第九章 统计
9.1 随机抽样
9.1.1 简单随机抽样
素养目标 思维导图
1.通过实例,了解简单随机抽样的含义及其解决问题的过,掌握两种简单随机抽样法:抽签法和随机数法.(数据分析) 2.会计算样本均值,了解样本与总体的关系.(数学运算)
课前自主学习
问题1.在某传染病严重流行期间,学校、车站、机场等公共场所都设有体温监测仪,检查这些公共场所的每个成员的体温,这是对这些公共场所人员的普查还是抽样调查 为什么要采取这种调查式
提示:检查的是每个成员的体温,所以是普查.这种调查式虽然耗费大量的人力、物力,但对于防止传染病的蔓延非常有效,可以迅速查出并隔离疑似传染病人.
问题2.某市计划以问卷调查的形式了解市学生的心理健康情况,如果请市所有学生完成调查问卷,是否便操作 若不便,是否有更好的办法
提示:不便,学生较多,都填写调查问卷的话费时费力.可以从市所有学生中选取一些学生作为代表进行调查,然后用这些代表来估计总体.
问题3.简单随机抽样必须具备的特点有哪些
提示:(1)被抽取样本的总体中的个体数是有限的;
(2)抽取的样本是从总体中逐个抽取的;
(3)简单随机抽样是一种等可能的抽样.
问题4.思考:什么是总体均值 如何估计总体均值
提示:总体均值就是总体平均数.可以通过抽取样本,求出样本均值来估计总体均值.
【核心概念】
1.面调查和抽样调查
调查 式 面调查 抽样调查
定义 对每一个调查对象都进行调查的法,称为面调查,又称普查 根据一定目的,从总体中抽取一部分个体进行调查,并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查法
2.统计的相关概念
名称 定义
总体 调查对象的体称为总体
个体 组成总体的每一个调查对象称为个体
样本 从总体中抽取的那部分个体称为样本
样本容量 样本中包含的个体数称为样本容量
样本与样本量的区别:样本是从总体中抽取的个体组成的集合,是对象;样本量是样本中个体的数目,是一个数.
3.简单随机抽样的概念
放回简单随机抽样 不放回简单随机抽样
一般地,设一个总体含有N(N为正整数)个个体,从中逐个抽取n(1≤n如果抽取是放回的,且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等,我们把这样的抽样法叫做放回简单随机抽样 如果抽取是不放回的,且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等,我们把这样的抽样法叫做不放回简单随机抽样
放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本
4.抽签法
先把总体中的个体编号,然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签,并将这些小纸片放在一个不透明的盒里,充分搅拌.最后从盒中不放回地逐个抽取号签,使与号签上的编号对应的个体进入样本,直到抽足样本所需要的个体数.
5.随机数法
(1)定义:先把总体中的个体编号,用随机数工具产生总体范围内的整数随机数,把产生的随机数作为抽中的编号,并剔除重复的编号,直到抽足样本所需要的个体数.
(2)产生随机数的法:①用随机试验生成随机数,②用信息技术生成随机数.
6.总体均值和样本均值
(1)总体均值:一般地,总体中有N个个体,它们的变量值分别为Y1,Y2,…,YN,则称=
=Yi为总体均值,又称总体平均数.
(2)总体均值加权平均数的形式:如果总体的N个变量值中,不同的值共有k(k≤N)个,不妨记为Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出现的频数fi(i=1,2,…,k),则总体均值还可以写成加权平均数的形式=fiYi.
(3)样本均值:如果从总体中抽取一个容量为n的样本,它们的变量值分别为y1,y2,…,yn,则称==yi为样本均值,又称样本平均数.
课堂合作探究
探究点一 面调查与抽样调查
【典例1】(1)下列调查式中,可用普查的是 ( )
A.调查某品牌电动车的市场占有率
B.调查2023年杭州亚运会的收视率
C.调查某校高三年级的男女同学的比例
D.调查一批玉米种子的发芽率
【思维导引】根据普查适合调查对象数目较少的情况来判断即可.
【解析】选C.选项A,B,D调查对象的数目较多,适合采用抽样调查;C调查对象的数目较少,适合采用普查.
(2)(多选)下列调查,适合抽样调查的是 ( )
A.进行某一项民意测验
B.调查某化工厂周围5个村庄是否受到污染
C.调查黄河的水质情况
D.调查某药品生产厂家一批药品的质量情况
【思维导引】根据抽样调查的定义逐项判断可得答案.
【解析】选ACD.对于A,由于民意测验的特殊性,不可能也没必要对所有的人都进行调查,因此也是采用抽样调查的式,故A正确;对于B,适合面调查,故B错误;对于C,因为无法对所有的黄河水质进行面调查,所以只能采取抽样调查的式,故C正确;对于D,对药品的质量检验具有破坏性,所以只能采取抽样调查,故D正确.
【定向训练】
为了调查某校学生的视力情况,在校1 700名学生中随机抽取了150名学生,下列说法正确的是 ( )
A.此次调查属于面调查
B.样本容量是150
C.1 700名学生是总体
D.被抽取的每一名学生称为个体
【解析】选B.对于A,此次调查是随机抽取了150名学生的视力情况,不属于面调查,A错误;对于B,样本容量是150,B正确;对于C,校1 700名学生的视力情况是总体,C错误;对于D,被抽取的每一名学生的视力情况为个体,D错误.
探究点二 简单随机抽样的概念
【典例2】(1)下列问题中最适合用简单随机抽样法的是 ( )
A.某学校有学生1 320人,卫生部门为了了解学生身体发育情况,准备从中抽取一个容量为300的样本
B.从1 135个村庄中抽取50个进行收入调查
C.从班30名学生中,任意选取5名进行家访
D.为了解某地区癌症的发病情况,从该地区的5 000人中抽取200人进行统计
【思维导引】根据简单随机抽样的概念与特点进行判断.
【解析】选C.A中不同年级的学生身体发育情况差别较大,B,D的总体容量较大,C的总体容量较小,适宜用简单随机抽样.
(2)利用简单随机抽样的法,从n个个体(n>15)中依次抽取15个个体,若第二次抽取时,每个个体被抽到的可能性为.则在整个抽样过中,每个个体被抽到的可能性为 .
【思维导引】根据第二次抽取时余下的每个个体被抽取到的可能性为求得n,可得答案.
【解析】第二次抽取时,余下的每个个体被抽取到的
可能性为,则=,解得n=57,所以在整个抽样过中,每个个体被抽到的可能性为P==.
答案:
【类题通法】
简单随机抽样必须具备的特点
(1)被抽取样本的总体中的个体数N是有限的.
(2)抽取的样本是从总体中逐个抽取的.
(3)简单随机抽样是一种等可能的抽样.
如果三个特征有一个不满足,就不是简单随机抽样.
【定向训练】
从总体容量为N的一批电子元件中抽取一个容量为30的样本,若每个电子元件被抽到的可能性为15%,则总体容量N= .
【思维导引】根据条件列出总体容量和样本容量的关系式,由此可求结果.
【解析】由条件可知:×100%=15%,所以N=200.
答案:200
探究点三 抽签法和随机数法
【典例3】(1)(多选)下列抽样调查中,不适宜用抽签法的是 ( )
A.从某厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验
B.从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检测
C.从甲、乙两厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验
D.从某厂生产的3 000件产品中抽取10件进行质量检测
【思维导引】根据已知条件,结合抽签法的定义,即可求解.
【解析】选ACD.对于A,D中个体的总数较大,不适合用抽签法;C中甲、乙两厂生产的两箱产品质量可能差别较大,不适合用抽签法;对于B中个体的总数和样本容量均较小,且是同厂生产的两箱产品,质量差别不大,适宜用抽签法.
(2)(一题多问)
总体由编号为00,01,…,28,29的30个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,解决下列问题.
0842 2689 5319 6450 9303 2320
9025 6015 9901 9025
2909 0937 6707 1528 3113 1165
0280 7999 7080 1573
①选取法是从随机数表第1行的第6列和第7列开始从左往右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号是多少
②选取法是从随机数表第1行的第5列和第6列开始从左往右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号是多少
③选取法是指定从第2行第11列开始,从左往右抽取两个数字,抽取6个编号,则抽到的第6个编号是多少
④选取法是指定从第1行第8列开始,从左往右隔两个数字抽取两个数字,抽取6个编号,则抽到的第4个编号是多少
【思维导引】根据题设的抽取式,结合随机数表依次写出所得编号.
【解析】①从随机数表的第1行的第6列和第7列开始从左往右依次选取两个数字,得到的在00~29内的两位数依次是09,09,02,01,19,02,11,…,其中09和02各重复了一次,去掉重复的数后,前5个编号是09,02,01,19,11,则选出来的第5个个体的编号为11.
②从随机数表的第1行的第5列和第6列开始从左往右依次选取两个数字,得到的在00~29内的两位数依次是26,19,03,23,20,25,…,前5个编号是26,19,03,23,20,则选出来的第5个个体的编号为20.
③自第2行第11列开始,第一个编号为07,去除编号不在00~29的号码和重复号码,依次抽取的6个编号为:07,15,28,13,11,02,则抽到的第6个编号为02.
④自第1行第8列开始,第一个编号为95,编号不是00~29的号码,隔两个数字后对应第二个编号为96,编号也不是00~29的号码,再隔两个数字后对应第三个编号为09,编号是00~29的号码,按照此规律可抽取的在00~29内且不重复的编号依次为09,19,07,01,则抽到的第4个编号为01.
【类题通法】
利用随机数法抽取个体三注意
(1)定起点:事先应确定以表中的哪个数(哪行哪列)作为起点.
(2)定向:读数的向(向左、向右、向上或向下都可以).
(3)读数规则:读数时结合编号的特点进行读取,编号为两位数则两位两位地读取,编号为三位数则三位三位地读取,如果出现重复则跳过,直到取满所需的样本个体数.
【定向训练】
1.(2025·南昌高一检测)某工厂利用随机数表对生产的40个零件进行抽样测试,先将40个零件进行编号,编号分别为01,02,…,40,从中抽取8个样本,下面提供随机数表的第1行到第3行:
0347 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6202
9774 2467 6242 8114 5720 4253 3237 3214
1676 0227 6656 5026 7107 3290 7978 5336
若从表中第2行第7列开始向右依次读取数据,则得到的第5个样本编号是 ( )
A.37 B.32 C.14 D.16
【解析】选D.依题意从第2行第7列开始的数为67(舍去),62(舍去),42(舍去),81(舍去),14,57(舍去),20,42(舍去),53(舍去),32,37,32(舍去),14(舍去),16,则满足条件的5个样本编号为14,20,32,37,16,则第5个样本编号为16.
2.为了检验某种产品的质量,决定从10 000件产品中抽取100件进行检查,选用 抽样更合适.
【解析】由于总体容量与样本量都较大,选用抽签法,制签、抽取都比较困难,应选用随机数法.
答案:随机数法
探究点四 样本平均数与总体平均数
【典例4】某些商家为消费者提供免费塑料袋,使购物消费更加便快捷,但是我们更应关注它对环境的潜在危害.为了解某市所有家庭每年丢弃塑料袋个数的情况,统计人员采用了科学的法,随机抽取了200户,对他们某日丢弃塑料袋的个数进行了统计,结果如表:
每户丢弃 塑料袋个数 1 2 3 4 5 6
家庭数/户 15 60 65 35 20 5
(1)求当日这200户家庭平均每户丢弃塑料袋的个数;
(2)假设某市现有家庭100万户,据此估计该市所有家庭每年(以365天计算)丢弃塑料袋的总数.
【思维导引】利用样本平均数公式求解.
【解析】(1)由题意×(15×1+60×2+65×3+35×4+20×5+5×6)=×600=3.
所以,当日这200户家庭平均每户丢弃3个塑料袋.
(2)3×365×100=109 500(万个).
所以,估计该市所有家庭每年丢弃109 500万个塑料袋.
【类题通法】
求样本的平均数
(1)用平均数公式求即可.
(2)用样本中的平均数去估计总体.
【定向训练】
期中考试以后,班长算出了班40人数学成绩的平均分为M,如果把M当成一个同学的分数,与原来的40个分数合在一起,算出这41个分数的平均数为N,那么的值为 ( )
A. B.1 C. D.2
【思维导引】算出41个分数的平均数,然后作比较计算可得结果.
【解析】选B.因为班40个人数学成绩的平均分为M,把M当成一个同学的分数,则班中有41名同学共为41M,所以41人的平均分N==M,所以=1.
课堂学业达标
1.在以下调查中,适合用面调查的个数是 ( )
①调查一个班级学生的吃早餐情况
②调查某种饮料质量合格情况
③调查某批飞行员的身体健康指标
④调查某个水库中草鱼的所占比例
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选B.①因为一个班级学生的人数不太多,吃早餐情况的面调查也容易操作,所以适合面调查;②某种饮料数量太多,质量合格情况适合抽样调查;③飞行员的职业特点决定了身体健康指标必须面调查;④某个水库中鱼的种类和数量一般都较多,不适合面调查.
2.(多选)下列调查中,适宜采用抽样调查的是 ( )
A.调查某市中小学生每天的运动时间
B.某幼儿园中有位小朋友得了手足口病,对此幼儿园中的小朋友进行检查
C.农业科技人员调查今年麦穗的单穗平均质量
D.调查某快餐店中8位店员的生活质量情况
【解析】选AC.因为B选项中要对所有小朋友进行检查,所以采用普查的式;
D选项中共8位店员,总体容量较小,所以采用普查的式;A,C选项中总体容量大,难以做到普查,故采用抽样调查的式.
3.在对101个人进行一次抽样时,先采用抽签法从中剔除一个人,再在剩余的100人中随机抽取10人,那么下列说法正确的是 ( )
A.这种抽样法对于被剔除的个体是不公平的,因为他失去了被抽到的机会
B.每个人在整个抽样过中被抽到的机会均等,因为每个人被剔除的可能性相等,那么,不被剔除的机会也是均等的
C.由于采用了两步进行抽样,所以无法判断每个人被抽到的可能性是多少
D.每个人被抽到的可能性不相等
【解析】选B.由于第一次剔除时采用抽签法,对每个人来说可能性相等,然后随机抽取10人对每个人的机会也是均等的,所以总的来说每个人的机会都是均等的,被抽到的可能性都是相等的.
4.为了了解某市100 000户居民的日用电量,甲用简单随机抽样法从该市抽取100户调查,得到日用电量的平均数为5.2千瓦时,乙用同样的法抽查了300户,得到日用电量平均数为5.5千瓦时,据此推断该市居民日用电量的平均数为 千瓦时.
【解析】由于乙抽取的样本量大于甲的,所以用他的调查结果估计市的平均数较好.
答案:5.5
5.一个总体的60个个体编号为00,01,…,59,现需从中抽取一容量为8的样本,请从利用随机数工具产生的随机数表的倒数第5行(下表为随机数表的最后5行)第11列开始,向右读取,直到取足样本,则抽取样本的号码是 .
95 33 95 22 00 18 74 72 00 18 38 79 58 69 32 81 76 80 26 92 82 80 84 25 39
90 84 60 79 80 24 36 59 87 38 82 07 53 89 35 96 35 23 79 18 05 98 90 07 35
46 40 62 98 80 54 97 20 56 95 15 74 80 08 32 16 46 70 50 80 67 72 16 42 79
20 31 89 03 43 38 46 82 68 72 32 14 82 99 70 80 60 47 18 97 63 49 30 21 30
71 59 73 05 50 08 22 23 71 77 91 01 93 20 49 82 96 59 26 94 66 39 67 98 60
【解析】所取的号码要在00~59且重复出现的号码仅取一次.
答案:18,00,38,58,32,26,25,39
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课前自主学习
课堂合作探究
课堂学业达标
第九章 统计
9.1 随机抽样
9.1.1 简单随机抽样
素养目标 思维导图
1.通过实例,了解简单随机抽样的含义及其 解决问题的过,掌握两种简单随机抽样 法:抽签法和随机数法.(数据分析) 2.会计算样本均值,了解样本与总体的关系 .(数学运算)
课前自主学习
问题1.在某传染病严重流行期间,学校、车站、机场等公共场所都设有体温监测仪,检查这些公共场所的每个成员的体温,这是对这些公共场所人员的普查还是抽样调查 为什么要采取这种调查式
提示:检查的是每个成员的体温,所以是普查.这种调查式虽然耗费大量的人力、物力,但对于防止传染病的蔓延非常有效,可以迅速查出并隔离疑似传染病人.
问题2.某市计划以问卷调查的形式了解市学生的心理健康情况,如果请市所有学生完成调查问卷,是否便操作 若不便,是否有更好的办法
提示:不便,学生较多,都填写调查问卷的话费时费力.可以从市所有学生中选取一些学生作为代表进行调查,然后用这些代表来估计总体.
问题3.简单随机抽样必须具备的特点有哪些
提示:(1)被抽取样本的总体中的个体数是有限的;
(2)抽取的样本是从总体中逐个抽取的;
(3)简单随机抽样是一种等可能的抽样.
问题4.思考:什么是总体均值 如何估计总体均值
提示:总体均值就是总体平均数.可以通过抽取样本,求出样本均值来估计总体均值.
【核心概念】
1.面调查和抽样调查
调查 式 面调查 抽样调查
定义 对每一个调查对象都进行调查 的法,称为面调查,又称普 查 根据一定目的,从总体中抽取一部分
个体进行调查,并以此为依据对总体
的情况作出估计和推断的调查法
2.统计的相关概念
样本与样本量的区别:样本是从总体中抽取的个体组成的集合,是_____;样本量是
样本中个体的数目,是_______.
名称 定义
总体 调查对象的_____称为总体
个体 组成总体的每一个_________称为个体
样本 从总体中抽取的那部分个体称为样本
样本容量 样本中包含的_______称为样本容量
体
调查对象
个体数
对象
一个数
3.简单随机抽样的概念
放回简单随机抽样 不放回简单随机抽样
一般地,设一个总体含有N(N为正整数)个个体,从中_____抽取n(1≤n体内未进入样本的_________被抽到
的概率都_____,我们把这样的抽样
法叫做不放回简单随机抽样
放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为_____________.通过简单随 机抽样获得的样本称为简单随机样本 逐个
相等
各个个体
相等
简单随机抽样
4.抽签法
先把总体中的个体编号,然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可
以是卡片、小球等)上作为号签,并将这些小纸片放在一个_______的盒里,充分搅
拌.最后从盒中不放回地逐个抽取号签,使与号签上的编号对应的个体进入样本,
直到抽足样本所需要的个体数.
5.随机数法
(1)定义:先把总体中的个体编号,用随机数工具产生总体范围内的整数随机数,把产
生的随机数作为抽中的编号,并剔除重复的编号,直到抽足样本所需要的个体数.
(2)产生随机数的法:①用随机试验生成随机数,②用信息技术生成随机数.
不透明
6.总体均值和样本均值
(1)总体均值:一般地,总体中有N个个体,它们的变量值分别为Y1,Y2,…,YN,则称
=_______为总体均值,又称总体平均数.
(2)总体均值加权平均数的形式:如果总体的N个变量值中,不同的值共有k(k≤N)个,
不妨记为Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出现的频数fi(i=1,2,…,k),则总体均值还可以写成加权平
均数的形式=.
(3)样本均值:如果从总体中抽取一个容量为n的样本,它们的变量值分别为
y1,y2,…,yn,则称==为样本均值,又称样本平均数.
fiYi
yi
Yi
课堂合作探究
探究点一 面调查与抽样调查
【典例1】(1)下列调查式中,可用普查的是( )
A.调查某品牌电动车的市场占有率
B.调查2023年杭州亚运会的收视率
C.调查某校高三年级的男女同学的比例
D.调查一批玉米种子的发芽率
【思维导引】根据普查适合调查对象数目较少的情况来判断即可.
【解析】选C.选项A,B,D调查对象的数目较多,适合采用抽样调查;C调查对象的数
目较少,适合采用普查.
√
(2)(多选)下列调查,适合抽样调查的是 ( )
A.进行某一项民意测验
B.调查某化工厂周围5个村庄是否受到污染
C.调查黄河的水质情况
D.调查某药品生产厂家一批药品的质量情况
【思维导引】根据抽样调查的定义逐项判断可得答案.
【解析】选ACD.对于A,由于民意测验的特殊性,不可能也没必要对所有的人都进行调查,因此也是采用抽样调查的式,故A正确;对于B,适合面调查,故B错误;对于C,因为无法对所有的黄河水质进行面调查,所以只能采取抽样调查的式,故C正确;对于D,对药品的质量检验具有破坏性,所以只能采取抽样调查,故D正确.
√
√
√
【定向训练】
为了调查某校学生的视力情况,在校1 700名学生中随机抽取了150名学生,下列
说法正确的是( )
A.此次调查属于面调查
B.样本容量是150
C.1 700名学生是总体
D.被抽取的每一名学生称为个体
【解析】选B.对于A,此次调查是随机抽取了150名学生的视力情况,不属于面调
查,A错误;对于B,样本容量是150,B正确;对于C,校1 700名学生的视力情况是总
体,C错误;对于D,被抽取的每一名学生的视力情况为个体,D错误.
√
探究点二 简单随机抽样的概念
【典例2】(1)下列问题中最适合用简单随机抽样法的是( )
A.某学校有学生1 320人,卫生部门为了了解学生身体发育情况,准备从中抽取一个容量为300的样本
B.从1 135个村庄中抽取50个进行收入调查
C.从班30名学生中,任意选取5名进行家访
D.为了解某地区癌症的发病情况,从该地区的5 000人中抽取200人进行统计
【思维导引】根据简单随机抽样的概念与特点进行判断.
【解析】选C.A中不同年级的学生身体发育情况差别较大,B,D的总体容量较大,C的总体容量较小,适宜用简单随机抽样.
√
(2)利用简单随机抽样的法,从n个个体(n>15)中依次抽取15个个体,若第二次抽取时,每
个个体被抽到的可能性为.则在整个抽样过中,每个个体被抽到的可能性为 .
【思维导引】根据第二次抽取时余下的每个个体被抽取到的可能性为求得n,可得答案.
【解析】第二次抽取时,余下的每个个体被抽取到的
可能性为,则=,解得n=57,所以在整个抽样过中,每个个体被抽到的可能性为
P==.
答案:
【类题通法】
简单随机抽样必须具备的特点
(1)被抽取样本的总体中的个体数N是有限的.
(2)抽取的样本是从总体中逐个抽取的.
(3)简单随机抽样是一种等可能的抽样.
如果三个特征有一个不满足,就不是简单随机抽样.
【定向训练】
从总体容量为N的一批电子元件中抽取一个容量为30的样本,若每个电子元件被抽到的可能性为15%,则总体容量N= .
【思维导引】根据条件列出总体容量和样本容量的关系式,由此可求结果.
【解析】由条件可知:×100%=15%,所以N=200.
答案:200
探究点三 抽签法和随机数法
【典例3】(1)(多选)下列抽样调查中,不适宜用抽签法的是( )
A.从某厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验
B.从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检测
C.从甲、乙两厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验
D.从某厂生产的3 000件产品中抽取10件进行质量检测
【思维导引】根据已知条件,结合抽签法的定义,即可求解.
【解析】选ACD.对于A,D中个体的总数较大,不适合用抽签法;C中甲、乙两厂生产的两箱产品质量可能差别较大,不适合用抽签法;对于B中个体的总数和样本容量均较小,且是同厂生产的两箱产品,质量差别不大,适宜用抽签法.
√
√
√
(2)(一题多问)
总体由编号为00,01,…,28,29的30个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,解决下列问题.
0842 2689 5319 6450 9303 2320
9025 6015 9901 9025
2909 0937 6707 1528 3113 1165
0280 7999 7080 1573
①选取法是从随机数表第1行的第6列和第7列开始从左往右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号是多少
②选取法是从随机数表第1行的第5列和第6列开始从左往右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号是多少
③选取法是指定从第2行第11列开始,从左往右抽取两个数字,抽取6个编号,则抽到的第6个编号是多少
④选取法是指定从第1行第8列开始,从左往右隔两个数字抽取两个数字,抽取6个编号,则抽到的第4个编号是多少
【思维导引】根据题设的抽取式,结合随机数表依次写出所得编号.
【解析】①从随机数表的第1行的第6列和第7列开始从左往右依次选取两个数字,得到的在00~29内的两位数依次是09,09,02,01,19,02,11,…,其中09和02各重复了一次,去掉重复的数后,前5个编号是09,02,01,19,11,则选出来的第5个个体的编号为11.
②从随机数表的第1行的第5列和第6列开始从左往右依次选取两个数字,得到的在00~29内的两位数依次是26,19,03,23,20,25,…,前5个编号是26,19,03,23,20,则选出来的第5个个体的编号为20.
③自第2行第11列开始,第一个编号为07,去除编号不在00~29的号码和重复号码,依次抽取的6个编号为:07,15,28,13,11,02,则抽到的第6个编号为02.
④自第1行第8列开始,第一个编号为95,编号不是00~29的号码,隔两个数字后对应第二个编号为96,编号也不是00~29的号码,再隔两个数字后对应第三个编号为09,编号是00~29的号码,按照此规律可抽取的在00~29内且不重复的编号依次为09,19,07,01,则抽到的第4个编号为01.
【类题通法】
利用随机数法抽取个体三注意
(1)定起点:事先应确定以表中的哪个数(哪行哪列)作为起点.
(2)定向:读数的向(向左、向右、向上或向下都可以).
(3)读数规则:读数时结合编号的特点进行读取,编号为两位数则两位两位地读取,编号为三位数则三位三位地读取,如果出现重复则跳过,直到取满所需的样本个体数.
【定向训练】
1.(2025·南昌高一检测)某工厂利用随机数表对生产的40个零件进行抽样测试,先将40个零件进行编号,编号分别为01,02,…,40,从中抽取8个样本,下面提供随机数表的第1行到第3行:
0347 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6202
9774 2467 6242 8114 5720 4253 3237 3214
1676 0227 6656 5026 7107 3290 7978 5336
若从表中第2行第7列开始向右依次读取数据,则得到的第5个样本编号是( )
A.37 B.32 C.14 D.16
√
【解析】选D.依题意从第2行第7列开始的数为67(舍去),62(舍去),42(舍去),81(舍去),14,57(舍去),20,42(舍去),53(舍去),32,37,32(舍去),14(舍去),16,则满足条件的5个样本编号为14,20,32,37,16,则第5个样本编号为16.
2.为了检验某种产品的质量,决定从10 000件产品中抽取100件进行检查,选用
抽样更合适.
【解析】由于总体容量与样本量都较大,选用抽签法,制签、抽取都比较困难,应选用随机数法.
答案:随机数法
探究点四 样本平均数与总体平均数
【典例4】某些商家为消费者提供免费塑料袋,使购物消费更加便快捷,但是我们更应关注它对环境的潜在危害.为了解某市所有家庭每年丢弃塑料袋个数的情况,统计人员采用了科学的法,随机抽取了200户,对他们某日丢弃塑料袋的个数进行了统计,结果如表:
(1)求当日这200户家庭平均每户丢弃塑料袋的个数;
(2)假设某市现有家庭100万户,据此估计该市所有家庭每年(以365天计算)丢弃塑料袋的
总数.
每户丢弃 塑料袋个数 1 2 3 4 5 6
家庭数/户 15 60 65 35 20 5
【思维导引】利用样本平均数公式求解.
【解析】(1)由题意×(15×1+60×2+65×3+35×4+20×5+5×6)=×600=3.
所以,当日这200户家庭平均每户丢弃3个塑料袋.
(2)3×365×100=109 500(万个).
所以,估计该市所有家庭每年丢弃109 500万个塑料袋.
【类题通法】
求样本的平均数
(1)用平均数公式求即可.
(2)用样本中的平均数去估计总体.
【定向训练】
期中考试以后,班长算出了班40人数学成绩的平均分为M,如果把M当成一个同
学的分数,与原来的40个分数合在一起,算出这41个分数的平均数为N,那么的值为
( )
A. B.1 C. D.2
【思维导引】算出41个分数的平均数,然后作比较计算可得结果.
【解析】选B.因为班40个人数学成绩的平均分为M,把M当成一个同学的分数,
则班中有41名同学共为41M,所以41人的平均分N==M,所以=1.
√
课堂学业达标
1.在以下调查中,适合用面调查的个数是 ( )
①调查一个班级学生的吃早餐情况
②调查某种饮料质量合格情况
③调查某批飞行员的身体健康指标
④调查某个水库中草鱼的所占比例
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选B.①因为一个班级学生的人数不太多,吃早餐情况的面调查也容易操作,所以适合面调查;②某种饮料数量太多,质量合格情况适合抽样调查;③飞行员的职业特点决定了身体健康指标必须面调查;④某个水库中鱼的种类和数量一般都较多,不适合面调查.
√
2.(多选)下列调查中,适宜采用抽样调查的是 ( )
A.调查某市中小学生每天的运动时间
B.某幼儿园中有位小朋友得了手足口病,对此幼儿园中的小朋友进行检查
C.农业科技人员调查今年麦穗的单穗平均质量
D.调查某快餐店中8位店员的生活质量情况
【解析】选AC.因为B选项中要对所有小朋友进行检查,所以采用普查的式;
D选项中共8位店员,总体容量较小,所以采用普查的式;A,C选项中总体容量大,难以做到普查,故采用抽样调查的式.
√
√
3.在对101个人进行一次抽样时,先采用抽签法从中剔除一个人,再在剩余的100人中随机抽取10人,那么下列说法正确的是 ( )
A.这种抽样法对于被剔除的个体是不公平的,因为他失去了被抽到的机会
B.每个人在整个抽样过中被抽到的机会均等,因为每个人被剔除的可能性相等,那么,不被剔除的机会也是均等的
C.由于采用了两步进行抽样,所以无法判断每个人被抽到的可能性是多少
D.每个人被抽到的可能性不相等
【解析】选B.由于第一次剔除时采用抽签法,对每个人来说可能性相等,然后随机抽取10人对每个人的机会也是均等的,所以总的来说每个人的机会都是均等的,被抽到的可能性都是相等的.
√
4.为了了解某市100 000户居民的日用电量,甲用简单随机抽样法从该市抽取100户调查,得到日用电量的平均数为5.2千瓦时,乙用同样的法抽查了300户,得到日用电量平均数为5.5千瓦时,据此推断该市居民日用电量的平均数为 千瓦时.
【解析】由于乙抽取的样本量大于甲的,所以用他的调查结果估计市的平均数较好.
答案:5.5
5.一个总体的60个个体编号为00,01,…,59,现需从中抽取一容量为8的样本,请从利用随机数工具产生的随机数表的倒数第5行(下表为随机数表的最后5行)第11列开始,向右读取,直到取足样本,则抽取样本的号码是 .
95 33 95 22 00 18 74 72 00 18 38 79 58 69 32 81 76 80 26 92 82 80 84 25 39
90 84 60 79 80 24 36 59 87 38 82 07 53 89 35 96 35 23 79 18 05 98 90 07 35
46 40 62 98 80 54 97 20 56 95 15 74 80 08 32 16 46 70 50 80 67 72 16 42 79
20 31 89 03 43 38 46 82 68 72 32 14 82 99 70 80 60 47 18 97 63 49 30 21 30
71 59 73 05 50 08 22 23 71 77 91 01 93 20 49 82 96 59 26 94 66 39 67 98 60
【解析】所取的号码要在00~59且重复出现的号码仅取一次.
答案:18,00,38,58,32,26,25,39
