贵州省遵义市第二十二中学2026届高三二轮复习启航学情素养监测数学试题（含答案）

2026 届高三二轮复习启航学情素养监测 数学
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 回答非选择题时, 将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.
3. 考试结束后, 将答题卡交回. 满分 150 分, 考试用时 120 分钟.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，集合 ，则 ()
A. B. C. D.
2. 若 ,则下列不等式不能恒成立的是 ( )
A. B.
C. D.
3. 已知复数 ，则 的虚部为( )
A. 1 B. i C. -1 D. -i
4. 已知单位向量 满足 ，则 ( )
A. B. 2 C. D. 1
5. 已知双曲线 ,过其右焦点 作一条直线分别交两条渐近线于 两点,若 为线段 的中点,且 ,则双曲线 的渐近线方程为 ( )
A.
B.
C.
D.
6. 有甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学站成一排参加文艺汇演, 若甲不站在两端, 丙和丁相邻, 则不同排列方式共有( )
A. 12 种 B. 24 种 C. 36 种 D. 48 种
7. 设 均为锐角,且 ,则()
A. B.
C. D.
8. 已知正四棱锥的各顶点都在同一个球面上,球的体积为 ,则该正四棱锥的体积最大值为( )
A. 18 B. C. D. 27
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每个小题给出的四个选 项中, 有多个选项是符合题目要求的. 全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 某超市统计了 2025 年前 10 个月该超市的营业额(单位:万元)，得到了如图所示的折线图, 则下列说法正确的是 ( )
A. 从二月份开始，每月与上个月相比，营业额下降最多的是五月份
B. 这 10 个月营业额的平均数为 32.5 万元
C. 前 5 个月营业额的方差大于后 5 个月营业额的方差
D. 这 10 个月营业额数据的第 70 百分位数为 43
10. 点 在直线 上，过 作圆 的切线 ( 为切点), 则下列结论正确的是 ( )
A. 圆心 的坐标为 B. 圆 上的点到直线 距离的最大值为
C. 的最小值为 3 D. 的最大值为 1
11. 已知函数 的定义域为 ， 的图象关于 对称，且 为奇函数，则 ( )
A. B.
C. D.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分. 共 15 分.
12. 等差数列 的公差不为 0,前 项和为 ,若 成等比数列,则 _____.
13. 已知 为奇函数,则实数 的值是_____.
14. 已知椭圆 的焦点分别 ,点 为椭圆 的上顶点，直线 ，与椭圆 的另一个交点为 . 若 ，则椭圆 的方程为_____.
四、解答题、本题共 5 小题, 共计 77 分. 请考生根据要求作答, 解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在 中，内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ， ，且满足
(1)求角 ；
(2)若角 的角平分线交 于点 ， ，求 的周长.
16. 已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 ,对任意 ,都有 恒成立,求 的取值范围.
17. 如图,四边形 是菱形,平面 平面 ,且 为 的中点.
(1)证明: ；
(2)若 ,直线 与平面 所成角的正弦值为 ,求 .
18. 已知动点 到点 的距离比它到直线 的距离少 1,记动点 的轨迹为曲线 , 不垂直于坐标轴的直线 与曲线 相交于 两点.
(1)求曲线 的方程；
(2)若直线 的斜率为 -1，且 ，求直线 的方程；
(3)已知 ， 是坐标原点，若 平分 ，问直线 是否过定点？若过定点，求出该定点; 若不过定点, 请说明理由.
19. 甲、乙两名小朋友每人手中各有 3 张龙年纪念卡片, 其中甲的 3 张卡片的颜色为 1 张金色和 2 张银色, 乙手中的 3 张卡片的颜色都是金色. 现在两人各从自己的卡片中随机抽取 1 张,去与对方交换,重复 次这样的操作,记甲手中有银色纪念卡片 张,恰有 2 张银色纪念卡片的概率为 ,恰有 1 张银色纪念卡片的概率为 .
(1)分别求 ， 的值，求操作几次后甲手中的银色纪念卡片就可能首次出现 0 张，并求首次出现这种情况的概率 .
(2) 记 .
(i) 证明数列 是等比数列;
(ii) 求 的数学期望. (用 表示)
1. D
解: 集合 ,集合 ,则 .
2. D
选项 A: 因为 ,负数的绝对值越大,数值越小,故 恒成立;
选项 B: 且 (因为 )，两个负数相乘为正，故 恒成立;
选项 C: ，两边同除以正数 ( 为负，乘积为正)，得 ，即 恒成立； 选项 D:取 (满足 )，则 ， 此时 ,不等式不成立,故 不能恒成立,
故选: D
3. C
依题意, , 所以 的虚部为 -1 .
4. A
由题意可知 , 所以 .
5. B
由题设作出图形,双曲线渐近线为 ,则直线 ,
故 ,可得 ,故 ,即 ,
又三角形 为等腰三角形,所以 ,则 , 整理得 ,即双曲线 的渐近线方程为 .
故选:
6.
因为丙丁要在一起, 先把丙丁捆绑, 看做一个元素, 连同乙, 戊看成三个元素排列, 有3!种排列方式; 为使甲不在两端, 必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入, 有 2 种插空方式; 注意到丙丁两人的顺序可交换, 有 2 种排列方式, 故安排这 5 名同学共有: 种不同的排列方式,
故选: B
7. D
依题意: 均为锐角,且 ,
所以 .
故选: D
8. B
如图,设正四棱锥的底面边长 ,高 ,外接球的球心为 ,则 , 因为球的体积为 ,所以球的半径为 ,
在 Rt 中, ,即 ,
所以正四棱锥的体积为
整理得 ,则 ,
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上递增,在 上递减,
所以当 时,函数取得最大值 ,
故选: B
9. AC
对于 A: 由图可知二月份比一月份增加 6 万元, 三月份比二月份增加 24 万元, 四月份比三月份减少 13 万元，五月份比四月份减少 24 万元，
六月份比五月份增加 6 万元，七月份比六月份增加 12 万元，八月份比七月份增加 2 万元， 九月份比八月份减少 18 万元,
十月份比九月份减少 4 万元，故与上个月相比营业额下降最多的是五月份，A 正确；
对于 B: 由 ,即这 10 个月的营业额的平均数为 35.5 万元, B 错误;
对于 C: 前 5 个月的平均数 , 方差 ; 后 5 个月的平均数 , 方差 因为 170.16> 76.16，所以前 5 个月的营业额的方差确实大于后 5 个月，C 正确； 对于 : 将 10 个数据从小到大排序:21,23,25,29,30,36,41,43,47,60, 因为 ,所以第 70 百分位数取第 7 项和第 8 项的平均数 错误. 故选: AC.
10. ABD
,由圆 ,可化为 ,所以圆 的圆心为 ,正确;
B,圆心 到直线 的距离为 ，所以圆 上的点到直线 最大距离为 ，正确；
C，由切线长公式，可得 ，所以 的最小值为 1 , 错误;
D,如图所示,连接 ,则 ,设 ,则
在直角 中,设 ,则 ,且 ,
因为 ,
令 ,则 ,则 ,
又因为 ,当且仅当 时,即 时,即 时,等号成立,
所以 ,即 的最大值为 1,正确.
故选: ABD
11. ABD
对于 ,点 关于 的对称点是 ,
因为 的图象关于 对称,该点在函数 的图象上,所以 ,故 正确.
对于 ,因为 为奇函数,所以 ,
将 替换为 有 ,则 .
又 的图象关于 对称,所以 ,
则 ,故 正确.
对于 ,在 中将 替换为 有 ,
由 知, ,两式相减得到 ,故 错误.
因为 为奇函数,所以 ,
又 的图象关于 对称,从而 ,故由 得
,故 D 正确.
故选: ABD
12. 7
设等差数列 的公差为 ,因为 成等比数列,
则 ,所以 ,整理得到 ,
所以 ,
故答案为: 7 .
13. 4
由题意知 ,得 ,
令 ,解得 或 ,
又该函数为奇函数, 所以其定义域关于原点对称,
所以 ,解得 ,即 ,
令 ,其定义域为 ,
,满足题意,
故答案为: 4 .
14.
如图,过点 作 轴的垂线,垂足为 ,
由定义知, ,因为 ,所以
因为 ， ，
所以 ,所以
将 代入 得 ，解得
所以
所以椭圆方程为 .
故答案为:
15.
(2)
(1)因为 及正弦定理可得 ， 即 , 即 ,
因为 ,则 ,所以 ,可得 ,故 .
(2)因为 ，即 ，
可得 ①，
由余弦定理可得 ②，
联立①②可得 ，即 ，
因为 ,解得 ,故 的周长为 .
16.
(2)
(1) 已知 ,将 代入函数可得 .
又 ,
将 代入导数 中，得到切线的斜率 .
已知点 ,斜率 ,代入可得切线方程 ,即 .
(2)要使 恒成立，只需 .
,则 .
令 .
因为 时, ,所以 ,即 在 上单调递增.
又 ,
所以存在 ,使得 .
当 时, ,即 单调递减;
当 时, ,即 单调递增.
由上述分析可知, 在 处取得最小值,即 .
因为 ,即 ,整理得 ,
两边同时除以 ,可得 ,即 ,
将 代入 中:
所以,要使 对 恒成立,只需 .
17.(1)连接 ,交 于点 ,连接 .
因为四边形 是菱形,则 ,
因为 为 的中点,则 ,
又 ,且 ,故得 ,
故四边形 是平行四边形,则 .
又平面 平面 ,平面 平面 ,
平面 ,
则 平面 ,又 平面 ,
则 ,故 .
(2)因 ， ，则 ，
又得 ,即 两两垂直,
故以点 为坐标原点,分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系 .
设 ,则 ,于是 ,
则 ,
设平面 的法向量为 ,
则 ,故可取 ,
依题意, ,
解得 或 ,则 或 .
18. (1)
(2)
(3)过定点，且定点坐标为
(1)由题意可知，点 到点 的距离等于点 到直线 的距离,
故点 的轨迹是以点 为焦点,直线 为准线的抛物线,
设曲线 的方程为 ,则 ,可得 ,
故曲线 的方程为 .
(2)设点 、 ，设直线 的方程为 ，
联立 可得 ，
,解得 ,
由韦达定理可得 ,
所以 ,
解得 ,故直线 的方程为 .
(3)若直线 与 轴垂直，则直线 与抛物线只有一个交点，不符合题意， 设直线 的方程为 ,设点 ,
联立 可得 ,
由韦达定理可得 ,
由题意可得 ,
即
对任意的 恒成立,故 ,解得 ,
此时直线 的方程为 ,即直线 过定点 .
19. (1)根据题意， 表示“重复 2 次操作，甲手中恰有 2 张银色纪念卡片”的概率， 包含两种情况:
第一次甲交换金色卡片，第二次甲还交换金色卡片；
第一次甲交换银色卡片，第二次甲交换金色卡片，乙交换银色卡片，
则 ,
表示“重复 2 次操作,甲手中恰有 1 张银色纪念卡片”的概率,包含两种情况:
第一次甲交换金色卡片, 第二次甲交换银色卡片;
第一次甲交换银色卡片, 第二次甲交换银色卡片, 乙交换银色卡片或第二次甲交换金色卡片, 乙交换金色卡片,则 .
其中 ,故交换一次不会出现 的情况,而 ,
操作两次甲手中的银色纪念卡片就可能首次出现 0 张,其概率为 .
(2)(i)由题意可得 ，
,
则 ,
所以 ,
所以数列 是首项为 ,公比为 的等比数列,
(ii) 由 (i) 知 ,所以 .
的所有可能取值为0,1,2,
其分布列为
0 1 2
从而 .