10.1.3《古典概型》教学设计-2025-2026学年人教A版高中数学必修二

10.1.3古典概型
教学设计
一、教材分析
本节课是人教A版《普通高中教科书·数学（必修第二册）》第十章第一节第3课时的内容.古典概型是最简单的概率模型，也是高中阶段重点研究的概率模型，通过古典概型的学习，学生进一步理解随机事件和样本点的关系、事件和样本空间的关系、概率的意义，掌握研究概率模型的一般性思路，古典概型也为研究概率的基本性质提供了具体案例的支撑.从教材体系来看，古典概型起到了承前启后的关键作用.
教材通过具体的实例（如掷硬币、掷骰子等）引入古典概型的概念，引导学生从具体情境中抽象出古典概型的两个核心特征——有限性和等可能性，再通过归纳总结得出古典概型的概率计算公式。这种从具体到抽象、从特殊到一般的研究思路，符合学生的认知规律，有助于学生理解和掌握知识。此外，教材还注重将古典概型与实际生活相结合，通过解决实际问题，让学生体会概率的应用价值，提升学生的数学抽象和数学建模素养.
二、学情分析
本节课的教学对象是高中一年级学生，他们已经初步具备了学习数学的基础和认知能力.
1.已有知识基础：学生在初中阶段已经接触过简单的概率问题，了解了随机事件、频率、概率等基本概念，能够通过列举法计算一些简单随机事件的概率；在高中阶段，已经学习了
集合的相关知识，这为理解古典概型中“随机事件”提供了帮助。
2.认知能力特点：高一学生的抽象思维能力和逻辑推理能力有了一定的发展，能够从具体实例中归纳总结出一般规律，但在理解抽象概念（如“等可能性”的严格定义）和复杂问题的转化（如将实际问题转化为古典概型问题）方面仍存在困难。
3.可能存在的问题：学生在学习过程中，容易忽略古典概型的“等可能性”特征，直接套用概率计算公式；在列举基本事件时，可能会出现重复或遗漏的情况，尤其是当基本事件数量较多时，难以做到不重不漏；此外，对于一些看似符合古典概型特征，但实际不满足等可能性的问题，学生难以准确判断。
三、课时目标
（一）知识与技能目标
1.理解古典概型的定义，掌握古典概型的两个特征（有限性、等可能性）；
2.能准确判断一个随机试验是否为古典概型；
3.熟练掌握古典概型的概率计算公式（其中，)和)分别表示样本空间W和事件A包含的样本点个数），并能运用该公式计算简单古典概型问题的概率。
（二）过程与方法目标
1.通过对具体实例的分析、讨论和归纳，经历古典概型概念的形成过程，培养学生的抽象概括能力和逻辑推理能力。
2.通过列举样本点、计算概率的过程，掌握列举法（直接列举法、列表法、树状图法）在古典概型中的应用，提高学生分析问题和解决问题的能力。
3.引导学生将实际问题转化为古典概型问题，培养学生的数学建模能力和转化与化归思想。
（三）情感态度与价值观目标
1.通过解决生活中的古典概型问题，让学生体会数学与生活的密切联系，感受数学的应用价值，激发学生学习数学的兴趣。
2.在小组合作学习和讨论的过程中，培养学生的合作意识和交流能力，增强学生的团队精神。
3.通过对概率问题的探究，让学生体会随机思想的重要性，培养学生严谨的思维习惯和科学的态度。
四、评价任务
1.课堂提问评价：通过提问“什么是样本点？”“古典概型有哪些特征？”评价学生对古典概型基本概念的理解程度；通过让学生分析具体实例（如射击运动员向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环、...命中1环和命中0环（即不命中），这个试验是否为古典概率模型？），评价学生对“等可能性”特征的判断能力。
2.课堂练习评价：设计3-4道基础题，让学生独立完成，评价学生对古典概型概率计
算公式的掌握情况和基本运算能力；设计1-2道中档题（如“同时掷两枚均匀的骰子，求
点数之和为7的概率”），评价学生运用列举法（列表法、树状图法）列举样本空间的能
力。
3.小组讨论成果评价：将学生分成小组，给出实际问题，让小组合作讨论解决，然后每组派代表展示解题过程和结果，评价学生的合作能力、交流能力以及将实际问题转化为古典概型问题的能力。
4.课后作业评价：通过批改课后作业，评价学生对古典概型知识的综合运用能力，重点关注学生在判断古典概型、列举样本点、计算概率等方面是否存在问题，及时发现学生的薄弱环节并进行针对性辅导。
五、教学过程
环节一、创设情境引入课题
经过指导老师的指导，情境引入不要从研究路径入手，激发不起学生的学习兴趣，老师建议：既能激发学习兴趣，又能复习所学，还能引出新的要学习的内容。于是我设置了如下问题。
一个不透明的口袋里有若干个红球和白球，除了颜色，大小形状完全相同修改前的设计问题1前面我们学习了有限样本空间和随机事件、事件的关系和运算，接下来，我们应该研究什么？
追问1.比如我们买彩票时，最想知道什么？
生答：是否中奖
追问2.“中奖”是随机事件吗？
生答：是
追问3.在买彩票前，你最关注随机事件“中奖”的什么？
生答：发生可能性的大小，或者中奖率
追问4.生活中我们如何表达中奖率？
师生活动：归纳总结概率的定义：对随机事件发生可
能性大小的度量（数值）称为事件的概率。
问题1请同学们设计一个方法，估计口袋里红球占总球数之比？
追问1这个比值就是红球占总球数之比的准确值吗？为什么？
设计意图：
1、通过设计试验及追问，让学生明确抽样只能得到频率，频率是随机的，用频率可以估计概率，而概率的定值；
2、通过大家对问题的解决，培养学生分析问题，将实际问题转化为数学问题，用数学
知识解决问题的能力。
3、通过对概率定义的学习，让学生了解研究随机事件最重要的是知道随机事件发生可
能性的大小，即概率。
试验:从装有3个红球，2个白球的不透明的袋子中随机摸一个球.
问题2请同学们根据上述试验，求摸到一球为白球的可能性大小？
追问1是摸到白球的可能性大小的准确值吗？为什么？
追问2你能写出这个试验的样本点和样本空间吗？并求出每个样本点发生的概率.
设计意图：上个试验比值不定就是因为样本空间不定，那给一个样本空间确定的试验，为引出古典概型做铺垫。
探究1你能写出下列试验的样本点和样本空间？并求相应问题的概率.
(1)掷两枚质地均匀的骰子,每个样本点发生的概率分别是______;
(2)掷一枚质地均匀的硬币，每个样本点发生的概率分别是______.
设计意图：通过三个实例让学生发现并归纳它们的共同特征，样本点的等可能性和样本空间中样本点的有限性，从而得到古典概型的定义。两种引入设计相比较，第二种更具有智慧，符合知识的发生和发展过程。让人感觉课堂有主线，课上起来顺畅，舒服。
环节二：试验探究，获得新知
修改前课前模拟实验 1、课前任务：以数学小组（6 人一组）为单位，完成下面两个模拟试验 ①掷一枚质地均匀的硬币的试验（至少投掷 20 次） ②掷一枚质地均匀的骰子的试验（至少投掷 60 次） 2、回答下列问题： ①这两个试验的样本点分别有哪些？并写出两个试验的样本空间. ②这两个试验的样本点和样本空间有哪些共同特征？ 课代表统计汇总结果和问题的答案(上课前课代表把统计结果写在黑板上） 设计意图： 1、通过掷硬币与掷骰子两个接近于生活的试验的设计，激发学生的学习兴趣； 2、引导学生试验探究和观察类比，找出共性，总结归纳出样本点的特点， 为引出古典概型的定义做铺垫； 3、鼓励学生用自己的语言表述，从而提高学生的表达能力与数学语言的组织能力
两种引入设计相比较，第二种更具有智慧，符合知识的发生和发展过程。让人感觉课堂有主线，课上起来顺畅，舒服。
通过探究可知：以上这两个试验的共同特征：
(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个;
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,
简称古典概型．
辨析：(1)向一圆面内随机投一个点，若该点落在圆内任意一点都是等可能的，是古典模型吗？为什么？
(2)射击运动员向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环、...命中1环和命中0环（即不命中），你认为这是古典概率模型吗？为什么？增加了(3)同时掷三枚质地均匀的硬币，三枚硬币朝上的面构成的样本空间为 {两反，三反三正，两正一反，一正}对吗？为什么？增加（3）目的，1让学生理解样本点的定义，及样本空间中样本点是具有等可能性的。
设计意图:
设疑“观察模拟试验中样本点有什么共同点 ”，通过问题的解决让学体验由特殊到一般的数学思想方法的应用，从而引出古典概型的概念.通过两个辨析题，加深对古典概型的
两个特征的理解。
环节三：合作探究，探索公式
修改前思考 1 下面两个随机试验是古典概型吗？如何度量事件 A 和事件 B 发生的可能性大小 (1)一个班级中有 18 名男生、22 名女生．采用抽签的方式，从中随机选择一名学生， 事件 A=“抽到男生”； (2)抛掷一枚质地均匀的硬币 3 次，事件 B =“恰好一次正面朝上”．
探究2如果一个随机试验是古典概型，如何求某个随机事件A的概率呢
(1)掷两枚质地均匀的骰子,两枚骰子出现的点数之和为5的概率是多少？
(2)从装有3个红球，2个白球的不透明的袋子中随机摸一个球.摸到红球的概率是多少？
修改前课前模拟实验
1、课前任务：以数学小组（6人一组）为单位，完成下面两个模拟试验
①掷一枚质地均匀的硬币的试验（至少投掷20次）
②掷一枚质地均匀的骰子的试验（至少投掷60次）
2、回答下列问题：
①这两个试验的样本点分别有哪些？并写出两个试验的样本空间.
②这两个试验的样本点和样本空间有哪些共同特征？
课代表统计汇总结果和问题的答案(上课前课代表把统计结果写在黑板上）
设计意图：
1、通过掷硬币与掷骰子两个接近于生活的试验的设计，激发学生的学习兴趣；
2、引导学生试验探究和观察类比，找出共性，总结归纳出样本点的特点，为引出古典概型的定义做铺垫；
3、鼓励学生用自己的语言表述，从而提高学生的表达能力与数学语言的组织能力
修改前思考1下面两个随机试验是古典概型吗？如何度量事件A和事件B发生的可能
性大小
(1)一个班级中有18名男生、22名女生．采用抽签的方式，从中随机选择一名学生，
事件A=“抽到男生”；
(2)抛掷一枚质地均匀的硬币3次，事件B=“恰好一次正面朝上”．
两种设计比较：之前的实例放到了练习题里面，这样利用前面的试验可以不用再列样本空间了，借上面的避免做些重复的工作，使得课堂学习更具完整，前后呼应。
设计意图:了解古典概型的概念之后，就要引领学生探究概率公式。为了突破这个重点，我设计了让学生带着思考问题观察试验和讨论，使其有目的的去寻找答案，有效的利用课堂时间，达到教学目标。
问题4通过对以上两个实例的探究，你能概括一下如何度量一个古典概型中某个事件发生可能性的大小吗
设计意图:
1.通过实例分析，让学生自主归纳出古典概型的概率计算公式，逐步感受由特殊到一般的思想方法。过程自然有序，让学生体验到认知的自然升华，感受数学美妙的意境；
2.培养学生抽象概括的能力，体现了课堂中学生的主体地位。
环节四：例题分析，加深理解
学生独立完成例题7
例7单项选择题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案．如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案．假设考生有一题不会做，他随机地选择一个答案，答对的概率是多少
追问：解决本题的思路是什么？
设计意图:
1.让学生列举试验的样本空间，熟悉用数学语言表达解题过程；让学生学会独立思考，进一步加深对古典概型的概念理解，强调应用概率公式首先要判断是否为古典概型;初步教会学生把一些实际问题转化为古典概率模型;并掌握解决古典概型问题的步骤;
3.通过对与学生密切相关的问题的解决和对概率公式的直接应用，让学生真正理解并掌握概率公式.
思考2标准化考试中也有多选题，多选题是从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案(四个选项中至少有两个选项是正确的)．你认为单选题和多选题哪种更难选对 为什么
小组合作，解决此问题，并展示成果.（5分钟）
设计意图:
1.通过思考2的探究，进一步突破本节课的重点和难点，加深对率公式的理解，渗透了分类讨论的思想方法，了解实际生活中处理一些问题可用所学知识作为依据，体验概率与生活是息息相关的，培养学生解决实际问题的能力。
2.通过与例7对比，体会概率越小，猜对答案越难.