2025-2026人教版八年级数学分层精练精析专题4 特殊四边形中的折叠问题（含解析）

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2025-2026学年人教版八年级数学下分层精练精析
专题4 特殊四边形中的折叠问题
1．如图，将先沿折叠，再沿折叠后，A点落在线段上的A′处，C点落在E处，连结，．若恰有，则_________．
2．如图，将一张平行四边形纸片折叠，折痕为，折叠后，点的对应点为点，交于点．若，，，则的长为___________．
3．同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，已知，，的面积为120．点为边上任意一点，将沿折叠，点的对应点为．
(1)如图1，若点恰好落在上时，求证：四边形为平行四边形．
(2)如图2，若时，连接，并延长交于点．求线段的长．
(3)改变点的位置，将沿折叠，连接，当为直角三角形时，求的长度．
4．综合探究
综合探究课上，老师带领同学们开展以“平行四边形的折叠”为主题的数学活动．
问题初探：
（1）如1图，点O是平行四边形纸片对角线的交点，将该纸片沿过点O的线段折叠，使点C的对应点为，点B与点D重合，猜想和的数量关系，并说明理由；
迁移探究
（2）如2图，连接，与交于点P，猜想和的位置关系，并说明理由；
拓展探索
（3）如3图，若纸片沿过点O的线段折叠，点B不与重合，连接，猜想和的位置关系，并说明理由
5．综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“平行四边形的折叠”为主题开展数学活动．
问题情境：
已知中∠A为锐角，，点E、F分别是、边的中点，点G、H分别是、边上的点．分别沿和折叠，点A、C的对应点分别为点、．

(1)操作判断：如图（1），折叠后点与点B重合，点与点D重合．
①四边形________平行四边形（填“是”或“不是”）．
②当满足某个条件时，四边形能成为矩形．这个条件可以是________．
(2)迁移探究：如图（2），若点，落在内部（含边界），连接，，若，则四边形是平行四边形吗？若是，请就图（2）进行证明；若不是，请说明理由．
(3)拓展应用：在（2）的条件下，若，，且，则此时四边形的面积为________．
6．综合与实践
问题情境：
在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将沿折叠，点D的对应点为．
分析探究：
（1）如图1，当，当点恰好落在边上时，三角形的形状为 ____ ．
问题解决：
（2）如图2，当E，F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若的面积为24，，请直接写出线段的长．
1．再看七下数学教学活动—折纸与证明，让学生通过折叠纸片，观察图形的对称性、全等变换及角度边长的变化关系，学生直观感受到几何结论的形成过程，并能主动提出猜想，结合已学知识进行严谨证明，增强了数学思维的严密性和表达的条理性．
探究与发现：
（1）如图1，在中，，怎样证明呢？小明以“折叠”为思路：将沿折叠，使点落在边的点处，请你完成证明过程．
感悟与应用：
（2）如图2，是的高，．若，，求的长．
（3）对折矩形纸片，使与重合，折痕为，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点落在上的点处，并使折痕经过点，折痕为，把纸片展平，连接，如图3所示，则是 （填形状），继续折叠纸片，使点落在边上的点处，并使折痕经过点，得到折痕，把纸片展平，如图4所示，则的度数为 ．
拓展升华：
（4）在四边形中，平分，，探究和的关系，并证明你的结论．
2．已知在长方形中，，．按下列要求折叠，试求出所要求的结果．
(1)如图（1）所示，把长方形沿对角线折叠得，交于点F，求：
(2)如图（2）所示，折叠长方形，使落在对角线上，求折痕的长；
(3)如图（3）所示，折叠长方形，使点D与点B重合，求折痕的长．
3．实践操作
(1)在矩形纸片中，，．
①将矩形纸片折叠，使点落在点处，折痕为，则________，
②如图1，若点恰好在边上，连接，求的长度；
③将矩形纸片沿折叠，使点落在点处，如图．设与相交于点，求的长；
(2)若，，将矩形纸片折叠，使点与重合，如图，求折痕的长．
4．如图，在矩形纸片中，E为边上的动点，F为边上的动点，连接．
(1)若
①如图①，点E与点D重合，点F与点B重合，将矩形纸片沿折叠，点A落在点G处，设与相交于H，求的长；
②如图②，将矩形纸片沿折叠，使点B与点D重合，求折痕的长；
(2)如图③，点E为的中点，点F与点B重合，将矩形纸片沿折叠，点A落在点G处，且点G在矩形内部，延长交于点H，若，求的值．
5．有一个数学活动，通过折叠矩形纸片得到等边三角形，其具体操作过程是：
第一步：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展开（如图1）；
第二步：再折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕，同时得到线段BN（如图2）．
第三步：沿着折叠，得到折痕，沿着折痕，剪下．（如图2）．
请解答以下问题：
(1)如图1，求出的度数．
(2)如图2，求证：是等边三角形．
1．综合与探究
【问题情境】圆圆与方方运用折叠纸片研究平行四边形．
【操作判断】如图1，将沿着对角线折叠，若此时点A与点C恰好重合，证明：．
【类比探究】如图2，在的一边上取一点E，沿着折叠，点A的对称点恰好落在对角线上，若点与点C，E共线，，求的长．
【问题解决】如图3，在的一边上取一点E，沿着折叠，点A的对称点恰好落在的中点处，若，求的长．
2．【问题背景】
同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，已知，，的面积为120．点为边上任意一点，将沿折叠，点的对应点为．
【问题探索】
（1）如图1，若点恰好落在上时，求证：四边形为菱形；
【拓展延伸】
（2）如图2，若时，连接，并延长交于点．求线段的长；
（3）如图3，改变点的位置，将沿折叠，连接，当是以为直角的三角形时，求的长度．
3．在八年一班数学课上，数学老师让每人准备一张菱形纸片，要求同学们在对角线上取一点，连接，将沿折叠，得到．
(1)同学甲发现（图），通过探索发现点落在线段上，从而可证明．请你完整证明：；
(2)同学乙取，折叠后发现（图），通过探索可得出为常数，请求出的值；
(3)同学丙通过折叠发现，测得，，连接，发现的长度可求，求出此时的长度．
4．综合与实践
【问题情境】
在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，为边上任意一点，将沿折叠，点的对应点为，
【分析探究】
（1）如图1，证明四边形是菱形．
【问题解决】
（2）如图2，当，为边的三等分点时，连接并延长，交边于点．试判断线段与的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，当，时，连接并延长，交边于点．若的面积为，，请求线段的长．
5．问题情境：在数学实践课程中，教师引导同学们围绕“菱形纸片的折叠”主题进行探索．已知菱形，，点，分别是，边上的点，将菱形沿折叠．
猜想证明：（1）如图1，设对角线与相交于点，若点的对应点与点重合，折痕交于点．试直接写出四边形的形状；
问题解决：（2）如图2，若点的对应点恰好落在对角线上点处，若，，求线段的长；
（3）如图3，若点的对应点恰好落在边上的点处，若点为的一个三等分点，设，的面积 ．
1．数学实验：折叠正方形纸片．
通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，是将正方形纸片折叠后得到的一条折痕，其中点P，Q分别在边，上．
(1)折叠正方形纸片，使得，依次落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图①中分别作出折痕，（不写作法，保留作图痕迹），其中点E，F分别在边，上．设，的交点为O，则_________；
(2)在（1）的条件下，折叠正方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图②中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点M，N分别在边，上．设，的交点为G，则点G落在正方形纸片的哪一条对称轴上？请说明理由；
(3)如图③，已知正方形纸片的边长为．在（2）的条件下，当点P为边的中点时，则随着点Q位置的改变，的周长是否会发生改变？如果不变，求出的周长；如果改变，求出的周长的最小值，并求出此时折痕的长．
2．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
【操作判断】操作一：
如图1，正方形纸片，将沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形的内部，得到折痕，点B的对应点为M，连接；将沿过点A的直线折叠，使与重合，得到折痕，将纸片展平，连接．
（1）根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，则
①____________°；
②线段之间的数量关系为_______________．
【深入探究】操作二：
如图2，将∠C沿所在直线折叠，使点C落在正方形的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接．
同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在边上某一位置时（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕上，此时交于点P，如图3所示．
（2）小明通过观察图形，测量并猜想，得到结论，请判断该结论是否成立，并说明理由．
【拓展应用】
（3）若正方形纸片的边长为3，当点N落在折痕上时，直接写出线段的长．
3．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
【操作判断】
(1)如图①，在正方形中，点是的中点，交于点．点是边上的一点，连接，将正方形纸片沿所在直线折叠，点的对应点落在上．已知，则的度数为______；
【深入探究】
(2)如图②，在图①的基础上继续折叠，点是边上的一点，连接，将正方形纸片沿所在直线折叠，点的对应点落在上．试探究与之间的数量关系；
【拓展应用】
(3)如图③，在图②的基础上，点，分别是，的中点，顺次连接、、、，若，求点，之间的距离．
4．实践与探究
操作一：如图1，已知正方形纸片，将正方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在正方形的内部，点的对应点为点，折痕为，再将纸片沿过点的直线折叠，使与重合，折痕为，则度．
操作二：如图2，将正方形纸片沿继续折叠，点的对应点为点，我们发现，当点的位置不同时，点的位置也不同．当点在边的某一位置时，点恰好落在折痕上，则度．
在图1中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：
（1）设与的交点为点，求证；
（2）若，则线段的长为 ．
5．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动：
(1)甲同学的操作过程如下：
操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A的对应点M落在上，把纸片展平，连接、，延长交于点Q，连接．
①连接，证明：是等边三角形；
②设正方形边长为2，求的长；
(2)乙同学的操作过程如下：P、G分别在、上，将正方形纸片沿折痕折叠，使点C的对称点H落在边上，点D的对称点为K，交于点T．连接交于点N，连接、．请按要求补全图形，判断的形状，并说明理由．
2025-2026学年人教版八年级数学下分层精练精析
专题4 特殊四边形中的折叠问题（解析版）
1．如图，将先沿折叠，再沿折叠后，A点落在线段上的A′处，C点落在E处，连结，．若恰有，则_________．
【答案】
【分析】本题考查平行四边形的性质、折叠的性质、平行线的性质，由平行四边形的性质得，，再由由折叠的性质得，，，，根据平行线的性质得，进而得，再根据，利用等量代换求得，进而求解即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
由折叠的性质得，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
2．如图，将一张平行四边形纸片折叠，折痕为，折叠后，点的对应点为点，交于点．若，，，则的长为___________．
【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，等角对等边，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
作，交的延长线于点H，求出得，由勾股定理求出，由折叠的性质得，，，得出，设，根据求出，进而可求出的长．
【详解】如图，作，交的延长线于点H，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
由折叠的性质得，，，
∴，，
∴．
设，
∴，
∴．
∵，
∴，
解得，
∴．
故答案为：．
3．同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，已知，，的面积为120．点为边上任意一点，将沿折叠，点的对应点为．
(1)如图1，若点恰好落在上时，求证：四边形为平行四边形．
(2)如图2，若时，连接，并延长交于点．求线段的长．
(3)改变点的位置，将沿折叠，连接，当为直角三角形时，求的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)或或
【分析】（1）由折叠的性质结合平行四边形的性质得到，推出，即可证明四边形是平行四边形；
（2）延长交于点H，由折叠的性质先证明是等腰三角形，得到，根据平行四边形的性质得到，易证利是等腰三角形，用平行四边形的面积公式即可求出，进而得到，利用勾股定理即可解答．
（3）分和两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）证明：由折叠的性质可得：，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：如图，延长交于点H，
由折叠的性质可得：，
，
，
是等腰直角三角形，
，
四边形是平行四边形，，，
，，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
．
（3）解：①当时，延长交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，
在中，，
∴；
如图，当重合时，记，的交点为，
∵当时，，
∴，而，
∴，
∴当重合时，，
由折叠可得：；
②当时，如图，设与交于点，作，
∴，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上：或或．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，折叠问题，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握折叠的性质，平行四边形的性质，是解题的关键．
4．综合探究
综合探究课上，老师带领同学们开展以“平行四边形的折叠”为主题的数学活动．
问题初探：
（1）如1图，点O是平行四边形纸片对角线的交点，将该纸片沿过点O的线段折叠，使点C的对应点为，点B与点D重合，猜想和的数量关系，并说明理由；
迁移探究
（2）如2图，连接，与交于点P，猜想和的位置关系，并说明理由；
拓展探索
（3）如3图，若纸片沿过点O的线段折叠，点B不与重合，连接，猜想和的位置关系，并说明理由
【答案】（1），见解析
（2），见解析
（3），见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质：
（1）由平行四边形的性质可得，，，推出，，证得，由全等三角形的性质可得，再根据线段的和差关系，即可得出结论；
（2）由折叠的性质可得，，，，结合平行四边形的性质，证得，可得，，进而推出，即可得出结论；
（3）分别延长和交于点I，连接，，连接和交于点J，由（1）（2）可得，，，设，可得，证得，推出，即可得出结论．
【详解】（1）解：，
理由：是对角线的交点，
，，，
，，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）解：，
理由：纸片沿过点O的线段折叠，点B与点D重合，
，，，，
在中，，，
，
在和中，
，
，
，，
，
即，
，
，
，
；
（3）解：，
分别延长和交于点I，连接，，连接和交于点J，
由（2）得，
在中，，
，
纸片沿过点O的线段折叠，
，
，
，
由（1）得，
，
，，
设，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
．
5．综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“平行四边形的折叠”为主题开展数学活动．
问题情境：
已知中∠A为锐角，，点E、F分别是、边的中点，点G、H分别是、边上的点．分别沿和折叠，点A、C的对应点分别为点、．

(1)操作判断：如图（1），折叠后点与点B重合，点与点D重合．
①四边形________平行四边形（填“是”或“不是”）．
②当满足某个条件时，四边形能成为矩形．这个条件可以是________．
(2)迁移探究：如图（2），若点，落在内部（含边界），连接，，若，则四边形是平行四边形吗？若是，请就图（2）进行证明；若不是，请说明理由．
(3)拓展应用：在（2）的条件下，若，，且，则此时四边形的面积为________．
【答案】(1)①是；②∠A=45°（答案不唯一）
(2)四边形是平行四边形，证明见解析
(3)
【分析】（1）①是；由折叠知，,，可证，可证，从而，命题得证；②∠A=45°（答案不唯一）；若，可证，得证四边形是矩形．
（2）四边形是平行四边形．如图，连接GH．求证，得．结合折叠证得，，从而，于是，结论得证．
（3）如图，，则点落在上，，可证为等边三角形，于是，中，根据勾股定理，，于是．
【详解】（1）解：①是；
由折叠知，,
∵中,
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴四边形是平行四边形．
②∠A=45°（答案不唯一）
若，则
而四边形是平行四边形
∴四边形是矩形．

（2）证明：四边形是平行四边形．
如图，连接GH．

∵四边形是平行四边形，
∴，，．
∵点E、F分别是、的中点，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
由折叠可知，，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（3）解：如图，，则点落在上，，
由折叠知，．
∴为等边三角形，
∴．
在中，根据勾股定理，．
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理；运用全等三角形判定线段相等、角相等是解题的关键．
6．综合与实践
问题情境：
在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将沿折叠，点D的对应点为．
分析探究：
（1）如图1，当，当点恰好落在边上时，三角形的形状为 ____ ．
问题解决：
（2）如图2，当E，F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若的面积为24，，请直接写出线段的长．
【答案】（1）等边三角形；（2）；（3）．
【分析】（1）利用平行四边形的性质及折叠的性质可得，，可得四边形是菱形，可知，根据即可得是等边三角形；
（2）利用折叠的性质可得，，结合三等分点可知，进而可得，利用三角形外角性质可得，进而可知，可得四边形是平行四边形，再结合平行四边形的性质即可得与的数量关系；
（3）由折叠可知：，，易知为等腰直角三角形，延长交于，可知，由平行四边形的性质可得，，，进而可知由的面积为24，，得，求得，可得，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：（1）∵四边形是平行四边形，
∴，，则
由折叠可知：，，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形，
∴，
∴是等边三角形，
故答案为：等边三角形；
（2），理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，，
又∵E，F为边的三等分点，
∴，
由折叠可知：，，
则，
∴，
由三角形外角可知：，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，则，
∴；
（3）由折叠可知：，，
∴，则为等腰直角三角形，
∴，
延长交于，则
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，即，
∴
∵的面积为24，，即：，
∴，
则，
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，菱形的判定及性质，翻折的性质，等边三角形的判定，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键．
1．再看七下数学教学活动—折纸与证明，让学生通过折叠纸片，观察图形的对称性、全等变换及角度边长的变化关系，学生直观感受到几何结论的形成过程，并能主动提出猜想，结合已学知识进行严谨证明，增强了数学思维的严密性和表达的条理性．
探究与发现：
（1）如图1，在中，，怎样证明呢？小明以“折叠”为思路：将沿折叠，使点落在边的点处，请你完成证明过程．
感悟与应用：
（2）如图2，是的高，．若，，求的长．
（3）对折矩形纸片，使与重合，折痕为，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点落在上的点处，并使折痕经过点，折痕为，把纸片展平，连接，如图3所示，则是 （填形状），继续折叠纸片，使点落在边上的点处，并使折痕经过点，得到折痕，把纸片展平，如图4所示，则的度数为 ．
拓展升华：
（4）在四边形中，平分，，探究和的关系，并证明你的结论．
【答案】（1）证明见解析；（2）14；（3）等边三角形，；（4），证明见解析
【分析】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质和判定，矩形的性质等，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
（1）如图1中，将沿折叠，使点C落在边的点D处，连接．证明，可得结论；
（2）由折叠的性质得到，由“”可证，可得，，由三角形外角的性质结合已知条件证得，由等腰三角形的判定得到，即可求解；
（3）通过矩形的折叠性质，先判断的形状是等边三角形，再根据后续折叠得出的角度关系计算的度数；
（4）通过在上截取，构造全等三角形和，再利用等腰三角形的性质以及平角的定义，推导出和的关系．
【详解】（1）证明：如图1中，将沿折叠，使点C落在边的点D处，连接．
则，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：将沿折叠，点C落在边上的点处，连接，
则，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）如图：对折矩形纸片，使与重合，
∴垂直平分，
，
∵再一次折叠纸片，使点落在上的点处，
∴垂直平分，
，
，
∴是等边三角形，
，
折叠纸片，使点落在边上的点处，
故答案为：等边三角形，15；
（4）与互补，即．
解：理由如下：
如图所示：
在上截取，连接，
∵平分，
在和中，
∴.
∴，，
又 ∵，
∴，
∴
又 ∵，
∴．
2．已知在长方形中，，．按下列要求折叠，试求出所要求的结果．
(1)如图（1）所示，把长方形沿对角线折叠得，交于点F，求：
(2)如图（2）所示，折叠长方形，使落在对角线上，求折痕的长；
(3)如图（3）所示，折叠长方形，使点D与点B重合，求折痕的长．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】本题考查了折叠求值，勾股定理，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是运用勾股定理列方程．
（1）可推出，设，则，在中，根据勾股定理得出，求得x的值，进一步得出结果；
（2）可求得，的值，设，则，在中，根据勾股定理列出，求得x的值，进一步得出结果；
（3）由（1）的结论可知：，，从而，，利用勾股定理即可求得的值．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
由折叠得：，
∴，
∴，
设，则，
在中，
由得，，
∴，
∴；
∴；
（2）解：∵，，，
∴，
由折叠得：，，，
∴，
设，则，
在中，由得，
，
∴，
∴，
∴；
（3）解：作于点，
则，
∴四边形是矩形，
∵点D与点B重合，
∴垂直平分，
∴，
由（1）知：，又点O是长方形中心，
∴，
同（1），
∴，，
∴．
3．实践操作
(1)在矩形纸片中，，．
①将矩形纸片折叠，使点落在点处，折痕为，则________，
②如图1，若点恰好在边上，连接，求的长度；
③将矩形纸片沿折叠，使点落在点处，如图．设与相交于点，求的长；
(2)若，，将矩形纸片折叠，使点与重合，如图，求折痕的长．
【答案】(1)①，②，③
(2)
【分析】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理的应用以及全等三角形的性质与判定，熟记翻折的性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．
（1）①将矩形纸片折叠，使点落在点处，折痕为，
②根据折叠的性质可得，根据勾股定理求得，进而在中，根据勾股定理，即可求解；
③矩形纸片折叠，使点落在点处，折痕为，证明，得出，设，则，在直角三角形中，根据勾股定理建立方程，解方程组，即可求解；
（2）连接，过，得，由②可得，，证明，设，则，在直角三角形中，根据勾股定理建立方程，解方程组，进而求得，在直角三角形中，根据勾股定理即可求解；
【详解】（1）解：①将矩形纸片折叠，使点落在点处，折痕为，则；
②矩形纸片折叠，使点落在点处，折痕为
，
在直角三角形中，，，
，
，
在直角三角形中，，
③矩形纸片折叠，使点落在点处，折痕为，
，，
，
，
，
设，则，
在直角三角形中，，
解得：；
（2）解：连接，过，得，，由②可得，，
，
，
即，
，，
，
，
，
设，则，
在直角三角形中，，
，
解得：，
，
在直角三角形中，，
，
，
4．如图，在矩形纸片中，E为边上的动点，F为边上的动点，连接．
(1)若
①如图①，点E与点D重合，点F与点B重合，将矩形纸片沿折叠，点A落在点G处，设与相交于H，求的长；
②如图②，将矩形纸片沿折叠，使点B与点D重合，求折痕的长；
(2)如图③，点E为的中点，点F与点B重合，将矩形纸片沿折叠，点A落在点G处，且点G在矩形内部，延长交于点H，若，求的值．
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】（1）①由折叠性质和矩形的性质可得，设，根据即可求解；
②连接，过点E作，由折叠性质和矩形的性质可得，，设，根据勾股定理即可求解；
（2）连接，设，，则，，由折叠性质和勾股定理可得，即可求解．
【详解】（1）解①：∵四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴；
设，
∵，
∴，
∵，
即，
解得：，
∴；
②如图，连接，过点E作，
由折叠可得：，，
∵，
∴，
∴，
由折叠可得：，
∴，
由①同理可求：，
设，则，
∵，解得：，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：连接
∵，点E为的中点，
设，，则，，，
∴；
由折叠性质可得：，，，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
∴在矩形中，，
∴．
【点睛】本题是矩形的折叠问题，考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作辅助线是关键．
5．有一个数学活动，通过折叠矩形纸片得到等边三角形，其具体操作过程是：
第一步：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展开（如图1）；
第二步：再折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕，同时得到线段BN（如图2）．
第三步：沿着折叠，得到折痕，沿着折痕，剪下．（如图2）．
请解答以下问题：
(1)如图1，求出的度数．
(2)如图2，求证：是等边三角形．
【答案】(1)
(2)详见解析
【分析】本题考查的是轴对称的性质，矩形的性质，等边三角形的判定与性质；
（1）连接，证明，可得为等边三角形 ，进一步可得答案；
（2）由为等边三角形 ，可得，证明，，可得结论．
【详解】（1）解：连接，
由折叠知：垂直平分，
∴，
又由折叠知，
∴，
∴为等边三角形 ，
∴，
∴．
（2）证明：∵为等边三角形 ，
∴，
∴，而，
∴，，
∴，
∴，
∴为等边三角形．
1．综合与探究
【问题情境】圆圆与方方运用折叠纸片研究平行四边形．
【操作判断】如图1，将沿着对角线折叠，若此时点A与点C恰好重合，证明：．
【类比探究】如图2，在的一边上取一点E，沿着折叠，点A的对称点恰好落在对角线上，若点与点C，E共线，，求的长．
【问题解决】如图3，在的一边上取一点E，沿着折叠，点A的对称点恰好落在的中点处，若，求的长．
【答案】[操作判断]见解析；[类比探究]1；[问题解决]2
【分析】[操作判断]根据折叠的性质得，结合平行四边形的性质可得四边形是菱形，即有；
[类比探究]根据平行四边形的性质得和，则，有折叠得，，由结合等腰三角形的性质有，则有，即可得；
[问题解决]延长交的延长线于点，由（2）得，设，由平行四边形，，则有和，进一步证明，有和，根据列方程求解即可．
【详解】解： [操作判断]∵将沿着对角线折叠，若此时点A与点C恰好重合，
∴，
又∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形，
∴．
[类比探究]∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵沿着折叠点A的对称点恰好落在对角线上，
∴，，
∴，
∴，
∵点与点C，E共线，
∴，
即，
[问题解决]延长交的延长线于点，
由（2）得，
∵沿着折叠，点A的对称点恰好落在的中点处，
设，
∵四边形是平行四边形
∴，
∴，
∵恰好落在的中点处，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，解得，
∴．
【点睛】本题主要考查折叠的性质、平行四边形的性质、菱形的判定和性质、平行线的性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握折叠的性质和特殊四边形的性质．
2．【问题背景】
同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，已知，，的面积为120．点为边上任意一点，将沿折叠，点的对应点为．
【问题探索】
（1）如图1，若点恰好落在上时，求证：四边形为菱形；
【拓展延伸】
（2）如图2，若时，连接，并延长交于点．求线段的长；
（3）如图3，改变点的位置，将沿折叠，连接，当是以为直角的三角形时，求的长度．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）或
【分析】（1）由折叠的性质结合平行四边形的性质得到，，，由得到，因此，从而，即可得到，得证结论；
（2）延长交于点H，由折叠的性质先证明是等腰三角形，得到，根据平行四边形的性质得到，易证是等腰三角形，用平行四边形的面积公式即可求出，进而得到，利用勾股定理即可解答．
（3）分点E不与点C重合，点E与点C重合两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）证明：由折叠的性质可得：，，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
（2）解：如图，延长交于点H，
由折叠的性质可得：，
，
，
是等腰直角三角形，
，
四边形是平行四边形，，，
，，
，，
是等腰直角三角形，
，
∴，
，
，
．
（3）解：当点E不与点C重合时，延长交于点，
则，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵由折叠有，
∴在中，，
∴；
②当与点C重合时，记，的交点为，
由①可知，当时，，
∴，而，
∴，
∴当重合时，，
由折叠可得：
综上所述，或．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，折叠问题，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握折叠的性质，平行四边形的性质，是解题的关键．
3．在八年一班数学课上，数学老师让每人准备一张菱形纸片，要求同学们在对角线上取一点，连接，将沿折叠，得到．
(1)同学甲发现（图），通过探索发现点落在线段上，从而可证明．请你完整证明：；
(2)同学乙取，折叠后发现（图），通过探索可得出为常数，请求出的值；
(3)同学丙通过折叠发现，测得，，连接，发现的长度可求，求出此时的长度．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)．
【分析】本题考查了菱形的性质，轴对称的性质，直角三角形和等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
（）先推出是的平分线，进而得出，推出，再根据即可证明结论；
（）根据折叠的性质，结合推出四边形是菱形，结合得出，然后根据勾股定理求出与的数量关系即可；
（）根据菱形的性质，结合求出及的数量关系，然后由折叠的性质求出和的数量关系，再通过勾股定理求出和的长度，最后由勾股定理求出的长度．
【详解】（1）证明: 由折叠性质可知，
∵，
∴，
∴是的平分线，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴，
根据折叠的性质，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：根据折叠的性质，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
连接交于点，如图，
根据菱形的性质，线段和互相垂直平分，
∵，
∴，
∴，
∴，，
设，则，，
根据勾股定理，，，
∴；
（3）解：如图，连接交于点，
根据菱形的性质可得，，
∵，
∴，
∴，，
根据折叠的性质得：，
∴为等腰直角三角形，，
设，则，，
根据勾股定理得：，
∴，
∴，，，，
在中，．
4．综合与实践
【问题情境】
在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，为边上任意一点，将沿折叠，点的对应点为，
【分析探究】
（1）如图1，证明四边形是菱形．
【问题解决】
（2）如图2，当，为边的三等分点时，连接并延长，交边于点．试判断线段与的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，当，时，连接并延长，交边于点．若的面积为，，请求线段的长．
【答案】（1）见解析；（2）；理由见解析；（3）线段的长为．
【分析】（1）利用平行四边形的性质及折叠的性质可得，再证明四边形是菱形；
（2）利用四边形是平行四边形，可得，再由为边的三等分点，可得，由折叠可知∶，则，可得，再由三角形外角性质可得，则，可得，可证明四边形是平行四边形，则有，再证明可得结论；
（3）延长交于，过点作，先求得，由折叠可得，得到，则为等腰直角三角形，从而得出，则，再由四边形是平行四边形，可得，得到，即，得出，再由的面积为，即∶，求出，再求解可得结果．
【详解】（1）证明∶四边形是平行四边形，
，
由折叠可知∶，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）；理由如下∶
四边形是平行四边形，
，
又为边的三等分点，
，
由折叠可知∶，
∴，
，
由三角形外角性质可知∶，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
；
（3）延长交于，过点作，
∴，
的面积为，
，
，
∵,
∴，
∴设，则，
，
，
(负值舍去)，
，
，
，
，
，
由折叠可知∶，
，则为等腰直角三角形，
，
∴，
四边形是平行四边形，
，
，即，
，
∵的面积为，即：，
，
∴，
，
故线段的长为．
【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查平行四边形的判定及性质，菱形的判定，翻折的性质，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键．
5．问题情境：在数学实践课程中，教师引导同学们围绕“菱形纸片的折叠”主题进行探索．已知菱形，，点，分别是，边上的点，将菱形沿折叠．
猜想证明：（1）如图1，设对角线与相交于点，若点的对应点与点重合，折痕交于点．试直接写出四边形的形状；
问题解决：（2）如图2，若点的对应点恰好落在对角线上点处，若，，求线段的长；
（3）如图3，若点的对应点恰好落在边上的点处，若点为的一个三等分点，设，的面积 ．
【答案】（1）四边形为菱形；（2）；（3）
【分析】（1）根据菱形的性质可得，再根据折叠的性质可知，易得，进而证明四边形为平行四边形，然后根据“邻边相等的平行四边形为菱形”，即可获得答案；
（2）过点作于点，首先证明为等边三角形，进而可得，，设，则，由折叠的性质可得，，在中，由三角函数解得的值，进而可得的长度，然后在中，由勾股定理解得的值，即可获得答案；
（3）过点作，交延长线于点，根据题意可得，在中，由三角函数解得的值，设，则，由折叠的性质可得，，在中，由勾股定理解得的值，然后根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：（1）四边形为菱形．理由如下：
四边形为菱形，
，
将菱形沿折叠，点的对应点与点重合，
，，
，
，，
四边形为平行四边形，
又，
四边形为菱形；
（2）如下图，过点作于点，
四边形为菱形，，
，，
，
为等边三角形，
，，
，
，
设，则，
由折叠的性质可得，，
，
，
，
，
在中，，
即，
解得，
；
（3）如下图，过点作，交延长线于点，
四边形为菱形，，且点为的一个三等分点，
，，，
，
，
，
设，则，，
由折叠的性质可得，，
在中，，
即，解得，
．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质、折叠的性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和折叠的性质是解题关键．
1．数学实验：折叠正方形纸片．
通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，是将正方形纸片折叠后得到的一条折痕，其中点P，Q分别在边，上．
(1)折叠正方形纸片，使得，依次落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图①中分别作出折痕，（不写作法，保留作图痕迹），其中点E，F分别在边，上．设，的交点为O，则_________；
(2)在（1）的条件下，折叠正方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图②中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点M，N分别在边，上．设，的交点为G，则点G落在正方形纸片的哪一条对称轴上？请说明理由；
(3)如图③，已知正方形纸片的边长为．在（2）的条件下，当点P为边的中点时，则随着点Q位置的改变，的周长是否会发生改变？如果不变，求出的周长；如果改变，求出的周长的最小值，并求出此时折痕的长．
【答案】(1)作图见解析；
(2)作图见解析；点G在边、的垂直平分线上；理由见解析；
(3)改变；的周长的最小值为；
【分析】本题考查了正方形的折叠问题．
（1）作，的角平分线即可．根据三角形外角的性质得到，再根据角平分线的性质得到，即可得到；
（2）延长，交于T，作的角平分线即可．证明得到点G是的中点即可；
（3）作的角平分线交于E，连接，先根据折叠的性质求出，可知的最小值为，将向上平移使得M与A重合，证明，得到，即可得到．
【详解】（1）解：如图，作，的角平分线即可．
∵，，
∴．
∵，分别是，的角平分线，
∴
∴
故答案为：；
（2）解：如图，延长，交于T，作的角平分线即可．
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴点G是的中点，
∴点G在边、的垂直平分线上；
（3）解：如图，作的角平分线交于E，连接，
∵是折痕，
∴且垂直平分
∴，
∵为定值即，
∴当A、M、E三点共线时，最小，最小值即为的长，
故的最小值为，
此时E和B重合，将向上平移使得M与A重合，如下图：
∵，，
∴
∵，，
∴，
∴
即，
∵
∴
2．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
【操作判断】操作一：
如图1，正方形纸片，将沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形的内部，得到折痕，点B的对应点为M，连接；将沿过点A的直线折叠，使与重合，得到折痕，将纸片展平，连接．
（1）根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，则
①____________°；
②线段之间的数量关系为_______________．
【深入探究】操作二：
如图2，将∠C沿所在直线折叠，使点C落在正方形的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接．
同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在边上某一位置时（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕上，此时交于点P，如图3所示．
（2）小明通过观察图形，测量并猜想，得到结论，请判断该结论是否成立，并说明理由．
【拓展应用】
（3）若正方形纸片的边长为3，当点N落在折痕上时，直接写出线段的长．
【答案】（1）①45；②；（2）结论成立，理由见解析；（3）
【分析】（1）①由正方形的性质得出，由折叠的性质可得：，，即可求解；
②由折叠的性质即可求解；
（2）根据正方形的性质和折叠的性质得到是等腰直角三角形，再根据全等三角形的判定和性质求解即可；
（3）证明是等腰直角三角形，求出，再由含角的性质以及勾股定理求解，然后设，则，在中，，代入数值计算，解得，由（2）得，则．
【详解】解：（1）①∵四边形是正方形，
∴，
由折叠的性质可得：，，
∴，即；
②由折叠的性质可得：，，
∵，
∴；
（2）结论：成立，理由如下：
将沿所在直线折叠，使点落在正方形的内部，点的对应点为，
∵四边形是正方形，
∴，
由折叠的性质可得：，，，
∴，
∵，
∴，
由（1）得：，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）∵点落在折痕上，
∴，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
设，
则，
在中，，
∴，
则，
∴，
由（2）得，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
3．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
【操作判断】
(1)如图①，在正方形中，点是的中点，交于点．点是边上的一点，连接，将正方形纸片沿所在直线折叠，点的对应点落在上．已知，则的度数为______；
【深入探究】
(2)如图②，在图①的基础上继续折叠，点是边上的一点，连接，将正方形纸片沿所在直线折叠，点的对应点落在上．试探究与之间的数量关系；
【拓展应用】
(3)如图③，在图②的基础上，点，分别是，的中点，顺次连接、、、，若，求点，之间的距离．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据正方形的性质和折叠的性质可得，，从而推出，即可得到答案；
（2）根据正方形的性质和折叠的性质，同（1）可得，，可证，即可得到；
（3）由和正方形的性质可证四边形是平行四边形，结合点、分别是、的中点，从而推出四边形是平行四边形，得到，设，则，然后由，，得到，从而得到，利用勾股定理得到，结合是的中点得到，从而得到方程，解之即可．
【详解】（1）解：四边形ABCD是正方形，
根据折叠可知，，
故答案为：．
（2）解：四边形是正方形
，
，
根据折叠可知，
同理
在和中
（3）解：如图，连接
由（2）可知，
，
正方形中，
四边形是平行四边形
点、分别是、的中点
四边形是平行四边形
设，
则
，
点是的中点
解得：
即点、之间的距离为．
【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形两锐角互余等，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
4．实践与探究
操作一：如图1，已知正方形纸片，将正方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在正方形的内部，点的对应点为点，折痕为，再将纸片沿过点的直线折叠，使与重合，折痕为，则度．
操作二：如图2，将正方形纸片沿继续折叠，点的对应点为点，我们发现，当点的位置不同时，点的位置也不同．当点在边的某一位置时，点恰好落在折痕上，则度．
在图1中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：
（1）设与的交点为点，求证；
（2）若，则线段的长为 ．
【答案】操作一：；操作二：；（1）证明见解析；（2）
【分析】操作一：直接利用折叠的性质，得出两组全等三角形，从而得出，，从而得出的值；
操作二：根据折叠的性质得出，，从而得出，即可求解；
（1）首先利用得出，证明是等腰直角三角形，得到，根据折叠的性质和三角形的内角和定理可得，即可得证；
（2）利用勾股定理求出，则，设，则，，在中，利用勾股定理得出，可求得的长，进而可得结果．
【详解】解：操作一：折叠得到，折叠得到，
，，
，，
，
故答案为：；
操作二：，
，
又沿着折叠得到，
，
，
，
故答案为：；
（1）证明： 由上述证明得，，
，，
，，
，
是等腰直角三角形，即，
沿着折叠得到，
，
在和中，，，
，
在和中，
，
；
（2）由题可知是直角三角形，，
，
，
，
，
，，
设，则，，
在中，，
即，
解得，
则，
，
．
【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练运用折叠的性质，找出全等三角形．
5．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动：
(1)甲同学的操作过程如下：
操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A的对应点M落在上，把纸片展平，连接、，延长交于点Q，连接．
①连接，证明：是等边三角形；
②设正方形边长为2，求的长；
(2)乙同学的操作过程如下：P、G分别在、上，将正方形纸片沿折痕折叠，使点C的对称点H落在边上，点D的对称点为K，交于点T．连接交于点N，连接、．请按要求补全图形，判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)①见解析；②
(2)为等腰直角三角形，理由见解析
【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，翻折的性质，平行线的判定与性质，掌握知识点是解题的关键．
（1）①连接，由翻折推导出，得到，则是等边三角形，即可解答；
②先推导出，，得到，进而推导出，求出，推导出，，则，即可解答；
（2）过点C作于点E，证明，得到，推导出，进而证明，得到，推导出，即，即可解答．
【详解】（1）解：①是等边三角形，
证明：如图，连接，
∵对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，
∴，
∵沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
②如图
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴，
由翻折，得，，
∴，
∵，
∴，
由折叠及题意，得
，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：如图所示，过点C作于点E，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，，
，
由翻折，得
，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴为等腰直角三角形．
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