2025-2026人教版八年级数学分层精练精析 专题2 特殊平行四边形的综合（含解析）

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2025-2026学年人教版八年级数学下分层精练精析
专题2 特殊平行四边形的综合
核心是证明一个四边形有一个角是直角或对角线相等。
从“平行四边形”起点出发：
思路：题目通常先证明或给定一个平行四边形，然后添加一个条件使其成为矩形。
从“普通四边形”起点出发：
思路：通常需要两步走。先证明它是平行四边形（用两组对边、或一组对边平行且相等），再证明它是矩形（用上述任一判定定理）。这是最常见的“综合”考法。
与直角三角形结合：
常考模型：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。其逆定理也常用：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。
1．已知，中，是边的中线．
阅读：学习全等三角形知识后，我们知道，当出现三角形的中线时，通常用倍长中线构造“X”型全等的方法来解决问题．
如图1，延长到点E，使，连接，则有以下两个常见结论：①； ②．利用这两个结论解决下列问题．
(1)如图1，若，直接写出的取值范围为：__________；
(2)如图2，在中，．求证：．
(3)如图3，点G在的上方，点F在的延长线上，连接，若．求证：．
2．如图，直线交x轴于，交y轴于，且a，b满足∶
(1)，
(2)点C为x轴负半轴上一点，于H， 交于P．
①如图1，求证：；
②如图2，若，连接，求的大小．
3．综合与探究．
【问题背景】
（1）数学活动课上，老师提出了一个问题：如图1，点E为的边上一点，连接，，请探究的面积与面积的关系？“领航”学习小组在数学活动中发现：的面积等于面积的2倍．请你写出完整的解答过程．
【尝试应用】
（2）如图2，长方形中，点E为边上一点，点F为右侧一点，，若，，，求的长；
【深入思考】
（3）如图3，中，点E为边上一点，点F为边上一点，连接，交于点G，连接，若，证明：平分．

4．如图，平行四边形的对角线与交于点O，点E是中点，连接交于点F，延长至点G，使，连接，，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，求的长度．
5．如图，四边形是平行四边形．
(1)请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹：
①作的平分线，交于E，交的延长线于F；②连接；
(2)在（1）作出的图形中，若，，，求四边形的面积．
6．已知：点、、、在同一直线上，，，．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接、、、和，交于点，若，，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图2中是面积3倍的所有三角形．
核心是证明一个四边形有一组邻边相等或对角线互相垂直。
从“平行四边形”起点出发：
思路：先有平行四边形，再添条件成菱形
从“普通四边形”起点出发：
思路一（常见）：先证平行四边形，再证一组邻边相等。
思路二（直接）：四条边都相等的四边形是菱形。当题目中线段关系明确时，可直接用此定理。
与等腰三角形、垂直平分线结合：
常考性质：菱形的对角线平分一组对角，这与“角平分线”和“等腰三角形三线合一”性质相通。
1．如图，已知：在中，是对角线，，是上一点，连接．
(1)将图补充完整（不写作法，不需保留作图痕迹）；
(2)当时，求与的面积比．
2．如图，在中，的平分线交于点E，过点A作的垂线交于点F，交于点G，连接，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，，求的长．
3．如图所示，在四边形中，，，为的中点，连接，，．连接，若，，求的长．
4．如图，在中，，为的中点，点E在上，过A点作的平行线交的延长线于点F，连接，．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，且，求的长．
5．如图1，矩形的对角线相交于点O，延长至点E，使，连接是的中点，连接．
(1)①试猜想四边形的形状，并说明理由．
②若，则四边形的面积为________．
(2)如图2，将图1中的矩形改为正方形，其他条件不变．若正方形的面积为16，求四边形的面积．
6．如图，在四边形中，与相交于点，且，点在上，满足．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求四边形的面积；
(3)在（2）的条件下，平行线与间的距离为　　 ．
正方形是矩形和菱形所有性质的集合。证明时，“先证菱形，再证有一个直角” 或 “先证矩形，再证有一组邻边相等”是两条最清晰的路径。通常不直接按定义证明。
捷径判定：
1.先证明四边形是菱形，再证明它的一个内角是直角。
2.先证明四边形是矩形，再证明它的一组邻边相等。
3.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。（但通常需先证它是平行四边形或菱形/矩形）
1．已知：是的角平分线，点在边上，，过点作，交于点F，连接．
(1)如图1，求证：四边形是菱形；
(2)如图2，当时，请直接写出图2中度数为2倍的角．
2．在菱形中，点E是对角线上一点，点F、G在直线上，且，．
(1)如图1，求证：①；②；
(2)如图2，当时，判断、、的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，当时，点F在线段上，判断、、的数量关系，并说明理由．
3．综合与探究
定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们就把这个原四边形叫做“中方四边形”．
概念理解：
（1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是________．
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
性质探究：
（2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的结论：
①________；
②________；
问题解决：
（3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形ACFG，连接，问有什么位置关系和数量关系？直接写出结果．
拓展应用：
（4）如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点．试探索与的数量关系，并说明理由．
4．在数学实验课上，老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践探究活动．定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
(1)概念理解：如图1，将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展平，折痕为四边形．判断四边形的形状：______筝形（填“是”或“不是”）；
(2)性质探究：如图2，已知四边形纸片是筝形，请用测量、折叠等方法猜想筝形的角、对角线有什么几何特征，然后写出一条性质并进行证明；
(3)拓展应用：如图3，是锐角的高，将沿边翻折后得到，将沿边翻折后得到，延长，交于点G．若，，，求的长
5．综合与探究
问题情境：
在边长为10的正方形中，是对角线上一点，连接．过点作的垂线，交射线于点，过点作的垂线，过点作的垂线，两线交于点．
特别研究：
（1）如图1，当点在对角线的中点处时，四边形的形状为______．
深入探究：
（2）如图2，当点是对角线上任意一点时．
①试说明（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由；
②求四边形面积的取值范围．
（3）如图3，当时，点落在的延长线上，请直接写出线段的长．
6．综合与实践
如图，在等腰直角中，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造等腰，，连接．
特例感知
（1）如图1，请判断与之间的位置关系和数量关系，并说明理由；
拓展应用
（2）点F与点C关于对称，连接，，，如图2．已知，设．
①的面积为_______（用含x的代数式表示）；
②当时，请直接写出的长度．
2025-2026学年人教版八年级数学下分层精练精析
专题2 特殊平行四边形的综合（解析版）
核心是证明一个四边形有一个角是直角或对角线相等。
从“平行四边形”起点出发：
思路：题目通常先证明或给定一个平行四边形，然后添加一个条件使其成为矩形。
从“普通四边形”起点出发：
思路：通常需要两步走。先证明它是平行四边形（用两组对边、或一组对边平行且相等），再证明它是矩形（用上述任一判定定理）。这是最常见的“综合”考法。
与直角三角形结合：
常考模型：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。其逆定理也常用：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。
1．已知，中，是边的中线．
阅读：学习全等三角形知识后，我们知道，当出现三角形的中线时，通常用倍长中线构造“X”型全等的方法来解决问题．
如图1，延长到点E，使，连接，则有以下两个常见结论：①； ②．利用这两个结论解决下列问题．
(1)如图1，若，直接写出的取值范围为：__________；
(2)如图2，在中，．求证：．
(3)如图3，点G在的上方，点F在的延长线上，连接，若．求证：．
【答案】(1)1，5
(2)见解析
(3)见解析
【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．
（1）先证明，推出，，根据三角形的三边关系得到，进而推出；
（2）延长至点F，使，连接，可得，推出，求出，同理，得到四边形是矩形，即可证得；
（3）连接，延长至点E，使，则，，由此得到，,再证明，得到，推出，由，得到，求出即可．
【详解】（1）证明：如图，
∵为边上的中线，
∴，
在和中，
，
∴．
∴，，
∵，
∴，
∴；
（2）延长至点F，使，连接，
可得，
∴，
∴，
∴，
同理，
∴四边形是矩形，
∴，
∴；
（3）如图，连接，延长至点E，使，
则，．
∴，,
∵．
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
2．如图，直线交x轴于，交y轴于，且a，b满足∶
(1)，
(2)点C为x轴负半轴上一点，于H， 交于P．
①如图1，求证：；
②如图2，若，连接，求的大小．
【答案】(1)1；1
(2)①证明见解析；②
【分析】（1）用平方和绝对值的非负性求出a、b；
（2）①先求出，再由即可证得；
②过O分别作于M点，作于N点，由证得，则，推出平分，再根据三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】（1）解：，
，解得．
故答案为：1，1．
（2）①证明：，
．
，，，
．
，，，
，．
．
在和中
．
②解：过O分别作于M点，作于N点，
．
，
四边形是矩形．
．
，
．
，
在和中，
．
．
， ，
平分．
，
．
．
，，
．
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了坐标与图形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、矩形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
3．综合与探究．
【问题背景】
（1）数学活动课上，老师提出了一个问题：如图1，点E为的边上一点，连接，，请探究的面积与面积的关系？“领航”学习小组在数学活动中发现：的面积等于面积的2倍．请你写出完整的解答过程．
【尝试应用】
（2）如图2，长方形中，点E为边上一点，点F为右侧一点，，若，，，求的长；
【深入思考】
（3）如图3，中，点E为边上一点，点F为边上一点，连接，交于点G，连接，若，证明：平分．

【答案】（1）见解析；（2）12；（3）见解析
【分析】（1）如图，过点作于点，根据得出结论；
（2）过点作于点，连接，先证明四边形是矩形，得出，求出，设，则，根据勾股定理求出结论；
（3）连接，过点作于点，作于点，证明即可证明结论．
【详解】解：（1）如图，过点E作于点F，

∴，，
∴；
（2）如图，过点D作于点G，连接，

∵，
∴四边形是矩形．
∴．
∵，，
∴，
∴．
∴．
∵四边形是矩形，
∴，，，
设，则，
∴．
∴．
∴．
∴，
∴，
∴；
（3）如图，连接，，过点A作于点M，作于点N，

由（1）知，
∴，即，
∵，
∴，
∴点A在的平分线上，即平分．
4．如图，平行四边形的对角线与交于点O，点E是中点，连接交于点F，延长至点G，使，连接，，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，求的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先结合四边形是平行四边形，得，又因为，得出是的中位线，根据点E为中点，证明，得出，证明四边形是平行四边形；
（2）根据平行四边形的性质，以及证明四边形是矩形，过E作于点H，运用30度直角三角形所对的直角边是斜边的一半以及勾股定理得，，再把数值代入计算，即可作答．
【详解】（1）证明： 四边形是平行四边形，
，
又，
∴是的中位线，
，
又
又点E为中点，
，
，
∴四边形是平行四边形
（2）解：由（1）得四边形是平行四边形，
，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
又∵，
∴，
四边形是矩形，
∴，
∴，
过E作于点H，
在中，，
∴,
∵，
， ，
又在中，，
∴，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，勾股定理，30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，中位线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
5．如图，四边形是平行四边形．
(1)请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹：
①作的平分线，交于E，交的延长线于F；②连接；
(2)在（1）作出的图形中，若，，，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)40
【分析】（1）以点A为圆心，任意长度为半径作弧，分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长度为半径作弧，交于点G，连接，交于E，交的延长线于F，再连接；
（2）先根据平行四边形的性质得出，故可得出，再根据角平分线的定义得，从而证得四边形是矩形，再由矩形的面积公式即可得出结论．
【详解】（1）解：①如图，、即为所求；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
∴四边形是矩形，
，
，
，
．
【点睛】本题考查尺规作图、角平分线的定义、平行四边形的性质、矩形的性质与判定、平行线的性质，熟知角平分线的作法和平行四边形的性质是解答此题的关键．
6．已知：点、、、在同一直线上，，，．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接、、、和，交于点，若，，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图2中是面积3倍的所有三角形．
【答案】(1)见解析
(2)，，，
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，与三角形的高有关的计算：
（1）证明，得到，进而求出即可；
（2）证明四边形为矩形，根据同底三角形的面积比等于底边比，进行判断即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴；
综上：满足条件的三角形有，，，．
核心是证明一个四边形有一组邻边相等或对角线互相垂直。
从“平行四边形”起点出发：
思路：先有平行四边形，再添条件成菱形
从“普通四边形”起点出发：
思路一（常见）：先证平行四边形，再证一组邻边相等。
思路二（直接）：四条边都相等的四边形是菱形。当题目中线段关系明确时，可直接用此定理。
与等腰三角形、垂直平分线结合：
常考性质：菱形的对角线平分一组对角，这与“角平分线”和“等腰三角形三线合一”性质相通。
1．如图，已知：在中，是对角线，，是上一点，连接．
(1)将图补充完整（不写作法，不需保留作图痕迹）；
(2)当时，求与的面积比．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查作线段的垂直平分线及性质，菱形的证明与性质，直角三角形的性质．
（1）作线段的垂直平分线交于点，连接即可；
（2）证明是菱形，，得到，进而得到，由，结合菱形的性质推出，利用直角三角形的性质得到，进而得到，由，即可解答．
【详解】（1）解：如图所示为所求：
（2）解：如图，连接，设的垂直平分线交于点，
∵中，，
∴是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴与的面积比为．
2．如图，在中，的平分线交于点E，过点A作的垂线交于点F，交于点G，连接，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定和性质、等角对等边、全等三角形的判定和性质、角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定和性质、勾股定理是解题的关键．
（1）先证明，利用证明，得出，因此，证出四边形是平行四边形，即可得出结论；
（2）过点作于点，由菱形的性质得出，，，在中，求出，在中，求出，再求出，得出，中，由勾股定理即可得出的长．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴且，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：如图，过点作于点，
∵四边形是菱形，，，，
∴，，，，
在中，，，
在中，，，
∴，
在中，，
∴的长为．
3．如图所示，在四边形中，，，为的中点，连接，，．连接，若，，求的长．
【答案】
【分析】本题考查菱形的判定和性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，属于中考常考题型．先证出四边形为菱形，得出，，再由勾股定理即可得出答案．
【详解】解：∵，E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形；
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形，
∴，，
∵，
∴．
故答案为：．
4．如图，在中，，为的中点，点E在上，过A点作的平行线交的延长线于点F，连接，．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，且，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键．
（1）先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据平行四边形的判定即可得证；
（2）先利用勾股定理可得，再证出平行四边形为菱形，根据菱形的性质可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得．
【详解】（1）证明：∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形．
（2）解：∵，，
∴，
∵四边形为平行四边形，，
∴平行四边形为菱形，
∴，
设，则，
在中，，即，
解得，
∴．
5．如图1，矩形的对角线相交于点O，延长至点E，使，连接是的中点，连接．
(1)①试猜想四边形的形状，并说明理由．
②若，则四边形的面积为________．
(2)如图2，将图1中的矩形改为正方形，其他条件不变．若正方形的面积为16，求四边形的面积．
【答案】(1)①四边形是菱形，理由见解析；②24
(2)8
【分析】本题考查矩形的性质和菱形的性质与判定，掌握矩形和菱形的性质是解题关键．
（1）①根据矩形性质先得到，再利用垂直和平分的条件得到，最后借助H为中点，通过等量代换得到，即可通过四边相等的四边形是菱形证明结论；
②利用矩形和菱形的性质，找到图中矩形和菱形被对角线分割而成的三角形的面积关系，求解即可；
（2）同（1）②理，改矩形为正方形不影响图中三角形的面积关系，按照同样的面积关系计算即可．
【详解】（1）①解：四边形是菱形，理由如下：
∵四边形是矩形，
∴，，，
又，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵点H是中点，，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
②解：∵四边形是矩形，
∴，
由中点的性质，可知，
∵，
∴，
由（1）可知，四边形是菱形，
由菱形的对称性可知，，
∴四边形的面积为；
（2）解：∵正方形是特殊的矩形，具有矩形的所有性质，
∴（1）中的结论仍成立，
由（1）可知，，，
∴四边形的面积为．
6．如图，在四边形中，与相交于点，且，点在上，满足．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求四边形的面积；
(3)在（2）的条件下，平行线与间的距离为　　 ．
【答案】(1)见解析
(2)24
(3)
【分析】此题考查了菱形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，证明四边形为菱形是关键．
（1）根据题意可证明，得到，从而根据“对角线互相平分的四边形为平行四边形”证明即可；
（2）根据，可证明为的中垂线，从而推出四边形为菱形，然后根据条件求出的长度，即可利用菱形的面积公式求解即可；
（3）根据等面积法进行求解即可．
【详解】（1）证明：在和中，
，
∴．
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）∵，
∴为的垂直平分线，．
∴平行四边形是菱形．
∵，
．
在中，，
，
∴，
，
∴四边形的面积为24；
（3）∵，，，
∴，
设平行线与间的距离为，
则，
解得．
故答案为；．
正方形是矩形和菱形所有性质的集合。证明时，“先证菱形，再证有一个直角” 或 “先证矩形，再证有一组邻边相等”是两条最清晰的路径。通常不直接按定义证明。
捷径判定：
1.先证明四边形是菱形，再证明它的一个内角是直角。
2.先证明四边形是矩形，再证明它的一组邻边相等。
3.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。（但通常需先证它是平行四边形或菱形/矩形）
1．已知：是的角平分线，点在边上，，过点作，交于点F，连接．
(1)如图1，求证：四边形是菱形；
(2)如图2，当时，请直接写出图2中度数为2倍的角．
【答案】(1)见解析；
(2),，，．
【分析】（1）直接由得出，得出，．再由证明，得出．由得出，从而，根据等角对等边得出，从而，由菱形的判定可知四边形是菱形；
（2）如图2，利用正方形的性质可得，求得，再求得，然后利用三角形的外角性质求得，即可求解．
【详解】（1）证明：在和中，
，
∴；
∴，
同理，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：由（1）知四边形是菱形，
又∵，
∴四边形是正方形．
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
由三角形的外角性质得：，
∴度数为的度数2倍的角有：,，，．
【点睛】本题主要考查了全等三角形、菱形的判定，正方形的性质，三角形的外角性质等知识．关键是由得出．
2．在菱形中，点E是对角线上一点，点F、G在直线上，且，．
(1)如图1，求证：①；②；
(2)如图2，当时，判断、、的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，当时，点F在线段上，判断、、的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)，理由见解析
(3)，理由见解析
【分析】（1）①由菱形性质得到，由等腰三角形性质得到．从而有．由等量代换得到，从而可证；
②由全等的性质得出，由菱形的性质得出，从而有，最后有等量代换即可得到；
（2）由菱形的性质可求出，从而得到为等边三角形，得到，从而可证结论；
（3）证明四边形是正方形，得到，同（1）可证，得到，进而得到为等腰直角三角形，从而得到结论．
【详解】（1）证明∶①如图，
∵四边形是菱形，
∴．
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，即．
∴；
②∵，
∴．
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴．即．
（2）解：．
理由如下：
∵四边形是菱形，，
∴．
∵，
∴是等边三角形，
∴．
由（1）知：，
∵，
∴．
（3）解：．
理由如下：
如图，
∵四边形是菱形，，
∴四边形是正方形，
∴．
∵，
∴．
∴．
又∵，
∴，即．
∴，
∴．
∵，
∴在中，．
∵．
∴．
∴．
【点睛】本题考查了菱形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，灵活运用相关性质定理和判定定理是解题的关键．
3．综合与探究
定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们就把这个原四边形叫做“中方四边形”．
概念理解：
（1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是________．
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
性质探究：
（2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的结论：
①________；
②________；
问题解决：
（3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形ACFG，连接，问有什么位置关系和数量关系？直接写出结果．
拓展应用：
（4）如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点．试探索与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）D；（2）①，②；（3），；（4），理由见解析
【分析】（1）根据定义“中方四边形”，即可得出答案；
（2）由中位线的性质可得，结合正方形的性质可得结论；
（3）取四边形边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出四边形是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论；
（4）设的中点分别为E、F，并顺次连接，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质即可证得结论．
【详解】解：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下：
因为正方形的对角线相等且互相垂直，
所以其中点四边形是正方形；
故选：D；
（2）①，②；理由如下：
如图1，∵四边形是“中方四边形”，
∴四边形是正方形，
∴，
∵E、F、G、H分别是的中点，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）如图，取四边形边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K，
∵四边形各边中点分别为M、N、R、L，
∴分别是的中位线，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴四边形是菱形，
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴，
综上所述，的位置关系为，数量关系为；
（4），理由如下：
如图，设的中点分别为E、F，并顺次连接，
∵四边形是“中方四边形”，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∵F，N分别是的中点，
∴，
∴．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键．
4．在数学实验课上，老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践探究活动．定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
(1)概念理解：如图1，将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展平，折痕为四边形．判断四边形的形状：______筝形（填“是”或“不是”）；
(2)性质探究：如图2，已知四边形纸片是筝形，请用测量、折叠等方法猜想筝形的角、对角线有什么几何特征，然后写出一条性质并进行证明；
(3)拓展应用：如图3，是锐角的高，将沿边翻折后得到，将沿边翻折后得到，延长，交于点G．若，，，求的长
【答案】(1)是
(2)若四边形纸片是筝形，，，则①对角线平分、；②垂直平分，③.
(3)
【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的判定和性质，证明四边形是正方形是解题的关键．
（1）根据轴对称的性质，即可判断答案；
（2）连接，，证明，即可得得出结论；
（3）根据翻折和已知证明四边形是正方形，可得，再在中，利用列方程求解即可．
【详解】（1）解：四边形为对折后折出的三角形展开形成的四边形，
，，
四边形是筝形；
故答案为：是．
（2）解：若四边形纸片是筝形，，，则①对角线平分、；②垂直平分，③，
证明：如图所示，连接，，
四边形是筝形，
，，
∴垂直平分，
又，
，
，，，
平分和；
（3）解：由翻折可知：，
，，
四边形是矩形，
又∵由翻折可知：，
∴矩形是正方形，
∴，，
设，则，
由翻折可知：，，
∴，，
∵在中，，
∴，
解得：．
即．
5．综合与探究
问题情境：
在边长为10的正方形中，是对角线上一点，连接．过点作的垂线，交射线于点，过点作的垂线，过点作的垂线，两线交于点．
特别研究：
（1）如图1，当点在对角线的中点处时，四边形的形状为______．
深入探究：
（2）如图2，当点是对角线上任意一点时．
①试说明（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由；
②求四边形面积的取值范围．
（3）如图3，当时，点落在的延长线上，请直接写出线段的长．
【答案】（1）正方形；（2）①仍然成立，理由见解析，②；（3）
【分析】（1）首先得到四边形是矩形，然后由即可证明；
（2）①如图所示，过点P作交于点M，交于点N，首先证明出四边形是矩形，然后根据正方形的性质证明出，得到，即可证明四边形是正方形；
②首先求出，得到正方形面积然后根据当时，最短，当点P和点A或点C重合时，最长，进而求解即可；
（3）由正方形得到，然后由得到，然后求出，即可得到．
【详解】（1）∵过点作的垂线，交射线于点，过点作的垂线，过点作的垂线
∴四边形是矩形
∵四边形是正方形，点在对角线的中点处
∴
∴四边形是正方形；
（2）①仍然成立，理由如下：
如图所示，过点P作交于点M，交于点N
∵过点作的垂线，交射线于点，过点作的垂线，过点作的垂线
∴四边形是矩形
∴
∴
∵四边形是正方形，
∴，且平分，
∴，
∴
∴，
∴，四边形是矩形，
∴，
∴
∴
∴
∴四边形是正方形；
②∵在边长为10的正方形中
∴
∴
∵四边形是正方形
∴正方形面积
∴当时，最短
∴此时
∴正方形面积的最小值为；
当点P和点A或点C重合时，最长
∴此时
∴正方形面积的最大值为；
∴四边形面积的取值范围为；
（3）∵四边形是正方形，是对角线
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴．
【点睛】此题考查了正方形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定，等边对等角性质，解题的关键是掌握以上知识点．
6．综合与实践
如图，在等腰直角中，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造等腰，，连接．
特例感知
（1）如图1，请判断与之间的位置关系和数量关系，并说明理由；
拓展应用
（2）点F与点C关于对称，连接，，，如图2．已知，设．
①的面积为_______（用含x的代数式表示）；
②当时，请直接写出的长度．
【答案】（1）, （2）① ②或
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
（1）利用等腰直角三角形的性质，根据证明，即可得到结论；
（2）①连接交于，根据勾股定理求出的长，然后根据（1）的结论，根据勾股定理表示，然后根据对称得到四边形是正方形，即可得到解题即可；②作于， 连接，表示，长，利用勾股定理求出长，然后根据求出x值即可．
【详解】（1），，
∵， ，
∵，
∴， ，
∴，
∴， ，
∴， 即；
（2）解：①连接交于， 则， ，
，
，且，，
，
∵点与点关于对称，
∴垂直平分，
∴， ，
∵，
，
，
∴四边形是正方形，
，
∴故答案为：；
②过作于， 则是等腰直角三角形，
，
，
连接，由直角三角形性质得，
，
，
，
，
则，
，
，
解得或
或 ．
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