10.3.2 随机模拟
素养目标 思维导图
会用模拟法(包括计算器产生随机数进行模拟)估计概率.(数据分析)
课前自主学习
问题1.对于某个指定范围内的整数,每次从中有放回地随机取出的一个数都称为随机数.那么你有什么办法产生1~20的随机数
提示:制作20个号签,依次标注1,2,3,…,20,有放回地随机抽取一个号签,将号签上的数依次列出,即可产生1~20的随机数.
问题2.一只猴子任意敲击电脑键盘上的0到9这十个数字键,则它敲击两次(每次只敲击一个数字键)得到的两个数字的所有结果有多少种
提示:任意敲击0到9这十个数字键两次,其得到的所有结果为(0,i)(i=0,1,2,…,9),(1,i)(i=0,1,2,…,9),(2,i)(i=0,1,2,…,9),…,(9,i)(i=0,1,2,…,9).故共有100种结果.
问题3.随机数表中的数是0~9的随机数,你有什么办法得到随机数表
提示:我们可以利用计算器或计算机产生随机数.
【核心概念】
蒙特卡洛法
利用随机模拟解决问题的法称为蒙特卡洛法.
课堂合作探究
探究点一 随机数及其产生的法
【典例1】下列不能产生随机数的是 ( )
A.抛掷骰子试验
B.抛硬币
C.计算器
D.正体的六个面上分别写有1,2,2,3,4,5,抛掷该正体
【解析】选D.D选项中,出现2的概率为,出现1,3,4,5的概率均是,则D选项不能产生随机数.
【类题通法】
随机数的产生法的比较
法 抽签法 用计算器或计算机产生
优点 保证机会均等 操作简单,省时,省力
缺点 耗费人力、物力、时间,范围较大时,不具有实际操作性 由于是伪随机数,故不能保证完等可能
【定向训练】
某校高一年级共20个班,1 200名学生,试问:期中考试时如何把学生随机地平均分配到40个考场
【解析】要把1 200人分配到40个考场,每个考场30人,可用计算机完成.
①按班级、学号顺序把学生档案输入计算机中;
②用随机函数按顺序给每个学生一个随机数(每人都不相同);
③使用计算机的排序功能将随机数从小到大排列,可得到1 200名学生的考试号
0 001,0 002,…,1 200,然后0 001~0 030安排在第一考场,0 031~0 060安排在第二考场,依次类推.
探究点二 用随机模拟法估计概率
【典例2】(1)天气预报说,在今后的三天中,每一天下雨的概率均为0.6.我们通过设计模拟试验的法求概率,利用计算机产生1~5之间的随机数:
425 123 423 344 144 435 525 332 152
342 534 443 512 541 135 432 334 151
312 354
若用1,3,5表示下雨,用2,4表示不下雨,则这三天中至少有两天下雨的概率近似为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选D.设事件A=“三天中至少有两天下雨”,20个随机数中,至少有两天下雨有123,435,525,332,152,534,512,541,135,334,151,312,354,即事件A发生了13次,用频率估计事件A的概率近似为.
(2)(2025·武汉高一检测)已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2.用计算机进行模拟试验产生1~5之间的随机数,当出现随机数1时,表示一年内需要维修,其概率为0.2,由于有3台设备,所以每3个随机数为一组,代表3台设备一年内需要维修的情况,现产生20组随机数如下:
412 451 312 531 224 344 151 254 424 142
435 414 135 432 123 233 314 232 353 442
据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为 ( )
A.0.4 B.0.45 C.0.5 D.0.55
【思维导引】找出代表事件“一年内这3台设备都不需要维修”的数组,利用古典概型的概率公式可求得结果.
【解析】选C.由题意可知,代表事件“一年内这3台设备都不需要维修”的数组有:224,344,254,424,435,432,233,232,353,442,共10组,则由古典概型概率公式计算,
估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为=0.5.
【类题通法】
利用随机模拟法估计概率关注的三点
用随机数模拟试验估计概率时,首先要确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果.
(1)当试验的基本事件等可能时,基本事件总数即为产生随机数的范围,每个随机数代表一个基本事件.
(2)研究等可能事件的概率时,用按比例分配的法确定表示各个结果的数字个数及总个数.
(3)当每次试验结果需要n个随机数表示时,要把n个随机数作为一组来处理,此时一定要注意每组中的随机数字能否重复.
【定向训练】
1.蒙特卡洛法是第二次世界大战时期兴起和发展起来的,它的代表人物是冯·诺伊曼,这种法在物理、化学、生物、社会学等领域中都得到了广泛的应用.在概率统计中我们称利用随机模拟解决问题的法为蒙特卡洛法.甲、乙两名选手进行比赛,采用三局两胜制决出胜负.若每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,利用随机模拟的法估计甲最终赢得比赛的概率,由计算机随机产生0~4之间的随机数,约定出现随机数0、1或2时表示一局比赛甲获胜,现产生了20组随机数如下:
312 012 311 233 003 342 414 221
041 231 423 332 401 430 014 321
223 040 203 243
则依此可估计甲选手最终赢得比赛的概率为 ( )
A.0.6 B.0.65 C.0.7 D.0.648
【解析】选B.根据题意,在20组随机数中,表示甲获胜的有312,012,311,003,221,041,231,401,014,321,223,040,203,共13个;则可估计甲选手最终赢得比赛的概率P==0.65.
2.在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中,运动员甲和乙进入了决赛.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,用计算机产生1~5之间的随机数,当出现1,2,3时表示一局比赛甲获胜,当出现4,5时表示一局比赛乙获胜.由于要比赛3局,所以每3个随机数为一组,现产生20组随机数,结果如下:
423 123 423 344 114 453 525 332 152 342
534 443 512 541 125 432 334 151 314 354
则估计在本次比赛中甲获得冠军的概率是 ( )
A.0.35 B.0.55 C.0.6 D.0.65
【解析】选D.表示本次比赛中甲获得冠军的数组有423,123,423,114,332,152,342,512,125,432,334,151,314共13组数,故估计本次比赛中甲获得冠军的概率为=0.65.
课堂学业达标
1.已知某工厂生产的产品的合格率为90%.现采用随机模拟的法估计4件产品中至少有3件为合格品的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定0表示不是合格品,1,2,3,4,5,6,7,8,9表示是合格品;再以每4个随机数为一组,代表4件产品.经随机模拟产生了如下20组随机数:
7527 0293 7040 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0301 6233 2616 8045 6001 3661 9597 7424 7610 4001
据此估计,4件产品中至少有3件合格品的概率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选D.因为4件产品中有1件或2件合格品的有:7040,0301,6001,4001,所以所求概率P=1-=.
2.在用随机数(整数)模拟求“有4个男生和5个女生,从中选4个,求选出2个男生2个女生”的概率时,可让计算机产生1~9的随机整数,并用1~4代表男生,用5~9代表女生.因为是选出4个,所以每4个随机数作为一组.若得到的一组随机数为“4678”,则它代表的含义是 .
【解析】用1~4代表男生,5~9代表女生,4678表示一男三女.
答案:选出的4个人中,只有1个男生
3.一份测试题包括6道选择题,每题有四个选项但只有一个选项是正确的.如果一个学生对每一道题都随机猜一个答案,用随机模拟法估计该学生至少答对3道题的概率.
【解析】我们通过设计随机模拟试验的法来解决问题.利用计算机或计算器可以产生0到3之间取整数值的随机数.我们用0表示猜的选项正确,1,2,3表示猜的选项错误,这样可以体现猜对的概率是25%.因为共猜6道题,所以每6个随机数作为一组.例如,产生25组随机数:
330130 302220 133020 022011 313121
222330 231022 001003 213322 030032
100211 022210 231330 321202 031210
232111 210010 212020 230331 112000
102330 200313 303321 012033 321230
就相当于做了25次试验,在每组数中,如果有3个或3个以上的数是0,则表示至少答对3道题,它们分别是001003,030032,210010,112000,共有4组数,由此可得该同学6道选择题至少答对3道的概率近似为=0.16.
课时巩固请使用 课时素养检测 四十四(共22张PPT)
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课堂合作探究
课堂学业达标
10.3.2 随机模拟
素养目标 思维导图
会用模拟法(包括计算器产生随机数 进行模拟)估计概率.(数据分析)
课前自主学习
问题1.对于某个指定范围内的整数,每次从中有放回地随机取出的一个数都称为随机数.
那么你有什么办法产生1~20的随机数
提示:制作20个号签,依次标注1,2,3,…,20,有放回地随机抽取一个号签,将号签上的数依次
列出,即可产生1~20的随机数.
问题2.一只猴子任意敲击电脑键盘上的0到9这十个数字键,则它敲击两次(每次只敲击一
个数字键)得到的两个数字的所有结果有多少种
提示:任意敲击0到9这十个数字键两次,其得到的所有结果为
(0,i)(i=0,1,2,…,9),(1,i)(i=0,1,2,…,9),(2,i)(i=0,1,2,…,9),…,(9,i)(i=0,1,2,…,9).
故共有100种结果.
问题3.随机数表中的数是0~9的随机数,你有什么办法得到随机数表
提示:我们可以利用计算器或计算机产生随机数.
【核心概念】
蒙特卡洛法
利用随机模拟解决问题的法称为蒙特卡洛法.
课堂合作探究
探究点一 随机数及其产生的法
【典例1】下列不能产生随机数的是( )
A.抛掷骰子试验
B.抛硬币
C.计算器
D.正体的六个面上分别写有1,2,2,3,4,5,抛掷该正体
【解析】选D.D选项中,出现2的概率为,出现1,3,4,5的概率均是,则D选项不能产生随机数.
√
【类题通法】
随机数的产生法的比较
法 抽签法 用计算器或计算机产生
优点 保证机会均等 操作简单,省时,省力
缺点 耗费人力、物力、时间,范围 较大时,不具有实际操作性 由于是伪随机数,故不能保证完
等可能
【定向训练】
某校高一年级共20个班,1 200名学生,试问:期中考试时如何把学生随机地平均分配到40个考场
【解析】要把1 200人分配到40个考场,每个考场30人,可用计算机完成.
①按班级、学号顺序把学生档案输入计算机中;
②用随机函数按顺序给每个学生一个随机数(每人都不相同);
③使用计算机的排序功能将随机数从小到大排列,可得到1 200名学生的考试号
0 001,0 002,…,1 200,然后0 001~0 030安排在第一考场,0 031~0 060安排在第二考场,依次类推.
探究点二 用随机模拟法估计概率
【典例2】(1)天气预报说,在今后的三天中,每一天下雨的概率均为0.6.我们通过设
计模拟试验的法求概率,利用计算机产生1~5之间的随机数:
425 123 423 344 144 435 525 332 152
342 534 443 512 541 135 432 334 151
312 354
若用1,3,5表示下雨,用2,4表示不下雨,则这三天中至少有两天下雨的概率近似为
( )
A. B. C. D.
√
【解析】选D.设事件A=“三天中至少有两天下雨”,20个随机数中,至少有两天下雨有123,435,525,332,152,534,512,541,135,334,151,312,354,即事件A发生了13次,用频率估计事件A的概率近似为.
(2)(2025·武汉高一检测)已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2.用计算机进
行模拟试验产生1~5之间的随机数,当出现随机数1时,表示一年内需要维修,其概率
为0.2,由于有3台设备,所以每3个随机数为一组,代表3台设备一年内需要维修的情
况,现产生20组随机数如下:
412 451 312 531 224 344 151 254 424 142
435 414 135 432 123 233 314 232 353 442
据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为( )
A.0.4 B.0.45 C.0.5 D.0.55
√
【思维导引】找出代表事件“一年内这3台设备都不需要维修”的数组,利用古典概型的概率公式可求得结果.
【解析】选C.由题意可知,代表事件“一年内这3台设备都不需要维修”的数组有:224,344,254,424,435,432,233,232,353,442,共10组,则由古典概型概率公式计算,
估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为=0.5.
【类题通法】
利用随机模拟法估计概率关注的三点
用随机数模拟试验估计概率时,首先要确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果.
(1)当试验的基本事件等可能时,基本事件总数即为产生随机数的范围,每个随机数代表一个基本事件.
(2)研究等可能事件的概率时,用按比例分配的法确定表示各个结果的数字个数及总个数.
(3)当每次试验结果需要n个随机数表示时,要把n个随机数作为一组来处理,此时一定要注意每组中的随机数字能否重复.
【定向训练】
1.蒙特卡洛法是第二次世界大战时期兴起和发展起来的,它的代表人物是冯·诺伊曼,这种法在物理、化学、生物、社会学等领域中都得到了广泛的应用.在概率统计中我们称利用随机模拟解决问题的法为蒙特卡洛法.甲、乙两名选手进行比赛,采用三局两胜制决出胜负.若每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,利用随机模拟的法估计甲最终赢得比赛的概率,由计算机随机产生0~4之间的随机数,约定出现随机数0、1或2时表示一局比赛甲获胜,现产生了20组随机数如下:
312 012 311 233 003 342 414 221
041 231 423 332 401 430 014 321
223 040 203 243
则依此可估计甲选手最终赢得比赛的概率为( )
A.0.6 B.0.65 C.0.7 D.0.648
√
【解析】选B.根据题意,在20组随机数中,表示甲获胜的有
312,012,311,003,221,041,231,401,014,321,223,040,203,共13个;
则可估计甲选手最终赢得比赛的概率P==0.65.
2.在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中,运动员甲和乙进入了决赛.假设每局比赛
甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,用计算机产生1~5之间的随机数,当出现
1,2,3时表示一局比赛甲获胜,当出现4,5时表示一局比赛乙获胜.由于要比赛3局,所
以每3个随机数为一组,现产生20组随机数,结果如下:
423 123 423 344 114 453 525 332 152 342
534 443 512 541 125 432 334 151 314 354
则估计在本次比赛中甲获得冠军的概率是( )
A.0.35 B.0.55 C.0.6 D.0.65
【解析】选D.表示本次比赛中甲获得冠军的数组有
423,123,423,114,332,152,342,512,125,432,334,151,314共13组数,
故估计本次比赛中甲获得冠军的概率为=0.65.
√
课堂学业达标
1.已知某工厂生产的产品的合格率为90%.现采用随机模拟的法估计4件产品中至少有3
件为合格品的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定0表示不是合格
品,1,2,3,4,5,6,7,8,9表示是合格品;再以每4个随机数为一组,代表4件产品.经随机模拟产生
了如下20组随机数:
7527 0293 7040 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0301 6233
2616 8045 6001 3661 9597 7424 7610 4001
据此估计,4件产品中至少有3件合格品的概率为( )
A. B. C. D.
【解析】选D.因为4件产品中有1件或2件合格品的有:7040,0301,6001,4001,所以所求概率
P=1-=.
√
2.在用随机数(整数)模拟求“有4个男生和5个女生,从中选4个,求选出2个男生2个女生”的概率时,可让计算机产生1~9的随机整数,并用1~4代表男生,用5~9代表女生.因为是选出4个,所以每4个随机数作为一组.若得到的一组随机数为“4678”,则它代表的含义是 .
【解析】用1~4代表男生,5~9代表女生,4678表示一男三女.
答案:选出的4个人中,只有1个男生
3.一份测试题包括6道选择题,每题有四个选项但只有一个选项是正确的.如果一个学生对每一道题都随机猜一个答案,用随机模拟法估计该学生至少答对3道题的概率.
【解析】我们通过设计随机模拟试验的法来解决问题.利用计算机或计算器可以产生0到3之间取整数值的随机数.我们用0表示猜的选项正确,1,2,3表示猜的选项错误,这样可以体现猜对的概率是25%.因为共猜6道题,所以每6个随机数作为一组.例如,产生25组随机数:
330130 302220 133020 022011 313121
222330 231022 001003 213322 030032
100211 022210 231330 321202 031210
232111 210010 212020 230331 112000
102330 200313 303321 012033 321230
就相当于做了25次试验,在每组数中,如果有3个或3个以上的数是0,则表示至少答对3道题,它们分别是001003,030032,210010,112000,共有4组数,由此可得该同学6道选择题至少答对3道的概率近似为=0.16.
