浙江省杭州第二中学2025-2026学年高一上学期12月阶段性测试数学试题
1．（2025高一上·滨江月考）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由题意得，，
则．
故答案为：A．
【分析】利用一元二次不等式和元素与集合的关系，从而求出集合A，再利用二次函数的图象求值域的方法得出集合B，再根据交集的运算法则得出集合.
2．（2025高一上·滨江月考）我们把称为取整函数，表示不超过x的最大整数．则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：由题意得，若“”，则设，，其中，
，成立，
即“”能推出“”，
又当时满足，但不满足，
即“” 不能推出“”，
故“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】这道题的核心是理解取整函数[x]的定义，然后分别验证“[x]=[y]”能否推出“∣x y∣<1”（充分性），以及“∣x y∣<1”能否推出“[x]=[y]”（必要性）。
3．（2025高一上·滨江月考）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：，，
，，
，
.
故答案为：D.
【分析】由不等式的性质得，，，，得证.
4．（2025高一上·滨江月考）如果，，，，，那么a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：由，可知，又
∴函数在定义域内单调递减，∴.
故答案为：B
【分析】先在给定区间内比较三角函数值 、、 的大小；再根据对数函数 （）的单调性，来判断对数值的大小关系。
5．（2025高一上·滨江月考）若，则（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【知识点】同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：两边取平方得，，
则，
两边同除以得，
整理得到，解得，
故答案为：B．
【分析】这道题的核心是利用三角函数的平方关系 ，将已知等式两边平方后，转化为关于 的方程来求解。
6．（2025高一上·滨江月考）已知函数满足，其中表示，中最大的数，表示，中最小的数.则（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】B
【知识点】方程的解集
【解析】【解答】解：由函数满足，
取，则，
因此，
，所以.
故答案为：B
【分析】这道题的核心是理解题目给出的函数方程，并通过赋值法推导出递推关系，从而计算的值。
7．（2025高一上·滨江月考）高德纳箭头表示法是一种用来表示很大的整数的方法，它的意义来自乘法是重复的加法，幂是重复的乘法.定义：，（从右往左计算）.已知可观测宇宙中普通物质的原子总数约为，则下列各数中与最接近的是（ ）（参考数据：）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】有理数指数幂的运算性质；指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：因为，故，取对数得，故，故最接近的是，
故答案为：C
【分析】
由定义得，代入得，两边同时取以10为底的对数，可得，可得解.
8．（2025高一上·滨江月考）已知函数，则函数的零点个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点与方程根的关系；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：已知，当时， ，
当时，，
作出其图象如图示：
可知值域为，设 ，则，
则函数的零点问题即为函数的图象的交点问题，
而，作出函数的图象如图示：
可知：的图象有两个交点，横坐标分别在之间，
不妨设交点横坐标为，
当时，由图象和直线可知，二者有两个交点，
即此时有两个零点；
当时，由图象和直线可知，二者有3个交点，
即此时有3个零点，
故函数的零点个数是5，
故答案为：B.
【分析】根据分段函数性质，画出f(x)图象，可得其值域，利用换元法令 ，则，可将所求问题转化为关于t的函数与函数图象的交点问题，分别画出两个函数的图象， 可得有两个交点，横坐标分别在之间 ，再结合的图象，在两个区间内，分别得到零点为2个和3个，综合得共5个零点.
9．（2025高一上·滨江月考）已知，则函数的值可能是（ ）
A．0 B． C．4 D．2
【答案】A,B,D
【知识点】三角函数值的符号
【解析】【解答】解：因为，所以且，
当是第一象限角时：，，，，
当是第二象限角时：，，，，
当是第三象限角时：，，，，
当是第四象限角时：，，，，
所以函数的值域，
故答案为：ABD
【分析】这道题的核心是根据角x所在的象限，判断sinx、cosx以及sinxcosx的正负，从而去掉绝对值符号进行计算。
10．（2025高一上·滨江月考）已知函数，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质；函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：A、对于函数，这是一个单调递增的指数函数.
函数，当，即时，；
当，即时，.
画出的图象，可以看到函数在上单调递减，在上单调递增，且.
因为，，所以，.
此时，移项可得，该选项正确，符合题意.
B、由，根据基本不等式.
即，两边同时平方得，化简得，所以.
又因为，所以，该选项正确，符合题意.
C、由图形知道，，该选项错误，不合题意.
D、由得.，令，.
则.
当时，，该选项正确，符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】根据函数图象变换性质可得函数图象，可得函数的单调区间，，，，移项可判断A；由A得 ，根据基本不等式可判断B； 由图形知道， 可判断C；由A得，化简得.，利用换元法转化为一元二次函数可判断D.
11．（2025高一上·滨江月考）已知集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”.下列说法正确的是（ ）
A．不是“可分集合”
B．是“可分集合”
C．四个元素的集合可能是“可分集合”
D．五个元素的集合不可能是“可分集合”
【答案】A,B,D
【知识点】元素与集合的关系；集合中元素的确定性、互异性、无序性；反证法的应用
【解析】【解答】解：A、去掉3后，，2，不满足定义，，2，3，不是“可分集合”，该选项正确，符合题意；
B、集合所有元素之和为49，
当去掉元素1时，剩下的元素之和为48，集合，5，7，与，的元素和相等，符合题意；
当去掉元素3时，剩下的元素之和为46，集合，9，与，7，的元素和相等，符合题意；
当去掉元素5时，剩下的元素之和为44，集合，3，7，与，的元素和相等，符合题意；
当去掉元素7时，剩下的元素之和为42，集合，9，与，5，的元素和相等，符合题意；
当去掉元素9时，剩下的元素之和为40，集合，3，5，与，的元素和相等，符合题意；
当去掉元素11时，剩下的元素之和为38，集合，7，与，5，的元素和相等，符合题意；
当去掉元素13时，剩下的元素之和为36，集合，3，5，与，的元素和相等，符合题意；
因此集合是“可分集合”， 该选项正确，符合题意；
C、不妨设，去掉，则，去掉，则，
于是，与矛盾，
因此，，，一定不是“可分集合”，该选项错误，不合题意；
D、不妨设，
若去掉元素，将集合，，，分成两个交集为空集的子集，
且两个子集元素之和相等，则有，或者②，
若去掉元素，将集合，，，分成两个交集为空集的子集，
且两个子集元素之和相等，则有③，或者④，
由①③或②④得，矛盾；
由①④或②③得，矛盾，
因此集合，，，，不是“可分集合”，该选项正确，符合题意．
故答案为：ABD．
【分析】
去掉3后，，2，不满足定义，，2，3，不是“可分集合”可判断A；逐一去掉一个元素，列举得集合是“可分集合”可判断B；不妨设，去掉，则，去掉，则，得，与矛盾，可判断C；不妨设，逐一去掉一个元素，得集合，，，，不是“可分集合”，可判断D.
12．（2025高一上·滨江月考） ．
【答案】
【知识点】三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：
.
故答案为：
【分析】这道题的核心是利用三角函数的诱导公式，将两个角度不同的三角函数化为同名函数，从而进行化简。
13．（2025高一上·滨江月考）已知，则的值为 ．
【答案】
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：已知，
则，化简可得，即，
解得，即，
所以.
故答案为：.
【分析】利用对数的运算性质化简，解方程求解即可.
14．（2025高一上·滨江月考）已知，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】函数单调性的性质；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为，当且仅当时等号成立．
因为，
所以
所以
所以，
令，y在的图象如图所示：
所以，
所以，即．
同理，
故，
所以．
故答案为：
【分析】这道题的核心是分两步求取值范围：先用基本不等式求最小值，再用函数单调性求最大值。
15．（2025高一上·滨江月考）已知.
（1）求的值；
（2）若是方程的两个根，求的值.
【答案】（1）解： 因为，所以，所以，解得；
（2）解：因为是方程的两个根，所以，
，又，
.
【知识点】同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）用三角函数诱导公式化简已知等式，再通过弦化切的方法求出的值.
（2）根据韦达定理得到与的表达式，结合同角三角函数基本关系求出的值.
（1）因为，
所以，
所以，
解得；
（2）因为是方程的两个根，
所以，
，
又，
.
16．（2025高一上·滨江月考）如图，有一个扇环形花圃ABCD，外圆弧的半径是内圆弧半径的两倍，周长为定值2l，圆心角为．
（1）当时，求弧的中点E到弦BC的距离，
（2）当为多少弧度时，扇环面积最大，并求出最大面积．
【答案】（1）解：设内圆弧半径为，则，
所以，
所以，则，
设交于，
则由垂径定理得，，
当时，，所以，
所以，
即点E到弦BC的距离为．
（2）解：由（1）得，
则，
，
当且仅当，即，取得最大值.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；扇形的弧长与面积
【解析】【分析】（1）利用周长公式求出外圆半径，再结合垂径定理和三角函数计算距离。
（2）建立面积关于圆心角 α 的函数，再用基本不等式求最大值。
（1）设内圆弧半径为，则，
所以，
所以，则，
设交于，
则由垂径定理得，，
当时，，所以，
所以，
即点E到弦BC的距离为．
（2）由（1）得，
则，
，
当且仅当，即，取得最大值.
17．（2025高一上·滨江月考）已知函数为奇函数，.
（1）求实数的值；
（2），，使得，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：因为是奇函数，所以，
即，
整理得，可得，解得，
当时，，舍去；
当时，函数的定义域为，符合题意，
则；
（2）解：设，
根据题意可得，.
由（1）知，
当时，，故.
，
设，函数，.
①当时，，可得，符合题意；
②当时，，图象的对称轴为.
（i）当时，对称轴，
所以在区间上单调递减，故，
由，得，即，
所以；
（ii）当时，
若，即时，，
由，得，所以；
若，即时，，
由，得，解得；
综上所述，的取值范围是.
【知识点】函数的奇偶性；指数函数的单调性与特殊点；对数函数图象与性质的综合应用
【解析】【分析】(1)利用奇函数的定义 ，代入函数表达式化简，得到关于 的方程，再结合函数定义域的要求，确定 的值；
(2)先求出 在区间 上的值域 ，再求出 在区间 上的值域 ，根据题意 ，通过换元法将 转化为二次函数，分类讨论求出 的取值范围.
（1）因为是奇函数，所以，
即，
整理得.
所以.
解得，
当时，，舍去，
当时，函数的定义域为，符合题意.
所以.
（2）设，
根据题意可得，.
由（1）知，
当时，，故.
，
设，函数，.
①当时，，可得，符合题意；
②当时，，图象的对称轴为.
（i）当时，对称轴，
所以在区间上单调递减，故，
由，得，即，
所以；
（ii）当时，
若，即时，，
由，得，
所以；
若，即时，，
由，得，
所以；
综上所述，的取值范围是.
18．（2025高一上·滨江月考）已知函数.
（1）证明：函数在上单调递增；
（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围；
（3）比较与的大小.
【答案】（1）证明：设，则，
所以，因为，所以，
所以，即.
所以函数在上单调递增.
（2）解：显然，因为，
函数在上单调递增，所以，即恒成立，
所以.
所以的取值范围是.
（3）解： 因为，所以，故在上单调递增，
所以，又，
则，即.
所以.
【知识点】函数单调性的判断与证明；利用对数函数的单调性比较大小；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）利用单调性定义，设，做商，化标准式，与1 比较，可证单调性
（2）由题意得，故，原不等式可化为恒成立，得；
（3）有（1）可得，代入 得，即，得解.
（1）设，则，
所以，因为，所以，
所以，即.
所以函数在上单调递增.
（2）显然，因为，
函数在上单调递增，所以，即恒成立，
所以.
所以的取值范围是.
（3）因为，所以，故在上单调递增，
所以，又，
则，即.
所以.
19．（2025高一上·滨江月考）设函数.
（1）当时，求函数在上的最小值的表达式；
（2）已知函数在上存在零点，，求的取值范围.
【答案】（1）解：当时，，故其对称轴为.
当时，.
当时，.
当时，.
综上，
（2）解：设为方程的解，且，则.
由于，因此.
当时，，
由于和，
所以.
当时，，
由于和，所以.
综上可知，的取值范围是.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；不等关系与不等式
【解析】【分析】(1)先对函数进行配方，确定对称轴位置，再根据对称轴与区间的位置关系分三类讨论，分别求出最小值，最后用分段函数表示。
(2)设函数在上的零点为，将用表示，代入得到关于的不等式，再通过换元法求出的取值范围。
1 / 1浙江省杭州第二中学2025-2026学年高一上学期12月阶段性测试数学试题
1．（2025高一上·滨江月考）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高一上·滨江月考）我们把称为取整函数，表示不超过x的最大整数．则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2025高一上·滨江月考）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2025高一上·滨江月考）如果，，，，，那么a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025高一上·滨江月考）若，则（ ）
A． B．2 C． D．
6．（2025高一上·滨江月考）已知函数满足，其中表示，中最大的数，表示，中最小的数.则（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
7．（2025高一上·滨江月考）高德纳箭头表示法是一种用来表示很大的整数的方法，它的意义来自乘法是重复的加法，幂是重复的乘法.定义：，（从右往左计算）.已知可观测宇宙中普通物质的原子总数约为，则下列各数中与最接近的是（ ）（参考数据：）
A． B． C． D．
8．（2025高一上·滨江月考）已知函数，则函数的零点个数是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025高一上·滨江月考）已知，则函数的值可能是（ ）
A．0 B． C．4 D．2
10．（2025高一上·滨江月考）已知函数，且，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（2025高一上·滨江月考）已知集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”.下列说法正确的是（ ）
A．不是“可分集合”
B．是“可分集合”
C．四个元素的集合可能是“可分集合”
D．五个元素的集合不可能是“可分集合”
12．（2025高一上·滨江月考） ．
13．（2025高一上·滨江月考）已知，则的值为 ．
14．（2025高一上·滨江月考）已知，则的取值范围是 ．
15．（2025高一上·滨江月考）已知.
（1）求的值；
（2）若是方程的两个根，求的值.
16．（2025高一上·滨江月考）如图，有一个扇环形花圃ABCD，外圆弧的半径是内圆弧半径的两倍，周长为定值2l，圆心角为．
（1）当时，求弧的中点E到弦BC的距离，
（2）当为多少弧度时，扇环面积最大，并求出最大面积．
17．（2025高一上·滨江月考）已知函数为奇函数，.
（1）求实数的值；
（2），，使得，求实数的取值范围.
18．（2025高一上·滨江月考）已知函数.
（1）证明：函数在上单调递增；
（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围；
（3）比较与的大小.
19．（2025高一上·滨江月考）设函数.
（1）当时，求函数在上的最小值的表达式；
（2）已知函数在上存在零点，，求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由题意得，，
则．
故答案为：A．
【分析】利用一元二次不等式和元素与集合的关系，从而求出集合A，再利用二次函数的图象求值域的方法得出集合B，再根据交集的运算法则得出集合.
2．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：由题意得，若“”，则设，，其中，
，成立，
即“”能推出“”，
又当时满足，但不满足，
即“” 不能推出“”，
故“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】这道题的核心是理解取整函数[x]的定义，然后分别验证“[x]=[y]”能否推出“∣x y∣<1”（充分性），以及“∣x y∣<1”能否推出“[x]=[y]”（必要性）。
3．【答案】D
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：，，
，，
，
.
故答案为：D.
【分析】由不等式的性质得，，，，得证.
4．【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：由，可知，又
∴函数在定义域内单调递减，∴.
故答案为：B
【分析】先在给定区间内比较三角函数值 、、 的大小；再根据对数函数 （）的单调性，来判断对数值的大小关系。
5．【答案】B
【知识点】同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：两边取平方得，，
则，
两边同除以得，
整理得到，解得，
故答案为：B．
【分析】这道题的核心是利用三角函数的平方关系 ，将已知等式两边平方后，转化为关于 的方程来求解。
6．【答案】B
【知识点】方程的解集
【解析】【解答】解：由函数满足，
取，则，
因此，
，所以.
故答案为：B
【分析】这道题的核心是理解题目给出的函数方程，并通过赋值法推导出递推关系，从而计算的值。
7．【答案】C
【知识点】有理数指数幂的运算性质；指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：因为，故，取对数得，故，故最接近的是，
故答案为：C
【分析】
由定义得，代入得，两边同时取以10为底的对数，可得，可得解.
8．【答案】B
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点与方程根的关系；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：已知，当时， ，
当时，，
作出其图象如图示：
可知值域为，设 ，则，
则函数的零点问题即为函数的图象的交点问题，
而，作出函数的图象如图示：
可知：的图象有两个交点，横坐标分别在之间，
不妨设交点横坐标为，
当时，由图象和直线可知，二者有两个交点，
即此时有两个零点；
当时，由图象和直线可知，二者有3个交点，
即此时有3个零点，
故函数的零点个数是5，
故答案为：B.
【分析】根据分段函数性质，画出f(x)图象，可得其值域，利用换元法令 ，则，可将所求问题转化为关于t的函数与函数图象的交点问题，分别画出两个函数的图象， 可得有两个交点，横坐标分别在之间 ，再结合的图象，在两个区间内，分别得到零点为2个和3个，综合得共5个零点.
9．【答案】A,B,D
【知识点】三角函数值的符号
【解析】【解答】解：因为，所以且，
当是第一象限角时：，，，，
当是第二象限角时：，，，，
当是第三象限角时：，，，，
当是第四象限角时：，，，，
所以函数的值域，
故答案为：ABD
【分析】这道题的核心是根据角x所在的象限，判断sinx、cosx以及sinxcosx的正负，从而去掉绝对值符号进行计算。
10．【答案】A,B,D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质；函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：A、对于函数，这是一个单调递增的指数函数.
函数，当，即时，；
当，即时，.
画出的图象，可以看到函数在上单调递减，在上单调递增，且.
因为，，所以，.
此时，移项可得，该选项正确，符合题意.
B、由，根据基本不等式.
即，两边同时平方得，化简得，所以.
又因为，所以，该选项正确，符合题意.
C、由图形知道，，该选项错误，不合题意.
D、由得.，令，.
则.
当时，，该选项正确，符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】根据函数图象变换性质可得函数图象，可得函数的单调区间，，，，移项可判断A；由A得 ，根据基本不等式可判断B； 由图形知道， 可判断C；由A得，化简得.，利用换元法转化为一元二次函数可判断D.
11．【答案】A,B,D
【知识点】元素与集合的关系；集合中元素的确定性、互异性、无序性；反证法的应用
【解析】【解答】解：A、去掉3后，，2，不满足定义，，2，3，不是“可分集合”，该选项正确，符合题意；
B、集合所有元素之和为49，
当去掉元素1时，剩下的元素之和为48，集合，5，7，与，的元素和相等，符合题意；
当去掉元素3时，剩下的元素之和为46，集合，9，与，7，的元素和相等，符合题意；
当去掉元素5时，剩下的元素之和为44，集合，3，7，与，的元素和相等，符合题意；
当去掉元素7时，剩下的元素之和为42，集合，9，与，5，的元素和相等，符合题意；
当去掉元素9时，剩下的元素之和为40，集合，3，5，与，的元素和相等，符合题意；
当去掉元素11时，剩下的元素之和为38，集合，7，与，5，的元素和相等，符合题意；
当去掉元素13时，剩下的元素之和为36，集合，3，5，与，的元素和相等，符合题意；
因此集合是“可分集合”， 该选项正确，符合题意；
C、不妨设，去掉，则，去掉，则，
于是，与矛盾，
因此，，，一定不是“可分集合”，该选项错误，不合题意；
D、不妨设，
若去掉元素，将集合，，，分成两个交集为空集的子集，
且两个子集元素之和相等，则有，或者②，
若去掉元素，将集合，，，分成两个交集为空集的子集，
且两个子集元素之和相等，则有③，或者④，
由①③或②④得，矛盾；
由①④或②③得，矛盾，
因此集合，，，，不是“可分集合”，该选项正确，符合题意．
故答案为：ABD．
【分析】
去掉3后，，2，不满足定义，，2，3，不是“可分集合”可判断A；逐一去掉一个元素，列举得集合是“可分集合”可判断B；不妨设，去掉，则，去掉，则，得，与矛盾，可判断C；不妨设，逐一去掉一个元素，得集合，，，，不是“可分集合”，可判断D.
12．【答案】
【知识点】三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：
.
故答案为：
【分析】这道题的核心是利用三角函数的诱导公式，将两个角度不同的三角函数化为同名函数，从而进行化简。
13．【答案】
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：已知，
则，化简可得，即，
解得，即，
所以.
故答案为：.
【分析】利用对数的运算性质化简，解方程求解即可.
14．【答案】
【知识点】函数单调性的性质；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为，当且仅当时等号成立．
因为，
所以
所以
所以，
令，y在的图象如图所示：
所以，
所以，即．
同理，
故，
所以．
故答案为：
【分析】这道题的核心是分两步求取值范围：先用基本不等式求最小值，再用函数单调性求最大值。
15．【答案】（1）解： 因为，所以，所以，解得；
（2）解：因为是方程的两个根，所以，
，又，
.
【知识点】同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）用三角函数诱导公式化简已知等式，再通过弦化切的方法求出的值.
（2）根据韦达定理得到与的表达式，结合同角三角函数基本关系求出的值.
（1）因为，
所以，
所以，
解得；
（2）因为是方程的两个根，
所以，
，
又，
.
16．【答案】（1）解：设内圆弧半径为，则，
所以，
所以，则，
设交于，
则由垂径定理得，，
当时，，所以，
所以，
即点E到弦BC的距离为．
（2）解：由（1）得，
则，
，
当且仅当，即，取得最大值.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；扇形的弧长与面积
【解析】【分析】（1）利用周长公式求出外圆半径，再结合垂径定理和三角函数计算距离。
（2）建立面积关于圆心角 α 的函数，再用基本不等式求最大值。
（1）设内圆弧半径为，则，
所以，
所以，则，
设交于，
则由垂径定理得，，
当时，，所以，
所以，
即点E到弦BC的距离为．
（2）由（1）得，
则，
，
当且仅当，即，取得最大值.
17．【答案】（1）解：因为是奇函数，所以，
即，
整理得，可得，解得，
当时，，舍去；
当时，函数的定义域为，符合题意，
则；
（2）解：设，
根据题意可得，.
由（1）知，
当时，，故.
，
设，函数，.
①当时，，可得，符合题意；
②当时，，图象的对称轴为.
（i）当时，对称轴，
所以在区间上单调递减，故，
由，得，即，
所以；
（ii）当时，
若，即时，，
由，得，所以；
若，即时，，
由，得，解得；
综上所述，的取值范围是.
【知识点】函数的奇偶性；指数函数的单调性与特殊点；对数函数图象与性质的综合应用
【解析】【分析】(1)利用奇函数的定义 ，代入函数表达式化简，得到关于 的方程，再结合函数定义域的要求，确定 的值；
(2)先求出 在区间 上的值域 ，再求出 在区间 上的值域 ，根据题意 ，通过换元法将 转化为二次函数，分类讨论求出 的取值范围.
（1）因为是奇函数，所以，
即，
整理得.
所以.
解得，
当时，，舍去，
当时，函数的定义域为，符合题意.
所以.
（2）设，
根据题意可得，.
由（1）知，
当时，，故.
，
设，函数，.
①当时，，可得，符合题意；
②当时，，图象的对称轴为.
（i）当时，对称轴，
所以在区间上单调递减，故，
由，得，即，
所以；
（ii）当时，
若，即时，，
由，得，
所以；
若，即时，，
由，得，
所以；
综上所述，的取值范围是.
18．【答案】（1）证明：设，则，
所以，因为，所以，
所以，即.
所以函数在上单调递增.
（2）解：显然，因为，
函数在上单调递增，所以，即恒成立，
所以.
所以的取值范围是.
（3）解： 因为，所以，故在上单调递增，
所以，又，
则，即.
所以.
【知识点】函数单调性的判断与证明；利用对数函数的单调性比较大小；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）利用单调性定义，设，做商，化标准式，与1 比较，可证单调性
（2）由题意得，故，原不等式可化为恒成立，得；
（3）有（1）可得，代入 得，即，得解.
（1）设，则，
所以，因为，所以，
所以，即.
所以函数在上单调递增.
（2）显然，因为，
函数在上单调递增，所以，即恒成立，
所以.
所以的取值范围是.
（3）因为，所以，故在上单调递增，
所以，又，
则，即.
所以.
19．【答案】（1）解：当时，，故其对称轴为.
当时，.
当时，.
当时，.
综上，
（2）解：设为方程的解，且，则.
由于，因此.
当时，，
由于和，
所以.
当时，，
由于和，所以.
综上可知，的取值范围是.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；不等关系与不等式
【解析】【分析】(1)先对函数进行配方，确定对称轴位置，再根据对称轴与区间的位置关系分三类讨论，分别求出最小值，最后用分段函数表示。
(2)设函数在上的零点为，将用表示，代入得到关于的不等式，再通过换元法求出的取值范围。
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