贵州遵义市道真仡佬族苗族自治县金星中学等校2026届高三下学期开学学科核心素养训练数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 贵州遵义市道真仡佬族苗族自治县金星中学等校2026届高三下学期开学学科核心素养训练数学试题（含答案） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 111.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-25 00:00:00 | ||
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文档简介
高三数学学科核心素养训练
注意事项:
1. 答题前, 考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 回答非选择题时, 将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
4. 本试卷主要考试内容: 高考全部内容.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合 ，则 ()
A. B. C. D.
2. 若 ，则 的虚部为( )
A. -3 B. 3 C. -1 D.
3. 已知平面向量 满足 与 的夹角为 ,则 ( )
A. 18 B. -18 C. D.
4. 已知点 ,点 ,则原点 到直线 的距离为 ( )
A. B. 1 C. D.
5. 已知 分别是椭圆 的左、右焦点, 为 上一点, ，且 ，则 的离心率为( )
A. B. C. D.
6. 已知曲线 在点 处的切线与抛物线 相切,则 ( )
A. 18 B. 16 C. 12 D. 8
7. 在 中，内角 所对的边分别为 ，若 ,则 的最小值为( )
A. B. C. 6 D.
8. 在高为 5 的正三棱台 中， 分别为侧棱 ， 的中点,记平面 、平面 、平面 交于点 ,则三棱台 与三棱锥 的体积之差为( )
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 现有一组数据为5,8,7,9,11,7,7,10,则正确的命题有( )
A. 这组数据的众数为 7 B. 这组数据的平均数为 8.5
C. 这组数据的方差为 D. 这组数据的 60% 分位数为 8
10. 已知函数 对任意的 恒成立, ,则 ( )
A. B.
C. 为偶函数 D. 为奇函数
11. 已知函数 ,则( )
A. 当 的最小正周期为 时,
B. 当 在 上单调时,
C. 当 在 上恰有两个零点时,
D. 当 时, 在 上的值域为
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知 ,则 _____.
13. 已知点 为坐标原点,抛物线 的焦点为 ,点 在 上,且 到 的准线的距离为 10，则 的面积为_____.
14. 如图, 下列有 5 个圆, 每个圆内的上、下、左、右、中五个方位均有 1 个数字, 现从这
5 个圆中各选一个方位, 并记下该方位圆内的数字, 要求所得 5 个数字来自不同的方位 (例如第 1 个圆选了左方位上的数字, 后面 4 个圆均不能在左方位上选数字), 且这 5 个数字之积为 0 ，然后将这 5 个数字排成一个 5 位数，则共有_____种情况(在排 5 位数的过程中， 若数字相同，但来自不同的圆，也视为不同的情况).
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. 如图,在正三棱柱 中, 是棱 的中点, .
(1)证明: 平面 .
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
16. 已知数列 的前 项和为 ,且 .
(1)证明:数列 是等比数列.
(2)求 的通项公式.
(3) 已知
17. 已知函数 .
(1)当 时，讨论 的单调性;
(2)若 ， ，求 的取值范围；
(3)证明: .
18. 某图书馆的图书归位推车供馆员循环使用, 需按日借阅总量确定当日需启用的推车数量 (数量匹配工作量, 避免不足或闲置), 保障图书整理效率, 对应规则及往期统计数据如下
表:
日借阅总量 本
日启用推车数量 辆 4 8 14 20 26
往期统计数据显示, 该图书馆日借阅总量不高于 300 本、 600 本、 1200 本、 1800 本的概率分别为0.15,0.35,0.7,0.95.
(1)求该图书馆一个工作日的日启用推车数量 的期望.
(2)该图书馆新增自助借阅机并开放晚自习借阅时段后，日借阅总量不高于 300 本、 600 本、 1200 本、1800 本的概率均降低 0.05 ，如概率降低后，日借阅总量不高于 300 本的概率为0.10 , 据此求解以下问题:
(i) 求未来 10 个工作日中,至少有 2 天日借阅总量不高于 600 本的概率. ( , 结果精确到 0.01)
(ii) 该图书馆拟调整推车启用方案:日借阅总量不高于 1200 本时，仅启用 6 辆推车；日借阅总量高于 1200 本时, 统一启用 26 辆推车. 若每辆推车单日运维成本相同, 该调整方案能否降低日均运维成本 请说明理由.
19. 已知双曲线 上的点与坐标原点 之间距离的最小值为 2,点 在 上,且 .
(1)求 的标准方程.
(2)过点 的直线 交 于异于顶点的 ， 两点，且 ， ，设 的左、右顶点分别为 ,直线 与 交于点 .
(i) 证明: 点 在定直线上.
(ii) 证明: .
1. A
由 ,
所以 .
故选: A
2. B
依题意得 ,所以 的虚部为 3 . 故选: B.
3. A
由 与 的夹角为 ,得 , 所以 .
4. D
由 ,
而 ,则 ,即 ,
在 Rt 中,原点 到直线 的距离为 .
5. B
由椭圆的定义知 ,则 .
设焦距为 ,
由题可知, ,即 ,解得 .
所以椭圆 的离心率为 .
6. B
由 ,则 ,即 ,
则曲线 在点 处的切线方程为 ,即 ,
联立 ,得 ,
则 ,解得 .
7. A
由 ,得 ,
则 ,由正弦定理得, ,
又 ,则 ,即 ,
所以 ,
则 时， 取得最小值 20，即 的最小值为 .
8. C
因为 ，则 ，
设 的重心分别为 ，
可知 为正三棱台 的高,即 ,
则三棱台 的体积 .
取 的中点 ，过点 与 平行的直线与 交于点 ，
以 为坐标原点， 分别为 轴，建立空间直角坐标系，如图所示:
则 ,
可得 ,
可得 ,
设平面 的法向量为 ,则 ,
令 ,则 ,可得 ;
设平面 的法向量为 ,则 ,
令 ,则 ,可得 ;
设平面 的法向量为 ,则 ,
令 ,则 ,可得 ;
设 ,则 ,
由题意可得: ,解得
即 ,则三棱锥 的体积 ;
所以三棱台 与三棱锥 的体积之差为 .
9. ACD
这组数据中的 7 出现了 3 次, 次数最多, 故众数为 7, A 正确;
这组数据的平均数为 , B 错误;
这组数据的方差
正确;
这组数据从小到大为5,7,7,7,8,9,10,11,由 ,得这组数据的 60% 分位数为 8, D 正确.
10. BD
对于 ,令 ,则 ,解得 正确;
对于 ,令 ,则 ,即 ,解得 错误;
对于 ,由选项 得 ,因此函数 不是偶函数, 错误;
对于 ,令 ,则 ,则 , 令 ,则 ,因此 为奇函数, D 正确.
11. BCD
易知函数
A,当 的最小正周期为 时,可知 ,解得 ,即 错误;
B,当 时,可知 ,
若 在 上单调,则需满足 ,解得 正确;
C,结合 中分析可知当 在 上恰有两个零点时,需满足 ,解得 ,即 C 正确;
D,当 时可知 ,若 ,则 ,
所以 ,可知 在 上的值域为 ,即 正确.
12.
由 ,得 , 则 .
13. 8
由抛物线 ,则准线方程为 ,
因为 到 的准线的距离为 10,所以 ,即 ,
则抛物线 ,即 ,
将 代入抛物线方程可得 ,即 ,
则 的面积为 .
14. 2304
因为这 5 个数字之积为 0 , 并排成一个 5 位数,
所以第 4 个圆的上方位被选，
则左方位有 种选择,右方位有 种选择,下方位有 种选择,正中位有 种选择,
且 0 不能在万位上,
先排万位有 种,剩下的有 ,
所以共有 种.
15.(1)证明: 因为 是正三棱柱， 是 的中点，
所以 ,易得 平面 平面 ,
所以 ,因为 平面 ,
所以 平面 .
(2)取 的中点 的中点 ，连接 ，
易得 ，而 平面 ，则 平面 ，而 ，
以 为坐标原点,以 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系,如图所示,
则 ,
所以 ,
设平面 的一个法向量为 ,
则 ,令 ,得 ,
设直线 与平面 所成的角为 ,
则 ,
故直线 与平面 所成角的正弦值为 .
16.(1) 证明: 当 时, ,解得 ,
当 时,由 ,可得 ,
两式相减得 ,所以 ,
因为 ,所以 是首项为 2,公比为 2 的等比数列.
(2)由(1)可知 ，即 .
(3)当 为奇数时, ,
当 为偶数时, ,
故
.
17.(1) 当 时, ,则 ,
令 ,得 ,令 ,得 ,
所以函数 在 上单调递减,在 上单调递增.
( 2 )由 ，则 对于 恒成立，
设 ,则 ,
令 ,得 ,令 ,得 ,
所以函数 在 上单调递减,在 上单调递增,
则 ,即 ,则 的取值范围为 .
(3)由(2)知，当 时， ，则 ，
所以 ,
设 ,则 ,
所以函数 在 上单调递增,
则 ,即 ,得证.
18.(1) 题意得 ,
故 .
(2)(i)该图书馆新增自助借阅机并开放晚自习借阅时段后，
日借阅总量不高于 600 本的概率降低 0.05 ，得 ，
设未来 10 个工作日中，日借阅总量不高于 600 本的天数为 ，则 ，
所以
, 故未来 10 个工作日中，至少有 2 天日借阅总量不高于 600 本的概率约为 0.85 .
(ii) 该图书馆新增自助借阅机并开放晚自习借阅时段后，
日借阅总量不高于 300 本、 600 本、 1200 本、 1800 本的概率均降低 0.05 ,
得 ,
此时日启用推车数量 的数学期望为:
若日借阅总量不高于 1200 本时, 仅启用 6 辆推车, 日借阅总量高于 1200 本时, 统一启用 26 辆推车,
则此时日启用推车数量 的数学期望为:
因为 ,所以调整方案能降低日均运维成本.
19.(1)因为双曲线上的点与坐标原点 之间距离的最小值为 2，所以 ，
因为点 在 上,且 ,
所以 ,解得 ,即 ,
将点 坐标代入双曲线可得 ，解得 所以 的标准方程为 .
(2)(i)证明:由题意，设直线 的方程为 ，
联立 ，得 ，
则 ,
又 ,则 ,
所以 ,
联立 ,得 ,
则 ,
所以
所以点 在定直线 上.
(ii) 证明: 设 ,则 ,
所以 ,
因为 在直线 上,所以 ,
因为 为 的根,不妨令 ,
则 ,所以 ,
则 ,
所以 ,
所以
则 ，
所以 ,即
注意事项:
1. 答题前, 考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 回答非选择题时, 将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
4. 本试卷主要考试内容: 高考全部内容.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合 ，则 ()
A. B. C. D.
2. 若 ，则 的虚部为( )
A. -3 B. 3 C. -1 D.
3. 已知平面向量 满足 与 的夹角为 ,则 ( )
A. 18 B. -18 C. D.
4. 已知点 ,点 ,则原点 到直线 的距离为 ( )
A. B. 1 C. D.
5. 已知 分别是椭圆 的左、右焦点, 为 上一点, ，且 ，则 的离心率为( )
A. B. C. D.
6. 已知曲线 在点 处的切线与抛物线 相切,则 ( )
A. 18 B. 16 C. 12 D. 8
7. 在 中，内角 所对的边分别为 ，若 ,则 的最小值为( )
A. B. C. 6 D.
8. 在高为 5 的正三棱台 中， 分别为侧棱 ， 的中点,记平面 、平面 、平面 交于点 ,则三棱台 与三棱锥 的体积之差为( )
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 现有一组数据为5,8,7,9,11,7,7,10,则正确的命题有( )
A. 这组数据的众数为 7 B. 这组数据的平均数为 8.5
C. 这组数据的方差为 D. 这组数据的 60% 分位数为 8
10. 已知函数 对任意的 恒成立, ,则 ( )
A. B.
C. 为偶函数 D. 为奇函数
11. 已知函数 ,则( )
A. 当 的最小正周期为 时,
B. 当 在 上单调时,
C. 当 在 上恰有两个零点时,
D. 当 时, 在 上的值域为
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知 ,则 _____.
13. 已知点 为坐标原点,抛物线 的焦点为 ,点 在 上,且 到 的准线的距离为 10，则 的面积为_____.
14. 如图, 下列有 5 个圆, 每个圆内的上、下、左、右、中五个方位均有 1 个数字, 现从这
5 个圆中各选一个方位, 并记下该方位圆内的数字, 要求所得 5 个数字来自不同的方位 (例如第 1 个圆选了左方位上的数字, 后面 4 个圆均不能在左方位上选数字), 且这 5 个数字之积为 0 ，然后将这 5 个数字排成一个 5 位数，则共有_____种情况(在排 5 位数的过程中， 若数字相同，但来自不同的圆，也视为不同的情况).
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. 如图,在正三棱柱 中, 是棱 的中点, .
(1)证明: 平面 .
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
16. 已知数列 的前 项和为 ,且 .
(1)证明:数列 是等比数列.
(2)求 的通项公式.
(3) 已知
17. 已知函数 .
(1)当 时，讨论 的单调性;
(2)若 ， ，求 的取值范围；
(3)证明: .
18. 某图书馆的图书归位推车供馆员循环使用, 需按日借阅总量确定当日需启用的推车数量 (数量匹配工作量, 避免不足或闲置), 保障图书整理效率, 对应规则及往期统计数据如下
表:
日借阅总量 本
日启用推车数量 辆 4 8 14 20 26
往期统计数据显示, 该图书馆日借阅总量不高于 300 本、 600 本、 1200 本、 1800 本的概率分别为0.15,0.35,0.7,0.95.
(1)求该图书馆一个工作日的日启用推车数量 的期望.
(2)该图书馆新增自助借阅机并开放晚自习借阅时段后，日借阅总量不高于 300 本、 600 本、 1200 本、1800 本的概率均降低 0.05 ，如概率降低后，日借阅总量不高于 300 本的概率为0.10 , 据此求解以下问题:
(i) 求未来 10 个工作日中,至少有 2 天日借阅总量不高于 600 本的概率. ( , 结果精确到 0.01)
(ii) 该图书馆拟调整推车启用方案:日借阅总量不高于 1200 本时，仅启用 6 辆推车；日借阅总量高于 1200 本时, 统一启用 26 辆推车. 若每辆推车单日运维成本相同, 该调整方案能否降低日均运维成本 请说明理由.
19. 已知双曲线 上的点与坐标原点 之间距离的最小值为 2,点 在 上,且 .
(1)求 的标准方程.
(2)过点 的直线 交 于异于顶点的 ， 两点，且 ， ，设 的左、右顶点分别为 ,直线 与 交于点 .
(i) 证明: 点 在定直线上.
(ii) 证明: .
1. A
由 ,
所以 .
故选: A
2. B
依题意得 ,所以 的虚部为 3 . 故选: B.
3. A
由 与 的夹角为 ,得 , 所以 .
4. D
由 ,
而 ,则 ,即 ,
在 Rt 中,原点 到直线 的距离为 .
5. B
由椭圆的定义知 ,则 .
设焦距为 ,
由题可知, ,即 ,解得 .
所以椭圆 的离心率为 .
6. B
由 ,则 ,即 ,
则曲线 在点 处的切线方程为 ,即 ,
联立 ,得 ,
则 ,解得 .
7. A
由 ,得 ,
则 ,由正弦定理得, ,
又 ,则 ,即 ,
所以 ,
则 时， 取得最小值 20，即 的最小值为 .
8. C
因为 ，则 ，
设 的重心分别为 ，
可知 为正三棱台 的高,即 ,
则三棱台 的体积 .
取 的中点 ，过点 与 平行的直线与 交于点 ，
以 为坐标原点， 分别为 轴，建立空间直角坐标系，如图所示:
则 ,
可得 ,
可得 ,
设平面 的法向量为 ,则 ,
令 ,则 ,可得 ;
设平面 的法向量为 ,则 ,
令 ,则 ,可得 ;
设平面 的法向量为 ,则 ,
令 ,则 ,可得 ;
设 ,则 ,
由题意可得: ,解得
即 ,则三棱锥 的体积 ;
所以三棱台 与三棱锥 的体积之差为 .
9. ACD
这组数据中的 7 出现了 3 次, 次数最多, 故众数为 7, A 正确;
这组数据的平均数为 , B 错误;
这组数据的方差
正确;
这组数据从小到大为5,7,7,7,8,9,10,11,由 ,得这组数据的 60% 分位数为 8, D 正确.
10. BD
对于 ,令 ,则 ,解得 正确;
对于 ,令 ,则 ,即 ,解得 错误;
对于 ,由选项 得 ,因此函数 不是偶函数, 错误;
对于 ,令 ,则 ,则 , 令 ,则 ,因此 为奇函数, D 正确.
11. BCD
易知函数
A,当 的最小正周期为 时,可知 ,解得 ,即 错误;
B,当 时,可知 ,
若 在 上单调,则需满足 ,解得 正确;
C,结合 中分析可知当 在 上恰有两个零点时,需满足 ,解得 ,即 C 正确;
D,当 时可知 ,若 ,则 ,
所以 ,可知 在 上的值域为 ,即 正确.
12.
由 ,得 , 则 .
13. 8
由抛物线 ,则准线方程为 ,
因为 到 的准线的距离为 10,所以 ,即 ,
则抛物线 ,即 ,
将 代入抛物线方程可得 ,即 ,
则 的面积为 .
14. 2304
因为这 5 个数字之积为 0 , 并排成一个 5 位数,
所以第 4 个圆的上方位被选，
则左方位有 种选择,右方位有 种选择,下方位有 种选择,正中位有 种选择,
且 0 不能在万位上,
先排万位有 种,剩下的有 ,
所以共有 种.
15.(1)证明: 因为 是正三棱柱， 是 的中点，
所以 ,易得 平面 平面 ,
所以 ,因为 平面 ,
所以 平面 .
(2)取 的中点 的中点 ，连接 ，
易得 ，而 平面 ，则 平面 ，而 ，
以 为坐标原点,以 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系,如图所示,
则 ,
所以 ,
设平面 的一个法向量为 ,
则 ,令 ,得 ,
设直线 与平面 所成的角为 ,
则 ,
故直线 与平面 所成角的正弦值为 .
16.(1) 证明: 当 时, ,解得 ,
当 时,由 ,可得 ,
两式相减得 ,所以 ,
因为 ,所以 是首项为 2,公比为 2 的等比数列.
(2)由(1)可知 ，即 .
(3)当 为奇数时, ,
当 为偶数时, ,
故
.
17.(1) 当 时, ,则 ,
令 ,得 ,令 ,得 ,
所以函数 在 上单调递减,在 上单调递增.
( 2 )由 ，则 对于 恒成立，
设 ,则 ,
令 ,得 ,令 ,得 ,
所以函数 在 上单调递减,在 上单调递增,
则 ,即 ,则 的取值范围为 .
(3)由(2)知，当 时， ，则 ，
所以 ,
设 ,则 ,
所以函数 在 上单调递增,
则 ,即 ,得证.
18.(1) 题意得 ,
故 .
(2)(i)该图书馆新增自助借阅机并开放晚自习借阅时段后，
日借阅总量不高于 600 本的概率降低 0.05 ，得 ，
设未来 10 个工作日中，日借阅总量不高于 600 本的天数为 ，则 ，
所以
, 故未来 10 个工作日中，至少有 2 天日借阅总量不高于 600 本的概率约为 0.85 .
(ii) 该图书馆新增自助借阅机并开放晚自习借阅时段后，
日借阅总量不高于 300 本、 600 本、 1200 本、 1800 本的概率均降低 0.05 ,
得 ,
此时日启用推车数量 的数学期望为:
若日借阅总量不高于 1200 本时, 仅启用 6 辆推车, 日借阅总量高于 1200 本时, 统一启用 26 辆推车,
则此时日启用推车数量 的数学期望为:
因为 ,所以调整方案能降低日均运维成本.
19.(1)因为双曲线上的点与坐标原点 之间距离的最小值为 2，所以 ，
因为点 在 上,且 ,
所以 ,解得 ,即 ,
将点 坐标代入双曲线可得 ，解得 所以 的标准方程为 .
(2)(i)证明:由题意，设直线 的方程为 ，
联立 ，得 ，
则 ,
又 ,则 ,
所以 ,
联立 ,得 ,
则 ,
所以
所以点 在定直线 上.
(ii) 证明: 设 ,则 ,
所以 ,
因为 在直线 上,所以 ,
因为 为 的根,不妨令 ,
则 ,所以 ,
则 ,
所以 ,
所以
则 ，
所以 ,即
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