10.1.2 事件的关系和运算
素养目标 思维导图
1.了解随机事件的并、交与互斥的含义.(数学抽象) 2.能结合实例进行随机事件的并、交运算.(数学运算)
课前自主学习
在掷骰子试验中,观察骰子朝上面的点数,可以定义许多随机事件.例如,Ci=“点数为i”,i=1,2,3,4,5,6;D1=“点数不大于3”;D2=“点数大于3”;E1=“点数为1或2”;E2=“点数为2或3”;F=“点数为偶数”;G=“点数为奇数”……
问题1.用集合的形式表示事件C1=“点数为1”和事件G=“点数为奇数”,若事件C1发生,事件G发生吗
提示:用集合的形式分别表示是C1={1}和G={1,3,5}.显然,如果事件C1发生,那么事件G一定发生.
问题2.用集合的形式表示事件D1=“点数不大于3”、E1=“点数为1或2”和事件E2=“点数为2或3”,若事件E1和事件E2至少有一个发生,则事件D1发生吗
提示:用集合的形式分别表示是D1={1,2,3}、E1={1,2}和E2={2,3}.可以发现,事件E1和事件E2至少有一个发生,相当于事件D1发生.
问题3.分析事件C2=“点数为2”与E1=“点数为1或2”和事件E2=“点数为2或3”的关系.
提示:可以用集合的形式表示为C2={2}.可以发现,事件E1=“点数为1或2”和事件E2=“点数为2或3”同时发生,相当于事件C2发生.
问题4.用集合的形式表示事件C3=“点数为3”和事件C4=“点数为4”,这两个事件能同时发生吗
提示:它们分别是C3={3},C4={4}.显然,事件C3与事件C4不可能同时发生.
问题5.用集合的形式表示事件F=“点数为偶数”、事件G=“点数为奇数”,并分析这两个事件的关系.
提示:用集合的形式分别表示是F={2,4,6},G={1,3,5}.在任何一次试验中,事件F与事件G两者只发生其中之一,而且也必然发生其中之一.
【核心概念】
1.事件的关系
(1)包含关系
①定义:若事件A发生,事件B一定发生,称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B).
②表示法:B A(或A B).
③图示:如图1
(2)相等关系
①定义:若事件B包含事件A,事件A也包含事件B,称事件A与事件B相等.
②表示法:A=B.
③图示:如图2
(3)互斥事件
①定义:如果事件A与事件B不能同时发生,称事件A与事件B互斥(或互不相容).
②表示法:若A∩B= ,则A与B互斥.
③图示:如图3
(4)对立事件
①定义:如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生,称事件A与事件B互为对立,事件A的对立事件记为.
②表示法:若A∩B= ,且A∪B=Ω,则A与B对立.
③图示:如图4
2.事件的并、交运算
项目 定义 表示法 图示
事件的运算 并事件(或和事件) 事件A与事件B至少有一个发生,这样的一个事件中的样本点或者在事件A中,或者在事件B中 A∪B或A+B
事件的运算 交事件(或积事件) 事件A与事件B同时发生,这样的一个事件中的样本点既在事件A中,也在事件B中 A∩B或AB
课堂合作探究
探究点一 事件的关系
【典例1】(1)同时掷两枚硬币,“向上的面都是正面”为事件A,“向上的面至少有一枚是正面”为事件B,则有 ( )
A.A=B B.A B
C.A B D.A与B之间没有关系
【思维导引】根据题意,结合列举法求得事件A和事件B,进而得到两事件的关系,得到答案.
【解析】选C.由同时抛掷两枚硬币,基本事件的空间为Ω={(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)},其中事件A={(正,正)},事件B={(正,正),(正,反),(反,正)},所以A B.
(2)(多选)对于一个随机试验,设Ω是样本空间,A是随机事件,ω是样本点,则下列说法正确的是( )
A.A∈Ω B.A Ω C.ω∈Ω D.ω Ω
【思维导引】根据样本空间、样本点、随机事件的定义即可得到答案.
【解析】选BC.对于一个随机试验,其所有可能的结果的集合称为样本空间,样本空间的元素称为样本点或基本事件,随机事件是样本空间的一个子集.
所以有ω∈Ω和A Ω.
【定向训练】
掷一枚骰子,观察其向上的点数,可能得到以下事件:A=“出现1点”;B=“出现2点”;D=“出现4点”;E=“出现5点”;G=“出现的点数不大于1”;H=“出现的点数小于5”;I=“出现奇数点”;J=“出现偶数点”.请判断下列两个事件的关系:
(1)B H;(2)D J;(3)E I; (4)A G.
【解析】(1)因为“出现的点数小于5”包含出现1点,出现2点,出现3点,出现4点四种情况,所以事件B发生时,事件H必然发生,故B H.
(2)“出现偶数点”包括出现2点,出现4点,出现6点三种情况,所以事件D发生时,事件J必然发生,故D J,
(3)“出现奇数点”包括出现1点,出现3点,出现5点三种情况,所以事件E发生时,事件I必然发生,故E I.
(4)“出现的点数不大于1”只包括出现1点一种情况,即事件A与事件G相等,故A=G.
答案:(1) (2) (3) (4)=
探究点二 事件的运算
【典例2】连续抛掷两枚骰子,观察落地时的点数.记事件A={两次出现的点数相同},事件B={两次出现的点数之和为4},事件C={两次出现的点数之差的绝对值为4},事件D={两次出现的点数之和为6}.
(1)用样本点表示事件C∩D,A∪B;
(2)若事件E={(1,3),(1,5),(2,2),(2,6),(3,1),(5,1),(6,2)},则事件E与已知事件是什么运算关系
【思维导引】(1)由随机事件求出样本点,然后求解;
(2)由事件E,结合已知事件A,B,C,D求解.
【解析】(1)由题意得,事件A={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)},
事件B={(1,3),(2,2),(3,1)},
事件C={(1,5),(2,6),(5,1),(6,2)},
事件D={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}.
则C∩D={(1,5),(5,1)},A∪B={(1,1),(1,3),(2,2),(3,1),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)};
(2)由(1)知,事件B={(1,3),(2,2),(3,1)},C={(1,5),(2,6),(5,1),(6,2)},
因为E={(1,3),(1,5),(2,2),(2,6),(3,1),(5,1),(6,2)},
所以E=B∪C.
【类题通法】
事件间的运算法
(1)利用事件间运算的定义:列出同一条件下的试验所有可能出现的结果,分析并利用这些结果进行事件间的运算.
(2)利用Venn图:借助集合间运算的思想,分析同一条件下的试验所有可能出现的结果,把这些结果在图中列出,进行运算.
【定向训练】
某同学参加跳远测试,共有3次机会.用事件Ji(i=1,2,3)表示随机事件“第i(i=1,2,3)次跳远成绩及格”,那么事件“前两次测试成绩均及格,第三次测试成绩不及格”可以表示为 ( )
A.J1∩J2 B.
C.J1∩J2∩ D.∩∩
【解析】选C.
选项 原因 正误
A J1∩J2表示前两次测试成绩均及格 ×
B 表示后两次测试不都及格 ×
C J1∩J2∩表示前两次测试成绩均及格,第三次测试成绩不及格 √
D ∩∩表示三次测试成绩均不及格 ×
探究点三 事件的互斥与对立
【典例3】(1)掷一枚骰子,设事件A:落地时向上的点数是奇数;B:落地时向上的点数是3的倍数;C:落地时向上的点数是2;D:落地时向上的点数是2的倍数,则下列说法中,错误的是 ( )
A.A和B有可能同时发生
B.A和D是对立事件
C.B和C是对立事件
D.A和C是互斥事件
【思维导引】根据给定条件,利用互斥事件、对立事件的意义逐项判断得解.
【解析】选C.依题意,事件A={1,3,5},B={3,6},C={2},D={2,4,6},对于A,事件A和B有相同的基本事件:点数3,A正确;对于B,事件A和D不能同时发生,但必有一个发生,则A和D是对立事件,B正确;对于C,事件B和C不能同时发生,但可以同时不发生,则B和C不是对立事件,C错误;对于D,事件A和C不能同时发生,它们是互斥事件,D正确.
(2)将一枚均匀硬币连续抛掷两次,下列事件中与事件“至少一次正面向上”互为对立事件的是 ( )
A.至多一次正面向上
B.两次正面都向上
C.只有一次正面向上
D.两次都没有正面向上
【思维导引】根据对立事件的定义,对每个选项进行逐一判断即可.
【解析】选D.将一枚均匀硬币连续抛掷两次,有:正正,正反,反正,反反,共4种可能,事件“至少一次正面向上”包括:正正,正反,反正,对于A,事件“至多一次正面向上”包括:正反,反正,反反,与事件“至少一次正面向上”不是对立事件;对于B,事件“两次正面都向上”即正正,与事件“至少一次正面向上”不是对立事件;对于C,事件“只有一次正面向上”包括:正反,反正,与事件“至少一次正面向上”不是对立事件;对于D,事件“两次都没有正面向上”即反反,与事件“至少一次正面向上”是对立事件.
(3)从一堆产品(其中正品与次品均多于两件)中任取两件,观察所抽取的正品件数与次品件数,则下列每对事件中,是对立事件的是 ( )
A.恰好有一件次品与是次品
B.至少有一件次品与是次品
C.至少有一件次品与是正品
D.至少有一件正品与至少有一件次品
【解析】选C.任取两件所有可能结果为是正品、是次品、一件正品一件次品;
A中,恰好有一件次品即为一件正品一件次品,
所以恰好有一件次品与是次品是互斥但不对立事件;
B中,至少有一件次品包含:是次品、一件正品一件次品,
所以至少有一件次品与是次品不是对立事件;
C中,至少有一件次品包含:是次品、一件正品一件次品,
所以至少有一件次品与是正品是对立事件;
D中,至少有一件正品包含:是正品、一件正品一件次品;
至少有一件次品包含:是次品、一件正品一件次品,所以至少有一件正品与至少有一件次品有交集,不是对立事件.
【类题通法】
互斥事件和对立事件的判定法
(1)互斥事件的判断:利用基本概念,要判断两个事件是不是互斥事件,只需要找出各个事件所包含的所有结果,看它们之间能不能同时发生.
对立事件的判断:在互斥的前提下,看两个事件中是否必有一个发生,可判断是否为对立事件.
提醒:注意辨析“至少”“至多”等关键词语的含义,明晰它们对事件结果的影响.
(2)利用集合观点,设事件A与B所含的结果组成的集合分别为A,B.
①若事件A与B互斥,则集合A∩B= .
②若事件A与B对立,则集合A∩B= 且A∪B=Ω.
提醒:对立事件是针对两个事件来说的,而互斥事件则可以是多个事件间的关系.
【定向训练】
1.把1,2,3,4,5,6,7,8,9,10分别写在10张一样的卡片上,并随机抽取1张.设事件A=“出现偶数”,B=“出现3的倍数”.写出下面两个事件的对应集合.
(1)A,B至少有一个发生;
(2)A,B同时发生.
【解析】由题,可得A={2,4,6,8,10},B={3,6,9};
(1)A,B至少有一个发生所对应事件集合为A∪B={2,3,4,6,8,9,10}.
(2)A,B同时发生所对应事件集合为A∩B={6}.
2.由甲、乙两个射手各进行一次射击,每个射手可能中靶或脱靶.设事件A=“甲射手中靶”,B=“乙射手中靶”.
(1)写出试验的样本空间;
(2)用集合的形式表示事件A,B以及它们的对立事件.
【解析】(1)用x1,x2分别表示甲、乙两个射手的射击情况,则可以用(x1,x2)表示试验的样本空间.以1表示中靶,0表示脱靶,则样本空间为Ω={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}.
(2)根据题意,可得A={(1,0),(1,1)}.B={(0,1),(1,1)}.={(0,0),(0,1)},={(0,0),(1,0)}.
课堂学业达标
1.下列各组事件中,不是互斥事件的是 ( )
A.一个班级进行一次数学考试,成绩高于80分与低于60分
B.统计一个班的数学成绩,平均分不低于90分与平均分不高于90分
C.播种100粒菜籽,发芽90粒与发芽80粒
D.检验某种产品,合格率高于70%与合格率低于70%
【解析】选B.对于B,设事件A1为平均分不低于90分,事件A2为平均分不高于90分,则A1∩A2为平均分等于90分,A1,A2可能同时发生,故它们不是互斥事件.
2.把红、黄、蓝3张卡片随机分给甲、乙、丙三人,每人1张,事件A=“甲得红卡”与事件B=“乙得红卡”是 ( )
A.不可能事件
B.必然事件
C.对立事件
D.互斥但不对立事件
【解析】选D.把红、黄、蓝3张卡片随机分给甲、乙、丙三人,每人1张,事件A=“甲得红卡”与事件B=“乙得红卡”不可能同时发生,但事件A=“甲得红卡”不发生时,事件B=“乙得红卡”有可能发生,有可能不发生;所以事件A=“甲得红卡”与事件B=“乙得红卡”是互斥但不对立事件.
3.有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是6”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”,则 ( )
A.甲与丙是互斥事件
B.乙与丙是对立事件
C.甲与丁是对立事件
D.丙与丁是互斥事件
【解析】选D.对于A,甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”,则两次取球的情况有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),所以事件甲、丙可能同时发生,不是互斥事件,A错误;
对于B,乙表示事件“第二次取出的球的数字是6”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”,是互斥不对立的事件,B错误;
对于C,甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”,则两次取球的情况有(1,1),(1,3),(1,5)等,所以事件甲、丁可能同时发生,不是互斥事件,C错误;
对于D,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”,两个事件不会同时发生,是互斥事件,D正确.
4.如图是某班级50名学生参加数学、语文、英语兴趣小组的情况,设事件A=“参加数学兴趣小组”,事件B=“参加语文兴趣小组”,事件C=“参加英语兴趣小组”.现从这个班任意选择一名学生,则事件AB所代表的区域是 .(注:事件A的对立事件用符号表示)
【解析】事件AB表示参加数学兴趣小组,且参加语文兴趣小组,但不参加英语兴趣小组,故表示的区域为4.
答案:4
5.国际上通用的茶叶分类法,是按发酵度把茶叶分为不发酵茶(如:龙井、碧螺春)和发酵茶(如:茉莉花茶、铁观音、乌龙茶、普洱茶)两大类,现有6个完相同的纸盒,里面分别装有龙井、碧螺春、茉莉花茶、铁观音、乌龙茶和普洱茶,从中任取一盒,根据以上材料,判断下列两个事件是否为互斥事件,是否为对立事件,并说明理由.
(1)“取出龙井”和“取出铁观音”;
(2)“取出不发酵茶”和“取出发酵茶”;
(3)“取出发酵茶”和“取出普洱茶”;
(4)“取出不发酵茶”和“取出乌龙茶”.
【解析】(1)事件“取出龙井”和事件“取出铁观音”不可能同时发生,也有可能都不发生,所以是互斥事件而不是对立事件.
(2)事件“取出不发酵茶”和事件“取出发酵茶”不可能同时发生,但必有一个发生,所以既是互斥事件又是对立事件.
(3)事件“取出发酵茶”和事件“取出普洱茶”不是互斥事件,因为“取出普洱茶”时,事件“取出发酵茶”也发生了.
(4)事件“取出不发酵茶”和事件“取出乌龙茶”不可能同时发生,也有可能都不发生,所以是互斥事件而不是对立事件.
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课前自主学习
课堂合作探究
课堂学业达标
10.1.2 事件的关系和运算
素养目标 思维导图
1.了解随机事件的并、交与互斥的含义. (数学抽象) 2.能结合实例进行随机事件的并、交 运算.(数学运算)
课前自主学习
在掷骰子试验中,观察骰子朝上面的点数,可以定义许多随机事件.例如,Ci=“点数为i”,i=1,2,3,4,5,6;D1=“点数不大于3”;D2=“点数大于3”;E1=“点数为1或2”;E2=“点数为2或3”;F=“点数为偶数”;G=“点数为奇数”……
问题1.用集合的形式表示事件C1=“点数为1”和事件G=“点数为奇数”,若事件C1发生,事件G发生吗
提示:用集合的形式分别表示是C1={1}和G={1,3,5}.显然,如果事件C1发生,那么事件G一定发生.
问题2.用集合的形式表示事件D1=“点数不大于3”、E1=“点数为1或2”和事件E2=“点数为2或3”,若事件E1和事件E2至少有一个发生,则事件D1发生吗
提示:用集合的形式分别表示是D1={1,2,3}、E1={1,2}和E2={2,3}.可以发现,事件E1和事件E2至少有一个发生,相当于事件D1发生.
问题3.分析事件C2=“点数为2”与E1=“点数为1或2”和事件E2=“点数为2或3”的关系.
提示:可以用集合的形式表示为C2={2}.可以发现,事件E1=“点数为1或2”和事件E2=“点数为2或3”同时发生,相当于事件C2发生.
问题4.用集合的形式表示事件C3=“点数为3”和事件C4=“点数为4”,这两个事件能同时发生吗
提示:它们分别是C3={3},C4={4}.显然,事件C3与事件C4不可能同时发生.
问题5.用集合的形式表示事件F=“点数为偶数”、事件G=“点数为奇数”,并分析这两个事件的关系.
提示:用集合的形式分别表示是F={2,4,6},G={1,3,5}.在任何一次试验中,事件F与事件G两者只发生其中之一,而且也必然发生其中之一.
【核心概念】
1.事件的关系
(1)包含关系
①定义:若事件A发生,事件B_________,称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B).
②表示法:_____(或_____).
③图示:如图1
一定发生
B A
A B
(2)相等关系
①定义:若事件B包含事件A,事件A也包含事件B,称事件A与事件B相等.
②表示法:_____.
③图示:如图2
A=B
(3)互斥事件
①定义:如果事件A与事件B_____________,称事件A与事件B互斥(或互不相容).
②表示法:若_______,则A与B互斥.
③图示:如图3
(4)对立事件
①定义:如果事件A和事件B在任何一次试验中_________________,称事件A与事件
B互为对立,事件A的对立事件记为.
②表示法:若_______,且A∪B=Ω,则A与B对立.
③图示:如图4
不能同时发生
A∩B=
有且仅有一个发生
A∩B=
2.事件的并、交运算
项目 定义 表示法 图示
事件的运算 并事件(或和事件) 事件A与事件B至少有一 个发生,这样的一个事件 中的样本点或者在事件A 中,或者在事件B中 ______或_____
事件的运算 交事件(或积事件) 事件A与事件B同时发生, 这样的一个事件中的样 本点既在事件A中,也在 事件B中 _____或____
A∪B
A+B
A∩B
AB
课堂合作探究
探究点一 事件的关系
【典例1】(1)同时掷两枚硬币,“向上的面都是正面”为事件A,“向上的面至少有一枚
是正面”为事件B,则有( )
A.A=B B.A B
C.A B D.A与B之间没有关系
【思维导引】根据题意,结合列举法求得事件A和事件B,进而得到两事件的关系,得
到答案.
【解析】选C.由同时抛掷两枚硬币,基本事件的空间为Ω={(正,正),(正,反),
(反,正),(反,反)},其中事件A={(正,正)},事件B={(正,正),(正,反),(反,正)},所以A B.
√
(2)(多选)对于一个随机试验,设Ω是样本空间,A是随机事件,ω是样本点,则下列说法
正确的是( )
A.A∈Ω B.A Ω C.ω∈Ω D.ω Ω
【思维导引】根据样本空间、样本点、随机事件的定义即可得到答案.
【解析】选BC.对于一个随机试验,其所有可能的结果的集合称为样本空间,样本空
间的元素称为样本点或基本事件,随机事件是样本空间的一个子集.
所以有ω∈Ω和A Ω.
√
√
【定向训练】
掷一枚骰子,观察其向上的点数,可能得到以下事件:A=“出现1点”;B=“出现2
点”;D=“出现4点”;E=“出现5点”;G=“出现的点数不大于1”;H=“出现的点数小于
5”;I=“出现奇数点”;J=“出现偶数点”.请判断下列两个事件的关系:
(1)B H;(2)D J;(3)E I; (4)A G.
【解析】(1)因为“出现的点数小于5”包含出现1点,出现2点,出现3点,出现4点四种情况,所以事件B发生时,事件H必然发生,故B H.
(2)“出现偶数点”包括出现2点,出现4点,出现6点三种情况,所以事件D发生时,事件J必然发生,故D J,
(3)“出现奇数点”包括出现1点,出现3点,出现5点三种情况,所以事件E发生时,事件I必然发生,故E I.
(4)“出现的点数不大于1”只包括出现1点一种情况,即事件A与事件G相等,故A=G.
答案:(1) (2) (3) (4)=
探究点二 事件的运算
【典例2】连续抛掷两枚骰子,观察落地时的点数.记事件A={两次出现的点数相同},事件B={两次出现的点数之和为4},事件C={两次出现的点数之差的绝对值为4},事件D={两次出现的点数之和为6}.
(1)用样本点表示事件C∩D,A∪B;
(2)若事件E={(1,3),(1,5),(2,2),(2,6),(3,1),(5,1),(6,2)},则事件E与已知事件是什么运算关系
【思维导引】(1)由随机事件求出样本点,然后求解;
(2)由事件E,结合已知事件A,B,C,D求解.
【解析】(1)由题意得,事件A={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)},
事件B={(1,3),(2,2),(3,1)},
事件C={(1,5),(2,6),(5,1),(6,2)},
事件D={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}.
则C∩D={(1,5),(5,1)},A∪B={(1,1),(1,3),(2,2),(3,1),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)};
(2)由(1)知,事件B={(1,3),(2,2),(3,1)},C={(1,5),(2,6),(5,1),(6,2)},
因为E={(1,3),(1,5),(2,2),(2,6),(3,1),(5,1),(6,2)},
所以E=B∪C.
【类题通法】
事件间的运算法
(1)利用事件间运算的定义:列出同一条件下的试验所有可能出现的结果,分析并利用这些结果进行事件间的运算.
(2)利用Venn图:借助集合间运算的思想,分析同一条件下的试验所有可能出现的结果,把这些结果在图中列出,进行运算.
【定向训练】
某同学参加跳远测试,共有3次机会.用事件Ji(i=1,2,3)表示随机事件“第i(i=1,2,3)次跳远成绩及格”,那么事件“前两次测试成绩均及格,第三次测试成绩不及格”可以表示为( )
A.J1∩J2 B.
C.J1∩J2∩ D.∩∩
√
【解析】选C.
选项 原因 正误
A J1∩J2表示前两次测试成绩均及格 ×
B 表示后两次测试不都及格 ×
C J1∩J2∩表示前两次测试成绩均及格,第三次测试成绩不 及格 √
D ∩∩表示三次测试成绩均不及格 ×
探究点三 事件的互斥与对立
【典例3】(1)掷一枚骰子,设事件A:落地时向上的点数是奇数;B:落地时向上的点数是3的倍数;C:落地时向上的点数是2;D:落地时向上的点数是2的倍数,则下列说法中,错误的是( )
A.A和B有可能同时发生
B.A和D是对立事件
C.B和C是对立事件
D.A和C是互斥事件
【思维导引】根据给定条件,利用互斥事件、对立事件的意义逐项判断得解.
√
【解析】选C.依题意,事件A={1,3,5},B={3,6},C={2},D={2,4,6},对于A,事件A和B有相同的基本事件:点数3,A正确;对于B,事件A和D不能同时发生,但必有一个发生,则A和D是对立事件,B正确;对于C,事件B和C不能同时发生,但可以同时不发生,则B和C不是对立事件,C错误;对于D,事件A和C不能同时发生,它们是互斥事件,D正确.
(2)将一枚均匀硬币连续抛掷两次,下列事件中与事件“至少一次正面向上”互为对立事件的是 ( )
A.至多一次正面向上
B.两次正面都向上
C.只有一次正面向上
D.两次都没有正面向上
【思维导引】根据对立事件的定义,对每个选项进行逐一判断即可.
√
【解析】选D.将一枚均匀硬币连续抛掷两次,有:正正,正反,反正,反反,共4种可能,事件“至少一次正面向上”包括:正正,正反,反正,对于A,事件“至多一次正面向上”包括:正反,反正,反反,与事件“至少一次正面向上”不是对立事件;对于B,事件“两次正面都向上”即正正,与事件“至少一次正面向上”不是对立事件;对于C,事件“只有一次正面向上”包括:正反,反正,与事件“至少一次正面向上”不是对立事件;对于D,事件“两次都没有正面向上”即反反,与事件“至少一次正面向上”是对立事件.
(3)从一堆产品(其中正品与次品均多于两件)中任取两件,观察所抽取的正品件数与次品件数,则下列每对事件中,是对立事件的是 ( )
A.恰好有一件次品与是次品
B.至少有一件次品与是次品
C.至少有一件次品与是正品
D.至少有一件正品与至少有一件次品
√
【解析】选C.任取两件所有可能结果为是正品、是次品、一件正品一件次品;
A中,恰好有一件次品即为一件正品一件次品,
所以恰好有一件次品与是次品是互斥但不对立事件;
B中,至少有一件次品包含:是次品、一件正品一件次品,
所以至少有一件次品与是次品不是对立事件;
C中,至少有一件次品包含:是次品、一件正品一件次品,
所以至少有一件次品与是正品是对立事件;
D中,至少有一件正品包含:是正品、一件正品一件次品;
至少有一件次品包含:是次品、一件正品一件次品,所以至少有一件正品与至少有一件次品有交集,不是对立事件.
【类题通法】
互斥事件和对立事件的判定法
(1)互斥事件的判断:利用基本概念,要判断两个事件是不是互斥事件,只需要找出各个事件所包含的所有结果,看它们之间能不能同时发生.
对立事件的判断:在互斥的前提下,看两个事件中是否必有一个发生,可判断是否为对立事件.
提醒:注意辨析“至少”“至多”等关键词语的含义,明晰它们对事件结果的影响.
(2)利用集合观点,设事件A与B所含的结果组成的集合分别为A,B.
①若事件A与B互斥,则集合A∩B= .
②若事件A与B对立,则集合A∩B= 且A∪B=Ω.
提醒:对立事件是针对两个事件来说的,而互斥事件则可以是多个事件间的关系.
【定向训练】
1.把1,2,3,4,5,6,7,8,9,10分别写在10张一样的卡片上,并随机抽取1张.设事件A=“出现偶数”,B=“出现3的倍数”.写出下面两个事件的对应集合.
(1)A,B至少有一个发生;
(2)A,B同时发生.
【解析】由题,可得A={2,4,6,8,10},B={3,6,9};
(1)A,B至少有一个发生所对应事件集合为A∪B={2,3,4,6,8,9,10}.
(2)A,B同时发生所对应事件集合为A∩B={6}.
2.由甲、乙两个射手各进行一次射击,每个射手可能中靶或脱靶.设事件A=“甲射手中靶”,B=“乙射手中靶”.
(1)写出试验的样本空间;
(2)用集合的形式表示事件A,B以及它们的对立事件.
【解析】(1)用x1,x2分别表示甲、乙两个射手的射击情况,则可以用(x1,x2)表示试验的样本空间.以1表示中靶,0表示脱靶,则样本空间为Ω={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}.
(2)根据题意,可得A={(1,0),(1,1)}.B={(0,1),(1,1)}.={(0,0),(0,1)},={(0,0),(1,0)}.
课堂学业达标
1.下列各组事件中,不是互斥事件的是 ( )
A.一个班级进行一次数学考试,成绩高于80分与低于60分
B.统计一个班的数学成绩,平均分不低于90分与平均分不高于90分
C.播种100粒菜籽,发芽90粒与发芽80粒
D.检验某种产品,合格率高于70%与合格率低于70%
【解析】选B.对于B,设事件A1为平均分不低于90分,事件A2为平均分不高于90分,则A1∩A2为平均分等于90分,A1,A2可能同时发生,故它们不是互斥事件.
√
2.把红、黄、蓝3张卡片随机分给甲、乙、丙三人,每人1张,事件A=“甲得红卡”与
事件B=“乙得红卡”是 ( )
A.不可能事件
B.必然事件
C.对立事件
D.互斥但不对立事件
【解析】选D.把红、黄、蓝3张卡片随机分给甲、乙、丙三人,每人1张,事件A=“甲得红卡”与事件B=“乙得红卡”不可能同时发生,但事件A=“甲得红卡”不发生时,事件B=“乙得红卡”有可能发生,有可能不发生;所以事件A=“甲得红卡”与事件B=“乙得红卡”是互斥但不对立事件.
√
3.有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是6”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”,则 ( )
A.甲与丙是互斥事件
B.乙与丙是对立事件
C.甲与丁是对立事件
D.丙与丁是互斥事件
√
【解析】选D.对于A,甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”,则两次取球的情况有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),所以事件甲、丙可能同时发生,不是互斥事件,A错误;
对于B,乙表示事件“第二次取出的球的数字是6”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”,是互斥不对立的事件,B错误;
对于C,甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”,则两次取球的情况有(1,1),(1,3),(1,5)等,所以事件甲、丁可能同时发生,不是互斥事件,C错误;
对于D,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”,两个事件不会同时发生,是互斥事件,D正确.
4.如图是某班级50名学生参加数学、语文、英语兴趣小组的情况,设事件A=“参加数学兴趣小组”,事件B=“参加语文兴趣小组”,事件C=“参加英语兴趣小组”.现从这个班任意选择一名学生,则事件AB所代表的区域是 .(注:事件A的对立事件用符号表示)
【解析】事件AB表示参加数学兴趣小组,且参加语文兴趣小组,但不参加英语兴趣小组,故表示的区域为4.
答案:4
5.国际上通用的茶叶分类法,是按发酵度把茶叶分为不发酵茶(如:龙井、碧螺春)和发酵茶(如:茉莉花茶、铁观音、乌龙茶、普洱茶)两大类,现有6个完相同的纸盒,里面分别装有龙井、碧螺春、茉莉花茶、铁观音、乌龙茶和普洱茶,从中任取一盒,根据以上材料,判断下列两个事件是否为互斥事件,是否为对立事件,并说明理由.
(1)“取出龙井”和“取出铁观音”;
(2)“取出不发酵茶”和“取出发酵茶”;
(3)“取出发酵茶”和“取出普洱茶”;
(4)“取出不发酵茶”和“取出乌龙茶”.
【解析】(1)事件“取出龙井”和事件“取出铁观音”不可能同时发生,也有可能都不发生,所以是互斥事件而不是对立事件.
(2)事件“取出不发酵茶”和事件“取出发酵茶”不可能同时发生,但必有一个发生,所以既是互斥事件又是对立事件.
(3)事件“取出发酵茶”和事件“取出普洱茶”不是互斥事件,因为“取出普洱茶”时,事件“取出发酵茶”也发生了.
(4)事件“取出不发酵茶”和事件“取出乌龙茶”不可能同时发生,也有可能都不发生,所以是互斥事件而不是对立事件.
