10.1.4 概率的基本性质
素养目标 思维导图
1.通过实例,理解概率的性质.(数学抽象) 2.掌握随机事件概率的运算法则.(数学运算)
课前自主学习
问题1.某产品分为甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,若生产中出现乙级品的概率是0.03,出现丙级品的概率是0.01,则对产品抽查一次抽得正品的概率是多少
提示:0.96.因为抽查得到正品和抽查得到次品是互斥的,抽查得到次品的概率是0.03+0.01=0.04,所以抽查一次抽得正品的概率是1-0.04=0.96.
问题2.在掷骰子的试验中,事件A={出现的点数为1},事件B={出现的点数为奇数},事件A与事件B有怎样的关系,P(A)与P(B)有怎样的关系
提示:因为1为奇数,所以A B,P(A)≤P(B).
【核心概念】
概率的性质
1.对任意的事件A,都有P(A)≥0.
2.P(Ω)=1,P( )=0.
3.若事件A与事件B互斥,则有P(A∪B)=P(A)+P(B).
推广:若事件A1,A2,…,An两两互斥,则有P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
4.若事件A与事件B互为对立事件,则有P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).
5.若A B,则P(A)≤P(B),由 A Ω,得0≤P(A)≤1.
6.设A,B是一随机试验中的两个事件,则有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB).
课堂合作探究
探究点一 概率性质及概率的加法公式
【典例1】(一题多解)
在数学考试中,小明的成绩(取整数)不低于90分的概率是0.18,在[80,89]的概率是0.51,在[70,79]的概率是0.15,在[60,69]的概率是0.09,在60分以下的概率是0.07,计算:
(1)小明在数学考试中成绩不低于70分的概率;
(2)小明数学考试及格(60分及以上)的概率.
【思维导引】(1)小明的成绩不低于70分可以看作互斥事件“[70,79]”“[80,89]”“不低于90分”的并事件,结合互斥事件概率公式求解即可.
(2)法一:小明数学考试及格可以看作互斥事件“[60,69]”“[70,79]”“[80,89]”“不低于90分”的并事件,结合互斥事件概率公式求解即可.
法二:小明数学考试及格可以看作“小明数学考试不及格(60分以下)”这一事件的对立事件.结合对立事件概率公式求解即可.
【解析】分别记小明的成绩“不低于90分”“[80,89]”“[70,79]”“[60,69]”为事件B,C,D,E,这四个事件彼此互斥.
(1)小明的成绩不低于70分的概率是P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D)=0.18+0.51+0.15=0.84.
(2)法一:小明数学考试及格(60分及以上)的概率是P(B∪C∪D∪E)=P(B)+P(C)+P(D)+P(E)=0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.
法二:小明数学考试不及格(60分以下)的概率是0.07,所以小明数学考试及格(60分及以上)的概率是1-0.07=0.93.
【类题通法】
利用概率的加法公式求概率的步骤
(1)确定各个事件是两两互斥的.
(2)求出各个事件分别发生的概率.
(3)利用公式求事件的概率.
【定向训练】
已知事件A,B是互斥事件,P(A)=,P()=,则P(A∪B)= ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.因为P(B)=1-P(),P()=,
所以P(B)=,因为事件A,B是互斥事件,
所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=+=.
探究点二 对立事件公式的应用
【典例2】(1)已知随机事件A和B互斥,且P(A∪B)=0.6,P(A)=0.4,则事件B的对立事件的概率为 ( )
A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.8
【思维导引】借助互斥事件的概率公式及对立事件的定义计算即可得.
【解析】选D.根据题意,因为P(A)=0.4,事件A和B互斥,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.6,所以P(B)=0.6-0.4=0.2,所以事件B的对立事件的概率为1-0.2=0.8.
(2)(一题多解)
现有7名世界杯志愿者,其中A1,A2,A3通晓日语,B1,B2通晓韩语,C1,C2通晓葡萄牙语,从中选出通晓日语、韩语、葡萄牙语志愿者各一名组成一个小组,则B1,C1不被选中的概率为 .
【思维导引】求得基本事件的总数,利用列举法求得对立事件所包含的基本事件的个数,求得对立事件的概率,结合对立事件,即可求解.
【解析】由题意,选出通晓日语、韩语、葡萄牙语志愿者各一人,包含下列样本点:
(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2),共有12种不同的选法,
法一:利用对立事件,
若N表示“B1,C1不被选中”这一事件,则表示“B1,C1被选中”这一事件,
由于由(A1,B1,C1),(A2,B1,C1),(A3,B1,C1),共3个样本点组成,所以P()==,所以P(N)=1-P()=1-=.
法二:直接法,
若N表示“B1,C1不被选中”这一事件,则N由(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2),共9个样本点组成,所以P(N)==.
答案:
(3)某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得,1 000张奖券为一个开奖单位,每个开奖单位设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个,设一张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B,C,可知其概率分别为P(A)=,
P(B)==,P(C)==.
①求1张奖券中奖的概率;
②求1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.
【思维导引】①1张奖券中奖包括中特等奖、一等奖、二等奖,且A,B,C两两互斥,利用互斥事件的概率加法公式求解即可;
②“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”的对立事件为“1张奖券中特等奖或中一等奖”,则利用互斥事件的概率公式求解即可.
【解析】①1张奖券中奖包括中特等奖、一等奖、二等奖,
设“1张奖券中奖”为事件M,则M=A∪B∪C,
因为A,B,C两两互斥,所以P(M)=P(A)+P(B)+P(C)=,
故1张奖券中奖的概率为.
②设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N,则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件,
所以P(N)=1-P(A∪B)
=1-(P(A)+P(B))=,
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.
【类题通法】
正难则反求概率
(1)找准对立事件.
(2)要有应用对立事件的意识:当事件本身包含的情况较多,而其对立事件包含的结果很少时,就应该利用与对立事件的关系求解,即贯彻“正难则反”的思想.
探究点三 互斥事件、对立事件与古典概型的综合问题
【典例3】某大学数学学院拟成立由4名同学组成的志愿者招募宣传队,经过初步选定,2名男同学,4名女同学共6名同学成为候选人,每位候选人当选宣传队队员的机会是相同的.
(1)求当选的4名同学中恰有1名男同学的概率;
(2)求当选的4名同学中至少有3名女同学的概率.
【思维导引】首先分析事件性质,将“4名同学中至少有3名女同学”分解成“1名男同学3名女同学”和“4名女同学”两个基本事件的和.利用概率加法公式进行计算.
【解析】(1)将2名男同学和4名女同学分别编号为1,2,3,4,5,6(其中1,2是男同学,3,4,5,6是女同学),该学院6名同学中有4名当选的情况有(1,2,3,4),(1,2,3,5),(1,2,3,6),(1,2,4,5),(1,2,4,6),(1,2,5,6),(1,3,4,5),(1,3,4,6),(1,3,5,6),(1,4,5,6),(2,3,4,5),(2,3,4,6),(2,3,5,6),(2,4,5,6),(3,4,5,6),共15种,当选的4名同学中恰有1名男同学的情况有(1,3,4,5),(1,3,4,6),(1,3,5,6),(1,4,5,6),(2,3,4,5),(2,3,4,6),(2,3,5,6),(2,4,5,6),共8种,故当选的4名同学中恰有1名男同学的概率为.
(2)当选的4名同学中至少有3名女同学包括3名女同学当选(恰有1名男同学当选),4名女同学当选这两种情况,而4名女同学当选的情况只有(3,4,5,6),则其概率为,又当选的4名同学中恰有1名男同学的概率为,故当选的4名同学中至少有3名女同学的概率为+=.
【类题通法】
解决互斥事件、对立事件与古典概型的
综合问题的法
解决此类问题的关键是理解题目的实际含义,把实际问题转化为概率模型,必要时将所求的事件转化成彼此互斥的事件的和,或者先求其对立事件的概率,进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解.
课堂学业达标
1.围棋盒子中有多粒黑子和白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率为,都是白子的概率是,则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是 ( )
A. B. C. D.1
【解析】选C.从中取出2粒恰好是同一色包含都是黑子或都是白子两个事件,这两个事件是互斥事件,设两粒是同一色为事件A,同为黑子为事件B,同为白子为事件C,则P(A)=P(B+C)=P(B)+P(C)=+=.
2.若A,B是互斥事件,则 ( )
A.P(A+B)<1 B.P(A+B)=1
C.P(A+B)>1 D.P(A+B)≤1
【解析】选D.因为A,B是互斥事件,所以P(A+B)=P(A)+P(B)≤1(当A,B是对立事件时,P(A+B)=1).
3.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.4,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.3,则不用现金支付的概率为 ( )
A.0.4 B.0.3 C.0.7 D.0.6
【解析】选B.由题得不用现金支付的概率P=1-0.4-0.3=0.3.
4.设A是一个随机事件,则P(A)的取值范围是 .
【解析】随机事件的概率0≤P(A)≤1.
答案:[0,1]
5.甲、乙两人下围棋,已知甲获胜的概率为0.45,两人平局的概率为0.1,则甲不输的概率为 .
【解析】记事件A={甲获胜},事件B={甲、乙平局},C={甲不输},则C=A+B,
而A,B是互斥事件,故P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.55.
答案:0.55
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10.1.4 概率的基本性质
素养目标 思维导图
1.通过实例,理解概率的性质.(数学抽象) 2.掌握随机事件概率的运算法则.(数学 运算)
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问题1.某产品分为甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,若生产中出现乙级品的概率是0.03,出现丙级品的概率是0.01,则对产品抽查一次抽得正品的概率是多少
提示:0.96.因为抽查得到正品和抽查得到次品是互斥的,抽查得到次品的概率是0.03+0.01=0.04,所以抽查一次抽得正品的概率是1-0.04=0.96.
问题2.在掷骰子的试验中,事件A={出现的点数为1},事件B={出现的点数为奇数},事件A与事件B有怎样的关系,P(A)与P(B)有怎样的关系
提示:因为1为奇数,所以A B,P(A)≤P(B).
【核心概念】
概率的性质
1.对任意的事件A,都有P(A)≥0.
2.P(Ω)=1,P( )=0.
3.若事件A与事件B互斥,则有P(A∪B)=P(A)+P(B).
推广:若事件A1,A2,…,An两两互斥,则有P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
4.若事件A与事件B互为对立事件,则有P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).
5.若A B,则P(A)≤P(B),由 A Ω,得0≤P(A)≤1.
6.设A,B是一随机试验中的两个事件,则有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB).
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探究点一 概率性质及概率的加法公式
【典例1】(一题多解)
在数学考试中,小明的成绩(取整数)不低于90分的概率是0.18,在[80,89]的概率是0.51,在[70,79]的概率是0.15,在[60,69]的概率是0.09,在60分以下的概率是0.07,计算:
(1)小明在数学考试中成绩不低于70分的概率;
(2)小明数学考试及格(60分及以上)的概率.
【思维导引】(1)小明的成绩不低于70分可以看作互斥事件“[70,79]”“[80,89]”“不低于90分”的并事件,结合互斥事件概率公式求解即可.
(2)法一:小明数学考试及格可以看作互斥事件“[60,69]”“[70,79]”“[80,89]”“不低于90分”的并事件,结合互斥事件概率公式求解即可.
法二:小明数学考试及格可以看作“小明数学考试不及格(60分以下)”这一事件的对立事件.结合对立事件概率公式求解即可.
【解析】分别记小明的成绩“不低于90分”“[80,89]”“[70,79]”“[60,69]”为事件B,C,D,E,这四个事件彼此互斥.
(1)小明的成绩不低于70分的概率是P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D)=0.18+0.51+0.15=0.84.
(2)法一:小明数学考试及格(60分及以上)的概率是P(B∪C∪D∪E)=P(B)+P(C)+P(D)+P(E)=0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.
法二:小明数学考试不及格(60分以下)的概率是0.07,所以小明数学考试及格(60分及以上)的概率是1-0.07=0.93.
【类题通法】
利用概率的加法公式求概率的步骤
(1)确定各个事件是两两互斥的.
(2)求出各个事件分别发生的概率.
(3)利用公式求事件的概率.
【定向训练】
已知事件A,B是互斥事件,P(A)=,P()=,则P(A∪B)=( )
A. B. C. D.
【解析】选C.因为P(B)=1-P(),P()=,
所以P(B)=,因为事件A,B是互斥事件,
所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=+=.
√
探究点二 对立事件公式的应用
【典例2】(1)已知随机事件A和B互斥,且P(A∪B)=0.6,P(A)=0.4,则事件B的对立事
件的概率为( )
A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.8
【思维导引】借助互斥事件的概率公式及对立事件的定义计算即可得.
【解析】选D.根据题意,因为P(A)=0.4,事件A和B互斥,
所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.6,所以P(B)=0.6-0.4=0.2,
所以事件B的对立事件的概率为1-0.2=0.8.
√
(2)(一题多解)
现有7名世界杯志愿者,其中A1,A2,A3通晓日语,B1,B2通晓韩语,C1,C2通晓葡萄牙语,从中选出通晓日语、韩语、葡萄牙语志愿者各一名组成一个小组,则B1,C1不被选中的概率为 .
【思维导引】求得基本事件的总数,利用列举法求得对立事件所包含的基本事件的个数,求得对立事件的概率,结合对立事件,即可求解.
【解析】由题意,选出通晓日语、韩语、葡萄牙语志愿者各一人,包含下列样本点:
(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),
(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2),共有12种不同的选法,
法一:利用对立事件,
若N表示“B1,C1不被选中”这一事件,则表示“B1,C1被选中”这一事件,
由于由(A1,B1,C1),(A2,B1,C1),(A3,B1,C1),共3个样本点组成,所以P()==,
所以P(N)=1-P()=1-=.
法二:直接法,
若N表示“B1,C1不被选中”这一事件,则N由
(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),
(A3,B2,C2),共9个样本点组成,所以P(N)==.
答案:
(3)某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得,1 000张奖券为一个开奖单位,每个开奖单位设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个,设一张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B,C,可知其概率分别为P(A)=,
P(B)==,P(C)==.
①求1张奖券中奖的概率;
②求1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.
【思维导引】①1张奖券中奖包括中特等奖、一等奖、二等奖,且A,B,C两两互斥,利用互斥事件的概率加法公式求解即可;
②“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”的对立事件为“1张奖券中特等奖或中一等奖”,则利用互斥事件的概率公式求解即可.
【解析】①1张奖券中奖包括中特等奖、一等奖、二等奖,
设“1张奖券中奖”为事件M,则M=A∪B∪C,
因为A,B,C两两互斥,所以P(M)=P(A)+P(B)+P(C)=,
故1张奖券中奖的概率为.
②设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N,则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件,
所以P(N)=1-P(A∪B)
=1-(P(A)+P(B))=,
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.
【类题通法】
正难则反求概率
(1)找准对立事件.
(2)要有应用对立事件的意识:当事件本身包含的情况较多,而其对立事件包含的结果很少时,就应该利用与对立事件的关系求解,即贯彻“正难则反”的思想.
探究点三 互斥事件、对立事件与古典概型的综合问题
【典例3】某大学数学学院拟成立由4名同学组成的志愿者招募宣传队,经过初步选定,2名男同学,4名女同学共6名同学成为候选人,每位候选人当选宣传队队员的机会是相同的.
(1)求当选的4名同学中恰有1名男同学的概率;
(2)求当选的4名同学中至少有3名女同学的概率.
【思维导引】首先分析事件性质,将“4名同学中至少有3名女同学”分解成“1名男同学3名女同学”和“4名女同学”两个基本事件的和.利用概率加法公式进行计算.
【解析】(1)将2名男同学和4名女同学分别编号为1,2,3,4,5,6(其中1,2是男同学,3,4,5,6是女同学),该学院6名同学中有4名当选的情况有(1,2,3,4),(1,2,3,5),(1,2,3,6),(1,2,4,5),(1,2,4,6),(1,2,5,6),(1,3,4,5),(1,3,4,6),(1,3,5,6),(1,4,5,6),(2,3,4,5),(2,3,4,6),(2,3,5,6),(2,4,5,6),(3,4,5,6),共15种,当选的4名同学中恰有1名男同学的情况有(1,3,4,5),(1,3,4,6),(1,3,5,6),(1,4,5,6),(2,3,4,5),(2,3,4,6),(2,3,5,6),(2,4,5,6),共8种,故当选的4名同学中恰有1名男同学的概率为.
(2)当选的4名同学中至少有3名女同学包括3名女同学当选(恰有1名男同学当选),4名女同学当选这两种情况,而4名女同学当选的情况只有(3,4,5,6),则其概率为,又当选的4名同学中恰有1名男同学的概率为,故当选的4名同学中至少有3名女同学的概率为+=.
【类题通法】
解决互斥事件、对立事件与古典概型的
综合问题的法
解决此类问题的关键是理解题目的实际含义,把实际问题转化为概率模型,必要时将所求的事件转化成彼此互斥的事件的和,或者先求其对立事件的概率,进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解.
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1.围棋盒子中有多粒黑子和白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率为,都是白子的概率是,则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )
A. B. C. D.1
【解析】选C.从中取出2粒恰好是同一色包含都是黑子或都是白子两个事件,这两个事件是互斥事件,设两粒是同一色为事件A,同为黑子为事件B,同为白子为事件C,则P(A)=P(B+C)=P(B)+P(C)=+=.
√
2.若A,B是互斥事件,则 ( )
A.P(A+B)<1 B.P(A+B)=1
C.P(A+B)>1 D.P(A+B)≤1
【解析】选D.因为A,B是互斥事件,所以P(A+B)=P(A)+P(B)≤1(当A,B是对立事件时,
P(A+B)=1).
√
3.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.4,既用现金支付也用非现金支付的
概率为0.3,则不用现金支付的概率为 ( )
A.0.4 B.0.3 C.0.7 D.0.6
【解析】选B.由题得不用现金支付的概率P=1-0.4-0.3=0.3.
4.设A是一个随机事件,则P(A)的取值范围是 .
【解析】随机事件的概率0≤P(A)≤1.
答案:[0,1]
√
5.甲、乙两人下围棋,已知甲获胜的概率为0.45,两人平局的概率为0.1,则甲不输的
概率为 .
【解析】记事件A={甲获胜},事件B={甲、乙平局},C={甲不输},则C=A+B,
而A,B是互斥事件,故P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.55.
答案:0.55
