贵州省遵义市第四中学2026届高三下学期入学质量监测数学试题（含答案）

遵义四中 2026 届高三下学期入学质量监测 数学
满分 150 分. 考试用时 120 分钟.
注意事项:
1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名、班级和准考证号填写在答题卡上. 将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑; 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案. 答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上; 如需改动, 先划掉原来的答案, 然后再写上新答案; 不能使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁. 考试结束后, 将答题卡交回.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 在复平面内,复数 对应的点的坐标是 ,则 的共轭复数 ( )
A. B. C. D.
2. 已知命题 ，命题 ，则命题 是命题 的( )
A. 充分条件 B. 必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知平面向量 ，则 ( )
A. B. C. D.
4. 下列说法正确的是( )
A. 一个袋子中有 100 个大小相同的球, 其中有 40 个黄球、 60 个白球, 从中不放回地随机摸出 20 个球作为样本，用随机变量 表示样本中黄球的个数，则 服从二项分布，且
B. 残差平方和越小的模型, 拟合的效果越好
C. 设 且 ,则
D. 一组数据10,3,8,3,2,18,7,4的第 50 百分位数为 4
5. 已知双曲线 的一条渐近线与直线 垂直，则实数 的值为 ( )
A. B. C. 2 D. 18
6. 已知定义在 上的偶函数 满足 ,且在区间 上是增函数,令 ,则 的大小关系为( )
A. B.
C. D.
7. 已知正四棱台 的上、下底面边长分别为 和 . 若该棱台的体积为 ，则该棱台的外接球体积为( )
A. B. C. D.
8. 已知函数 有两个零点，则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项 中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错 的得 0 分.
9. 下列关于函数 的叙述,正确的有( )
A. 的最小正周期为
B. 的图像关于直线 对称
C. 在 上的最大值为 3
D. 的图像关于点 中心对称
10. 如图，在正四棱柱 中， ， ， 为线段 上一动点，则下列说法正确的是( )
A. 直线 平面
B. 直线 平面
C. 若 为 的中点，则
D. 三棱锥 外接球的体积为
11. 已知椭圆 的左、右焦点为 ,过点 的直线 交椭圆 于不同的 两点, 为椭圆 上一个动点,下列选项正确的是 ( )
A. 的最小值为 2
B. 若 为 的中点且 ，则椭圆 的离心率为
C. 已知椭圆 的离心率为 ,若椭圆 上一个动点 到直线 的距离为 ,则
D. 若右焦点 在直线 上,且 的面积为 ，则
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 设 是等差数列 的前 项和,已知公差 不为 0 且 ,则 _____.
13. 若 的展开式中 的奇数次幂项的系数之和为 32,则 的值为_____.
14. 若数列 满足 ,则称数列 为 的一阶差分数列. 从集合 中任取 4 个不同的数,按照从小到大排列构成一个四项数列 ,则数列 的一阶差分数列是公差等于 3 的等差数列的概率为_____.
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.
15. 在 中,内角 的对边分别为 为钝角, ,
(1)求 ；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 存在，求 的面积.
条件①: ; 条件②: ; 条件③: .
注:如果选择的条件不符合要求，第(2)问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分.
16. 已知函数 .
(1)求函数 在 处的切线方程；
(2)若方程 在 上恰有 2 个实数根，求 的取值范围.
17. 如图 分别是边长为 6 的正方形三边 的中点,将四边形 沿着线段 折起 (如图 2), 是 上一点,且 .
图1
图2
(1)求证: .
(2)若二面角 的大小为 .
① 求三棱锥 的体积;
②设过直线 且与 平行的平面为 ,求 与平面 所成角的余弦值.
18. 某商场组织一次抽奖活动, 在商场消费的顾客可进行抽奖, 抽奖规则为: 抛掷一枚质地均匀的骰子, 若掷出的点数小于 3 , 则中奖, 否则不中奖, 每次抛掷相互独立. 设该顾客抽
奖 次.
(1)若 ，求中奖次数多于不中奖次数的概率；
(2)若 ，记:中奖次数与不中奖次数之差为 ，求 的期望；
(3)设 为 次抽奖中未出现连续两次不中奖的概率，求 ，并说明当 足够大时, 的实际意义.
19. 已知双曲线 的离心率为 ，点 在 上.
(1)求双曲线 的方程.
(2)按照如下方式，依次构造点 ，过点 作 轴的平行线，与双曲线 的渐近线在第一象限的交点为 ,再过点 作 轴的平行线,与 在第一象限的交点为 . 记点 的坐标为 .
① 求数列 的通项公式；
② 证明: .
1. B
因为在复平面内,复数 对应的点的坐标是 ,
则 ,所以 的共轭复数 .
2. D
等价于 ,得 ;
因为 和 之间无包含关系,故命题 是命题 的既不充分也不必要条件.
3. D
,
所以 .
故选: D
4. B
选项 A: 二项分布是独立重复试验, 这里是不放回抽样, 不满足独立重复的定义, 故不是二项分布, 故 A 错误;
选项 B: 残差是“实际值与估计值之差”, 其平方和越小的模型, 拟合的效果越好, 故 B 正确; 选项 C: 因为 ,所以对称轴为 1,
因为 ,所以 ,
则 ,故 C 错误;
选项 D: 将这组数据从小到大排列为2,3,3,4,7,8,10,18,共 8 个,
则 ,所以第 50 百分位数为 ,故 错误.
5. C
双曲线 的渐近线方程为 ,
直线 即 与双曲线的一条渐近线垂直，
则直线 与渐近线 垂直,
所以 .
6. D
因为定义在 上的偶函数 满足 ,
所以 ,
,
定义在 上 是偶函数且在区间 上是增函数,
则函数在区间 上是减函数,故 .
7.
因为正四棱台 的上、下底面边长分别为 和 ,
所以该正四棱台上底面面积为 ,下底面面积为 .
设正四棱台 的高为 ，则根据正四棱台的体积公式 得 ,解得
设正四棱台 上、下底面中心分别为 ，则其外接球球心 在线段 上,
因为 ,
设外接球的半径为 ,设 ,则 ,因为 ,
所以 ,化简得 ,
即正四棱台 的外接球球心 位于 处.
此时 ,所以该棱台的外接球体积为 .
8. C
显然该函数的定义域为全体正实数,
由 ,设 ,
当 时, ,所以函数 在 上单调递增,
当 时, ,所以函数 在 上单调递减,
则有 ,
问题函数 有两个零点,转化为直线 与曲线 有两个不同的交点, 如下图所示:
由数形结合思想可知: 当 时,直线 与曲线 有两个不同的交点,
即函数 有两个零点,
所以实数 的取值范围为 .
9. BC
,
对于 ,最小正 错误;
对于 ,令 ,解得 ,
当 时， ，故 正确；
对于 ,当 时, ,
所以当 时, 取最小值为 -1, ,
故 C 正确;
对于 ,令 ,则 ,
当 时, ,
所以 的图像关于点 中心对称,故 错误;
故选: BC
10. AD
以 为原点, 为 轴, 轴, 轴,建立如图所示的空间直角坐标系, ,则有 ,
A 选项, ,有 平面 平面 , 所以 平面 ,
,同理可得 平面 ,
平面 ,所以平面 平面 ,
直线 平面 ,所以直线 平面 选项正确;
B 选项, ,直线 与直线 不垂直
所以直线 不垂直于平面 选项错误;
选项, 为 的中点,则 ,
为线段 上一动点,设 ,
则 ，
，不恒为 与 不恒垂直， 选项错误；
D 选项,三棱锥 的外接球就是正四棱柱 的外接球,
正四棱柱的体对角线就是外接球的直径 ,
所以三棱锥 外接球的体积 ，D 选项正确.
11. CD
,因为直线 过点 ,所以 ,
取 ,则 ,所以 错误;
B,若直线 的斜率不存在,则直线 ,此时 ,不满足 ,
故直线 的斜率一定存在,设 ,则 ,
两式相减得: ,
因为 为 的中点,所以 ,
所以 ,即 ,
又直线 的斜率为 ,且 ,所以 ,所以 ,
所以 ,所以椭圆的离心率为 ,故 B 错误;
C,因为 ,所以 ,所以 ,所以椭圆的方程为 , 设 ,因为 ,
所以
又 ，则 ，所以 ，故 C 正确；
D,因为右焦点 在直线 上,所以 ,解得 ,
由 可知 ,所以 ,所以直线 ,
联立 ,消去 得 ,
所以 ,
所以 ,
点 到直线 的距离为 ,
所以 ，
解得 ，即 ，故 D 正确；
12. 0
因 是等差数列 的前 项和,
则由 化简得 ,
解得 .
13. -3
,
令 ,得 ①,
令 ,得 ②,
①②相减得 ，则 ，
因为 的展开式中 的奇数次幂项的系数之和为 32,
则 ,解得 .
14.
从集合 中任取 4 个不同的数,按照从小到大排列构成数列 , 总共有 种不同的取法.
因数列 的一阶差分数列 是公差等于 3 的等差数列,
设 ,则 ,因 ,
则 ,
,
依题意, ,即 ,也即 ,且 ,
当 时， 可取 ，共 8 种选法；
当 时， 可取1,2,3,4,5，共 5 种选法；
当 时， 可取 1,2,共 2 种选法；
当 时, ,不合题意.
故满足条件的取法共有 种.
则数列 的一阶差分数列是公差等于 3 的等差数列的概率为 .
15.
(2)
( 1 )在 中，因为 为钝角，所以 ，
由 ,则 ,
因为 ,所以 ,即 ,
由正弦定理 ,所以 ,解得 ,
由 ,所以 .
(2)选择①:因为 ，所以 ，这与 矛盾，不满足题意；
选择②:因为 ，
所以 ,
代入 中得出 ,
由 ,所以 ,
所以
,
所以 ;
选择 ③: 将 代入 中得: ,
由正弦定理 ,所以 ,
由 ,所以 ,
由 ,所以 ,
所以
,
所以 .
16.
(2)
(1) ,
因为 ,
所以函数 在 处的切线方程为 ;
(2)方程 在 上恰有 2 个实数根，
等价于直线 与函数 的图像在 上有两个不同的交点,
由 ,
所以直线 恒过定点 ,且斜率为 ,
由( 1 )可知 ，
当 时， ， 单调递增，
所以函数 的图象如下图所示:
设函数 的切线过点 ,切点为 ,斜率为
所以切线的方程为 ,
把点 的坐标代入,得 ,
因为 ,所以解得 ,即斜率为 ,
由数形结合思想可知: 当 时,即 时,直线 与函数 有两个不同的交点,
即方程 在 上恰有 2 个实数根,此时 的取值范围为 .
17.(1) 因为在原正方形中 分别是 的中点,
所以 ,
又因为 ,且 平面 平面 ,
所以 平面 ,又因为 平面 ,
所以 .
(2)①因为 ，且二面角 的大小为 ，
所以二面角 的平面角为 ，
同理可得
由(1)知 平面 ，所以 平面 ，
又因为 ,所以 平面 ,
所以 为三棱锥 的高,
因为 ，所以 ，
所以 ,
所以 .
②如图，以 为原点， 为 轴， 为 轴，过 作平面 的垂线为 轴，建立空间直角坐标系，
所以
平面 的法向量为 ,
设平面 的法向量为 ,
则 ,即 ,
令 ,得到 .
设 与平面 的所成角为 ,
所以 .
18.
(2)-1
(3)
(1)抛掷一枚质地均匀的骰子有 6 种不同的结果, 掷出的点数小于 3 有 2 种不同的
结果,
所以顾客在一次抽奖活动中中奖的概率为 .
若 时,设顾客中奖次数为 ,则不中奖次数为 ,
由题意可得 ,解得 ,所以 或 ,
由二项分布得 ,
所以中奖次数多于不中奖次数的概率为 ;
(2)设 时，设中奖次数为 ，则不中奖次数为 ，
则中奖次数与不中奖次数之差 ,
因为 服从二项分布 ,所以 ,
所以 .
(3)当 时，单次抽奖不可能出现连续两次不中奖的概率，故 ；
当 时,连续两次不中奖的概率为 ,
故未出现连续两次不中奖的概率, ;
为 次抽奖中未出现连续两次不中奖的概率,考虑第 1 次抽奖结果:
若顾客第 1 次中奖,则后第 次抽奖中未出现连续两次不中奖的概率为 ;
若顾客第 1 次抽奖未中奖,则第 2 次抽奖必中奖,后第 次未出现连续两次不中奖的概率为 ;
则 ,
设存在常数 使得 ,
代入递推式，比较系数得: ，
解方程 ,得 ,
取 ,则有: ,
则 是以 为首项, 为公比的等比数列,
则 ①,
另取 ,同理可得: ,
则 是以 为首项, 为公比的等比数列,
则 ②,
由① ②得: ，所以 .
当 足够大时: 由于 和 ,故 .
实际意义: 当抽奖次数 非常大时,未出现连续两次不中奖的概率趋近于 0,
即几乎必然会出现连续两次不中奖的情况.
19.(1) 由题意得, ,则 , 故双曲线 的方程为 ;
(2)①双曲线的渐近线为 ，
设 ,其中 ,
将 代入 中得 ,则 ,
将 代入 中得 ,则 ,
则 ,则 ,
故数列 是以 为首项,以 1 为公差的等差数列,则 ,即 ,
因为 ,所以 ,
故数列 的通项公式为 ;
② 由①得
则 .