人教版（2019） 选择性必修 第二册 第一章 安培力与洛伦兹力 3 带电粒子在匀强磁场中的运动（含解析）

1.3 带电粒子在匀强磁场中的运动
一、单选题
1.关于带电粒子在匀强磁场中的运动，下列说法正确的是(　　)
A.带电粒子飞入匀强磁场后，一定做匀速圆周运动
B.静止的带电粒子在匀强磁场中将会做匀加速直线运动
C.带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，洛伦兹力的方向总是和运动方向垂直
D.当洛伦兹力方向和运动方向垂直时，带电粒子在匀强磁场中的运动一定是匀速圆周运动
2.两个粒子电荷量相同，在同一匀强磁场中受洛伦兹力而做匀速圆周运动，不计粒子重力(　　)
A.若速率相等，则半径必相等
B.若动能相等，则周期必相等
C.若质量相等，则周期必相等
D.若动能相等，则半径必相等
3.如图所示，在MNQP中有一垂直纸面向里的匀强磁场，质量和电荷量大小都相等的带电粒子a、b、c以不同的速率从O点沿垂直于PQ的方向射入磁场，图中实线是它们的轨迹。已知O是PQ的中点，不计粒子重力，下列说法中正确的是(　　)
A.粒子a带负电，粒子b、c带正电
B.射入磁场时粒子a的速率最小
C.粒子c在磁场中运动的时间最长
D.粒子a在磁场中运动的周期最小
4.如图，真空区域有宽度为l、磁感应强度为B的匀强磁场，方向如图所示，MN、PQ是磁场的边界。质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)沿着与MN夹角为60°的方向射入磁场中，刚好没能从PQ边界射出磁场。下列说法正确的是(　　)
A.粒子射入磁场的速度大小为
B.粒子射入磁场的速度大小为
C.粒子在磁场中运动的时间为
D.粒子在磁场中运动的时间为
5.如图所示，平面直角坐标系xOy的第一象限内有垂直于坐标平面向里的匀强磁场。x轴上的点P(L，0)有一粒子源，可沿纸面向磁场内各个方向发射大量速率相等、带正电的相同粒子，不计粒子重力及粒子间相互作用。当粒子从P点沿与x轴负方向成30°角进入磁场时，粒子刚好从原点O离开磁场，则粒子离开磁场时到O点的最大距离为(　　)
A.L B.2L C.L D.3L
6.如图所示，在第Ⅰ象限内有垂直纸面向里的匀强磁场，一对质量与电荷量都相等的正、负粒子分别以相同速率沿与x轴成30°角的方向从原点射入磁场，不计粒子重力，则正、负粒子在磁场中运动的时间之比为(　　)
A.1∶2 B.2∶1 C.1∶ D.1∶1
7.如图所示，空间有一圆柱形匀强磁场区域，该区域的横截面的半径为R，磁场方向垂直于横截面。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子以速率v0沿横截面的某直径射入磁场，离开磁场时速度方向偏离入射方向60°。不计粒子重力，该磁场的磁感应强度大小为(　　)
A. B. C. D.
8.一半径为R的圆筒处于匀强磁场中，磁场方向与筒的中心轴线平行，筒的横截面如图所示。图中直径MN的两端分别开有小孔M、N，筒绕其中心轴以角速度ω顺时针转动。在该截面内，一带电粒子从小孔M射入筒内，射入时的运动方向与MN成30°角。当筒转过120°时，该粒子恰好从小孔N飞出圆筒，不计重力。若粒子在筒内未与筒壁发生碰撞，则带电粒子运动的速度大小为(　　)
A. B. C. D.
9.如图所示，正六边形abcdef区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场。一带电粒子从a点沿ad方向射入磁场，粒子从b点离开磁场，在磁场中的运动时间为t1；如果只改变粒子射入磁场的速度大小，粒子从c点离开磁场，在磁场中的运动时间为t2。不计粒子重力，则t1与t2之比为(　　)
A.1∶2 B.2∶1 C.1∶3 D.3∶1
10.如图，在坐标系的第一和第二象限内存在磁感应强度大小分别为B和B、方向均垂直于纸面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子垂直于x轴射入第二象限，随后垂直于y轴进入第一象限，最后经过x轴离开第一象限。粒子在磁场中运动的时间为(　　)
A. B. C. D.
11.如图，空间存在垂直于纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场(图中未画出)，线状粒子源OM与屏ON垂直，ON＝2OM＝2L，粒子源能发射质量为m、电荷量为＋q(q>0)、速度大小为v，方向与磁场垂直且与OM夹角θ＝45°的粒子，已知v＝，不计粒子重力及粒子间的相互作用，则屏ON上有粒子打到的区域长度为(　　)
A.L B.(－1)L
C.L D.L
二、多选题
12.如图所示，MN表示一块非常薄的金属板，带电粒子(不计重力)在匀强磁场中运动并穿过薄金属板，虚线表示其运动轨迹，由图可知粒子(　　)
A.带负电荷
B.沿e→d→c→b→a方向运动
C.穿越金属板后，轨迹半径变大
D.穿越金属板后，所受洛伦兹力变大
13.如图所示，在半径为R的圆形区域内有匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直于圆平面(图中未画出)。一群比荷为的负离子(不计离子重力及离子间的相互作用)以相同速率v0(离子在磁场中的运动半径大于R)由P点在纸面内向不同方向射入磁场中发生偏转后，又飞出磁场，最终打在磁场区域右侧的荧光屏(足够大)上，则下列说法正确的是(　　)
A.离子在磁场中运动时间一定相等
B.离子在磁场中的运动半径一定相等
C.由Q点飞出的离子在磁场中运动的时间最长
D.沿PQ方向射入的离子飞出时速度的偏转角最大
14.如图所示，直角三角形ABC区域内有垂直于纸面、磁感应强度大小为B的匀强磁场，已知AC边长为2L，∠A＝30°。一个质量为m，电荷量为q的带正电的粒子，从D点(D点为AC的中点)射入磁场，经一段时间后与AB边相切，最终从BC边射出。则(　　)
A.磁场的方向垂直纸面向外 B.轨迹半径为L
C.带电粒子在磁场中运动的时间为 D.该粒子的入射速度为
15.如图所示，长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离也为l，极板不带电。现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从两极板间边界中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是(　　)
A.使粒子的速度v< B.使粒子的速度v>
C.使粒子的速度v> D.使粒子的速度16.圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，两个比荷不同的带电粒子a、b，以相同的速率对准圆心O沿着PO方向射入磁场，运动轨迹如图所示(弧长关系：saA.两个粒子都带正电
B.a粒子的比荷较大
C.a粒子在磁场中运动时间较长
D.两粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期相同
17.如图所示，长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离也为l，极板不带电。现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从两极板间边界中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是(　　)
A.使粒子的速度v< B.使粒子的速度v>
C.使粒子的速度v> D.使粒子的速度三、解答题
18.如图所示，空间存在范围足够大的垂直xOy平面向里的匀强磁场(图中未画出)，一质量为m、带电荷量为＋q(q>0)的带电粒子(不计所受重力)从坐标原点O沿x轴正方向以速度v0射出，带电粒子恰好经过点A(h，h)，求：
(1)匀强磁场的磁感应强度大小B；
(2)粒子从O点运动到A点所用的时间t。
19.如图所示，一足够长的矩形区域abcd内存在着方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在ad边中点O，沿垂直磁场方向射入一速度方向与ad边夹角θ＝30°、大小为v0(未知量)的带正电粒子，已知粒子质量为m，电荷量为q，ad边长为L，ab边足够长，粒子重力不计。求：
(1)若粒子恰好不能从磁场下边界射出，求粒子的入射速度大小v01；
(2)若粒子恰好不能从磁场上边界射出，求粒子的入射速度大小v02；
(3)若带电粒子的速度v0大小可取任意值，求粒子在磁场中运动的最长时间。
20.一带电粒子的质量m＝1.7×10-27 kg，电荷量q＝1.6×10-19 C，以速度v＝3.2×106 m/s沿垂直于磁场同时又垂直于磁场边界的方向进入匀强磁场中，磁场的磁感应强度为B＝0.17 T，磁场的宽度L＝10 cm，如图所示。粒子重力忽略不计，求：(g取10 m/s2，计算结果均保留两位有效数字)
(1)带电粒子离开磁场时的速度大小；
(2)带电粒子在磁场中运动的时间；
(3)带电粒子在离开磁场时偏离入射方向的距离d为多大？
21.已知氚核的质量约为质子质量的3倍，带正电荷，电荷量为一个元电荷；α粒子即氦原子核，质量约为质子质量的4倍，带正电荷，电荷量为e的2倍。现在质子、 氚核和α粒子在同一匀强磁场中做匀速圆周运动。 求下列情况中它们运动的半径之比：
(1)它们的速度大小相等。
(2)它们由静止经过相同的加速电场加速后进入磁场。
22.如图所示，一带电粒子从y轴的M点以初速度v平行于x轴正方向射入磁感应强度为B、磁场方向垂直坐标平面向外的匀强磁场区域，最后粒子从x轴上N点射出磁场区域。已知M点坐标为(0，2a)，N点的坐标为(a，0)，粒子的重力不计，sin 37°＝0.6。求：
(1)粒子在磁场中运动的时间；
(2)若要使带电粒子从坐标原点离开磁场，可以控制磁场的强弱，则应该使磁场的磁感应强度为多大？
23.如图所示，平面内直线a、b、c彼此平行且间距相等，其间存在垂直纸面的匀强磁场。ab间磁场B1向外，大小为B，bc间磁场B2向里，大小未知。t＝0时，一质量为m、电荷量为q的带负电粒子从O点垂直a射出。一段时间后粒子穿过b，速度方向与b夹角为60°。若粒子恰好不能穿出c，且最终从O点下方射出，不计重力。求：
(1)磁场B2的大小；
(2)整个运动过程所用时间。
24.如图所示，在x轴上方存在垂直于xOy平面向外的匀强磁场，坐标原点O处有一粒子源，可向x轴和x轴上方的xOy平面各个方向不断地发射质量为m、带电量为＋q、速度大小均为v的粒子。在x轴上距离原点x0处垂直于x轴放置一个长度为x0、厚度不计、两侧均能接收粒子的薄金属板P(粒子打在金属板P上即被吸收，电势保持为0)。沿y轴正方向射出的粒子恰好打在薄金属板的上端，不计带电粒子的重力和粒子间相互作用力。
(1)求磁感应强度B的大小；
(2)求被薄金属板接收的粒子在磁场运动的最短时间与最长时间；
(3)要使薄金属板P右侧不能接收到粒子，求挡板沿x轴正方向移动的最小距离。
1.3 带电粒子在匀强磁场中的运动答案与解析
1.C【解析】若带电粒子的速度方向与磁场方向平行(同向或反向)，此时粒子所受洛伦兹力为零，带电粒子做匀速直线运动，A错误；静止的带电粒子不受洛伦兹力，仍静止，B错误；带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，洛伦兹力的方向总跟速度方向垂直，即和运动方向垂直，C正确；如果带电粒子与磁场方向成某一角度进入匀强磁场，洛伦兹力方向虽与运动方向垂直，但带电粒子不是做匀速圆周运动，D错误。
2.C【解析】根据洛伦兹力提供向心力可得qvB＝m，解得r＝，则有T＝，两个粒子电荷量相同，若速率相等，质量不相等，则半径不相等，故A错误；两个粒子，电荷量相同，若动能相等，速率不相等，则质量不相等，则周期不相等，故B错误；两个粒子，电荷量相同，若质量相等，则周期必相等，故C正确；两个粒子，电荷量相同，若动能相等，速率不相等，则动量不相等，则半径不相等，故D错误。
3.C【解析】根据左手定则，粒子a带正电，粒子b、c带负电，故A错误；
根据洛伦兹力提供向心力qvB＝m
可得v＝
由题图可知射入磁场时粒子c的运动半径最小，故射入磁场时粒子c的速率最小，故B错误；
粒子在磁场中运动的周期为T＝
可知三个粒子在磁场中运动的周期相等，粒子在磁场中运动的时间为t＝T＝
射入磁场时粒子c轨迹对应的圆心角最大，故粒子c在磁场中运动的时间最长，故C正确，D错误。
4.C【解析】根据题意可知粒子到达PQ边界时速度方向与边界线相切，如图所示，则根据几何关系可知l＝r＋rsin 30°，在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力qvB＝m，解得v＝，故A、B错误；由粒子运动轨迹可知粒子转过的圆心角为240°，粒子在磁场中运动的周期为T＝，则粒子在磁场中运动的时间为t＝T＝，故C正确，D错误。
5.C【解析】当粒子从P点沿与x轴负方向成30°角进入磁场时，如图甲所示
粒子运动的半径r＝L。当粒子离开磁场到O点的距离最远时，粒子在磁场中的轨迹为半圆，如图乙所示，由几何关系得，最大距离OQ＝L。故选C。
6.B【解析】由洛伦兹力提供向心力有qvB＝，又T＝，解得T＝，则正、负粒子在磁场中的运动周期相等，正、负粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，正粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角为120°，负粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角为60°，故时间之比为2∶1，B正确。
7.A【解析】粒子的运动轨迹如图所示，粒子做匀速圆周运动的轨道半径r＝R
根据洛伦兹力提供向心力得
qv0B＝m，解得B＝，故A正确。
8.B【解析】粒子恰好从小孔N飞出圆筒时筒转过120°，由几何关系得，粒子在磁场中做匀速圆周运动所转过的圆心角为60°，半径为R，如图所示
则粒子在磁场中做匀速圆周运动的时间为t＝T＝×，根据T＝，结合洛伦兹力提供向心力qvB＝m，解得v＝，故选B。
9.B【解析】根据周期公式T＝可知，只改变速度大小，粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期相同。粒子两次运动轨迹如图所示，粒子进入磁场时速度方向与ab方向的夹角为60°，与ac方向的夹角为30°。由几何知识知，当粒子从a点进入磁场，从b点离开磁场时，速度偏转角为θ1＝2×60°＝120°，所以轨迹所对应的圆心角为120°，可得粒子在磁场中的运动时间为t1＝T＝；同理，当粒子从a点进入磁场，从c点离开磁场时，速度偏转角为θ2＝2×30°＝60°，所以轨迹所对应的圆心角为60°，可得粒子在磁场中的运动时间为t2＝T＝，因此t1∶t2＝2∶1，选项B正确。
10.B【解析】设带电粒子进入第二象限的速度为v，在第二象限和第一象限中运动的轨迹如图所示，对应的轨迹半径分别为R1和R2，由洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m、T＝，可得R1＝、R2＝、T1＝、T2＝，带电粒子在第二象限中运动的时间为t1＝，在第一象限中运动的时间为t2＝T2，又由几何关系有cos θ＝，可得t2＝，则粒子在磁场中运动的时间为t＝t1＋t2，联立以上各式解得t＝，选项B正确，A、C、D错误。
11.D【解析】如图，粒子源发出的粒子做圆周运动的圆心都位于O1O2连线上，根据洛伦兹力提供向心力qvB＝m，可得R＝，则M点及O点发出的粒子恰好可打到O点，OM之间的粒子均可打到屏上，其中自OM中点发出的粒子圆心位于NO延长线上，该粒子打在屏上的位置距离O点最远，根据几何关系可得光屏上有粒子打到的区域长度为x＝R(1－sin 45°)＝L，故选D。
12.AB【解析】粒子穿过金属板后速度变小，由r＝可知，其轨迹半径变小，即粒子沿e→d→c→b→a方向运动，B正确，C错误；由左手定则可知，粒子带负电荷，A正确；由F洛＝qvB知，v变小，则所受洛伦兹力变小，D错误。
13.BC【解析】设离子轨迹所对应的圆心角为θ，则离子在磁场中运动的时间为t＝T，其中T＝，所有离子的运动周期相等，由于离子不一定从圆上同一点射出，轨迹所对应的圆心角不一定相同，所以离子在磁场中运动时间不一定相同，故A错误；离子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律有qv0B＝m，解得r＝，因离子的速率相同，比荷相同，故运动半径一定相同，故B正确；由圆的性质可知，轨迹圆与磁场圆相交，当轨迹圆的弦长最大时圆心角最大，而轨迹圆的弦长最长为PQ，故由Q点飞出的离子轨迹对应的圆心角最大，所对应的时间最长，此时离子一定不会沿PQ射入，故C正确，D错误。
14.ACD【解析】带正电粒子向下偏转，根据左手定则可知，磁场的方向垂直纸面向外，故A正确；粒子运动如图，根据几何关系可知轨迹圆圆心为C，则有R＝L，故B错误；根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，由图可知粒子运动的圆心角为90°，则带电粒子在磁场中运动的时间为t＝×，解得t＝，v＝，故C、D正确。
15.AB【解析】如图所示，带电粒子刚好打在极板右边缘时，有＝(r1－)2＋l2，又r1＝，所以v1＝；粒子刚好打在极板左边缘时，有r2＝，所以v2＝，综合上述分析可知，选项A、B正确。
16.AB【解析】根据左手定则可知两个粒子都带正电，故A正确；如图所示，
可知a粒子的运动半径小于b粒子的半径，即ra17.AB【解析】如图所示，带电粒子刚好打在极板右边缘时，有＝(r1－)2＋l2，又r1＝，所以v1＝；粒子刚好打在极板左边缘时，有r2＝，所以v2＝，综合上述分析可知，选项A、B正确。
18.(1)　(2)
【解析】(1)根据洛伦兹力提供向心力，有qv0B＝，带电粒子的运动轨迹如图所示，结合几何关系有(h)2＋(h－R)2＝R2
解得R＝h，B＝
(2)由几何关系知粒子从O到A轨迹的圆心角为120°，设带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期为T，则有T＝，t＝T
解得t＝。
19.(1)　(2)　(3)
【解析】(1)根据题意，画出粒子的运动轨迹，如图所示
由几何关系可得R1－R1sin 30°＝，解得R1＝L
又有qv01B＝m，解得v01＝
(2)根据题意，画出粒子的运动轨迹，如图所示
由几何关系可得，R2＋R2sin 30°＝，解得R2＝
又有qv02B＝m，解得v02＝
(3)根据题意，由公式t＝×T和T＝
可知，粒子在磁场中经过的弧所对的圆心角α越大，在磁场中运动的时间也越长。在磁场中运动的半径r≤R2时，运动时间最长，则圆弧所对圆心角为α＝2π－2θ＝π，所以最长时间为t＝×
20.(1)3.2×106 m/s　(2)3.3×10-8 s
(3)2.7×10-2 m
【解析】(1)由于洛伦兹力不做功，所以带电粒子离开磁场时的速度大小仍为3.2×106 m/s；
(2)洛伦兹力提供向心力，由qvB＝m，
得轨道半径为r＝＝0.2 m，
由题图可知偏转角θ满足sin θ＝＝0.5，所以θ＝30°＝，
带电粒子在磁场中运动的周期为T＝，
故带电粒子在磁场中运动的时间为t＝T＝T，所以t＝≈3.3×10-8 s。
(3)由题意可得，带电粒子在离开磁场时偏离入射方向的距离为d＝r(1－cos θ)≈2.7×10-2 m。
21.(1)1∶3∶2　(2)1∶∶
【解析】(1)由于r＝，在同一匀强磁场中，速度大小相等时，r∝，可知r质子∶r氚核∶rα粒子＝∶∶＝1∶3∶2。
(2)由qU＝mv2和r＝得r＝，可知由静止经过相同的加速电场加速后进入同一匀强磁场时，r∝，所以r质子∶r氚核∶rα粒子＝∶∶＝1∶∶。
22.(1)　(2)B
【解析】(1)设粒子在磁场中运动的半径为r，由几何关系可知r2＝a2＋(2a－r)2，
解得r＝，由几何关系可知，
粒子在磁场中转过的角度为θ＝127°
由t＝T，T＝得运动时间t＝
(2)若要使带电粒子从坐标原点离开磁场，
则粒子运动的半径为r'＝a，
根据qvB'＝m，且qvB＝m，可得B'＝B。
23.(1)3B　(2)
【解析】(1)带电粒子运动轨迹如图
设在磁场B1区域内运动半径为R1，平行间距为d，由几何关系可得
＝cos 60°
求得R1＝2d
设在磁场B2区域内运动半径为R2，由几何关系可得
＝cos 60°，求得R2＝
又由洛伦兹力提供向心力有：
qvB1＝，qvB2＝
可求得B2＝3B1＝3B
(2)带电粒子在磁场B1区域内运动周期T1＝，带电粒子在磁场B1区域内运动时间
t1＝2××
带电粒子在磁场B2区域内运动周期
T2＝，
带电粒子在磁场B2区域内运动时间
t2＝×
带电粒子整个运动过程所用时间为
t＝t1＋t2＝。
24.(1)　(2)　　(3)(－1)x0
【解析】(1)设粒子做圆周运动的半径为R，由几何关系，得R＝x0
根据牛顿第二定律有qvB＝
联立解得B＝
(2)带电粒子在磁场中的运动周期为T，则有T＝
得T＝
打在P左侧下端的粒子在磁场中运动的时间最短，如图甲所示
由几何关系可知，打在P左侧下端的粒子在磁场中偏转的角度是θ1＝60°
运动的最短时间tmin＝T
联立解得tmin＝
打在P右侧下端的粒子在磁场中运动的时间最长，如图乙所示
由几何关系可知，打在P右侧下端的粒子在磁场中偏转的角度是θ2＝300°
运动的最长时间tmax＝T，
联立解得tmax＝
(3)要使挡板右侧无粒子到达，P板最上端与O点的连线长应为2x0，即粒子做圆周运动的直径，如图丙所示
所以沿x轴正方向移动的最小长度为Δx＝ON－OM＝－x0＝(－1)x0
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