9.2 用样本估计总体
9.2.1 总体取值规律的估计
9.2.2 总体百分位数的估计
素养目标 思维导图
1.结合实例,能用样本估计总体的取值规律.(数据分析) 2.结合实例,能用样本估计百分位数,理解百分位数的统计含义.(数学抽象)
课前自主学习
问题1.某市通过狠抓供种服务、项目带动、新技术推广,小麦大丰收,田间调查发现,每穗平均粒数有了明显增加,下面是某块麦田中抽取的45穗麦子的每穗粒数.
48,65,52,56,46,54,49,51,47,55,55,54,42,57,61,57,57,58,57,61,54,68,51,49,64,50,51,56,55,51,54,51,60,62,43,55,56,61,52,69,64,46,54,48,70
请根据上述材料回答下列问题:
(1)上述45个数据中最大值与最小值的差是多少
提示:70-42=28.
(2)若将上述数据分成下列几组,
[41.5,45.5),[45.5,49.5),[49.5,53.5),[53.5,57.5),[57.5,61.5),[61.5,65.5),[65.5,69.5),[69.5,73.5],
各组中数据个数是多少
提示:各组数据的个数依次为2,7,8,16,5,4,2,1.
(3)画频率分布直图时,数据的分组,组数、组距和极差有何关系 组数一般如何确定
提示:组数k=,如果k∈Z,则组数为k,否则组数为大于k的最小整数.样本容量越大,分的组数越多.当样本容量不超过100时,常分为5~12组.
问题2.如何求一组数据的中位数 中位数在总体中百分位数是多少
提示:将一组数据从小到大排列后,位于最中间的数(或者中间两数的平均数).中位数在总体中是50%分位数.
【核心概念】
1.频率分布表与频率分布直图
一般地,频数指某组中包含的个体数,各组频数和=样本容量;频率=,各组频率和等于1.
在频率分布直图中,纵轴表示,数据落在各小组内的频率用小长形的面积来表示,各小长形的面积的总和等于 1 .
2.百分位数
(1)定义
一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值,且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值.
(2)四分位数
第25百分位数,第50百分位数和第75百分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份,因此称为四分位数.
课堂合作探究
探究点一 频率分布直图
【典例1】调查某校高一年级男生的身高,随机抽取40名高一男生,实测身高数据(单位:cm)如下:
171 163 163 166 166 168 168 160 168 165
171 169 167 169 151 168 170 168 160 174
165 168 174 159 167 156 157 164 169 180
176 157 162 161 158 164 163 163 167 161
(1)作出频率分布表;
(2)画出频率分布直图.
【思维导引】找出最值,计算极差,确定组距与组数,列表、画图.
【解析】(1)最低身高151,最高身高180,它们的差是180-151=29,即极差为29;确定组距为3,组数为10,列表如下:
分组 频数 频率
[150.5,153.5) 1 0.025
[153.5,156.5) 1 0.025
[156.5,159.5) 4 0.1
[159.5,162.5) 5 0.125
[162.5,165.5) 8 0.20
[165.5,168.5) 11 0.275
[168.5,171.5) 6 0.150
[171.5,174.5) 2 0.050
[174.5,177.5) 1 0.025
[177.5,180.5] 1 0.025
合计 40 1.0
(2)频率分布直图如图所示:
【类题通法】
绘制频率分布直图的基本步骤
第一步,求极差(即一组数据中最大值与最小值的差).
第二步,确定组距与组数.
组距是指每个小组的两个端点之间的距离.极差、组距、组数有如下关系:
①若为整数,则=组数;
②若不为整数,则[]+1=组数.([x]表示不大于x的最大整数).
第三步,分组,通常对组内数值所在区间取左闭右开区间,最后一组取闭区间.
第四步,统计各组数据的频数,计算频率,填入表格中,完成频率分布表.
第五步,画频率分布直图:画图时,应以横轴表示分组,纵轴表示频率/组距.其相应组距上的频率等于该组上的小长形的面积.
提醒:(1)解决此类问题的关键是绘制频率分布表,在绘制频率分布表时要体现分组的合理性,具体问题具体分析,体会组数太多或太少对处理问题的影响.
(2)如果极差不利于分组(如不能被组数整除),可适当增大极差,如在左右两端各增加适当范围(尽量使两端增加的量相同).
【定向训练】
1.如图所示为某企业员工年龄(岁)的频率分布直图,从左到右依次为第一组、第二组、…、第五组,若第五组的员工有80人,则第二组的员工人数为 ( )
A.140 B.240 C.280 D.320
【解析】选C.由已知得5(a+0.06+0.04+0.02+0.01)=1,所以a=0.07,因为第五组的员工人数为80,所以第二组的员工人数为80×=280.
2.某医学研究团队为了研究一种降血脂新药的有效性,给50名患者服用该药,一周后测得低密度脂蛋白的含量(单位:mmol/L)如下:
2.80 3.54 3.02 3.43 3.69 2.46 3.03 3.06 3.35 3.57
3.72 4.36 2.56 4.11 2.81 2.77 5.32 3.34 3.68 3.95
2.98 3.63 3.65 3.22 3.90 3.97 3.86 3.93 3.17 3.72
3.36 3.56 3.80 4.57 5.02 3.31 3.52 3.27 3.98 4.72
3.03 4.09 2.14 2.06 3.00 2.75 3.84 2.16 3.09 2.81
(1)制作频率分布表;
(2)绘制频率分布直图.
【解析】(1)由题目数据可知极差为5.32-2.06=3.26,组距为0.5,所以分7组较好,即[2.06,2.56),[2.56,3.06),[3.06,3.56),[3.56,4.06),[4.06,4.56),[4.56,5.06),[5.06,5.56],
频率分布表如下:
分组 频数 频率
[2.06,2.56) 4 0.08
[2.56,3.06) 11 0.22
[3.06,3.56) 12 0.24
[3.56,4.06) 16 0.32
[4.06,4.56) 3 0.06
[4.56,5.06) 3 0.06
[5.06,5.56] 1 0.02
合计 50 1.00
(2)根据(1)的频率分布表可以画出频率分布直图如图所示:
探究点二 扇形图、条形图与折线图
【典例2】(1)为了树立和践行绿水青山就是金山银山的理念,A市某高中体教师于2024年3月12日开展植树活动,购买柳树、银杏、梧桐、樟树四种树苗共计1 200棵,比例如图所示.青年教师、中年教师、老年教师报名参加植树活动的人数之比为5∶3∶2,若每种树苗均按各年龄段报名人数的比例进行分配,则中年教师应分得梧桐的数量为( )
A.60棵 B.100棵 C.144棵 D.160棵
【思维导引】由已知比例求出中年教师应分得树苗的数量,再由饼图中梧桐占比求中年教师应分得梧桐的数量即可.
【解析】选C.由题意,中年教师应分得树苗的数量为1 200×=360(棵),所以中年教师应分得梧桐的数量为360×40%=144(棵).
(2)如图为某地区2011年至2023年地财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额折线图,根据该折线图可知,该地区2011年至2023年 ( )
A.财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势
B.财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额年增长速度相同
C.财政预算内收入年平均增长量高于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量
D.城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入差额逐年增大
【思维导引】根据折线图,观察图象的变化情况,逐项分析即可得出答案.
【解析】选D.由题图可以看出前五年财政预算内收入增长趋势不明显,无法确定,故A错误;题图中两曲线间隔越来越大,说明年增长速度不同,差额逐年增大,故B错误,D正确;又从题图中可以看出财政预算内收入年平均增长量应该小于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量,故C错误.
(3)某校为了了解学生的睡眠情况,随机调查了50名学生,得到他们在某一天各自的睡眠时间的数据,结果用如图所示的条形图表示.根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的睡眠时间为 h.
【思维导引】求出50名学生的总睡眠时间,然后除以人数即可求出平均睡眠时间;也可以直接根据条形图求各自睡眠时间与相应频率乘积的和.
【解析】法一:要确定这50名学生的平均睡眠时间,就必须计算其总睡眠时间.总睡眠时间为5.5×0.1×50+6×0.3×50+6.5×0.4×50+7×0.1×50+7.5×0.1×50=27.5+90+130+35+37.5=320(h).故平均睡眠时间为320÷50=6.4(h).
法二:根据题图得平均每人的睡眠时间为5.5×0.1+6×0.3+6.5×0.4+7×0.1+7.5×0.1=6.4(h).
答案:6.4
【类题通法】
(1)扇形图:是用整个圆面积表示总数(100%),用圆内的扇形面积表示各个部分所占总数的百分数.
(2)条形图:是用一个单位长度表示一定的数量或频率,根据数量的多少或频率的大小画成长短不同的矩形条,条形图能清楚地表示出每个项目的具体数目或频率.
(3)折线统计图:从折线的上升、下降可分析出统计数量的增减变化情况;从陡峭度上,可分析出数据间相对增长、下降的幅度.
提醒:(1)不同总量下的扇形统计图,其不同的百分比不可以作为比较的依据.(2)在画折线图时,要注意明确横轴、纵轴的实际含义.
【定向训练】
为积极推进国家乡村振兴战,某示范村不断自主创新,拓宽村民增收渠道,近年来取得了显著成效.据悉该村2023年经济总收入是2022年的2倍,为了更好地了解该村经济收入变化情况,统计了该村两年的经济收入构成比例,得到如图所示的条形图和饼图,则以下说法错误的是 ( )
A.2023年种植收入和2022年种植收入一样多
B.2023年养殖收入与第三产业收入之和比2022年的年总收入还多
C.2023年外出务工收入是2022年外出务工收入的
D.2023年其他收入比2022年其他收入的2倍还多
【解析】选C.设2022年总收入为m,则2023年总收入为2m,对于A,2022年种植收入为0.4m,2023年种植收入为0.2×2m=0.4m,A正确;
对于B,2023年养殖收入和第三产业收入之和为0.35×2m+0.2×2m=1.1m,B正确;
对于C,2022年外出务工收入为0.15m,2023年外出务工收入为0.05×2m=0.1m,是2022年外出务工收入的,C不正确;
对于D,2022年其他收入为0.15m,2023年其他收入为0.2×2m=0.4m,由于0.4m>2×0.15m,故2023年其他收入比2022年其他收入的2倍还多,D正确.
探究点三 总体百分位数的估计
【典例3】在某次高三调研考试时,某学习小组对本组6名同学的考试成绩进行统计,其中数学试卷上有一道满分为13分的解答题,6名同学的得分按从低到高的顺序排列为4,5,6,m,10,12,若该组数据的中位数是这组数据的极差,则该组数据的第60百分位数是 ( )
A.6 B.7 C.9 D.10
【思维导引】根据中位数是极差求出m的值,再计算第60百分位数即可.
【解析】选D.已知数据4,5,6,m,10,12,数据个数n=6为偶数,所以中位数是中间两个数6和m的平均数,即中位数为.
极差是最大值12减去最小值4,即极差为12-4=8.
因为该组数据的中位数是这组数据的极差,所以=8,解得m=10.
此时这组数据为4,5,6,10,10,12.
计算6×60%=3.6,所以第60百分位数是第4个数,即10.
【类题通法】
求p%分位数的步骤
第一步:按从小到大排列原始数据;
第二步:计算i=n×p%;
第三步:若i不是整数,而大于i的比邻整数为j,则第p百分位数为第j项数据;若i是整数,则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.
【定向训练】
某人用手机记录了他连续10周每周的走路里(单位:千米),其数据分别为12,15,9,8,14,11,17,10,7,16,则这组数据的60%分位数是 ( )
A.7 B.12 C.13 D.14
【解析】选C.将这组数据按从小到大的顺序排列为7,8,9,10,11,12,14,15,16,17.
因为10×60%=6,则这组数据的60%分位数是这组数据中的第6个和第7个数据的平均数,即=13.
课堂学业达标
1.200辆汽车经过某一雷达地区,速度的频率分布直图如图所示,则速度超过60 km/h(含60 km/h)的汽车数量为 ( )
A.65辆 B.76辆 C.88辆 D.95辆
【解析】选B.由频率分布直图可得数据落在[60,80]内的频率是(0.028+0.010)×10=0.38,故速度超过60 km/h(含60 km/h)的汽车数量为200×0.38=76(辆).
2.在频率分布直图中,中位数两侧的面积比为 ( )
A.1∶3 B.2∶1
C.1∶1 D.不确定
【解析】选C.因为频率分布直图中面积是频率,中位数左右两边的频数是相等的,所以频数一定的情况下,频数同时除以组距也是相等的,即频率是相等的,所以面积比为1∶1.
3.已知一个容量是40的样本,把它分成六组,第一组到第四组的频数分别是5,6,7,10,第五组的频率是0.2,则第六组的频率为 .
【解析】频数=频率×样本容量,因为第五组的频率是0.2,样本容量是40,所以频数是0.2×40=8,所以第六组的频数是40-(5+6+7+10+8)=4,频率是=0.1.
答案:0.1
4.容量为60的样本的频率分布直图共有n(n>1)个小矩形,若其中一个小矩形的面积等于其余n-1个小矩形面积和的,则这个小矩形对应的频数是 .
【解析】设其余n-1个小矩形面积和为x,由题意得x+x=1,所以x=.所以这个小矩形对应的频数为×60=10.
答案:10
5.某家大型超市统计了八次节假日的客流量(单位:百人)分别为29,30,39,25,37,41,42,32,那么这组数据的第75百分位数为 .
【解析】将这组数据从小到大排序为:25,29,30,32,37,39,41,42,因为8×75%=6,则这组数据的第75百分位数为=40.
答案:40
课时巩固请使用 课时素养检测 三十六(共37张PPT)
课前自主学习
课堂合作探究
课堂学业达标
9.2 用样本估计总体
9.2.1 总体取值规律的估计
9.2.2 总体百分位数的估计
素养目标 思维导图
1.结合实例,能用样本估计总体的取值规 律.(数据分析) 2.结合实例,能用样本估计百分位数,理解 百分位数的统计含义.(数学抽象)
课前自主学习
问题1.某市通过狠抓供种服务、项目带动、新技术推广,小麦大丰收,田间调查发现,每穗平均粒数有了明显增加,下面是某块麦田中抽取的45穗麦子的每穗粒数.
48,65,52,56,46,54,49,51,47,55,55,54,42,57,61,57,57,58,57,61,54,68,51,49,64,50,51,56,55,51,54,51,60,62,43,55,56,61,52,69,64,46,54,48,70
请根据上述材料回答下列问题:
(1)上述45个数据中最大值与最小值的差是多少
提示:70-42=28.
(2)若将上述数据分成下列几组,
[41.5,45.5),[45.5,49.5),[49.5,53.5),[53.5,57.5),[57.5,61.5),[61.5,65.5),[65.5,69.5),
[69.5,73.5],各组中数据个数是多少
提示:各组数据的个数依次为2,7,8,16,5,4,2,1.
(3)画频率分布直图时,数据的分组,组数、组距和极差有何关系 组数一般如何确
定
提示:组数k=,如果k∈Z,则组数为k,否则组数为大于k的最小整数.样本容量越
大,分的组数越多.当样本容量不超过100时,常分为5~12组.
问题2.如何求一组数据的中位数 中位数在总体中百分位数是多少
提示:将一组数据从小到大排列后,位于最中间的数(或者中间两数的平均数).中位数在总体中是50%分位数.
【核心概念】
1.频率分布表与频率分布直图
一般地,频数指某组中包含的个体数,各组频数和=样本容量;频率=,各组
频率和等于1.
在频率分布直图中,纵轴表示,数据落在各小组内的频率用_____________
___来表示,各小长形的面积的总和等于______.
小长形的面
积
1
2.百分位数
(1)定义
一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有____的
数据小于或等于这个值,且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值.
(2)四分位数
第25百分位数,第50百分位数和第75百分位数把一组由小到大排列后的数据分成
四等份,因此称为四分位数.
p%
课堂合作探究
探究点一 频率分布直图
【典例1】调查某校高一年级男生的身高,随机抽取40名高一男生,实测身高数据(单位:cm)如下:
171 163 163 166 166 168 168 160 168 165
171 169 167 169 151 168 170 168 160 174
165 168 174 159 167 156 157 164 169 180
176 157 162 161 158 164 163 163 167 161
(1)作出频率分布表;
(2)画出频率分布直图.
【思维导引】找出最值,计算极差,确定组距与组数,列表、画图.
【解析】(1)最低身高151,最高身高180,它们的差是180-151=29,即极差为29;确定组距为3,组数为10,列表如下:
分组 频数 频率
[150.5,153.5) 1 0.025
[153.5,156.5) 1 0.025
[156.5,159.5) 4 0.1
[159.5,162.5) 5 0.125
[162.5,165.5) 8 0.20
[165.5,168.5) 11 0.275
[168.5,171.5) 6 0.150
[171.5,174.5) 2 0.050
[174.5,177.5) 1 0.025
[177.5,180.5] 1 0.025
合计 40 1.0
(2)频率分布直图如图所示:
【类题通法】
绘制频率分布直图的基本步骤
第一步,求极差(即一组数据中最大值与最小值的差).
第二步,确定组距与组数.
组距是指每个小组的两个端点之间的距离.极差、组距、组数有如下关系:
①若为整数,则=组数;
②若不为整数,则[]+1=组数.([x]表示不大于x的最大整数).
第三步,分组,通常对组内数值所在区间取左闭右开区间,最后一组取闭区间.
第四步,统计各组数据的频数,计算频率,填入表格中,完成频率分布表.
第五步,画频率分布直图:画图时,应以横轴表示分组,纵轴表示频率/组距.其相应组距上的频率等于该组上的小长形的面积.
提醒:(1)解决此类问题的关键是绘制频率分布表,在绘制频率分布表时要体现分组的合理性,具体问题具体分析,体会组数太多或太少对处理问题的影响.
(2)如果极差不利于分组(如不能被组数整除),可适当增大极差,如在左右两端各增加适当范围(尽量使两端增加的量相同).
【定向训练】
1.如图所示为某企业员工年龄(岁)的频率分布直图,从左到右依次为第一组、第二组、…、第五组,若第五组的员工有80人,则第二组的员工人数为( )
A.140 B.240 C.280 D.320
【解析】选C.由已知得5(a+0.06+0.04+0.02+0.01)=1,所以a=0.07,因为第五组的员工人数为80,所以第二组的员工人数为80×=280.
√
2.某医学研究团队为了研究一种降血脂新药的有效性,给50名患者服用该药,一周后测得低密度脂蛋白的含量(单位:mmol/L)如下:
2.80 3.54 3.02 3.43 3.69 2.46 3.03 3.06 3.35 3.57
3.72 4.36 2.56 4.11 2.81 2.77 5.32 3.34 3.68 3.95
2.98 3.63 3.65 3.22 3.90 3.97 3.86 3.93 3.17 3.72
3.36 3.56 3.80 4.57 5.02 3.31 3.52 3.27 3.98 4.72
3.03 4.09 2.14 2.06 3.00 2.75 3.84 2.16 3.09 2.81
(1)制作频率分布表;
(2)绘制频率分布直图.
【解析】(1)由题目数据可知极差为5.32-2.06=3.26,组距为0.5,所以分7组较好,即[2.06,2.56),[2.56,3.06),[3.06,3.56),[3.56,4.06),[4.06,4.56),[4.56,5.06),[5.06,5.56],
频率分布表如下:
分组 频数 频率
[2.06,2.56) 4 0.08
[2.56,3.06) 11 0.22
[3.06,3.56) 12 0.24
[3.56,4.06) 16 0.32
[4.06,4.56) 3 0.06
[4.56,5.06) 3 0.06
[5.06,5.56] 1 0.02
合计 50 1.00
(2)根据(1)的频率分布表可以画出频率分布直图如图所示:
探究点二 扇形图、条形图与折线图
【典例2】(1)为了树立和践行绿水青山就是金山银山的理念,A市某高中体教师于2024年3月12日开展植树活动,购买柳树、银杏、梧桐、樟树四种树苗共计1 200棵,比例如图所示.青年教师、中年教师、老年教师报名参加植树活动的人数之比为5∶3∶2,若每种树苗均按各年龄段报名人数的比例进行分配,则中年教师应分得梧桐的数量为( )
A.60棵 B.100棵
C.144棵 D.160棵
√
【思维导引】由已知比例求出中年教师应分得树苗的数量,再由饼图中梧桐占比求中年教师应分得梧桐的数量即可.
【解析】选C.由题意,中年教师应分得树苗的数量为1 200×=360(棵),所以中年教师应分得梧桐的数量为360×40%=144(棵).
(2)如图为某地区2011年至2023年地财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额折线图,根据该折线图可知,该地区2011年至2023年 ( )
A.财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均呈增长
趋势
B.财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额年增长速
度相同
C.财政预算内收入年平均增长量高于城乡居民储蓄年
末余额年平均增长量
D.城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入差额逐年增大
√
【思维导引】根据折线图,观察图象的变化情况,逐项分析即可得出答案.
【解析】选D.由题图可以看出前五年财政预算内收入增长趋势不明显,无法确定,故A错误;题图中两曲线间隔越来越大,说明年增长速度不同,差额逐年增大,故B错误,D正确;又从题图中可以看出财政预算内收入年平均增长量应该小于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量,故C错误.
(3)某校为了了解学生的睡眠情况,随机调查了50名学生,得到他们在某一天各自的睡眠时间的数据,结果用如图所示的条形图表示.根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的睡眠时间为 h.
【思维导引】求出50名学生的总睡眠时间,然后除以人数即可求出平均睡眠时间;也可以直接根据条形图求各自睡眠时间与相应频率乘积的和.
【解析】法一:要确定这50名学生的平均睡眠时间,就必须计算其总睡眠时间.
总睡眠时间为
5.5×0.1×50+6×0.3×50+6.5×0.4×50+7×0.1×50+7.5×0.1×50=27.5+90+130+35+37.5=320(h).故平均睡眠时间为320÷50=6.4(h).
法二:根据题图得平均每人的睡眠时间为
5.5×0.1+6×0.3+6.5×0.4+7×0.1+7.5×0.1=6.4(h).
答案:6.4
【类题通法】
(1)扇形图:是用整个圆面积表示总数(100%),用圆内的扇形面积表示各个部分所占总数的百分数.
(2)条形图:是用一个单位长度表示一定的数量或频率,根据数量的多少或频率的大小画成长短不同的矩形条,条形图能清楚地表示出每个项目的具体数目或频率.
(3)折线统计图:从折线的上升、下降可分析出统计数量的增减变化情况;从陡峭度上,可分析出数据间相对增长、下降的幅度.
提醒:(1)不同总量下的扇形统计图,其不同的百分比不可以作为比较的依据.(2)在画折线图时,要注意明确横轴、纵轴的实际含义.
【定向训练】
为积极推进国家乡村振兴战,某示范村不断自主创新,拓宽村民增收渠道,近年来取得了
显著成效.据悉该村2023年经济总收入是2022年的2倍,为了更好地了解该村经济收入变
化情况,统计了该村两年的经济收入构成比例,得到如图所示的条形图和饼图,则以下说法
错误的是( )
A.2023年种植收入和2022年种植收入一样多
B.2023年养殖收入与第三产业收入之和比2022年的
年总收入还多
C.2023年外出务工收入是2022年外出务工收入的
D.2023年其他收入比2022年其他收入的2倍还多
√
【解析】选C.设2022年总收入为m,则2023年总收入为2m,对于A,2022年种植收入
为0.4m,2023年种植收入为0.2×2m=0.4m,A正确;
对于B,2023年养殖收入和第三产业收入之和为0.35×2m+0.2×2m=1.1m,B正确;
对于C,2022年外出务工收入为0.15m,2023年外出务工收入为0.05×2m=0.1m,
是2022年外出务工收入的,C不正确;
对于D,2022年其他收入为0.15m,2023年其他收入为0.2×2m=0.4m,
由于0.4m>2×0.15m,故2023年其他收入比2022年其他收入的2倍还多,D正确.
探究点三 总体百分位数的估计
【典例3】在某次高三调研考试时,某学习小组对本组6名同学的考试成绩进行统计,其中数学试卷上有一道满分为13分的解答题,6名同学的得分按从低到高的顺序排列为4,5,6,m,10,12,若该组数据的中位数是这组数据的极差,则该组数据的第60百分位数是( )
A.6 B.7 C.9 D.10
【思维导引】根据中位数是极差求出m的值,再计算第60百分位数即可.
√
【解析】选D.已知数据4,5,6,m,10,12,数据个数n=6为偶数,所以中位数是中间两个数6和m的平均数,即中位数为.
极差是最大值12减去最小值4,即极差为12-4=8.
因为该组数据的中位数是这组数据的极差,所以=8,解得m=10.
此时这组数据为4,5,6,10,10,12.
计算6×60%=3.6,所以第60百分位数是第4个数,即10.
【类题通法】
求p%分位数的步骤
第一步:按从小到大排列原始数据;
第二步:计算i=n×p%;
第三步:若i不是整数,而大于i的比邻整数为j,则第p百分位数为第j项数据;若i是整数,则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.
【定向训练】
某人用手机记录了他连续10周每周的走路里(单位:千米),其数据分别为
12,15,9,8,14,11,17,10,7,16,则这组数据的60%分位数是( )
A.7 B.12 C.13 D.14
【解析】选C.将这组数据按从小到大的顺序排列为7,8,9,10,11,12,14,15,16,17.
因为10×60%=6,则这组数据的60%分位数是这组数据中的第6个和第7个数据的平
均数,即=13.
√
课堂学业达标
1.200辆汽车经过某一雷达地区,速度的频率分布直图如图所示,则速度超过
60 km/h(含60 km/h)的汽车数量为 ( )
A.65辆 B.76辆 C.88辆 D.95辆
【解析】选B.由频率分布直图可得数据落在[60,80]内的频率是
(0.028+0.010)×10=0.38,故速度超过60 km/h(含60 km/h)的汽车数量为
200×0.38=76(辆).
√
2.在频率分布直图中,中位数两侧的面积比为 ( )
A.1∶3 B.2∶1
C.1∶1 D.不确定
【解析】选C.因为频率分布直图中面积是频率,中位数左右两边的频数是相等的,所以频数一定的情况下,频数同时除以组距也是相等的,即频率是相等的,所以面积比为1∶1.
√
3.已知一个容量是40的样本,把它分成六组,第一组到第四组的频数分别是5,6,7,10,第五组的频率是0.2,则第六组的频率为 .
【解析】频数=频率×样本容量,因为第五组的频率是0.2,样本容量是40,所以频数是0.2×40=8,所以第六组的频数是40-(5+6+7+10+8)=4,频率是=0.1.
答案:0.1
4.容量为60的样本的频率分布直图共有n(n>1)个小矩形,若其中一个小矩形的面积等于其余n-1个小矩形面积和的,则这个小矩形对应的频数是 .
【解析】设其余n-1个小矩形面积和为x,由题意得x+x=1,所以x=.所以这个小矩形对应的频数为×60=10.
答案:10
5.某家大型超市统计了八次节假日的客流量(单位:百人)分别为
29,30,39,25,37,41,42,32,那么这组数据的第75百分位数为 .
【解析】将这组数据从小到大排序为:25,29,30,32,37,39,41,42,因为8×75%=6,
则这组数据的第75百分位数为=40.
答案:40
