(共26张PPT)
课前自主学习
课堂合作探究
课堂学业达标
10.3 频率与概率
10.3.1 频率的稳定性
素养目标 思维导图
结合实例,会用频率估计概率.(数据分析)
课前自主学习
问题1.《三国演义》中,诸葛亮曾经利用自身丰富的气象观测经验,提前三天准确地预报出一场大雾,并在大雾的掩护下,演出了一场“草船借箭”的好戏,令世人惊叹.诸葛亮应用的是哪些面的数学知识
提示:概率与统计的知识.
问题2.两位同学在相同的条件下,都抛掷一枚硬币100次,得到正面向上的频率一定相同吗
提示:不一定.
问题3.同一个随机事件在相同条件下在每次试验中发生的概率都一样吗
提示:概率是从数量上反映随机事件在一次试验中发生可能性的大小的一个量,是一个确定的数,是客观存在的,与每次试验无关;同一个随机事件在相同条件下在每次试验中发生的概率都是一样的.
问题4.连续掷硬币100次,结果100次部是正面朝上,出现这样的结果,你会怎么想 原因何在
提示:出现这样的情况,我们可以认为该硬币的质地是不均匀的,如果抛硬币试验中,该硬币是质地均匀的,则出现正面朝上和出现反面朝上的概率是一样的,即出现正面向上与出现反面向上的次数不会相差太大.
【核心概念】
用频率估计概率
大量试验表明,在任何确定次数的随机试验中,一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A),我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此我们可以用频率fn(A)估计概率P(A).
课堂合作探究
探究点一 频率与概率
【典例1】甲同学在数学探究活动中做抛硬币试验,共抛掷了2 000次,其中正面朝上的有1 034次,则下列说法正确的是( )
A.抛掷一枚硬币,正面朝上的概率为0.517
B.甲同学的试验中,反面朝上的频率为0.483
C.抛掷一枚硬币,反面朝上的概率小于0.5
D.甲同学的试验中,正面朝上的频率接近0.517
【解析】选B.甲同学的试验中,正面朝上的频率为0.517,反面朝上的频率为0.483,故B正确;抛掷一枚硬币,正面朝上与反面朝上的概率均为0.5,为定值,故A,C错误;甲同学的试验中,正面朝上的频率就是0.517,而不是接近0.517,故D错误.
√
【类题通法】
概率与频率的区别与联系
1.区别:概率是随机事件发生可能性大小的度量,是随机事件A的本质属性,频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值,利用此公式可求出频率,频率本身是随机变量;
2.联系:由频率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的,但随机中含有规律性,而概率就是其规律性在数量上的反映.
【定向训练】
抛掷一枚质地均匀的硬币,设事件A=“正面向上”,则下列说法正确的是( )
A.抛掷硬币10次,事件A必发生5次
B.抛掷硬币100次,事件A不可能发生50次
C.抛掷硬币1 000次,事件A发生的频率一定等于0.5
D.随着抛掷硬币次数的增多,事件A发生的频率逐渐稳定在0.5附近
【解析】选D.不管抛掷硬币多少次,事件A发生的次数是随机事件,故A,B,C错误;随着抛掷硬币次数的增多,事件A发生的频率逐渐稳定在0.5附近.
√
探究点二 利用频率估计概率
【典例2】(规范解答)
(13分)(2025·青岛高一检测)如图,A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100
位从A地到火车站的人进行调查,调查结果如表:
所用时间(分钟) [10,20] (20,30] (30,40] (40,50] (50,60]
选择L1的人数 6 12 18 12 12
选择L2的人数 0 4 16 16 4
(1)试用频率估计概率,估计40分钟内不能赶到火车站的概率;
(2)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试用频率估计概率通过计算说明,他们应如何选择各自的路径.
【思维导引】(1)根据频数计算频率即可;
(2)分别计算两个时间段的概率,比较概率的大小可得结论.
【解析】(1)调查的100人,其中40分钟内不能赶到火车站有12+12+16+4=44(人),
……………………………… 1分
因此40分钟内不能赶到火车站的频率为0.44,…………………………3分
用频率估计概率,所以估计40分钟内不能赶到火车站的概率为0.44. …………4分
(2)由题表可知,选择L1的总人数为6+12+18+12+12=60,
选择L2的总人数为4+16+16+4=40,
设A1,A2分别表示甲选择L1和L2时,在40分钟内赶到火车站;
B1,B2分别表示乙选择L1和L2时,在50分钟内赶到火车站, ……………………7分
依题意,P(A1)=++=0.6,P(A2)=+=0.5, ……………………9分
由P(A1)>P(A2),得甲应选择路径L1;10分
P(B1)=+++=0.8,P(B2)=++=0.9, …………………………12分
由P(B1)
所以甲应选择路径L1,乙应选择路径L2. ………………………………13分
【类题通法】
根据频率求随机事件概率的步骤
(1)求频率:利用频率的计算公式fn(A)=,计算出频率值.
(2)估计概率:根据概率的定义确定频率的稳定值即为概率.
探究点三 概率的应用
【典例3】某学校校庆,给每班发了5张庆典门票.班主任王老师准备采用抽签式来决定哪5位同学参加,为此制作了50张签,其中5张写有“庆典”字样.50位同学轮流抽签,抽中写有“庆典”字样的同学参加学校庆典.小明提出:“抽签有先后,第一名同学抽中的概率是.如果第一名同学抽到,第二名同学抽到的概率只有,如果第一名同学未抽中,第二名同学抽中的概率为.抽中的机会未必相等.”你认为王老师的抽签法公平吗 小明的话又如何解释
【思维导引】利用随机抽样的定义及性质分析可得抽签法公平.
【解析】王老师的抽签法公平,每位同学抽中的概率均为,即.
理由如下:
小明的话看似也有道理,第二名同学在第一名同学抽中和未抽中的情况下抽到签的概率有所不同,但抽中签的总概率是相同的,只考虑第50个人抽签的情况,50张签中的每张签有可能被第50个人抽到,且可能性相等,其中有5张签写有“庆典”,因此第50个人抽到写有“庆典”的签的概率为,即,与抽签的人的顺序无关.
【类题通法】
判断游戏规则公平性的关键及步骤
(1)关键:一种游戏对每个人来说是否公平,关键是看在这一游戏规则下,每个人获胜的概率是否相等.
(2)步骤:
①先借助概率计算公式,计算每个人获胜的概率;
②根据计算的结果判断.
课堂学业达标
1.“某彩票的中奖概率为”意味着( )
A.买100张彩票就一定能中奖
B.买100张彩票能中一次奖
C.买100张彩票一次奖也不中
D.购买彩票中奖的可能性为
【解析】选D.某彩票的中奖率为,意味着中奖的可能性为,可能中奖,也可能不中奖.
√
2.某班准备到郊外野营,为此向商店订了帐篷,如果下雨与不下雨是等可能的,能否准时收到帐篷也是等可能的,只要帐篷如期运到,他们就不会淋雨,则下列说法正确的是 ( )
A.一定不会淋雨 B.淋雨的可能性为
C.淋雨的可能性为 D.淋雨的可能性为
【解析】选D.所有可能的事件有“下雨帐篷到”“不下雨帐篷到”“下雨帐篷未到”“不下雨帐篷未到”4种情况,而只有“下雨帐篷未到”时会淋雨,故淋雨的可能性为.
√
3.下面有三种游戏规则:袋子中分别装有大小相同的球,从袋中取球.
其中不公平的游戏是 ( )
A.游戏1 B.游戏1和游戏3
C.游戏2 D.游戏
游戏1 游戏2 游戏3
3个黑球和1个白球 1个黑球和1个白球 2个黑球和2个白球
取1个球,再取1个球 取1个球 取1个球,再取1个球
取出的两个球同色→甲胜 取出的球是黑球→甲胜 取出的两个球同色→甲胜
取出的两个球不同色→ 乙胜 取出的球是白球→乙胜 取出的两个球不同色→
乙胜
√
【解析】选D.游戏1中,取2个球的所有可能情况为(黑1,黑2),(黑1,黑3),(黑2,黑3),
(黑1,白),(黑2,白),(黑3,白).
所以甲胜的可能性为0.5,故游戏是公平的;游戏2中,显然甲胜的可能性为0.5,
游戏是公平的;游戏3中,取2个球的所有可能情况为(黑1,黑2),(黑1,白1),(黑2,白1),
(黑1,白2),(黑2,白2),(白1,白2).所以甲胜的可能性为,游戏是不公平的.
4.(多选)下列关于频率与概率的说法中,错误的是 ( )
A.设有一大批产品,已知其次品率为0.1,则从中任取100件,必有10件是次品
B.做7次抛硬币的试验,结果3次出现正面,因此,抛一枚硬币出现正面的概率是
C.随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
D.利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率,即使随机试验的次数超过10 000,所估计出的概率也不一定很准确.
√
√
√
【解析】选ABC.对于A,从中任取100件,可能有10件,A错误;
对于B,做7次抛硬币的试验,结果3次出现正面,因此,抛一枚硬币出现正面的频率是,不是概率为,B错误;
对于C,多次重复试验中事件发生的频率在某一常数附近,此常数为概率,与描述不符,C错误;
对于D,10 000次的界定没有科学依据,“不一定很准确”的表达正确,试验次数越多,频率越稳定在概率值附近,但并非试验次数越多,频率就等于概率,D正确.
5.对某厂生产的某种产品进行抽样检查,数据如下表所示:
根据表中所提供的数据,若要从该厂生产的此种产品中抽到950件合格品,大约需抽查 件产品.
【解析】由表中数据知:抽查5次,产品合格的频率依次为0.94,0.92,0.96,0.95,0.956,可见频率在0.95附近摆动,故可估计该厂生产的此种产品合格的概率约为0.95.设大约需抽查n件产品,则≈0.95,所以n≈1 000.
答案:1 000
抽查件数 50 100 200 300 500
合格件数 47 92 192 285 47810.3 频率与概率
10.3.1 频率的稳定性
素养目标 思维导图
结合实例,会用频率估计概率.(数据分析)
课前自主学习
问题1.《三国演义》中,诸葛亮曾经利用自身丰富的气象观测经验,提前三天准确地预报出一场大雾,并在大雾的掩护下,演出了一场“草船借箭”的好戏,令世人惊叹.诸葛亮应用的是哪些面的数学知识
提示:概率与统计的知识.
问题2.两位同学在相同的条件下,都抛掷一枚硬币100次,得到正面向上的频率一定相同吗
提示:不一定.
问题3.同一个随机事件在相同条件下在每次试验中发生的概率都一样吗
提示:概率是从数量上反映随机事件在一次试验中发生可能性的大小的一个量,是一个确定的数,是客观存在的,与每次试验无关;同一个随机事件在相同条件下在每次试验中发生的概率都是一样的.
问题4.连续掷硬币100次,结果100次部是正面朝上,出现这样的结果,你会怎么想 原因何在
提示:出现这样的情况,我们可以认为该硬币的质地是不均匀的,如果抛硬币试验中,该硬币是质地均匀的,则出现正面朝上和出现反面朝上的概率是一样的,即出现正面向上与出现反面向上的次数不会相差太大.
【核心概念】
用频率估计概率
大量试验表明,在任何确定次数的随机试验中,一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A),我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此我们可以用频率fn(A)估计概率P(A).
课堂合作探究
探究点一 频率与概率
【典例1】甲同学在数学探究活动中做抛硬币试验,共抛掷了2 000次,其中正面朝上的有1 034次,则下列说法正确的是 ( )
A.抛掷一枚硬币,正面朝上的概率为0.517
B.甲同学的试验中,反面朝上的频率为0.483
C.抛掷一枚硬币,反面朝上的概率小于0.5
D.甲同学的试验中,正面朝上的频率接近0.517
【解析】选B.甲同学的试验中,正面朝上的频率为0.517,反面朝上的频率为0.483,故B正确;抛掷一枚硬币,正面朝上与反面朝上的概率均为0.5,为定值,故A,C错误;甲同学的试验中,正面朝上的频率就是0.517,而不是接近0.517,故D错误.
【类题通法】
概率与频率的区别与联系
1.区别:概率是随机事件发生可能性大小的度量,是随机事件A的本质属性,频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值,利用此公式可求出频率,频率本身是随机变量;
2.联系:由频率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的,但随机中含有规律性,而概率就是其规律性在数量上的反映.
【定向训练】
抛掷一枚质地均匀的硬币,设事件A=“正面向上”,则下列说法正确的是 ( )
A.抛掷硬币10次,事件A必发生5次
B.抛掷硬币100次,事件A不可能发生50次
C.抛掷硬币1 000次,事件A发生的频率一定等于0.5
D.随着抛掷硬币次数的增多,事件A发生的频率逐渐稳定在0.5附近
【解析】选D.不管抛掷硬币多少次,事件A发生的次数是随机事件,故A,B,C错误;随着抛掷硬币次数的增多,事件A发生的频率逐渐稳定在0.5附近.
探究点二 利用频率估计概率
【典例2】(规范解答)
(13分)(2025·青岛高一检测)如图,A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查,调查结果如表:
所用时间(分钟) [10,20] (20,30] (30,40] (40,50] (50,60]
选择L1的人数 6 12 18 12 12
选择L2的人数 0 4 16 16 4
(1)试用频率估计概率,估计40分钟内不能赶到火车站的概率;
(2)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试用频率估计概率通过计算说明,他们应如何选择各自的路径.
【思维导引】(1)根据频数计算频率即可;
(2)分别计算两个时间段的概率,比较概率的大小可得结论.
【解析】(1)调查的100人,其中40分钟内不能赶到火车站有12+12+16+4=44(人), 1分
因此40分钟内不能赶到火车站的频率为0.44,
3分
用频率估计概率,所以估计40分钟内不能赶到火车站的概率为0.44. 4分
(2)由题表可知,选择L1的总人数为6+12+18+12+12=60,
选择L2的总人数为4+16+16+4=40,
设A1,A2分别表示甲选择L1和L2时,在40分钟内赶到火车站;
B1,B2分别表示乙选择L1和L2时,在50分钟内赶到火车站, 7分
依题意,P(A1)=++=0.6,P(A2)=+=0.5, 9分
由P(A1)>P(A2),得甲应选择路径L1; 10分
P(B1)=+++=0.8,P(B2)=++=0.9, 12分
由P(B1)所以甲应选择路径L1,乙应选择路径L2. 13分
【类题通法】
根据频率求随机事件概率的步骤
(1)求频率:利用频率的计算公式fn(A)=,计算出频率值.
(2)估计概率:根据概率的定义确定频率的稳定值即为概率.
探究点三 概率的应用
【典例3】某学校校庆,给每班发了5张庆典门票.班主任王老师准备采用抽签式来决定哪5位同学参加,为此制作了50张签,其中5张写有“庆典”字样.50位同学轮流抽签,抽中写有“庆典”字样的同学参加学校庆典.小明提出:“抽签有先后,第一名同学抽中的概率是.如果第一名同学抽到,第二名同学抽到的概率只有,如果第一名同学未抽中,第二名同学抽中的概率为.抽中的机会未必相等.”你认为王老师的抽签法公平吗 小明的话又如何解释
【思维导引】利用随机抽样的定义及性质分析可得抽签法公平.
【解析】王老师的抽签法公平,每位同学抽中的概率均为,即.
理由如下:
小明的话看似也有道理,第二名同学在第一名同学抽中和未抽中的情况下抽到签的概率有所不同,但抽中签的总概率是相同的,只考虑第50个人抽签的情况,50张签中的每张签有可能被第50个人抽到,且可能性相等,其中有5张签写有“庆典”,因此第50个人抽到写有“庆典”的签的概率为,即,与抽签的人的顺序无关.
【类题通法】
判断游戏规则公平性的关键及步骤
(1)关键:一种游戏对每个人来说是否公平,关键是看在这一游戏规则下,每个人获胜的概率是否相等.
(2)步骤:
①先借助概率计算公式,计算每个人获胜的概率;
②根据计算的结果判断.
课堂学业达标
1.“某彩票的中奖概率为”意味着 ( )
A.买100张彩票就一定能中奖
B.买100张彩票能中一次奖
C.买100张彩票一次奖也不中
D.购买彩票中奖的可能性为
【解析】选D.某彩票的中奖率为,意味着中奖的可能性为,可能中奖,也可能不中奖.
2.某班准备到郊外野营,为此向商店订了帐篷,如果下雨与不下雨是等可能的,能否准时收到帐篷也是等可能的,只要帐篷如期运到,他们就不会淋雨,则下列说法正确的是 ( )
A.一定不会淋雨 B.淋雨的可能性为
C.淋雨的可能性为 D.淋雨的可能性为
【解析】选D.所有可能的事件有“下雨帐篷到”“不下雨帐篷到”“下雨帐篷未到”“不下雨帐篷未到”4种情况,而只有“下雨帐篷未到”时会淋雨,故淋雨的可能性为.
3.下面有三种游戏规则:袋子中分别装有大小相同的球,从袋中取球.
游戏1 游戏2 游戏3
3个黑球和1个白球 1个黑球和1个白球 2个黑球和2个白球
取1个球,再取1个球 取1个球 取1个球,再取1个球
取出的两个球同色→甲胜 取出的球是黑球→甲胜 取出的两个球同色→甲胜
取出的两个球不同色→乙胜 取出的球是白球→乙胜 取出的两个球不同色→乙胜
其中不公平的游戏是 ( )
A.游戏1 B.游戏1和游戏3
C.游戏2 D.游戏3
【解析】选D.游戏1中,取2个球的所有可能情况为(黑1,黑2),(黑1,黑3),(黑2,黑3),(黑1,白),(黑2,白),(黑3,白).
所以甲胜的可能性为0.5,故游戏是公平的;游戏2中,显然甲胜的可能性为0.5,游戏是公平的;游戏3中,取2个球的所有可能情况为(黑1,黑2),(黑1,白1),(黑2,白1),(黑1,白2),(黑2,白2),(白1,白2).所以甲胜的可能性为,游戏是不公平的.
4.(多选)下列关于频率与概率的说法中,错误的是 ( )
A.设有一大批产品,已知其次品率为0.1,则从中任取100件,必有10件是次品
B.做7次抛硬币的试验,结果3次出现正面,因此,抛一枚硬币出现正面的概率是
C.随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
D.利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率,即使随机试验的次数超过10 000,所估计出的概率也不一定很准确.
【解析】选ABC.对于A,从中任取100件,可能有10件,A错误;
对于B,做7次抛硬币的试验,结果3次出现正面,因此,抛一枚硬币出现正面的频率是,不是概率为,B错误;
对于C,多次重复试验中事件发生的频率在某一常数附近,此常数为概率,与描述不符,C错误;
对于D,10 000次的界定没有科学依据,“不一定很准确”的表达正确,试验次数越多,频率越稳定在概率值附近,但并非试验次数越多,频率就等于概率,D正确.
5.对某厂生产的某种产品进行抽样检查,数据如下表所示:
抽查件数 50 100 200 300 500
合格件数 47 92 192 285 478
根据表中所提供的数据,若要从该厂生产的此种产品中抽到950件合格品,大约需抽查
件产品.
【解析】由表中数据知:抽查5次,产品合格的频率依次为0.94,0.92,0.96,0.95,0.956,可见频率在0.95附近摆动,故可估计该厂生产的此种产品合格的概率约为0.95.设大约需抽查n件产品,则≈0.95,所以n≈1 000.
答案:1 000
课时巩固请使用 课时素养检测 四十三
