贵州贵阳市2026届高三年级适用性考试（一）数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 贵州贵阳市2026届高三年级适用性考试（一）数学试题（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 145.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-25 00:00:00 | ||
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文档简介
贵阳市 2026 年高三年级适应性考试 (一) 数学
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，满分 150 分. 考试时间为 120 分钟.
注意事项:
1. 答卷前, 考生务必将姓名、报名号用铜笔填写在答题卡相应位置上.
2. 回答第I卷时, 选出每小题答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其它答案标号. 写在本试卷上无效.
3. 回答第II卷时:将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
4. 请保持答题卡平整, 不能折叠, 考试结束后, 监考老师将试题卷、答题卡一并收回.
第I卷(选择题 共 58 分)
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 复数 的虚部是( )
A. -i B. i C. -1 D. 1
2. 集合 ，集合 ，则 ()
A. B. C. D.
3. 已知方程 表示双曲线，则实数 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
4. 设 ,则 是 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 记 为各项均不相同的等差数列 的前 项和,若 是 与 的等比中项, 则 ( )
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
6. 某校教学楼的某层楼设置有 8 级台阶, 某同学上楼梯时只能每步跨越一级台阶或两级台阶, 则该同学从楼梯底部登上第 8 级台阶的不同走法有 ( )
A. 32 B. 33 C. 34 D. 35
7. 设方程 的两个根为 ,则 ( )
A. 0 B. 1 C. e D.
8. 已知数列 满足 . 若对于任意 ,都有 成立,则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题: 本题共 3 个小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选 项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选 错的得 0 分.
9. 已知函数 的图象关于点 中心对称. 则( )
A. 的最小正周期为
B. 直线 是曲线 的对称轴
C. 将 的图象向右平移 个单位可得到函数 的图象
D. 在区间 上单调递增
10. 我国传统文化中有许多具有对称美的形状，如图 1 为《周易》中的“八卦”，图 2 为园林建筑中的八角窗. 它们均可抽象为正八边形 ，如图 3， 为其中心. 记 ，且 ，则( )
图1
图2
图3
A.
B.
C.
D. 在 上的投影向量为
11. 古希腊数学家采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线. 随着圆锥的轴与平面所成角 的变化,截得的曲线的形状也不同. 若圆锥轴截面的顶角为 ,则曲线的离心率为 . 如图,圆锥 的底面半径为 4,母线长为 12, 是圆锥的一个轴截面, 为 中点. 过 两点且与轴截面垂直的平面与圆锥的截口曲线是一个椭圆 . 则( )
A. 椭圆 的长轴为
B. 椭圆 的离心率为
C. 与 的交点是椭圆 的一个焦点
D. 内接于椭圆的菱形周长最大值为 20
第II卷(非选择题 共 92 分)
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知数据 的平均值为 3,则 的平均值为_____.
13. 已知直线 与圆 ，若存在以直线 上一点为圆心，1 为半径的圆与圆 有交点，则 的取值范围是_____.
14. 已知点 为正三棱柱 的外接球上动点，且 ，若 ， ，则点 的轨迹长度为_____.
四、解答题:共 5 个小题, 满分 77 分. 解答应写出相应的文字说明, 证明过程 或演算步骤.
15. 在 中， ， ， 分别为内角 ， ， 的对边，且 .
(1)求A的大小；
(2)若 ，试判断 的形状，并求 的面积.
16. 如图,已知四面体 的所有棱长都等于 分别是棱 的中点. 平面 平面 .
(1)证明: ；
(2)求平面 与平面 的夹角的正弦值.
17. 已知点 为平面内一动点,以 为直径的圆与 轴相切,点 的轨迹记为 .
(1)求曲线 的方程；
(2)不过原点的直线 与曲线 交于不同的两点 ，若以 为直径的圆过坐标原点.
(i) 证明: 直线 过定点;
(ii) 点 是曲线 上位于直线 下方的一动点,若对于给定的直线 ,记 的面积最大值为 ,对所有符合题设条件的动直线 ,求 的最小值.
18. 有 个人需要通过血液检测某种酶是否存在. 假设每个人血液中含有该酶的事件是相互独立的,且含有该酶的概率均为 ,若血液检测始终能准确判断样本中该酶是否存在. 现采用以下分组检测方法: 将待检测人群分成 个小组,每组
人. 在每一组中, 取每人的血液混合成一个样本进行检测.
若某组的混合样本检测结果呈阴性 (不含酶), 则该组内所有人员无需再进行后续检测.
若某组的混合样本检测结果呈阳性(含有酶)，则需要对该组内的每一位成员再分别单独检测一次 (不用采集血样, 利用现有采集过的血样).
(1)若 ,已知某小组的混合样本检测结果呈阳性,求该组内“恰有 2 人”血液中含有该酶的概率;
(2)用 表示该方法所需检测次数的期望值;
(3)设检测成本由两部分组成:采集处理血样成本为 元/人份，化验检测成本为 元/次. 若 ,每组人数 ,且该方法的总成本期望值比 “逐一检测”的总成本节省了 50% 以上，求 的取值范围. (参考数据: )
19. 已知函数 .
(1)令 ，求 在点 处的切线方程:
(2)讨论 在 上的单调性；
(3)证明: (i) 当 时,
(ii) .
1. C
,根据虚部的定义可知复数 的虚部为 -1,
2. C
由题意得 , ,则 .
3. D
因为方程 表示双曲线,所以 , 解得 或 .
4. A
若 ,则有 ,
当 时,则 ; 当 时,则 ,故 ,
因此由 可推出 ,
若 ,不一定推出 ,如 ,
所以 是 的充分不必要条件.
5. A
设等差数列 的公差为 ,
则由题可得 ,即 ,解得 ,
所以 ,
故选: A.
6. C
跨 0 次 2 级 (全跨 1 级),共走 8 步,有 种走法;
跨 1 次 2 级，剩余 6 次 1 级，共走 7 步，选 1 步跨 2 级，有 种走法;
跨 2 次 2 级，剩余 4 次 1 级，共走 6 步，选 2 步跨 2 级，有 种走法;
跨 3 次 2 级，剩余 2 次 1 级，共走 5 步，选 3 步跨 2 级，有 种走法;
跨 4 次 2 级 (无剩余 1 级),共走 4 步,有 种走法,
所以不同走法种数为 .
7. A
因为 ,所以 ,
由对数函数的单调性可知: ,即 ,
又方程 的两个根为 ,
则 为 的两根,所以 ,即 ,所以 ,
所以 .
故选: A
8. B
因 ,且对于任意 ,都有 成立,
则 ,可得 ,
由 可得 ,即得 ,即 .
又由 及 可得 ,则 ,
易知 为递增数列,则 ,且 ,
因函数 在 上为增函数,则 ,
由题意可知数列 单调递增且有上界 2,故极限存在,设 ,则 .
对 取极限得 ,即 .
函数 在 上单调递增,故 ,解得 ,
故实数 的取值范围是 .
9. AC
由题意知, ,所以 ,即 又 ,所以 ,所以 .
选项 A: 最小正周期 正确.
选项 B: 对称轴应满足 ,解得 .
故不存在 ,使得 错误.
选项 C: 的图象向右平移 个单位得到
正确.
选项 D: 当 时, .
又 在 上单调递增,在 上单调递减,所以 在区间 上不是单调递增, D 错误.
故选: AC.
10. ACD
对于 ,由已知 ，即向量 的夹角为 ，
又 ,则 , A 正确,
对于 错误,
对于 ,因为 ,
所以 ,
所以 ,又 为 的角平分线,
由平行四边形法则可得 ,
所以 正确,
对于 ,因为 ,
则 ,又 ,
所以 在 上的投影向量为 , D 正确.
11. ABD
在 中， ，
对于 ,椭圆的长轴为 的长,在 中,
,
由余弦定理得 ,
因此 , A 正确;
对于 ,设 与 的交点为 ,
在 中, ,
，
在 Rt 中, ,
依题意, 正确;
对于 ,椭圆长轴长 ,由 ,得半焦距 ,
在 Rt 中, ,
又 ，因此 不为椭圆焦点， 错误；
对于 ,如图,椭圆方程为 ,令该椭圆内接菱形为四边形 ,
设 ,则 ,即 ,
则 ,化简得 ,
同理 ,菱形 中, ,
则当 或 时, 取得最大值为 25,即 ,
因此菱形 周长的最大值为 , D 正确.
12. 7
由数据 的平均值为 3,得 , 所以 的平均数为 .
13.
圆 的圆心 ,半径 ,令直线 上为圆心的点为 , 以点 为圆心,1 为半径的圆与圆 有交点,则 ,即 , 依题意,存在以点 为圆心,1 为半径的圆与圆 有交点,则点 到直线 的距离不大于 2, 因此 ,即 ,解得 , 所以 的取值范围是 .
14.
设点 为正三棱柱 的底面 的中心, 为其外接球的球心,
易得 平面 ,且 ,因 ,则 ,
则该外接球的半径为 .
以点 为坐标原点,分别以 所在直线为 轴,
以过点 与 平行的直线为 轴建立空间直角坐标系.
则 ,设点 ,
由 可得 ,
两边取平方,展开整理得: ,
配方可得 ,
则点 的轨迹为以点 为球心,半径为 2 的球面.
因球 的球心距为 ,
两球半径都是 2,则两球的交线圆的半径 满足 ,
故点 的轨迹为交线圆,其周长为 ,即点 的轨迹长度为 .
15. (1)
(2)等边三角形，
(1)在 中，由正弦定理得 ，
整理得 ,
因为 ,故 ,
又 ,故 .
(2)已知 ，则 ，故 ，
,即 ,
则 ,
因为 . 则 . 故 ,
所以， 是等边三角形.
因此 .
16.(1)因为 分别是棱 的中点,故 .
又 平面 平面 ,所以 平面 .
而 平面 ,平面 平面 ,所以 .
(2)过 作 平面 ，垂足为 . 建立如图所示空间直角坐标系.
则 ,
设 为平面 的法向量,则
平面 的一个法向量为 ,所以 ,
设 为平面 与平面 所成角,则 ,
因此,平面 与平面 所成角的正弦值为 .
17.(1) 设点 ,则以 为直径的圆的圆心为 ,半径
因为该圆与 轴相切,所以 ,
所以 ,整理得 ,
故曲线 的方程为 .
(2)(i)设直线 ， ， ，
则 ,消去 得 ,所以 ,
以 为直径的圆过原点,所以 ,
则 ,
因 ,解得 ,所以直线 方程为 ,恒过定点 .
(ii) 对于给定的 ,直线 与 交于 ,
则 ,
将 ,代入得 ,
又点 在 上且位于 下方,即 ,
点 到直线 的距离为 ,
由 知 ,故 ,
令 ,则对于给定的 为开口向下的一元二次函数,
所以当 时， 取得最大值 ，此时 最大， ，
所以 面积的最大值 ,
令 ,易知 单调递增,
所以当 ，即 时， 取得最小值 .
18.
(2)
(3)
(1) 设小组中有酶的人数为 ,则 .
已知混合样本阳性,即 ,则恰有 2 人有酶的概率为
(2)设每组检测次数 ，则 的分布列为
1
期望为 则总检测次数的期望 ;
(3)若分组检测，检测次数的期望为 .
总成本期望为 ,
若逐一检测,则总成本为 . 由节省 以上得 .
代入 ,得 ,
整理得 ,因此, ,故 的取值范围是 .
19.(1) ,则 , 所以 在点 处的切线方程为 ,即 .
(2) ，则
记 ,
故
设 ,则
当 时， 单调递减，所以 ，即 ，所以 单调递减,
所以 ,故 在 单调递增.
(3)证明:(i) 令 ，则 ， 所以 在 上单调递增,所以 ,即当 时 , 所以当 时, ;
(ii) 由 (i) 可知当 时, ,故 ,
由于 ,则 ,故 ,
由( 2 )可知 在 单调递增， 在 单调递减，故 在 单调递减， 即 在 单调递减,
故 ,所以 .
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，满分 150 分. 考试时间为 120 分钟.
注意事项:
1. 答卷前, 考生务必将姓名、报名号用铜笔填写在答题卡相应位置上.
2. 回答第I卷时, 选出每小题答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其它答案标号. 写在本试卷上无效.
3. 回答第II卷时:将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
4. 请保持答题卡平整, 不能折叠, 考试结束后, 监考老师将试题卷、答题卡一并收回.
第I卷(选择题 共 58 分)
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 复数 的虚部是( )
A. -i B. i C. -1 D. 1
2. 集合 ，集合 ，则 ()
A. B. C. D.
3. 已知方程 表示双曲线，则实数 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
4. 设 ,则 是 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 记 为各项均不相同的等差数列 的前 项和,若 是 与 的等比中项, 则 ( )
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
6. 某校教学楼的某层楼设置有 8 级台阶, 某同学上楼梯时只能每步跨越一级台阶或两级台阶, 则该同学从楼梯底部登上第 8 级台阶的不同走法有 ( )
A. 32 B. 33 C. 34 D. 35
7. 设方程 的两个根为 ,则 ( )
A. 0 B. 1 C. e D.
8. 已知数列 满足 . 若对于任意 ,都有 成立,则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题: 本题共 3 个小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选 项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选 错的得 0 分.
9. 已知函数 的图象关于点 中心对称. 则( )
A. 的最小正周期为
B. 直线 是曲线 的对称轴
C. 将 的图象向右平移 个单位可得到函数 的图象
D. 在区间 上单调递增
10. 我国传统文化中有许多具有对称美的形状，如图 1 为《周易》中的“八卦”，图 2 为园林建筑中的八角窗. 它们均可抽象为正八边形 ，如图 3， 为其中心. 记 ，且 ，则( )
图1
图2
图3
A.
B.
C.
D. 在 上的投影向量为
11. 古希腊数学家采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线. 随着圆锥的轴与平面所成角 的变化,截得的曲线的形状也不同. 若圆锥轴截面的顶角为 ,则曲线的离心率为 . 如图,圆锥 的底面半径为 4,母线长为 12, 是圆锥的一个轴截面, 为 中点. 过 两点且与轴截面垂直的平面与圆锥的截口曲线是一个椭圆 . 则( )
A. 椭圆 的长轴为
B. 椭圆 的离心率为
C. 与 的交点是椭圆 的一个焦点
D. 内接于椭圆的菱形周长最大值为 20
第II卷(非选择题 共 92 分)
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知数据 的平均值为 3,则 的平均值为_____.
13. 已知直线 与圆 ，若存在以直线 上一点为圆心，1 为半径的圆与圆 有交点，则 的取值范围是_____.
14. 已知点 为正三棱柱 的外接球上动点，且 ，若 ， ，则点 的轨迹长度为_____.
四、解答题:共 5 个小题, 满分 77 分. 解答应写出相应的文字说明, 证明过程 或演算步骤.
15. 在 中， ， ， 分别为内角 ， ， 的对边，且 .
(1)求A的大小；
(2)若 ，试判断 的形状，并求 的面积.
16. 如图,已知四面体 的所有棱长都等于 分别是棱 的中点. 平面 平面 .
(1)证明: ；
(2)求平面 与平面 的夹角的正弦值.
17. 已知点 为平面内一动点,以 为直径的圆与 轴相切,点 的轨迹记为 .
(1)求曲线 的方程；
(2)不过原点的直线 与曲线 交于不同的两点 ，若以 为直径的圆过坐标原点.
(i) 证明: 直线 过定点;
(ii) 点 是曲线 上位于直线 下方的一动点,若对于给定的直线 ,记 的面积最大值为 ,对所有符合题设条件的动直线 ,求 的最小值.
18. 有 个人需要通过血液检测某种酶是否存在. 假设每个人血液中含有该酶的事件是相互独立的,且含有该酶的概率均为 ,若血液检测始终能准确判断样本中该酶是否存在. 现采用以下分组检测方法: 将待检测人群分成 个小组,每组
人. 在每一组中, 取每人的血液混合成一个样本进行检测.
若某组的混合样本检测结果呈阴性 (不含酶), 则该组内所有人员无需再进行后续检测.
若某组的混合样本检测结果呈阳性(含有酶)，则需要对该组内的每一位成员再分别单独检测一次 (不用采集血样, 利用现有采集过的血样).
(1)若 ,已知某小组的混合样本检测结果呈阳性,求该组内“恰有 2 人”血液中含有该酶的概率;
(2)用 表示该方法所需检测次数的期望值;
(3)设检测成本由两部分组成:采集处理血样成本为 元/人份，化验检测成本为 元/次. 若 ,每组人数 ,且该方法的总成本期望值比 “逐一检测”的总成本节省了 50% 以上，求 的取值范围. (参考数据: )
19. 已知函数 .
(1)令 ，求 在点 处的切线方程:
(2)讨论 在 上的单调性；
(3)证明: (i) 当 时,
(ii) .
1. C
,根据虚部的定义可知复数 的虚部为 -1,
2. C
由题意得 , ,则 .
3. D
因为方程 表示双曲线,所以 , 解得 或 .
4. A
若 ,则有 ,
当 时,则 ; 当 时,则 ,故 ,
因此由 可推出 ,
若 ,不一定推出 ,如 ,
所以 是 的充分不必要条件.
5. A
设等差数列 的公差为 ,
则由题可得 ,即 ,解得 ,
所以 ,
故选: A.
6. C
跨 0 次 2 级 (全跨 1 级),共走 8 步,有 种走法;
跨 1 次 2 级，剩余 6 次 1 级，共走 7 步，选 1 步跨 2 级，有 种走法;
跨 2 次 2 级，剩余 4 次 1 级，共走 6 步，选 2 步跨 2 级，有 种走法;
跨 3 次 2 级，剩余 2 次 1 级，共走 5 步，选 3 步跨 2 级，有 种走法;
跨 4 次 2 级 (无剩余 1 级),共走 4 步,有 种走法,
所以不同走法种数为 .
7. A
因为 ,所以 ,
由对数函数的单调性可知: ,即 ,
又方程 的两个根为 ,
则 为 的两根,所以 ,即 ,所以 ,
所以 .
故选: A
8. B
因 ,且对于任意 ,都有 成立,
则 ,可得 ,
由 可得 ,即得 ,即 .
又由 及 可得 ,则 ,
易知 为递增数列,则 ,且 ,
因函数 在 上为增函数,则 ,
由题意可知数列 单调递增且有上界 2,故极限存在,设 ,则 .
对 取极限得 ,即 .
函数 在 上单调递增,故 ,解得 ,
故实数 的取值范围是 .
9. AC
由题意知, ,所以 ,即 又 ,所以 ,所以 .
选项 A: 最小正周期 正确.
选项 B: 对称轴应满足 ,解得 .
故不存在 ,使得 错误.
选项 C: 的图象向右平移 个单位得到
正确.
选项 D: 当 时, .
又 在 上单调递增,在 上单调递减,所以 在区间 上不是单调递增, D 错误.
故选: AC.
10. ACD
对于 ,由已知 ，即向量 的夹角为 ，
又 ,则 , A 正确,
对于 错误,
对于 ,因为 ,
所以 ,
所以 ,又 为 的角平分线,
由平行四边形法则可得 ,
所以 正确,
对于 ,因为 ,
则 ,又 ,
所以 在 上的投影向量为 , D 正确.
11. ABD
在 中， ，
对于 ,椭圆的长轴为 的长,在 中,
,
由余弦定理得 ,
因此 , A 正确;
对于 ,设 与 的交点为 ,
在 中, ,
，
在 Rt 中, ,
依题意, 正确;
对于 ,椭圆长轴长 ,由 ,得半焦距 ,
在 Rt 中, ,
又 ，因此 不为椭圆焦点， 错误；
对于 ,如图,椭圆方程为 ,令该椭圆内接菱形为四边形 ,
设 ,则 ,即 ,
则 ,化简得 ,
同理 ,菱形 中, ,
则当 或 时, 取得最大值为 25,即 ,
因此菱形 周长的最大值为 , D 正确.
12. 7
由数据 的平均值为 3,得 , 所以 的平均数为 .
13.
圆 的圆心 ,半径 ,令直线 上为圆心的点为 , 以点 为圆心,1 为半径的圆与圆 有交点,则 ,即 , 依题意,存在以点 为圆心,1 为半径的圆与圆 有交点,则点 到直线 的距离不大于 2, 因此 ,即 ,解得 , 所以 的取值范围是 .
14.
设点 为正三棱柱 的底面 的中心, 为其外接球的球心,
易得 平面 ,且 ,因 ,则 ,
则该外接球的半径为 .
以点 为坐标原点,分别以 所在直线为 轴,
以过点 与 平行的直线为 轴建立空间直角坐标系.
则 ,设点 ,
由 可得 ,
两边取平方,展开整理得: ,
配方可得 ,
则点 的轨迹为以点 为球心,半径为 2 的球面.
因球 的球心距为 ,
两球半径都是 2,则两球的交线圆的半径 满足 ,
故点 的轨迹为交线圆,其周长为 ,即点 的轨迹长度为 .
15. (1)
(2)等边三角形，
(1)在 中，由正弦定理得 ，
整理得 ,
因为 ,故 ,
又 ,故 .
(2)已知 ，则 ，故 ，
,即 ,
则 ,
因为 . 则 . 故 ,
所以， 是等边三角形.
因此 .
16.(1)因为 分别是棱 的中点,故 .
又 平面 平面 ,所以 平面 .
而 平面 ,平面 平面 ,所以 .
(2)过 作 平面 ，垂足为 . 建立如图所示空间直角坐标系.
则 ,
设 为平面 的法向量,则
平面 的一个法向量为 ,所以 ,
设 为平面 与平面 所成角,则 ,
因此,平面 与平面 所成角的正弦值为 .
17.(1) 设点 ,则以 为直径的圆的圆心为 ,半径
因为该圆与 轴相切,所以 ,
所以 ,整理得 ,
故曲线 的方程为 .
(2)(i)设直线 ， ， ，
则 ,消去 得 ,所以 ,
以 为直径的圆过原点,所以 ,
则 ,
因 ,解得 ,所以直线 方程为 ,恒过定点 .
(ii) 对于给定的 ,直线 与 交于 ,
则 ,
将 ,代入得 ,
又点 在 上且位于 下方,即 ,
点 到直线 的距离为 ,
由 知 ,故 ,
令 ,则对于给定的 为开口向下的一元二次函数,
所以当 时， 取得最大值 ，此时 最大， ，
所以 面积的最大值 ,
令 ,易知 单调递增,
所以当 ，即 时， 取得最小值 .
18.
(2)
(3)
(1) 设小组中有酶的人数为 ,则 .
已知混合样本阳性,即 ,则恰有 2 人有酶的概率为
(2)设每组检测次数 ，则 的分布列为
1
期望为 则总检测次数的期望 ;
(3)若分组检测，检测次数的期望为 .
总成本期望为 ,
若逐一检测,则总成本为 . 由节省 以上得 .
代入 ,得 ,
整理得 ,因此, ,故 的取值范围是 .
19.(1) ,则 , 所以 在点 处的切线方程为 ,即 .
(2) ，则
记 ,
故
设 ,则
当 时， 单调递减，所以 ，即 ，所以 单调递减,
所以 ,故 在 单调递增.
(3)证明:(i) 令 ，则 ， 所以 在 上单调递增,所以 ,即当 时 , 所以当 时, ;
(ii) 由 (i) 可知当 时, ,故 ,
由于 ,则 ,故 ,
由( 2 )可知 在 单调递增， 在 单调递减，故 在 单调递减， 即 在 单调递减,
故 ,所以 .
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