贵州遵义市南白中学2025-2026学年第二学期第一次测试高一数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 贵州遵义市南白中学2025-2026学年第二学期第一次测试高一数学试卷（含答案） |
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|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 119.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-25 00:00:00 | ||
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文档简介
遵义市南白中学 2025-2026 学年度第二学期第一次测试 高一年级数学试卷
(满分 150 分，考试时间 120 分钟)
注意事项:
1. 考试开始前, 请用黑色签字笔将答题卡上的姓名，班级，考号填写清楚，并在相应位置粘贴条形码
2. 所有题目答案均写在答题卡上, 填写在试卷、草稿纸上无效
3. 选择题、判断题用 2B 铅笔涂黑，其他试题用黑色签字笔或黑色墨水笔答题； 在规定区域以外的答题不给分
4. 考试结束后, 请将答题卡交回
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集 ，集合 ，集合 ，则 ( )
A. B.
C. D.
2. 已知幂函数 在区间 上单调递增，则函数 的图象过定点 ( )
A. B. C. D.
3. “ ” 是 “ ” 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 函数 的大致图象是( )
A.
B.
C.
D.
5. 函数 在 上为减函数，则 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6. 已知函数 ,且 ,则 的值为 ( )
A. 0 B. 1 C. -3 D. 0 或 1
7. 已知函数 ,若关于 的方程 有 8 个不等的实数根，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
8. 已知 ,则 ( )
A. 2 B. 3
C. D. 6
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列命题为真命题的是( )
A. 若 ,则
B. 若 ，且 ，则
C. 若 ,则
D. 若 ,则
10. 某校为了鼓励同学们利用课余时间阅读, 开展了读书周活动. 如图是某班甲、乙两名同学在一周内每天阅读时间的折线图, 根据该折线图, 下列结论正确的是 ( )
A. 甲同学阅读时间更加稳定
B. 乙同学的平均阅读时间等于甲同学的平均阅读时间
C. 乙同学阅读时间的极差为 20
D. 甲同学阅读时间的 75% 分位数为 25
11. 设集合 是实数集 的子集，如果点 满足: 对任意 ，都存在 ，使得 ,称 为集合 的聚点,则在下列集合中,以 0 为聚点的集合有( )
A. B.
C. D.
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为_____.
13. 已知 ，则用 、 表示对数 _____.
14. 设函数 ,其中 ,若 恒成立,则 的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 一个袋子中有大小和质地均相同的四个球, 其中有两个红球 (标号为 1 和 2 ), 一个黑球 (标号为 3 ),一个白球 (标号为 4 ). 从袋中不放回地依次随机摸出 2 个球. 设事件 “第一次摸到红球”， “第二次摸到黑球”， “摸到的两个球恰为一个红球和一个白球”.
(1)用数组 表示可能的结果， 是第一次摸到的球的标号， 是第二次摸到的球的标号,试用集合的形式写出试验的样本空间 ;
(2)求事件 中至少有一个发生的概率.
16. 已知函数 过定点 ,函数 的定义域为 .
(I) 求定点 并证明函数 的奇偶性;
(II) 判断并证明函数 在 上的单调性;
(III) 解不等式 .
17. 某市为提高市民对文明城市创建的认识, 举办了“创建文明城市”知识竞赛, 从所有答卷中随机抽取 100 份作为样本，将样本的成绩(满分 100 分，成绩均为不低于 40 分的整数) 分成六组: ,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中 的值与样本成绩的平均数；
(2)在样本答卷成绩为 的三组市民中，用分层抽样的方法抽取 13 人，则样本的答卷成绩在 中的市民应抽取多少人
(3)若落在 的平均成绩是 57，方差是 2，落在 的平均成绩为 69，方差是 5，求这两组成绩的总平均数 和总方差 .
18. 已知函数 .
(1)当 时，解不等式 ；
(2)证明: 当 时,函数 有唯一的零点 ,且 恒成立.
19. 已知函数 的图象与函数 ，且 )的图象关于 对称，且 .
(1)求函数 的解析式;
(2)设 是方程 的两个实数根(其中 ，且 ， ,求 的值.
(3)是否存在实数 ，使得函数 只有一个零点，如果存在， 求出 的取值范围,如果不存在,请说明理由.
1. B
由于全集 ,集合 ,所以 , 又因为集合 ，所以 .
故选: B.
2. C
因为函数 为幂函数,
所以 ,解得 或 ,
又 为 为增函数,则 ,
故 恒过定点 .
故选: C.
3. B
解不等式 可得 或 ,其解集为 ;
解不等式 可得 或 ,其解集为 ;
显然 是 的真子集,
因此 “ ” 是 “ ” 的必要不充分条件.
4. D
因为 ,即 ,所以 ,
所以函数 的定义域为 ,关于原点对称,
又 ,所以函数 是奇函数,其图象关于原点对称,
故排除 ;
当 时, ,即 ,因此 ,故排除 .
故选: D.
5. B
解: 由函数 在 上为减函数,
可得函数 在 上大于零,且 为减函数,且 ,
故有 ,求得 ,
故选: .
6. B
因为 且 ,
所以 或 ,
解得 或 ,
当 时， ；
当 时， ；
综上可得 的值为 1 .
故选: B
7. D
作函数 的图象,如图:
关于 的方程 有 8 个不等的实数根,
结合图象可知,关于 的方程 有两不等实根,记为 ,且 ,
因为 ,所以 ,
又因为 ,即 ,
所以 的取值范围是 ,
所以 的取值范围是 .
故选: D.
8. A
由 ,得 ,即 ,
所以 .
令 ,则 为单调递增函数.
又 ,
则 ,得 .
所以 ,即 .
9. ACD
对于 选项,因为 ,则 不能同时为零,
所以, ,
若 ,则 且 ,此时, ,矛盾,
故 ,故 , A 对;
对于 选项，因为 ，且 ，不妨取 ，此时 ，B错；
对于 选项，因为 ，由不等式的基本性质可得 ， ，则 ， C 对;
对于 选项,因为 ,则 ,可得 ,
由不等式的性质可得 ,即 对.
故选: ACD.
10. BD
甲同学阅读时间从小到大排列为10,10,20,20,25,25,30,
乙同学阅读时间从小到大排列为15,15,20,20,20,25,25,
则甲同学的平均阅读时间为 ,
乙同学的平均阅读时间为 ,
故乙同学的平均阅读时间等于甲同学的平均阅读时间, B 正确;
甲同学的阅读时间的方差为
乙同学的阅读时间的方差为
因为 ,所以乙同学阅读时间更加稳定,故 A 错误;
乙同学阅读时间的极差为 ,故 C 错误;
因为 ,所以甲同学阅读时间的 分位数为第 6 个数 25,故 D 正确.
11. AC
对于集合 ,对任意的 ,都存在 ,使得 , 所以 0 是集合 的聚点, 选项正确;
对于集合 ,对于某个实数 ,比如 ,
此时对任意的 ,都有 ,
也就是说不可能 ，从而 0 不是集合 的聚点， 选项错误；
对于集合 ,对任意的 ,都存在 ,即 ,
使 ,所以 0 是集合 的聚点, 选项正确;
对于集合 随着 增大而增大,
的最小值为 ,故当 时,即不存在 ,使得 选项错误.
故选: AC
12.
由题意得 ,故 ,
令 ,解得 ,
令 得 或 ,
综上, ,函数定义域为 .
13.
,
故答案为: .
14.
由题意 的定义域为 ,且 ,
因为 与 均为单调递增函数,且 ,
所以 或 ,
解得 或 ,
因为 恒成立,所以 ,则 ,即 ,
所以
当且仅当 ,即 时取等号,
所以 的最小值为
15.(1) ;
(2)事件 为 ，包含 6 个基本事件，
由( 1 )知，样本空间中共 12 个基本事件，故 ，
事件 为 ,包含 3 个基本事件,故 ;
事件 为 ,包含 4 个基本事件,故 ,
事件 均没有发生的概率为 ,
故事件 中至少有一个发生的概率为 .
16.
(I) 函数 过定点 ， 定点为 ，
,定义域为 ,
.
函数 为奇函数.
(II) 在 上单调递增.
证明: 任取 ,且 ,
则 .
,
,即 ,
函数 在区间 上是增函数.
(III) ,即 ,
函数 为奇函数
在 上为单调递增函数,
,解得: .
故不等式的解集为:
17. ,平均数约为 74
(2)6 人
(3)65,36
(1)由频率之和为 1 结合频率分布直方图可得
,
解得 , 样本成绩的平均数约为 .
(2)由频率分布直方图知，样本答卷成绩在 的三组市民有 (人),
其中样本答卷成绩在 的市民人数为 ,
用分层抽样的方法应从答卷成绩在 的市民中抽取 (人).
(3)由频率分布直方图知，成绩在 的市民人数为 ，
成绩在 的市民人数为 ,
所以总平均数 ,
总方差 .
18.(1) 当 时, ,由 可得 ,
解得 ,即 ,
故不等式的解为 .
(2)因为 与 均为增函数，
所以 在 上单调递增,
当 时， ，
,
所以存在唯一的 ,使得 ,
即函数 有唯一零点 ,
所以 ,即 ,
所以 ,即 ,
所以 ,
因为 ,所以 ,
所以 ,当且仅当 与 时等号成立.
当 时,由 知 ,即 ,所以等号不成立,
所以 .
19. (1) ;
(2)56;
(3) 或 .
(1) 由反函数定义可得: ,又 , 则 ,从而 ;
(2)由(1)， 等价于 ，则
因 为方程两根,设 ,
由韦达定理, .
,注意到 . 则 ;
(3)由题可得 ,
只有 1 个零点,则方程 只有 1 个根,
因 在 上单调递增,
则 .
令 ,则 .
即方程 只有一个正根,可满足题意.
若 ,则 ,不满足题意;
若 ,此时方程为二次方程.
当
或 .
当 化为: ,满足题意;
当 化为: ,不满足题意;
当 ,由上分析可得 或 且 .
当 ,注意到两根之和为 ,两根之积为 ,则此时方程有 2 个正根,不满足题意;
当 且 时,为使方程只有一个正根,需满足两根之积 .
综上,为使 只有 1 个零点, 或 .
(满分 150 分，考试时间 120 分钟)
注意事项:
1. 考试开始前, 请用黑色签字笔将答题卡上的姓名，班级，考号填写清楚，并在相应位置粘贴条形码
2. 所有题目答案均写在答题卡上, 填写在试卷、草稿纸上无效
3. 选择题、判断题用 2B 铅笔涂黑，其他试题用黑色签字笔或黑色墨水笔答题； 在规定区域以外的答题不给分
4. 考试结束后, 请将答题卡交回
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集 ，集合 ，集合 ，则 ( )
A. B.
C. D.
2. 已知幂函数 在区间 上单调递增，则函数 的图象过定点 ( )
A. B. C. D.
3. “ ” 是 “ ” 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 函数 的大致图象是( )
A.
B.
C.
D.
5. 函数 在 上为减函数，则 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6. 已知函数 ,且 ,则 的值为 ( )
A. 0 B. 1 C. -3 D. 0 或 1
7. 已知函数 ,若关于 的方程 有 8 个不等的实数根，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
8. 已知 ,则 ( )
A. 2 B. 3
C. D. 6
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列命题为真命题的是( )
A. 若 ,则
B. 若 ，且 ，则
C. 若 ,则
D. 若 ,则
10. 某校为了鼓励同学们利用课余时间阅读, 开展了读书周活动. 如图是某班甲、乙两名同学在一周内每天阅读时间的折线图, 根据该折线图, 下列结论正确的是 ( )
A. 甲同学阅读时间更加稳定
B. 乙同学的平均阅读时间等于甲同学的平均阅读时间
C. 乙同学阅读时间的极差为 20
D. 甲同学阅读时间的 75% 分位数为 25
11. 设集合 是实数集 的子集，如果点 满足: 对任意 ，都存在 ，使得 ,称 为集合 的聚点,则在下列集合中,以 0 为聚点的集合有( )
A. B.
C. D.
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为_____.
13. 已知 ，则用 、 表示对数 _____.
14. 设函数 ,其中 ,若 恒成立,则 的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 一个袋子中有大小和质地均相同的四个球, 其中有两个红球 (标号为 1 和 2 ), 一个黑球 (标号为 3 ),一个白球 (标号为 4 ). 从袋中不放回地依次随机摸出 2 个球. 设事件 “第一次摸到红球”， “第二次摸到黑球”， “摸到的两个球恰为一个红球和一个白球”.
(1)用数组 表示可能的结果， 是第一次摸到的球的标号， 是第二次摸到的球的标号,试用集合的形式写出试验的样本空间 ;
(2)求事件 中至少有一个发生的概率.
16. 已知函数 过定点 ,函数 的定义域为 .
(I) 求定点 并证明函数 的奇偶性;
(II) 判断并证明函数 在 上的单调性;
(III) 解不等式 .
17. 某市为提高市民对文明城市创建的认识, 举办了“创建文明城市”知识竞赛, 从所有答卷中随机抽取 100 份作为样本，将样本的成绩(满分 100 分，成绩均为不低于 40 分的整数) 分成六组: ,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中 的值与样本成绩的平均数；
(2)在样本答卷成绩为 的三组市民中，用分层抽样的方法抽取 13 人，则样本的答卷成绩在 中的市民应抽取多少人
(3)若落在 的平均成绩是 57，方差是 2，落在 的平均成绩为 69，方差是 5，求这两组成绩的总平均数 和总方差 .
18. 已知函数 .
(1)当 时，解不等式 ；
(2)证明: 当 时,函数 有唯一的零点 ,且 恒成立.
19. 已知函数 的图象与函数 ，且 )的图象关于 对称，且 .
(1)求函数 的解析式;
(2)设 是方程 的两个实数根(其中 ，且 ， ,求 的值.
(3)是否存在实数 ，使得函数 只有一个零点，如果存在， 求出 的取值范围,如果不存在,请说明理由.
1. B
由于全集 ,集合 ,所以 , 又因为集合 ，所以 .
故选: B.
2. C
因为函数 为幂函数,
所以 ,解得 或 ,
又 为 为增函数,则 ,
故 恒过定点 .
故选: C.
3. B
解不等式 可得 或 ,其解集为 ;
解不等式 可得 或 ,其解集为 ;
显然 是 的真子集,
因此 “ ” 是 “ ” 的必要不充分条件.
4. D
因为 ,即 ,所以 ,
所以函数 的定义域为 ,关于原点对称,
又 ,所以函数 是奇函数,其图象关于原点对称,
故排除 ;
当 时, ,即 ,因此 ,故排除 .
故选: D.
5. B
解: 由函数 在 上为减函数,
可得函数 在 上大于零,且 为减函数,且 ,
故有 ,求得 ,
故选: .
6. B
因为 且 ,
所以 或 ,
解得 或 ,
当 时， ；
当 时， ；
综上可得 的值为 1 .
故选: B
7. D
作函数 的图象,如图:
关于 的方程 有 8 个不等的实数根,
结合图象可知,关于 的方程 有两不等实根,记为 ,且 ,
因为 ,所以 ,
又因为 ,即 ,
所以 的取值范围是 ,
所以 的取值范围是 .
故选: D.
8. A
由 ,得 ,即 ,
所以 .
令 ,则 为单调递增函数.
又 ,
则 ,得 .
所以 ,即 .
9. ACD
对于 选项,因为 ,则 不能同时为零,
所以, ,
若 ,则 且 ,此时, ,矛盾,
故 ,故 , A 对;
对于 选项，因为 ，且 ，不妨取 ，此时 ，B错；
对于 选项，因为 ，由不等式的基本性质可得 ， ，则 ， C 对;
对于 选项,因为 ,则 ,可得 ,
由不等式的性质可得 ,即 对.
故选: ACD.
10. BD
甲同学阅读时间从小到大排列为10,10,20,20,25,25,30,
乙同学阅读时间从小到大排列为15,15,20,20,20,25,25,
则甲同学的平均阅读时间为 ,
乙同学的平均阅读时间为 ,
故乙同学的平均阅读时间等于甲同学的平均阅读时间, B 正确;
甲同学的阅读时间的方差为
乙同学的阅读时间的方差为
因为 ,所以乙同学阅读时间更加稳定,故 A 错误;
乙同学阅读时间的极差为 ,故 C 错误;
因为 ,所以甲同学阅读时间的 分位数为第 6 个数 25,故 D 正确.
11. AC
对于集合 ,对任意的 ,都存在 ,使得 , 所以 0 是集合 的聚点, 选项正确;
对于集合 ,对于某个实数 ,比如 ,
此时对任意的 ,都有 ,
也就是说不可能 ，从而 0 不是集合 的聚点， 选项错误；
对于集合 ,对任意的 ,都存在 ,即 ,
使 ,所以 0 是集合 的聚点, 选项正确;
对于集合 随着 增大而增大,
的最小值为 ,故当 时,即不存在 ,使得 选项错误.
故选: AC
12.
由题意得 ,故 ,
令 ,解得 ,
令 得 或 ,
综上, ,函数定义域为 .
13.
,
故答案为: .
14.
由题意 的定义域为 ,且 ,
因为 与 均为单调递增函数,且 ,
所以 或 ,
解得 或 ,
因为 恒成立,所以 ,则 ,即 ,
所以
当且仅当 ,即 时取等号,
所以 的最小值为
15.(1) ;
(2)事件 为 ，包含 6 个基本事件，
由( 1 )知，样本空间中共 12 个基本事件，故 ，
事件 为 ,包含 3 个基本事件,故 ;
事件 为 ,包含 4 个基本事件,故 ,
事件 均没有发生的概率为 ,
故事件 中至少有一个发生的概率为 .
16.
(I) 函数 过定点 ， 定点为 ，
,定义域为 ,
.
函数 为奇函数.
(II) 在 上单调递增.
证明: 任取 ,且 ,
则 .
,
,即 ,
函数 在区间 上是增函数.
(III) ,即 ,
函数 为奇函数
在 上为单调递增函数,
,解得: .
故不等式的解集为:
17. ,平均数约为 74
(2)6 人
(3)65,36
(1)由频率之和为 1 结合频率分布直方图可得
,
解得 , 样本成绩的平均数约为 .
(2)由频率分布直方图知，样本答卷成绩在 的三组市民有 (人),
其中样本答卷成绩在 的市民人数为 ,
用分层抽样的方法应从答卷成绩在 的市民中抽取 (人).
(3)由频率分布直方图知，成绩在 的市民人数为 ，
成绩在 的市民人数为 ,
所以总平均数 ,
总方差 .
18.(1) 当 时, ,由 可得 ,
解得 ,即 ,
故不等式的解为 .
(2)因为 与 均为增函数，
所以 在 上单调递增,
当 时， ，
,
所以存在唯一的 ,使得 ,
即函数 有唯一零点 ,
所以 ,即 ,
所以 ,即 ,
所以 ,
因为 ,所以 ,
所以 ,当且仅当 与 时等号成立.
当 时,由 知 ,即 ,所以等号不成立,
所以 .
19. (1) ;
(2)56;
(3) 或 .
(1) 由反函数定义可得: ,又 , 则 ,从而 ;
(2)由(1)， 等价于 ，则
因 为方程两根,设 ,
由韦达定理, .
,注意到 . 则 ;
(3)由题可得 ,
只有 1 个零点,则方程 只有 1 个根,
因 在 上单调递增,
则 .
令 ,则 .
即方程 只有一个正根,可满足题意.
若 ,则 ,不满足题意;
若 ,此时方程为二次方程.
当
或 .
当 化为: ,满足题意;
当 化为: ,不满足题意;
当 ,由上分析可得 或 且 .
当 ,注意到两根之和为 ,两根之积为 ,则此时方程有 2 个正根,不满足题意;
当 且 时,为使方程只有一个正根,需满足两根之积 .
综上,为使 只有 1 个零点, 或 .
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