贵州省大方县第二中学2025-2026学年高二下学期第三次月考数学试题（含答案）

2025 年秋季学期高二年级数学第三次月考
(试卷满分 150 分, 考试用时 120 分钟)
注意事项:
1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号.回答非选择题时, 将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求.
1. 已知集合 ,则 ( )
A. B.
C. D.
2. 已知 是椭圆 上的一点， 分别是椭圆 的左，右焦点，则 ( )
A. 6 B. 4 C. 3 D. 2
3. 在 中， ， ， ，则 ()
A. B. C. 120° D.
4. 如图,在棱长为 2 的正方体 中，点 、 分别是棱 的中点，则点 到平面 的距离等于( )
A. B. C. D.
5. 已知双曲线的下、上焦点分别为 是双曲线上一点且 ，则双曲线的标准方程为( )
A. B.
C. D.
6. 已知双曲线 ,则下列选项中不正确的是 ( )
A. 的焦点坐标为 B. 的顶点坐标为
C. 的离心率为 D. 的虚轴长为
7. 已知 ,则 的大小关系是( )
A. B.
C. D.
8. 如图,在长方体 中, 是线段 中点,若 , 则 ( )
A. B. 1
C. D. 3
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
9. 已知复数 ,则下列结论中正确的是( )
A. 对应的点位于第二象限 B. 的虚部为 -2
C. D.
10. 已知函数 的部分图象如图所示,下列说法正确的是( )
A. 函数 的最小正周期为
B. 函数 的图象关于直线 对称
C. 函数 在 单调递减
D. 该图象向右平移 个单位可得 的图象
11. 已知直线 和圆 ，则())
A. 直线 恒过定点
B. 存在 使得直线 与直线 垂直
C. 直线 与圆 相交
D. 直线 被圆 截得的最短弦长为
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分
12. 已知平面向量 的夹角为 ，则 _____.
13. 已知倾斜角为 的直线 经过抛物线 的焦点 ,且与抛物线交于 两点,则线段 的长为_____.
14. 已知数列 满足 ，则 _____.
四. 解答题 (本大题共 5 小题, 共 77 分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演 算步骤)
15. 为等差数列 的前 项和,已知 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求 ，并求 的最小值.
16. 某地区对初中 500 名学生某次数学成绩进行分析, 将得分分成 8 组(满分 150 分): 整理得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求第七组的频率;
(2)用样本数据估计该地的 500 名学生这次考试成绩的平均分 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(3)现从 500 名学生中利用分层抽样的方法从 [95,105),[105,115) 的两组中抽取 5 个人进一步做调查问卷, 再从这 5 个人中随机抽取两人, 求抽取到的两人不在同一组的概率.
17. 如图,在四棱锥 中,底面 为正方形、 平面 分别为棱 的中点
(1)证明: 平面 ；
(2)若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值
18. 在 中，角 的对边分别为 ，且 .
(1)求 的大小；
(2)若 ，求 的面积.
19. 已知椭圆 ，由 的上、下顶点，左、右焦点构成一个边长为 的正方形.
(1)求 的方程；
(2)直线 过 的右焦点 ，且和 交于点 ， ，设 是坐标原点，若三角形 的面积是 ,求 的方程.
1. D
,故 ,
故选: D.
2. A
椭圆 ,则 ,又 是椭圆 上的一点,
所以 .
故选: A
3. A
由题意得 ,
又 ,所以 .
故选: A
4. D
以 为坐标原点,分别以 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系,则 .
设平面 的法向量为 ,
则 ,即
令 ,得 .
又 ，
点 到平面 的距离 ,
故选: .
5. C
因为双曲线的下、上焦点分别为 ,
所以设双曲线的方程为 ,半焦距为 ;
又因为 是双曲线上一点且 ,
所以 ,即 ,则 ;
所以双曲线的标准方程为 .
故选: C.
6. A
因为 ,所以 ,
因为焦点在 轴上,
所以 的焦点坐标为 ,顶点为 ,离心率为 ,虚轴长为 .
故选: A.
7. C
由 ,
.
故选:
8.
如图,连接 ,
是线段 中点,
,
,
.
故选: C.
9. BCD
,则
选项 A: 对应的点为 ,位于第一象限. 判断错误;
选项 B: 的虚部为 -2 .判断正确;
选项 C: . 判断正确;
选项 D: . 判断正确.
故选: BCD
10. BD
由图象得 ,解得 ,所以 的最小正周期为 ,故 A 错; ,则 ,将 代入 中得 ,
则 ,解得 ,
因为 ,所以 ,
所以 是 的对称轴,故 正确;
当 时, ,因为 在 上不单调,
所以 在 上不单调,故 错;
该图象向右平移 个单位可得 ,故 D 正确.
故选: BD
11. BCD
对 由 可得, ,
令 ,即 ,此时 ,所以直线 恒过定点 ,故 错误;
对 : 因为直线 的斜率为 ,所以当 时,直线 的斜率为 -2,
此时直线 与直线 垂直,满足题意, 正确;
对 C: 因为定点 到圆心的距离为 ,
所以定点 在圆内,所以直线 与圆 相交, 正确;
对 : 直线 恒过定点 ,圆心到直线 的最大距离为 ,
此时直线 被圆 截得的弦长最短为 ，D 正确；
故选: BCD.
12.
,
所以 .
故答案为: .
13. 8
由题意可知 ,抛物线的焦点为 ,
直线 ,
联立方程组 整理得 ,
设 ,则 ,
方法一:交点弦长公式
.
方法二: 由抛物线的定义
经过焦点,
.
故答案为: 8
14.
由题意可得 ,
所以 ,
上式累加可得 ,
则 ,
又 ，满足上式，所以 .
15.
(2) ，最小值为 -36
(1) 为等差数列 的前 项和, .
,
解得 ,
数列 的通项公式 .
(2) .
时, 的最小值为 -36 .
16.
(2)102 分
(3) .
(1)由频率分布直方图得第七组的频率为:
(2)用样本数据估计该地 500 名学生这次考试成绩的平均分为:
(分);
(3)由频率分步直方图可知 的频数为 的频数为 ,所以两组人数比值为 ,
按照分层抽样抽取 5 人，则在 分别抽取 3 人和 2 人，
记 这组三人的编号为 这组两人的编号为 ,
故从 5 人随机抽取 2 名，共 10 种情况，为:
设事件 “从 5 个人中随机抽取两人，抽取到的两人不在同一组”
则 ,共 6 种情况.
故 ,
即从这 5 个人中随机抽取两人,则抽取到的两人不在同一组的概率为 .
17.(1) 分别为 的中点,
为正方形,
平面 平面 ,
平面 .
(2)由题知 平面
建立如图所示的空间直角坐标系,
设 ，则
,
设平面 的一个法向量为
则 ,令 ,则 ,
设直线 与平面 所成的角为 ,
,
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
18. (1) .
(1)因为 ,
由正弦定理可得 ,
又 ,
所以 ,
因为 ,则 ,所以 ,
因为 ,所以 .
(2)因为 ，
由余弦定理可得 ,整理得 ,
又 ,解得 ,
所以 .
19. (1)
(2) 或
(1) 由已知, ,
所以 的方程为
(2) ，
①若 斜率不存在，易知 ;
②若 斜率存在，设 ，和 的方程联立得:
所以
点 到直线 的距离为 ,
所以 ,
解之得 ,
所以 的方程为 或 ,