贵州黔西南州顶兴高级中学2026届高三下学期第一次模拟考试数学试卷（含答案）

黔西南州顶兴高级中学高三下学期第一次模拟考试试卷
一、单选题. (每题只有一个选项符合题意, 每小题 5 分, 共计 8 小题, 合计 40 分.)
1. 设集合 ，则 ().
A. B. C. D.
2. 已知复数 的共轭复数为 ,则 ( )
A. B. C. D.
3. 已知抛物线 的焦点为 ,准线为 ,若点 与点 关于直线 对称,则 ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
4. 在梯形 中， ，点 在对角线 上，且 ，则 ( )
A. B.
C. D.
5. 已知圆锥的表面积为 ,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面直径为 ( )
A. B. C. D.
6. 已知向量 ，且 ，则 ( )
A. B. C. D.
7. 在 中, 的平分线交 于 ,则 ( )
A. B. C. D.
8. 已知函数 ,若函数 有三个不同的零点 , 则 的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题(每小题有多个选项符合题意，全部选对得 6 分，选错一个选项该 题不得分，每小题 6 分，共计 3 小题，合计 18 分.)
9. 以下说法正确的有( )
A. 数据 的第八十百分位数是 7
B. 若用不同的模型拟合同一组数据,则决定系数 越大的模型,拟合效果越差
C. 已知随机变量 ,若 ,则实数
D. 已知数据 的平均数为 10,方差为 4,现去掉数据 10,则剩余数据的方差仍为 4
10. 函数 的部分图象如图所示,则下列结论中正确的有 ( )
A. 最小正周期为
B. 在 上单调递增
C. 的图象关于点 对称
D. 将函数 的图象向左平移 个单位长度可得到 的图象
11. 已知椭圆 的离心率为 ，左、右焦点分别为 ， 为 上的动点, 轴,垂足为 为 的中点, 为上顶点,则( )
A. 椭圆 的焦距为
B. 的最小值为
C. ( 为原点) 是定值 D. 的最大值为
三、填空题(每小题 5 分，共计 3 小题，合计 15 分.)
12. 函数 的单调递减区间为_____.
13. 已知在数列 中， ，则数列 的通项公式 _____.
14. 如图所示, 用 4 种不同的颜色涂三棱台的顶点, 同一线段的端点不同色, 且每种颜色至少用 1 次，则不同的涂法有_____种.
四、解答题(请写出完整的解答过程，共计 5 小题，合计 77 分.)
15. 在 中，内角 所对的边长分别是 ，且 . (1)求角 ；
(2)若 ，求 的面积的最大值.
16. 如图，在直三棱柱 中， . 点 满足 .
(1)过点 作 垂直 于点 ，证明:平面 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
17. 记 为数列 的前 项和,已知 ,数列 满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)证明:数列 为等比数列；
(3)求数列 的前 项和.
18. 已知函数 .
(1)若 是 的导函数,且 0 为 的极值点,求 ;
(2)当 时，过原点的直线 与 的图象相切，证明: 当 时， 在 图象的上方.
19. 设双曲线 的左、右焦点分别为 ，且离心率为 . 分别过 ， 作两条平行直线 ， . 设 与 交于 ， 两点， 与 轴交于点 .
(1)求 的方程；
(2)若点 在 轴的负半轴上，求 斜率的取值范围；
(3)若 ，求直线 与 的一般式方程.
1. A
,
所以 .
2. C
由 ,可得 .
因为
所以 .
3. C
根据题意易知 ,准线 .
点 和 关于直线 对称,
可得 ,
解得 .
4. A
根据题意, 作图如下所示:
由题意得, .
故选: A.
5.
设这个圆锥底面半径为 ,母线为 ,则底面面积为 ,底面周长为 ,侧面展开图的半圆弧长为 ,
由弧度制的定义知 ,所以 ,则侧面积为 ,
所以这个圆锥的表面积为 ,所以 ,则直径为 .
6. A
由向量 ,
由 可得: ,
整理得 ,
所以 .
7. D
由题意, 根据正弦定理得
,解得 ,而 为三角形内角,
所以 ,所以 .
根据正弦定理 ,解得 .
故选: D.
8. C
因为函数 有三个不同的零点 ,
所以 ,即 有三个不同的根 ,
则 与 的图象有三个不同的交点 ,
作出 与 的图象,如下图所示
当 时, 为开口向下,对称轴为 的抛物线,
则 关于 对称,所以 ,即 ,
由图象可得 ,
令 ,解得 ,令 ,解得 ,
所以 ,
则 ,
即 的取值范围为 .
9. AC
对于 ,因为 ,所以第八十百分位数是 7,故 正确;
对于 ,若用不同的模型拟合同一组数据,则决定系数 越大的模型,拟合效果越好,故 错误;
对于 ,由 ,得 ,则 ,
因为 ,所以 ,
则 ,解得 ,故 正确;
对于 ,由题意, ,则 ,
而 ,
则 ,
则去掉数据 10，则剩余数据的平均数为 ，
则剩余数据的方差为 ,故 D 错误.
10. ACD
由图象可知,函数 的最小正周期 ,故 A 正确;
所以 ,所以 ,
又根据图象,可知函数 过点 ,所以 ,
即 ,所以 ,所以 ,
又 ,所以 ,所以 ,
当 时,可得 ,
根据正弦函数的图象性质,可知当 时,函数 单调递增,
当 时,函数 单调递减,故 错误;
令 ,解得 ,
所以函数 的对称中心为 ,
当 时,对称中心为 ,故 正确;
将函数 的图象向左平移 个单位长度可得到 , 故 D 正确.
故选: ACD
11. BC
对于 ,由题意, ,解得 ,
,则焦距 , A 错误;
对于
当且仅当 时,等号成立, 正确;
对于 ,设 ,易知 为 上的动点,
则 ,即 正确;
对于
,即 , D 错误.
故选: BC.
12.
函数 的定义域为 , ,解得 ,
故函数 的单调递减区间为 .
13.
因为 ,又 ,所以 ,得到 ,即 ,
由 ,得到 ,所以 是以 1 为首项, 为公差的等差数列,
所以 ,得到 ,
故答案为: .
14. 216
先对上底面的顶点 进行涂色,有 种涂法.
再将剩下的 1 种颜色涂在下底面的顶点处,有 种涂法. 以涂在点 处为例,可对点 的涂法进行分类:
①若点 与点 同色，则点 只能与点 同色，此时有 1 种；
②若点 与点 同色，则点 可在点 与 所涂的颜色中选 1 种，此时有 2 种.
可得 ,故不同的涂法有 216 种.
故答案为: 216 .
15.
(2)
(1)由
由于 ,所以 ,
又因为 ,所以 ,即 ,
因为 ,所以 ,即 ,
故 ;
(2)因为 ， ，所以由余弦定理可得:
由基本不等式可得: ,所以 ,
当且仅当 取等号,
则 的面积 ，
故 的面积的最大值为 .
16.(1)由题意如图所示:
在直三棱柱 中，因为 平面 ，且 平面 ，
所以 ,又 ,
且 平面 平面 ,
所以 平面 ,又 平面 ,
所以平面 平面 .
(2)在直三棱柱 中，因为 平面 ，
所以以 为坐标原点， 所在直线为 轴，过点 垂直于 的直线为 轴，
所在直线为 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
因为 ,
所以 ,
设平面 的一个法向量为: ，
由 ,
则 ,
令 ,则 ,所以 ,
设平面 的一个法向量为: ,
由 ,
则 ,
令 ,则 ,所以 ,
设平面 与平面 所成角为 ,
所以
所以平面 与平面 夹角的余弦值为: .
17.(1)当 时, ,
也满足上式,
所以 ;
(2)因为 ，
所以数列 为等比数列;
(3)由(2)可知数列 是以 为首项，2 为公比的等比数列，
所以 ,则 ,
设数列 的前 项和为 ,
所以 ,
两式相减得
.
18.(1) ,令 ,则 ,
由 0 为 的极值点,则 ,即 ;
检验: 当 时, ,
则当 时, ,当 时, ,
故 在 上单调递增,在 上单调递减,
故 0 为 的极值点,故 符合题意;
(2)当 时， ，设 与 的切点为 ，
由 ,则有 ,即 ,
解得 ,故直线 ,则只需证: 当 时, ,
令 ,则 ,
则当 时, ,当 时, ,
故 在 上单调递减,在 上单调递增,
故 ,
即 恒成立,即当 时, 在 图象的上方.
19. (1)
(2)
(3) 和 ,或 和 .
(1) 设 为双曲线 的半焦距,则 .
又离心率为 ,故 ,解得 .
则 . 即 .
(2)易得 斜率不为 0，
又因为 平行,且点 在 轴的负半轴上,故 斜率大于 0,
① 当 分别在左、右两支上时， 斜率应小于 其中一条斜率为正的渐近线的斜率， 且为 ，此时 斜率的取值范围为 .
②当 在双曲线左支上时， 斜率应大于 其中一条斜率为正的渐近线的斜率， 此时 斜率的取值范围为 .
综上, 斜率的取值范围为 .
(3)易得 斜率存在，设 的方程分别为 ，
可知 ,设 ,
联立 ,得 ,
其中，要使双曲线与直线 有两个交点，必有 .
因此 ,则 ,
方法一: 要使 ,只需 成立,
即 ,
将 代入得: ,
整理得 ,
即 ,所以 ,解得 ,
则 与 的一般式方程分别为 和 ,
或 和 .
方法二: 设 中点为 ,则 ,即 ,
若 ,则必有 ,
而 ,
故 ,解得 .
故平行直线的斜率为 ,
则 与 的一般式方程分别为 和 ,
或 和 .