贵州省天柱民族中学2025-2026学年高一分班选拔性考试数学试题（含答案）

天柱民族中学 2025-2026 学年分班选拔性考试 高一数学
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 ( )
A. B.
C. . D.
2. 已知命题 ,则 的否定为 ( )
A. B.
C. D.
3. 已知 ,则 的大小关系为( )
A. B.
C. D.
4. 设 ,则下列命题正确的是( )
A. 若 ,则
B. 若 ,则
C. 若 且 ,则
D. 若 ,则
5. 将函数 的图象向右平移 个单位后,得到函数 的图象,则函数 的图象的一条对称轴是( )
A. B. C. D.
6. 已知函数 的值域为 ,则实数 的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
7. 已知函数 的图象经过点 ,若 在区间 上具有单调性,则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
8. 已知函数 ,则关于 的不等式 的解集为( )
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列函数中,既是奇函数又在区间 上单调递增的是 ( )
A. B.
C. D.
10. 已知正数 满足 ，则()
A. 的最大值为
B. 的最小值为
C. 的最小值为 10
D. 的最大值为 -1
11. 已知函数 的定义域为 ,若 ,且 不恒为 0,则( )
A.
B. 的图象关于直线 对称
C. 为奇函数
D.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 在平面直角坐标系中,角 的顶点为坐标原点,始边为 轴的非负半轴,已知 的终边与单位圆 在第二象限交于点 ,则 _____.
13. 经科学研究,地震时释放出的能量 (单位: 焦耳) 与地震里氏级 之间有关系为 ，2011 年某海域发生里氏 9.0 级地震，它所释放出来的能量是 2008 年 5 月 12 日我国汶川发生里氏 8.0 级地震的_____倍_____
14. 已知函数 若函数 有两个不同的零点 ,且 ，则实数 的取值范围是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 已知函数 .
(1)若 的解集为 ，求不等式 的解集；
( 2 )若 且 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
16. 函数 的部分图象如图所示.
(1)求 的解析式与单调递增区间；
(2)求 的解集；
(3)关于 的方程 在区间 上有两个解 且 ，求 .
17. 已知函数
(1)计算 ， 的值；
(2)判断函数 在 上的单调性，并根据定义证明你的判断；
(3)函数 的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是 为奇函数,依据上述结论,证明: 的图象成中心对称图形,并求其对称中心.
18. 高中数学中“万能公式”因其用半角的正切表示正弦、余弦、正切, 而被我们称之为“万能”,例如: ,根据以上数学变形转换方法, 运用类比的方法解答下题.
(1)试推导 ；
(2)试求函数 的取值范围；
(3)试求函数 的取值范围.
19. 对于函数 ,若在定义域 内存在实数 ,满足 ,则称 为 上的“局部奇函数”.
(1)判断函数 是否为 上的“局部奇函数”，请说明理由;
(2)若定义在区间 上的函数 为“局部奇函数”，求实数 的取值范围;
(3)若函数 为 上的“局部奇函数”，求实数 的取值范围.
1. D
由于 ,则 .
故选: D
2. D
由题意可知,命题 为存在量词命题,
该命题的否定为: .
故选: D.
3. A
因为 ,所以 .
故选: A.
4. C
对于 选项,取 ,则 错;
对于 选项,因为指数函数 在 上为减函数,
因为 ,则 , B 错;
对于 选项,若 且 ,则 ,由不等式的基本性质得 对; 对于 选项,取 ,则 错.
故选: C.
5. A
由题可知, ,
令 ,得 ,
取 ,得 ,故 正确;
不存在 使得 等于 ,故 错误.
故选: A.
6. B
当 时, ,
的值域为 ,即 ,
时, ,
，解得 ，又因为 ，所以 ，
实数 的取值范围是 .
故选: B.
7. A
由条件 ,因为 ,则 ,
又 在 上单调递增,于是 ,
则 ,解得 .
故选: A.
8. D
令 ,因为 所以 的定义域为 ,则 .
因为 ,所以 为奇函数.
函数 ,在 上均为增函数, 在定义域上为增函数,
所以根据复合函数的单调性,可得 在 上为增函数.
等价于 ,即 ,
则 ,即 ,
解得 或 ,则关于 的不等式 的解集为 . 故选: D.
9. ACD
在 A 选项中, 的定义域为 ,关于原点对称,
,满足奇函数的定义,所以 是奇函数, 任取 ,且 ,
则
,由于 ,所以有 ,
而 恒成立,因此 ,即 ,
所以 在区间 上单调递增,
在 选项中, 的定义域为 ,关于原点对称,
,满足奇函数的定义,所以 是奇函数,任取 ,且 ,
则 , ,
由于 ,有 ,且 ,所以 ,即 .
所以 ,所以 ,
所以 在区间 上单调递减,
在 选项中, 的定义域为 ,关于原点对称,
,满足奇函数的定义,所以 是奇函数,任取 ,且 ,
则 ,
由于指数函数 单调递增, ,所以 ,所以 ,
又因为 单调递减, ,即 ,所以 ,所以 ,
因此 ,所以 ,
所以 在区间 上单调递增,
在 选项中, 的定义域为 ,关于原点对称,
,所以 是奇函数,
由正切函数的性质可知, 在 上单调递增,区间 ,所以 在区间 上单调递增.
故选: ACD.
10. ABD
对于 ,正数 满足 ,则 ,即 ,
当且仅当 时, 取得最大值 正确;
对于 ,正数 满足 ,则 , 当 时， 取得最小值 正确；
对于 ,正数 满足 ,则 ,
当且仅当 ,即 时取等号,则 的最小值为 9,故 错误;
对于 ,由 知 ,
当且仅当 时取等号, 的最大值为 -1,故 正确;
故选: ABD
11. AD
对于 A 选项,令 ,可得 ,
因为 不恒为 0,所以 ,选项 正确;
对于 选项,因为函数 的定义域为 ,且 ,故函数 不是奇函数,选项 C 错误;
对于 BD 选项,若 ,令 ,有 ,
于是 ,所以 ,
因此 是周期为 4 的周期函数,
此时 ,
因为 ,选项 B 错误,
因为 ,
故 ,选项 正确,
故选: AD.
12.
因为点 在单位圆 上,代入可得: ,
解得 ,又因为点 在第二象限,所以 ,
则 ,因此 .
故答案为:
13.
,
当 时, ,
,
当 时, ,
,
.
故答案为: .
14.
由 ,
得 ,
令 ,
转化为函数 的图象与直线 有两个交点,其横坐标分别为 ,
则 ,
因为当 时,两根分别为1,2,所以不满足题意,
所以 ,
得 ,
因为 ,
所以 ,得 ,
由 ,得 ,
故答案为:
15. (1) .
(2)
(1) 不等式 ,由不等式 的解集为
得 且 的两根为-1,3,则 ,解得 , 不等式 为 ,即 ,即 , 解得 ,所以不等式 的解集为 .
(2)由 ，得 ，将 代入 ，
得 对任意的 恒成立,
(i) 当 ,即 时,不等式变为 恒成立,满足题意;
(ii) 当 ,即 时,则 ,解得 ; 综上所述，实数 的取值范围
16. (1) ,单调递增区间为
(2)
(3)
(1) 由函数 的部分图象可知 ,
函数 的最小正周期 满足 ,于是 ,所以 ,
所以函数 ,
又 ,则 ,所以 ,
解得 ,由 可得 ,所以 .
令 ,解得 ,
故 单调递增区间为 .
( 2 )由 得 ，
可得 ,解得 ,
故 的解集为 .
(3)当 时，则 ，因为 ，则 、
由于 ,所以 ,
所以 ,所以 ,
因为 ,所以 ,
则 ,
因此 .
17.(1) .
(2)函数 在 上单调递减. 证明如下:
由条件 . 任取 ,且 ,
因为 ,所以 ,
所以 ,即 ,故函数 在 上单调递减.
(3)证明:设 ，则 .
因为函数 定义域为 ,且
所以 为奇函数,图象关于原点对称,故 的图象关于点 成中心对称图形.
18. .
(2)
(3) .
(1) ,
(2)已知 ，设 ， 则 ,即 的取值范围为 .
(3)设 ，又 ，
代入可得 ,整理得 ,
① 当 时， ，
② 当 时，由方程有解可得 ，即 ， 解得 ,综上, 的取值范围为 .
19.(1)若 为“局部奇函数”，则存在 ，满足 .
即 ,解得 ,因此方程 有解,
所以函数 为 上的“局部奇函数”.
(2)(i) 当 时， ，
此时 ,于是 ,
当 时,有 ,因此 .
(ii) 当 时, ,
此时方程 无解,不满足题意.
(iii) 当 时, ,
此时 ,于是 . 当 时,有 ,因此 .
综上所述，实数 的取值范围为 .
(3)由题意，方程 在 上有解.
即 在 上有解.
即 在 上有解.
记 ,此时 .
于是 在区间 上有解,记 .
(i) 当 时, 在区间 上有解.
由 ,有 ,解得 .
(ii) 当 时,方程 在区间 上有解.
当且仅当 ,解得 .
综上所述，实数 的取值范围为 .