2025-2026人教版七年级数学分层精析精练8.2立方根（含解析）

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2025-2026学年人教版七年级数学下分层精练精析
8.2立方根
知识点1、立方根的概念
1．下列说法正确的是（ ）
A．的立方根是 B．
C．5的算术平方根是25 D．是9的一个平方根
2．27的立方根是（ ）
A．3 B．9 C． D．
3．一个数的立方等于，那么这个数是_____．
4．若，则的立方根是__________．
5．的平方根是，的立方根是2，则_______．
知识点2求立方根
1．若与互为相反数，则的值为______．
2．求下列各式中的x：
(1)；
(2)．
3．已知的立方根是3，的算术平方根是4．
(1)求a、b的值；
(2)求的平方根．
4．求下列各式中未知数的值．
(1)；
(2)；
(3)．
知识点3平方根、算术平方根、立方根的综合运用
1．已知为9的算术平方根，2为的立方根．
(1)求a、b的值；
(2)求的平方根．
2．已知为81的算术平方根，为b的立方根，求的平方根．
．
3．已知的立方根是3，的算术平方根是4．
(1)求、的值；
(2)求的平方根．
4．已知的算术平方根为，的立方根为，求的立方根．
5．已知的算术平方根是5，的立方根是．
(1)求，的值；
(2)求的平方根．
6．李三同学遇到这样一道题目：“已知的平方根是，6是的算术平方根，求的立方根．”他费了很大的精力才做了出来，你能很快解决这个问题吗？请试一试！
知识点4立方根的实际应用
1．如图是由大小相同的小正方体搭成的几何体．如果这个几何体的体积为，那么每个小正方体的棱长为（ ）
A． B． C． D．
2．据说著名数学家华罗庚有次搭乘飞机时，看到邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是50653，求它的立方根．华罗庚脱口而出，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？
【发现与思考】，；，
是两位数．
50653的个位数字是3，的个位数字是7．
，；，
的十位数字是3．．
【运用并解决】
类比上述的发现与思考，推理求出681472的立方根是（ ）
A．72 B．78 C．88 D．92
3．一个正方体的体积扩大为原来的1000倍，则它的棱长扩大为原来的_______ 倍．
4．一个棱长为的正方体的容器中盛满水，将这些水倒入另一个正方体容器时，还需再加水才满，求另一个正方体容器的棱长．
5．小斌对书本第页第题进行了改编，如下：
如图，一个瓶子的容积为，瓶内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为；倒放时，空余部分的高度为．瓶内的溶液正好倒满两个一样大的正方体容器（容器壁的厚度忽略不计）．
请解答下列问题：
(1)瓶内溶液的体积是多少立方厘米？
(2)求正方体容器的棱长．
6．如图，有一个长方体水池的长、宽、高之比为2：2：4，其体积为．
(1)求长方体水池的长、宽、高．
(2)把这个长方体水池注满水，当有一个半径为的球放入水池中时（球全部没入水中），溢出的水的体积为水池体积的，求该小球的半径（球的体积公式：，其中r为球的半径，π取3，结果精确到）．
7．某农户计划利用原有的一面墙为载体，在此基础上再修三面墙，建造如图①所示的无盖长方体池塘来培育鱼苗，其中新建的三面墙的长度依次为、，墙的高度．后听从建筑师的建议改为建造等体积的无盖正方体池塘，如图②所示，则待建的三面墙的总长度是多少？（不考虑墙的厚度；原有的墙面足够高、足够长）
1．如果，，那么约等于（　　）
A．28.2 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333
2．（1）已知，则，__________．
（2）已知，，则____________________．
3．我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．
你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？可以按如下步骤思考：
第1步：确定的位数．因为，，，所以是2位数；
第2步：确定个位数字．因为59319的个位上的数是9，，所以的个位上的数是9；
第3步：确定十位数字．划去59319后面的三位319得到数59，，，而，由此能确定的十位上的数是3．
综合以上可得．
已知103823是整数的立方，按照上述方法，它的立方根是______．
4．已知正数a的两个平方根分别是和，且与互为相反数，求的平方根．
5．求x的值：
(1)；
(2)
6．已知的算术平方根是4，的立方根是3．
(1)求a、b的值；
(2)求的平方根．
7．如图，有一个长方体水池的长、宽、高之比为2：2：4，其体积为．
(1)求长方体水池的长、宽、高．
(2)把这个长方体水池注满水，当有一个半径为的球放入水池中时（球全部没入水中），溢出的水的体积为水池体积的，求该小球的半径（球的体积公式：，其中r为球的半径，π取3，结果精确到）．
8．综合与实践
在综合实践课上，老师让同学们用一张正方形纸片制作一个无盖长方体盒子．
(1)操作计算：如图①，在边长为a的正方形的四个角分别剪去边长为b的小正方形，再将剩余部分折成无盖长方体盒子，如图②．
计算：ⅰ．折成的长方体盒子的高______；（用含a或b的代数式表示）．
ⅱ．折成的长方体盒子的底面面积______．（用含a或b的代数式表示）
(2)规律探究：设图①中正方形纸片的边长为，小正方形的边长b取不同值时，对应的长方体盒子的容积如下表：
边长 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
容积 40.5 m 73.5 72 62.5 n 31.5 16 4.5
ⅰ．表格中，______，______；
ⅱ．在图③中近似画出长方体盒子的容积随小正方形边长变化的趋势图，并根据趋势图写出一条正确的信息：______．
(3)拓展应用：如图④，该长方形纸片的长是宽的2倍，且小正方形的边长等于长方形宽的，剪去小正方形后，若用剩余纸片折成的长方体盒子的容积为，求长方形纸片的长．
9．已知的算术平方根是，的立方根是，求的平方根．
10．（1）已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根．
（2）若的算术平方根是5，求的平方根．
1．请认真阅读下面的材料，再解答问题．
我们学方根与立方根后，可以类比平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义．给出四次方根、五次方根的定义．
比如：若，则叫的二次方根：
若，则叫的三次方根；
若，则叫的四次方根．
(1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；的五次方根为_____；
(2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_____
(3)求的值：．
2．综合与实践
如图是一张面积为的正方形纸片．
(1)正方形纸片的边长为______；（直接写出答案）
(2)若用此正方形纸片制作一个体积为的无盖正方体，请在这张正方形纸片上画出无盖正方体的平面展开图的示意图，并求出该正方体所用纸片的面积．
3．综合与探究
本学期第八章《实数》中学方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容：
平方根 立方根
定义 一般地，如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）． 一般地，如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）．
性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数．
【类比探索】（1）探索定义：填写表格：
1 16 81
x
类比平方根和立方根，给四次方根下定义： ．
（2）探究性质：①1的四次方根是 ；②16的四次方根是 ；③0的四次方根是 ；④（选填“有”或“没有”）四次方根．类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质： ；
（3）；
【拓展应用】
（4）．
2025-2026学年人教版七年级数学下分层精练精析
8.2立方根（解析版）
知识点1、立方根的概念
1．下列说法正确的是（ ）
A．的立方根是 B．
C．5的算术平方根是25 D．是9的一个平方根
【答案】D
【分析】根据立方根，算术平方根，平方根的定义，逐一判断各选项即可．
【详解】解：∵ ，
∴ 的立方根是，故A选项错误；
∵ 表示的算术平方根，
∴ ，故B选项错误；
∵ 正数的平方等于时，是的算术平方根，
∴ 的算术平方根是，故C选项错误；
∵ ，
∴ 是的一个平方根，故D选项说法正确．
2．27的立方根是（ ）
A．3 B．9 C． D．
【答案】A
【详解】解：∵ 若一个数的立方等于，即，则是的立方根，，且正数的立方根是正数，
∴ 的立方根是．
3．一个数的立方等于，那么这个数是_____．
【答案】
【分析】此题考查了立方根的概念，解题的关键是掌握立方根的概念．
根据立方根的定义求解．
【详解】解：因为，
所以这个数是．
故答案为：．
4．若，则的立方根是__________．
【答案】
【分析】本题考查立方根，根据立方根的定义，得到，进而得到的值，求出的值，再求出的值，然后根据立方根的定义，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得．
∴，
∴，
∴的立方根为：．
故答案为：．
5．的平方根是，的立方根是2，则_______．
【答案】13
【分析】本题考查了平方根和立方根的定义．
根据平方根和立方根的定义，求出a和b的值，再计算它们的和即可．
【详解】解：∵的平方根是，的立方根是2，
∴，，
解得，
则．
故答案为：13．
知识点2求立方根
1．若与互为相反数，则的值为______．
【答案】15
【分析】本题考查立方根的性质，根据立方根的性质，若两个立方根互为相反数，则被开方数互为相反数，由此建立方程，再通过代数变形求值．
【详解】解：因为与互为相反数，
所以
两边立方得，
整理得，
即，
所以
故答案为：15．
2．求下列各式中的x：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了利用平方根解方程，已知一个数的立方根，求这个数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解．
（1）利用开平方解方程；
（2）利用开立方解方程．
【详解】（1）解：，
开平方，得；
（2）解：，
移项，得，
开立方，得，
解得：．
3．已知的立方根是3，的算术平方根是4．
(1)求a、b的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了算术平方根定义，立方根定义，平方根定义，解题的关键是熟练掌握定义．
（1）根据立方根和算术平方根定义列出方程组，解方程组即可；
（2）先求出的值，然后再求出其平方根即可．
【详解】（1）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4，
∴，
解得：；
（2）解：∵，
∴．
∴的平方根是．
4．求下列各式中未知数的值．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先变形得到，然后利用平方根的定义求解；
（2）先变形得到，然后利用立方根的定义求解；
（3）先变形得到，然后利用立方根的定义以及移项求解；
【详解】（1）解：，
，
．
（2）解：，
，
．
（3），
，
．
【点睛】本题考查了平方根和立方根的定义，解决本题的关键是熟练掌握各自的定义.
知识点3平方根、算术平方根、立方根的综合运用
1．已知为9的算术平方根，2为的立方根．
(1)求a、b的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查算术平方根，平方根及立方根，结合已知条件求得a，b的值是解题的关键．
（1）根据算术平方根及立方根的定义计算即可；
（2）将a，b的值代入中计算，然后根据平方根的定义即可求得答案．
【详解】（1）解：为9的算术平方根，2为的立方根，
，
即；
（2）解：，
，
的平方根是．
2．已知为81的算术平方根，为b的立方根，求的平方根．
【答案】的平方根为
【分析】本题主要考查的是平方根、立方根、算术平方根的性质，先根据算术平方根和立方根的定义求出a、b的值，再代入计算，再根据平方根的定义计算平方根．
【详解】解：∵已知为81的算术平方根，为b的立方根，
∴，，
解得，
∴，
∴的平方根为．
3．已知的立方根是3，的算术平方根是4．
(1)求、的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题主要考查了立方根、平方根及算术平方根，熟知立方根、平方根及算术平方根的定义是解题的关键．
（1）根据立方根，算术平方根的定义即可解决问题；
（2）先求出的值，再结合平方根的定义即可解决问题．
【详解】（1）解：的立方根是3，
，
，
的算术平方根是4，
，
∴；
（2）解：当，时，，
∵36的平方根是，
的平方根是．
4．已知的算术平方根为，的立方根为，求的立方根．
【答案】2
【分析】本题考查了算术平方根和立方根．利用算术平方根和立方根的定义列出方程，求出a和b的值，再计算的值，最后求其立方根．
【详解】解：由题意，∵的算术平方根为，
∴，
解得．
又∵的立方根为，
∴，
解得．
∴，
∴的立方根为．
5．已知的算术平方根是5，的立方根是．
(1)求，的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根，熟练掌握平方根、算术平方根和立方根的定义是解题的关键．
（1）根据算术平方根和立方根的定义，得出，，计算得出答案即可；
（2）将，的值代入求值，再求出平方根即可．
【详解】（1）解：由题意可得，，，
即，，
解得，，
故，的值为，．
（2）将，的值代入，得
，
，
的平方根为．
6．李三同学遇到这样一道题目：“已知的平方根是，6是的算术平方根，求的立方根．”他费了很大的精力才做了出来，你能很快解决这个问题吗？请试一试！
【答案】的立方根为，过程见解析
【分析】本题考查了算术平方根，平方根和立方根的综合，熟练掌握算术平方根，平方根和立方根的性质是解题的关键．
根据平方根及算术平方根的定义求得a，b的值，然后将其代入中计算后根据立方根的定义即可求得答案．
【详解】解：∵的平方根是，6是的算术平方根，
∴，，
解得：，，
∴，
∴的立方根为．
知识点4立方根的实际应用
1．如图是由大小相同的小正方体搭成的几何体．如果这个几何体的体积为，那么每个小正方体的棱长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了立方根的实际应用，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
先求出大正方体的棱长，即可求出每个小正方体的棱长．
【详解】解：根据题意得几何体的边长为，
每个小正方体的棱长为，
故选：B．
2．据说著名数学家华罗庚有次搭乘飞机时，看到邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是50653，求它的立方根．华罗庚脱口而出，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？
【发现与思考】，；，
是两位数．
50653的个位数字是3，的个位数字是7．
，；，
的十位数字是3．．
【运用并解决】
类比上述的发现与思考，推理求出681472的立方根是（ ）
A．72 B．78 C．88 D．92
【答案】C
【分析】本题考查了立方根及数字常识，解决本题的关键是理解例题，并能根据例题的格式进行运算．
仿照例题，进行推理得结论，通过比较立方数的大小范围确定立方根是两位数，再根据个位数字对应关系确定个位数字，最后通过估算十位数字的立方值确定十位数字．
【详解】解：且，
是两位数，
∵681472的个位数字是2，且（个位为2），
的个位数字是8，
且，
的十位数字是8，
．
3．一个正方体的体积扩大为原来的1000倍，则它的棱长扩大为原来的_______ 倍．
【答案】10
【分析】本题考查了正方体的棱长与体积的关系，解决本题的关键是熟练掌握正方体的棱长与体积的关系．
根据正方体的体积公式，体积扩大倍数与棱长扩大倍数的关系可通过立方根求解，由此可得结论．
【详解】解：设原正方体棱长为a，则体积为．
体积扩大为原来的1000倍，新体积．
设新棱长为，则，
因此．
∴棱长扩大为原来的10倍．
故答案为：10．
4．一个棱长为的正方体的容器中盛满水，将这些水倒入另一个正方体容器时，还需再加水才满，求另一个正方体容器的棱长．
【答案】
【分析】根据棱长为的正方体的容器的容积+=另一个正方体容器的容积求解即可．
【详解】解∶设另一个正方体容器的棱长为，
根据题意，得，
解得，
答∶ 另一个正方体容器的棱长为．
5．小斌对书本第页第题进行了改编，如下：
如图，一个瓶子的容积为，瓶内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为；倒放时，空余部分的高度为．瓶内的溶液正好倒满两个一样大的正方体容器（容器壁的厚度忽略不计）．
请解答下列问题：
(1)瓶内溶液的体积是多少立方厘米？
(2)求正方体容器的棱长．
【答案】(1)立方厘米；
(2)厘米．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及立方根的实际应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程．
（1）设瓶内溶液的体积为，则空余部分的体积为，根据瓶子的容积为，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设正方体的棱长为厘米，根据题意列出方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：设瓶内溶液的体积为，则空余部分的体积为，
依题意，得：，
解得：．
，
答：瓶内溶液的体积为立方厘米．
（2）解：设正方体的棱长为厘米，
据题意，得：，
解得：，
答：正方体容器的棱长为厘米．
6．如图，有一个长方体水池的长、宽、高之比为2：2：4，其体积为．
(1)求长方体水池的长、宽、高．
(2)把这个长方体水池注满水，当有一个半径为的球放入水池中时（球全部没入水中），溢出的水的体积为水池体积的，求该小球的半径（球的体积公式：，其中r为球的半径，π取3，结果精确到）．
【答案】(1)长、宽、高分别为，，
(2)
【分析】此题主要考查了立方根的计算以及长方体体积公式，熟练掌握长方体体积公式是解题关键．
（1）设长方体水池的长、宽、高分别为，，，根据题意体积为列出方程，然后利用立方根的定义求得的值后分别代入，中计算即可；
（2）根据题意列式，利用立方根的定义求得的值并精确到即可．
【详解】（1）解：∵长方体水池的长、宽、高之比为2∶2∶4，其体积为，
∴设长方体水池的长、宽、高分别为，，，
，
，
，
解得，
，，
故长方体水池的长、宽、高分别为，，．
（2）解：已知该小球的半径为，
则，
，
．
故该小球的半径约为．
7．某农户计划利用原有的一面墙为载体，在此基础上再修三面墙，建造如图①所示的无盖长方体池塘来培育鱼苗，其中新建的三面墙的长度依次为、，墙的高度．后听从建筑师的建议改为建造等体积的无盖正方体池塘，如图②所示，则待建的三面墙的总长度是多少？（不考虑墙的厚度；原有的墙面足够高、足够长）
【答案】
【分析】本题考查了立方根的应用，掌握长方体和正方体的体积公式是解题关键．根据题意求出长方体的体积，进而求出建造后等体积的正方体池塘的长，即可求解．
【详解】解：∵无盖长方体池塘三面墙的长度依次为、，墙的高度，
∴长方体的体积为，
∵改为建造等体积的无盖正方体池塘，
∴正方体的体积也为，
∴正方体的边长为，
∴待建的三面墙的总长度是．
1．如果，，那么约等于（　　）
A．28.2 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333
【答案】C
【分析】本题考查立方根的性质，被开方数的小数点向左（或向右）每移动3位，其立方根也相应向左（或向右）移动1位．据此即可解答．
【详解】解：∵，
∴．
故选：C．
2．（1）已知，则，__________．
（2）已知，，则____________________．
【答案】 26.46 6.69 14.42
【分析】本题考查平方根、算术平方根、立方根，掌握算术平方根、立方根的定义以及小数点的变化规律是正确解答的关键．
（1）根据被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位进行求解；
（2）将写成，写成，结合，，进行求解即可．
【详解】解：（1）∵，则，
可以发现：当被开方数由变为时，其算术平方根由变为，即被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位，
∴当被开方数由变为时，其算术平方根由变为，
．
故答案为：．
（2）∵，
；
，
；
故答案为：，．
3．我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．
你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？可以按如下步骤思考：
第1步：确定的位数．因为，，，所以是2位数；
第2步：确定个位数字．因为59319的个位上的数是9，，所以的个位上的数是9；
第3步：确定十位数字．划去59319后面的三位319得到数59，，，而，由此能确定的十位上的数是3．
综合以上可得．
已知103823是整数的立方，按照上述方法，它的立方根是______．
【答案】47
【分析】本题考查了立方根，根据题目提供的方法，类推确定103823的立方根．
【详解】解：第1步：由，确定是两位数．
第2步：由的个位上的数是3，，能确定的个位上的数是．
第3步：如果划去103823后面的三位得到数103，而，由此确定的十位上的数是4．
因此，103823的立方根是47．
故答案为：47．
4．已知正数a的两个平方根分别是和，且与互为相反数，求的平方根．
【答案】
【分析】根据正数有两个平方根，它们是互为相反数求出x的值，进而求出a的值；根据立方根的性质求出b的值，然后根据平方根的定义求解即可．
【详解】解∶∵正数a的两个平方根分别是和，
∴，
∴，
∴，
∵与互为相反数，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的平方根为．
5．求x的值：
(1)；
(2)
【答案】(1)或
(2)
【分析】本题主要考查了立方根和平方根，熟记定义是解题的关键．
（1）整理后，运用平方根的定义求解即可；
（2）整理后，运用立方根的定义求解即可．
【详解】（1）解：，
化简得，
开平方得，
解得或；
（2）解：，
化简得，
开立方得．
6．已知的算术平方根是4，的立方根是3．
(1)求a、b的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了立方根，平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据的算术平方根是4，的立方根是3，得，，求出，，即可作答．
（2）理解题意，把，代入进行计算，再求出的平方根，即可作答．
【详解】（1）解：∵的算术平方根是4，的立方根是3，
∴，，
∴，，
解得，．
（2）解：由（1）得，，
则．
故的平方根为．
7．如图，有一个长方体水池的长、宽、高之比为2：2：4，其体积为．
(1)求长方体水池的长、宽、高．
(2)把这个长方体水池注满水，当有一个半径为的球放入水池中时（球全部没入水中），溢出的水的体积为水池体积的，求该小球的半径（球的体积公式：，其中r为球的半径，π取3，结果精确到）．
【答案】(1)长、宽、高分别为，，
(2)
【分析】此题主要考查了立方根的计算以及长方体体积公式，熟练掌握长方体体积公式是解题关键．
（1）设长方体水池的长、宽、高分别为，，，根据题意体积为列出方程，然后利用立方根的定义求得的值后分别代入，中计算即可；
（2）根据题意列式，利用立方根的定义求得的值并精确到即可．
【详解】（1）解：∵长方体水池的长、宽、高之比为2∶2∶4，其体积为，
∴设长方体水池的长、宽、高分别为，，，
，
，
，
解得，
，，
故长方体水池的长、宽、高分别为，，．
（2）解：已知该小球的半径为，
则，
，
．
故该小球的半径约为．
8．综合与实践
在综合实践课上，老师让同学们用一张正方形纸片制作一个无盖长方体盒子．
(1)操作计算：如图①，在边长为a的正方形的四个角分别剪去边长为b的小正方形，再将剩余部分折成无盖长方体盒子，如图②．
计算：ⅰ．折成的长方体盒子的高______；（用含a或b的代数式表示）．
ⅱ．折成的长方体盒子的底面面积______．（用含a或b的代数式表示）
(2)规律探究：设图①中正方形纸片的边长为，小正方形的边长b取不同值时，对应的长方体盒子的容积如下表：
边长 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
容积 40.5 m 73.5 72 62.5 n 31.5 16 4.5
ⅰ．表格中，______，______；
ⅱ．在图③中近似画出长方体盒子的容积随小正方形边长变化的趋势图，并根据趋势图写出一条正确的信息：______．
(3)拓展应用：如图④，该长方形纸片的长是宽的2倍，且小正方形的边长等于长方形宽的，剪去小正方形后，若用剩余纸片折成的长方体盒子的容积为，求长方形纸片的长．
【答案】(1)ⅰ．b．ⅱ．
(2)ⅰ．64，48，ii，见解析
(3)长方形纸片的长为
【分析】本题主要考查了几何体的展开与折叠，列代数式，长方体的体积公式，立方根的应用；
（1）根据剪去的小正方形边长为b可知，长方体盒子底部的长与宽均为，然后根据长方形的面积公式列式即可；
（2）根据长方体体积公式，分别代入计算即可求出m，n；根据表格中的数据在坐标系中描点，再用平滑的曲线连接起来，观察趋势图即可写出一个正确的信息；
（3）设正方形的边长为x，进一步写出长方形的长与宽，依据长方体体积公式列出方程，求出正方形的边长，从而求得长方形纸片的长．
【详解】（1）解：∵剪去的小正方形边长为b，
∴，长方体盒子底部的长与宽均为，
∴底面积，
故答案为：ⅰ．b．ⅱ．；
（2）ⅰ．当时，，
当时，；
故答案为：64；48；
②趋势图如下：
信息为：当小正方形的边长大于2时，折成的长方体盒子的容积随着的增大而减小；（答案不唯一）
（3）设小正方形的边长为，
由题意可知，长方形的宽为，长为，
∴折成的长方体盒子的容积，
∴，
∴，
∴长方形纸片的长为．
9．已知的算术平方根是，的立方根是，求的平方根．
【答案】
【分析】本题主要考查平方根、算术平方根、立方根，解题的关键是熟练掌握算术平方根和立方根的定义．根据算术平方根和立方根的定义知、，据此求解、的值，再代入，再根据平方根的定义求解．
【详解】解：∵的算术平方根是，的立方根是，
∴，，
解得：，；
∴，
∴的平方根为．
10．（1）已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根．
（2）若的算术平方根是5，求的平方根．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查算术平方根、平方根和立方根的定义，非负数的性质，代数式求值．解题的关键是：
（1）由算术平方根和立方根的定义可求出，，即得出，，，代入中求值，再求其立方根即可；
（2）由被开方数为非负数即可求出，由算术平方根的定义可求出，代入中求值，再求其平方根即可．
【详解】解：（1）∵是的算术平方根，是的立方根，
∴，，
∴，，
∴，，
∴的立方根为；
（2）根据题意得，
∴，
∴
∵n的算术平方根是5，
∴，
∴的平方根为．
1．请认真阅读下面的材料，再解答问题．
我们学方根与立方根后，可以类比平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义．给出四次方根、五次方根的定义．
比如：若，则叫的二次方根：
若，则叫的三次方根；
若，则叫的四次方根．
(1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；的五次方根为_____；
(2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_____
(3)求的值：．
【答案】(1)
(2)为任意实数
(3)或
【分析】本题考查新定义．解题的关键是利用类比法，理解四次方根和五次方根的定义．
（1）进行开方运算即可；
（2）根据定义，进行计算即可；
（3）利用四次方根解方程即可．
【详解】（1）解：；
故答案为：；
（2）解：∵是一个数的四次方，
，
，
∴若有意义，则的取值范围是；
∵中是一个数的三次方，
∴为任意实数．
故答案为：为任意实数；
（3）解：，
，
，
，
或，
或．
2．综合与实践
如图是一张面积为的正方形纸片．
(1)正方形纸片的边长为______；（直接写出答案）
(2)若用此正方形纸片制作一个体积为的无盖正方体，请在这张正方形纸片上画出无盖正方体的平面展开图的示意图，并求出该正方体所用纸片的面积．
【答案】(1)
(2)图见解析；
【分析】（1）根据算术平方根的意义求解即可；
（2）根据立方根的意义求出正方体的边长，然后画出图形，再求出所用面积即五个正方形的面积．
【详解】（1）解：正方形纸片的边长为：，
故答案为：；
（2）解：正方体的边长为：，
平面展开图如图所示（阴影部分为剪去的部分），
所用纸片面积为，
【点睛】本题考查了算术平方根和立方根的意义，正方体的展开图，熟练掌握基础知识是解题的关键．
3．综合与探究
本学期第八章《实数》中学方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容：
平方根 立方根
定义 一般地，如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）． 一般地，如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）．
性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数．
【类比探索】（1）探索定义：填写表格：
1 16 81
x
类比平方根和立方根，给四次方根下定义： ．
（2）探究性质：①1的四次方根是 ；②16的四次方根是 ；③0的四次方根是 ；④（选填“有”或“没有”）四次方根．类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质： ；
（3）；
【拓展应用】
（4）．
【答案】（1），，，一般地，如果一个数x的四次方等于a，即，那么这个数x就叫做a的四次方根；（2）①；②；③0；④没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根；（3）；（4）
【分析】本题考查了平方根和立方根的拓展，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题的关键；
（1）根据实数的乘方运算即可填表，仿照平方根和立方根的定义即可给四次方根下定义；
（2）根据四次方根的定义结合平方根的性质解答即可；
（3）根据四次方根的定义求解即可；
（4）根据四次方根的定义求解即可．
【详解】解：（1）∵，，，
∴填写表格如下：
1 16 81
x
类比平方根和立方根，给四次方根下定义：一般地，如果一个数x的四次方等于a，即，那么这个数x就叫做a的四次方根；
故答案为：，，，一般地，如果一个数x的四次方等于a，即，那么这个数x就叫做a的四次方根；
（2）探究性质：①1的四次方根是；②16的四次方根是；③0的四次方根是0；④没有四次方根．
类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质如下：一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根；
故答案为：①；②；③0；④没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根；
（3）；
（4）．
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