(共29张PPT)
课前自主学习
课堂合作探究
课堂学业达标
9.2.3 总体集中趋势的估计
9.2.4 总体离散度的估计
素养目标 思维导图
1.结合实例,能用样本估计总体的离散 度参数(标准差、差、极差),理解离散 度参数的统计含义.(数学抽象) 2.结合实例,能用样本估计总体的取值规 律.(数据分析)
课前自主学习
问题1.回顾初中学习的众数、中位数、平均数,思考下列问题:
(1)众数是一组数据中出现次数最多的数,在频率分布直图中,众数应出现在哪个位置
提示:在频率分布直图中,众数应该出现在最大的那一组中,它是最高矩形底边中点的横坐标.
(2)在频率分布直图中,中位数应出现在哪个位置
提示:在频率分布直图中,中位数左边和右边直图的面积应该相等.
(3)在频率分布直图中,平均数是如何估计的
提示:在频率分布直图中,平均数的估计值等于频率分布直图中每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和.
问题2.通过预习教材,回答下列问题:
(1)如何考察样本数据的分散度
提示:最常用的统计量是样本数据的差与标准差.
(2)样本数据的分散度是计算样本数据的什么值
提示:样本数据的分散度是样本数据到平均数的平均距离.
【核心概念】
1.对众数、中位数、平均数的理解
(1)众数:在一组数据中,出现次数_____的数据叫做这一组数据的众数.
(2)中位数:将一组数据按_____依次排列,把处在_______位置的一个数据(或两个数
据的平均数)叫做这组数据的中位数.
(3)平均数:假设样本数据是x1,x2,…,xn,表示这组数据的平均数,
则=.
最多
大小
最中间
2.对标准差、差的理解
(1)标准差
标准差是样本数据到平均数的一种_________,一般用s表示,
s=.
(2)差
标准差的平s2叫做差.
s2=.
平均距离
[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]
3.差的意义
差刻画了数据的_________或_________,差越大,数据的离散度越___;
差越小,数据的离散度越___.
离散度
波动幅度
大
小
课堂合作探究
探究点一 众数、中位数、平均数的应用
【典例1】某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练,两群市民的年龄如下(单位:岁):
甲群 13,13,14,15,15,15,15,16,17,17;
乙群 54,3,4,4,5,5,6,6,6,57.
(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁 其中哪个统计量能较好反映甲群市民的年龄特征
(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁 其中哪个统计量能较好反映乙群市民的年龄特征
【思维导引】结合平均数、中位数和众数的概念计算分析.
【解析】(1)甲群市民年龄的平均数为=15(岁),
中位数为15岁,众数为15岁.
平均数、中位数和众数相等,因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征.
(2)乙群市民年龄的平均数为=15(岁),
中位数为5.5岁,众数为6岁.
由于乙群市民大多数是儿童,所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征,而平均数的可靠性较差.
【类题通法】
中位数的求法
(1)当数据个数为奇数时,中位数是按大小顺序排列的中间那个数.
(2)当数据个数为偶数时,中位数为按大小顺序排列的最中间的两个数的平均数.
提醒:数据特征的分析
如果样本平均数大于样本中位数,说明数据中存在许多较大的极端值;反之说明数据中存在许多较小的极端值.在实际应用中,如果同时知道样本中位数和样本平均数,可以使我们了解样本数据中极端数据的信息.所以,应当深刻理解和把握平均数、中位数、众数在反映样本数据上的特点,并结合实际情况,灵活应用.
【定向训练】
已知甲、乙两支篮球队各6名队员某场比赛的得分数据(单位:分)从小到大排列如下:甲队:7,12,12,20,20+x,31;乙队:8,9,14,15+y,25,28.这两组数据的中位数相等,且平均数也相等,则x和y的值分别为( )
A.2和3 B.0和2
C.0和3 D.2和4
【解析】选C.甲队的中位数为=16,故=16,解得y=3,
乙队的平均数为=17,
故=17,解得x=0.
√
探究点二 数据差、标准差的应用
【典例2】某班20位女同学平均分为甲、乙两组,她们的美学鉴赏课考试成绩如下
(单位:分):
甲组:65,90,85,75,65,70,75,90,95,80
乙组:85,95,75,70,85,80,85,65,90,85
(1)试分别计算两组数据的极差和差;
(2)试根据(1)中的计算结果,判断哪一组的成绩较稳定.
【思维导引】(1)根据公式直接求极差、平均数、差即可;
(2)极差相同,比较差,差越小,越稳定.
【解析】(1)甲组最高分为95分,最低分为65分,极差为95-65=30,
平均数为=×(65+90+85+75+65+70+75+90+95+80)=79,
差为
=×[(65-79)2+(90-79)2+(85-79)2+(75-79)2+(65-79)2+(70-79)2+(75-79)2+(90-79)2+
(95-79)2+(80-79)2]=104,乙组最高分为95分,最低分为65分,极差为95-65=30,
平均数为=×(85+95+75+70+85+80+85+65+90+85)=81.5,
差为=×[(85-81.5)2+(95-81.5)2+(75-81.5)2+(70-81.5)2+(85-81.5)2
+(80-81.5)2+(85-81.5)2+(65-81.5)2+(90-81.5)2+(85-81.5)2]=75.25.
(2)由于甲、乙两组数据极差相同,但乙组的差小于甲组的差,因此乙组的成绩较稳定.
【类题通法】
计算标准差的步骤
第一步:算出样本数据的平均数;
第二步:算出每个样本数据与样本平均数的差xi-(i=1,2,…,n);
第三步:算出(xi-)2(i=1,2,…,n);
第四步:算出(xi-)2(i=1,2,…,n)这n个数的平均数,即为样本差s2;
第五步:算出差的算术平根,即为样本标准差s.
【定向训练】
若甲、乙两台机床同时加工直径为100 mm的零件,为了检验产品的质量,从产品中随机抽取6件进行测量,测得数据如下:(单位:mm)
甲:99,100,100,98,100,103;
乙:99,100,102,99,100,100.
通过计算,请你说明哪一台机床加工的零件更符合要求.
【解析】==100,
==100,
=×[(99-100)2+3×(100-100)2+(98-100)2+(103-100)2]=,
=×[2×(99-100)2+3×(100-100)2+(102-100)2]=1,>,说明甲机床加工的零件波动比较大.
故乙机床加工的零件更符合要求.
探究点三 统计图表的数字特征
【典例3】(一题多问)
《国家学生体质健康标准》是国家学校教育工作的基础性指导文件和教育质量基本标
准,它适用于日制普通小学、初中、普通高中、中等职业学校、普通高等学校的学生.
某高校组织4 000名大一新生进行体质健康测试,现抽查200名大一新生的体测成绩,得到
如图所示的频率分布直图,其中分组区间为
[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100].依据该直图解决下列问题:
(1)由该直图估计该样本的众数是多少
(2)由该直图估计该样本的均值是多少
(3)由该直图估计该样本的第50百分位数是多少
(4)若测试成绩达到85分可参加评奖,则有资格参加评奖的大一新生约为多少人
【问题解读】根据频率分布直图,结合频率的几何意义逐一可求解.
【解析】(1)由频率分布直图可得,最高小矩形为[85,90),所以可估计该样本的众
数是=87.5;
(2)由频率分布直图,可估计该样本的均值是
0.020×5×72.5+0.030×5×77.5+0.040×5×82.5+0.050×5×87.5+0.035×5×92.5+
0.025×5×97.5=85.625;
(3)由频率分布直图可得,成绩在[70,85)的频率为
0.020×5+0.030×5+0.040×5=0.45,
在[70,90)之间的频率为0.020×5+0.030×5+0.040×5+0.050×5=0.7,
所以可估计该样本的第50百分位数在[85,90)内.
设第50百分位数为x,则由0.45+×0.25=0.5可得,x=86;
(4)由频率分布直图可得,测试成绩达到85分的频率为
0.050×5+0.035×5+0.025×5=0.55,所以有资格参加评奖的大一新生约为
4 000×0.55=2 200(人).
【类题通法】
利用频率分布直图求数字特征的法
(1)众数是最高矩形的底边中点的横坐标.
(2)中位数左右两侧直图的面积相等.
(3)平均数等于每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和.
(4)利用直图求众数、中位数、平均数均为近似值,往往与实际数据得出的不一致.但它们能粗估计其众数、中位数和平均数.
【定向训练】
(多选)进入冬季哈尔滨旅游火爆网,如图是2024年1月1日到1月7日哈尔滨冰雪大世界和中央大街日旅游人数的折线图,则( )
A.中央大街日旅游人数的极差是1.2
B.冰雪大世界日旅游人数的中位数是2.3
C.冰雪大世界日旅游人数的平均数比中央大街大
D.冰雪大世界日旅游人数的差比中央大街大
√
√
【解析】选BC.对于A,中央大街日旅游人数的最大值为2.8万,最小值为0.9万,极差为1.9万,故A错误.对于B,冰雪大世界日旅游人数由小到大依次为:1.7,1.8,1.9,2.3,2.4,2.6,2.9,其中位数为2.3,故B正确.对于C,冰雪大世界日旅游人数的平均值为=,中央大街日旅游人数的平均值为=2,
因为>2,故C正确.
对于D,冰雪大世界日旅游人数的差为:
-=-<5.2-2.22=0.36,
中央大街日旅游人数的差为:-4=>0.36,
故冰雪大世界日旅游人数的差比中央大街小,故D错误.
课堂学业达标
1.某篮球队有篮球运动员15人,进行投篮训练,每人投篮100个,命中球数如下表:
则这组数据的中位数和众数分别为 ( )
A.97,2 B.98,2 C.97,98 D.98,98
【解析】选D.这组数据共有15个,中位数是按大小顺序排列后的第8个数,即98,众数是数据中出现次数最多的数,即98.
命中球数 90 95 97 98 100
频数 1 2 3 7 2
√
2.在教学调查中,甲、乙、丙三个班的数学测试成绩分布如图,假设三个班的平均
分都是75分,s1,s2,s3分别表示甲、乙、丙三个班数学测试成绩的标准差,则有 ( )
A.s3>s1>s2 B.s2>s1>s3
C.s1>s2>s3 D.s3>s2>s1
【解析】选D.所给图是成绩分布图,平均分是75分,在图1中,集中在75分附近的数
据最多,图3中从50分到100分均匀分布,所有成绩不集中在任何一个数据附近,图2
介于两者之间.由标准差的意义可得s3>s2>s1.
√
3.若样本x1+1,x2+1,…,xn+1的平均数为10,其差为2,则对于样本
2x1+2,2x2+2,…,2xn+2的下列结论正确的是 ( )
A.平均数为20,差为8
B.平均数为20,差为10
C.平均数为21,差为8
D.平均数为21,差为10
【解析】选A.由题得样本2x1+2,2x2+2,…,2xn+2的平均数为2×10=20,
差为22×2=8.
√
4.已知样本9,10,11,x,y的平均数是10,标准差为,则xy= .
【解析】由平均数得9+10+11+x+y=50,所以x+y=20.
又由(9-10)2+(10-10)2+(11-10)2+(x-10)2+(y-10)2=()2×5=10,
得x2+y2-20(x+y)=-192,(x+y)2-2xy-20(x+y)=-192,所以xy=96.
答案:969.2.3 总体集中趋势的估计
9.2.4 总体离散度的估计
素养目标 思维导图
1.结合实例,能用样本估计总体的离散度参数(标准差、差、极差),理解离散度参数的统计含义.(数学抽象) 2.结合实例,能用样本估计总体的取值规律.(数据分析)
课前自主学习
问题1.回顾初中学习的众数、中位数、平均数,思考下列问题:
(1)众数是一组数据中出现次数最多的数,在频率分布直图中,众数应出现在哪个位置
提示:在频率分布直图中,众数应该出现在最大的那一组中,它是最高矩形底边中点的横坐标.
(2)在频率分布直图中,中位数应出现在哪个位置
提示:在频率分布直图中,中位数左边和右边直图的面积应该相等.
(3)在频率分布直图中,平均数是如何估计的
提示:在频率分布直图中,平均数的估计值等于频率分布直图中每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和.
问题2.通过预习教材,回答下列问题:
(1)如何考察样本数据的分散度
提示:最常用的统计量是样本数据的差与标准差.
(2)样本数据的分散度是计算样本数据的什么值
提示:样本数据的分散度是样本数据到平均数的平均距离.
【核心概念】
1.对众数、中位数、平均数的理解
(1)众数:在一组数据中,出现次数最多的数据叫做这一组数据的众数.
(2)中位数:将一组数据按大小依次排列,把处在最中间位置的一个数据(或两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.
(3)平均数:假设样本数据是x1,x2,…,xn,表示这组数据的平均数,则=.
2.对标准差、差的理解
(1)标准差
标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,一般用s表示,
s=.
(2)差
标准差的平s2叫做差.
s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2].
3.差的意义
差刻画了数据的离散度或波动幅度,差越大,数据的离散度越大;差越小,数据的离散度越小.
课堂合作探究
探究点一 众数、中位数、平均数的应用
【典例1】某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练,两群市民的年龄如下(单位:岁):
甲群 13,13,14,15,15,15,15,16,17,17;
乙群 54,3,4,4,5,5,6,6,6,57.
(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁 其中哪个统计量能较好反映甲群市民的年龄特征
(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁 其中哪个统计量能较好反映乙群市民的年龄特征
【思维导引】结合平均数、中位数和众数的概念计算分析.
【解析】(1)甲群市民年龄的平均数为=15(岁),
中位数为15岁,众数为15岁.
平均数、中位数和众数相等,因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征.
(2)乙群市民年龄的平均数为=15(岁),
中位数为5.5岁,众数为6岁.
由于乙群市民大多数是儿童,所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征,而平均数的可靠性较差.
【类题通法】
中位数的求法
(1)当数据个数为奇数时,中位数是按大小顺序排列的中间那个数.
(2)当数据个数为偶数时,中位数为按大小顺序排列的最中间的两个数的平均数.
提醒:数据特征的分析
如果样本平均数大于样本中位数,说明数据中存在许多较大的极端值;反之说明数据中存在许多较小的极端值.在实际应用中,如果同时知道样本中位数和样本平均数,可以使我们了解样本数据中极端数据的信息.所以,应当深刻理解和把握平均数、中位数、众数在反映样本数据上的特点,并结合实际情况,灵活应用.
【定向训练】
已知甲、乙两支篮球队各6名队员某场比赛的得分数据(单位:分)从小到大排列如下:甲队:7,12,12,20,20+x,31;乙队:8,9,14,15+y,25,28.这两组数据的中位数相等,且平均数也相等,则x和y的值分别为 ( )
A.2和3 B.0和2
C.0和3 D.2和4
【解析】选C.甲队的中位数为=16,故=16,解得y=3,
乙队的平均数为=17,
故=17,解得x=0.
探究点二 数据差、标准差的应用
【典例2】某班20位女同学平均分为甲、乙两组,她们的美学鉴赏课考试成绩如下(单位:分):
甲组:65,90,85,75,65,70,75,90,95,80
乙组:85,95,75,70,85,80,85,65,90,85
(1)试分别计算两组数据的极差和差;
(2)试根据(1)中的计算结果,判断哪一组的成绩较稳定.
【思维导引】(1)根据公式直接求极差、平均数、差即可;
(2)极差相同,比较差,差越小,越稳定.
【解析】(1)甲组最高分为95分,最低分为65分,极差为95-65=30,
平均数为=×(65+90+85+75+65+70+75+90+95+80)=79,
差为
=×[(65-79)2+(90-79)2+(85-79)2+(75-79)2+(65-79)2+(70-79)2+(75-79)2+(90-79)2+(95-79)2+
(80-79)2]=104,乙组最高分为95分,最低分为65分,极差为95-65=30,
平均数为=×(85+95+75+70+85+80+85+65+90+85)=81.5,
差为=×[(85-81.5)2+(95-81.5)2+(75-81.5)2+(70-81.5)2+(85-81.5)2
+(80-81.5)2+(85-81.5)2+(65-81.5)2+(90-81.5)2+(85-81.5)2]=75.25.
(2)由于甲、乙两组数据极差相同,但乙组的差小于甲组的差,因此乙组的成绩较稳定.
【类题通法】
计算标准差的步骤
第一步:算出样本数据的平均数;
第二步:算出每个样本数据与样本平均数的差xi-(i=1,2,…,n);
第三步:算出(xi-)2(i=1,2,…,n);
第四步:算出(xi-)2(i=1,2,…,n)这n个数的平均数,即为样本差s2;
第五步:算出差的算术平根,即为样本标准差s.
【定向训练】
若甲、乙两台机床同时加工直径为100 mm的零件,为了检验产品的质量,从产品中随机抽取6件进行测量,测得数据如下:(单位:mm)
甲:99,100,100,98,100,103;
乙:99,100,102,99,100,100.
通过计算,请你说明哪一台机床加工的零件更符合要求.
【解析】==100,
==100,
=×[(99-100)2+3×(100-100)2+(98-100)2+(103-100)2]=,
=×[2×(99-100)2+3×(100-100)2+(102-100)2]=1,>,说明甲机床加工的零件波动比较大.
故乙机床加工的零件更符合要求.
探究点三 统计图表的数字特征
【典例3】(一题多问)
《国家学生体质健康标准》是国家学校教育工作的基础性指导文件和教育质量基本标准,它适用于日制普通小学、初中、普通高中、中等职业学校、普通高等学校的学生.某高校组织4 000名大一新生进行体质健康测试,现抽查200名大一新生的体测成绩,得到如图所示的频率分布直图,其中分组区间为[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100].依据该直图解决下列问题:
(1)由该直图估计该样本的众数是多少
(2)由该直图估计该样本的均值是多少
(3)由该直图估计该样本的第50百分位数是多少
(4)若测试成绩达到85分可参加评奖,则有资格参加评奖的大一新生约为多少人
【问题解读】根据频率分布直图,结合频率的几何意义逐一可求解.
【解析】(1)由频率分布直图可得,最高小矩形为[85,90),所以可估计该样本的众数是=87.5;
(2)由频率分布直图,可估计该样本的均值是
0.020×5×72.5+0.030×5×77.5+0.040×5×82.5+0.050×5×87.5+0.035×5×92.5+0.025×5×97.5
=85.625;
(3)由频率分布直图可得,成绩在[70,85)的频率为0.020×5+0.030×5+0.040×5=0.45,
在[70,90)之间的频率为0.020×5+0.030×5+0.040×5+0.050×5=0.7,
所以可估计该样本的第50百分位数在[85,90)内.
设第50百分位数为x,则由0.45+×0.25=0.5可得,x=86;
(4)由频率分布直图可得,测试成绩达到85分的频率为0.050×5+0.035×5+0.025×5=0.55,所以有资格参加评奖的大一新生约为4 000×0.55=2 200(人).
【类题通法】
利用频率分布直图求数字特征的法
(1)众数是最高矩形的底边中点的横坐标.
(2)中位数左右两侧直图的面积相等.
(3)平均数等于每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和.
(4)利用直图求众数、中位数、平均数均为近似值,往往与实际数据得出的不一致.但它们能粗估计其众数、中位数和平均数.
【定向训练】
(多选)进入冬季哈尔滨旅游火爆网,如图是2024年1月1日到1月7日哈尔滨冰雪大世界和中央大街日旅游人数的折线图,则 ( )
A.中央大街日旅游人数的极差是1.2
B.冰雪大世界日旅游人数的中位数是2.3
C.冰雪大世界日旅游人数的平均数比中央大街大
D.冰雪大世界日旅游人数的差比中央大街大
【解析】选BC.对于A,中央大街日旅游人数的最大值为2.8万,最小值为0.9万,极差为1.9万,故A错误.对于B,冰雪大世界日旅游人数由小到大依次为:1.7,1.8,1.9,2.3,2.4,2.6,2.9,其中位数为2.3,故B正确.对于C,冰雪大世界日旅游人数的平均值为=,中央大街日旅游人数的平均值为=2,
因为>2,故C正确.
对于D,冰雪大世界日旅游人数的差为:
-=-<5.2-2.22=0.36,
中央大街日旅游人数的差为:
-4=>0.36,故冰雪大世界日旅游人数的差比中央大街小,故D错误.
课堂学业达标
1.某篮球队有篮球运动员15人,进行投篮训练,每人投篮100个,命中球数如下表:
命中球数 90 95 97 98 100
频数 1 2 3 7 2
则这组数据的中位数和众数分别为 ( )
A.97,2 B.98,2 C.97,98 D.98,98
【解析】选D.这组数据共有15个,中位数是按大小顺序排列后的第8个数,即98,众数是数据中出现次数最多的数,即98.
2.在教学调查中,甲、乙、丙三个班的数学测试成绩分布如图,假设三个班的平均分都是75分,s1,s2,s3分别表示甲、乙、丙三个班数学测试成绩的标准差,则有 ( )
A.s3>s1>s2 B.s2>s1>s3
C.s1>s2>s3 D.s3>s2>s1
【解析】选D.所给图是成绩分布图,平均分是75分,在图1中,集中在75分附近的数据最多,图3中从50分到100分均匀分布,所有成绩不集中在任何一个数据附近,图2介于两者之间.由标准差的意义可得s3>s2>s1.
3.若样本x1+1,x2+1,…,xn+1的平均数为10,其差为2,则对于样本2x1+2,2x2+2,…,2xn+2的下列结论正确的是 ( )
A.平均数为20,差为8
B.平均数为20,差为10
C.平均数为21,差为8
D.平均数为21,差为10
【解析】选A.由题得样本2x1+2,2x2+2,…,2xn+2的平均数为2×10=20,差为22×2=8.
4.已知样本9,10,11,x,y的平均数是10,标准差为,则xy= .
【解析】由平均数得9+10+11+x+y=50,所以x+y=20.
又由(9-10)2+(10-10)2+(11-10)2+(x-10)2+(y-10)2=()2×5=10,
得x2+y2-20(x+y)=-192,(x+y)2-2xy-20(x+y)=-192,所以xy=96.
答案:96
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