10.2 事件的相互独立性
素养目标 思维导图
1.结合有限样本空间,了解两个随机事件独立性的含义.(数学抽象) 2.结合古典概型,利用独立性计算概率.(数学运算)
课前自主学习
问题1.前面我们研究过互斥事件、对立事件的概率性质,还研究过和事件的概率计算法.对于积事件AB发生的概率与事件A,B发生的概率是否有关呢
提示:积事件AB就是事件A与事件B同时发生.因此,积事件AB发生的概率一定与事件A,B发生的概率有关.
问题2.试验1:分别抛掷两枚质地均匀的硬币,A=“第一枚硬币正面朝上”,B=“第二枚硬币反面朝上”,你觉得事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗
提示:因为两枚硬币分别抛掷,第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结果互相不受影响,所以事件A发生与否不影响事件B发生的概率.
试验2:一个袋子中装有标号分别是1,2,3,4的4个球,除标号外没有其他差异.采用有放回式从袋中依次任意摸出两球.设A=“第一次摸到球的标号小于3”,B=“第二次摸到球的标号小于3”.
(1)分别计算P(A),P(B),P(AB),你有什么发现
提示:P(A)=,P(B)=,P(AB)=,得到P(AB)=P(A)P(B).
(2)事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗
提示:因为是有放回摸球,第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响,所以事件A发生与否也不影响事件B发生的概率.
【核心概念】
1.相互独立事件的概率
对任意两个事件A,B,如果P(AB)=P(A)·P(B)成立,则称事件A与事件B相互独立.简称独立.
2.相互独立事件的性质
如果事件A与B是相互独立事件,则A与,与B,与也相互独立.
课堂合作探究
探究点一 事件相互独立性的判定
【典例1】现有5张完相同的卡片,分别写有字母A,B,C,D,E,从中任取一张,看后再放回,再任取一张.甲表示事件“第一次抽取卡片的字母为B”,乙表示事件“第二次抽取卡片的字母为E”,丙表示事件“两次抽取卡片的字母相邻”,丁表示事件“两次抽取卡片的字母不相邻”,则 ( )
A.乙与丁相互独立
B.甲与丙相互独立
C.丙与丁相互独立
D.甲与乙相互独立
【思维导引】计算出事件甲、乙、丙、丁的概率,结合独立事件的定义逐项判断,可得出合适的选项.
【解析】选D.设事件甲、乙、丙、丁分别记为M1,M2,M3,M4,由题意可得P(M1)=P(M2)=,有放回地抽取卡片两次的基本事件数为25,两次抽取卡片的字母相邻的基本事件为(A,B),(B,C),(C,D),(D,E),(B,A),(C,B),(D,C),(E,D),共8个,两次抽取卡片的字母不相邻的基本事件数为25-8=17,则P(M3)=,P(M4)=,显然丙与丁为对立事件,C错误;对于A,乙与丁同时发生的基本事件为(A,E),(B,E),(C,E),有3个,则P(M2M4)=≠=P(M2)P(M4),所以乙与丁不相互独立,A错误;对于B,甲与丙同时发生的基本事件(B,C),(B,A),有2个,
则P(M1M3)=≠=P(M1)P(M3),所以甲与丙不相互独立,B错误;
对于D,甲与乙同时发生的基本事件为(B,E),只有1个,则P(M1M2)===P(M1)P(M2),所以甲与乙相互独立,D正确.
【类题通法】
判断两个事件独立性的法
(1)利用相互独立事件的定义:即P(AB)=P(A)·P(B),可以准确地判断两个事件是否相互独立,这是定量计算法,较准确.
(2)从定性的角度进行分析:看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响.没有影响就是相互独立事件,有影响就不是相互独立事件.
【定向训练】
有4个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.
(1)写出这个试验的样本空间Ω;
(2)事件A表示“第一次取出的球的数字是1”,事件B表示“两次取出的球的数字之和是5”.判断事件A和事件B是否相互独立,并说明理由.
【解析】(1)依题意,这个试验的样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),
(4,2),(4,3),(4,4)}.
(2)事件A和事件B相互独立,理由如下:
因为A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4)},B={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)},
所以P(A)==,P(B)==,
因为A∩B={(1,4)},所以P(AB)=,
因为P(A)·P(B)==P(AB),所以事件A和事件B相互独立.
探究点二 相互独立事件发生的概率
【典例2】(1)为庆祝教师节,某校举办教师联谊会,甲、乙两名数学老师组成“几何队”参加“成语猜猜猜”比赛,每轮比赛由甲、乙两人各猜一个成语,已知甲每轮猜对的概率为,乙每轮猜对的概率为.在每轮比赛中,甲和乙猜对与否互不影响,则“几何队”在一轮比赛中至少猜对一个成语的概率为 ( )
A. B. C. D.
【思维导引】利用事件的相互独立性求解.法一,所求事件转化为互斥事件的和事件,利用概率加法公式求解即可;法二,利用对立事件的概率和为1,间接法可得.
【解析】选B.设事件A=“甲猜对”,B=“乙猜对”,C=“几何队至少猜对一个成语”,
所以P(A)=,P(B)=,则P()=,P()=.由题意知,事件A,B相互独立,则与B,A与,与也相互独立,
法一:C=(B)∪(A)∪(AB),且B,A,AB两两互斥,
则P(C)=P(B)+P(A)+P(AB)=P()P(B)+P(A)P()+P(A)P(B)
=++=.
法二:事件C的对立事件=“几何队一个成语也没有猜对”,即= ,
则P(C)=1-P()=1-P( )=1-P()P()=1-=.
(2)小明和小王两名同学组成诗词挑战杯代表队参加市相关部门组建的猜诗词大会,每轮挑战由小明、小王各猜一句诗词,已知小明每轮猜对的概率为,小王每轮猜对的概率为.在每轮活动中,小明和小王猜对与否互不影响,各轮结果也互不影响.
①求小明在两轮活动中恰好猜对1句诗词的概率;
②求诗词挑战杯代表队在两轮活动中猜对3句诗词的概率.
【思维导引】①利用古典概型的概率公式以及互斥事件的概率和公式即可求出结果.
②诗词挑战杯代表队在两轮活动中猜对3句诗词包括小王猜对2句诗词,小明猜对1句诗词和小王猜对1句诗词,小明猜对2句诗词,分别计算概率再相加即可.
【解析】①设A1表示事件“小明两轮活动中猜对1句诗词”,则P(A1)=+=.
②设A2表示事件“小明两轮猜对2句诗词”,B1,B2分别表示事件“小王两轮猜对1句、2句诗词”,则P(A1)=,P(A2)==,P(B1)=+=,P(B2)==.
设事件A=“诗词挑战杯代表队在两轮活动中猜对3句诗词”,则A=A1B2∪A2B1,且A1B2与A2B1互斥,A1与B2,A2与B1分别相互独立,
所以P(A)=P(A1B2)+P(A2B1)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)=+=,
即诗词挑战杯代表队在两轮活动中猜对3句诗词的概率是.
【类题通法】
求相互独立事件同时发生的概率的步骤
(1)确定各事件之间是相互独立的.
(2)确定这些事件可以同时发生.
(3)求出每个事件的概率,再求积.
提醒:使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时,注意公式的适用条件,即各个事件是相互独立的,而且它们能同时发生.
【定向训练】
1.小刚参与一种答题游戏,需要解答A,B,C三道题.已知他答对这三道题的概率分别为a,a,,且各题答对与否互不影响,若他恰好能答对两道题的概率为,则他三道题都答错的概率为( )
A. B. C. D.
【思维导引】记小刚解答A,B,C三道题正确分别为事件D,E,F,并利用D,E,F构造相应的事件,根据概率加法公式与乘法公式求解相应事件的概率.
【解析】选C.记小刚解答A,B,C三道题正确分别为事件D,E,F,且D,E,F相互独立,且P(D)=P(E)=a,P(F)=.恰好能答对两道题为事件DE+DF+EF,且DE,DF,EF两两互斥,所以
P(DE+DF+EF)=P(DE)+P(DF)+P(EF)=P(D)P(E)P()+P(D)P()P(F)+P()P(E)P(F)=a×a×(1-)+a×(1-a)×+(1-a)×a×=,整理得(1-a)2=,他三道题都答错为事件,故P()=P()P()P()=(1-a)2(1-)=(1-a)2=.
2.(多选)甲罐中有3个红球、2个白球,乙罐中有4个红球、1个白球,先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐,分别以A1,A2表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件,再从乙罐中随机取出1个球,以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件,下列结论正确的是 ( )
A.事件A1,A2互斥
B.事件B与事件A1相互独立
C.P(A1B)=
D.P(B)=
【思维导引】先画出树状图,由A1,A2不可能同时发生可判断A;求得P(A1),P(A2),P(B),P(A1B)的值,可判断C,D;利用P(A1B)≠P(A1)P(B)可判断B.
【解析】选ACD.根据题意画出树状图,得到有关事件的样本点数,
A1,A2不可能同时发生,故彼此互斥,故A正确;
P(A1)==,P(A2)==,P(B)==,P(A1B)==,故C正确,D正确;
因为P(A1B)=,P(A1)P(B)==,则P(A1B)≠P(A1)P(B),则事件B与事件A1不相互独立,故B错误.
探究点三 相互独立事件概率的实际应用
【典例3】(规范解答)
(15分)为了弘扬中华优秀传统文化,加强对学生的美育教育,某校开展了为期5天的传统艺术活动,从第1天至第5天依次开展“书画”“古琴”“汉服”“戏曲”“面塑”共5项传统艺术活动,每名学生至少选择其中一项进行体验,为了解该校上述活动的开展情况,现从高一、高二、高三学生中各随机选取了100名学生作为样本进行调查,调查数据如表:
传统艺术 活动 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天
书画 古琴 汉服 戏曲 面塑
高一体验人数 80 45 55 20 45
高二体验人数 40 60 60 80 40
高三体验人数 15 50 40 75 30
(1)从样本中随机选取1名学生,求这名学生体验戏曲活动的概率;
(2)从高一、高二、高三年级中各随机选取1名学生,估计这3名学生中恰有1名参加戏曲体验的概率;
(3)为了解不同年级学生对各项传统艺术活动的喜爱度,现从高一、高二、高三样本中各随机选取1名学生进行访谈,设这3名学生均选择了第k天传统艺术活动的概率为Pk(k=1,2,3,4,5),当Pk取得最大值时,写出k的值.(直接写出答案即可)
【思维导引】(1)结合古典概型可直接求解;
(2)先求出样本中这3名学生中恰有1名参加戏曲体验的概率,再利用样本估计总体概率;
(3)结合相互独立事件概率公式求出P1,P2,P3,P4,P5,即可求解.
【解析】(1)由题意知,样本中学生共有100+100+100=300人, 2分
其中体验戏曲活动的学生共20+80+75=175人, 3分
设事件A为“从样本中随机选取1名学生,这名学生体验戏曲活动”,
故所求概率为P(A)==. 5分
(2)从高一、高二、高三年级的体验学生中各随机选取1名学生,这3名学生中恰有1名参加戏曲体验的概率为0.2×0.2×0.25+0.8×0.8×0.25+0.8×0.2×0.75=0.29, 8分
所以从高一、高二、高三年级中各随机选取1名学生,估计这3名学生中恰有1名参加戏曲体验的概率为0.29. 11分
(3)由题可知,P1=0.8×0.4×0.15=0.048,
P2=0.45×0.6×0.5=0.135,
P3=0.55×0.6×0.4=0.132,
P4=0.2×0.8×0.75=0.12,
P5=0.45×0.4×0.3=0.054, 13分
故P1
所以当Pk取得最大值时,k=2. 15分
【类题通法】
求复杂事件的概率的三个步骤
(1)用字母表示事件:列出题中涉及的各个事件,并用适当的符号表示它们.
(2)拆分事件:厘清各事件之间的关系,恰当地用事件间的“并”“交”表示所求事件.
(3)选择公式:根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算.
【定向训练】
某校举行知识竞赛,规则如下:选手每两人一组,同一组的两人以抢答的式答题,抢到并回答正确得1分,答错则对得1分,比赛进行到一比另一多2分为止,且多得2分的一胜出.现甲、乙两人分在同一组,两人都参与每一次抢题,每次抢到的概率都为.若甲、乙正确回答每道题的概率分别为和,每道题回答是否正确相互独立.
(1)求第1题答完甲得1分的概率;
(2)求第2题答完比赛结束的概率.
【解析】(1)记“答完1题甲得1分”为事件A,则P(A)=+=,第1题答完甲得1分的概率为.
(2)第2题答完比赛结束,甲得了2分,或乙得了2分.
记“答完1题乙得1分为事件B,”则P(B)=1-P(A)=.
记“第2题答完比赛结束”为事件C,P(C)=+=.
课堂学业达标
1.袋内有大小相同的3个白球和2个黑球,从中不放回地摸球,用A表示“第一次摸到白球”,用B表示“第二次摸到白球”,则A与B是 ( )
A.互斥事件 B.相互独立事件
C.对立事件 D.非相互独立事件
【解析】选D.根据互斥事件、对立事件及相互独立事件的概念可知,A与B为非相互独立事件.
2.下列事件中,A,B是相互独立事件的是 ( )
A.一枚硬币掷两次,A=“第一次为正面”,B=“第二次为反面”
B.袋中有2白,2黑的小球,不放回地摸两球,A=“第一次摸到白球”,B=“第二次摸到白球”
C.掷一枚骰子,A=“出现点数为奇数”,B=“出现点数为偶数”
D.A=“人能活到20岁”,B=“人能活到50岁”
【解析】选A.把一枚硬币掷两次,对于每次而言是相互独立的,其结果不受先后影响,故A正确;B中是不放回地摸球,显然A事件与B事件不相互独立;对于C,A,B应为互斥事件,不相互独立;D中事件B受事件A的影响,所以不相互独立.
3.如图所示,A,B,C表示3个开关,若在某段时间内,它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7,则该系统的可靠性(3个开关只要一个开关正常工作即可靠)为 ( )
A.0.504 B.0.994 C.0.496 D.0.064
【解析】选B.由题意知,所求概率为1-(1-0.9)(1-0.8)(1-0.7)=1-0.006=0.994.
4.明天上午李明要参加“青年文明号”活动,为了准时起床,他用甲、乙两个闹钟叫醒自己,假设甲闹钟准时响的概率为0.80,乙闹钟准时响的概率为0.90,则两个闹钟至少有一个准时响的概率是 .
【解析】设两个闹钟至少有一个准时响的事件为A,则P(A)=1-(1-0.80)(1-0.90)=1-0.20×0.10=0.98.
答案:0.98
5.某早餐店提供3种套餐,每位顾客可以从中任选一种(顾客的选择相互独立),则甲、乙、丙三位顾客选择同一种套餐的概率为 .
【解析】根据某早餐店提供3种套餐,每位顾客可以从中任选一种(顾客的选择相互独立),选择每一种套餐的概率为,甲、乙、丙三位顾客选择三种套餐中任何一种套餐的概率为,甲、乙、丙三位顾客选择同一种套餐的概率为3×=.
答案:
课时巩固请使用 课时素养检测 四十二(共34张PPT)
课前自主学习
课堂合作探究
课堂学业达标
10.2 事件的相互独立性
素养目标 思维导图
1.结合有限样本空间,了解两个随机事件 独立性的含义.(数学抽象) 2.结合古典概型,利用独立性计算概率. (数学运算)
课前自主学习
问题1.前面我们研究过互斥事件、对立事件的概率性质,还研究过和事件的概率计算法.对于积事件AB发生的概率与事件A,B发生的概率是否有关呢
提示:积事件AB就是事件A与事件B同时发生.因此,积事件AB发生的概率一定与事件A,B发生的概率有关.
问题2.试验1:分别抛掷两枚质地均匀的硬币,A=“第一枚硬币正面朝上”,B=“第二枚硬币反面朝上”,你觉得事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗
提示:因为两枚硬币分别抛掷,第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结果互相不受影响,所以事件A发生与否不影响事件B发生的概率.
试验2:一个袋子中装有标号分别是1,2,3,4的4个球,除标号外没有其他差异.采用有放回式从袋中依次任意摸出两球.设A=“第一次摸到球的标号小于3”,B=“第二次摸到球的标号小于3”.
(1)分别计算P(A),P(B),P(AB),你有什么发现
提示:P(A)=,P(B)=,P(AB)=,得到P(AB)=P(A)P(B).
(2)事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗
提示:因为是有放回摸球,第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响,所以事件A发生与否也不影响事件B发生的概率.
【核心概念】
1.相互独立事件的概率
对任意两个事件A,B,如果P(AB)=__________成立,则称事件A与事件B相互独立.简称
独立.
2.相互独立事件的性质
如果事件A与B是相互独立事件,则A与,与B,与也_________.
P(A)·P(B)
相互独立
课堂合作探究
探究点一 事件相互独立性的判定
【典例1】现有5张完相同的卡片,分别写有字母A,B,C,D,E,从中任取一张,看后再放回,再任取一张.甲表示事件“第一次抽取卡片的字母为B”,乙表示事件“第二次抽取卡片的字母为E”,丙表示事件“两次抽取卡片的字母相邻”,丁表示事件“两次抽取卡片的字母不相邻”,则( )
A.乙与丁相互独立 B.甲与丙相互独立
C.丙与丁相互独立 D.甲与乙相互独立
【思维导引】计算出事件甲、乙、丙、丁的概率,结合独立事件的定义逐项判断,可得出合适的选项.
√
【解析】选D.设事件甲、乙、丙、丁分别记为M1,M2,M3,M4,由题意可得P(M1)=P(M2)=,有放回地抽取卡片两次的基本事件数为25,两次抽取卡片的字母相邻的基本事件为(A,B),(B,C),(C,D),(D,E),(B,A),(C,B),(D,C),(E,D),共8个,两次抽取卡片的字母不相邻的基本事件数为25-8=17,则P(M3)=,P(M4)=,显然丙与丁为对立事件,C错误;对于A,乙与丁同时发生的基本事件为(A,E),(B,E),(C,E),有3个,则P(M2M4)=≠=P(M2)P(M4),所以乙与丁不相互独立,A错误;对于B,甲与丙同时发生的基本事件(B,C),(B,A),有2个,
则P(M1M3)=≠=P(M1)P(M3),所以甲与丙不相互独立,B错误;
对于D,甲与乙同时发生的基本事件为(B,E),只有1个,则P(M1M2)===P(M1)P(M2),所以甲与乙相互独立,D正确.
【类题通法】
判断两个事件独立性的法
(1)利用相互独立事件的定义:即P(AB)=P(A)·P(B),可以准确地判断两个事件是否相互独立,这是定量计算法,较准确.
(2)从定性的角度进行分析:看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响.没有影响就是相互独立事件,有影响就不是相互独立事件.
【定向训练】
有4个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.
(1)写出这个试验的样本空间Ω;
(2)事件A表示“第一次取出的球的数字是1”,事件B表示“两次取出的球的数字之和是5”.判断事件A和事件B是否相互独立,并说明理由.
【解析】(1)依题意,这个试验的样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),
(4,2),(4,3),(4,4)}.
(2)事件A和事件B相互独立,理由如下:
因为A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4)},B={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)},
所以P(A)==,P(B)==,
因为A∩B={(1,4)},所以P(AB)=,
因为P(A)·P(B)==P(AB),所以事件A和事件B相互独立.
探究点二 相互独立事件发生的概率
【典例2】(1)为庆祝教师节,某校举办教师联谊会,甲、乙两名数学老师组成“几何队”参加“成语猜猜猜”比赛,每轮比赛由甲、乙两人各猜一个成语,已知甲每轮猜对的概率为,乙每轮猜对的概率为.在每轮比赛中,甲和乙猜对与否互不影响,则“几何队”在一轮比赛中至少猜对一个成语的概率为( )
A. B. C. D.
【思维导引】利用事件的相互独立性求解.法一,所求事件转化为互斥事件的和事件,利用概率加法公式求解即可;法二,利用对立事件的概率和为1,间接法可得.
√
【解析】选B.设事件A=“甲猜对”,B=“乙猜对”,C=“几何队至少猜对一个成语”,
所以P(A)=,P(B)=,则P()=,P()=.由题意知,事件A,B相互独立,则与B,A与,与也相互独立,
法一:C=(B)∪(A)∪(AB),且B,A,AB两两互斥,
则P(C)=P(B)+P(A)+P(AB)=P()P(B)+P(A)P()+P(A)P(B)
=++=.
法二:事件C的对立事件=“几何队一个成语也没有猜对”,即= ,
则P(C)=1-P()=1-P( )=1-P()P()=1-=.
(2)小明和小王两名同学组成诗词挑战杯代表队参加市相关部门组建的猜诗词大会,每轮挑战由小明、小王各猜一句诗词,已知小明每轮猜对的概率为,小王每轮猜对的概率为.在每轮活动中,小明和小王猜对与否互不影响,各轮结果也互不影响.
①求小明在两轮活动中恰好猜对1句诗词的概率;
②求诗词挑战杯代表队在两轮活动中猜对3句诗词的概率.
【思维导引】①利用古典概型的概率公式以及互斥事件的概率和公式即可求出结果.
②诗词挑战杯代表队在两轮活动中猜对3句诗词包括小王猜对2句诗词,小明猜对1句诗词和小王猜对1句诗词,小明猜对2句诗词,分别计算概率再相加即可.
【解析】①设A1表示事件“小明两轮活动中猜对1句诗词”,则P(A1)=+=.
②设A2表示事件“小明两轮猜对2句诗词”,B1,B2分别表示事件“小王两轮猜对1句、2句诗词”,则P(A1)=,P(A2)==,P(B1)=+=,P(B2)==.
设事件A=“诗词挑战杯代表队在两轮活动中猜对3句诗词”,则A=A1B2∪A2B1,且A1B2与A2B1互斥,A1与B2,A2与B1分别相互独立,
所以P(A)=P(A1B2)+P(A2B1)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)=+=,
即诗词挑战杯代表队在两轮活动中猜对3句诗词的概率是.
【类题通法】
求相互独立事件同时发生的概率的步骤
(1)确定各事件之间是相互独立的.
(2)确定这些事件可以同时发生.
(3)求出每个事件的概率,再求积.
提醒:使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时,注意公式的适用条件,即各个事件是相互独立的,而且它们能同时发生.
【定向训练】
1.小刚参与一种答题游戏,需要解答A,B,C三道题.已知他答对这三道题的概率分别为a,a,,且各题答对与否互不影响,若他恰好能答对两道题的概率为,则他三道题都答错的概率为( )
A. B. C. D.
【思维导引】记小刚解答A,B,C三道题正确分别为事件D,E,F,并利用D,E,F构造相应的事件,根据概率加法公式与乘法公式求解相应事件的概率.
√
【解析】选C.记小刚解答A,B,C三道题正确分别为事件D,E,F,且D,E,F相互独立,
且P(D)=P(E)=a,P(F)=.恰好能答对两道题为事件DE+DF+EF,
且DE,DF,EF两两互斥,
所以P(DE+DF+EF)=P(DE)+P(DF)+P(EF)
=P(D)P(E)P()+P(D)P()P(F)+P()P(E)P(F)
=a×a×(1-)+a×(1-a)×+(1-a)×a×=,
整理得(1-a)2=,他三道题都答错为事件,
故P()=P()P()P()=(1-a)2(1-)=(1-a)2=.
2.(多选)甲罐中有3个红球、2个白球,乙罐中有4个红球、1个白球,先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐,分别以A1,A2表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件,再从乙罐中随机取出1个球,以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件,下列结论正确的是 ( )
A.事件A1,A2互斥
B.事件B与事件A1相互独立
C.P(A1B)=
D.P(B)=
【思维导引】先画出树状图,由A1,A2不可能同时发生可判断A;
求得P(A1),P(A2),P(B),P(A1B)的值,可判断C,D;利用P(A1B)≠P(A1)P(B)可判断B.
√
√
√
【解析】选ACD.根据题意画出树状图,得到有关事件的样本点数,
A1,A2不可能同时发生,故彼此互斥,故A正确;
P(A1)==,P(A2)==,P(B)==,P(A1B)==,故C正确,D正确;
因为P(A1B)=,P(A1)P(B)==,则P(A1B)≠P(A1)P(B),则事件B与事件A1不相互独立,故B错误.
探究点三 相互独立事件概率的实际应用
【典例3】(规范解答)
(15分)为了弘扬中华优秀传统文化,加强对学生的美育教育,某校开展了为期5天的传统艺术活动,从第1天至第5天依次开展“书画”“古琴”“汉服”“戏曲”“面塑”共5项传统艺术活动,每名学生至少选择其中一项进行体验,为了解该校上述活动的开展情况,现从高一、高二、高三学生中各随机选取了100名学生作为样本进行调查,调查数据如表:
传统艺术 活动 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天
书画 古琴 汉服 戏曲 面塑
高一体验人数 80 45 55 20 45
高二体验人数 40 60 60 80 40
高三体验人数 15 50 40 75 30
(1)从样本中随机选取1名学生,求这名学生体验戏曲活动的概率;
(2)从高一、高二、高三年级中各随机选取1名学生,估计这3名学生中恰有1名参加戏曲体验的概率;
(3)为了解不同年级学生对各项传统艺术活动的喜爱度,现从高一、高二、高三样本中各随机选取1名学生进行访谈,设这3名学生均选择了第k天传统艺术活动的概率为Pk(k=1,2,3,4,5),当Pk取得最大值时,写出k的值.(直接写出答案即可)
【思维导引】(1)结合古典概型可直接求解;
(2)先求出样本中这3名学生中恰有1名参加戏曲体验的概率,再利用样本估计总体概率;
(3)结合相互独立事件概率公式求出P1,P2,P3,P4,P5,即可求解.
【解析】(1)由题意知,样本中学生共有100+100+100=300人, ………… 2分
其中体验戏曲活动的学生共20+80+75=175人, …………………… 3分
设事件A为“从样本中随机选取1名学生,这名学生体验戏曲活动”,
故所求概率为P(A)==. ……………………………5分
(2)从高一、高二、高三年级的体验学生中各随机选取1名学生,这3名学生中恰有1
名参加戏曲体验的概率为0.2×0.2×0.25+0.8×0.8×0.25+0.8×0.2×0.75=0.29,…8分
所以从高一、高二、高三年级中各随机选取1名学生,估计这3名学生中恰有1名参
加戏曲体验的概率为0.29. ……………………………………11分
(3)由题可知,P1=0.8×0.4×0.15=0.048,
P2=0.45×0.6×0.5=0.135,
P3=0.55×0.6×0.4=0.132,
P4=0.2×0.8×0.75=0.12,
P5=0.45×0.4×0.3=0.054, ………………13分
故P1所以当Pk取得最大值时,k=2. ………………15分
【类题通法】
求复杂事件的概率的三个步骤
(1)用字母表示事件:列出题中涉及的各个事件,并用适当的符号表示它们.
(2)拆分事件:厘清各事件之间的关系,恰当地用事件间的“并”“交”表示所求事件.
(3)选择公式:根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算.
【定向训练】
某校举行知识竞赛,规则如下:选手每两人一组,同一组的两人以抢答的式答题,抢到并回答正确得1分,答错则对得1分,比赛进行到一比另一多2分为止,且多得2分的一胜出.现甲、乙两人分在同一组,两人都参与每一次抢题,每次抢到的概率都为.若甲、乙正确回答每道题的概率分别为和,每道题回答是否正确相互独立.
(1)求第1题答完甲得1分的概率;
(2)求第2题答完比赛结束的概率.
【解析】(1)记“答完1题甲得1分”为事件A,则P(A)=+=,第1题答完甲得1分的概率为.
(2)第2题答完比赛结束,甲得了2分,或乙得了2分.
记“答完1题乙得1分为事件B,”则P(B)=1-P(A)=.
记“第2题答完比赛结束”为事件C,P(C)=+=.
课堂学业达标
1.袋内有大小相同的3个白球和2个黑球,从中不放回地摸球,用A表示“第一次摸到白球”,用B表示“第二次摸到白球”,则A与B是 ( )
A.互斥事件 B.相互独立事件
C.对立事件 D.非相互独立事件
【解析】选D.根据互斥事件、对立事件及相互独立事件的概念可知,A与B为非相互独立事件.
√
2.下列事件中,A,B是相互独立事件的是 ( )
A.一枚硬币掷两次,A=“第一次为正面”,B=“第二次为反面”
B.袋中有2白,2黑的小球,不放回地摸两球,A=“第一次摸到白球”,B=“第二次摸到白球”
C.掷一枚骰子,A=“出现点数为奇数”,B=“出现点数为偶数”
D.A=“人能活到20岁”,B=“人能活到50岁”
【解析】选A.把一枚硬币掷两次,对于每次而言是相互独立的,其结果不受先后影响,故A正确;B中是不放回地摸球,显然A事件与B事件不相互独立;对于C,A,B应为互斥事件,不相互独立;D中事件B受事件A的影响,所以不相互独立.
√
3.如图所示,A,B,C表示3个开关,若在某段时间内,它们正常工作的概率分别为
0.9,0.8,0.7,则该系统的可靠性(3个开关只要一个开关正常工作即可靠)为 ( )
A.0.504 B.0.994 C.0.496 D.0.064
【解析】选B.由题意知,所求概率为1-(1-0.9)(1-0.8)(1-0.7)=1-0.006=0.994.
√
4.明天上午李明要参加“青年文明号”活动,为了准时起床,他用甲、乙两个闹钟叫醒自己,假设甲闹钟准时响的概率为0.80,乙闹钟准时响的概率为0.90,则两个闹钟至少有一个准时响的概率是 .
【解析】设两个闹钟至少有一个准时响的事件为A,
则P(A)=1-(1-0.80)(1-0.90)=1-0.20×0.10=0.98.
答案:0.98
5.某早餐店提供3种套餐,每位顾客可以从中任选一种(顾客的选择相互独立),则甲、乙、丙三位顾客选择同一种套餐的概率为 .
【解析】根据某早餐店提供3种套餐,每位顾客可以从中任选一种(顾客的选择相互独立),选择每一种套餐的概率为,甲、乙、丙三位顾客选择三种套餐中任何一种套餐的概率为,甲、乙、丙三位顾客选择同一种套餐的概率为3×=.
答案:
