2025-2026人教版八年级数学分层精练精析章末复习（三）四边形（含解析）
文档属性
| 名称 | 2025-2026人教版八年级数学分层精练精析章末复习（三）四边形（含解析） |
|
|
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 19.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-26 00:00:00 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
2025-2026学年人教版八年级数学下分层精练精析
章末复习（三）四边形
四边形及多边形相关概念和性质
1．某人从A点出发，沿着六边形的公园逆时针转了一圈又回到了A处（如图）．如果在B，C，D，E，F五个转角处都转了，那么他在A处转过多少度角才能仍面向所指的方向（ ）
A． B． C． D．
2．如图，图中的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，小亮发现门后有一个四边形收缩衣架，可以根据使用需求调整外观长度，其利用的原理是___________．
4．如图，在七边形中，的延长线相交于点．若图中，，，的角度和为，则的度数为______．
5．求出下列图形中x的值．
6．如图，四边形的内角，的平分线交于点，，的平分线交于点．
(1)若，则____________，____________．
(2)猜想与之间有怎样的数量关系，并说明理由．
平行四边形的性质与判定
1．如图，点，是平行四边形对角线上的两点，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，．
①线段长为 ．
②四边形的面积为 ．
2．如图，在平行四边形中，点H是边上一点，连接．
(1)尺规作图：请作出的角平分线，分别交于点G、E，交的延长线于点F．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若点G恰好是线段的中点，求证：四边形是平行四边形．
3．如图，在中，为边上一点，连接为中点，过点C作，交的延长线于点F，连接交于点G．
(1)判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若，，．求的长．
4．如图，在平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动，同时点也停止运动．设运动时间为秒，开始运动以后，当为何值时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形？
5．综合与实践
折纸操作简单，富有数学趣味，同学们可以通过折纸开展数学探究．“乐学小组”以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展了数学活动：在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将沿折叠，点B的对应点为．
(1)【感知】如图①，若点恰好落在边上时，求证：四边形是平行四边形；
(2)【探究】如图②，若点三点在同一条直线上，求证：；
(3)【应用】如图③，若，连接并延长，交于点F．若平行四边形纸片的面积为6，，求线段的长．
三角形的中位线、直角三角形斜边上的中线
1．如图，在四边形中，点是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，，是的中点，若平分，，则线段的长为_____________．
3．如图，在中，D、E分别是、中点，平分．交于点F，，，则的长为___________．
4．如图，在中，是的中点，是的中点，交于点，若，则的长为____．
5．如图，在中，，，，是平面内一点，且，点是中点，点在线段上，且，连接，则线段的最大值为_______．
6．如图，在中，是上一点，，是的中点．若，，求的长．
7．如图，已知：在 中，、、分别是边 、、上的中线，并交于点 ．求证： ．
矩形的性质与判定
1．下列四边形中，不一定为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，平分，，．求证：四边形是矩形．
3．如图所示，已知平行四边形的对角线相交于点，．
求证：平行四边形是矩形．
4．如图，在平行四边形中，对角线和交于点，且．，求的度数．
5．如图，在中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)若，，，求的长．
6．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，交的延长线于点，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，求四边形的面积．
菱形的性质与判定
1．按如下步骤作四边形：（）画；（）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交于点；（）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点；（）连接．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)如果，求的度数．
3．如图，已知：在中，是对角线，，是上一点，连接．
(1)将图补充完整（不写作法，不需保留作图痕迹）；
(2)当时，求与的面积比．
4．在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．
5．如图，四边形中，,点在边上，四边形为平行四边形，，动点从点出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点运动，设点的运动时间为秒．
(1)的长为___________，的长为___________；
(2)连结，若将的面积分为两部分，求的值；
(3)若为等腰三角形，求的值；
(4)在点运动过程中，作点关于直线的对称点，当直线与边或边平行或共线时，直接写出的值．
6．如图，在中，，为的中线．，，连接．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)连接，若，，求四边形的面积．
正方形的性质与判定
1．如图所示，在矩形中，是上一点，交于点F，将沿折叠，点C恰好落在边上的点处，则的度数为________．
2．在正方形中，，点在对角线上，．点E、F分别在边、上，且，连接、，则的最小值为______．
3．如图，在正方形中，为对角线上的一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接．
（1）若，则矩形的面积为_______；
（2）当线段与正方形的一边的夹角是时，则的度数为_______．
4．如图，已知在菱形中，点为对角线上一点，连结，过点作，与交于点，．
(1)求证：；
(2)求证：．
5．如图，在正方形中，分别是上两点，交于点，且．
(1)判断与之间的数量关系与位置关系，并说明理由：
(2)当点是的中点时，连接，求的度数．
6．如图，中，，、为的外角平分线，过点分别作直线的垂线，为垂足．
(1)______（直接写出结果不写解答过程）；
(2)①求证：四边形是正方形；
②若，求的长．
(3)借助于上面问题的解题思路，解决下列问题：若锐角三角形中，，一条高是，它的长度为6，，直接写出的长度．
1．“四边形的内角和等于．”对于证明该结论添加的辅助线为：
其中能证明其内角和的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，小明从A点出发，沿直线前进6米后向左转，再沿直线前进6米，又向左转…照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（ ）米．
A．40 B．36 C．48 D．60
3．从边形的一个顶点出发作对角线，最多可将此边形分成个三角形，则（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
4．如图，在中，，是边上一点，且的垂直平分线经过点，是的中点．若，则的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
5．如图，在中，对角线、相交于点，为的中点，．若，则的长为_____________．
6．如图，矩形中，，，是边上一点，连接，过点作于点，连结，则的最小值为___________．
7．如图，在中，对角线，相交于点O，，．
(1)求证：；
(2)若，，，求的面积．
8．如图，点，是平行四边形对角线上的两点，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，．
①线段长为 ．
②四边形的面积为 ．
9．在中，是边的中点，、分别在及其延长线上，，连接．
(1)求证：
(2)若，试判断四边形的形状，并说明理由．
10．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，点E、F、G分别为线段、、的中点，连接、、．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，请判断并证明四边形的形状．
11．如图，在平行四边形中，点是对角线上的一点：，垂足分别为、，且，求证：平行四边形是菱形．
12．如图，已知矩形，
(1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①作的平分线，交边于点．
②过作，垂足为；
(2)求证：四边形是正方形．
13．如图，点C为矩形和正方形的公共顶点，点E，F在矩形的边，上．
(1)求证：；
(2)连接，若，F是的中点，求的长；
(3)在（2）的条件下，猜想和的数量关系，并说明理由．
14．综合与实践
问题情境
在综合与实践课上，老师让同学们以“大小不等的两个正方形”为主题开展数学活动，如图1，现有一个边长为的正方形，点E从对角线上的点A出发向点C运动，连接并延长至点F，使，以为边在右侧作正方形，边与射线交于点M．
操作发现
（1）点E在运动过程中，判断线段与线段之间的数量关系，直接写出答案；
实践探究
（2）在点E的运动过程中，某时刻正方形与正方形重叠的四边形的面积是，求此时的长；
探究拓广
（3）请借助备用图2，探究当点E不与点A，C重合时，线段，与之间存在的数量关系，请直接写出．
2025-2026学年人教版八年级数学下分层精练精析
章末复习（三）四边形（解析版）
四边形及多边形相关概念和性质
1．某人从A点出发，沿着六边形的公园逆时针转了一圈又回到了A处（如图）．如果在B，C，D，E，F五个转角处都转了，那么他在A处转过多少度角才能仍面向所指的方向（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查多边形外角和定理的应用，熟练掌握多边形外角和定理是解题的关键．
根据转过的角度之和等于多边形外角和，解答即可．
【详解】解：根据题意得：某人在途中转过了，
由于在B，C，D，E，F五个转角处都转了，
则他在A处转过的度数为
故选：D．
2．如图，图中的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，三角形外角的定义和性质，设与，分别交于点，，与交于点，由三角形外角的定义得出，，则同理进而转化成求五边形的内角和求解即可．
【详解】解：设与，分别交于点，，与交于点，
则，，
同理
．
故选A
3．如图，小亮发现门后有一个四边形收缩衣架，可以根据使用需求调整外观长度，其利用的原理是___________．
【答案】四边形的不稳定性
【详解】解：小亮发现门后有一个四边形收缩衣架，可以根据使用需求调整外观长度，其利用的原理是四边形的不稳定性．
4．如图，在七边形中，的延长线相交于点．若图中，，，的角度和为，则的度数为______．
【答案】/40度
【分析】本题考查多边形内角和定理及内外角关系，解题的关键是根据题意得到是五边形．
根据七边形中，，的延长线相交于点，得到是五边形，根据的角度和为，得到，结合内角和定理即可得到答案．
【详解】解：∵七边形中，，的延长线相交于点，
∴是五边形，
∵，，，的角度和为，
∴，
∵五边形的内角和为
∴．
故答案为：．
5．求出下列图形中x的值．
【答案】图1中，图2中
【分析】根据四边形的内角和是以及多边形外角的定义计算即可．
【详解】解：（1）图1中，，
即；
（2）图2中，，
即．
6．如图，四边形的内角，的平分线交于点，，的平分线交于点．
(1)若，则____________，____________．
(2)猜想与之间有怎样的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)200°；100°
(2)．理由见解析
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质，三角形内角和为 ，以及角平分线的性质是解题的关键．
（1）在中，由的度数利用三角形内角和求出的度数，再根据角平分线性质得到的度数，接着利用四边形内角和求出的度数，结合角平分线求出的度数，最后在中求出的度数；
（2）先根据四边形内角和得到四个内角和为，结合角平分线性质得到的度数，再分别在和中用内角和定理，联立推导与的数量关系．
【详解】（1）解：在中；
∵ 平分，平分；
∴；
在四边形中；
∵ 平分，平分；
∴；
在中．
∴．
（2）解：．理由如下：
，四边形的内角，的平分线交于点，，的平分线交于点，
．
，，
，
．
平行四边形的性质与判定
1．如图，点，是平行四边形对角线上的两点，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，．
①线段长为 ．
②四边形的面积为 ．
【答案】(1)见解析
(2)，
【分析】（1）连接交于．根据平行四边形的性质得，，再根据，得，根据平行四边形的判定即可得证；
（2）①在中，由勾股定理得，进而得，从而即可得解；②过点作于，根据面积公式得，再证明（），得，从而利用面积公式即可得解．
【详解】（1）证明：连接交于．
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：①在中，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
②过点作于，
∵，，，，
∴，
∴，
解得，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
在和中，
，
∴（），
∴，
∴．
故答案为：．
2．如图，在平行四边形中，点H是边上一点，连接．
(1)尺规作图：请作出的角平分线，分别交于点G、E，交的延长线于点F．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若点G恰好是线段的中点，求证：四边形是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）分别以点D为圆心，任意长为半径画弧，分别交于一点，分别以这两点为圆心，大于这两点距离的一半为半径画弧，两弧交于内部一点，连接此点与点D，分别交于点G、E，交的延长线于点F．
（2）利用平行四边形的性质得到，，，证明，得到，由此得到结论．
【详解】（1）解：如图，DF即为所求；
；
（2）证明：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，，
∵G是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定及性质，作角的平分线，正确掌握平行四边形的性质是解题的关键．
3．如图，在中，为边上一点，连接为中点，过点C作，交的延长线于点F，连接交于点G．
(1)判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若，，．求的长．
【答案】(1)平行四边形，理由见解析
(2)2
【分析】（1）通过平行线的性质证得，可得，结合题意得即可求证四边形是平行四边形；
（2）设，根据题意可得，通过勾股定理求出，即可求解．
【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下：
为中点，
，
，
，，
在和中，
，
，
，
，
四边形是平行四边形．
（2）解：四边形是平行四边形，
，
，，
，
在中，，
设，则，
，
解得（负值舍去），
，
．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，的直角三角形性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题关键．
4．如图，在平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动，同时点也停止运动．设运动时间为秒，开始运动以后，当为何值时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形？
【答案】当时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形．
【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质，注意掌握分类讨论思想的应用．设经过秒，根据平行四边形的判定可得当时，以点，，，为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可．
【详解】解：∵平行四边形是平行四边形，
∴，，
∵要使以点，，，为顶点组成平行四边形，
∴只需，
∵点从点到点需要，点从到需要，
分为以下情况：
当时，即点的运动路线在时，
由题意，得：，
解得：，此时不符合题意；
②当时，点的运动路线在时，
由题意，得：，
解得：；
③当时，点的运动路线在时，
由题意，得：，
解得：，此时不符合题意；
综上所述，当时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形．
5．综合与实践
折纸操作简单，富有数学趣味，同学们可以通过折纸开展数学探究．“乐学小组”以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展了数学活动：在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将沿折叠，点B的对应点为．
(1)【感知】如图①，若点恰好落在边上时，求证：四边形是平行四边形；
(2)【探究】如图②，若点三点在同一条直线上，求证：；
(3)【应用】如图③，若，连接并延长，交于点F．若平行四边形纸片的面积为6，，求线段的长．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)．
【分析】（1）由折叠的性质结合平行四边形的性质得到，推出，即可证明四边形是平行四边形；
（2）由折叠的性质结合平行四边形的性质证明是等腰三角形，即可得出结论；
（3）延长交于点H，由折叠的性质先证明是等腰三角形，得到，根据平行四边形的性质得到，易证是等腰三角形，用平行四边形的面积公式即可求出，进而得到，利用勾股定理即可解答．
【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下：
由折叠的性质可得：，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形；
（2）证明：由折叠的性质可得：，
四边形是平行四边形，
，
，
，
点三点在同一条直线上
是等腰三角形，
；
（3）解：如图，延长交于点H，
由折叠的性质可得：，
，
，
是等腰直角三角形，
，
四边形是平行四边形，，
，，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，翻折的性质，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键．
三角形的中位线、直角三角形斜边上的中线
1．如图，在四边形中，点是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由三角形的内角和定理，结合三角形中位线定理可得，由平行线的性质可得的度数，根据三角形的内角和定理以及等边对等角，计算即可得的度数．
【详解】解：∵是对角线的中点，点、分别是、的中点，
∴，，，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
2．如图，在中，，，是的中点，若平分，，则线段的长为_____________．
【答案】
【分析】延长交于点，根据角平分线的定义得到，易证得，进而得到，，根据是的中位线，进行解答即可．
【详解】解：如图，延长交于点，
平分，
,
，
在和中，
,
，
，，
,
为的中点，，
是的中位线，
．
3．如图，在中，D、E分别是、中点，平分．交于点F，，，则的长为___________．
【答案】1
【分析】通过三角形中位线定理推出，，借助角平分线这个条件证出，从而通过等量代换求出的长．
【详解】解：∵分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
4．如图，在中，是的中点，是的中点，交于点，若，则的长为____．
【答案】3
【分析】本题主要涉及平行四边形的性质与判定以及三角形中位线定理，取的中点，连接构造中位线，利用中位线性质和平行四边形性质得到新的平行四边形，进而得出线段之间的关系，最后根据已知线段长度求出．
【详解】解：取的中点，连接，如图，
是的中点，是的中点，
是的中位线，
平行于，，
∵四边形是平行四边形，
，平行于，
是的中点，
，
平行于，，
∴四边形是平行四边形，
，
，是的中点，
，
．
故答案为：3．
5．如图，在中，，，，是平面内一点，且，点是中点，点在线段上，且，连接，则线段的最大值为_______．
【答案】
【分析】本题考查三角形中位线的性质、勾股定理及三角形三边关系，正确得出是解题关键．延长到，使，连接，，可得是的中位线，利用勾股定理可求出，根据三角形中位线的性质可得，利用三角形三边关系可得的最大值为，即可得出的最大值．
【详解】解：如图，延长到，使，连接，，
∵，，
∴，，
∴，
∵点是中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴点、、三点在一条直线上时，有最大值，
∴的最大值为，
∴线段的最大值为．
故答案为：
6．如图，在中，是上一点，，是的中点．若，，求的长．
【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定，全等三角形的判定与性质，掌握延长中线构造平行四边形，结合等边三角形和全等三角形推导线段关系是解题的关键．
延长构造平行四边形，利用平行四边形性质得线段相等与平行关系，结合证等边三角形，再通过全等三角形证，最后由为的一半求长度．
【详解】解：如图，延长至点，使得，连接，，．
是的中点，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
是等边三角形，
，，
．
在和中，
，
，
．
7．如图，已知：在 中，、、分别是边 、、上的中线，并交于点 ．求证： ．
【答案】见解析
【分析】本题考查三角形中位线的判定与性质，平行四边形的判定与性质，如图，取的中点，连接，利用三角形中位线的性质证明四边形是平行四边形，推出，结合，即可得出结论．
【详解】证明：如图，取的中点，连接，
∵、分别是边 、上的中线，即点分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∵点分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴．
矩形的性质与判定
1．下列四边形中，不一定为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与矩形的判定，熟练掌握平行四边形及矩形的判定定理是解题的关键．
先判断各选项是否为平行四边形，再依据矩形的判定定理逐一验证，从而确定不一定为矩形的选项．
【详解】解：选项：
∵，，
∴四边形是平行四边形．
由于无直角条件，所以无法判定为矩形．
选项：
∵四边形中有三个角是直角，四边形内角和为，
∴第四个角也是直角．
∴四边形是矩形．
选项：
∵，
∴，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴平行四边形是矩形．
选项：
∵，，
∴四边形是平行四边形．
∵，，
∴．
∴．
∴平行四边形是矩形．
故选：．
2．如图，在中，，平分，，．求证：四边形是矩形．
【答案】见解析
【分析】本题考查矩形的判定、等腰三角形的性质、平行线的性质，先根据等腰三角形的三线合一性质得到，再结合平行线的性质和垂直定义得到，进而根据矩形的判定可得结论．
【详解】证明：在中，，平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
3．如图所示，已知平行四边形的对角线相交于点，．
求证：平行四边形是矩形．
【答案】见解析
【分析】利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合已知角相等推导出对角线相等，再根据“对角线相等的平行四边形是矩形”完成证明．
【详解】证明：∵ 四边形 是平行四边形，
∴ ，，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∵ 四边形 是平行四边形，且 ，
∴ 平行四边形 是矩形．
4．如图，在平行四边形中，对角线和交于点，且．，求的度数．
【答案】
【分析】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定和性质等知识.
首先证明四边形是矩形，利用矩形的性质即可解决问题.
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴．
5．如图，在中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)2.4
【分析】本题考查矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，关键是由平行四边形的性质推出，由勾股定理的逆定理判定是直角三角形，
（1）由平行四边形的性质推出，，得到，判定四边形是平行四边形，而，即可证明四边形是矩形．
（2）由勾股定理的逆定理判定是直角三角形，由三角形面积公式得到，即可求出．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）解：由（1）知：四边形是矩形，又，
∴，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，
∴的面积，
∴，
∴．
6．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，交的延长线于点，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握对角线相等的平行四边形是矩形，以及所对的直角边是斜边的一半，是解题的关键．
（1）根据平行四边形的性质得到，结合已知即可证明；
（2）先利用四边形是平行四边形，得到，进而得到，证得矩形，有，且，利用的直角三角形求出，，再利用面积公式进行求解．
【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形，
，即，
，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：由（1）得四边形是平行四边形，则，
，
，
∵四边形为平行四边形，
∴平行四边形是矩形，
，
，且，
，
，
在中，由勾股定理得，
．
菱形的性质与判定
1．按如下步骤作四边形：（）画；（）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交于点；（）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点；（）连接．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先证明四边形是菱形，再根据菱形的性质即可求得答案．
【详解】解：由作图可知，，
∴四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
2．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)如果，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质．
（1）根据矩形的性质得到，，证明，进而证明四边形是平行四边形，根据线段的垂直平分线的性质得到，即可证明四边形是菱形；
（2）根据矩形的性质得到，进而求出，根据菱形的性质即可求出的度数．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵垂直平分线段，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
由（1）得四边形是菱形，
∴，
∴．
3．如图，已知：在中，是对角线，，是上一点，连接．
(1)将图补充完整（不写作法，不需保留作图痕迹）；
(2)当时，求与的面积比．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查作线段的垂直平分线及性质，菱形的证明与性质，直角三角形的性质．
（1）作线段的垂直平分线交于点，连接即可；
（2）证明是菱形，，得到，进而得到，由，结合菱形的性质推出，利用直角三角形的性质得到，进而得到，由，即可解答．
【详解】（1）解：如图所示为所求：
（2）解：如图，连接，设的垂直平分线交于点，
∵中，，
∴是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴与的面积比为．
4．在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】本题主要考查菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，证明是解题的关键．
（1）先证明，推出，结合，推出四边形是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，从而推出四边形是菱形即可；
（2）过点作交的延长线于点，则，根据菱形的性质和推出和都是等边三角形，得出，再求出，根据所对的直角边等于斜边的一半，得出，最后根据勾股定理求解和即可．
【详解】（1）证明：∵是的中点，是的中点，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，是的中点，
∴，
∴四边形是菱形．
（2）过点作交的延长线于点，则，
∵四边形是菱形，，
∴，，
∴和都是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵在中，
∴根据勾股定理，，
∴，
∵在中，
∴根据勾股定理，，
∴CF的长是．
5．如图，四边形中，,点在边上，四边形为平行四边形，，动点从点出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点运动，设点的运动时间为秒．
(1)的长为___________，的长为___________；
(2)连结，若将的面积分为两部分，求的值；
(3)若为等腰三角形，求的值；
(4)在点运动过程中，作点关于直线的对称点，当直线与边或边平行或共线时，直接写出的值．
【答案】(1)13，20
(2)5或
(3)或或
(4)5或
【分析】（1）先根据平行四边形的性质得，再根据勾股定理求出，然后根据得出答案．
（2）先表示出,，再分两种情况可得或，然后得出两个方程，求出解即可；
（3）作，连接，根据平行四边形的性质得，再根据勾股定理求出，然后根据为等腰三角形，分三种情况，分别列出方程求出解即可；
（4）当共线时，则，根据可得，即可求出；当时，连接，先根据“边边边”证明，再说明，进而得出，即可得出四边形是菱形，然后根据边长相等可得答案．
【详解】（1）解：∵四边形为平行四边形，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：13，20；
（2）解：如图所示，
由题意，得,
∵，
∴．
∵将的面积分为两部分，
即或，且等高，
∴或，
∴或，
∴或，
解得或，
∴t的值为5或；
（3）解：如图，过点E作，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
∵,
∴．
由（1）知由（2）知，
∴．
∵为等腰三角形，
∴分三种情况：
当时，则，
解得；
当时，
∴即则，
解得；
当时，，
∵，
∴，
在中，，即，
解得．
综上所述，当为等腰三角形，t的值为或或；
（4）解：∵点B，C，D在同一条直线上，点M与点D关于直线对称，
∴如图所示，当共线时，则，
同理（3）可得，
∴，
∴；
如图，当时，连接，
由对称的性质得，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
∴点M在上，即四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形，
∴，即，
解得．
综上所述，当直线与边或边平行或共线时，t的值为5或．
【点睛】运用分类讨论的思想方法是解题的关键．
6．如图，在中，，为的中线．，，连接．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)连接，若，，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由题意可得四边形为平行四边形，再由直角三角形的性质得出，即可得证；
（2）设交于点，由（1）可得，四边形为菱形，，由菱形的性质可得，，，证明为等边三角形得出，求出，由菱形的性质可得，最后由计算即可得出结果．
【详解】（1）证明：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∵，为的中线．
∴，
∴平行四边形为菱形；
（2）解：如图，设交于点，
，
由（1）可得，四边形为菱形，，
∴，，，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∴．
正方形的性质与判定
1．如图所示，在矩形中，是上一点，交于点F，将沿折叠，点C恰好落在边上的点处，则的度数为________．
【答案】
【分析】本题考查矩形与折叠，正方形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，是解题的关键，先求出的度数，折叠，推出四边形是正方形，进而得到，根据三角形的外角的性质，折叠的性质和平角的定义，进行求解即可．
【详解】解：在矩形中，，．
沿折叠，点C恰好落在边上的点处，，
四边形是正方形，
．
由三角形的外角性质，得．
由翻折的性质，得，．
故答案为：．
2．在正方形中，，点在对角线上，．点E、F分别在边、上，且，连接、，则的最小值为______．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的判定和性质，勾股定理，等边对等角，全等三角形的判定和性质．
作交于M，反向延长到G，使，作交于N，延长到H，使，连接，，根据正方形的性质得到，，根据勾股定理得到，根据等边对等角得到，可知，根据勾股定理求出，则，，证明四边形是正方形，得到，，则，，证明，得到，则，根据勾股定理求的值即可．
【详解】解：如图，作交于M，反向延长到G，使，作交于N，延长到H，使，连接，，
∵正方形，
∴，，
∴，
∵
∴，
∴
解得：（负值舍去），
∴，，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
即的最小值为．
故答案为：．
3．如图，在正方形中，为对角线上的一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接．
（1）若，则矩形的面积为_______；
（2）当线段与正方形的一边的夹角是时，则的度数为_______．
【答案】 3 或
【分析】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
（1）作，，证明，得到，根据正方形的判定定理证明即可；
（2）分两种情况讨论即可，①当与的夹角为时，②当与的夹角为时，从而可得答案．
【详解】如图，作于P，于Q，
四边形为正方形，
∵，
∴，
矩形，
，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴矩形是正方形；
∵
∴正方形的面积为：，
故答案为：3；
（2）①当与的夹角为时，
如图2，
∵，，
∴，
②当与的夹角为时，如图3，即交于，
，
综上所述：或．
故答案为：或
4．如图，已知在菱形中，点为对角线上一点，连结，过点作，与交于点，．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）通过证明和全等得到、，结合推出，进而证得；
（2）利用菱形性质、全等三角形判定与性质，结合等腰三角形三线合一、矩形及正方形的判定，推导得出．
【详解】（1）解：∵四边形是菱形，是对角线，
∴，．
在和中，
，
∴（），
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是菱形，是对角线，
∴，．
在和中，
，
∴（），
∴．
又∵，
∴，
∴是等腰三角形．
过点作于，交于，
∴（等腰三角形三线合一）．
∵四边形是菱形，，，
∴，
∴，
∵，，
∴
∵是菱形对角线，
∴，
又∵，，
∴（），
∴，
∴．
又∵，
∴．
∵四边形是菱形，
∴菱形是正方形，
∴．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、正方形的判定，熟练掌握菱形的性质及全等三角形的判定方法是解题的关键．
5．如图，在正方形中，分别是上两点，交于点，且．
(1)判断与之间的数量关系与位置关系，并说明理由：
(2)当点是的中点时，连接，求的度数．
【答案】(1)，，理由见解析
(2)
【分析】（）证明，得，，进而可得，即得到，即可求证；
（）过点作于，交的延长线于，可得四边形是矩形，再证明，得，利用三角形面积得，即得，即可得四边形是正方形，即可求解；
本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】（1）解：，，理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即；
（2）解：如图，过点作于，交的延长线于，
∵，
则，
∴四边形是矩形，
∵点是的中点，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
由（）知，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴．
6．如图，中，，、为的外角平分线，过点分别作直线的垂线，为垂足．
(1)______（直接写出结果不写解答过程）；
(2)①求证：四边形是正方形；
②若，求的长．
(3)借助于上面问题的解题思路，解决下列问题：若锐角三角形中，，一条高是，它的长度为6，，直接写出的长度．
【答案】(1)
(2)①见解析；②
(3)
【分析】根据平角的定义得到，根据角平分线的定义得到，，求得，根据三角形的内角和定理即可得到结论；
作于，如图所示：则，先证明四边形是矩形，再由角平分线的性质得出，即可得出四边形是正方形；
设，根据已知条件求出，由得四边形是正方形，求得，根据全等三角形的性质求出，同理，，根据勾股定理列方程即可得到结论；
把沿翻折得，把沿翻折得，延长、交于点，由得：四边形是正方形，，，，得出，，设，则，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：，
，
，
平分，平分，
，，
，
．
故答案为；
（2）证明：作于，如图所示：
，，
，
四边形是矩形，
，外角平分线交于点，
，，
，
四边形是正方形；
解：设，
，
，
由得四边形是正方形，
，
在与中，
，
，
同理，，
在中，，
即，
解得：，
的长为；
（3）解：根据题意作出图形，如图所示：把沿翻折得，把沿翻折得，延长、交于点，
由得：四边形是正方形，，，，
，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
即．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的有关计算、正方形的判定及性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识点．构造辅助线，结合垂直关系和角平分线性质证明邻边相等是解题的关键．
1．“四边形的内角和等于．”对于证明该结论添加的辅助线为：
其中能证明其内角和的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】逐个检验是否能用三角形内角和及确定的角表示出四边形内角和即可．
【详解】
解：对于，将一个四边形分成两个三角形，则四边形的内角和等于两个三角形内角和相加，为，符合要求；
对于，将一个四边形分成三个三角形，则四边形的内角和等于三个三角形内角和相加、再减去一个平角，为，符合要求；
对于，将一个四边形分成四个三角形，则四边形的内角和等于四个三角形内角和相加、再减去一个周角，为，符合要求；
对于，将一个四边形补全为三角形，，，，，
，符合要求；
综上所述，个图形中的辅助线均可证明．
2．如图，小明从A点出发，沿直线前进6米后向左转，再沿直线前进6米，又向左转…照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（ ）米．
A．40 B．36 C．48 D．60
【答案】C
【分析】根据正多边形的外角求出边数．
【详解】解：，
（米）．
【点睛】注意正多边形边数和外角的关系．
3．从边形的一个顶点出发作对角线，最多可将此边形分成个三角形，则（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
【答案】C
【分析】从边形的一个顶点出发作对角线，可将此边形分成个三角形．
【详解】解：从边形的一个顶点出发作对角线，则最多可将该边形分成个三角形，
由题意可得，则．
4．如图，在中，，是边上一点，且的垂直平分线经过点，是的中点．若，则的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】由的垂直平分线经过点得，由，是的中点得．
【详解】解：的垂直平分线经过点，
，
，是的中点，
．
5．如图，在中，对角线、相交于点，为的中点，．若，则的长为_____________．
【答案】1
【分析】取的中点并连接，先借助平行四边形对角线互相平分的性质，结合三角形中位线定理确定为的中位线，求出的长度，再根据线段比例关系推出是的中点，结合为的中点，再次运用三角形中位线定理判定为的中位线，最终求出的长．
【详解】解：取的中点，连接．
∵四边形是平行四边形，
∴是的中点．
∵是的中点，
∴是的中位线，
∴，且．
∵，是的中点，
∴，，
∴是的中点．
又∵是的中点，
∴是的中位线，
∴．
6．如图，矩形中，，，是边上一点，连接，过点作于点，连结，则的最小值为___________．
【答案】/
【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是正确添加辅助线．
取中点，连接，根据直角三角形斜边中线可得，然后由勾股定理求解，再由三角形三边关系即可求解最值．
【详解】解：取中点，连接，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当点在上时，取得最小值为，
故答案为：．
7．如图，在中，对角线，相交于点O，，．
(1)求证：；
(2)若，，，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理：
（1）证明，利用可证明；
（2）根据勾股定理求出，可得到，再根据解答即可．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
．
，，
．
在和中，
．
（2）解：四边形是平行四边形，
，．
，，
∴，
，
．
8．如图，点，是平行四边形对角线上的两点，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，．
①线段长为 ．
②四边形的面积为 ．
【答案】(1)见解析
(2)，
【分析】（1）连接交于．根据平行四边形的性质得，，再根据，得，根据平行四边形的判定即可得证；
（2）①在中，由勾股定理得，进而得，从而即可得解；②过点作于，根据面积公式得，再证明（），得，从而利用面积公式即可得解．
【详解】（1）证明：连接交于．
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：①在中，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
②过点作于，
∵，，，，
∴，
∴，
解得，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
在和中，
，
∴（），
∴，
∴．
故答案为：．
9．在中，是边的中点，、分别在及其延长线上，，连接．
(1)求证：
(2)若，试判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)四边形是矩形，理由见解析
【分析】由证明三角形全等，由和是边的中点得到和是等腰三角形，再根据三角形内角和定理得出，再证明四边形是平行四边形，可得出结论；
【详解】（1）证明：，
，
是边的中点，
，
在和中，
，
．
（2）解：四边形是矩形，理由如下：
和是边的中点，
，
和是等腰三角形，
，，
在中，，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
是矩形．
【点睛】求解图形证明题一定要合理应用题目中包含的隐藏条件，比如对顶角相等，往往会成为解题的突破口．
10．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，点E、F、G分别为线段、、的中点，连接、、．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，请判断并证明四边形的形状．
【答案】(1)证明见解析
(2)四边形为菱形，证明见解析
【分析】（1）证明，，可得是的中位线，，，，证明，即可．
（2）如图，连接，证明，可得，，再进一步证明即可．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵点E、F、G分别为线段、、的中点，
∴是的中位线，
∴，，，
∴，，
∴ 四边形为平行四边形．
（2）解：四边形为菱形，理由如下：
如图，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴四边形为菱形．
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，菱形的判定，直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
11．如图，在平行四边形中，点是对角线上的一点：，垂足分别为、，且，求证：平行四边形是菱形．
【答案】见详解
【分析】本题考查了平行四边形的性质以及菱形的判定，角平分线的判定，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，根据，，证明，又因为平行四边形的性质，得，故，即，得，故平行四边形是菱形，即可作答．
【详解】解：∵，，
∴平分，
即，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
则，
∴，
∴平行四边形是菱形．
12．如图，已知矩形，
(1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①作的平分线，交边于点．
②过作，垂足为；
(2)求证：四边形是正方形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法和作垂线的方法作图即可；
（2）先根据平行线加角平分线得，再根据有三个角是直角的四边形是矩形证明其为矩形，再由矩形证明正方形．
【详解】（1）解：如图，即为所作：
（2）证明：∵平分，
∴，
∵矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形．
13．如图，点C为矩形和正方形的公共顶点，点E，F在矩形的边，上．
(1)求证：；
(2)连接，若，F是的中点，求的长；
(3)在（2）的条件下，猜想和的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)，理由见解析
【分析】（1）证明即可；
（2）先求出的长，再利用正方形的对角线求出；
（3）过点作于点，先证明，可得，从而可得，再证明，即可得结论．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：如图，连接，
∵四边形是正方形，四边形是矩形，
∴，，
∵点F是的中点，
∴，
∵由（1）可知，，
在中，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴是等腰直角三角形，
∴．
（3）解：，理由如下：
如图，过点作于点，则，
∵四边形是矩形，四边形是正方形，
∴，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
∵点F是的中点，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
14．综合与实践
问题情境
在综合与实践课上，老师让同学们以“大小不等的两个正方形”为主题开展数学活动，如图1，现有一个边长为的正方形，点E从对角线上的点A出发向点C运动，连接并延长至点F，使，以为边在右侧作正方形，边与射线交于点M．
操作发现
（1）点E在运动过程中，判断线段与线段之间的数量关系，直接写出答案；
实践探究
（2）在点E的运动过程中，某时刻正方形与正方形重叠的四边形的面积是，求此时的长；
探究拓广
（3）请借助备用图2，探究当点E不与点A，C重合时，线段，与之间存在的数量关系，请直接写出．
【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）①当时，；②当时，且点与点重合；③当时，
【分析】（1）首先由正方形的性质得出，，，然后判定，进而得出，，又由正方形EFGH得出，再由四边形内角和得出，进而得出，；
（2）首先过点作于点，作于点，得出，然后由对角线的性质得出，，进而判定四边形是正方形，即可判定，然后通过面积的等量代换得出，进而得出；
（3）根据题意，分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别求解即可．
【详解】（1）．
理由如下：如图，连接，
∵是正方形的对角线，
∴，，，
在和中，
∴，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，
在四边形中，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）如图，过点作于点，作于点，
∴，
∵点是正方形的对角线上的点，
∴，，
∴四边形是正方形，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∵正方形与正方形重叠的面积是，
∴，
解得（负值舍去），
∵正方形的边长为6，
∴，
∴．
∴此时的长为；
（3）分三种情况：
①如图所示，当时，
过点E作交于点P，交于点Q，
∴四边形是矩形，，是等腰直角三角形
由（1）得，，
∵，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
②当时，且点与点重合；
③当时，
同理可证．
【点睛】此题主要考查三角形全等的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，正方形的性质以及动点问题的综合运用，熟练掌握，即可解题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
2025-2026学年人教版八年级数学下分层精练精析
章末复习（三）四边形
四边形及多边形相关概念和性质
1．某人从A点出发，沿着六边形的公园逆时针转了一圈又回到了A处（如图）．如果在B，C，D，E，F五个转角处都转了，那么他在A处转过多少度角才能仍面向所指的方向（ ）
A． B． C． D．
2．如图，图中的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，小亮发现门后有一个四边形收缩衣架，可以根据使用需求调整外观长度，其利用的原理是___________．
4．如图，在七边形中，的延长线相交于点．若图中，，，的角度和为，则的度数为______．
5．求出下列图形中x的值．
6．如图，四边形的内角，的平分线交于点，，的平分线交于点．
(1)若，则____________，____________．
(2)猜想与之间有怎样的数量关系，并说明理由．
平行四边形的性质与判定
1．如图，点，是平行四边形对角线上的两点，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，．
①线段长为 ．
②四边形的面积为 ．
2．如图，在平行四边形中，点H是边上一点，连接．
(1)尺规作图：请作出的角平分线，分别交于点G、E，交的延长线于点F．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若点G恰好是线段的中点，求证：四边形是平行四边形．
3．如图，在中，为边上一点，连接为中点，过点C作，交的延长线于点F，连接交于点G．
(1)判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若，，．求的长．
4．如图，在平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动，同时点也停止运动．设运动时间为秒，开始运动以后，当为何值时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形？
5．综合与实践
折纸操作简单，富有数学趣味，同学们可以通过折纸开展数学探究．“乐学小组”以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展了数学活动：在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将沿折叠，点B的对应点为．
(1)【感知】如图①，若点恰好落在边上时，求证：四边形是平行四边形；
(2)【探究】如图②，若点三点在同一条直线上，求证：；
(3)【应用】如图③，若，连接并延长，交于点F．若平行四边形纸片的面积为6，，求线段的长．
三角形的中位线、直角三角形斜边上的中线
1．如图，在四边形中，点是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，，是的中点，若平分，，则线段的长为_____________．
3．如图，在中，D、E分别是、中点，平分．交于点F，，，则的长为___________．
4．如图，在中，是的中点，是的中点，交于点，若，则的长为____．
5．如图，在中，，，，是平面内一点，且，点是中点，点在线段上，且，连接，则线段的最大值为_______．
6．如图，在中，是上一点，，是的中点．若，，求的长．
7．如图，已知：在 中，、、分别是边 、、上的中线，并交于点 ．求证： ．
矩形的性质与判定
1．下列四边形中，不一定为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，平分，，．求证：四边形是矩形．
3．如图所示，已知平行四边形的对角线相交于点，．
求证：平行四边形是矩形．
4．如图，在平行四边形中，对角线和交于点，且．，求的度数．
5．如图，在中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)若，，，求的长．
6．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，交的延长线于点，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，求四边形的面积．
菱形的性质与判定
1．按如下步骤作四边形：（）画；（）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交于点；（）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点；（）连接．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)如果，求的度数．
3．如图，已知：在中，是对角线，，是上一点，连接．
(1)将图补充完整（不写作法，不需保留作图痕迹）；
(2)当时，求与的面积比．
4．在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．
5．如图，四边形中，,点在边上，四边形为平行四边形，，动点从点出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点运动，设点的运动时间为秒．
(1)的长为___________，的长为___________；
(2)连结，若将的面积分为两部分，求的值；
(3)若为等腰三角形，求的值；
(4)在点运动过程中，作点关于直线的对称点，当直线与边或边平行或共线时，直接写出的值．
6．如图，在中，，为的中线．，，连接．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)连接，若，，求四边形的面积．
正方形的性质与判定
1．如图所示，在矩形中，是上一点，交于点F，将沿折叠，点C恰好落在边上的点处，则的度数为________．
2．在正方形中，，点在对角线上，．点E、F分别在边、上，且，连接、，则的最小值为______．
3．如图，在正方形中，为对角线上的一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接．
（1）若，则矩形的面积为_______；
（2）当线段与正方形的一边的夹角是时，则的度数为_______．
4．如图，已知在菱形中，点为对角线上一点，连结，过点作，与交于点，．
(1)求证：；
(2)求证：．
5．如图，在正方形中，分别是上两点，交于点，且．
(1)判断与之间的数量关系与位置关系，并说明理由：
(2)当点是的中点时，连接，求的度数．
6．如图，中，，、为的外角平分线，过点分别作直线的垂线，为垂足．
(1)______（直接写出结果不写解答过程）；
(2)①求证：四边形是正方形；
②若，求的长．
(3)借助于上面问题的解题思路，解决下列问题：若锐角三角形中，，一条高是，它的长度为6，，直接写出的长度．
1．“四边形的内角和等于．”对于证明该结论添加的辅助线为：
其中能证明其内角和的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，小明从A点出发，沿直线前进6米后向左转，再沿直线前进6米，又向左转…照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（ ）米．
A．40 B．36 C．48 D．60
3．从边形的一个顶点出发作对角线，最多可将此边形分成个三角形，则（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
4．如图，在中，，是边上一点，且的垂直平分线经过点，是的中点．若，则的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
5．如图，在中，对角线、相交于点，为的中点，．若，则的长为_____________．
6．如图，矩形中，，，是边上一点，连接，过点作于点，连结，则的最小值为___________．
7．如图，在中，对角线，相交于点O，，．
(1)求证：；
(2)若，，，求的面积．
8．如图，点，是平行四边形对角线上的两点，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，．
①线段长为 ．
②四边形的面积为 ．
9．在中，是边的中点，、分别在及其延长线上，，连接．
(1)求证：
(2)若，试判断四边形的形状，并说明理由．
10．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，点E、F、G分别为线段、、的中点，连接、、．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，请判断并证明四边形的形状．
11．如图，在平行四边形中，点是对角线上的一点：，垂足分别为、，且，求证：平行四边形是菱形．
12．如图，已知矩形，
(1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①作的平分线，交边于点．
②过作，垂足为；
(2)求证：四边形是正方形．
13．如图，点C为矩形和正方形的公共顶点，点E，F在矩形的边，上．
(1)求证：；
(2)连接，若，F是的中点，求的长；
(3)在（2）的条件下，猜想和的数量关系，并说明理由．
14．综合与实践
问题情境
在综合与实践课上，老师让同学们以“大小不等的两个正方形”为主题开展数学活动，如图1，现有一个边长为的正方形，点E从对角线上的点A出发向点C运动，连接并延长至点F，使，以为边在右侧作正方形，边与射线交于点M．
操作发现
（1）点E在运动过程中，判断线段与线段之间的数量关系，直接写出答案；
实践探究
（2）在点E的运动过程中，某时刻正方形与正方形重叠的四边形的面积是，求此时的长；
探究拓广
（3）请借助备用图2，探究当点E不与点A，C重合时，线段，与之间存在的数量关系，请直接写出．
2025-2026学年人教版八年级数学下分层精练精析
章末复习（三）四边形（解析版）
四边形及多边形相关概念和性质
1．某人从A点出发，沿着六边形的公园逆时针转了一圈又回到了A处（如图）．如果在B，C，D，E，F五个转角处都转了，那么他在A处转过多少度角才能仍面向所指的方向（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查多边形外角和定理的应用，熟练掌握多边形外角和定理是解题的关键．
根据转过的角度之和等于多边形外角和，解答即可．
【详解】解：根据题意得：某人在途中转过了，
由于在B，C，D，E，F五个转角处都转了，
则他在A处转过的度数为
故选：D．
2．如图，图中的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，三角形外角的定义和性质，设与，分别交于点，，与交于点，由三角形外角的定义得出，，则同理进而转化成求五边形的内角和求解即可．
【详解】解：设与，分别交于点，，与交于点，
则，，
同理
．
故选A
3．如图，小亮发现门后有一个四边形收缩衣架，可以根据使用需求调整外观长度，其利用的原理是___________．
【答案】四边形的不稳定性
【详解】解：小亮发现门后有一个四边形收缩衣架，可以根据使用需求调整外观长度，其利用的原理是四边形的不稳定性．
4．如图，在七边形中，的延长线相交于点．若图中，，，的角度和为，则的度数为______．
【答案】/40度
【分析】本题考查多边形内角和定理及内外角关系，解题的关键是根据题意得到是五边形．
根据七边形中，，的延长线相交于点，得到是五边形，根据的角度和为，得到，结合内角和定理即可得到答案．
【详解】解：∵七边形中，，的延长线相交于点，
∴是五边形，
∵，，，的角度和为，
∴，
∵五边形的内角和为
∴．
故答案为：．
5．求出下列图形中x的值．
【答案】图1中，图2中
【分析】根据四边形的内角和是以及多边形外角的定义计算即可．
【详解】解：（1）图1中，，
即；
（2）图2中，，
即．
6．如图，四边形的内角，的平分线交于点，，的平分线交于点．
(1)若，则____________，____________．
(2)猜想与之间有怎样的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)200°；100°
(2)．理由见解析
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质，三角形内角和为 ，以及角平分线的性质是解题的关键．
（1）在中，由的度数利用三角形内角和求出的度数，再根据角平分线性质得到的度数，接着利用四边形内角和求出的度数，结合角平分线求出的度数，最后在中求出的度数；
（2）先根据四边形内角和得到四个内角和为，结合角平分线性质得到的度数，再分别在和中用内角和定理，联立推导与的数量关系．
【详解】（1）解：在中；
∵ 平分，平分；
∴；
在四边形中；
∵ 平分，平分；
∴；
在中．
∴．
（2）解：．理由如下：
，四边形的内角，的平分线交于点，，的平分线交于点，
．
，，
，
．
平行四边形的性质与判定
1．如图，点，是平行四边形对角线上的两点，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，．
①线段长为 ．
②四边形的面积为 ．
【答案】(1)见解析
(2)，
【分析】（1）连接交于．根据平行四边形的性质得，，再根据，得，根据平行四边形的判定即可得证；
（2）①在中，由勾股定理得，进而得，从而即可得解；②过点作于，根据面积公式得，再证明（），得，从而利用面积公式即可得解．
【详解】（1）证明：连接交于．
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：①在中，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
②过点作于，
∵，，，，
∴，
∴，
解得，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
在和中，
，
∴（），
∴，
∴．
故答案为：．
2．如图，在平行四边形中，点H是边上一点，连接．
(1)尺规作图：请作出的角平分线，分别交于点G、E，交的延长线于点F．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若点G恰好是线段的中点，求证：四边形是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）分别以点D为圆心，任意长为半径画弧，分别交于一点，分别以这两点为圆心，大于这两点距离的一半为半径画弧，两弧交于内部一点，连接此点与点D，分别交于点G、E，交的延长线于点F．
（2）利用平行四边形的性质得到，，，证明，得到，由此得到结论．
【详解】（1）解：如图，DF即为所求；
；
（2）证明：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，，
∵G是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定及性质，作角的平分线，正确掌握平行四边形的性质是解题的关键．
3．如图，在中，为边上一点，连接为中点，过点C作，交的延长线于点F，连接交于点G．
(1)判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若，，．求的长．
【答案】(1)平行四边形，理由见解析
(2)2
【分析】（1）通过平行线的性质证得，可得，结合题意得即可求证四边形是平行四边形；
（2）设，根据题意可得，通过勾股定理求出，即可求解．
【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下：
为中点，
，
，
，，
在和中，
，
，
，
，
四边形是平行四边形．
（2）解：四边形是平行四边形，
，
，，
，
在中，，
设，则，
，
解得（负值舍去），
，
．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，的直角三角形性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题关键．
4．如图，在平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动，同时点也停止运动．设运动时间为秒，开始运动以后，当为何值时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形？
【答案】当时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形．
【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质，注意掌握分类讨论思想的应用．设经过秒，根据平行四边形的判定可得当时，以点，，，为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可．
【详解】解：∵平行四边形是平行四边形，
∴，，
∵要使以点，，，为顶点组成平行四边形，
∴只需，
∵点从点到点需要，点从到需要，
分为以下情况：
当时，即点的运动路线在时，
由题意，得：，
解得：，此时不符合题意；
②当时，点的运动路线在时，
由题意，得：，
解得：；
③当时，点的运动路线在时，
由题意，得：，
解得：，此时不符合题意；
综上所述，当时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形．
5．综合与实践
折纸操作简单，富有数学趣味，同学们可以通过折纸开展数学探究．“乐学小组”以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展了数学活动：在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将沿折叠，点B的对应点为．
(1)【感知】如图①，若点恰好落在边上时，求证：四边形是平行四边形；
(2)【探究】如图②，若点三点在同一条直线上，求证：；
(3)【应用】如图③，若，连接并延长，交于点F．若平行四边形纸片的面积为6，，求线段的长．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)．
【分析】（1）由折叠的性质结合平行四边形的性质得到，推出，即可证明四边形是平行四边形；
（2）由折叠的性质结合平行四边形的性质证明是等腰三角形，即可得出结论；
（3）延长交于点H，由折叠的性质先证明是等腰三角形，得到，根据平行四边形的性质得到，易证是等腰三角形，用平行四边形的面积公式即可求出，进而得到，利用勾股定理即可解答．
【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下：
由折叠的性质可得：，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形；
（2）证明：由折叠的性质可得：，
四边形是平行四边形，
，
，
，
点三点在同一条直线上
是等腰三角形，
；
（3）解：如图，延长交于点H，
由折叠的性质可得：，
，
，
是等腰直角三角形，
，
四边形是平行四边形，，
，，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，翻折的性质，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键．
三角形的中位线、直角三角形斜边上的中线
1．如图，在四边形中，点是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由三角形的内角和定理，结合三角形中位线定理可得，由平行线的性质可得的度数，根据三角形的内角和定理以及等边对等角，计算即可得的度数．
【详解】解：∵是对角线的中点，点、分别是、的中点，
∴，，，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
2．如图，在中，，，是的中点，若平分，，则线段的长为_____________．
【答案】
【分析】延长交于点，根据角平分线的定义得到，易证得，进而得到，，根据是的中位线，进行解答即可．
【详解】解：如图，延长交于点，
平分，
,
，
在和中，
,
，
，，
,
为的中点，，
是的中位线，
．
3．如图，在中，D、E分别是、中点，平分．交于点F，，，则的长为___________．
【答案】1
【分析】通过三角形中位线定理推出，，借助角平分线这个条件证出，从而通过等量代换求出的长．
【详解】解：∵分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
4．如图，在中，是的中点，是的中点，交于点，若，则的长为____．
【答案】3
【分析】本题主要涉及平行四边形的性质与判定以及三角形中位线定理，取的中点，连接构造中位线，利用中位线性质和平行四边形性质得到新的平行四边形，进而得出线段之间的关系，最后根据已知线段长度求出．
【详解】解：取的中点，连接，如图，
是的中点，是的中点，
是的中位线，
平行于，，
∵四边形是平行四边形，
，平行于，
是的中点，
，
平行于，，
∴四边形是平行四边形，
，
，是的中点，
，
．
故答案为：3．
5．如图，在中，，，，是平面内一点，且，点是中点，点在线段上，且，连接，则线段的最大值为_______．
【答案】
【分析】本题考查三角形中位线的性质、勾股定理及三角形三边关系，正确得出是解题关键．延长到，使，连接，，可得是的中位线，利用勾股定理可求出，根据三角形中位线的性质可得，利用三角形三边关系可得的最大值为，即可得出的最大值．
【详解】解：如图，延长到，使，连接，，
∵，，
∴，，
∴，
∵点是中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴点、、三点在一条直线上时，有最大值，
∴的最大值为，
∴线段的最大值为．
故答案为：
6．如图，在中，是上一点，，是的中点．若，，求的长．
【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定，全等三角形的判定与性质，掌握延长中线构造平行四边形，结合等边三角形和全等三角形推导线段关系是解题的关键．
延长构造平行四边形，利用平行四边形性质得线段相等与平行关系，结合证等边三角形，再通过全等三角形证，最后由为的一半求长度．
【详解】解：如图，延长至点，使得，连接，，．
是的中点，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
是等边三角形，
，，
．
在和中，
，
，
．
7．如图，已知：在 中，、、分别是边 、、上的中线，并交于点 ．求证： ．
【答案】见解析
【分析】本题考查三角形中位线的判定与性质，平行四边形的判定与性质，如图，取的中点，连接，利用三角形中位线的性质证明四边形是平行四边形，推出，结合，即可得出结论．
【详解】证明：如图，取的中点，连接，
∵、分别是边 、上的中线，即点分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∵点分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴．
矩形的性质与判定
1．下列四边形中，不一定为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与矩形的判定，熟练掌握平行四边形及矩形的判定定理是解题的关键．
先判断各选项是否为平行四边形，再依据矩形的判定定理逐一验证，从而确定不一定为矩形的选项．
【详解】解：选项：
∵，，
∴四边形是平行四边形．
由于无直角条件，所以无法判定为矩形．
选项：
∵四边形中有三个角是直角，四边形内角和为，
∴第四个角也是直角．
∴四边形是矩形．
选项：
∵，
∴，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴平行四边形是矩形．
选项：
∵，，
∴四边形是平行四边形．
∵，，
∴．
∴．
∴平行四边形是矩形．
故选：．
2．如图，在中，，平分，，．求证：四边形是矩形．
【答案】见解析
【分析】本题考查矩形的判定、等腰三角形的性质、平行线的性质，先根据等腰三角形的三线合一性质得到，再结合平行线的性质和垂直定义得到，进而根据矩形的判定可得结论．
【详解】证明：在中，，平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
3．如图所示，已知平行四边形的对角线相交于点，．
求证：平行四边形是矩形．
【答案】见解析
【分析】利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合已知角相等推导出对角线相等，再根据“对角线相等的平行四边形是矩形”完成证明．
【详解】证明：∵ 四边形 是平行四边形，
∴ ，，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∵ 四边形 是平行四边形，且 ，
∴ 平行四边形 是矩形．
4．如图，在平行四边形中，对角线和交于点，且．，求的度数．
【答案】
【分析】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定和性质等知识.
首先证明四边形是矩形，利用矩形的性质即可解决问题.
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴．
5．如图，在中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)2.4
【分析】本题考查矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，关键是由平行四边形的性质推出，由勾股定理的逆定理判定是直角三角形，
（1）由平行四边形的性质推出，，得到，判定四边形是平行四边形，而，即可证明四边形是矩形．
（2）由勾股定理的逆定理判定是直角三角形，由三角形面积公式得到，即可求出．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）解：由（1）知：四边形是矩形，又，
∴，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，
∴的面积，
∴，
∴．
6．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，交的延长线于点，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握对角线相等的平行四边形是矩形，以及所对的直角边是斜边的一半，是解题的关键．
（1）根据平行四边形的性质得到，结合已知即可证明；
（2）先利用四边形是平行四边形，得到，进而得到，证得矩形，有，且，利用的直角三角形求出，，再利用面积公式进行求解．
【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形，
，即，
，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：由（1）得四边形是平行四边形，则，
，
，
∵四边形为平行四边形，
∴平行四边形是矩形，
，
，且，
，
，
在中，由勾股定理得，
．
菱形的性质与判定
1．按如下步骤作四边形：（）画；（）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交于点；（）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点；（）连接．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先证明四边形是菱形，再根据菱形的性质即可求得答案．
【详解】解：由作图可知，，
∴四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
2．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)如果，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质．
（1）根据矩形的性质得到，，证明，进而证明四边形是平行四边形，根据线段的垂直平分线的性质得到，即可证明四边形是菱形；
（2）根据矩形的性质得到，进而求出，根据菱形的性质即可求出的度数．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵垂直平分线段，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
由（1）得四边形是菱形，
∴，
∴．
3．如图，已知：在中，是对角线，，是上一点，连接．
(1)将图补充完整（不写作法，不需保留作图痕迹）；
(2)当时，求与的面积比．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查作线段的垂直平分线及性质，菱形的证明与性质，直角三角形的性质．
（1）作线段的垂直平分线交于点，连接即可；
（2）证明是菱形，，得到，进而得到，由，结合菱形的性质推出，利用直角三角形的性质得到，进而得到，由，即可解答．
【详解】（1）解：如图所示为所求：
（2）解：如图，连接，设的垂直平分线交于点，
∵中，，
∴是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴与的面积比为．
4．在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】本题主要考查菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，证明是解题的关键．
（1）先证明，推出，结合，推出四边形是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，从而推出四边形是菱形即可；
（2）过点作交的延长线于点，则，根据菱形的性质和推出和都是等边三角形，得出，再求出，根据所对的直角边等于斜边的一半，得出，最后根据勾股定理求解和即可．
【详解】（1）证明：∵是的中点，是的中点，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，是的中点，
∴，
∴四边形是菱形．
（2）过点作交的延长线于点，则，
∵四边形是菱形，，
∴，，
∴和都是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵在中，
∴根据勾股定理，，
∴，
∵在中，
∴根据勾股定理，，
∴CF的长是．
5．如图，四边形中，,点在边上，四边形为平行四边形，，动点从点出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点运动，设点的运动时间为秒．
(1)的长为___________，的长为___________；
(2)连结，若将的面积分为两部分，求的值；
(3)若为等腰三角形，求的值；
(4)在点运动过程中，作点关于直线的对称点，当直线与边或边平行或共线时，直接写出的值．
【答案】(1)13，20
(2)5或
(3)或或
(4)5或
【分析】（1）先根据平行四边形的性质得，再根据勾股定理求出，然后根据得出答案．
（2）先表示出,，再分两种情况可得或，然后得出两个方程，求出解即可；
（3）作，连接，根据平行四边形的性质得，再根据勾股定理求出，然后根据为等腰三角形，分三种情况，分别列出方程求出解即可；
（4）当共线时，则，根据可得，即可求出；当时，连接，先根据“边边边”证明，再说明，进而得出，即可得出四边形是菱形，然后根据边长相等可得答案．
【详解】（1）解：∵四边形为平行四边形，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：13，20；
（2）解：如图所示，
由题意，得,
∵，
∴．
∵将的面积分为两部分，
即或，且等高，
∴或，
∴或，
∴或，
解得或，
∴t的值为5或；
（3）解：如图，过点E作，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
∵,
∴．
由（1）知由（2）知，
∴．
∵为等腰三角形，
∴分三种情况：
当时，则，
解得；
当时，
∴即则，
解得；
当时，，
∵，
∴，
在中，，即，
解得．
综上所述，当为等腰三角形，t的值为或或；
（4）解：∵点B，C，D在同一条直线上，点M与点D关于直线对称，
∴如图所示，当共线时，则，
同理（3）可得，
∴，
∴；
如图，当时，连接，
由对称的性质得，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
∴点M在上，即四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形，
∴，即，
解得．
综上所述，当直线与边或边平行或共线时，t的值为5或．
【点睛】运用分类讨论的思想方法是解题的关键．
6．如图，在中，，为的中线．，，连接．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)连接，若，，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由题意可得四边形为平行四边形，再由直角三角形的性质得出，即可得证；
（2）设交于点，由（1）可得，四边形为菱形，，由菱形的性质可得，，，证明为等边三角形得出，求出，由菱形的性质可得，最后由计算即可得出结果．
【详解】（1）证明：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∵，为的中线．
∴，
∴平行四边形为菱形；
（2）解：如图，设交于点，
，
由（1）可得，四边形为菱形，，
∴，，，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∴．
正方形的性质与判定
1．如图所示，在矩形中，是上一点，交于点F，将沿折叠，点C恰好落在边上的点处，则的度数为________．
【答案】
【分析】本题考查矩形与折叠，正方形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，是解题的关键，先求出的度数，折叠，推出四边形是正方形，进而得到，根据三角形的外角的性质，折叠的性质和平角的定义，进行求解即可．
【详解】解：在矩形中，，．
沿折叠，点C恰好落在边上的点处，，
四边形是正方形，
．
由三角形的外角性质，得．
由翻折的性质，得，．
故答案为：．
2．在正方形中，，点在对角线上，．点E、F分别在边、上，且，连接、，则的最小值为______．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的判定和性质，勾股定理，等边对等角，全等三角形的判定和性质．
作交于M，反向延长到G，使，作交于N，延长到H，使，连接，，根据正方形的性质得到，，根据勾股定理得到，根据等边对等角得到，可知，根据勾股定理求出，则，，证明四边形是正方形，得到，，则，，证明，得到，则，根据勾股定理求的值即可．
【详解】解：如图，作交于M，反向延长到G，使，作交于N，延长到H，使，连接，，
∵正方形，
∴，，
∴，
∵
∴，
∴
解得：（负值舍去），
∴，，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
即的最小值为．
故答案为：．
3．如图，在正方形中，为对角线上的一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接．
（1）若，则矩形的面积为_______；
（2）当线段与正方形的一边的夹角是时，则的度数为_______．
【答案】 3 或
【分析】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
（1）作，，证明，得到，根据正方形的判定定理证明即可；
（2）分两种情况讨论即可，①当与的夹角为时，②当与的夹角为时，从而可得答案．
【详解】如图，作于P，于Q，
四边形为正方形，
∵，
∴，
矩形，
，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴矩形是正方形；
∵
∴正方形的面积为：，
故答案为：3；
（2）①当与的夹角为时，
如图2，
∵，，
∴，
②当与的夹角为时，如图3，即交于，
，
综上所述：或．
故答案为：或
4．如图，已知在菱形中，点为对角线上一点，连结，过点作，与交于点，．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）通过证明和全等得到、，结合推出，进而证得；
（2）利用菱形性质、全等三角形判定与性质，结合等腰三角形三线合一、矩形及正方形的判定，推导得出．
【详解】（1）解：∵四边形是菱形，是对角线，
∴，．
在和中，
，
∴（），
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是菱形，是对角线，
∴，．
在和中，
，
∴（），
∴．
又∵，
∴，
∴是等腰三角形．
过点作于，交于，
∴（等腰三角形三线合一）．
∵四边形是菱形，，，
∴，
∴，
∵，，
∴
∵是菱形对角线，
∴，
又∵，，
∴（），
∴，
∴．
又∵，
∴．
∵四边形是菱形，
∴菱形是正方形，
∴．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、正方形的判定，熟练掌握菱形的性质及全等三角形的判定方法是解题的关键．
5．如图，在正方形中，分别是上两点，交于点，且．
(1)判断与之间的数量关系与位置关系，并说明理由：
(2)当点是的中点时，连接，求的度数．
【答案】(1)，，理由见解析
(2)
【分析】（）证明，得，，进而可得，即得到，即可求证；
（）过点作于，交的延长线于，可得四边形是矩形，再证明，得，利用三角形面积得，即得，即可得四边形是正方形，即可求解；
本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】（1）解：，，理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即；
（2）解：如图，过点作于，交的延长线于，
∵，
则，
∴四边形是矩形，
∵点是的中点，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
由（）知，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴．
6．如图，中，，、为的外角平分线，过点分别作直线的垂线，为垂足．
(1)______（直接写出结果不写解答过程）；
(2)①求证：四边形是正方形；
②若，求的长．
(3)借助于上面问题的解题思路，解决下列问题：若锐角三角形中，，一条高是，它的长度为6，，直接写出的长度．
【答案】(1)
(2)①见解析；②
(3)
【分析】根据平角的定义得到，根据角平分线的定义得到，，求得，根据三角形的内角和定理即可得到结论；
作于，如图所示：则，先证明四边形是矩形，再由角平分线的性质得出，即可得出四边形是正方形；
设，根据已知条件求出，由得四边形是正方形，求得，根据全等三角形的性质求出，同理，，根据勾股定理列方程即可得到结论；
把沿翻折得，把沿翻折得，延长、交于点，由得：四边形是正方形，，，，得出，，设，则，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：，
，
，
平分，平分，
，，
，
．
故答案为；
（2）证明：作于，如图所示：
，，
，
四边形是矩形，
，外角平分线交于点，
，，
，
四边形是正方形；
解：设，
，
，
由得四边形是正方形，
，
在与中，
，
，
同理，，
在中，，
即，
解得：，
的长为；
（3）解：根据题意作出图形，如图所示：把沿翻折得，把沿翻折得，延长、交于点，
由得：四边形是正方形，，，，
，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
即．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的有关计算、正方形的判定及性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识点．构造辅助线，结合垂直关系和角平分线性质证明邻边相等是解题的关键．
1．“四边形的内角和等于．”对于证明该结论添加的辅助线为：
其中能证明其内角和的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】逐个检验是否能用三角形内角和及确定的角表示出四边形内角和即可．
【详解】
解：对于，将一个四边形分成两个三角形，则四边形的内角和等于两个三角形内角和相加，为，符合要求；
对于，将一个四边形分成三个三角形，则四边形的内角和等于三个三角形内角和相加、再减去一个平角，为，符合要求；
对于，将一个四边形分成四个三角形，则四边形的内角和等于四个三角形内角和相加、再减去一个周角，为，符合要求；
对于，将一个四边形补全为三角形，，，，，
，符合要求；
综上所述，个图形中的辅助线均可证明．
2．如图，小明从A点出发，沿直线前进6米后向左转，再沿直线前进6米，又向左转…照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（ ）米．
A．40 B．36 C．48 D．60
【答案】C
【分析】根据正多边形的外角求出边数．
【详解】解：，
（米）．
【点睛】注意正多边形边数和外角的关系．
3．从边形的一个顶点出发作对角线，最多可将此边形分成个三角形，则（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
【答案】C
【分析】从边形的一个顶点出发作对角线，可将此边形分成个三角形．
【详解】解：从边形的一个顶点出发作对角线，则最多可将该边形分成个三角形，
由题意可得，则．
4．如图，在中，，是边上一点，且的垂直平分线经过点，是的中点．若，则的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】由的垂直平分线经过点得，由，是的中点得．
【详解】解：的垂直平分线经过点，
，
，是的中点，
．
5．如图，在中，对角线、相交于点，为的中点，．若，则的长为_____________．
【答案】1
【分析】取的中点并连接，先借助平行四边形对角线互相平分的性质，结合三角形中位线定理确定为的中位线，求出的长度，再根据线段比例关系推出是的中点，结合为的中点，再次运用三角形中位线定理判定为的中位线，最终求出的长．
【详解】解：取的中点，连接．
∵四边形是平行四边形，
∴是的中点．
∵是的中点，
∴是的中位线，
∴，且．
∵，是的中点，
∴，，
∴是的中点．
又∵是的中点，
∴是的中位线，
∴．
6．如图，矩形中，，，是边上一点，连接，过点作于点，连结，则的最小值为___________．
【答案】/
【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是正确添加辅助线．
取中点，连接，根据直角三角形斜边中线可得，然后由勾股定理求解，再由三角形三边关系即可求解最值．
【详解】解：取中点，连接，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当点在上时，取得最小值为，
故答案为：．
7．如图，在中，对角线，相交于点O，，．
(1)求证：；
(2)若，，，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理：
（1）证明，利用可证明；
（2）根据勾股定理求出，可得到，再根据解答即可．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
．
，，
．
在和中，
．
（2）解：四边形是平行四边形，
，．
，，
∴，
，
．
8．如图，点，是平行四边形对角线上的两点，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，．
①线段长为 ．
②四边形的面积为 ．
【答案】(1)见解析
(2)，
【分析】（1）连接交于．根据平行四边形的性质得，，再根据，得，根据平行四边形的判定即可得证；
（2）①在中，由勾股定理得，进而得，从而即可得解；②过点作于，根据面积公式得，再证明（），得，从而利用面积公式即可得解．
【详解】（1）证明：连接交于．
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：①在中，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
②过点作于，
∵，，，，
∴，
∴，
解得，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
在和中，
，
∴（），
∴，
∴．
故答案为：．
9．在中，是边的中点，、分别在及其延长线上，，连接．
(1)求证：
(2)若，试判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)四边形是矩形，理由见解析
【分析】由证明三角形全等，由和是边的中点得到和是等腰三角形，再根据三角形内角和定理得出，再证明四边形是平行四边形，可得出结论；
【详解】（1）证明：，
，
是边的中点，
，
在和中，
，
．
（2）解：四边形是矩形，理由如下：
和是边的中点，
，
和是等腰三角形，
，，
在中，，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
是矩形．
【点睛】求解图形证明题一定要合理应用题目中包含的隐藏条件，比如对顶角相等，往往会成为解题的突破口．
10．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，点E、F、G分别为线段、、的中点，连接、、．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，请判断并证明四边形的形状．
【答案】(1)证明见解析
(2)四边形为菱形，证明见解析
【分析】（1）证明，，可得是的中位线，，，，证明，即可．
（2）如图，连接，证明，可得，，再进一步证明即可．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵点E、F、G分别为线段、、的中点，
∴是的中位线，
∴，，，
∴，，
∴ 四边形为平行四边形．
（2）解：四边形为菱形，理由如下：
如图，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴四边形为菱形．
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，菱形的判定，直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
11．如图，在平行四边形中，点是对角线上的一点：，垂足分别为、，且，求证：平行四边形是菱形．
【答案】见详解
【分析】本题考查了平行四边形的性质以及菱形的判定，角平分线的判定，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，根据，，证明，又因为平行四边形的性质，得，故，即，得，故平行四边形是菱形，即可作答．
【详解】解：∵，，
∴平分，
即，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
则，
∴，
∴平行四边形是菱形．
12．如图，已知矩形，
(1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①作的平分线，交边于点．
②过作，垂足为；
(2)求证：四边形是正方形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法和作垂线的方法作图即可；
（2）先根据平行线加角平分线得，再根据有三个角是直角的四边形是矩形证明其为矩形，再由矩形证明正方形．
【详解】（1）解：如图，即为所作：
（2）证明：∵平分，
∴，
∵矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形．
13．如图，点C为矩形和正方形的公共顶点，点E，F在矩形的边，上．
(1)求证：；
(2)连接，若，F是的中点，求的长；
(3)在（2）的条件下，猜想和的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)，理由见解析
【分析】（1）证明即可；
（2）先求出的长，再利用正方形的对角线求出；
（3）过点作于点，先证明，可得，从而可得，再证明，即可得结论．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：如图，连接，
∵四边形是正方形，四边形是矩形，
∴，，
∵点F是的中点，
∴，
∵由（1）可知，，
在中，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴是等腰直角三角形，
∴．
（3）解：，理由如下：
如图，过点作于点，则，
∵四边形是矩形，四边形是正方形，
∴，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
∵点F是的中点，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
14．综合与实践
问题情境
在综合与实践课上，老师让同学们以“大小不等的两个正方形”为主题开展数学活动，如图1，现有一个边长为的正方形，点E从对角线上的点A出发向点C运动，连接并延长至点F，使，以为边在右侧作正方形，边与射线交于点M．
操作发现
（1）点E在运动过程中，判断线段与线段之间的数量关系，直接写出答案；
实践探究
（2）在点E的运动过程中，某时刻正方形与正方形重叠的四边形的面积是，求此时的长；
探究拓广
（3）请借助备用图2，探究当点E不与点A，C重合时，线段，与之间存在的数量关系，请直接写出．
【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）①当时，；②当时，且点与点重合；③当时，
【分析】（1）首先由正方形的性质得出，，，然后判定，进而得出，，又由正方形EFGH得出，再由四边形内角和得出，进而得出，；
（2）首先过点作于点，作于点，得出，然后由对角线的性质得出，，进而判定四边形是正方形，即可判定，然后通过面积的等量代换得出，进而得出；
（3）根据题意，分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别求解即可．
【详解】（1）．
理由如下：如图，连接，
∵是正方形的对角线，
∴，，，
在和中，
∴，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，
在四边形中，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）如图，过点作于点，作于点，
∴，
∵点是正方形的对角线上的点，
∴，，
∴四边形是正方形，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∵正方形与正方形重叠的面积是，
∴，
解得（负值舍去），
∵正方形的边长为6，
∴，
∴．
∴此时的长为；
（3）分三种情况：
①如图所示，当时，
过点E作交于点P，交于点Q，
∴四边形是矩形，，是等腰直角三角形
由（1）得，，
∵，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
②当时，且点与点重合；
③当时，
同理可证．
【点睛】此题主要考查三角形全等的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，正方形的性质以及动点问题的综合运用，熟练掌握，即可解题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
同课章节目录