(共10张PPT)
第八章 实数
专题训练（四） 比较实数大小的常用方法
方法1 利用数轴比较实数大小
实数的大小比较同有理数一样，可结合数轴，在数轴上大致
标出点的位置，然后根据右边的数大于左边的数进行比较.
1.三个数 ,, 的大小顺序是( )
B
A. B.
C. D.
方法2 利用平方法或立方法比较实数大小
（1）已知,均为实数，若，则 ；反过来也成立.
（2）已知,均为正（负）实数，若，则 ;
反过来也成立.
2.（2024·山西）比较大小：___2（填“ ”“ ”或“ ”）.
3.在实数，，， 中，最小的数是_____.
4.比较下列各组数的大小：
（1） 和6；
解：,,且 ，
.
（2）和 .
解：， ，
且 ，
.
5.比较大小：4，， .
解：，，且 ，
.
，，且， .
.
方法3 利用作差法比较实数大小
对于实数，,若，则;若，则 ；若
，则 .
6.“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即
例如：比较 与2的大小.
解： .
，即 ，
.
.
请根据上述方法解答以下问题：比较与 的大小.
解：
.
，即 ，
.
.
7.比较大小：
（1）和 ；
解： ，
.
（2）和 .
解： ，
.
.
目
录
(1)已知a,b均为实数，若a3>b3,则a>b;反过来也成立
(2)已知a,b均为正（负）实数，若a2>b2,则a>b(a反过来也成立
2.(2024·山西)比较大小：V62(填><”或=”)
3在实数-V7,-V5,-2,-3中，最小的数是
解：：（√352=35,62=36，且35<36，
V35≤6.
解：（√-25）3=-25，（-3)3=一27，
且-25>-27，
.V-25>-3.
解：(V15)2=15,42=16,且15<16，
.√15≤4.
43=64,(√70)3=70，且64≤70,4<70
.V15<4<70
6.“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即
a-b>0,则a>b,
a-b=
0,则a
a-b<0,则a
≤b
解：V19-2-2=V19-4
:√16.V19-4>
V19-2>2
请根据上述方法解答以下问题：比较2-√23与-3的大小
解：2-√23-(-3)=2-V23+3
=5-√23.
:√16≤√23<25,即4<√23
5-√23>0
.2-V23>-3.(共6张PPT)
第八章 实数
数学活动 口算求立方根
我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志
上有一道智力题:一个数是 ,求它的立方根.华罗庚脱口而出:
39.你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗 请按照下面的
方法试一试:
， ，
又 ，
,
能确定59 319的立方根是个两位数.
，
能确定59 319的立方根的个位数是9.
③如果划去 59 319 后面的三位 319 得到数59,
而 ,即 ,
可得 ,
由此能确定59 319 的立方根的十位上的数是3,
因此59 319的立方根是39.
（1）现在换一个数 ,按上述方法求立方根,请完成下列填空:
①它的立方根是____位数;
②它的立方根的个位数是___；
③46 656的立方根是____；
两
（2）求195 112的立方根.（过程可参考题干）
解：， ，
又 ，
,
能确定195 112的立方根是个两位数.
,
能确定 195 112的立方根的个位数是8.
划去 195 112后面的三位 112得到数 195.
,即 ，
,
能确定 195 112的立方根的十位上的数是5，
的立方根是58.
目
录
我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志
上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根.华罗庚脱口而出：
39.你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？请按照下面的
方法试一试：
①：/1000=10，V/1000000=100,
又1000<59319<1000000，
.10能确定59319的立方根是个两位数，
②93=729，
能确定59319的立方根的个位数是9.
③如果划去59319后面的三位319得到数59，
而V27可得30<59319<40，
由此能确定59319的立方根的十位上的数是3，
因此59319的立方根是39.
解：：√1000
/1000000
=100,
义1000<195112
1000000
10“.能确定195112的立方根是个两位数
:83=512,
.能确定195112的立方根的个位数是8。
划去195112后面的三位112得到数195.
:125<3/195<8V216,即5<195
.50<3√/195112<60，
。f
能确定15112的立方根的十位上的数是5，
.195112的立方根是58.(共8张PPT)
第八章 实数
课标新动向（情境创设） 挖掘教材中无理数的跨学
科融合
【概述】2022版新课标中加大了数学学科的跨学科融合，强调
“要探索命制问题解决及多学科融合类试题”.
1.交通警察通常根据汽车刹车后车轮划过的距离来估测车辆行驶
的速度，所依据的经验公式是，其中 表示车速
（单位：），表示刹车后车轮划过的距离（单位： ），
表示摩擦系数，在某次交通事故中调查测得， ，
若此路段限速 ，请通过计算判断肇事汽车是否超速？
（参考数据：， ）
解：当， 时，
.
，
肇事汽车超速.
2.如图，一根细线上端固定，下端系一个小重物，让这个小重物
来回自由摆动，来回摆动一次所用的时间（单位： ）与细线的
长度（单位：）之间满足关系 ，当细线的长度为
时，小重物来回摆动一次所用的时间是多少 （结果保留小
数点后一位）（参考数据：， ）
解：把代入关系式 ，得
.
答：小重物来回摆动一次所用的时间是 .
3.宇宙飞船离开轨道正常运行时，它的速度要大于第一宇宙速度
（单位：）小于第二宇宙速度（单位：），其中
的大小满足，其中 是物理中的一个常数（重力加速
度），，是地球半径， ，请你求
出 的近似值.
解：，， ，
，
答：的近似值为 .
4.用电器的电阻、功率与它两端的电压之间有关系 .有两
个外观完全相同的用电器，甲的电阻为18.4欧，乙的电阻为20.8
欧.现测得某用电器的功率为1 500瓦，两端电压在150伏至170伏
之间，该用电器到底是甲还是乙？
解：， ，
.
当时， ，
当时， .
, ,
该用电器是甲.(共9张PPT)
第八章 实数
核心素养专练
1.【运算能力、推理能力】（南京中考）整数 满足
，则 的值为( )
C
A.3 B.4 C.5 D.6
2.【运算能力、推理能力、创新意识】设的整数部分为 ，
小数部分为，则 的值是_____.
3.【运算能力、几何直观、推理能力】
将边长分别为1和2的长方形按如图所示
的方式剪开，拼成一个与长方形面积相
等的正方形，则该正方形的边长是____.
4.【数学文化】【运算能力、推理能力、应用意识】魔
方又叫魔术方块，也称鲁比克方块，最早是由匈牙利
布达佩斯建筑学院的厄尔诺·鲁比克教授在1974年发明
的.魔方与中国人发明的“华容道”、法国人发明的“独立钻石”一同
被称为智力游戏界的三大不可思议.如图所示的是一个4阶魔方，
又称“魔方的复仇”，由四层完全相同的64个小正方体组成，体积
为 .
（1）求组成这个魔方的小立方体的棱长.
解：组成这个魔方的小正方体的棱长为 .
（2）图中阴影部分是一个正方形，则该正方形的面积为____
，边长为_____ .
5.【跨学科融合】【运算能力、应用意识】经实验，
一个物体从高处自由下落时，下落距离 （米）和下
落时间（秒）可以用公式 来估计.
（1）一个物体从125米高的塔顶自由下落，落到地面需要几秒？
解：当 米时，
（秒）.
答：一个物体从125米高的塔顶自由下落，落到地面需要5秒.
（2）一个物体从高空某处落到地面用了2秒，问物体下落前离地
面多少米？
解：当秒时， ，
，解得 .
答：物体下落前离地面20米.
6.【推理能力】定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数
称为有理数，整数可以看作分母为1的有理数；反之为无理数.因
为不能表示为两个互质的整数的商，所以 是无理数.
可以这样证明：
设，与是互质的两个整数，且，则 ，
.因为是整数且不为0，所以 是不为0的偶数，设
，（是整数），所以，所以也是偶数，与 ，
是互质的整数矛盾.所以 是无理数.
仔细阅读上文，证明： 是无理数.
证明：设，与是互质的两个整数，且.则 ，
.
是整数且不为0，
不为0且为5的倍数，设，（ 是整数），
，也为5的倍数，这与， 是互质的整数矛盾.
是无理数.(共18张PPT)
第八章 实数
8.3 实数及其简单运算
第2课时 实数的简单运算
基础 分点训练
中档 提分训练
拓展 素养训练
知识点1 实数的相关概念
1.实数 的相反数是( )
B
A. B. C. D.
2.（遂宁中考） 的值为( )
B
A. B. C. D.2
3.计算：| ________.
4.在数轴上，表示 的点与原点的距离是____，与原点的距离
是 的点所表示的实数是______.
5.如图，在数轴上，点表示，点与点 位于原点的两侧，且
与原点的距离相等.则点 表示的数是______.
6.求下列各数的相反数和绝对值：
（1） ；
解：的相反数是，的绝对值是 .
（2） ；
解：的相反数是，的绝对值是 .
（3） ；
解：的相反数是，的绝对值是 .
（4） .
解：的相反数是，的绝对值是 ．
7.求下列各式中的实数 ．
（1） ；
解： .
（2） ；
解： .
（3） .
解： .
知识点2 实数的简单运算
8.下列运算正确的是( )
D
A. B.
C. D.
9.计算 的结果是_____.
10.计算：
（1） ；
解：原式 .
（2） ；
解：原式 .
（3） ；
解：原式 .
（4） .
解：原式
.
11.计算：
（1）（精确到 ）；
解：原式 .
（2） （保留两位小数）.
解：原式 .
12.下列各组数中互为相反数的是( )
B
A.5和 B.和
C.和 D.和
13.若取，则计算 的结果是( )
B
A. B. C.144.2 D.
14.在如图所示的数轴上，，，两点对应的实数是
和，则线段 的长为_________.
15.计算：
（1） ；
解：原式
.
（2） ；
解：原式
.
（3） .
解：原式
.
16.已知实数，，，，，，其中，互为倒数，， 互为
相反数，的绝对值为， 的算术平方根是8，求
的值.
解：由题意，得，，， ，
， .
.
17.【新中考·新运算型阅读理解题】
（1）定义新运算：对于任意实数， ，都有
，如：.求 的
值；
解：
.
（2）请你定义一种新运算，使得实数和 在你定义的新
运算下结果为20，写出你定义的新运算，并写出计算过程.
解：答案不唯一.定义新运算：对于任意实数, ,都有
.
.(共11张PPT)
第八章 实数
易错易混专练
易错点1 平方根中遗漏负根
1.4的平方根是( )
C
A.2 B. C. D.16
2.若是9的平方根，则 ________.
或
易错点2 混淆与 的平方根
3.实数 的平方根是( )
B
A. B. C. D.3
4. 的平方根是( )
A
A. B. C. D.
5.下列说法或等式中，正确的有( )
； ；
的平方根是 ；
的算术平方根是 ；
是 的平方根.
A
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
易错点3 误将带分数的整数部分和分数部分分别求算术平方根
6. 的值是__.
易错点4 搞不清求哪个数的立方根
7. 的立方根是( )
C
A.8 B.4 C.2 D.16
易错点5 忽视被开方数的意义
8.下列判断：
的平方根是0.5；
②只有正数才有平方根；
的平方根是 ；
是 的一个平方根.
其中正确的有( )
A
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
9.已知与互为相反数，则 __.
易错点6 乱用运算律
10.下列运算中，错误的有( )
；
；
；
.
C
A.①② B.③④ C.①②③ D.②③④
易错点7 认为负数没有立方根
11.当取__________时， 有意义.
任意实数
易错点8 不能正确理解一一对应的含义
12.下列语句正确的是( )
B
A.有理数和数轴上的点一一对应
B.无理数都可以用数轴上的点表示
C.数轴上的点所表示的数不是正实数就是负实数
D.数轴上的点只表示有理数(共17张PPT)
第八章 实数
8.1 平方根
第1课时 平方根
基础 分点训练
中档 提分训练
拓展 素养训练
知识点 平方根的概念与开平方运算
1.（2024·内江）16的平方根是( )
D
A.2 B. C.4 D.
2.“的平方根是 ”的数学表达式是( )
D
A. B. C. D.
3.下面说法中不正确的是( )
B
A.0的平方根是0 B.25的平方根是5
C.5是25的一个平方根 D.的平方根是
4.下列各数中，没有平方根的是( )
D
A. B.0 C. D.
5.下列说法正确的是( )
D
A.任何非负数都有两个平方根
B.一个正数的平方根仍然是正数
C.只有正数才有平方根
D.负数没有平方根
6.如果一个数的平方根是 ，那么这个数是____.
7.（1）若12是的一个平方根，则 的另一个平方根是______.
（2）若一个正数的两个平方根分别为，，则___，
_____.
8.（教材P40例1变式）求下列各数的平方根：
（1）121；
解：因为 ，
所以121的平方根是 .
（2）0.81;
解：因为 ，
所以0.81的平方根是 .
（3） .
解：因为 ,
所以的平方根是 .
9.（教材P41例2变式）下列各数是否有平方根？如果有，求出它
的平方根；如果没有，说明理由.
（1） ；
解： .
（2） ;
解：没有平方根，理由如下： 是负数.
（3） .
解：没有平方根，理由如下： 是负数.
10.下列命题：①只有正数才有平方根； 是4的一个平方
根；的平方根是；是3的平方根； 的平方
根是；的平方根是 .其中正确的命题是( )
D
A.①②③ B.③④⑤ C.③④⑥ D.②④
11.若是的一个平方根，则 的值是( )
D
A. B.1 C. D.8
12.一个正数的两个平方根分别为和 ，则这个正数为
( )
D
A.7 B.10 C. D.100
13.【分类讨论思想】若是4的平方根，则 _________.
或
14.（教材P42练习T3变式）求下列各式中 的值：
（1） ；
解： ，
.
因为 ，
所以 .
（2） .
解： ，
.
因为 ,
所以 .
所以或 .
15.已知的平方根是，的平方根是 ，求
的平方根.
解：因为的平方根是 ，
所以,解得 .
因为的平方根是 ，
所以 ,
所以，解得 .
所以 .
所以的平方根为 .
16.【应用意识】若整数，，满足，则称为，
的平方和数.
例如： ，则5为3，4的平方和数.
请你根据以上材料回答下列问题（以下每一横线上填一个数字）
（1）数3，4的另一个平方和数为_____；
（2）5还可以是数___，___的平方和数；
（3）若数与的平方和数是0，则_____， ___；
（4）已知13是数与12的平方和数，求 的值.
解：因为13是数 与12的平方和数，
所以 ，
整理，得 ，
因为 ,
所以 ,
所以 或6.(共19张PPT)
第八章 实数
8.3 实数及其简单运算
第1课时 实数的概念与大小比较
基础 分点训练
中档 提分训练
拓展 素养训练
知识点1 无理数的概念
1.（2024·眉山）下列四个数中，无理数是( )
D
A. B. C. D.
2.下列说法中，正确的是( )
D
A.有理数是有限小数 B.无理数可以写成分数的形式
C.无理数是无限循环小数 D.无限不循环小数是无理数
3.（武汉中考）写出一个小于4的正无理数是___________________.
（答案不唯一）
知识点2 实数的分类
4.下列说法正确的是( )
D
A.实数包括有理数、无理数和零
B.有理数包括正有理数和负有理数
C.无限不循环小数和无限循环小数都是无理数
D.无论是有理数还是无理数都是实数
5.在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中．
，，，，，0，， ，
（小数部分由相继的正整数组
成）.
（1）有理数集合：{_ _______________________________}；
，，，0，，
（2）无理数集合：{______________________________________
________________________________________________________
________}；
，， ，
（小数部分由相继的正整数组
成），
（3）正实数集合：{_ ________________________}；
，，，，
（4）负实数集合：{______________________________________
________________________________________________________
________}．
，， ，
（小数部分由相继的正整数组
成），
知识点3 实数与数轴上的点及实数的大小比较
6.（2024·巴中）在0，1，， 中最小的实数是( )
B
A.0 B. C.1 D.
7.实数， 在数轴上的位置如图所示，则下列结论中，错误的是
( )
D
A. B.
C.可能是无理数 D. 一定是有理数
8.如图，，，，是数轴上的点，那么 在数轴上对应的点
可能是( )
C
A.点 B.点 C.点 D.点
易错点 对无理数的判断有误
9.下列说法正确的是( )
D
A.是分数 B. 是无理数
C.是有理数 D. 是有理数
10.有一个数值转换器，原理如下．当输入为4时，输出 是
( )
C
A.4 B.2 C. D.
11.（教材P53思考变式）如图，圆的直径为1个单位长度，该圆
上的点与数轴上表示的点重合，将该圆沿数轴滚动1周，点
到达点的位置，则点 表示的数是( )
D
A.
B.
C.
D.或
12.有六个数：，，，， ，
（相邻的两个2之间依次多一个0）.若其中无
理数的个数为，非负数的个数为，则 ___.
13.在数轴上近似地表示下列各数，并把它们按从小到大的顺序
排列，用“ ”连接.
0， ，，，，，
解：在数轴上表示各数如图所示.
按从小到大的顺序排列为
.
14.如图，已知在数轴上有点和点两个点，点和点 之间表示
整数的点有多少个，并请列出．
解：, ，
点和点之间表示整数的点有4个，分别是 ，0，1，2．
15.【新中考·解题方法型阅读理解】阅读下面的文字，解答问题：
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的
小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示
的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理的，易知 的整数部分是1，
将 减去其整数部分，差就是小数部分．
例如：，即 ，
的整数部分为2，小数部分为 ．
根据上述材料，回答下列问题：
（1） 的整数部分是___，小数部分是_________；
（2）如果的小数部分为，的整数部分为 ，求
的值.
解：，即 ，
的小数部分 .
，即 ，
的整数部分 ，
.(共20张PPT)
第八章 实数
章末复习 实数
复习点1 平方根、算术平方根、立方根
1. 的算术平方根是( )
A
A.3 B.9 C. D.
2.下列各式中，正确的是( )
C
A. B.
C. D.
3.下列说法中正确的是( )
B
A.的平方根是
B.算术平方根等于本身的数有0和1
C.的立方根是
D. 一定没有平方根
4.（威海中考）面积为9的正方形，其边长等于( )
B
A.9的平方根 B.9的算术平方根
C.9的立方根 D. 的算术平方根
5.如果一个正数的平方根分别是和 ，那么这个正数
是( )
B
A.441 B.49 C.7或21 D.49或441
6.（2024·上海）已知，则 ___.
7.比较大小：
（1）___ ;
（2）___ .
8.已知的立方根是3，的算术平方根是2，是 的整
数部分.
（1）求，， 的值；
解：的立方根是3， 的算术平方根是2,
，，解得， .
，是的整数部分， .
（2）求 的平方根.
解：由（1），知，， ，
.
的平方根为 .
9.【新考向·情境素材】竹编工艺是国家级非物质文
化遗产之一,其以独特的材质、精湛的工艺和耐久、
环保的特点,深受人们的喜爱,如图是一只容积为
的近似圆柱形竹编,它的高是底面半径的1.5倍,
现准备将其进行改造（形状不变）,以盛放更多的物品,为使其容
积达到,底面半径应增加多少 （ 取3）
解:设原圆柱形竹编的底面半径为 ,则其高为
,改造后圆柱形竹编的底面半径为 ,则其高为
.
依题意,得 , ,
所以, .
因为 ，
所以为使其容积达到,底面半径应增加 .
复习点2 实数的相关概念、性质及分类
10.（2024·烟台）下列实数中的无理数是( )
C
A. B.3.14 C. D.
11.（黄石中考） 的绝对值是( )
B
A. B. C. D.
12.下列各组数中互为相反数的是( )
B
A.与 B.与
C.5与 D.与
13.若,互为相反数，为8的立方根，则 _____.
14.把下列各数填入相应的集合中：，，7，0， ，
， （相邻的两个1之间依次多一个2），
， .
无理数集合：｛________________________…｝;
负有理数集合：｛______________…｝;
整数集合：｛____________…｝；
分数集合：｛_______________…｝.
, ,
,
，7,
,
复习点3 无理数的估算及实数比较大小
15.（恩施州中考）下列实数：，0，， ，其中最小的是
( )
A
A. B.0 C. D.
16.（潍坊中考）实数，， 在数轴上对应的点如图所示，下列
判断正确的是( )
C
A. B.
C. D.
17.若，，则 ( )
B
A.50.36 B.503.6 C.5 036 D.50 360
18.（2024·安徽）我国古代数学家张衡将圆周率取值为 ，祖
冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为 .比较大小：
___（填“ ”或“ ”）.
复习点4 实数的运算
19.下列各式计算正确的是( )
D
A. B.
C. D.
20.计算：
（1）（2024·日照） ___;
（2）（2024·包头） ___.
21.计算：
（1） ;
解：原式 .
（2） ;
解：原式
.
（3） .
解：原式 .
22.【新课标·阅读理解】阅读下列解题过程：
；
；
；
……
（1）计算： __；
（2）按照你所发现的规律，猜想： ____
（ 为正整数）；
（3）计算：
解：原式 .(共24张PPT)
第八章 实数
8.1 平方根
第2课时 算术平方根及其应用
基础 分点训练
中档 提分训练
拓展 素养训练
知识点1 算术平方根的概念及计算
1.36的算术平方根是( )
C
A. B. C.6 D.
2.（广西中考） ___．
3.若是16的算术平方根，则___；若 的算术平方根是16，则
______.
4.（教材P43练习T1变式）求下列各数的算术平方根：
（1）0.36；
解：因为 ，
所以0.36的算术平方根是，即 .
（2） ；
解：因为 ，
所以的算术平方根是，即 .
（3）121；
解：因为 ，
所以121的算术平方根是11，即 .
（4） .
解：的算术平方根是7，即 .
5.求下列各式的值：
（1） ；
解：因为 ，
所以 .
（2） ；
解：因为 ，
所以 .
（3） .
解：因为 ，
所以 .
知识点2 算术平方根的应用
6.（2024·广东）完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方
形的边长是( )
B
A.2 B.5 C.10 D.20
7.某小区有一块长，宽 的长方形草坪，计划在草坪面积
不变的情况下，把它改造成正方形草坪，则这个正方形草坪的边
长为____ .
知识点3 平方根与算术平方根的关系
8.若一个数的算术平方根是 ，则这个数的平方根是_______.
9.求下列各数的平方根与算术平方根：
（1）25;
解：25的平方根是 ，算术平方根是5.
（2）0；
解：0的平方根是0，算术平方根是0.
（3） .
解：的平方根是，算术平方根是 .
10. 的算术平方根一定是( )
B
A. B. C. D.
11.小明房间的面积为 ，房间地面恰由120块相同的正方形
地砖铺成，每块地砖的边长是( )
A
A. B. C. D.
12.下列说法：①任何数都有算术平方根；②若一个数的算术平
方根等于它本身，则这个数一定是1； 的算术平方根是
；④算术平方根不可能是负数，其中不正确的有___个.
13.求下列各式的值：
（1） ；
解：原式 .
（2） ；
解：原式 .
（3） ；
解：原式 .
（4） .
解：原式 .
14.已知，，是9的平方根，求 的算术
平方根.
解：， .
， .
是9的平方根，或 .
当时， .
的算术平方根是 ；
当时， .
的算术平方根是 .
综上所述，的算术平方根是或 .
图1
15.【动手实践】 如图1，现有1个边长
为2的小正方形纸片和5个边长为1的小正
方形纸片，图2是由边长为1的小正方形
组成的网格.
图2
利用现有的小正方形纸片能否拼接成一个大正方
形（无缝隙、不重叠），若可以，在图2中画出拼
接成的大正方形，并算出大正方形的边长；若不
能，说明理由；
解图
解：能拼接成一个大正方形.
边长为2的正方形的面积为4，5个边长为1的正
方形的面积之和为5，
所拼接成的大正方形的面积为 ，
所拼接成的大正方形的边长为3，画出图形如解图所示.
【解决问题】 某小区有一块长方形草坪.为了防止踩踏，物业准
备用篱笆沿草坪边缘将其围起来.已知该长方形草坪的长是宽的4
倍，草坪的面积是 ，求所需篱笆的总长度.
解：设长方形草坪的宽为，则长方形草坪的长为 ，
根据题意，得 ，
， ,
,不合题意，舍去，
长方形草坪的宽为，长为 .
所需篱笆的总长度为 .
答：所需篱笆的总长度为 .
算术平方根的非负性
【方法指导】（1）算术平方根是一个非负数；（2）算术平方根
的被开方数是一个非负数；（3）若几个非负数的和等于0，则这
几个非负数都等于0；（4）常见的非负数：平方，绝对值，算术
平方根.
1.如果，则_____， ___.
2.（2024·成都）若，为实数，且 ，则
的值为___.
3.若，则 ___．
4.已知，，满足 ，求
的算术平方根.
解：， ，
，.解得，， .则
,
的算术平方根是 .(共13张PPT)
第八章 实数
8.2 立方根
第2课时 与立方根的估算
基础 分点训练
中档 提分训练
知识点与
1.下列计算正确的是( )
B
A. B.
C. D.
2.下列说法正确的是( )
D
A.一个数的立方根有两个，它们互为相反数
B.一个数的立方根比这个数的平方根小
C.如果一个数有立方根，那么它一定有平方根
D.与 互为相反数
3.求下列各式的值：
（1） ；
解： .
（2） ；
解： .
（3） ；
解： .
（4） .
解：- .
知识点2 用计算器求立方根与估算
4.若满足，则下列整数中与 最接近的是( )
B
A.3 B.4 C.5 D.6
5.实数介于和之间（为整数），则 的值为( )
D
A.1 B.2 C.3 D.4
6.用计算器计算：（精确到 ）
（1） ；
解：原式 .
（2） ；
解:原式 .
（3） ；
解：原式 .
（4） .
解：原式 .
7.若，，，则，， 的大小关系为( )
C
A. B. C. D.
8.（1）填表：
0.000001 0.001 1 1000 1000000
______ _____ ___ ____ ______
（2）根据上表，你能发现什么规律 请用语言叙述这个规律：___
________________________________________________________
________________________________.
被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，立方根的小数点就相应地向左（或向右）移动一位
（3）根据你发现的规律填空：
①已知： ,， ，则
_________； _________；
__________；
②已知： ,则 _______.
9.已知，求 的值.
解： ，
和 互为相反数，
与互为相反数，即 ，
， .(共16张PPT)
第八章 实数
8.2 立方根
第1课时 立方根
基础 分点训练
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拓展 素养训练
知识点1 立方根
1.（嘉兴中考） 的立方根是( )
A
A. B.2 C. D.不存在
2.若一个数的立方根是 ，则该数为( )
B
A. B. C. D.
3.下列说法中，不正确的是( )
D
A.0.064的立方根是0.4 B.1的立方根是1
C.0的立方根是0 D.125的立方根是
4.0.008的立方根是_____； 是______的立方根．
5.有以下四个说法：①因为，所以是 的立方根；
②因为 ，所以64是4的立方根；③求2的立方与将8开立方
互为逆运算；④求8的立方与将8开方互为逆运算.其中正确的是
______（填序号）.
①③
6.（教材P49例1变式）求下列各数的立方根：
（1） ；
解：因为 ，
所以的立方根是，即 .
（2）0.001；
解：因为 ，
所以0.001的立方根是，即 .
（3） ；
解：因为 ，
所以的立方根是,即 .
（4） ；
解：因为 ，
所以的立方根是,即 .
（5）0.512；
解：因为 ，
所以0.512的立方根是，即 .
（6） ．
解：因为， ，
所以的立方根是，即 .
知识点2 立方根的实际应用
7.已知大正方体的体积为 ，小正方体的体积为
，将它们叠放在一起（如图所示），则最高点
到地面的距离是多少？
解：因为大正方体的体积为，小正方体的体积为 ，
所以大立方体的棱长为 ，小立方体的棱长为
.所以最高点到地面的距离是 .
知识点3 立方根与平方根的区别
8.下列结论正确的是( )
D
A.64的立方根是 B. 没有立方根
C.负数有平方根和立方根 D.
9.（1）立方根等于本身的数为___________；
（2）已知，则 _____.
，1和
10.若一个数的立方根是4，那么这个数的平方根是( )
D
A.4 B. C.8 D.
11.【分类讨论思想】若，，则 的值
为( )
D
A.0 B. C.0或10 D.0或
12.求下列各式中 的值：
（1） ;
解： .
.
.
（2） .
解： .
.
.
13.（教材P49练习T3变式）如图，有一个长方体水池的长、
宽、高之比为，其体积为 .求长方体水池
的长、宽、高为多少？
解：设长方体水池的长、宽、高分别为，， ，
根据题意，得
.
.
.解得 .
, .
答：长方体水池的长、宽、高分别为，， .
14.对于结论：当时，也成立．若将看成
的立方根，看成 的立方根，由此得出这样的结论：“如果两个
数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”.
（1）举一个具体的例子来验证上述结论成立；
解：举例不唯一，如2是8的立方根，是的立方根，2与
互为相反数，8与 互为相反数，所以“如果两个数的立方根互
为相反数，那么这两个数也互为相反数”成立.
（2）若与互为相反数，求 的立方根．
解：由（1）验证的结论，知 ，
解得 .
．
的立方根为 ．(共18张PPT)
第八章 实数
8.1 平方根
第3课时 用计算器求一个正数的算术平方根及估算
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拓展 素养训练
知识点1 用计算器求一个正数的算术平方根
1.在计算器上按键 显示的结果是( )
C
A.2 B. C.4 D.
2.用计算器求下列各式的值：
（1） ____；
（2） _______（精确到0.01）；
（3） _______（精确到0.01）.
知识点2 估算及比较大小
3.（2024·天津）估计 的值在( )
C
A.1和2之间 B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间
【变式1】 （江苏南通中考）如图，数轴上，，，， 五
个点分别表示数1，2，3，4，5，则表示数 的点应在( )
C
A.线段上 B.线段上 C.线段上 D.线段 上
【变式2】 （2024·资阳）若，则整数 的值为
( )
B
A.2 B.3 C.4 D.5
【变式3】 下列四个数中，与 最接近的整数是( )
B
A.4 B.5 C.6 D.7
4.在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量.已
知某微观粒子的能量可以用公式表示，当 ，
时，该微观粒子的能量 的值为( )
C
A.1和2之间 B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间
5.比较下列各组数的大小：
（1）与 ；
解： .
（2）与 ；
解：- .
（3）5与 ；
解： .
（4） 与1.5.
解： .
6.（教材P45例5变式）张明想用一块面积为 的正方形纸
片，沿着边的方向裁出一块面积为 的长方形纸片，使它
的长与宽之比为 ，他能否实现这一想法？请说明理由.
解：不能实现.理由如下：
设长方形的长为，宽为 ，根据题意，得
.
解得 （负值已舍去）.
所以长方形纸片的长为 .
因为,所以,由上可知 即长方形纸片的
长应该大于 .
因为，所以正方形纸片的边长只有 ，这样，长
方形纸片的长将大于正方形纸片的边长.所以张明的想法不能实现.
知识点3 算术平方根的规律
7.（1）观察发现：
… 0.0001 0.01 1 100 10000 …
… 0.01 1 100 …
表格中_____， ____.
（2）归纳总结：
被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点
就向____移动___位.
右
（3）规律运用：
①已知，则 ______；
②已知，，则 ____.
8.（2024·韶关期末）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一
个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是( )
A
A.4 B.5 C.6 D.7
9.若，为两个连续整数，且，则 ___.
10.为了培养学生的爱国主义情怀，激发青少年报
效祖国、奉献社会、服务人民的责任心和使命感，
市教育局举办了以“铭记历史，继往开来”为主题
的活动.活动内容便是通过制作贺卡收集具有爱国主义情怀的故
事.各学校积极响应组织开展手工绘制精美贺卡活动.小芳制作了
一张面积为 的正方形贺卡.现有一个长方形信封如图所示，
长、宽之比为，面积为 ，小芳能将这张贺卡不折叠就
放入此信封吗？请通过计算说明你的判断.
解：能.理由如下：
设长方形信封的长为，宽为 ，根据题意，得
，解得 （负值已舍去）.
长方形信封的宽为 .
， .
面积为的正方形贺卡的边长是 ，
信封的宽大于正方形贺卡的边长.
小芳能将这张贺卡不折叠就放入此信封.
11.【注重阅读理解】观察：
，即 ，
的整数部分为2，小数部分为 .
请你观察上述式子规律后解决下面问题.
（1）规定用符号表示实数的整数部分，例如： ，
.
填空：___； ___；
（2）若的小数部分为，的小数部分为 ，则
_________， _________.(共7张PPT)
第八章 实数
专题训练（五） 实数与数轴
1.如图，数轴上点，，，分别对应实数，，， ，下列
各式的值最小的是( )
C
A. B. C. D.
2.如图，以的长为半径画弧，与负半轴相交于点，则点 所
表示的数为( )
A
A. B. C. D.
3.实数，， 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结
论是( )
B
A. B. C. D.
4.（2024·北京）实数， 在数轴上的对应点的位置如图所示，
下列结论中正确的是( )
C
A. B. C. D.
5.如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点 ，
点表示，设点所表示的数为 ．
（1）实数 的值是________；
（2）求 的值；
解：，则， ，
,
的值为2．
（3）在数轴上还有，两点分别表示实数和，且有
与互为相反数，求 的平方根．
解：与 互为相反数，
，
，且 ．
解得，或， ．
当， 时，
，无平方根．
当， 时，
，且16的平方根是 .
的平方根为 ．
6.实数，， 在数轴上的位置如图所示.
（1）用“ ”或“ ”填空： ___0，
___0， ___0；
（2）化简： ．
解：，， ，
原式
．
目
录
2
O
-2B-1
0
1
解：2c+dI与V-16互为相反数，
|2c+d+√d2-16=
.|2c+d=0,且Vd2-16
=0
解得c=一2，d=4或c=2,
当c=-2,d=4时，
2c一3d=-16,无平方根
当c=2,
d=-4时，
2c一3d=16,且16的平方根是士4
.2c一3d的平方根为士4.
解：'c-b>0,a十b<0,a一c<0,
原式=c-b-2(a+b+(a-c)
=c-b-2a-2b+a-c
=-a-3b.(共12张PPT)
第八章 实数
教材回归（三） 与算术平方根和立方根有关的探究
题（针对教材P44和P50）
教材母题（ 探究）
（1）用计算器计算下表中的算术平方根，并将计算结果填在表
中，你发现了什么规律
… …
……
解：
… …
… 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 …
从表中可以发现:被开方数的小数点每向右（或向左）移动两位,
其算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位.
（2）用计算器计算 （结果保留小数点后三位），并利用你在
（1）中发现的规律求出，， 的近似值，你能
根据的值求出 的近似值吗
解：,根据（1）中发现的规律可知,
,;根据的值不能求出 的近
似值.
1.已知
（1）从已知中你发现了什么规律？
解：被开方数的小数点每向右（或向左）移动两位,其算术平方
根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位.
（2）求 的值；
解： ，
.
（3）若，求 的值；
解： ，
, .
（4）若，求 的值.
解： ，
，
.
教材母题（ 探究）
用计算器计算 ，，，， ，
， 你能发现什么规律？用计算器计算 （结果保留小数点
后三位），并利用你发现的规律求出，，
的近似值.
解：, ,
, .
发现规律：被开方数的小数点每向右（或向左）移动三位,立方
根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位.
因为,所以, ,
.
2.（1）填表：
0.001 1 1 000 1 000 000
_____ ___ ____ ______
（2）由上表你发现了什么规律？用语言叙述这个规律.
解：被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小
数点向右或者向左移动1位.
（3）根据你发现的规律填空：
①已知，则 _________，
②已知 ，
则 _______；
（4）用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积为0.456立方米，
问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.1平方米）
解：设正方体的棱长是 米，
则 .
需要铁皮的面积为 （平方米）.
