广东省广州市部分学校2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题
1．（2025高二上·广州月考）抛物线的焦点是
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】因为焦点在轴上，又因为，故焦点坐标为.
故答案为：D.
【分析】先根据抛物线的标准方程判断出焦点的位置，再根据抛物线的标准方程得出的值，从而得出焦点坐标.
2．（2025高二上·广州月考）直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】解：因为直线的斜率，
设倾斜角为，则，
因为，所以.
故答案为：A.
【分析】先求出直线的斜率，根据直线斜率与直线倾斜角的关系式，再结合直线的倾斜角的取值范围，从而求出直线的倾斜角.
3．（2025高二上·广州月考）已知，点在轴上，且使得取最小值，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两条直线的交点坐标；平面内两点间距离公式的应用
【解析】【解答】解：如图，M关于x轴对称点是，M’和N在x轴两侧，
则当M’N成一直线，此时，M’N与x轴交于P点，有取最小值，此时，，
又因为直线M’N的方程为，
化简得，，
则直线M’N交x轴于点P，
所以，点P的坐标为.
故答案为：C.
【分析】先根据几何法求最值的方法，则作图找到点M关于x轴对称点，再连结M’N求出直线M’N的方程，则M’N与x轴交于点P，此时取最小值且，再根据直线方程和赋值求交点的方法，从而求出点P的坐标.
4．（2025高二上·广州月考）双曲线两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率e为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为的渐近线方程为，，
又因为两条渐近线的夹角为，所以，
解得，又，
，
，则.
故答案为：C.
【分析】由双曲线的渐近线的夹角得到的值，再结合以及离心率公式求解.
5．（2025高二上·广州月考）已知直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系；恒过定点的直线
【解析】【解答】解：由直线，
令，解得，
所以直线经过定点.
由，得，，
要使直线与连接两点的线段总有公共点，
则直线的斜率需满足，
所以，直线的倾斜角范围为.
故答案为：D.
【分析】先由直线的方程变形得到直线所过定点P的坐标，再利用直线与线段有交点，数形结合得出直线倾斜角的取值范围.
6．（2025高二上·广州月考）过三点，，的圆交轴于，两点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面内两点间的距离公式；圆的一般方程
【解析】【解答】解：设圆的方程为，
则
，，，∴，
令，可得，
，
．
故答案为：D．
【分析】设圆的方程为，由已知求出，，的值，进而得出圆的一般方程，令结合两点距离公式，从而得出MN的长．
7．（2025高二上·广州月考）已知直线与相交于点P，点Q在圆上，则（ ）．
A．有最大值 B．有最大值
C．有最小值 D．有最小值
【答案】A
【知识点】恒过定点的直线；平面内两点间的距离公式；与直线有关的动点轨迹方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：对于直线，可变形为.
令，解得，所以直线恒过定点.
对于直线，可变形为.
令，解得，所以直线恒过定点.
因为，所以，已知，，则中点坐标为.
，所以半径.
则点的轨迹是以AB为直径的圆的一部分，故点P的轨迹为，
已知圆的圆心，半径，则圆心与点轨迹圆的圆心的距离为.
的最大值为圆心加上两圆半径，即.
由于轨迹不包含点，故不存在最小值.
故答案为：A．
【分析】先求直线恒过定点，直线恒过定点，由，得，可得点的轨迹是以AB为直径的圆的一部分，并可求其轨迹方程，有几何特征得的最大值为圆心加上两圆半径，注意P轨迹，得轨迹不包含点，故不存在最小值.
8．（2025高二上·广州月考）已知椭圆，直线不经过点，且斜率为.若与交于两个不同点且直线的倾斜角分别为，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：设直线，，，
由，得，
由，解得或，
则，，
依题意，因为恰好在椭圆上，所以与的斜率一定存在，
则，，
设直线与的斜率分别为，
因为，，
所以．
又因为，，
所以
，
又因为，，
所以，则，
所以.
故答案为：B.
【分析】设直线，，，联立直线方程和椭圆方程，再利用韦达定理得出，，设直线与的斜率分别为，利用斜率的两点式得出的值，再利用直线的斜率与直线的倾斜角的关系式，从而得出的值，进而得出的值.
9．（2025高二上·广州月考）已知曲线，下列说法正确的是（ ）
A．若，则曲线C为椭圆
B．若，则曲线C为双曲线
C．若曲线C为椭圆，则其长轴长一定大于2
D．若曲线C为焦点在x轴上的双曲线，则其离心率小于大于1
【答案】B,C,D
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；双曲线的定义；双曲线的标准方程
【解析】【解答】解：A、为椭圆，则，该选项错误，不合题意；
B、若为双曲线，等价于，即或，该选项正确，符合题意；
C、当时，椭圆长轴长，
当时，椭圆长轴长，该选项正确，符合题意；
D、若为焦点在轴上的双曲线，则，解得，
双曲线的离心率为，
且双曲线的离心率，该选项正确，符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】根据椭圆性质可得，可判断A；根据双曲线性质得，解不等式可判断B；
时，时，分别求出椭圆长轴长，可判断C；焦点在轴上双曲线性质得，解得m，可求双曲线的离心率为，且双曲线的离心率，可判断D.
10．（2025高二上·广州月考）已知圆：，直线：，则（ ）
A．直线与圆的轨迹一定相交
B．直线与圆交于两点，则的最大值为
C．圆上点到直线距离的最大值为
D．当时，则圆上存在四个点到直线的距离为1.
【答案】A,D
【知识点】恒过定点的直线；平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：圆：，圆心，半径，
直线过定点，，
A、，点在圆内，故直线与圆一定相交，该选项正确，符合题意；
B、当过圆心时，最大为，该选项错误，不合题意；
C、圆上点到直线距离的最大值为，该选项错误，不合题意；
D、直线：，圆心在直线上，，
故圆上存在四个点到直线的距离为1，该选项正确，符合题意；
故答案为：AD
【分析】先求出点直线系所过定点，得，点在圆内，可判断A；当过圆心时，最大为，可判断B；由圆得几何特征得圆上点到直线距离的最大值为，可判断C；由m=1得圆心在直线上，r>1，故圆上存在四个点到直线的距离为1，可判断D.
11．（2025高二上·广州月考）已知点，曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．曲线上存在点，使得
B．直线与曲线没有交点
C．若过点的直线与曲线有三个不同的交点，则直线的斜率的取值范围是
D．点是曲线上在第三象限内的一点，过点向直线与直线作垂线，垂足分别为，则
【答案】B,C
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：当，时，曲线，即；
当，时，曲线，即不存在；
当，时，曲线，即；
当，时，曲线，即，
画出图形如图所示：
A、满足条件的曲线是双曲线的下支，
该双曲线的下支与曲线是没有交点的，
所以不存在曲线上的点，使得成立，该选项错误，不合题意；
B、一三象限曲线的渐近线方程为，
则直线与曲线没有交点，该选项正确，符合题意；
C、设过点的直线，三个交点，显然.
联立；
联立；
直线与曲线有三个不同的交点，则直线斜率的取值范围是，该选项正确，符合题意；
D、设，由点到直线距离公式得：，，
所以.
因为点是曲线上在第三象限内的一点，则有，
所以，该选项错误，不合题意.
故答案为：BC.
【分析】先分，与零的大小得曲线方程画出函数图象；对于选项A，满足条件的曲线是双曲线的下支，无交点；对于选项B，由渐近线方程 渐近线方程为 ，无交点可；对于选项C，分别联立直线与椭圆和双曲线，相切，有3个不同交点，可得直线斜率取值范围是 ；对于选项D，由点到直线的距离公式，得|QM|，|QN|，将两式相乘得.
12．（2025高二上·广州月考）若直线与垂直，则 ．
【答案】0
【知识点】直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【解答】解：因为直线与垂直，
可得，解得．
故答案为：0.
【分析】根据两直线垂直斜率的充要条件计算得出的值.
13．（2025高二上·广州月考）焦点在x轴上，焦距等于4，并且经过的椭圆的标准方程为 ．
【答案】
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：因为椭圆的焦点在x轴上，
则设椭圆的标准方程为，
由题意，得，解得，
所以椭圆的标准方程为.
故答案为：.
【分析】由题意，设椭圆的标准方程为，再利用焦距的定义、点代入法和椭圆中a，b，c三者的关系式，从而列出关于的方程组，解方程组得出a，b，c的值，从而得出椭圆的标准方程.
14．（2025高二上·广州月考）已知椭圆和双曲线有共同的焦点、，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为、，则的最大值为 ．
【答案】
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：不妨设为第一象限的点，为左焦点，
设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，
根据椭圆和双曲线的定义，可得，，
所以，，，
在△中，，
由余弦定理，得，
化简得，则．
所以，
则，当且仅当，且，
所以，当，时等号成立．
故答案为：.
【分析】利用椭圆的定义和双曲线的定义，在焦点三角形中结合余弦定理，从而得到的值，再利用基本不等式求最值的方法，从而得出的最大值.
15．（2025高二上·广州月考）已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别为，，且它的对角线的交点为，求这个平行四边形其他两边所在直线的方程．
【答案】解：由题意，联立方程组，
解得，
则平行四边形的顶点，
设，
由题意知，点是线段的中点，
所以，
解得，
所以，
由已知条件，得直线的斜率，
因为与平行，
所以，直线的方程为，即，
由已知条件，得直线的斜率，
因为与平行，
所以，直线的方程为，即，
则这个平行四边其它两边所在直线的方程是和.
【知识点】用斜率判定两直线平行；平面内中点坐标公式；直线的一般式方程；两条直线的交点坐标
【解析】【分析】依题意，联立两直线方程得出平行四边形ABCD的顶点A的坐标，再结合对角线的交点是，从而得出点C的坐标，再利用直线的点斜式方程和转化法，从而得出其他两边所在直线的方程.
16．（2025高二上·广州月考）（1）已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，求抛物线的方程；
（2）求与双曲线有公共渐近线，且经过点的双曲线的标准方程.
【答案】解：（1）因为到其焦点的距离为5，
根据抛物线定义，抛物线上的点P到准线距离也为5，如图：
则抛物线的准线方程为，
所以，
则抛物线方程为.
（2）由题意，设双曲线方程为，
因为双曲线经过点，如图：
所以，
则，
所以双曲线标准方程为，
则.
【知识点】抛物线的标准方程；双曲线的标准方程
【解析】【分析】（1）根据已知条件和抛物线的定义，从而得出p的值，进而得出抛物线的方程.
（2）根据已知条件，设所求双曲线方程为，再代入点得出的值，从而得出双曲线的标准方程.
17．（2025高二上·广州月考）已知椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为4.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程.
【答案】（1）解：由题可知，，，
又，且，解得，，
则椭圆的方程为.
（2）解：法一：①当直线斜率为0时，， 不符合题意.
②当直线斜率不为0时，设直线方程为，
联立，得，，
设，则.
由题意，，
即，解得.
故直线的方程为：或.
法二：①当直线斜率不存在时，，不符合题意.
②设直线方程为，
联立，得，，
设，则，
由，得，
即，解得.
故直线的方程为或.
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由椭圆的几何性质得，代入离心率公式可求，代入即可得到b，继而得椭圆方程；
（2）方法一、先讨论直线斜率是否为0；不为0时，可反设直线方程，与椭圆方程联立运用韦达定理，代入弦长公式可得解；
方法二、正设方程，先讨论直线斜率存不存在同方法一，与椭圆方程联立运用韦达定理，代入弦长公式可得解.
（1）由题可知，，，
又，且，解得，，
则椭圆的方程为.
（2）法一：①当直线斜率为0时，， 不符合题意.
②当直线斜率不为0时，设直线方程为，
联立，得，，
设，则.
由题意，，
即，解得.
故直线的方程为：或.
法二：①当直线斜率不存在时，，不符合题意.
②设直线方程为，
联立，得，，
设，则，
由，得，
即，解得.
故直线的方程为或.
18．（2025高二上·广州月考）已知点，双曲线的左顶点为，左、右焦点分别为、，且双曲线的一条渐近线与直线垂直.
（1）求双曲线的离心率；
（2）设点在双曲线上，且，求点到轴的距离；
（3）过且斜率为的直线与双曲线交于、两点，求线段的长度.
【答案】（1）解：根据题意，得双曲线的左顶点为，
则，
由双曲线的一条渐近线与直线AP垂直，可知，
则，
所以，
则，
所以双曲线的离心率为.
（2）解：由（1）得，
因为，所以，
设，，
则在中，有，
由双曲线的定义，
可得，
解得，
则，
又因为，
解得，
点M到轴的距离为.
（3）解：因为，
则过且斜率为l的直线的方程为，
与双曲线方程联立消元，可得，
设，，
则，，
由弦长公式，得，
所以DE的长度为.
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合两点求斜率公式得出的值，由双曲线的一条渐近线与直线垂直结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而得到的值，再利用双曲线中a，b，c三者的关系式，从而得出双曲线的离心率.
（2）设，，在中，求出的值，再由得出的值，进而得出点M到x轴的距离.
（3）先由点斜式得出求出直线l的方程，将直线方程与双曲线方程联立，结合韦达定理和弦长公式得出线段的长度.
（1）根据题意，双曲线的左顶点为，故，
则由双曲线的一条渐近线与直线AP垂直可知，则，
所以，即，
所以双曲线的离心率为；
（2）由（1）得，又，所以，
设，，则在中，有，
又由双曲线的定义，可得，解得，则，
又，解得，
M点到轴的距离为；
（3）因，则过且斜率为1的直线的方程为，
与双曲线方程联立消元，可得，
设，，则，，
由弦长公式，，
所以DE的长度为.
19．（2025高二上·广州月考）如图，圆是圆内一个定点，是圆上任意一点．线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，记动点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）设曲线与轴从左到右的交点为点，点为曲线上异于的动点，设交直线于点，连结交曲线于点，直线的斜率分别为．
（ⅰ）求证：为定值；
（ⅱ）证明：直线经过轴上的定点，并求出该定点的坐标．
【答案】（1）解：由题意可知，，
由椭圆定义可得，点N的轨迹是以E， F为焦点的椭圆，
且长轴长，焦距，
所以，
因此曲线C方程为.
（2）解：（ⅰ）设，，，
由题可知，，如下图所示，
则，，
而，于是，
所以，
又，则，
因此为定值；
（ⅱ）由题意可知，直线PQ不可能与轴平行，
设直线PQ的方程为，，，知，
由，得，
，得
所以
由（i）可知，，
即，
将代入化简得，化简得解得舍或，
所以直线PQ的方程为，
因此直线PQ经过定点
【知识点】恒过定点的直线；椭圆的定义；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由几何特征可得为定值4，根据椭圆的定义，，得动点N的轨迹为椭圆，有几何性质可得 ，得方程；
（2）（i）设P，Q，T的坐标并用其表示得，点P在椭圆上有，消去得出定值；
（ii）将直线PQ的方程反设为，联立该直线方程及椭圆方程，消元并且由韦达定理得， 由（i）可知， ，带人化简得 ，可得点直线系得定点.
（1）由题意可知，，
由椭圆定义可得，点N的轨迹是以E， F为焦点的椭圆，
且长轴长，焦距，
所以，
因此曲线C方程为.
（2）（ⅰ）设，，，
由题可知，，如下图所示，
则，，
而，于是，
所以，
又，则，
因此为定值；
（ⅱ）由题意可知，直线PQ不可能与轴平行，
设直线PQ的方程为，，，知，
由，得，
，得
所以
由（i）可知，，
即，
将代入化简得，化简得解得舍或，
所以直线PQ的方程为，
因此直线PQ经过定点
1 / 1广东省广州市部分学校2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题
1．（2025高二上·广州月考）抛物线的焦点是
A． B． C． D．
2．（2025高二上·广州月考）直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025高二上·广州月考）已知，点在轴上，且使得取最小值，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025高二上·广州月考）双曲线两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率e为（ ）
A． B．2 C． D．
5．（2025高二上·广州月考）已知直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025高二上·广州月考）过三点，，的圆交轴于，两点，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高二上·广州月考）已知直线与相交于点P，点Q在圆上，则（ ）．
A．有最大值 B．有最大值
C．有最小值 D．有最小值
8．（2025高二上·广州月考）已知椭圆，直线不经过点，且斜率为.若与交于两个不同点且直线的倾斜角分别为，则（ ）
A．1 B． C． D．
9．（2025高二上·广州月考）已知曲线，下列说法正确的是（ ）
A．若，则曲线C为椭圆
B．若，则曲线C为双曲线
C．若曲线C为椭圆，则其长轴长一定大于2
D．若曲线C为焦点在x轴上的双曲线，则其离心率小于大于1
10．（2025高二上·广州月考）已知圆：，直线：，则（ ）
A．直线与圆的轨迹一定相交
B．直线与圆交于两点，则的最大值为
C．圆上点到直线距离的最大值为
D．当时，则圆上存在四个点到直线的距离为1.
11．（2025高二上·广州月考）已知点，曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．曲线上存在点，使得
B．直线与曲线没有交点
C．若过点的直线与曲线有三个不同的交点，则直线的斜率的取值范围是
D．点是曲线上在第三象限内的一点，过点向直线与直线作垂线，垂足分别为，则
12．（2025高二上·广州月考）若直线与垂直，则 ．
13．（2025高二上·广州月考）焦点在x轴上，焦距等于4，并且经过的椭圆的标准方程为 ．
14．（2025高二上·广州月考）已知椭圆和双曲线有共同的焦点、，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为、，则的最大值为 ．
15．（2025高二上·广州月考）已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别为，，且它的对角线的交点为，求这个平行四边形其他两边所在直线的方程．
16．（2025高二上·广州月考）（1）已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，求抛物线的方程；
（2）求与双曲线有公共渐近线，且经过点的双曲线的标准方程.
17．（2025高二上·广州月考）已知椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为4.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程.
18．（2025高二上·广州月考）已知点，双曲线的左顶点为，左、右焦点分别为、，且双曲线的一条渐近线与直线垂直.
（1）求双曲线的离心率；
（2）设点在双曲线上，且，求点到轴的距离；
（3）过且斜率为的直线与双曲线交于、两点，求线段的长度.
19．（2025高二上·广州月考）如图，圆是圆内一个定点，是圆上任意一点．线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，记动点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）设曲线与轴从左到右的交点为点，点为曲线上异于的动点，设交直线于点，连结交曲线于点，直线的斜率分别为．
（ⅰ）求证：为定值；
（ⅱ）证明：直线经过轴上的定点，并求出该定点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】因为焦点在轴上，又因为，故焦点坐标为.
故答案为：D.
【分析】先根据抛物线的标准方程判断出焦点的位置，再根据抛物线的标准方程得出的值，从而得出焦点坐标.
2．【答案】A
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】解：因为直线的斜率，
设倾斜角为，则，
因为，所以.
故答案为：A.
【分析】先求出直线的斜率，根据直线斜率与直线倾斜角的关系式，再结合直线的倾斜角的取值范围，从而求出直线的倾斜角.
3．【答案】C
【知识点】两条直线的交点坐标；平面内两点间距离公式的应用
【解析】【解答】解：如图，M关于x轴对称点是，M’和N在x轴两侧，
则当M’N成一直线，此时，M’N与x轴交于P点，有取最小值，此时，，
又因为直线M’N的方程为，
化简得，，
则直线M’N交x轴于点P，
所以，点P的坐标为.
故答案为：C.
【分析】先根据几何法求最值的方法，则作图找到点M关于x轴对称点，再连结M’N求出直线M’N的方程，则M’N与x轴交于点P，此时取最小值且，再根据直线方程和赋值求交点的方法，从而求出点P的坐标.
4．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为的渐近线方程为，，
又因为两条渐近线的夹角为，所以，
解得，又，
，
，则.
故答案为：C.
【分析】由双曲线的渐近线的夹角得到的值，再结合以及离心率公式求解.
5．【答案】D
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系；恒过定点的直线
【解析】【解答】解：由直线，
令，解得，
所以直线经过定点.
由，得，，
要使直线与连接两点的线段总有公共点，
则直线的斜率需满足，
所以，直线的倾斜角范围为.
故答案为：D.
【分析】先由直线的方程变形得到直线所过定点P的坐标，再利用直线与线段有交点，数形结合得出直线倾斜角的取值范围.
6．【答案】D
【知识点】平面内两点间的距离公式；圆的一般方程
【解析】【解答】解：设圆的方程为，
则
，，，∴，
令，可得，
，
．
故答案为：D．
【分析】设圆的方程为，由已知求出，，的值，进而得出圆的一般方程，令结合两点距离公式，从而得出MN的长．
7．【答案】A
【知识点】恒过定点的直线；平面内两点间的距离公式；与直线有关的动点轨迹方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：对于直线，可变形为.
令，解得，所以直线恒过定点.
对于直线，可变形为.
令，解得，所以直线恒过定点.
因为，所以，已知，，则中点坐标为.
，所以半径.
则点的轨迹是以AB为直径的圆的一部分，故点P的轨迹为，
已知圆的圆心，半径，则圆心与点轨迹圆的圆心的距离为.
的最大值为圆心加上两圆半径，即.
由于轨迹不包含点，故不存在最小值.
故答案为：A．
【分析】先求直线恒过定点，直线恒过定点，由，得，可得点的轨迹是以AB为直径的圆的一部分，并可求其轨迹方程，有几何特征得的最大值为圆心加上两圆半径，注意P轨迹，得轨迹不包含点，故不存在最小值.
8．【答案】B
【知识点】直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：设直线，，，
由，得，
由，解得或，
则，，
依题意，因为恰好在椭圆上，所以与的斜率一定存在，
则，，
设直线与的斜率分别为，
因为，，
所以．
又因为，，
所以
，
又因为，，
所以，则，
所以.
故答案为：B.
【分析】设直线，，，联立直线方程和椭圆方程，再利用韦达定理得出，，设直线与的斜率分别为，利用斜率的两点式得出的值，再利用直线的斜率与直线的倾斜角的关系式，从而得出的值，进而得出的值.
9．【答案】B,C,D
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；双曲线的定义；双曲线的标准方程
【解析】【解答】解：A、为椭圆，则，该选项错误，不合题意；
B、若为双曲线，等价于，即或，该选项正确，符合题意；
C、当时，椭圆长轴长，
当时，椭圆长轴长，该选项正确，符合题意；
D、若为焦点在轴上的双曲线，则，解得，
双曲线的离心率为，
且双曲线的离心率，该选项正确，符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】根据椭圆性质可得，可判断A；根据双曲线性质得，解不等式可判断B；
时，时，分别求出椭圆长轴长，可判断C；焦点在轴上双曲线性质得，解得m，可求双曲线的离心率为，且双曲线的离心率，可判断D.
10．【答案】A,D
【知识点】恒过定点的直线；平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：圆：，圆心，半径，
直线过定点，，
A、，点在圆内，故直线与圆一定相交，该选项正确，符合题意；
B、当过圆心时，最大为，该选项错误，不合题意；
C、圆上点到直线距离的最大值为，该选项错误，不合题意；
D、直线：，圆心在直线上，，
故圆上存在四个点到直线的距离为1，该选项正确，符合题意；
故答案为：AD
【分析】先求出点直线系所过定点，得，点在圆内，可判断A；当过圆心时，最大为，可判断B；由圆得几何特征得圆上点到直线距离的最大值为，可判断C；由m=1得圆心在直线上，r>1，故圆上存在四个点到直线的距离为1，可判断D.
11．【答案】B,C
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：当，时，曲线，即；
当，时，曲线，即不存在；
当，时，曲线，即；
当，时，曲线，即，
画出图形如图所示：
A、满足条件的曲线是双曲线的下支，
该双曲线的下支与曲线是没有交点的，
所以不存在曲线上的点，使得成立，该选项错误，不合题意；
B、一三象限曲线的渐近线方程为，
则直线与曲线没有交点，该选项正确，符合题意；
C、设过点的直线，三个交点，显然.
联立；
联立；
直线与曲线有三个不同的交点，则直线斜率的取值范围是，该选项正确，符合题意；
D、设，由点到直线距离公式得：，，
所以.
因为点是曲线上在第三象限内的一点，则有，
所以，该选项错误，不合题意.
故答案为：BC.
【分析】先分，与零的大小得曲线方程画出函数图象；对于选项A，满足条件的曲线是双曲线的下支，无交点；对于选项B，由渐近线方程 渐近线方程为 ，无交点可；对于选项C，分别联立直线与椭圆和双曲线，相切，有3个不同交点，可得直线斜率取值范围是 ；对于选项D，由点到直线的距离公式，得|QM|，|QN|，将两式相乘得.
12．【答案】0
【知识点】直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【解答】解：因为直线与垂直，
可得，解得．
故答案为：0.
【分析】根据两直线垂直斜率的充要条件计算得出的值.
13．【答案】
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：因为椭圆的焦点在x轴上，
则设椭圆的标准方程为，
由题意，得，解得，
所以椭圆的标准方程为.
故答案为：.
【分析】由题意，设椭圆的标准方程为，再利用焦距的定义、点代入法和椭圆中a，b，c三者的关系式，从而列出关于的方程组，解方程组得出a，b，c的值，从而得出椭圆的标准方程.
14．【答案】
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：不妨设为第一象限的点，为左焦点，
设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，
根据椭圆和双曲线的定义，可得，，
所以，，，
在△中，，
由余弦定理，得，
化简得，则．
所以，
则，当且仅当，且，
所以，当，时等号成立．
故答案为：.
【分析】利用椭圆的定义和双曲线的定义，在焦点三角形中结合余弦定理，从而得到的值，再利用基本不等式求最值的方法，从而得出的最大值.
15．【答案】解：由题意，联立方程组，
解得，
则平行四边形的顶点，
设，
由题意知，点是线段的中点，
所以，
解得，
所以，
由已知条件，得直线的斜率，
因为与平行，
所以，直线的方程为，即，
由已知条件，得直线的斜率，
因为与平行，
所以，直线的方程为，即，
则这个平行四边其它两边所在直线的方程是和.
【知识点】用斜率判定两直线平行；平面内中点坐标公式；直线的一般式方程；两条直线的交点坐标
【解析】【分析】依题意，联立两直线方程得出平行四边形ABCD的顶点A的坐标，再结合对角线的交点是，从而得出点C的坐标，再利用直线的点斜式方程和转化法，从而得出其他两边所在直线的方程.
16．【答案】解：（1）因为到其焦点的距离为5，
根据抛物线定义，抛物线上的点P到准线距离也为5，如图：
则抛物线的准线方程为，
所以，
则抛物线方程为.
（2）由题意，设双曲线方程为，
因为双曲线经过点，如图：
所以，
则，
所以双曲线标准方程为，
则.
【知识点】抛物线的标准方程；双曲线的标准方程
【解析】【分析】（1）根据已知条件和抛物线的定义，从而得出p的值，进而得出抛物线的方程.
（2）根据已知条件，设所求双曲线方程为，再代入点得出的值，从而得出双曲线的标准方程.
17．【答案】（1）解：由题可知，，，
又，且，解得，，
则椭圆的方程为.
（2）解：法一：①当直线斜率为0时，， 不符合题意.
②当直线斜率不为0时，设直线方程为，
联立，得，，
设，则.
由题意，，
即，解得.
故直线的方程为：或.
法二：①当直线斜率不存在时，，不符合题意.
②设直线方程为，
联立，得，，
设，则，
由，得，
即，解得.
故直线的方程为或.
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由椭圆的几何性质得，代入离心率公式可求，代入即可得到b，继而得椭圆方程；
（2）方法一、先讨论直线斜率是否为0；不为0时，可反设直线方程，与椭圆方程联立运用韦达定理，代入弦长公式可得解；
方法二、正设方程，先讨论直线斜率存不存在同方法一，与椭圆方程联立运用韦达定理，代入弦长公式可得解.
（1）由题可知，，，
又，且，解得，，
则椭圆的方程为.
（2）法一：①当直线斜率为0时，， 不符合题意.
②当直线斜率不为0时，设直线方程为，
联立，得，，
设，则.
由题意，，
即，解得.
故直线的方程为：或.
法二：①当直线斜率不存在时，，不符合题意.
②设直线方程为，
联立，得，，
设，则，
由，得，
即，解得.
故直线的方程为或.
18．【答案】（1）解：根据题意，得双曲线的左顶点为，
则，
由双曲线的一条渐近线与直线AP垂直，可知，
则，
所以，
则，
所以双曲线的离心率为.
（2）解：由（1）得，
因为，所以，
设，，
则在中，有，
由双曲线的定义，
可得，
解得，
则，
又因为，
解得，
点M到轴的距离为.
（3）解：因为，
则过且斜率为l的直线的方程为，
与双曲线方程联立消元，可得，
设，，
则，，
由弦长公式，得，
所以DE的长度为.
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合两点求斜率公式得出的值，由双曲线的一条渐近线与直线垂直结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而得到的值，再利用双曲线中a，b，c三者的关系式，从而得出双曲线的离心率.
（2）设，，在中，求出的值，再由得出的值，进而得出点M到x轴的距离.
（3）先由点斜式得出求出直线l的方程，将直线方程与双曲线方程联立，结合韦达定理和弦长公式得出线段的长度.
（1）根据题意，双曲线的左顶点为，故，
则由双曲线的一条渐近线与直线AP垂直可知，则，
所以，即，
所以双曲线的离心率为；
（2）由（1）得，又，所以，
设，，则在中，有，
又由双曲线的定义，可得，解得，则，
又，解得，
M点到轴的距离为；
（3）因，则过且斜率为1的直线的方程为，
与双曲线方程联立消元，可得，
设，，则，，
由弦长公式，，
所以DE的长度为.
19．【答案】（1）解：由题意可知，，
由椭圆定义可得，点N的轨迹是以E， F为焦点的椭圆，
且长轴长，焦距，
所以，
因此曲线C方程为.
（2）解：（ⅰ）设，，，
由题可知，，如下图所示，
则，，
而，于是，
所以，
又，则，
因此为定值；
（ⅱ）由题意可知，直线PQ不可能与轴平行，
设直线PQ的方程为，，，知，
由，得，
，得
所以
由（i）可知，，
即，
将代入化简得，化简得解得舍或，
所以直线PQ的方程为，
因此直线PQ经过定点
【知识点】恒过定点的直线；椭圆的定义；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由几何特征可得为定值4，根据椭圆的定义，，得动点N的轨迹为椭圆，有几何性质可得 ，得方程；
（2）（i）设P，Q，T的坐标并用其表示得，点P在椭圆上有，消去得出定值；
（ii）将直线PQ的方程反设为，联立该直线方程及椭圆方程，消元并且由韦达定理得， 由（i）可知， ，带人化简得 ，可得点直线系得定点.
（1）由题意可知，，
由椭圆定义可得，点N的轨迹是以E， F为焦点的椭圆，
且长轴长，焦距，
所以，
因此曲线C方程为.
（2）（ⅰ）设，，，
由题可知，，如下图所示，
则，，
而，于是，
所以，
又，则，
因此为定值；
（ⅱ）由题意可知，直线PQ不可能与轴平行，
设直线PQ的方程为，，，知，
由，得，
，得
所以
由（i）可知，，
即，
将代入化简得，化简得解得舍或，
所以直线PQ的方程为，
因此直线PQ经过定点
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