2025-2026人教版七年级数学分层精析精练章末复习（二）实数（含解析）
文档属性
| 名称 | 2025-2026人教版七年级数学分层精析精练章末复习（二）实数（含解析） |
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| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 6.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-26 00:00:00 | ||
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文档简介
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2025-2026学年人教版七年级数学下分层精练精析
章末复习（二）实数
平方根
1．下列说法：①10的平方根是；②负数和零没有立方根；③的相反数是；④16的算术平方根是4；⑤的立方根是，其中正确的有（ ）.
A．4个 B．3个 C．2个 D．5个
2．下列说法正确的是（ ）
A．16的平方根是4
B．0的平方根是0
C．81的平方根是－9
D．负数的平方根有两个
3．下列说法错误的是（ ）
A．4是16的一个平方根
B．81的平方根是
C．－7是49的一个平方根
D．49的平方根是7
4．一个正数的平方根分别是和，则的值是________．
5．一个正实数的两个平方根分别是和，求这个正数．
6．在学方根后，老师提出了一个问题：一个数的算术平方根为，平方根为．求这个数．小明的解答过程如下．老师看完小明的解答后，说解答不正确．
解：这个数的算术平方根为．平方根为．
或．①
（i）当时，解得，，，∴这个数为16；②
（ii）当时，解得，，，∴这个数为4．③
综上所述，这个数为16或4．
(1)①②③中有问题的步骤是_____，错误原因是__________；
(2)已知一个数的算术平方根是，平方根是，求这个数．
算术平方根
1．一个正数的平方根是与，则这个正数的算术平方根是______．
2．若实数a和b满足，则的算术平方根是________．
3．若m为正整数，且满足，的值是_____
4．【阅读理解】阅读下列解题过程：
例：若代数式，求的取值范围．
解：原式．
当时，原式，
解得（舍去）；
当时，原式，等式恒成立；
当时，原式，解得．
综上所述，的取值范围是．
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：
(1)当时，化简：；
(2)若，求的值；
(3)请直接写出满足的a的取值范围为_____．
5．若，求的值．
6．[核心素养]【实践与探究】
（1）计算：，，，，；
【归纳与应用】
（2）观察（1）中的等式，发现其中的规律，并猜想与有怎样的关系，请用数学式子表示出来；
（3）利用你得到的规律，计算：
①若，则；
②．
7．为感谢消防英雄们对我们家园的守护，某校七年级学生制作了面积为的正方形感恩明信片．
(1)该明信片的边长为___________；
(2)制作好明信片后同学们准备用如图所示的信封寄给消防队．已知信封的长是宽的2倍，面积为，请问能否在不折叠的情况下将明信片放入此信封？并说明理由．
立方根
1．下列说法错误的是（ ）
A．中的可以取正数、负数、零 B．是的平方根
C．的立方根为 D．的算术平方根是
2．如果，那么的结果约是（ ）
A． B． C． D．
3．已知正数a的两个平方根分别是和，且与互为相反数，求的平方根．
4．已知的算术平方根是3，的立方根是1，a与c互为相反数．
(1)求出a，b，c的值；
(2)求的平方根．
5．观察如表，并解答下列问题．
a 1 1000 1000000
______ ______ 100
【规律总结】
（1）①请补全如表；
②根据如表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位；
【规律应用】
（2）已知，，．
①______；
②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（保留整数）
6．小明打算利用一张面积为的正方形卡纸裁出需要的形状进行手工制作．
(1)求正方形卡纸的边长；
(2)如图1，按图中方式裁出一个长方形（图中阴影部分），要求长方形的长宽之比为，裁出的长方形的面积能否为？请通过计算说明；
(3)如图2，按图中方式裁出阴影部分，将其沿虚线折叠得到一个正方体，若正方体的体积为，求该正方体的表面积．
7．已知的平方根是的立方根是2，求的算术平方根．
实数
实数就及其分类
1．在下列五个数中：，0，，，（两个1之间依次多一个2）有理数的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
2．有下列各数：、、、、、0、，其中无理数有_______．
3．把下列各数填入相应的集合内：
，，，，，，，（相邻两个之间的个数逐次加）．
(1)有理数集合：{ …}．
(2)无理数集合：{ …}．
(3)正实数集合：{ …}．
(4)负实数集合：{ …}．
(5)整数集合：{ …}．
(6)分数集合：{ …}．
实数与数轴及其大小比较
1．如图，在数轴上表示的点可能是（ ）
A．点P B．点Q C．点M D．点N
2．把无理数，，，表示在数轴上．在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是_________．
3．“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，若，则；若，则；若，则．
例：比较和2的大小．
由“作差法”得，因为，所以，所以，所以．
请你根据上面的方法解决下列问题：
(1)比较和1的大小；
(2)比较和7的大小．
实数的相反数与绝对值
1．的相反数是________；2－π的相反数是________；的相反数是________．
2．（1）的倒数是__________．
（2）相反数和绝对值都为的实数是_____________．
（3）的相反数是__________，绝对值是__________，倒数是__________．
3．填空：
（1）的相反数是 ___________，绝对值是 ___________；
（2）的相反数是 ___________，绝对值是 ___________；
（3）若，则___________．
4．绝对值不大于的所有整数是________．
实数的运算
1．计算：．
2．（1）若实数互为相反数，互为倒数，是16的平方根，求的值；
（2）若的小数部分为，的整数部分为，求的值．
3．阅读材料：因为，，
所以，，即，，
所以，的整数部分是2，小数部分为．
解答问题：
(1)请你模仿材料中的解答过程，求的整数部分和小数部分；
(2)已知a的立方根是2，b的一个平方根是，c是的整数部分．求的值．
4．已知七个实数，，4，，，0，其中五个数已在数轴上分别用点、、、、表示．
(1)点表示数______，点表示数______，点表示数_____，点表示数______；
(2)用圆规在数轴上准确地表示数（提示：注意观察正方形的面积）；
(3)将上面7个数分别填入相应括号的横线上．
整数：{ …}；
分数：{ …}；
无理数：{ …}．
1．已知和都是非负数的平方根，求的值．
佳佳的解题过程如下：
解：和都是非负数的平方根，
，解得的值为9．
佳佳的解题过程正确吗？如果不正确，请你写出正确的解题过程．
2．阅读下列材料，完成后面任务：
问题：已知一个数的算术平方根为，平方根为，求这个数．
解：根据题意，得或……………………………第一步
解得或………………………………第二步
当时，，所以这个数是9………………………第三步
当时，，所以这个数是1…………………第四步
综上所述，这个数是9或1…………………………第五步
任务：
(1)上述解法是错误的，错在第___________步；
(2)请写出本题正确的解题过程．
3．判断下列说法是否正确，错误的请说明理由：
(1)8的立方根是；
(2)负数开立方没有意义；
(3)正数才有立方根；
(4)是3的立方根．
4．判断下列说法是否正确：
（1）2是8的立方根；
（2）是64的立方根；
（3）是的立方根；
（4）的立方根是．
5．判断下列说法是否正确：
（1）无限小数都是无理数；
（2）无理数都是无限小数；
（3）带根号的数都是无理数；
（4）所有有理数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都表示有理数；
（5）所有实数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都表示实数．
6．判断下列说法是否正确，并说明理由．
(1)无限小数都是无理数．
(2)带根号的数都是无理数．
(3)实数不是有理数就是无理数．
7．判断下列说法是否正确：
（1）带根号的数都是无理数；
（2）绝对值最小的实数是0；
（3）数轴上的每一个点都表示一个有理数．
1．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．的算术平方根是4
B．是2的平方根
C．若，则
D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
2．下列说法错误的是（ ）
A．是25的平方根 B．的算术平方根是2
C．的平方根是 D．
3．已知，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图是一个数值转换机示意图，当输入x的值为81，则输出y的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．在实数，，0，，，，中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．下列说法：①最大的负整数是；②0是最小的有理数；③a与必为一正数和一负数；④有理数分为正有理数和负有理数；⑤数轴上的点不都表示有理数；其中错误的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．的平方根是_______．
8．的绝对值是_____，的算术平方根是____，的平方根是___
9．一个正数的两个不同的平方根分别为与，则m的值为_____ ．
10．根据如图所示的程序，计算y的值，若输入x的值是1时，则输出的y的值等于_____．
11．若为正整数，且满足，则________．
12．如图，长方形内的两个相邻正方形面积分别为9和3，则两个正方形的边长分别为_____和_____，图中阴影部分面积为_________．
13．若实数a，b同时满足，，则的值为_____．
14．①，②，③……观察以上式子，请解答_______．
15．如图，在数轴上表示实数的点可能是______点．
16．解方程：．
17．求下列各数的算术平方根和平方根：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
18．已知的算术平方根是3，b的立方根为．
(1)求a与b的值；
(2)求的立方根．
19．计算：．
20．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点所表示的数为，设点所表示的数为．
(1)实数的值为_________；
(2)在数轴上还有，两点分别表示实数，，且与互为相反数，求的平方根．
2025-2026学年人教版七年级数学下分层精练精析
章末复习（二）实数（解析版）
平方根
1．下列说法：①10的平方根是；②负数和零没有立方根；③的相反数是；④16的算术平方根是4；⑤的立方根是，其中正确的有（ ）.
A．4个 B．3个 C．2个 D．5个
【答案】A
【分析】本题主要考查了平方根、算术平方根、立方根、相反数等知识点，理解相关定义是解题的关键．
根据平方根、算术平方根、立方根的定义及相反数的概念逐项判断即可解答．
【详解】解：∵正数的平方根有两个，且互为相反数，10是正数，
∴10的平方根是，①说法正确；
∵任何实数都有立方根，负数的立方根是负数，0的立方根是0，
∴“负数和零没有立方根”的说法错误，②说法错误；
∵互为相反数的两个数和为0，，
∴的相反数是，③说法正确．
∵算术平方根是一个非负数的正的平方根，，
∴16的算术平方根是4，④说法正确．
∵，
∴0.008的立方根是0.2，⑤说法正确．
综上，正确的说法有①③④⑤，共4个．
故选：A．
2．下列说法正确的是（ ）
A．16的平方根是4
B．0的平方根是0
C．81的平方根是－9
D．负数的平方根有两个
【答案】B
【分析】本题主要考查的是平方根和算术平方根的定义，掌握平方根和算术平方根的定义是解题的关键．
根据平方根的定义，正数有两个平方根，的平方根是，负数没有实数平方根，逐一判断即可.
【详解】解：A、的平方根是，而非仅，该选项说法错误，不符合题意；
B、的平方根是，该选项说法正确，符合题意；
C、的平方根是，而非仅，该选项说法错误，不符合题意；
D、负数在实数范围内无平方根，该选项说法错误，不符合题意；
故选：B．
3．下列说法错误的是（ ）
A．4是16的一个平方根
B．81的平方根是
C．－7是49的一个平方根
D．49的平方根是7
【答案】D
【分析】本题考查平方根的概念，解题的关键是熟练掌握平方根的定义．
利用平方根的概念，正数的平方根有两个，互为相反数，逐一判断即可.
【详解】A、∵ ，∴ 是的一个平方根，说法正确，不符合题意；
B、∵ 且，∴ 的平方根是，说法正确，不符合题意；
C、∵ ，∴ 是的一个平方根，说法正确，不符合题意；
D、∵ ，，∴ 的平方根是，说法错误，符合题意．
故选：D．
4．一个正数的平方根分别是和，则的值是________．
【答案】49
【分析】本题考查了平方根的性质，掌握正数的两个平方根互为相反数是解题的关键．
根据正数的两个平方根互为相反数，列出方程求出的值，再代入求．
【详解】解：∵正数的两个平方根互为相反数，
∴ ，
整理得：，
解得：，
当时，
，，
∴ ，
故答案为：．
5．一个正实数的两个平方根分别是和，求这个正数．
【答案】25
【分析】本题考查了平方根和相反数的应用，求出的值是解题的关键．根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数，可得，解方程即可求出该数的平方根，即可求解．
【详解】解：∵一个正实数的两个平方根分别是和，
∴，
解得，，
∴这个正数是．
6．在学方根后，老师提出了一个问题：一个数的算术平方根为，平方根为．求这个数．小明的解答过程如下．老师看完小明的解答后，说解答不正确．
解：这个数的算术平方根为．平方根为．
或．①
（i）当时，解得，，，∴这个数为16；②
（ii）当时，解得，，，∴这个数为4．③
综上所述，这个数为16或4．
(1)①②③中有问题的步骤是_____，错误原因是__________；
(2)已知一个数的算术平方根是，平方根是，求这个数．
【答案】(1)③，算术平方根不能为负数．
(2)25或
【分析】本题考查了平方根与算术平方根的概念，正确理解平方根与算术平方根的概念是解题的关键．
（1）错误的在第③部分，求出后，将x的值代入得，不符合算术平方根的概念，应舍去．
（2）根据一个数的算术平方根是，平方根是，即或，求出m的值，即可解答．
【详解】（1）解：这个数的算术平方根为．平方根为．
或．
（i）当时，
解得，
，
，
∴这个数为16；
（ii）当时，
解得，
，
由这个数的算术平方根为，得
，
∴不符合题意，舍去．
故答案为：③，算术平方根不能为负数．
（2）∵一个数的算术平方根是，平方根是，
∴或．
（i）当时，
解得，
，
，
∴这个数为25；
（ii）当时，
解得，
，
，
∴这个数为；
综上所述，这个数为或．
算术平方根
1．一个正数的平方根是与，则这个正数的算术平方根是______．
【答案】
【分析】本题考查平方根与算术平方根的定义及性质，关键是掌握“一个正数的两个平方根互为相反数”这一核心知识点．先利用两个平方根互为相反数的性质列出关于的方程，求解得到的值；再代入平方根的表达式求出正的平方根，即为该正数的算术平方根．
【详解】解：∵一个正数的平方根是与，
∴，
解得，
∴，
∴这个正数的算术平方根是7；
故答案为：．
2．若实数a和b满足，则的算术平方根是________．
【答案】
【分析】本题考查算术平方根，掌握算术平方根的被开方数的非负性是解题的关键．
根据平方根的定义，被开方数必须非负，由此确定a的值，再代入方程求b，最后计算的算术平方根
【详解】解：∵，
∴，解得，
∴，
∴，
∴，
∴的算术平方根为．
3．若m为正整数，且满足，的值是_____
【答案】16
【分析】本题主要考查了无理数的估算、有理数乘方等知识点，确定m的值是解题的关键．
通过比较与相邻整数的平方，确定m的值，再计算即可解答．
【详解】解：∵，，且，
∴，
∵
∴，即．
故答案为：16．
4．【阅读理解】阅读下列解题过程：
例：若代数式，求的取值范围．
解：原式．
当时，原式，
解得（舍去）；
当时，原式，等式恒成立；
当时，原式，解得．
综上所述，的取值范围是．
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：
(1)当时，化简：；
(2)若，求的值；
(3)请直接写出满足的a的取值范围为_____．
【答案】(1)4
(2)或4
(3)
【分析】本题考查了求一个数的算术平方根、解绝对值方程，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
（1）先计算算术平方根，再根据a的取值范围去绝对值即可求解．
（2）仿照题意先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求解．
（3）仿照题意先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴
；
（2）∵，
∴，
当时，，
解得，
当时，，此时方程无解；
当时，，
解得；
综上所述，的值为或4．
（3）解：∵，
，
当时，原式，
解得，
当时，原式，等式恒成立；
当时，原式，
解得（舍去），
综上所述：a的取值范围为．
5．若，求的值．
【答案】6
【分析】本题主要考查绝对值、算术平方根、偶次方的非负性．已知，得到，，，由此求出即可求解．
【详解】解：∵，，，，
∴，，，
解得：，，，
∴．
6．[核心素养]【实践与探究】
（1）计算：，，，，；
【归纳与应用】
（2）观察（1）中的等式，发现其中的规律，并猜想与有怎样的关系，请用数学式子表示出来；
（3）利用你得到的规律，计算：
①若，则；
②．
【答案】（1）3，0.5，0，6，；（2）；（3）①；②
【分析】本题属于规律探究题，主要考查了算术平方根的定义、绝对值化简等知识，运用发现的规律是解决第（3）小问的关键．
（1）根据算术平方根定义进行计算即可；
（2）从（1）中可以得到规律：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值；
（3）①②利用（2）中总结的规律化简即可．
【详解】解：（1）计算：，，，，．
（2）观察（1）中的等式，可以发现，．
（3）①．
，
，
．
②．
，
．
7．为感谢消防英雄们对我们家园的守护，某校七年级学生制作了面积为的正方形感恩明信片．
(1)该明信片的边长为___________；
(2)制作好明信片后同学们准备用如图所示的信封寄给消防队．已知信封的长是宽的2倍，面积为，请问能否在不折叠的情况下将明信片放入此信封？并说明理由．
【答案】(1)9
(2)能
【分析】本题考查算术平方根的应用，利用面积公式：长×宽=面积，得到类似的等式，利用平方根的定义求解即可．
（1）根据正方形面积公式：边长的平方=面积，求解即可；
（2）设宽为x ，列式求解，再比较长和宽是否都大于（1）中所求明信片的边长即可．
【详解】（1）解：由题意，得明信片的边长为；
（2）解：设宽为，则长为，
由题意，得，
整理，得，
∴，
，
∵，
∴能在不折叠的情况下将明信片放入此信封．
立方根
1．下列说法错误的是（ ）
A．中的可以取正数、负数、零 B．是的平方根
C．的立方根为 D．的算术平方根是
【答案】C
【分析】本题考查了算术平方根、平方根和立方根的性质，解题关键是掌握平方根和立方根的性质．根据算术平方根、平方根和立方根的性质逐项判断即可．
【详解】解：A、中的可以取正数、负数、零，说法正确，不符合题意；
B、，故是的平方根，说法正确，不符合题意；
C、，的立方根为，故该选项说法错误，符合题意；
D、的算术平方根是，说法正确，不符合题意；
故选：C．
2．如果，那么的结果约是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了立方根，如果把一个数扩大倍，则它的立方根扩大倍，如果把一个数缩小倍，则它的立方根缩小倍，做题的关键是掌握以上规律．根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可．
【详解】解：，且，，
．
故选：A．
3．已知正数a的两个平方根分别是和，且与互为相反数，求的平方根．
【答案】
【分析】根据正数有两个平方根，它们是互为相反数求出x的值，进而求出a的值；根据立方根的性质求出b的值，然后根据平方根的定义求解即可．
【详解】解∶∵正数a的两个平方根分别是和，
∴，
∴，
∴，
∵与互为相反数，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的平方根为．
4．已知的算术平方根是3，的立方根是1，a与c互为相反数．
(1)求出a，b，c的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了算术平方根，平方根，立方根和相反数：
（1）根据算术平方根和立方根的定义得到，，据此可求出a、b，再根据只有符号不同的两个数互为相反数求出c即可；
（2）根据（1）所求求出的值，进而求出的平方根即可．
【详解】（1）解：∵的算术平方根是3，
∴，
∴；
∵的立方根是1，
∴，
∴；
∵与互为相反数，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴的平方根为．
5．观察如表，并解答下列问题．
a 1 1000 1000000
______ ______ 100
【规律总结】
（1）①请补全如表；
②根据如表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位；
【规律应用】
（2）已知，，．
①______；
②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（保留整数）
【答案】（1）①见解析；②1；（2）①；②1248平方米．
【分析】本题考查立方根，理解立方根的定义是正确解答的关键．
（1）根据立方根的定义求出1，1000的立方根即可，；
（2）①根据规律得到即可；②根据规律求出的值，再根据正方体表面积的计算方法求出表面积即可．
【详解】解：（1）①，，
补全表格如下：
a 1 1000 1000000
1 10 100
②根据如表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右或向左移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动1位，
故答案为：1；
（2）①，
故答案为：；
②正方体的体积为3000立方米，
正方体的棱长为：米
需要铁皮的面积为平方米
6．小明打算利用一张面积为的正方形卡纸裁出需要的形状进行手工制作．
(1)求正方形卡纸的边长；
(2)如图1，按图中方式裁出一个长方形（图中阴影部分），要求长方形的长宽之比为，裁出的长方形的面积能否为？请通过计算说明；
(3)如图2，按图中方式裁出阴影部分，将其沿虚线折叠得到一个正方体，若正方体的体积为，求该正方体的表面积．
【答案】(1)
(2)裁出的长方形的面积不能为，理由见解析
(3)
【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的实际应用，熟知求算术平方根和立方根的方法是解题的关键．
（1）设出正方形卡片的边长，根据正方形面积计算公式建立方程求解即可；
（2）设裁出的长方形的长为，宽为，根据长方形面积计算公式建立方程求出长和宽，再比较长方形长和宽与正方形边长的大小即可得到结论；
（3）根据正方体体积公式计算出棱长，进而求出其表面积即可．
【详解】（1）解：设正方形卡纸的边长为．
根据题意，得，
解得或（舍去）．
答：正方形卡纸的边长为．
（2）解：裁出的长方形的面积不能为，理由如下：
设裁出的长方形的长为，宽为．
根据题意，得，
解得或（舍去），
∵，
∴裁出的长方形的面积不能为；
（3）解：∵正方体的体积为，
∴该正方体的棱长为，
∴该正方体的表面积为．
7．已知的平方根是的立方根是2，求的算术平方根．
【答案】4
【分析】本题主要考查平方根、立方根和算术平方根的计算，掌握平方根，立方根和算术平方根的计算方法是解题的关键．
根据的平方根是可得，根据的立方根是可得，将m和n代入求解即可．
【详解】解：∵的平方根是，
∴
解得，
∵的立方根是，
∴
将，代入得，，
∴，
∴的算术平方根为4．
实数
实数就及其分类
1．在下列五个数中：，0，，，（两个1之间依次多一个2）有理数的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【分析】本题考查有理数与无理数的定义，熟记概念是解题的关键，根据有理数是整数和分数的统称，无限不循环小数是无理数，逐个判断即可.
【详解】解： 在，0，，，（两个1之间依次多一个2）中，
是分数，是有理数，
0是整数，是有理数，
是有限小数，可化为分数，是有理数，
是无理数，是无限不循环小数，是无理数，
∴ 有理数的个数为3个.
2．有下列各数：、、、、、0、，其中无理数有_______．
【答案】，，
【分析】根据无理数的定义：无限不循环的小数是无理数即可判断．
【详解】解：，
、、、、、0、中，无理数有，，．
3．把下列各数填入相应的集合内：
，，，，，，，（相邻两个之间的个数逐次加）．
(1)有理数集合：{ …}．
(2)无理数集合：{ …}．
(3)正实数集合：{ …}．
(4)负实数集合：{ …}．
(5)整数集合：{ …}．
(6)分数集合：{ …}．
【答案】(1)，，，，，
(2)，（相邻两个之间的个数逐次加）
(3)，，，（相邻两个之间的个数逐次加）
(4)，，
(5)
(6)，，，，
【分析】本题考查了实数的分类，有理数和无理数统称实数；实数也分为正实数、0、负实数；整数和分数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数，透彻理解定义是解题的关键．根据实数的分类及定义即可得出答案．
【详解】（1）解：有理数集合：{，，，，，，…}．
（2）解：无理数集合：{，（相邻两个之间的个数逐次加） …}．
（3）解：正实数集合：{，，，（相邻两个之间的个数逐次加）…}．
（4）解：负实数集合：{，，，…}．
（5）解：整数集合：{， …}．
（6）解：分数集合：{，，，，，…}．
实数与数轴及其大小比较
1．如图，在数轴上表示的点可能是（ ）
A．点P B．点Q C．点M D．点N
【答案】B
【分析】先估算的取值范围，然后结合数轴即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即在3和4之间，
结合数轴可知点Q满足条件，即B选项符合题意．
2．把无理数，，，表示在数轴上．在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是_________．
【答案】
【分析】本题考查了实数与数轴的关系以及估算无理数的大小，确定出被覆盖数的范围并化为带根号的数是解题的关键．
根据被覆盖的数在到之间，化为带根号的数的被开方数的范围，然后即可得解．
【详解】解：设被墨迹覆盖住的无理数为，
由图可知：，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
3．“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，若，则；若，则；若，则．
例：比较和2的大小．
由“作差法”得，因为，所以，所以，所以．
请你根据上面的方法解决下列问题：
(1)比较和1的大小；
(2)比较和7的大小．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查无理数的估算，实数的大小比较．
（1）根据“作差法”比较大小即可；
（2）根据“作差法”比较大小即可．
【详解】（1）解：，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：，
∵，
∴，
∴，
∴．
实数的相反数与绝对值
1．的相反数是________；2－π的相反数是________；的相反数是________．
【答案】 π－2
【解析】略
2．（1）的倒数是__________．
（2）相反数和绝对值都为的实数是_____________．
（3）的相反数是__________，绝对值是__________，倒数是__________．
【答案】
【分析】本题考查实数的性质，包括倒数、相反数和绝对值的定义和计算．
（1）根据倒数的定义求解即可；
（2）根据相反数和绝对值的定义求解即可；
（3）先化简，再根据相反数、倒数和绝对值的定义求解即可．
【详解】解：（1）的倒数是 ；
故答案为：；
（2）设该实数为，则相反数为，绝对值为，且，由于，
∴；
故答案为：；
（3）=，其相反数为，绝对值为，倒数为；
故答案为：，，．
3．填空：
（1）的相反数是 ___________，绝对值是 ___________；
（2）的相反数是 ___________，绝对值是 ___________；
（3）若，则___________．
【答案】
【分析】本题考查了相反数和求一个数的绝对值，根据相反数和绝对值的定义即可得出答案．
【详解】解：（1）的相反数是，绝对值是；
（2）的相反数是 ，绝对值是；
（3）∵，
∴．
故答案为：（1）；（2）；（3）．
4．绝对值不大于的所有整数是________．
【答案】，，1， 0， 1， 2
【分析】根据绝对值的意义，找出所有整数满足绝对值不大于 ，需计算 的近似值以确定整数范围．
本题考查了无理数的估算，绝对值，不等式的性质，熟练掌握估算是解题的关键．
【详解】解：由得，
故，
故；
由于即，
故的整数部分为为2，
故绝对值不大于的整数为绝对值小于或等于2的整数，即，
故答案为：．
实数的运算
1．计算：．
【答案】
【分析】根据算术平方根、立方根和绝对值的性质求解即可．
【详解】解：
．
2．（1）若实数互为相反数，互为倒数，是16的平方根，求的值；
（2）若的小数部分为，的整数部分为，求的值．
【答案】（1）10或26（2）
【分析】本题考查的是相反数，倒数，平方根的含义，无理数的整数部分与小数部分的含义．
（1）先求解，，，再进一步代入计算即可．
（2）先求解，，再进一步求解即可．
【详解】解：（1） 由题意可得：，，，
原式
当时，原式；
当时，原式．
（2）∵，
∴整数部分为4，
∴；
∵，
∴整数部分为3，
∴，
∴．
3．阅读材料：因为，，
所以，，即，，
所以，的整数部分是2，小数部分为．
解答问题：
(1)请你模仿材料中的解答过程，求的整数部分和小数部分；
(2)已知a的立方根是2，b的一个平方根是，c是的整数部分．求的值．
【答案】(1)的整数部分是3，小数部分为
(2)6
【分析】本题考查了估算无理数的大小估算，立方根，平方根的含义，求代数式的值．
（1）根据题干中的方法即可求出结果；
（2）根据题意可得，，，再进一步计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
即，
∴的整数部分是3，小数部分为．
（2）解：∵a的立方根是2，b的一个平方根是，c是的整数部分，
∴，，，
∴.
4．已知七个实数，，4，，，0，其中五个数已在数轴上分别用点、、、、表示．
(1)点表示数______，点表示数______，点表示数_____，点表示数______；
(2)用圆规在数轴上准确地表示数（提示：注意观察正方形的面积）；
(3)将上面7个数分别填入相应括号的横线上．
整数：{ …}；
分数：{ …}；
无理数：{ …}．
【答案】(1)0；；5.3；；
(2)见解析
(3)4，0，；，5.3；，．
【分析】此题考查了实数与数轴，勾股定理，实数的分类等知识，熟练掌握实数的分类是关键．
（1）根据A、B、C、D在数轴上的位置进行解答即可；
（2）根据实数与数轴的关系进行解答即可；
（3）根据实数的分类方法进行解答即可．
【详解】（1）解：根据A、B、C、D在数轴上的位置可知，点A表示数0，点B表示数，点C表示数，点D表示数，
故答案为：0，，，；
（2）解：如图所示：
；
（3）解：整数：{4，0，…}；
分数：{，…}；
无理数：{，…}．
1．已知和都是非负数的平方根，求的值．
佳佳的解题过程如下：
解：和都是非负数的平方根，
，解得的值为9．
佳佳的解题过程正确吗？如果不正确，请你写出正确的解题过程．
【答案】不正确；正确过程见解析
【分析】此题主要考查了平方根，解题的关键是掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．利用平方根的意义得出关于a的等式，进而求出m的值．
【详解】解：佳佳的解题过程不正确，理由如下：
∵和是非负数m的平方根，
∴当时，
解得：，
∴，
∴m的值为9，
当，
解得：，
∴，
∴m的值为1；
综上分析可知：m的值为1或9．
2．阅读下列材料，完成后面任务：
问题：已知一个数的算术平方根为，平方根为，求这个数．
解：根据题意，得或……………………………第一步
解得或………………………………第二步
当时，，所以这个数是9………………………第三步
当时，，所以这个数是1…………………第四步
综上所述，这个数是9或1…………………………第五步
任务：
(1)上述解法是错误的，错在第___________步；
(2)请写出本题正确的解题过程．
【答案】(1)四
(2)这个数是9，过程见解析
【分析】本题考查了平方根和算术平方根的定义，熟练掌握二者的定义是解答本题的关键．如果一个数x的平方等于a，即，x叫做a的平方根；如果一个正数x的平方等于a，即，那么x叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0．
（1）根据平方根和算术平方根的定义分析即可；
（2）根据平方根和算术平方根的定义写出正确的过程即可．
【详解】（1）解：∵当时，，不符合算术平方根的定义，舍去，
∴第四步错误．
故答案为：四；
（2）解：根据题意，得或，
解得或，
当时，，所以这个数是9，
当时，，不符合算术平方根的定义，舍去．
综上所述，这个数是9．
3．判断下列说法是否正确，错误的请说明理由：
(1)8的立方根是；
(2)负数开立方没有意义；
(3)正数才有立方根；
(4)是3的立方根．
【答案】(1)错误，理由见解析
(2)错误，理由见解析
(3)错误，理由见解析
(4)正确
【分析】本题考查了立方根，解题的关键是掌握立方根的概念．
根据立方根的定义“若一个实数x的立方等于a，则x是a的立方根”进行计算即可得．
【详解】（1）错误．理由如下：8的立方根是2．
（2）错误．理由如下：负数开立方的结果为负数．
（3）错误．理由如下：任何数都有立方根．
（4）是3的立方根，正确．
4．判断下列说法是否正确：
（1）2是8的立方根；
（2）是64的立方根；
（3）是的立方根；
（4）的立方根是．
【答案】（1）正确；（2）错误；（3）正确；（4）正确
【分析】根据立方根的定义进行判断，即可解答．
【详解】解：（1）正确；
（2）是64的立方根，故错误；
（3）正确；
（4）正确．
【点睛】本题考查了立方根，解决本题的关键是熟记立方根的定义．
5．判断下列说法是否正确：
（1）无限小数都是无理数；
（2）无理数都是无限小数；
（3）带根号的数都是无理数；
（4）所有有理数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都表示有理数；
（5）所有实数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都表示实数．
【答案】（1）错误；（2）正确；（3）错误；（4）错误；（5）正确．
【分析】无限不循环小数小数是无理数，无限循环小数是有理数，所有实数都可以用数轴上的点表示，数轴上所有的点都表示实数，无理数是指无限不循环小数，根据以上内容判断即可．
【详解】解：（1）∵无限不循环小数小数是无理数，无限循环小数是有理数，
∴（1）错误；
（2）∵无理数都是无限小数正确，
∴（2）正确；
（3）∵如＝2，是有理数，不是无理数，
∴（3）错误；
（4）∵数轴上所有点都表示实数，
∴（4）错误；
（5）∵所有实数都可以用数轴上的点表示正确， 数轴上所有的点都表示实数正确，
∴（5）正确；
答：（1）错误；（2）正确；（3）错误；（4）错误；（5）正确．
【点睛】本题考查了无理数，实数、数轴的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力．
6．判断下列说法是否正确，并说明理由．
(1)无限小数都是无理数．
(2)带根号的数都是无理数．
(3)实数不是有理数就是无理数．
【答案】(1)错误，理由：无限循环小数是有理数
(2)错误，理由：如是有理数
(3)正确，理由：实数由有理数和无理数组成
【分析】本题考查了无理数的定义，实数的定义，掌握实数的分类是解题的关键．有理数和无理数统称实数，无限不循环小数是无理数．根据定义对选项逐一判断即可．
【详解】（1）解：错误．理由：无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数是有理数，只有无限不循环小数才是无理数．例如是无限循环小数，是有理数．
（2）解：错误．理由：带根号的数不一定都是无理数，如等，这些数开方后是整数，属于有理数．只有开方开不尽的带根号的数才是无理数．
（3）解：正确．理由：因为实数的定义就是有理数和无理数的统称，所以实数不是有理数就是无理数．
7．判断下列说法是否正确：
（1）带根号的数都是无理数；
（2）绝对值最小的实数是0；
（3）数轴上的每一个点都表示一个有理数．
【答案】（1）错；（2）对；（3）错
【分析】直接利用无理数的定义，绝对值的意义，实数与数轴上的点一一对应分别分析得出答案．
【详解】解：（1）带根号的数不一定是无理数，错；
（2）绝对值最小的实数是0，对；
（3）数轴上的每一个点都表示一个实数，错．
故答案为：（1）错；（2）对；（3）错
【点睛】本题主要考查了实数，正确掌握实数的相关性质是解题的关键．
1．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．的算术平方根是4
B．是2的平方根
C．若，则
D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】B
【详解】解：A、，4的算术平方根是2，则此命题是假命题，故该选项不合题意；
B、2的平方根为，∴是2的平方根，则此命题是真命题，故该选项符合题意；
C、∵，∴或，则此命题是假命题，故该选项不合题意；
D、只有过直线外一点，才有且只有一条直线与已知直线平行，过直线上一点不存在与已知直线平行的直线，则此命题是假命题，故该选项不合题意．
2．下列说法错误的是（ ）
A．是25的平方根 B．的算术平方根是2
C．的平方根是 D．
【答案】C
【分析】此题考查了平方根以及算术平方根的定义．分别根据平方根的定义，算术平方根的定义判断即可得出正确选项．
【详解】解：A、是25的平方根，说法正确，该选项不符合题意；
B．，则的算术平方根是2，说法正确，该选项不符合题意；
C、的平方根是，故原说法错误，该选项符合题意；
D、，说法正确，该选项不符合题意．
故选：C．
3．已知，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，利用算术平方根和绝对值的非负性求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
解得，，
∴，
故选：．
4．如图是一个数值转换机示意图，当输入x的值为81，则输出y的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】根据数值转换机示意图，结合算术平方根定义，进行运算求值即可．
【详解】解：，
，
∴输出结果为3．
5．在实数，，0，，，，中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】初中范围内常见的无理数有三类：①类；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等，据此可得答案．
【详解】解：，，
在实数，，0，，，，中，无理数有，，，共3个．
6．下列说法：①最大的负整数是；②0是最小的有理数；③a与必为一正数和一负数；④有理数分为正有理数和负有理数；⑤数轴上的点不都表示有理数；其中错误的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】根据有理数的分类、正负整数的定义、数轴与实数的对应关系等知识点，逐个判断每个说法的正误，统计错误说法的个数．
【详解】解：最大的负整数是，①说法正确
有理数包含负有理数，负有理数小于，不存在最小的有理数，②说法错误
当时，，既不是正数也不是负数，③说法错误
有理数分为正有理数、和负有理数，④说法错误
数轴上的点与实数一一对应，实数包含有理数和无理数，数轴上的点不都表示有理数，⑤说法正确
综上，错误的说法有②③④，共个，
故选：B．
7．的平方根是_______．
【答案】
【分析】先计算得到的值，再根据平方根的定义求解最终结果．
【详解】解：，的平方根为，
∴的平方根是．
8．的绝对值是_____，的算术平方根是____，的平方根是___
【答案】 / /0.5
【分析】根据绝对值的性质、算术平方根的定义、平方根的定义分别计算即可．
【详解】解：的绝对值是；
，算术平方根是；
，4的平方根是，
故答案为：，，．
9．一个正数的两个不同的平方根分别为与，则m的值为_____ ．
【答案】1
【分析】根据一个正数的两个不同的平方根互为相反数列式计算．
【详解】解：由题意得：，
∴．
10．根据如图所示的程序，计算y的值，若输入x的值是1时，则输出的y的值等于_____．
【答案】
【分析】本题考查了流程图，算术平方根的计算，根据题意得到，得到，结合算术平方根的计算法则计算即可求解．
【详解】解：输入x的值是1时，，
∴，
故答案为：．
11．若为正整数，且满足，则________．
【答案】6
【分析】找出与38相邻的两个完全平方数，确定的取值范围，进而得到符合条件的正整数．
【详解】解：∵，
∴，即，
∵为正整数，且满足，
∴．
12．如图，长方形内的两个相邻正方形面积分别为9和3，则两个正方形的边长分别为_____和_____，图中阴影部分面积为_________．
【答案】 3
【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，明确题意，求出大小正方形的边长是解题的关键．
根据题意可得小正方形边长为3，大正方形边长为。即可求解．
【详解】解：∵大正方形的面积为9，小正方形的面积为3，
∴大正方形边长为，小正方形边长为，
∴阴影部分的面积为．
故答案为：3，，
13．若实数a，b同时满足，，则的值为_____．
【答案】2
【分析】先由绝对值的非负性得到，，则，；再对进行分类讨论，去绝对值，解一元一次方程求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，；
当时，则，则，
∵，
∴，
当，即时，，
解得，
∴，符合题意，
∴；
当，即，则，该方程无解；
当时，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，该方程无解，
∴综上：．
14．①，②，③……观察以上式子，请解答_______．
【答案】
【分析】观察等式，找出规律，写出第n个式子即可．
【详解】解：∵，，，
故．
15．如图，在数轴上表示实数的点可能是______点．
【答案】
【分析】本题考查了无理数的大小估算，实数与数轴．熟练掌握无理数的大小估算，实数与数轴是解题的关键．
由题意知，，然后判断作答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴表示实数的点可能是点，
故答案为：．
16．解方程：．
【答案】或
【分析】本题考查了利用平方根解方程，根据平方根的定义解答即可求解，掌握平方根的定义是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴或．
17．求下列各数的算术平方根和平方根：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
【答案】(1)算术平方根：；平方根：
(2)算术平方根：；平方根：
(3)算术平方根：；平方根：
(4)算术平方根：；平方根：
(5)算术平方根：；平方根：
【分析】本题考查了算术平方根与平方根的概念及运算，明确两者的定义与运算规则是解答本题的关键．
（1）针对，根据算术平方根（非负数的非负平方根）和平方根（数的正负两个平方根）的定义，直接计算对应结果；
（2）针对，结合小数的开方规则，分别求出其算术平方根与平方根；
（3）针对，利用分数的开方运算方法，计算出它的算术平方根与平方根；
（4）针对，由于它不是完全平方数，其算术平方根与平方根需用根号表示；
（5）针对，先计算乘方结果，再结合开方定义求出对应的算术平方根与平方根．
【详解】（1）解：算术平方根：；平方根：；
（2）解：算术平方根：；平方根：；
（3）解：算术平方根：；平方根：；
（4）解：∵7不是完全平方数，∴它的算术平方根是；平方根是；
（5）解：算术平方根：；平方根：．
18．已知的算术平方根是3，b的立方根为．
(1)求a与b的值；
(2)求的立方根．
【答案】(1)，
(2)2
【分析】本题考查算术平方根和立方根，熟练掌握相关知识点，是解题的关键：
（1）根据算术平方根和立方根的定义，进行求解即可；
（2）根据立方根的定义，进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意，，
解得，；
（2）由（1）可知，；
∴的立方根为2．
19．计算：．
【答案】1
【分析】本题考查实数的混合运算，先计算有理数乘方，立方根，算术平方根，再求绝对值，然后计算乘法，最后加减即可．
【详解】解：原式
．
20．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点所表示的数为，设点所表示的数为．
(1)实数的值为_________；
(2)在数轴上还有，两点分别表示实数，，且与互为相反数，求的平方根．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了数轴以及实数的运算，熟练掌握相关内容是解题的关键；
（1）起始位置的数加上移动的单位长度就是m的值；
（2）根据题意列出式子求得的值，即可求得的平方根．
【详解】（1）解：起始位置为，向右移动2个单位长度
∴．
（2）解：与互为相反数，
．
，，
，，
，，
，
的平方根为．
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2025-2026学年人教版七年级数学下分层精练精析
章末复习（二）实数
平方根
1．下列说法：①10的平方根是；②负数和零没有立方根；③的相反数是；④16的算术平方根是4；⑤的立方根是，其中正确的有（ ）.
A．4个 B．3个 C．2个 D．5个
2．下列说法正确的是（ ）
A．16的平方根是4
B．0的平方根是0
C．81的平方根是－9
D．负数的平方根有两个
3．下列说法错误的是（ ）
A．4是16的一个平方根
B．81的平方根是
C．－7是49的一个平方根
D．49的平方根是7
4．一个正数的平方根分别是和，则的值是________．
5．一个正实数的两个平方根分别是和，求这个正数．
6．在学方根后，老师提出了一个问题：一个数的算术平方根为，平方根为．求这个数．小明的解答过程如下．老师看完小明的解答后，说解答不正确．
解：这个数的算术平方根为．平方根为．
或．①
（i）当时，解得，，，∴这个数为16；②
（ii）当时，解得，，，∴这个数为4．③
综上所述，这个数为16或4．
(1)①②③中有问题的步骤是_____，错误原因是__________；
(2)已知一个数的算术平方根是，平方根是，求这个数．
算术平方根
1．一个正数的平方根是与，则这个正数的算术平方根是______．
2．若实数a和b满足，则的算术平方根是________．
3．若m为正整数，且满足，的值是_____
4．【阅读理解】阅读下列解题过程：
例：若代数式，求的取值范围．
解：原式．
当时，原式，
解得（舍去）；
当时，原式，等式恒成立；
当时，原式，解得．
综上所述，的取值范围是．
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：
(1)当时，化简：；
(2)若，求的值；
(3)请直接写出满足的a的取值范围为_____．
5．若，求的值．
6．[核心素养]【实践与探究】
（1）计算：，，，，；
【归纳与应用】
（2）观察（1）中的等式，发现其中的规律，并猜想与有怎样的关系，请用数学式子表示出来；
（3）利用你得到的规律，计算：
①若，则；
②．
7．为感谢消防英雄们对我们家园的守护，某校七年级学生制作了面积为的正方形感恩明信片．
(1)该明信片的边长为___________；
(2)制作好明信片后同学们准备用如图所示的信封寄给消防队．已知信封的长是宽的2倍，面积为，请问能否在不折叠的情况下将明信片放入此信封？并说明理由．
立方根
1．下列说法错误的是（ ）
A．中的可以取正数、负数、零 B．是的平方根
C．的立方根为 D．的算术平方根是
2．如果，那么的结果约是（ ）
A． B． C． D．
3．已知正数a的两个平方根分别是和，且与互为相反数，求的平方根．
4．已知的算术平方根是3，的立方根是1，a与c互为相反数．
(1)求出a，b，c的值；
(2)求的平方根．
5．观察如表，并解答下列问题．
a 1 1000 1000000
______ ______ 100
【规律总结】
（1）①请补全如表；
②根据如表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位；
【规律应用】
（2）已知，，．
①______；
②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（保留整数）
6．小明打算利用一张面积为的正方形卡纸裁出需要的形状进行手工制作．
(1)求正方形卡纸的边长；
(2)如图1，按图中方式裁出一个长方形（图中阴影部分），要求长方形的长宽之比为，裁出的长方形的面积能否为？请通过计算说明；
(3)如图2，按图中方式裁出阴影部分，将其沿虚线折叠得到一个正方体，若正方体的体积为，求该正方体的表面积．
7．已知的平方根是的立方根是2，求的算术平方根．
实数
实数就及其分类
1．在下列五个数中：，0，，，（两个1之间依次多一个2）有理数的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
2．有下列各数：、、、、、0、，其中无理数有_______．
3．把下列各数填入相应的集合内：
，，，，，，，（相邻两个之间的个数逐次加）．
(1)有理数集合：{ …}．
(2)无理数集合：{ …}．
(3)正实数集合：{ …}．
(4)负实数集合：{ …}．
(5)整数集合：{ …}．
(6)分数集合：{ …}．
实数与数轴及其大小比较
1．如图，在数轴上表示的点可能是（ ）
A．点P B．点Q C．点M D．点N
2．把无理数，，，表示在数轴上．在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是_________．
3．“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，若，则；若，则；若，则．
例：比较和2的大小．
由“作差法”得，因为，所以，所以，所以．
请你根据上面的方法解决下列问题：
(1)比较和1的大小；
(2)比较和7的大小．
实数的相反数与绝对值
1．的相反数是________；2－π的相反数是________；的相反数是________．
2．（1）的倒数是__________．
（2）相反数和绝对值都为的实数是_____________．
（3）的相反数是__________，绝对值是__________，倒数是__________．
3．填空：
（1）的相反数是 ___________，绝对值是 ___________；
（2）的相反数是 ___________，绝对值是 ___________；
（3）若，则___________．
4．绝对值不大于的所有整数是________．
实数的运算
1．计算：．
2．（1）若实数互为相反数，互为倒数，是16的平方根，求的值；
（2）若的小数部分为，的整数部分为，求的值．
3．阅读材料：因为，，
所以，，即，，
所以，的整数部分是2，小数部分为．
解答问题：
(1)请你模仿材料中的解答过程，求的整数部分和小数部分；
(2)已知a的立方根是2，b的一个平方根是，c是的整数部分．求的值．
4．已知七个实数，，4，，，0，其中五个数已在数轴上分别用点、、、、表示．
(1)点表示数______，点表示数______，点表示数_____，点表示数______；
(2)用圆规在数轴上准确地表示数（提示：注意观察正方形的面积）；
(3)将上面7个数分别填入相应括号的横线上．
整数：{ …}；
分数：{ …}；
无理数：{ …}．
1．已知和都是非负数的平方根，求的值．
佳佳的解题过程如下：
解：和都是非负数的平方根，
，解得的值为9．
佳佳的解题过程正确吗？如果不正确，请你写出正确的解题过程．
2．阅读下列材料，完成后面任务：
问题：已知一个数的算术平方根为，平方根为，求这个数．
解：根据题意，得或……………………………第一步
解得或………………………………第二步
当时，，所以这个数是9………………………第三步
当时，，所以这个数是1…………………第四步
综上所述，这个数是9或1…………………………第五步
任务：
(1)上述解法是错误的，错在第___________步；
(2)请写出本题正确的解题过程．
3．判断下列说法是否正确，错误的请说明理由：
(1)8的立方根是；
(2)负数开立方没有意义；
(3)正数才有立方根；
(4)是3的立方根．
4．判断下列说法是否正确：
（1）2是8的立方根；
（2）是64的立方根；
（3）是的立方根；
（4）的立方根是．
5．判断下列说法是否正确：
（1）无限小数都是无理数；
（2）无理数都是无限小数；
（3）带根号的数都是无理数；
（4）所有有理数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都表示有理数；
（5）所有实数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都表示实数．
6．判断下列说法是否正确，并说明理由．
(1)无限小数都是无理数．
(2)带根号的数都是无理数．
(3)实数不是有理数就是无理数．
7．判断下列说法是否正确：
（1）带根号的数都是无理数；
（2）绝对值最小的实数是0；
（3）数轴上的每一个点都表示一个有理数．
1．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．的算术平方根是4
B．是2的平方根
C．若，则
D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
2．下列说法错误的是（ ）
A．是25的平方根 B．的算术平方根是2
C．的平方根是 D．
3．已知，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图是一个数值转换机示意图，当输入x的值为81，则输出y的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．在实数，，0，，，，中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．下列说法：①最大的负整数是；②0是最小的有理数；③a与必为一正数和一负数；④有理数分为正有理数和负有理数；⑤数轴上的点不都表示有理数；其中错误的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．的平方根是_______．
8．的绝对值是_____，的算术平方根是____，的平方根是___
9．一个正数的两个不同的平方根分别为与，则m的值为_____ ．
10．根据如图所示的程序，计算y的值，若输入x的值是1时，则输出的y的值等于_____．
11．若为正整数，且满足，则________．
12．如图，长方形内的两个相邻正方形面积分别为9和3，则两个正方形的边长分别为_____和_____，图中阴影部分面积为_________．
13．若实数a，b同时满足，，则的值为_____．
14．①，②，③……观察以上式子，请解答_______．
15．如图，在数轴上表示实数的点可能是______点．
16．解方程：．
17．求下列各数的算术平方根和平方根：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
18．已知的算术平方根是3，b的立方根为．
(1)求a与b的值；
(2)求的立方根．
19．计算：．
20．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点所表示的数为，设点所表示的数为．
(1)实数的值为_________；
(2)在数轴上还有，两点分别表示实数，，且与互为相反数，求的平方根．
2025-2026学年人教版七年级数学下分层精练精析
章末复习（二）实数（解析版）
平方根
1．下列说法：①10的平方根是；②负数和零没有立方根；③的相反数是；④16的算术平方根是4；⑤的立方根是，其中正确的有（ ）.
A．4个 B．3个 C．2个 D．5个
【答案】A
【分析】本题主要考查了平方根、算术平方根、立方根、相反数等知识点，理解相关定义是解题的关键．
根据平方根、算术平方根、立方根的定义及相反数的概念逐项判断即可解答．
【详解】解：∵正数的平方根有两个，且互为相反数，10是正数，
∴10的平方根是，①说法正确；
∵任何实数都有立方根，负数的立方根是负数，0的立方根是0，
∴“负数和零没有立方根”的说法错误，②说法错误；
∵互为相反数的两个数和为0，，
∴的相反数是，③说法正确．
∵算术平方根是一个非负数的正的平方根，，
∴16的算术平方根是4，④说法正确．
∵，
∴0.008的立方根是0.2，⑤说法正确．
综上，正确的说法有①③④⑤，共4个．
故选：A．
2．下列说法正确的是（ ）
A．16的平方根是4
B．0的平方根是0
C．81的平方根是－9
D．负数的平方根有两个
【答案】B
【分析】本题主要考查的是平方根和算术平方根的定义，掌握平方根和算术平方根的定义是解题的关键．
根据平方根的定义，正数有两个平方根，的平方根是，负数没有实数平方根，逐一判断即可.
【详解】解：A、的平方根是，而非仅，该选项说法错误，不符合题意；
B、的平方根是，该选项说法正确，符合题意；
C、的平方根是，而非仅，该选项说法错误，不符合题意；
D、负数在实数范围内无平方根，该选项说法错误，不符合题意；
故选：B．
3．下列说法错误的是（ ）
A．4是16的一个平方根
B．81的平方根是
C．－7是49的一个平方根
D．49的平方根是7
【答案】D
【分析】本题考查平方根的概念，解题的关键是熟练掌握平方根的定义．
利用平方根的概念，正数的平方根有两个，互为相反数，逐一判断即可.
【详解】A、∵ ，∴ 是的一个平方根，说法正确，不符合题意；
B、∵ 且，∴ 的平方根是，说法正确，不符合题意；
C、∵ ，∴ 是的一个平方根，说法正确，不符合题意；
D、∵ ，，∴ 的平方根是，说法错误，符合题意．
故选：D．
4．一个正数的平方根分别是和，则的值是________．
【答案】49
【分析】本题考查了平方根的性质，掌握正数的两个平方根互为相反数是解题的关键．
根据正数的两个平方根互为相反数，列出方程求出的值，再代入求．
【详解】解：∵正数的两个平方根互为相反数，
∴ ，
整理得：，
解得：，
当时，
，，
∴ ，
故答案为：．
5．一个正实数的两个平方根分别是和，求这个正数．
【答案】25
【分析】本题考查了平方根和相反数的应用，求出的值是解题的关键．根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数，可得，解方程即可求出该数的平方根，即可求解．
【详解】解：∵一个正实数的两个平方根分别是和，
∴，
解得，，
∴这个正数是．
6．在学方根后，老师提出了一个问题：一个数的算术平方根为，平方根为．求这个数．小明的解答过程如下．老师看完小明的解答后，说解答不正确．
解：这个数的算术平方根为．平方根为．
或．①
（i）当时，解得，，，∴这个数为16；②
（ii）当时，解得，，，∴这个数为4．③
综上所述，这个数为16或4．
(1)①②③中有问题的步骤是_____，错误原因是__________；
(2)已知一个数的算术平方根是，平方根是，求这个数．
【答案】(1)③，算术平方根不能为负数．
(2)25或
【分析】本题考查了平方根与算术平方根的概念，正确理解平方根与算术平方根的概念是解题的关键．
（1）错误的在第③部分，求出后，将x的值代入得，不符合算术平方根的概念，应舍去．
（2）根据一个数的算术平方根是，平方根是，即或，求出m的值，即可解答．
【详解】（1）解：这个数的算术平方根为．平方根为．
或．
（i）当时，
解得，
，
，
∴这个数为16；
（ii）当时，
解得，
，
由这个数的算术平方根为，得
，
∴不符合题意，舍去．
故答案为：③，算术平方根不能为负数．
（2）∵一个数的算术平方根是，平方根是，
∴或．
（i）当时，
解得，
，
，
∴这个数为25；
（ii）当时，
解得，
，
，
∴这个数为；
综上所述，这个数为或．
算术平方根
1．一个正数的平方根是与，则这个正数的算术平方根是______．
【答案】
【分析】本题考查平方根与算术平方根的定义及性质，关键是掌握“一个正数的两个平方根互为相反数”这一核心知识点．先利用两个平方根互为相反数的性质列出关于的方程，求解得到的值；再代入平方根的表达式求出正的平方根，即为该正数的算术平方根．
【详解】解：∵一个正数的平方根是与，
∴，
解得，
∴，
∴这个正数的算术平方根是7；
故答案为：．
2．若实数a和b满足，则的算术平方根是________．
【答案】
【分析】本题考查算术平方根，掌握算术平方根的被开方数的非负性是解题的关键．
根据平方根的定义，被开方数必须非负，由此确定a的值，再代入方程求b，最后计算的算术平方根
【详解】解：∵，
∴，解得，
∴，
∴，
∴，
∴的算术平方根为．
3．若m为正整数，且满足，的值是_____
【答案】16
【分析】本题主要考查了无理数的估算、有理数乘方等知识点，确定m的值是解题的关键．
通过比较与相邻整数的平方，确定m的值，再计算即可解答．
【详解】解：∵，，且，
∴，
∵
∴，即．
故答案为：16．
4．【阅读理解】阅读下列解题过程：
例：若代数式，求的取值范围．
解：原式．
当时，原式，
解得（舍去）；
当时，原式，等式恒成立；
当时，原式，解得．
综上所述，的取值范围是．
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：
(1)当时，化简：；
(2)若，求的值；
(3)请直接写出满足的a的取值范围为_____．
【答案】(1)4
(2)或4
(3)
【分析】本题考查了求一个数的算术平方根、解绝对值方程，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
（1）先计算算术平方根，再根据a的取值范围去绝对值即可求解．
（2）仿照题意先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求解．
（3）仿照题意先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴
；
（2）∵，
∴，
当时，，
解得，
当时，，此时方程无解；
当时，，
解得；
综上所述，的值为或4．
（3）解：∵，
，
当时，原式，
解得，
当时，原式，等式恒成立；
当时，原式，
解得（舍去），
综上所述：a的取值范围为．
5．若，求的值．
【答案】6
【分析】本题主要考查绝对值、算术平方根、偶次方的非负性．已知，得到，，，由此求出即可求解．
【详解】解：∵，，，，
∴，，，
解得：，，，
∴．
6．[核心素养]【实践与探究】
（1）计算：，，，，；
【归纳与应用】
（2）观察（1）中的等式，发现其中的规律，并猜想与有怎样的关系，请用数学式子表示出来；
（3）利用你得到的规律，计算：
①若，则；
②．
【答案】（1）3，0.5，0，6，；（2）；（3）①；②
【分析】本题属于规律探究题，主要考查了算术平方根的定义、绝对值化简等知识，运用发现的规律是解决第（3）小问的关键．
（1）根据算术平方根定义进行计算即可；
（2）从（1）中可以得到规律：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值；
（3）①②利用（2）中总结的规律化简即可．
【详解】解：（1）计算：，，，，．
（2）观察（1）中的等式，可以发现，．
（3）①．
，
，
．
②．
，
．
7．为感谢消防英雄们对我们家园的守护，某校七年级学生制作了面积为的正方形感恩明信片．
(1)该明信片的边长为___________；
(2)制作好明信片后同学们准备用如图所示的信封寄给消防队．已知信封的长是宽的2倍，面积为，请问能否在不折叠的情况下将明信片放入此信封？并说明理由．
【答案】(1)9
(2)能
【分析】本题考查算术平方根的应用，利用面积公式：长×宽=面积，得到类似的等式，利用平方根的定义求解即可．
（1）根据正方形面积公式：边长的平方=面积，求解即可；
（2）设宽为x ，列式求解，再比较长和宽是否都大于（1）中所求明信片的边长即可．
【详解】（1）解：由题意，得明信片的边长为；
（2）解：设宽为，则长为，
由题意，得，
整理，得，
∴，
，
∵，
∴能在不折叠的情况下将明信片放入此信封．
立方根
1．下列说法错误的是（ ）
A．中的可以取正数、负数、零 B．是的平方根
C．的立方根为 D．的算术平方根是
【答案】C
【分析】本题考查了算术平方根、平方根和立方根的性质，解题关键是掌握平方根和立方根的性质．根据算术平方根、平方根和立方根的性质逐项判断即可．
【详解】解：A、中的可以取正数、负数、零，说法正确，不符合题意；
B、，故是的平方根，说法正确，不符合题意；
C、，的立方根为，故该选项说法错误，符合题意；
D、的算术平方根是，说法正确，不符合题意；
故选：C．
2．如果，那么的结果约是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了立方根，如果把一个数扩大倍，则它的立方根扩大倍，如果把一个数缩小倍，则它的立方根缩小倍，做题的关键是掌握以上规律．根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可．
【详解】解：，且，，
．
故选：A．
3．已知正数a的两个平方根分别是和，且与互为相反数，求的平方根．
【答案】
【分析】根据正数有两个平方根，它们是互为相反数求出x的值，进而求出a的值；根据立方根的性质求出b的值，然后根据平方根的定义求解即可．
【详解】解∶∵正数a的两个平方根分别是和，
∴，
∴，
∴，
∵与互为相反数，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的平方根为．
4．已知的算术平方根是3，的立方根是1，a与c互为相反数．
(1)求出a，b，c的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了算术平方根，平方根，立方根和相反数：
（1）根据算术平方根和立方根的定义得到，，据此可求出a、b，再根据只有符号不同的两个数互为相反数求出c即可；
（2）根据（1）所求求出的值，进而求出的平方根即可．
【详解】（1）解：∵的算术平方根是3，
∴，
∴；
∵的立方根是1，
∴，
∴；
∵与互为相反数，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴的平方根为．
5．观察如表，并解答下列问题．
a 1 1000 1000000
______ ______ 100
【规律总结】
（1）①请补全如表；
②根据如表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位；
【规律应用】
（2）已知，，．
①______；
②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（保留整数）
【答案】（1）①见解析；②1；（2）①；②1248平方米．
【分析】本题考查立方根，理解立方根的定义是正确解答的关键．
（1）根据立方根的定义求出1，1000的立方根即可，；
（2）①根据规律得到即可；②根据规律求出的值，再根据正方体表面积的计算方法求出表面积即可．
【详解】解：（1）①，，
补全表格如下：
a 1 1000 1000000
1 10 100
②根据如表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右或向左移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动1位，
故答案为：1；
（2）①，
故答案为：；
②正方体的体积为3000立方米，
正方体的棱长为：米
需要铁皮的面积为平方米
6．小明打算利用一张面积为的正方形卡纸裁出需要的形状进行手工制作．
(1)求正方形卡纸的边长；
(2)如图1，按图中方式裁出一个长方形（图中阴影部分），要求长方形的长宽之比为，裁出的长方形的面积能否为？请通过计算说明；
(3)如图2，按图中方式裁出阴影部分，将其沿虚线折叠得到一个正方体，若正方体的体积为，求该正方体的表面积．
【答案】(1)
(2)裁出的长方形的面积不能为，理由见解析
(3)
【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的实际应用，熟知求算术平方根和立方根的方法是解题的关键．
（1）设出正方形卡片的边长，根据正方形面积计算公式建立方程求解即可；
（2）设裁出的长方形的长为，宽为，根据长方形面积计算公式建立方程求出长和宽，再比较长方形长和宽与正方形边长的大小即可得到结论；
（3）根据正方体体积公式计算出棱长，进而求出其表面积即可．
【详解】（1）解：设正方形卡纸的边长为．
根据题意，得，
解得或（舍去）．
答：正方形卡纸的边长为．
（2）解：裁出的长方形的面积不能为，理由如下：
设裁出的长方形的长为，宽为．
根据题意，得，
解得或（舍去），
∵，
∴裁出的长方形的面积不能为；
（3）解：∵正方体的体积为，
∴该正方体的棱长为，
∴该正方体的表面积为．
7．已知的平方根是的立方根是2，求的算术平方根．
【答案】4
【分析】本题主要考查平方根、立方根和算术平方根的计算，掌握平方根，立方根和算术平方根的计算方法是解题的关键．
根据的平方根是可得，根据的立方根是可得，将m和n代入求解即可．
【详解】解：∵的平方根是，
∴
解得，
∵的立方根是，
∴
将，代入得，，
∴，
∴的算术平方根为4．
实数
实数就及其分类
1．在下列五个数中：，0，，，（两个1之间依次多一个2）有理数的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【分析】本题考查有理数与无理数的定义，熟记概念是解题的关键，根据有理数是整数和分数的统称，无限不循环小数是无理数，逐个判断即可.
【详解】解： 在，0，，，（两个1之间依次多一个2）中，
是分数，是有理数，
0是整数，是有理数，
是有限小数，可化为分数，是有理数，
是无理数，是无限不循环小数，是无理数，
∴ 有理数的个数为3个.
2．有下列各数：、、、、、0、，其中无理数有_______．
【答案】，，
【分析】根据无理数的定义：无限不循环的小数是无理数即可判断．
【详解】解：，
、、、、、0、中，无理数有，，．
3．把下列各数填入相应的集合内：
，，，，，，，（相邻两个之间的个数逐次加）．
(1)有理数集合：{ …}．
(2)无理数集合：{ …}．
(3)正实数集合：{ …}．
(4)负实数集合：{ …}．
(5)整数集合：{ …}．
(6)分数集合：{ …}．
【答案】(1)，，，，，
(2)，（相邻两个之间的个数逐次加）
(3)，，，（相邻两个之间的个数逐次加）
(4)，，
(5)
(6)，，，，
【分析】本题考查了实数的分类，有理数和无理数统称实数；实数也分为正实数、0、负实数；整数和分数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数，透彻理解定义是解题的关键．根据实数的分类及定义即可得出答案．
【详解】（1）解：有理数集合：{，，，，，，…}．
（2）解：无理数集合：{，（相邻两个之间的个数逐次加） …}．
（3）解：正实数集合：{，，，（相邻两个之间的个数逐次加）…}．
（4）解：负实数集合：{，，，…}．
（5）解：整数集合：{， …}．
（6）解：分数集合：{，，，，，…}．
实数与数轴及其大小比较
1．如图，在数轴上表示的点可能是（ ）
A．点P B．点Q C．点M D．点N
【答案】B
【分析】先估算的取值范围，然后结合数轴即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即在3和4之间，
结合数轴可知点Q满足条件，即B选项符合题意．
2．把无理数，，，表示在数轴上．在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是_________．
【答案】
【分析】本题考查了实数与数轴的关系以及估算无理数的大小，确定出被覆盖数的范围并化为带根号的数是解题的关键．
根据被覆盖的数在到之间，化为带根号的数的被开方数的范围，然后即可得解．
【详解】解：设被墨迹覆盖住的无理数为，
由图可知：，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
3．“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，若，则；若，则；若，则．
例：比较和2的大小．
由“作差法”得，因为，所以，所以，所以．
请你根据上面的方法解决下列问题：
(1)比较和1的大小；
(2)比较和7的大小．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查无理数的估算，实数的大小比较．
（1）根据“作差法”比较大小即可；
（2）根据“作差法”比较大小即可．
【详解】（1）解：，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：，
∵，
∴，
∴，
∴．
实数的相反数与绝对值
1．的相反数是________；2－π的相反数是________；的相反数是________．
【答案】 π－2
【解析】略
2．（1）的倒数是__________．
（2）相反数和绝对值都为的实数是_____________．
（3）的相反数是__________，绝对值是__________，倒数是__________．
【答案】
【分析】本题考查实数的性质，包括倒数、相反数和绝对值的定义和计算．
（1）根据倒数的定义求解即可；
（2）根据相反数和绝对值的定义求解即可；
（3）先化简，再根据相反数、倒数和绝对值的定义求解即可．
【详解】解：（1）的倒数是 ；
故答案为：；
（2）设该实数为，则相反数为，绝对值为，且，由于，
∴；
故答案为：；
（3）=，其相反数为，绝对值为，倒数为；
故答案为：，，．
3．填空：
（1）的相反数是 ___________，绝对值是 ___________；
（2）的相反数是 ___________，绝对值是 ___________；
（3）若，则___________．
【答案】
【分析】本题考查了相反数和求一个数的绝对值，根据相反数和绝对值的定义即可得出答案．
【详解】解：（1）的相反数是，绝对值是；
（2）的相反数是 ，绝对值是；
（3）∵，
∴．
故答案为：（1）；（2）；（3）．
4．绝对值不大于的所有整数是________．
【答案】，，1， 0， 1， 2
【分析】根据绝对值的意义，找出所有整数满足绝对值不大于 ，需计算 的近似值以确定整数范围．
本题考查了无理数的估算，绝对值，不等式的性质，熟练掌握估算是解题的关键．
【详解】解：由得，
故，
故；
由于即，
故的整数部分为为2，
故绝对值不大于的整数为绝对值小于或等于2的整数，即，
故答案为：．
实数的运算
1．计算：．
【答案】
【分析】根据算术平方根、立方根和绝对值的性质求解即可．
【详解】解：
．
2．（1）若实数互为相反数，互为倒数，是16的平方根，求的值；
（2）若的小数部分为，的整数部分为，求的值．
【答案】（1）10或26（2）
【分析】本题考查的是相反数，倒数，平方根的含义，无理数的整数部分与小数部分的含义．
（1）先求解，，，再进一步代入计算即可．
（2）先求解，，再进一步求解即可．
【详解】解：（1） 由题意可得：，，，
原式
当时，原式；
当时，原式．
（2）∵，
∴整数部分为4，
∴；
∵，
∴整数部分为3，
∴，
∴．
3．阅读材料：因为，，
所以，，即，，
所以，的整数部分是2，小数部分为．
解答问题：
(1)请你模仿材料中的解答过程，求的整数部分和小数部分；
(2)已知a的立方根是2，b的一个平方根是，c是的整数部分．求的值．
【答案】(1)的整数部分是3，小数部分为
(2)6
【分析】本题考查了估算无理数的大小估算，立方根，平方根的含义，求代数式的值．
（1）根据题干中的方法即可求出结果；
（2）根据题意可得，，，再进一步计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
即，
∴的整数部分是3，小数部分为．
（2）解：∵a的立方根是2，b的一个平方根是，c是的整数部分，
∴，，，
∴.
4．已知七个实数，，4，，，0，其中五个数已在数轴上分别用点、、、、表示．
(1)点表示数______，点表示数______，点表示数_____，点表示数______；
(2)用圆规在数轴上准确地表示数（提示：注意观察正方形的面积）；
(3)将上面7个数分别填入相应括号的横线上．
整数：{ …}；
分数：{ …}；
无理数：{ …}．
【答案】(1)0；；5.3；；
(2)见解析
(3)4，0，；，5.3；，．
【分析】此题考查了实数与数轴，勾股定理，实数的分类等知识，熟练掌握实数的分类是关键．
（1）根据A、B、C、D在数轴上的位置进行解答即可；
（2）根据实数与数轴的关系进行解答即可；
（3）根据实数的分类方法进行解答即可．
【详解】（1）解：根据A、B、C、D在数轴上的位置可知，点A表示数0，点B表示数，点C表示数，点D表示数，
故答案为：0，，，；
（2）解：如图所示：
；
（3）解：整数：{4，0，…}；
分数：{，…}；
无理数：{，…}．
1．已知和都是非负数的平方根，求的值．
佳佳的解题过程如下：
解：和都是非负数的平方根，
，解得的值为9．
佳佳的解题过程正确吗？如果不正确，请你写出正确的解题过程．
【答案】不正确；正确过程见解析
【分析】此题主要考查了平方根，解题的关键是掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．利用平方根的意义得出关于a的等式，进而求出m的值．
【详解】解：佳佳的解题过程不正确，理由如下：
∵和是非负数m的平方根，
∴当时，
解得：，
∴，
∴m的值为9，
当，
解得：，
∴，
∴m的值为1；
综上分析可知：m的值为1或9．
2．阅读下列材料，完成后面任务：
问题：已知一个数的算术平方根为，平方根为，求这个数．
解：根据题意，得或……………………………第一步
解得或………………………………第二步
当时，，所以这个数是9………………………第三步
当时，，所以这个数是1…………………第四步
综上所述，这个数是9或1…………………………第五步
任务：
(1)上述解法是错误的，错在第___________步；
(2)请写出本题正确的解题过程．
【答案】(1)四
(2)这个数是9，过程见解析
【分析】本题考查了平方根和算术平方根的定义，熟练掌握二者的定义是解答本题的关键．如果一个数x的平方等于a，即，x叫做a的平方根；如果一个正数x的平方等于a，即，那么x叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0．
（1）根据平方根和算术平方根的定义分析即可；
（2）根据平方根和算术平方根的定义写出正确的过程即可．
【详解】（1）解：∵当时，，不符合算术平方根的定义，舍去，
∴第四步错误．
故答案为：四；
（2）解：根据题意，得或，
解得或，
当时，，所以这个数是9，
当时，，不符合算术平方根的定义，舍去．
综上所述，这个数是9．
3．判断下列说法是否正确，错误的请说明理由：
(1)8的立方根是；
(2)负数开立方没有意义；
(3)正数才有立方根；
(4)是3的立方根．
【答案】(1)错误，理由见解析
(2)错误，理由见解析
(3)错误，理由见解析
(4)正确
【分析】本题考查了立方根，解题的关键是掌握立方根的概念．
根据立方根的定义“若一个实数x的立方等于a，则x是a的立方根”进行计算即可得．
【详解】（1）错误．理由如下：8的立方根是2．
（2）错误．理由如下：负数开立方的结果为负数．
（3）错误．理由如下：任何数都有立方根．
（4）是3的立方根，正确．
4．判断下列说法是否正确：
（1）2是8的立方根；
（2）是64的立方根；
（3）是的立方根；
（4）的立方根是．
【答案】（1）正确；（2）错误；（3）正确；（4）正确
【分析】根据立方根的定义进行判断，即可解答．
【详解】解：（1）正确；
（2）是64的立方根，故错误；
（3）正确；
（4）正确．
【点睛】本题考查了立方根，解决本题的关键是熟记立方根的定义．
5．判断下列说法是否正确：
（1）无限小数都是无理数；
（2）无理数都是无限小数；
（3）带根号的数都是无理数；
（4）所有有理数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都表示有理数；
（5）所有实数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都表示实数．
【答案】（1）错误；（2）正确；（3）错误；（4）错误；（5）正确．
【分析】无限不循环小数小数是无理数，无限循环小数是有理数，所有实数都可以用数轴上的点表示，数轴上所有的点都表示实数，无理数是指无限不循环小数，根据以上内容判断即可．
【详解】解：（1）∵无限不循环小数小数是无理数，无限循环小数是有理数，
∴（1）错误；
（2）∵无理数都是无限小数正确，
∴（2）正确；
（3）∵如＝2，是有理数，不是无理数，
∴（3）错误；
（4）∵数轴上所有点都表示实数，
∴（4）错误；
（5）∵所有实数都可以用数轴上的点表示正确， 数轴上所有的点都表示实数正确，
∴（5）正确；
答：（1）错误；（2）正确；（3）错误；（4）错误；（5）正确．
【点睛】本题考查了无理数，实数、数轴的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力．
6．判断下列说法是否正确，并说明理由．
(1)无限小数都是无理数．
(2)带根号的数都是无理数．
(3)实数不是有理数就是无理数．
【答案】(1)错误，理由：无限循环小数是有理数
(2)错误，理由：如是有理数
(3)正确，理由：实数由有理数和无理数组成
【分析】本题考查了无理数的定义，实数的定义，掌握实数的分类是解题的关键．有理数和无理数统称实数，无限不循环小数是无理数．根据定义对选项逐一判断即可．
【详解】（1）解：错误．理由：无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数是有理数，只有无限不循环小数才是无理数．例如是无限循环小数，是有理数．
（2）解：错误．理由：带根号的数不一定都是无理数，如等，这些数开方后是整数，属于有理数．只有开方开不尽的带根号的数才是无理数．
（3）解：正确．理由：因为实数的定义就是有理数和无理数的统称，所以实数不是有理数就是无理数．
7．判断下列说法是否正确：
（1）带根号的数都是无理数；
（2）绝对值最小的实数是0；
（3）数轴上的每一个点都表示一个有理数．
【答案】（1）错；（2）对；（3）错
【分析】直接利用无理数的定义，绝对值的意义，实数与数轴上的点一一对应分别分析得出答案．
【详解】解：（1）带根号的数不一定是无理数，错；
（2）绝对值最小的实数是0，对；
（3）数轴上的每一个点都表示一个实数，错．
故答案为：（1）错；（2）对；（3）错
【点睛】本题主要考查了实数，正确掌握实数的相关性质是解题的关键．
1．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．的算术平方根是4
B．是2的平方根
C．若，则
D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】B
【详解】解：A、，4的算术平方根是2，则此命题是假命题，故该选项不合题意；
B、2的平方根为，∴是2的平方根，则此命题是真命题，故该选项符合题意；
C、∵，∴或，则此命题是假命题，故该选项不合题意；
D、只有过直线外一点，才有且只有一条直线与已知直线平行，过直线上一点不存在与已知直线平行的直线，则此命题是假命题，故该选项不合题意．
2．下列说法错误的是（ ）
A．是25的平方根 B．的算术平方根是2
C．的平方根是 D．
【答案】C
【分析】此题考查了平方根以及算术平方根的定义．分别根据平方根的定义，算术平方根的定义判断即可得出正确选项．
【详解】解：A、是25的平方根，说法正确，该选项不符合题意；
B．，则的算术平方根是2，说法正确，该选项不符合题意；
C、的平方根是，故原说法错误，该选项符合题意；
D、，说法正确，该选项不符合题意．
故选：C．
3．已知，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，利用算术平方根和绝对值的非负性求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
解得，，
∴，
故选：．
4．如图是一个数值转换机示意图，当输入x的值为81，则输出y的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】根据数值转换机示意图，结合算术平方根定义，进行运算求值即可．
【详解】解：，
，
∴输出结果为3．
5．在实数，，0，，，，中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】初中范围内常见的无理数有三类：①类；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等，据此可得答案．
【详解】解：，，
在实数，，0，，，，中，无理数有，，，共3个．
6．下列说法：①最大的负整数是；②0是最小的有理数；③a与必为一正数和一负数；④有理数分为正有理数和负有理数；⑤数轴上的点不都表示有理数；其中错误的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】根据有理数的分类、正负整数的定义、数轴与实数的对应关系等知识点，逐个判断每个说法的正误，统计错误说法的个数．
【详解】解：最大的负整数是，①说法正确
有理数包含负有理数，负有理数小于，不存在最小的有理数，②说法错误
当时，，既不是正数也不是负数，③说法错误
有理数分为正有理数、和负有理数，④说法错误
数轴上的点与实数一一对应，实数包含有理数和无理数，数轴上的点不都表示有理数，⑤说法正确
综上，错误的说法有②③④，共个，
故选：B．
7．的平方根是_______．
【答案】
【分析】先计算得到的值，再根据平方根的定义求解最终结果．
【详解】解：，的平方根为，
∴的平方根是．
8．的绝对值是_____，的算术平方根是____，的平方根是___
【答案】 / /0.5
【分析】根据绝对值的性质、算术平方根的定义、平方根的定义分别计算即可．
【详解】解：的绝对值是；
，算术平方根是；
，4的平方根是，
故答案为：，，．
9．一个正数的两个不同的平方根分别为与，则m的值为_____ ．
【答案】1
【分析】根据一个正数的两个不同的平方根互为相反数列式计算．
【详解】解：由题意得：，
∴．
10．根据如图所示的程序，计算y的值，若输入x的值是1时，则输出的y的值等于_____．
【答案】
【分析】本题考查了流程图，算术平方根的计算，根据题意得到，得到，结合算术平方根的计算法则计算即可求解．
【详解】解：输入x的值是1时，，
∴，
故答案为：．
11．若为正整数，且满足，则________．
【答案】6
【分析】找出与38相邻的两个完全平方数，确定的取值范围，进而得到符合条件的正整数．
【详解】解：∵，
∴，即，
∵为正整数，且满足，
∴．
12．如图，长方形内的两个相邻正方形面积分别为9和3，则两个正方形的边长分别为_____和_____，图中阴影部分面积为_________．
【答案】 3
【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，明确题意，求出大小正方形的边长是解题的关键．
根据题意可得小正方形边长为3，大正方形边长为。即可求解．
【详解】解：∵大正方形的面积为9，小正方形的面积为3，
∴大正方形边长为，小正方形边长为，
∴阴影部分的面积为．
故答案为：3，，
13．若实数a，b同时满足，，则的值为_____．
【答案】2
【分析】先由绝对值的非负性得到，，则，；再对进行分类讨论，去绝对值，解一元一次方程求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，；
当时，则，则，
∵，
∴，
当，即时，，
解得，
∴，符合题意，
∴；
当，即，则，该方程无解；
当时，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，该方程无解，
∴综上：．
14．①，②，③……观察以上式子，请解答_______．
【答案】
【分析】观察等式，找出规律，写出第n个式子即可．
【详解】解：∵，，，
故．
15．如图，在数轴上表示实数的点可能是______点．
【答案】
【分析】本题考查了无理数的大小估算，实数与数轴．熟练掌握无理数的大小估算，实数与数轴是解题的关键．
由题意知，，然后判断作答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴表示实数的点可能是点，
故答案为：．
16．解方程：．
【答案】或
【分析】本题考查了利用平方根解方程，根据平方根的定义解答即可求解，掌握平方根的定义是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴或．
17．求下列各数的算术平方根和平方根：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
【答案】(1)算术平方根：；平方根：
(2)算术平方根：；平方根：
(3)算术平方根：；平方根：
(4)算术平方根：；平方根：
(5)算术平方根：；平方根：
【分析】本题考查了算术平方根与平方根的概念及运算，明确两者的定义与运算规则是解答本题的关键．
（1）针对，根据算术平方根（非负数的非负平方根）和平方根（数的正负两个平方根）的定义，直接计算对应结果；
（2）针对，结合小数的开方规则，分别求出其算术平方根与平方根；
（3）针对，利用分数的开方运算方法，计算出它的算术平方根与平方根；
（4）针对，由于它不是完全平方数，其算术平方根与平方根需用根号表示；
（5）针对，先计算乘方结果，再结合开方定义求出对应的算术平方根与平方根．
【详解】（1）解：算术平方根：；平方根：；
（2）解：算术平方根：；平方根：；
（3）解：算术平方根：；平方根：；
（4）解：∵7不是完全平方数，∴它的算术平方根是；平方根是；
（5）解：算术平方根：；平方根：．
18．已知的算术平方根是3，b的立方根为．
(1)求a与b的值；
(2)求的立方根．
【答案】(1)，
(2)2
【分析】本题考查算术平方根和立方根，熟练掌握相关知识点，是解题的关键：
（1）根据算术平方根和立方根的定义，进行求解即可；
（2）根据立方根的定义，进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意，，
解得，；
（2）由（1）可知，；
∴的立方根为2．
19．计算：．
【答案】1
【分析】本题考查实数的混合运算，先计算有理数乘方，立方根，算术平方根，再求绝对值，然后计算乘法，最后加减即可．
【详解】解：原式
．
20．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点所表示的数为，设点所表示的数为．
(1)实数的值为_________；
(2)在数轴上还有，两点分别表示实数，，且与互为相反数，求的平方根．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了数轴以及实数的运算，熟练掌握相关内容是解题的关键；
（1）起始位置的数加上移动的单位长度就是m的值；
（2）根据题意列出式子求得的值，即可求得的平方根．
【详解】（1）解：起始位置为，向右移动2个单位长度
∴．
（2）解：与互为相反数，
．
，，
，，
，，
，
的平方根为．
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