论；
（2）由正方形的面积可得边长，根据勾股定理计算，即可得的长．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴四边形是菱形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是正方形．
（2）解：∵正方形的面积为4，
∴，，
∴，
∴的长为．
【点睛】本题考查正方形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余，菱形的判定，求算术平方根，勾股定理．
7．已知，正方形的边在正方形的边上，延长到H，使，K在边上，且，求证：四边形为正方形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了正方形的性质与判定、全等三角形的性质与判定，熟练掌握正方形和全等三角形的性质与判定是解题的关键．
根据正方形的性质得出，，，利用全等三角形的判定证明，推出，，推出四边形为菱形，再求出，根据正方形的判定即可证明．
【详解】证明：∵四边形和四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，，
∴四边形为菱形，
∵，
∴，
∴菱形为正方形．
8．在菱形中，对角线，交于点O，点E，F在对角线上的位置如图所示，且，，连接，，，．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】本题考查菱形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，二次根式，熟练掌握菱形的性质和正方形的判定与性质是解题的关键．
（1）利用菱形的性质得出，，，再利用，得出，得出四边形是平行四边形，再由，，即可得证；
（2）先利用勾股定理求出，再利用正方形的性质得出，再利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，，
∴四边形是正方形；
（2）解：∵，，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴．
9．如图，在正方形中，，点是上的一点，连结．过点作，交于点，以为邻边作矩形，连接．
(1)求证：矩形是正方形；
(2)若恰为的中点，请求出的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）作于点，于点，利用正方形性质推出，并证明四边形是矩形，进而证明，结合全等三角形性质推出，即可证明矩形是正方形；
（2）连接，结合正方形性质，以及线段中点特点，推出，再利用勾股定理求出，，由（1）得，设，则，结合勾股定理求出的值，最后根据求解，即可解题．
【详解】（1）证明：如图，作于点，于点．
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
，
，
，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵四边形是矩形，
∴四边形是正方形．
（2）解：如图，连接，
为的中点， ，
，，
在中，，
∵四边形是正方形，
，
，即，
解得，
∴，
由（1）得，设，则．
∴，
解得(负值舍去)，即，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质和判定，矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，角平分线性质，勾股定理，解题的关键在于灵活运用相关知识．
10．如图，四边形是平行四边形，延长至点，使点为的中点．连接，，，已知．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)若还满足，则四边形的形状为 ．
【答案】(1)见解析
(2)正方形
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，由题意易得，推出，易证四边形是平行四边形，再根据题意易得是等腰三角形，结合点为的中点，利用等腰三角形三线合一可证，即可证明结论；
（2）根据题意易得是等腰直角三角形，利用直角三角形的性质可得，即可得到四边形是正方形．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴是等腰三角形，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：四边形是正方形，理由如下：
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∵点为的中点，
∴，
∵四边形是矩形，
∴四边形是正方形．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，矩形的判定与性质，正方形的判定．熟记平行四边形的判定方法与性质是解本题的关键．
1．推理能力【几何探究】综合与实践．
【问题情境】如图，E为正方形内一点，．将绕点B按顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为C）．延长交于点F，连接．
【猜想证明】
（1）试判断四边形的形状，并说明理由．
（2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系，并加以证明．
【解决问题】
（3）如图①，若，请直接写出的长．
【答案】（1）四边形是正方形．理由见解析；（2），证明见解析；（3）的长为
【分析】（1）由旋转的性质可得，，，由正方形的判定可证四边形是正方形
（2）过点D作于H，由等腰三角形的性质可得，，由“”可得，可得，由旋转的性质可得，可得结论；
（3）作于G，根据勾股定理求出，由（2）可得，，进而求出，根据勾股定理计算的长．
【详解】解：（1）四边形是正方形．理由如下：
由旋转的性质，得，
，
，
∴四边形是矩形．
又，
∴四边形是正方形．
（2）．证明如下：
如图①，过点D作于点．
，
．
四边形是正方形，
，
，
．
又，
，
．
将绕点B按顺时针方向旋转得到．
四边形是正方形，
，
，
．
（3）如图②，过点D作于点H．
四边形是正方形，．
四边形是正方形，
．
在中，由勾股定理，得，
．
同（2）可得，，
，
，
，
．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是解题的关键．
2．综合与实践
数学活动课上，同学们开展了以折叠为主题的探究活动，如图①，已知矩形纸片，其中，．
(1)操作判断
将矩形纸片按图①折叠，使点B落在边上的点处，请判断四边形的形状，并说明理由；
(2)探究发现
将图①的纸片展平，把四边形剪下来，如图②，取边的中点，将沿折叠得到，延长交CD于点N．
①求的长；
②直接写出的周长．
【答案】(1)四边形是正方形，见解析
(2)①；②
【分析】（1）利用矩形的性质和折叠的性质即可证明四边形是正方形；
（2）①先证明四边形是矩形，可得，，根据点是边的中点，得，根据勾股定理即可求出
②连结，由折叠性质可得到，，，然后证明可得到，最后计算的周长为，即可解答；
【详解】（1）解∶四边形是正方形．理由∶
四边形是矩形，
，
将矩形纸片按图①折叠，使点B落在边上的点处，
，，
，
四边形是矩形，
，
矩形是正方形．
（2）①四边形是矩形，， ，
，
四边形是正方形，
， ，
，
四边形是矩形，
，，
点是边的中点，
，
在中
．
②连接，
由折叠性质得∶，，，
为的中点，
，
，
与中，
，
的周长为∶，
，
，
，
．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查折叠的性质，矩形的判定和性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，运用了分类讨论的思想．通过添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
3．综合与实践
如图1，正方形的对角线与交于点，，两边分别与，交于点，．
(1)与的数量关系为______；（直接写出答案）
(2)如图2，点是正方形对角线上一点，，经过点，交于点，连接．猜想线段与的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，在图2的基础上，连接，点是的中点，分别连接，．判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)；
(2)，理由见解析；
(3)是等腰三角形理由见解析
【分析】（1）利用正方形的性质和，证，进而得到直接．
（2）方法一：过点作于点，于点，再根据正方形到的性质证明即可解答．
方法二：利用正方形的性质证出，再证，进而根据等角对等边得．
（3）利用直角三角形斜边上的中线性质即可解答．
【详解】（1）解：；
证明：∵四边形是正方形
∴∠OAE=∠OBF=45°，OA=OB，∠AOB=90°
∵
∴∠AOE=∠BOF
∴（ASA）
（2）解：方法一：
，理由如下：
过点作于点，于点
∵四边形是正方形∴，，平分，
∴，
∵，∴
∴
∵∴
∴
在和中，
∴
∴．
在和中，
∴∴
∴
方法二：，理由如下：
在正方形中，，，平分
∴
在和中，
∴
在四边形中，，
∵
∴
∴
∴
（3）解：是等腰三角形理由如下：
在中，点是的中点，∴
在中，点是的中点，∴
∴
∴是等腰三角形
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，直角三角形斜边上的中线性质，数量掌握相关知识是解本题的关键．
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