2025-2026人教版七年级数学分层精析精练8.3实数及其简单运算（含解析）

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2025-2026学年人教版七年级数学下分层精练精析
8.3实数及其简单运算
知识点1、实数及其分类
1．下列判断正确的是（　　）
A．是整数，是有理数 B．是无限小数，是无理数
C．是分数，是有理数 D．3.1415926是小数，是无理数
2．在实数，，，，，（相邻两个2之间0的个数逐渐增加1个）中，无理数的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列各数中，不是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
4．在数，，0，中有理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．下列各数中，绝对值最小的是（ ）
A． B． C． D．
6．数轴上、两点所对应的实数分别为2，5，点是线段的中点，则点所对应的实数为________．
7．在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中．
，，，，，0，，，（小数部分由相继的正整数组成）．
(1)有理数集合：{ …}；
(2)无理数集合：{ …}；
(3)正实数集合：{ …}；
(4)负实数集合：{ …}．
知识点2实数与数轴及实数大小比较
1．如图，数轴上表示2，的对应点为A、B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，数轴上点N表示的数可能是（ ）
A． B． C． D．
3．数轴上表示1，的点分别为A，B，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在数轴上表示实数的点可能是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
5．实数在两个相邻的整数m与之间，则整数m是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．比较：________（填“”“ ”或“”）．
7．比较大小：______．（填“”“”或“”）
知识点3实数的运算
1．实数的倒数的相反数是（ ）
A． B． C．2 D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．绝对值是的数是5 B．的相反数是
C．的绝对值是 D．的相反数是
3．定义新运算：，则，则的值是______．
4．已知的整数部分是，的小数部分是，则的值为________．
5．计算：________．
6．（1）的倒数是__________．
（2）相反数和绝对值都为的实数是_____________．
（3）的相反数是__________，绝对值是__________，倒数是__________．
7．阅读材料：，的整数部分为2，的小数部分为．
(1)的小数部分是多少？
(2)已知a是的整数部分，b是的小数部分，求代数式的值．
8．计算：．
9．我们知道是无理数，其整数部分是1，于是可以用来表示的小数部分．请解答：
(1)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值；
(2)已知，其中是整数，且，求的相反数．
10．对于任何实数，我们规定符号，例如：．
(1)按照这个规律请你计算______；
(2)按照这个规定请你计算，当时，求的值．
11．计算：
(1)．
(2)；
12．计算：
(1)
(2)
1．(1)已知某正数的两个不相等的平方根分别是和，的立方根为2，求的值．
(2)已知是的小数部分，求的算术平方根．
2．计算：．
3．计算：
(1)；
(2)．
4．如图，已知点，将点绕点顺时针旋转得到点．此时我们就称点是点关于点的旋转点，记作．如，．
(1)__________；，__________；
(2)如果，那么__________；
(3)点表示的数是，点表示的数为，如果（点在点右侧），，那么__________．
5．教材第82页的合作学习，探究发现了无理数（每一方格的边长为1个单位长度）．
(1)如图1，求方格中阴影正方形的面积和它的边长．
(2)请类比（1）的方法，在图2中画出实数在数轴上表示的点（保留作图痕迹）．
6．已知是的立方根，是的平方根与的立方根的和，是的平方．
(1)直接写出，的值，并比较，，的大小．
(2)求的所有可能值．
7．若整数，，满足，则称为，的“平方和数”．
例如：，为3，4的“平方和数”．
请你根据以上材料回答下列问题：
(1)①数3，4的另一个“平方和数”为_________；
②5还可以是数_________，_________的“平方和数”．
(2)若数与的“平方和数”是0，则_________，_________；
(3)已知10是数与6的“平方和数”，求的值．
8．比较大小：和．
9．已知的立方根是3，的算术平方根是2，是的整数部分．
(1)求的值；
(2)求的平方根．
10．如图，已知点A表示的数为，点A向右平移2个单位长度到达点B．
(1)点B表示的数为______；
(2)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的算术平方根．
1．综合与实践
问题情境
“综合与实践”课上，老师告诉大家，无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部写出来，比如、、等，而常用“……”或者“”的表示方法都不够准确．
方法尝试
“善思”小组用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．“智慧”小组用来表示的小数部分，因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．也就是说，任何一个无理数，都夹在两个相邻的整数之间．
解决问题
(1)的整数部分是 ，小数部分是 ．
(2)也夹在两个相邻的整数之间，可以表示为，求的值．
(3)若，其中是整数，且，请直接写出的相反数．
2．综合与实践．
主题：制作无盖长方体形纸盒．
素材：一张正方形纸板．
步骤1：如图1，在正方形纸板的四角各剪去一个大小相同的小正方形；
步骤2：把纸板四周沿虚线折起，就折成如图2所示的无盖长方体形纸盒，其长：宽：高＝2：2：1，底面积为20cm2
计算与应用：
(1)求这个无盖长方体纸盒的长、宽、高；
(2)求这个无盖长方体纸盒的体积和表面积．
3．综合与实践．
(1)【初步操作】如图1，把两个面积为的小正方形沿对角线剪开，拼成一个面积为的大正方形，可得小正方形的对角线长（大正方形的边长）为________；
(2)【类比操作】把长为2、宽为1的两个小长方形沿对角线剪开，拼成如图2所示的一个大正方形（内部空白是一个小正方形），仿照上面的探究方法求小长方形的对角线长；
(3)【计算拓展】若3是的一个平方根，的立方根是2，为图2中小正方形边长的小数部分，请计算的平方根．
2025-2026学年人教版七年级数学下分层精练精析
8.3实数及其简单运算（解析版）
知识点1、实数及其分类
1．下列判断正确的是（　　）
A．是整数，是有理数 B．是无限小数，是无理数
C．是分数，是有理数 D．3.1415926是小数，是无理数
【答案】A
【分析】本题考查有理数与无理数的定义，根据定义逐一判断每个选项的正误即可得到答案．
【详解】解：A选项，∵，2是整数，整数属于有理数，
∴该判断正确．
B选项，∵是分数，分数属于有理数，
∴该判断错误．
C选项，∵是无理数，
∴仍是无理数，不是有理数，
∴该判断错误．
D选项，∵3.1415926是有限小数，有限小数属于有理数，
∴该判断错误．
故选：A．
2．在实数，，，，，（相邻两个2之间0的个数逐渐增加1个）中，无理数的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】无限不循环小数是无理数．
【详解】解：，
在实数，，，，（相邻两个2之间0的个数逐渐增加1个）中，
无理数有，，（相邻两个2之间0的个数逐渐增加1个），共3个．
3．下列各数中，不是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了无理数的定义，解题的关键是掌握无理数是无限不循环小数这一核心概念．
逐一分析各选项，判断其是否为无限不循环小数；、、均为无限不循环小数，是无理数；是有限小数，属于有理数，不是无理数．
【详解】解：A、是无限不循环小数，是无理数，此选项不符合题意；
B、是无限不循环小数，故也是无限不循环小数，是无理数，此选项不符合题意；
C、，是有限小数，属于有理数，不是无理数，此选项符合题意；
D、是无限不循环小数，是无理数，此选项不符合题意．
故选：．
4．在数，，0，中有理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据有理数和无理数的定义逐个判断，即可求解．
【详解】解：根据有理数和无理数的定义，可知和为无理数，0和为有理数，
有理数有2个．
5．下列各数中，绝对值最小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查绝对值的定义及实数的大小比较．
先求出各数的绝对值，再比较大小即可得出结果．
【详解】解：∵ 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，的绝对值是，
，，，，
又，
绝对值最小的数是．
故选：C．
6．数轴上、两点所对应的实数分别为2，5，点是线段的中点，则点所对应的实数为________．
【答案】
【分析】数轴上，若点是线段的中点，则对应的实数等于、对应实数的平均数．先设出点对应的实数，再根据中点性质列出方程，最后解方程求出点对应的实数．
【详解】解：设点所对应的实数为．
∵点是线段的中点，且、对应的实数分别为、，
∴根据中点性质可得：．
解得．
即点所对应的实数为．
7．在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中．
，，，，，0，，，（小数部分由相继的正整数组成）．
(1)有理数集合：{ …}；
(2)无理数集合：{ …}；
(3)正实数集合：{ …}；
(4)负实数集合：{ …}．
【答案】(1)
(2)，，…（小数部分由相继的正整数组成），
(3)
(4)（小数部分由相继的正整数组成），，，
【分析】本题考查了实数，熟练掌握实数的分类是解题的关键．
（1）（2）（3）（4）根据有理数、无理数、正实数、负实数的定义分类即可．
【详解】（1）解：有理数集合：；
（2）解：无理数集合：{，，…（小数部分由相继的正整数组成），，}；
（3）解：正实数集合：；
（4）解：负实数集合：{（小数部分由相继的正整数组成），，，，}．
知识点2实数与数轴及实数大小比较
1．如图，数轴上表示2，的对应点为A、B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设点C表示的数为x，根据对称得出，得出方程，求出方程的解即可．
【详解】解：设点C表示的数为x，
∵数轴上表示2，的对应点分别是A、B，
∴，
即，
解得．
即点C表示的数为．
2．如图，数轴上点N表示的数可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据数轴可得点N表示的数大于3且小于4，再根据无理数的估算方法求出四个选项中的数的取值范围即可得到答案．
【详解】解：由数轴可知，点N表示的数大于3且小于4，
∵，
∴，
∴点N表示的数可能是．
3．数轴上表示1，的点分别为A，B，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据数轴上两点间的距离等于右边的点表示的数减去左边的点表示的数，即可解答．
【详解】解：∵数轴上表示1，的点分别为A，B，
∴线段的长为．
4．如图，在数轴上表示实数的点可能是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】B
【分析】根据无理数的取值范围判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
在数轴上表示实数的点可能是点B．
5．实数在两个相邻的整数m与之间，则整数m是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【分析】本题考查无理数的估算，通过确定与被开方数相邻的完全平方数，得到无理数的范围，再结合不等式性质求出的范围，进而确定整数的值.
【详解】解：∵
∴
即不等式两边同时加3，得，即
∵在整数与之间
∴
故选：A.
6．比较：________（填“”“ ”或“”）．
【答案】
【分析】利用分母相同的正分数比较大小的规则，通过比较分子的大小来判断两个分数的大小关系，先确定的取值范围，进而得到分子的大小关系．
【详解】解：∵，，
∴，即，
∵两个正分数分母相同，分子大的分数值大，
∴．
7．比较大小：______．（填“”“”或“”）
【答案】
【分析】两个负数，绝对值大的其值反而小，先计算两数的绝对值，再比较绝对值的大小，进而判断原数的大小关系．
【详解】解：根据绝对值的定义，可得，，
因为，即，
所以．
知识点3实数的运算
1．实数的倒数的相反数是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【分析】本题考查了倒数的定义，相反数的定义．先求给定实数的倒数，再求该倒数的相反数，即可得到结果，
【详解】解：实数的倒数，
则的相反数是2，
即实数的倒数的相反数是2，
故选：C．
2．下列说法正确的是（ ）
A．绝对值是的数是5 B．的相反数是
C．的绝对值是 D．的相反数是
【答案】C
【分析】本题考查了实数的性质：实数的绝对值与相反数，与有理数的绝对值、相反数的意义相同；根据绝对值与相反数的意义逐项解答即可．
【详解】解：A、绝对值是的数是，故说法错误；
B、的相反数是，故说法错误；
C、的绝对值是，故说法正确；
D、的相反数是，故说法错误；
故选：C．
3．定义新运算：，则，则的值是______．
【答案】
【分析】根据新定义先将式子转化为，再代入求解．
【详解】解：，
，
，
．
4．已知的整数部分是，的小数部分是，则的值为________．
【答案】
【分析】根据无理数的估算， 先估算和的取值范围，进而确定和的值，最后代入计算即可．
【详解】解：，
，
，
；
又，
，
，
根据不等式的性质，两边同时加，得，
，
.
.
5．计算：________．
【答案】1
【分析】先根据算术平方根的定义求出的值. 再根据绝对值的性质求出的值. 最后进行有理数的减法运算即可得到结果．
【详解】解：．
6．（1）的倒数是__________．
（2）相反数和绝对值都为的实数是_____________．
（3）的相反数是__________，绝对值是__________，倒数是__________．
【答案】
【分析】本题考查实数的性质，包括倒数、相反数和绝对值的定义和计算．
（1）根据倒数的定义求解即可；
（2）根据相反数和绝对值的定义求解即可；
（3）先化简，再根据相反数、倒数和绝对值的定义求解即可．
【详解】解：（1）的倒数是 ；
故答案为：；
（2）设该实数为，则相反数为，绝对值为，且，由于，
∴；
故答案为：；
（3）=，其相反数为，绝对值为，倒数为；
故答案为：，，．
7．阅读材料：，的整数部分为2，的小数部分为．
(1)的小数部分是多少？
(2)已知a是的整数部分，b是的小数部分，求代数式的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据即解答即可；
（2）根据得到，确定整数部分为1，小数部分为，结合已知，确定a，b的值，解答即可．
【详解】（1）解：∵即，
∴的整数部分为8，小数部分为．
（2）解：∵即，
∴
∴的整数部分为1，小数部分为，
∵a是的整数部分，b是的小数部分，
∴，
∴．
8．计算：．
【答案】
【分析】先计算乘方，算术平方根，立方根，化简绝对值，再计算加减即可．
【详解】解：原式
．
9．我们知道是无理数，其整数部分是1，于是可以用来表示的小数部分．请解答：
(1)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值；
(2)已知，其中是整数，且，求的相反数．
【答案】(1)
1
(2)
【分析】（1）由，即可得出a的值．再根据，即可求出b的值，最后计算即可；
（2）由，且，其中x是整数，且，即可求出x和y的值，再计算出，最后利用相反数的定义求解即可．
【详解】（1）解：∵，的小数部分为a，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵的整数部分为b，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，其中x是整数，，
∴，，
∴，
∴的相反数是．
10．对于任何实数，我们规定符号，例如：．
(1)按照这个规律请你计算______；
(2)按照这个规定请你计算，当时，求的值．
【答案】(1)．
(2)．
【分析】（）按照给出的方法进行计算即可；
（）按照给的方法进行整理后，再整体代入进行求值即可．
【详解】（1）解：
（2）解：,
∵,
∴原式，
故的值为．
11．计算：
(1)．
(2)；
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了实数的运算，涉及立方根和算术平方根的求解，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）分别计算算术平方根和立方根，再进行加减计算；
（2）分别计算算术平方根和立方根和化简绝对值，再进行加减计算；
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
12．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查实数的混合运算，关键是掌握立方根和算术平方根的性质：负数的立方根是负数，正数的立方根是正数．
（1）先分别化简每个立方根、算术平方根，再将各结果进行有理数的加减运算；
（2）先化简立方根、算术平方根和乘方项，再通过加法交换律和结合律简便计算有理数的和．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
1．(1)已知某正数的两个不相等的平方根分别是和，的立方根为2，求的值．
(2)已知是的小数部分，求的算术平方根．
【答案】(1)，；
(2)2
【分析】（1）根据平方根的性质以及立方根的概念，列出方程即可求解；
（2）利用平方根、立方根的概念求出a、b的值，通过估算无理数，可得x的值，进而即可求解
【详解】解：（1）某正数的平方根分别是和，
∴，解得：，
∵的立方根为2，
∴，解得：；
（2）解：∵，
∴，
∴的整数部分是2，小数部分为，
∵是的小数部分，
∴，
∴，
∵4的算术平方根为2，即的算术平方根为2．
2．计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数的运算．直接利用算术平方根以及立方根的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
【详解】解：
．
3．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)8
【分析】本题主要考查了实数的运算、二次根式的性质、算术平方根、立方根等知识点，熟练掌握相关运算法则和性质是解题的关键．
（1）先根据二次根式的性质、立方根、绝对值的定义计算，再根据有理数加、减法计算即可；
（2）先根据绝对值的定义、算术平方根、立方根的性质计算，再根据有理数加、减法计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
4．如图，已知点，将点绕点顺时针旋转得到点．此时我们就称点是点关于点的旋转点，记作．如，．
(1)__________；，__________；
(2)如果，那么__________；
(3)点表示的数是，点表示的数为，如果（点在点右侧），，那么__________．
【答案】(1)；2
(2)
(3)2或4
【分析】本题考查了旋转点的定义，数轴中点公式的应用，线段和与差的计算，以及一元一次方程的应用，解决本题的关键是理解旋转点的本质是点 M 是线段的中点．
（1）根据旋转点的定义求解即可；
（2）根据旋转点的定义，可转化为点 M 是线段的中点，再由中点公式求解即可；
（3）先根据表示出点D表示的数，再根据，再表示出点B表示的数，根据列式求解即可．
【详解】（1）解：点2绕点顺时针旋转得到点．
∴；
点绕点顺时针旋转得到点2．
∴；
故答案为：；2；
（2）解：∵，
记作点A表示的数为，点M表示的数为x，点B表示的数为，
由中点公式可得，，
解得；
故答案为：；
（3）解：∵点表示的数是，点表示的数为，
又∵，
∴点表示的数是，
∵，点在点右侧，
∴点表示的数是，
∵，
∴，化简可得，
当时，解得；
当时，解得；
综上，或．
故答案为：2或4．
5．教材第82页的合作学习，探究发现了无理数（每一方格的边长为1个单位长度）．
(1)如图1，求方格中阴影正方形的面积和它的边长．
(2)请类比（1）的方法，在图2中画出实数在数轴上表示的点（保留作图痕迹）．
【答案】(1)阴影正方形的面积为，它的边长为
(2)见解析
【分析】本题考查了算术平方根的应用，实数与数轴；
（1）根据大正方形的面积减去4个小三角形的面积，即可求得阴影正方形的面积，根据算术平方根求得它的边长；
（2）先得出边长为的小正方形的对角线长为，再在数轴上构造边长为的正方形，即可求解．
【详解】（1）解：阴影正方形的面积为
它的边长为；
（2）解：如图，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到一个大正方形．
∴大正方形的面积为，则小正方形的对角线长为，
如图，画边长为的正方形，则边长为的小正方形的对角线长为，
∴点即为所求，
6．已知是的立方根，是的平方根与的立方根的和，是的平方．
(1)直接写出，的值，并比较，，的大小．
(2)求的所有可能值．
【答案】(1)，或；；
(2)
【分析】本题考查了立方根、平方根的定义以及实数大小比较，关键是根据平方根的双值性求出的所有可能值，再分别计算和，从而比较大小和求的值．
（1）先根据立方根的定义求出，再根据平方根和立方根的定义求出的所有可能值，然后计算，最后根据正数大于负数，以及正数之间的大小比较规则比较，，的大小．
（2）先根据的不同取值分别计算的值，再对结果进行平方，得到的所有可能值．
【详解】（1）解：∵是的立方根，
∴．
∵的平方根是，的立方根是，
∴当取时，；当取时，．
∴或．
当时，，
∵，
∴；
当时，，
∵，
∴；
综上，；
（2）解：当时，，
∴；
当时，，
∴；
故只有一个值为．
7．若整数，，满足，则称为，的“平方和数”．
例如：，为3，4的“平方和数”．
请你根据以上材料回答下列问题：
(1)①数3，4的另一个“平方和数”为_________；
②5还可以是数_________，_________的“平方和数”．
(2)若数与的“平方和数”是0，则_________，_________；
(3)已知10是数与6的“平方和数”，求的值．
【答案】（1）① ② （答案不唯一）
（2） 2
（3）或
【分析】（1）① 根据“平方和数”的定义，数3，4的“平方和数”满足，求的另一个整数解；
② 同理，寻找另外两个整数，使它们的平方和等于；
（2）“平方和数” 为，意味着两个数的平方和为，根据平方的非负性，这两个数必须都为，从而列方程求解；
（3）根据“平方和数”的定义列出方程，求解一元二次方程得到的值．
【详解】（1）解：（1）①∵，
∴数，的另一个“平方和数”为．
②∵，且，
∴还可以是数，的“平方和数”．
（2）解：（2）由题意得
∵平方数具有非负性，
∴，
要使两个非负数的和为，必须两个数都为：
解得 ：，．
（3）解：（3）根据题意，得
当时，；
当时，．
∴或．
【点睛】本题考查了平方和数的定义、平方的非负性、解一元二次方程．解题关键是准确理解“平方和数”的定义，利用平方的非负性和方程思想求解．
8．比较大小：和．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的比较大小，熟练掌握二次根式比较大小的方法是解题的关键；
运用作差法，判断两数之差的结果是否大于0．
【详解】解：．
，，且，
，
，
．
9．已知的立方根是3，的算术平方根是2，是的整数部分．
(1)求的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义、代数式求值等知识点，熟练掌握平方根、算术平方根、立方根的定义是解题的关键．
（1）根据立方根，算术平方根的定义，无理数的估算分别求得的值，然后求解即可；
（2）由（1）可知，再代入求值，再根据平方根的定义求解即可．
【详解】（1）解：∵的立方根是3，的算术平方根是2，是的整数部分且，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴的平方根为．
10．如图，已知点A表示的数为，点A向右平移2个单位长度到达点B．
(1)点B表示的数为______；
(2)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的算术平方根．
【答案】(1)
(2)的算术平方根是3．
【分析】（1）根据A点表示的数及平移的方向与距离，列出算式求出B点表示的数；
（2）先根据绝对值、算术平方根的非负性，求出c、d，再代入，求出的算术平方根．
【详解】（1）解：∵点A表示的数为，点A向右平移2个单位长度到达点B，
∴点B表示的数为，
故答案为：；
（2）解：∵与互为相反数，
∴，，
∴，，
∴的算术平方根是，
即的算术平方根是3．
【点睛】本题考查了绝对值非负性，求一个数的算术平方根，利用算术平方根的非负性解题，实数与数轴，已知字母的值，求代数式的值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
1．综合与实践
问题情境
“综合与实践”课上，老师告诉大家，无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部写出来，比如、、等，而常用“……”或者“”的表示方法都不够准确．
方法尝试
“善思”小组用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．“智慧”小组用来表示的小数部分，因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．也就是说，任何一个无理数，都夹在两个相邻的整数之间．
解决问题
(1)的整数部分是 ，小数部分是 ．
(2)也夹在两个相邻的整数之间，可以表示为，求的值．
(3)若，其中是整数，且，请直接写出的相反数．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查估算无理数的大小，以及相反数定义，掌握算术平方根的定义是解决问题的前提．
（1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，再类比题干求解，即可解题；
（2）估算无理数的大小，进而确定a、b的值，再代入计算，即可解题；
（3）先估算无理数的大小，进而确定、的值，再代入计算，最后结合相反数的定义求解，即可解题．
【详解】（1）解：，
，
即的整数部分是，小数部分是，
故答案为：，；
（2）解：
，
即，，
；
（3）解：，
，
，
，其中是整数，且，
，，
则，
的相反数为．
2．综合与实践．
主题：制作无盖长方体形纸盒．
素材：一张正方形纸板．
步骤1：如图1，在正方形纸板的四角各剪去一个大小相同的小正方形；
步骤2：把纸板四周沿虚线折起，就折成如图2所示的无盖长方体形纸盒，其长：宽：高＝2：2：1，底面积为20cm2
计算与应用：
(1)求这个无盖长方体纸盒的长、宽、高；
(2)求这个无盖长方体纸盒的体积和表面积．
【答案】(1)，，
(2)，
【分析】本题考查了求长方体的相关计算，涉及长方体的长、宽、高、底面积、体积和表面积的求解，解题的关键是设这个长方体的长、宽、高分别为，，，结合底面积列方程求解，再利用公式计算体积和表面积．
（1）设这个长方体的长、宽、高分别为，，，结合底面积列方程求出长、宽、高；
（2）利用长方体体积公式和无盖长方体表面积公式分别计算体积和表面积．
【详解】（1）解：设这个长方体的长、宽、高分别为，，，
根据题意，得，解得（负值舍去），则．
故这个无盖长方体纸盒的长、宽、高分别为，，；
（2），
故这个无盖长方体纸盒的体积为；
无盖长方体表面积底面积+侧面积，
已知底面积为，长、宽、高，则侧面积为：
，
故无盖长方体表面积．
3．综合与实践．
(1)【初步操作】如图1，把两个面积为的小正方形沿对角线剪开，拼成一个面积为的大正方形，可得小正方形的对角线长（大正方形的边长）为________；
(2)【类比操作】把长为2、宽为1的两个小长方形沿对角线剪开，拼成如图2所示的一个大正方形（内部空白是一个小正方形），仿照上面的探究方法求小长方形的对角线长；
(3)【计算拓展】若3是的一个平方根，的立方根是2，为图2中小正方形边长的小数部分，请计算的平方根．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，求一个数的平方根，根据立方根和平方根求原数，实数的运算，无理数的估算等等， 熟知相关知识是解题的关键．
（1）根据正方形面积计算公式求解即可；
（2）大正方形面积等于四个小长方形面积加上中间的小正方形面积，则，解方程即可得到答案；
（3）根据平方根和立方根的定义求出a、b的值，再根据（2）所求求出c的值，进而求出的值，最后根据平方根的定义可得答案．
【详解】（1）解：∵大正方形的面积为，
∴大正方形的边长为，即小正方形的对角线的长为；
（2）解：由题意得，，
∵，
∴，
∴小长方形的对角线长为；
（3）解：∵3是的一个平方根，的立方根是2，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为图2中小正方形边长的小数部分，
∴，
∴，
∴的平方根为．
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