河北省六校联合体2025-2026学年高一数学上学期期中测试（PDF版，含答案）

绝密★启 前 【解析】对于 A，易知 = cos 的定义域为R，且满 cos( ― ) = cos ，因此 = cos 为偶函数，但
六校联合体 2025-2026学年度第 学期期中考试试卷 在(0， + ∞)上不是严格减函数，即 A错误；
1 1 1 1
对于 B，函数 = 3的定义域为R，但( ― )3 = ― 3，因此 = 3为奇函数，所以 B错误；
数学 对于 C，函数 = e―| |的定义域为R，满 e―|― | = e―| |，因此 = e―| |为偶函数，

| | ― 1―
、选择题 当 ∈(0， + ∞)时， = e = e = 为严格减函数，即 C正确；
e
1．下列各选项正确的是( ) 对于 D， = ln( + 1 )的定义域为( ―1， + ∞)，显然定义域不关于原点对称，不为偶函数，即 D
A．0 ∈ B． = {0} C． {0} D．0= {0} 错误。
【答案】C 故选：C
【解析】对于 A，空集不含任何元素，故0 ∈ ，故 A错误；对于 B，空集是任何集合的 集，
6 2．如图，已知 次函数 y ax bx c(a 0)的图象顶点在第 象限，且经过 A（-1，0）、
集合{0}含有元素0，故 B错误，C正确；对于 D，0∈{0}，故 D错误；故选：C
2．已知命题 p : x 0， x2 3x 2≥0则( ) B（0,1）两个点。则下列说法正确的是：( )
① < 0； ②―1 < < 0； ③0< < 1； ④0< + + < 2。
A p p : x 0, x2． 是真命题， 3x 2 0 B．p 2是真命题， p : x 0, x 3x 2≤ 0
C．p 2是假命题， p : x 0, x 3x 2 0 D．p 2是假命题， p : x 0, x 3x 2≤ 0
【答案】C
【解析】由 2―3 +2 0，得 1 或 2，则当1 < < 2时， 2―3 +2< 0，故 是假命题， ：
> 0， 2―3 +2< 0。故选：C A．①② B．①③④ C．①②④ D．①②③④
1
3．已知集合 A {x | x 2 【答案】D且x Z}，B {x | x2 }，则 ∩ = ( )
4 【解析】由图象可知 次函数图象开 向下，则 < 0，图象与 轴交点为 ( 0， 1 )，所以
A．{―1，1 } B．{―1，0，1 } C．{0} = 1 > 0，
D．{―2，―1，0，1，2} 顶点在第 象限，对称轴 = ― > 0， < 0，所以 > 0，所以 < 0，①说法正确；
2
【答案】A
― + = 0
因为图象经过 ( ―1， 0 )、 ( 0， 1 )两个点，所以 ，解得 = +1。
【解析】∵ = { ∣| | < 2且 ∈ } = { 1 0 1 1 1― ， ，1 }， = | 2 > = | > 或 < ― 。 = 1
4 2 2
因为 < 0， > 0，所以―1 < < 0，②说法正确；
∴ ∩ = {1，―1 }。故选：A
由―1 < < 0得0< +1 < 1，即0< < 1，③说法正确；
4．已知全集 = ，集合 = { | log2 2 }，则U A ( ) 因为图象顶点在第 象限，且经过 ( ―1， 0 )，
A．(4， +∞) B．[4， +∞) C．( ―∞，0) ∪ [4， +∞) D．( ―∞，0]∪ (4， 由 次函数的对称性可知与 轴另 个交点的横坐标在(1， + ∞)上，
+∞) 所以当 = 1时， + + > 0，
【答案】D ―1 < < 0，0< < 1， = 1，所以 + + < 2，即0< + + < 2，④说法正确；
【解析】由log2 2，即log2 log24，所以0< 4， 所以 = { | log2 2 } = { |0 < 4 }， 全 综上①②③④正确；
集 = ，所以 = ( ―∞，0]∪ (4， +∞)。故选：D 故选：D。
5．下列函数中，既是偶函数， 是( 0， + ∞)上的严格减函数的是( ) 7．如果 ， 为实数，且 2025+ 2025= 0，那么 定有( )
y cos x 1 x 2025 2025 2025 2025A． B． y x3 C． y e D． y ln 1 x
A．( | | + | | ) = 0 B．( ― ) = 0 C．( · ) = 0 D．( + ) = 0
【答案】D
【答案】C
第 1 （共 8 ） 第 2 （共 8 ）
学科 （北京）
【解析】由 2025+ 2025= 0，可得 2025= ― 2025= ( ― )2025， C ．若 < 0，则 + 的最 值为―2

1 1
则( 2025 )2025= ( ― )2025 2025，即 = ― ，
D 2 1．若正实数 ， 满 +2 = 1，则 + 的最 值为8

即 + = 0，故( + )2025= 0，故 D符合题意；
【答案】C，D
对于 A，若取 = 1， = ―1，则( | | + | | )2025= 22025≠0，故 A不合题意；
【解析】当 < 0时，A显然不成 ；
对于 B，若取 = 1， = ―1，则( ― )2025= 22025≠0，故 B不合题意；
令 = 2 + 2，则 2，
对于 C，若取 = 1， = ―1，则( · )2025= ( ―1 )2025= ―1 ≠0，故 C不合题意。
2 + 3 1
D = = 2
1
故选： 。 + 2+ = + ，结合对勾函数单调性可知，当 = 2时，取得最 值
3 2，
2 + 2 2 + 2 2
1 2 B错误；
8．若 log4x log4 y 2，则 的最 值为( )x y
若 < 0，则 + = ―[( ― ) + ( ― )] ―2 ― ― = ―2，
·
A 2 B 1 C 3 1． ． ． D．
2 8 4 2 当且仅当― = ― 即 = ― 时取等号，此时取得最 值―2，C正确；

【答案】A
2 1 2 + 4 + 2 4
正实数 满 +2 = 1，则 + = + = 4+ + 4 + 2 4 = 8，
【解析】【详解】log4 + log4 = 2，∴ > 0， > 0，log4( ) = 2， = 16。
·

1 2 2 2 2 1 2 4
1 1 2 1
法 ：∴ + 2 = 2 = 。当且仅当 = 时，上式等号成 。 当且仅当 = 且 +2 = 1，即 = ， = 时取等号，此时 + 的最 值为8，D正确。 16 2 4 2
1 2 故选：CD。
= 16，可得 = 2 2， = 4 2时， + 的最 值为 2。故选：A。
2
1 2 2 2
法 ：∴ + = + 2。当且仅当 = 时，上式等号成 。 11．下列命题中，正确的是( )
16 2 16
A．幂函数 = ―1是奇函数 B．幂函数 = 2是偶函数
1 2
= 16，可得 = 2 2， = 4 2时， + 的最 值为 2。故选：A。
2 C 1．幂函数 = 既是奇函数 是偶函数 D．幂函数 = 2既不是奇函数， 不是偶函数
、多选题
【答案】A，B，D
9．下列说法正确的是( )
1 1 1 1A ― ― ―1．由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1 } 【解析】由 = 的定义域为( ―∞，0) ∪ (0， +∞)，且( ― ) = = ― = ― ，即为奇函
―
B． 与{0}是同 个集合 数，所以 A正确；
C．集合 | = 2―1 与集合 | = 2―1 是同 个集合 由 = 2的定义域为 ，且( ― )2 = 2，即为偶函数，所以 B正确；
D．集合 | 2 + 5 + 6= 0 与集合{―2，―3}是同 个集合 由 = 的定义域为 ，且― = 不恒成 ，不是偶函数，所以 C不正确；
【答案】A，D
1
由 = 2的定义域为[0， +∞)，显然定义域不关于原点对称，即为 奇 偶函数，所以 D正确。
【解析】对于 A，根据集合元素的 序性可得{1，2，3}、{3，2，1 }表示同 集合，元素有1，2，
3，故 A正确；对于 B，{0}不是空集，故 B错误； 故选：ABD
对于 C， | = 2―1 = R， | = 2―1 = { | ―1 }， 三、填空题
故两个集合不是同 个集合，故 C错误。 12．已知log32= ，则log296= __________。( 的代数式表示)
对于 D， | 2 + 5 + 6= 0 = {―2，―3}，故 D正确。故选：AD。 1【答案】5+

10．下列选项正确的是( )
【解析】因为log32= ，
A 4．若 ≠0，则 + 的最 值为4 log396 log log 96= = 332+ log33 5log 2+ 1 5 + 1 1所以 2 =
3 = = 5+ ，
log32 log32 log32
B
2 + 3
．若 ∈R，则 的最 值是2
2 + 2 1故答案为：5+

第 3 （共 8 ） 第 4 （共 8 ）
13 5 3 1 __________ 即不等式
2 +3 +10 < 0的解集为 ；
．已知 ( ) = ― + + +1，且 ( ―3) = ―5，则 (3) = 。

【 问 2】
【答案】7
将不等式 2―2 15 移项得 2―2 ―15 0，其对应的 元 次 程为 2―2 ―15 = 0，
1
【解析】 ( ) = 5― 3 + + +1，
因式分解得( ―5)( + 3) = 0，解得 = 5或 = ―3，
次函数 = 2―2 ―15为开 向上的 次函数，且与 轴交于( ―3，0)和(5，0)，
则 ( ― ) = ( ― )5― ( 1― )3 + ( ― ) + ― +1 =
1
― 5― 3 + + +1
所以不等式 2―2 15 的解集为{ | ―3 5 }；
则有 ( ― ) + ( ) = 2，若 ( ―3) = ―5，则 (3) = 2―( ―5) = 7。故答案为：7。 【 问 3】
14 1 ．若 +1 > 0，则 + 的最 值为__________。 ―4 ―4 ― ―2 + 2
+ 1 4 将不等式 2移项得 ―2 0，通分后化简可得 0，即 0，
―1 ―1 ―1 ―1
3
【答案】 或0。75 等价于( + 2)( ―1 ) 0且 ―1 ≠0，
4
元 次 程( + 2)( ―1 ) = 0的解为 = ―2或 = 1，
1 1 + 1 1 1 3 1 + 1
【解析】 + = + ― 2 1 + 1 ― = ，当且仅当 = ，即 = 1时取等号。
+ 1 4 + 1 4 4 · + 1 4 4 4 + 1 4 次函数 = ( + 2)( ―1 )为开 向上的 次函数，且与 轴交于( ―2，0)和(1，0)，
3 所以不等式( + 2)( ―1 ) 0的解集为{ | ―2 1 }，
故答案为：
4
―1 ≠0，解得 ≠ 1，
四、解答题
―4
15 所以不等式 2的解集为{ | ―2 < 1 }。．已知集合 = { ∣0< ―2< 3}， = { || ―5∣< 2}， = { ∣ > 4}。 ―1
(1)求 ∩ ； 17．已知函数 ( ) = 2 2―2 +2― 2， ( ) = 2 +3 ― 2―4( ∈ )。
(2)求 ∪ ( ∩ )，( ) ∪ ( )。 (1)当 = 1时，解不等式 ( ) > ( )；
【答案】 解析 (2)若对任意 > 0，都有 ( ) > ( )成 ，求实数 的取值范围；
【解析】【 问 1详解】 = { ∣0< ―2< 3} = { ∣2< < 5}， (3)若对 1 ∈[0，1 ]， 2∈[0，1 ]，使得不等式 ( 1 ) > ( 2 )成 ，求实数 的取值范围。
= { ∣―2< ―5< 2} = { ∣3< < 7}， 【答案】 解析
所以 ∩ = { ∣3< < 5}。 【解析】【 问 1】
【 问 2详解】因为 = { ∣3< < 7}， = { ∣ > 4}， 当 = 1时， ( ) > ( )即2 2―2 +1 > 2 +3 ―5，
所以 ∩ = { ∣4< < 7}， = { ∣2< < 5}， 所以 2―5 +6> 0，所以( ―3)( ―2) > 0，所以 > 3或 < 2，
所以 ∪ ( ∩ ) = { |2 < < 7}。 所以不等式 ( ) > ( )的解集为{ | > 3或 < 2}。
由(1)知 ∩ = { |3 < < 5}， 【 问 2】
所以( ) ∪ ( ) = ( ∩ ) = { | 3或 5}。 6“ 对任意 > 0，都有 ( ) > ( )恒成 ” 等价于“ 对任意 > 0，都有 + ―3> 2 恒成 ” ，

16．求下列不等式的解集：
6
(1) 2 +3 +10 < 0 因为 > 0时， + ―3 2 6 · ―3= 2 6―3(当且仅当 = 6时等号成 )，
(2) 2―2 15 3
所以2 < 2 6―3即 < 6― ，
2
(3) ―4 2
―1
3
所以实数 的取值范围是( ―∞， 6― )。
【答案】 解析 2
【解析】【 问 1】不等式 2 +3 +10 < 0，其对应的 元 次 程为 2 +3 +10 = 0， 【 问 3】
在 程 2 +3 +10 = 0中，得Δ= 9―4× 10 = ―31 < 0， 因为对 1 ∈[0，1 ]， 2∈[0，1 ]，使得不等式 ( 1 ) > ( 2 )成 ，
所以 程 2 +3 +10 = 0 实数根， 所以不等式 ( 1 )min > ( 2 )min，
次函数 = 2 +3 +10为开 向上的 次函数，且与 轴 交点， 2 2 3 2 2 25因为 ( ) = +3 ― ―4= ( + ) ― ― ，
2 4
所以 = 2 +3 +10的值恒 于0，
第 5 （共 8 ） 第 6 （共 8 ）
学科 （北京）
所以 = ( )在[0，1 ]单调递增， 两个 案的利润都是59万,按照时间成本来看,第 个 案更好,因为 时更短,
所以 ( ) 2min = (0) = ― ―4。 案①较为合算.
2
因为 ( ) = 2 2―2 +2― 2 = 2( ― )2 +2 3 ― ， 19．已知奇函数 ( )与偶函数 ( )满 ( ) + ( ) = 2 .
2 2
(1)求 ( ) , ( )的解析式;

所以当 < 0，即 < 0时， = ( )在[0，1 ]单调递增，2 (2)若 ( ) = 4( < 0) , 3 求 的值;
2
所以 ( )min = (0) = 2― 2，
(3)若函数 ( ) = 2 ( ) + [ ( ) ]2,求 ( )在 ∈[0,1 ]上的最 值.
则2― 2 > ― 2―4成 ，故 < 0；
【答案】 解析
2
当0 1 ，即0 2时， ( ) = min = 2
3
― ，
2 2 2 【解析】【 问 1详解】
2 3
2
由 ― > ― 2―4得―2 3 2 3，所以0 2； 因为奇函数 ( )与偶函数 ( )满 ( ) + ( ) = 2 ,
2
2 ― ― ―2 2 + 2
得 ( ― ) + ( ― ) = ― ( ) + ( ) = 2
― ,联 得, ( ) = , ( ) = .
当 > 1，即 > 2时， ( )min = (1 ) = ― 2―2 +4，
2 2
2
【 问 2详解】
由― 2―2 +4> ― 2―4得 < 4，所以2< < 4。
2 + 2― ―
综上所述，实数 的取值范围是( ―∞，4)。 由(1)得 ( ) = = 4,即2 + 2 = 8,2
18．某物流基地今年初 49万元购进 台 型运输 于运输.若该基地预计从第1年到第 年
2 因为2 + 2― = 2 ―2―2 2 +2. 因为 < 0,则22―2―2 < 0,所以22―2―2 = ― 6,
( ∈ )花在该台运输 上的维护费 总计为( 2 + 3 )万元,该 每年运输收 为23万元.
3 1 3 3 1 3 3(1)该 运输 年开始盈利 (即总收 减去成本及维护费 的差为正值) 则 = 2 ―22 ―2 =
―
2 2 2
2 2
2 ― 2
(2)若该 运输若 年后,处理 案有两种:
1
= ·( 2 + 2 9 6―
2 2
―
2―2 2 + 1 ) = ― .
①当年平均盈利达到最 值时,以17万元的价格卖出; 2
②当盈利总额达到最 值时,以8万元的价格卖出. 【 问 3详解】
1
哪 种 案较为合算 请说明理由. 由题 ( ) = 2 ( ) + [ ( ) ]2 = ( 2 ―2― ) + ( 2 + 2― )2, ∈[0,1 ].
4
【答案】 解析
令 = 2 ―2― , 3 1则 ∈ 0, ,则 ( ) = ( ) = 2 + +1 ,
【解析】(1)由题意可得23 ―49―( 2 + 3 ) > 0,即 2―20 +49< 0, 2 4
解得10 ― 51 < < 10 + 51 , 3, 3 , 3 , 3 3 25当―2 即 ― 时 F( t )在 0, 上单调递减 ( ) = ( ) = = + ;
2 4 min min2 2 2 16
∴ 3 ,
当―2 0 ,即 0时, ( ) 3在 0, 上单调递增, ( ) = ( ) = (0) = 1 ;
∴ min min该 运输3年开始盈利.; 2
(2)该 运输若 年后,处理 案有两种: 3当0< ―2 < , 3即― < < 0时, ( )min = ( )min = ( ―2 ) = 1 ― 2.2 4
①当年平均盈利达到最 值时,以17万元的价格卖出,
: 3 3 25 3综上当 ― 时, ( ) 2
23 49 ( 2 + 3 ) 49 4 min
= + ;当― < < 0时, ( ) = 1 ― ;
49 2 16 4
min
― ― = 20―( + ) 20 ―2 · = 6,
当 0时, ( )min = 1 .
当且仅当 = 7时,取等号,
∴ 案①最后的利润为 :23× 7―49―(49 + 21) + 17 = 59(万);
②当盈利总额达到最 值时,以8万元的价格卖出,
= 23 ―49―( 2 +3 ) = ― 2 +20 ―49= ―( ―10)2 +51 ,
∴ = 10时,利润最 ,
案②的利润为51 + 8= 59(万),
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