(共22张PPT)
第七章 相交线与平行线
7.2 平行线
7.2.3 平行线的性质
第2课时 平行线的性质与判定的综合运用
基础 分点训练
中档 提分训练
拓展 素养训练
知识点 平行线的性质与判定的综合运用
1.（金华中考）如图，已知
，则 的度数是( )
C
A. B. C. D.
2.如图，下列判断中正确的是( )
B
A.若 ，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
3.某同学的作业如下框，其中 处填的依据是( )
如图，已知直线，，，.若，则 .
请完成下面的说理过程.
解：已知 ，
依据（内错角相等，两直线平行），得 .
再依据，得 .
A.两直线平行，内错角相等
B.内错角相等，两直线平行
C.两直线平行，同位角相等
D.两直线平行，同旁内角互补
√
4.【新考向·情境素材】如图，这是某次考古发掘出
的一块四边形残缺玉片，工作人员从玉片上已经量
得 .已知 ，则此玉片残
缺角 的度数为( )
C
A. B. C. D.
5.如图，， ．说明：
．请将说明过程填写完整．
解： （已知），
____（ ________________________）．
又 （已知），
两直线平行，同位角相等
等式的基本事实
内错角相等，两直线平行
两直线平行，同旁内角互补
____（ ________________），
__________（ ________________________），
（__________________________）．
6.如图，在四边形中，， .
（1）求 的度数；
解：， .
， .
（2）若平分交于点， .试说明：
.
解：平分， .
， .
，
， .
7.如图，，平分， 平分
，且，下列结论： 平分
； ；
D
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
； ，其中正确的个数是
( )
8.将一副三角板按如图所示的方式放置，
其中 ， ，
，则 的度数为( )
C
A. B. C. D.
9.如图，， .
（1）试说明: ;
解： ，
， .
，
， ．
（2）如果， ，求 的度数．
解：， ，
.
， ，
．
．
10.【新考向·情境素材】国家倡导绿色出行，冰冰的爸爸给她买
了一辆单车.图1是单车放在水平地面上的实物图，图2是其示意
图，其中，都与地面平行， ， ，
当的度数是多少时，与 平行.
解：，都与地面 平行，
，
，
即 .
， ，
.
当 时， .
11.从特殊到一般是数学研究的常用方法，有助于我们发现规律，
探索问题的解．
（1）如图1，，点为， 之间的一点．试说明：
；
图1
解：如解图，过点作，则 .
解图
， ,
，
.
，
即 ．
（2）如图2，，点，，，为， 之间的四
点．则 ______；
图2
（3）如图3，，则
_____________．
图3(共10张PPT)
第七章 相交线与平行线
核心素养专练
1.【跨学科融合】【几何直观、推理能力】某些灯具的设计原理
与抛物线有关.如图，从点照射到抛物线上的光线， 经反
射后都沿着与平行的方向射出.若 ，
，求 的度数.
解： ，
.
.
，
.
2.【开放性试题】【几何直观、推理能力、创
新意识】一个跳棋棋盘如图所示，其游戏规
则是：一个棋子从某一个起始角开始，经过
若干步跳动以后，到达终点角.跳动时，每一
步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上.例如，从
起始角跳到终点角 ，其中两种不同路径如下：
路径 .
路径 .
试一试：
（1）写出从起始角跳到终点角 的一条路径；
解：答案不唯一，如： .
（2）从起始角 依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，
能否跳到终点角 ？
解：能.其路径为： .
图1
3.【几何直观、推理能力、创新意识】综合与实践
问题情境：
数学活动课上，老师展示了一个问题：如图1，直线
，直线分别交，于点，，点在直线
上，且在点的左侧，点在直线上，且在点的左侧， 是直线
上的一个动点（点不与点，重合）.当点在点， 之间运动
时，试猜想，与 之间的数量关系，并说明理由.
实践探究：
解图1
解： .理由如下：
如解图1，过点作，则 .
， .
.
.
独立思考：
（1）请解答老师提出的问题.
（2）如图2，当点运动到点上方时，试猜想， 与
之间的数量关系，并说明理由.
图2
解图2
解： .理由如下：
如解图2，过点作 ，
则 .
， .
.
（3）如图3，当点运动到点下方时，请直接写出 ，
与 之间的数量关系.
图3
解： .(共7张PPT)
第七章 相交线与平行线
教材回归（二） 利用平行线的性质或判定解决实际
问题
（针对教材P38复习题）
教材母题（教材P38复习题 ）
一张台球桌的桌面如图所示，一个球从
桌面上的点滚向桌边，碰着 上的
点后便反弹而滚向桌边，碰着 上
的点便反弹而滚向点.已知，，， 都是直线，
且的平分线垂直于，的平分线垂直于 ，
那么，球经过两次反弹后所滚的路径 是否平行于原来的路径
？
解：球经过两次反弹后所滚的路径平行于原来的路径 ．理
由如下：
，的平分线垂直于，的平分线
垂直于 ，
， .
又， ，
，
．
1.如图，两面平面镜，形成，从上一点 射出的一
条光线经上一点反射后的光线恰好与 平行，已知
，，则 的度数是( )
C
A. B. C. D.
2.如图，某人骑自行车自沿正东方向前进，至处后，右拐
行驶，若行驶到处仍按正东方向行驶，则他在 处应该( )
A
A.左拐 B.右拐 C.左拐 D.右拐
3.如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托
架，其主要作用是动力传输.如图2是手动变速箱托架工作时某一
时刻的示意图，已知，， ，
，则 的度数为______.
4.【新考向·情境素材】为响应国家新
能源建设，公交站亭装上了太阳能电
池板.当地某一季节的太阳光
（平行光线）与水平线的最大夹角为 ，如图，电池板 与
最大夹角时刻的太阳光线互相垂直，此时电池板 与水平线的
夹角为 ，要使，需将电池板 逆时针旋转
度，则 ____.(共19张PPT)
第七章 相交线与平行线
7.1 相交线
7.1.3 两条直线被第三条直线所截
基础 分点训练
中档 提分训练
拓展 素养训练
知识点1 认识同位角、内错角、同旁内角
1.如图，直线,被直线所截，则与 是( )
A
A.同位角 B.内错角 C.同旁内角 D.邻补角
2.（贵阳中考）如图， 的内错角是( )
D
A. B. C. D.
3.（贺州中考）如图，下列两个角是同旁内角的是( )
B
A.与 B.与 C.与 D.与
4.如图，直线，被直线 所截，下列说法不正确的是( )
D
A.与是同位角 B.与 是同旁内角
C.与是对顶角 D.与 是内错角
5.如图，直线，被直线和所截，则 的同位角是___，
的内错角是____.
6.（教材P9习题变式）如图,和, 和
,和 各是哪两条直线被哪一条直线所截
而形成的？它们各是什么位置关系的角
解：和是直线,被直线 所截形成
的内错角；和是直线,被直线 所截形成的同位角；
和是直线,被直线 所截形成的同旁内角.
知识点2 “三线八角”之间的关系
7.如图，若，则在和； 和
；和；和 中，相等的有( )
C
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
8.如图，直线与的边 相交．
（1）写出图中的同位角、内错角和同旁内角；
解：与是同位角；与是内错角；与 是同旁内角．
（2）如果，那么与相等吗？与 互补吗？为什么？
解：与相等，与 互补．理由如下：
因为，， ，
所以， ,
即与相等，与 互补.
易错点 忽视截线导致找错位置角
9.下列图形中，和 的位置关系不属于同位角的是( )
D
A. B. C. D.
10.【新考向·情境素材】数学课上老师用双手形象的表示了“三线
八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截
线）.从左至右依次表示( )
D
A.同旁内角、同位角、内错角 B.同位角、内错角、对顶角
C.对顶角、同位角、同旁内角 D.同位角、内错角、同旁内角
11.如图，下列说法中，错误的是( )
B
A.与 是同位角
B.与 是同位角
C.与 是内错角
D.与 是内错角
12.在如图所示的八个角中，请写出同位角有
哪些，内错角有哪些，同旁内角有哪些．
解：与，与，与 为同位角；
与，与，与，与 为内
错角；与，与，与，与 为同旁内角.
13.两条直线被第三条直线所截，是的同旁内角，是 的
内错角.
（1）画出示意图，标出，， ；
解：由题意，画出示意图如图所示.
（2）若，，求，， 的度数.
解：因为， ，
所以设，则, .
因为 ，
所以 .
解得 .
故 ， ，
.
14.【逻辑推理】
（1）如图1，两条水平的直线被一条倾斜的直线所截，同位角有
___对，内错角有___对，同旁内角有___对；
（2）如图2，三条水平的直线被一条倾斜的直线所
截，同位角有____对，内错角有___对，同旁内角有
___对；
（3）根据以上探究的结果，（ 为大于1的整数）
条水平的直线被一条倾斜的直线所截，同位角有___________对，
内错角有__________对，同旁内角有__________对.（用含 的式
子表示）(共22张PPT)
第七章 相交线与平行线
7.1 相交线
7.1.2 两条直线垂直
基础 分点训练
中档 提分训练
拓展 素养训练
知识点1 垂直的概念
1.如图，,若 ，则 的度数是( )
C
A. B. C. D.
2.如图，直线，相交于点 ，下列条件中，
不能说明 的是( )
C
A.
B.
C.
D.
3.（2024·北京）如图，直线和 相交于点
，.若 ，则 的大小
为( )
B
A. B. C. D.
4.如图，若,,则 .请说明理
由（补全解题过程）.
解：因为 ,
所以 _____（垂直的定义）.
所以 _____.
所以___ （垂直的定义）.
知识点2 垂线的画法
5.下列各图中，过直线外一点作 的垂线，三角尺摆放正确
的是( )
C
A. B. C. D.
6.（教材P5例2变式）如图，已知和一点，过点 分别画
两边的垂线.
解：如图所示.
知识点3 关于垂线的基本事实
7.如图，在一张透明的纸上画一条直线，在外任取一点 ，并折
出过点且与 垂直的直线.这样的直线能折出___条，依据是
_____________________________________________________.
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
知识点4 垂线段的定义及性质
8.下列说法正确的是( )
D
A.垂线段就是与已知直线相交的线段
B.垂线段就是垂直于已知直线的线段
C.垂线段就是一条竖起来的线段
D.过直线外一点向已知直线作垂线，这一点到垂足之间的线段叫
垂线段
9.如图，， ，线段,, 中最短的是 ( )
C
A. B. C. D.不能确定
知识点5 点到直线的距离
10.下列图形中，线段的长度表示点到直线 的距离的是
( )
C
A. B. C. D.
11.（教材P9习题 变式）“健康第一，从我做起！”如图是七年
级某班一名学生在测量跳远成绩的示意图，直线 是起跳线，则
需要测量的是( )
B
A.线段 B.线段 C.线段 D.线段
易错点 未给出图形，考虑不周全致错
12.直线与直线相交于点，过点作射线垂直于 ，已
知 ，则 ____________.
或
13.（河北中考）如图，在平面内作已知直线 的垂线，可作垂线
的条数有( )
D
A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条
14.如图，直线与直线相交于点 ，
，且，则 的
度数为( )
B
A. B. C. D.
15.点为直线外一点，点,,在直线上，若 ，
，，则点到直线 的距离是( )
C
A. B.小于 C.不大于 D.
16.如图，直线，相交于点， ．
（1） 的邻补角为________；
（2）若，判断与 的位置关系，并说明理由；
解： ．理由如下：
因为，所以 ，
所以 ．
又因为 ，
所以 ，即 ，
所以 ．
（3）若，求 的度数．
解：因为，所以 ．
因为， ，
所以 ．
题图
17.如图，点，点分别代表两个村庄，直线 代
表两个村庄中间的一条公路．根据居民出行的需
要，计划在公路 上的某处设置一个公交站．
（1）若考虑到村庄居住的老年人较多，计划建一个离村庄 最
近的车站，请在公路上画出车站的位置（用点 表示），依据是
____________；
解：如解图，点 即为所求．
垂线段最短
解图
题图
（2）若考虑到修路的费用问题，希望车站的位置到村庄 和村庄
的距离之和最小，请在公路上画出车站的位置（用点 表示），
依据是____________________．
解：如解图，点 即为所求．
两点之间，线段最短
解图
题图(共24张PPT)
第七章 相交线与平行线
7.3 定义、命题、定理
基础 分点训练
中档 提分训练
拓展 素养训练
知识点1 定义与命题的概念
1.（2024·平湖市期中）下列语句不是命题的是( )
D
A.对顶角相等
B.同旁内角互补
C.垂线段最短
D.在线段上取点，使
2.把下面的定义补充完整:
（1）规定了原点、正方向和__________的直线叫作数轴;
（2）使方程左、右两边的值______的未知数的值,叫作方程的解;
（3）直线外一点到这条直线的________的长度,叫作点到直线的
距离.
单位长度
相等
垂线段
知识点2 命题的组成
3.把命题“相等的角是对顶角”改写成“如果……那么……”的形式：
______________________________________.
如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
4.（教材P23练习T3变式）写出下列命题的题设和结论.
（1）同旁内角互补.
解：题设：两个角为同旁内角，
结论：这两个角互补.
（2）等角的余角相等.
解:题设：两个角相等，
结论：这两个角的余角相等.
（3）若，，则 .
解：题设：，，结论： .
知识点3 真命题与假命题
5.下列命题是真命题的是( )
D
A.若，则, B.若,则
C.大于直角的角是钝角 D.两直线平行，内错角相等
6.下列四个命题：①对顶角相等；②两个锐角的和一定是锐角；
③互补的角是邻补角；④两直线平行，同位角相等，其中是假命
题的有______.（填序号）
②③
7.把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并判断其真假.
（1）内错角相等；
解：如果两个角是内错角，那么这两个角相等，是假命题.
（2）钝角大于它的补角.
解：如果一个角是钝角，那么这个角大于它的补角，是真命题.
知识点4 定理与证明
8.下列说法错误的是( )
C
A.命题不一定是定理，定理一定是命题
B.定理不可能是假命题
C.真命题是定理
D.如果真命题的正确性是经过推理证实的，那么这样得到的真命
题就是定理
9.如图，用两个相同的三角板可以过点作出直线的平行线 ，
能解释其中道理的定理是( )
B
A.同位角相等，两直线平行
B.内错角相等，两直线平行
C.同旁内角互补，两直线平行
D.对顶角相等，两直线平行
10.（2024·浙江期中）能说明命题“一个钝角与一个锐角的差一
定是锐角”是假命题的反例是( )
D
A. ， B. ，
C. ， D. ，
11.（教材P23例题变式）命题：在同一平面内，垂直于同一条直
线的两条直线互相平行.
（1）请将此命题改写成“如果……那么……”的形式：_________
________________________________________________________
_____.
在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行
（2）下面给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写
出证明过程（注明理由）.
如图，已知直线 ，______.
求证： _______
证明：， （已知），
（垂直的定义）.
（同位角相等，两直线平行）.
12.如图，已知，平分，与 相
交于点，.求证 .
证明： （已知），
（________________________）.
平分 （已知），
（________________）.
（________________）.
（已知），
_____（________________）,
（________________________）.
两直线平行，同位角相等
角平分线的定义
等式的基本事实
等式的基本事实
内错角相等，两直线平行
13.对于下列假命题，各举一个反例写在横线上:
（1）“如果，那么 ”是一个假命题，反例：________
____________________；
（2）“如果，那么 ”是一个假命题，反例：_______
______________.
，
，
14.命题“两直线平行,内错角的平分线互相平行”是真命题吗？如
果是,请给出证明；如果不是,请举出反例.
解：是真命题,证明如下：
已知：如图，,,分别平分和 .
求证： .
证明：,分别平分和 ,
, .
,
.
,即 .
.
15.如图，是 的邻补角，请你从下面的三个条件中，
选出两个作为已知条件，另一个作为结论，得出一个真命题.
;;平分 .
（1）由上述条件可得哪几个真命题？请按“ ”的形式一
一书写出来；
解：由题中条件可得三种正确命题，分别是命题 ；
命题；命题 .
（2）请根据（1）中的真命题，选择一个进行证明.
解：答案不唯一.选择命题 .
证明： ,
, .
平分, ,
.
16.（1）如图，,， ,试
说明 ;
解：, .
又 ,
.
.
, .
（2）若把（1）中的题设中的“”与结论“ ”对调，
所得命题是不是真命题？试说明理由；
解：是真命题.理由如下：
,, ,
.
又，, .
（3）若把（1）中的题设中的“”与结论“ ”对调，
所得命题是不是真命题？试说明理由.
解：是真命题.理由如下：
, ,
, .
,, .(共7张PPT)
第七章 相交线与平行线
数学活动 你有多少种画平行线的方法
活动1 你有多少种画平行线的方法
1.学行线后，李明同学想出了“过直线外一点画这条直线的
平行线”的方法，具体步骤如图所示.
图1
图2
图3
图4
根据作图步骤，得到 的依据是________________________.
同位角相等，两直线平行
2.王芳同学想出了“过直线外一点画这条直线的平行线”的新方法，
她是这样做的，如图所示.
图1
图2
图3
图4
根据以上信息，写出每一步的具体作法及 的依据.
第一步，_____________________________________________；
第二步，________________________________________________
___________________；
第三步，___________________________.
的依据是__________________________________________
___.
沿点所在直线折叠,使点落在直线上,折痕为
把纸片展平,继续沿点所在直线折叠,使点落在折痕上,此时折痕为
把纸片展平,沿折痕画直线
在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行
3.如图，已知四边形纸片 ，按如图所示的折纸方法，能折
出经过点且平行于 的折痕吗？说说你的理由.
解：能折出经过点且平行于 的折痕.理由如下：由第2张图，
折出了经过点且垂直于的直线.第3张图折出了经过点 且垂
直于第2张图折出的折痕的直线.这样由“同一平面内，垂直于同
一条直线的两条直线平行”可知，折出的经过点 的那条直线与
平行.
活动2 设计窗格图案
4.请用基本图形利用平移的方法设计一个窗格图案.
基本图形:
解：（答案不唯一）设计的窗格
图案可以是:(共12张PPT)
第七章 相交线与平行线
专题训练（一） 平行线中常见的拐点模型
【解题方法】过拐点作其中一条直线的平行线，有几个拐点就作
几条平行线，然后利用平行线的性质求解.
1.单拐点模型
“M”型
（燕尾型）
“铅笔”型
“M”型变式
“内钩”型
（斧头型）
“外钩”型
（犀牛角型）
2.多拐点模型
类型1 单拐点模型
1.如图，直线，于点 ，若
，则 的度数是( )
C
A. B. C. D.
2.如图，将含有 角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条
直线其中一条上，若 ，则 的度数为( )
C
A. B. C. D.
3.如图，直线， ，则 ( )
C
A. B. C. D.
4.如图，， ， ，则 的
度数为( )
D
A. B. C. D.
5.如图，若，平分，平分 ，
，则 _____.
类型2 多拐点模型
6.如图，直线， ， ，
则 等于( )
D
A. B. C. D.
7.如图，直线, , ，则 ______.
8.如图，，求 的度数.
题图
解图
解：如解图，过点作，过点 作
.
，
，
，
， ，
，
即 .
目
录
B
4
B
F
C
G
D
M
A
=一一一一一一一一二一
一一一
3
V
4
A
—B
E
C
2
1
2
3
750
E
D
F
135
C
B
F
E
C
D
125o0
85
入
B
2
1
B
2
2C《E
3F
4
C
D
---28E
G
-----
H
3)F
4
C
D
AB//CD,
∴.AB//EG//FH/CD,
.∠1+∠BEG=180°
∠GEF+∠EF丑=180°，∠HFD+∠4=180°，(共21张PPT)
第七章 相交线与平行线
7.2 平行线
7.2.3 平行线的性质
第1课时 平行线的性质
基础 分点训练
中档 提分训练
拓展 素养训练
知识点1 两直线平行，同位角相等
1.如图，直线， ，则 ( )
B
A. B. C. D.
2.（2024·宿迁）如图，直线 ，直
线分别与直线，交于点， ，且
，则 等于( )
C
A. B. C. D.
3.如图，已知，，，四条直线，，， ，
则 的度数为_____.
知识点2 两直线平行，内错角相等
4.（贵州中考）如图，，与相交于点 ．若
，则 的度数是( )
B
A. B. C. D.
5.（雅安中考）如图，，于点， ，
则 的度数为( )
B
A. B. C. D.
6.（2024·德阳）如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，
其中，， ，则 等于( )
B
A. B. C. D.
知识点3 两直线平行，同旁内角互补
7.如图，若， ， ，则下列结论中
正确的是( )
D
A. B. C. D.
8.（2024·淄博）如图，已知，平分 .若
，则 的度数是( )
C
A. B. C. D.
9.（绵阳中考改编）如图，，的平分线与 的
平分线交于点，求 的度数.
解： ，
.
平分，平分 ，
， ,
.
易错点 误用平行线的性质致错
10.与是同旁内角， ，则( )
D
A. B.
C. D. 的大小不确定
11.（2024·东营）已知，直线 ，把一块含
有 角的直角三角板如图放置， ，
三角板的斜边所在直线交于点，则
( )
B
A. B. C. D.
12.（2024·凉山州）一副直角三角板按如
图所示的方式摆放，点在 的延长线上，
当时， 的度数为( )
B
A. B. C. D.
13.中华文化博大精深，汉字便是其中一块瑰宝.汉字中存在很多的
“平行美”，如汉字“互”.将汉字“互”转化为几何图形如图所示，已
知,.若 ,求 的度数.
解： ，
.
.
，
.
，
.
14.【分类讨论思想】如图所示的格线彼此平行.小明在格线中作
已知角，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系.他
先作出 .
（1）①如图1，点在一条格线上，当 时， _____.
②如图2，点在两条格线之间，用等式表示与 之间的数量
关系，并说明理由.
解： ，理由如下：
如图，作 平行于格线.
格线都互相平行，
， .
，
.
（2）在图3中，小明作射线，使得 .记 与图中
一条格线形成的锐角为 ， 与图中另一条格线形成的锐角为
，请直接用等式表示 与 之间的数量关系.
[答案] 或 .(共23张PPT)
第七章 相交线与平行线
7.4 平移
基础 分点训练
中档 提分训练
拓展 素养训练
知识点1 认识平移
1.下列现象属于平移的是( )
B
A.转动的电风扇的叶片 B.打气筒打气时活塞的运动
C.行驶的自行车的后轮 D.在游乐场荡秋千的小朋友
2.【新考向·传统文化】皮影戏是中国民间古老的传统艺术，2011
年中国皮影戏入选《人类非物质文化遗产代表作名录》.平移如
图所示的孙悟空皮影造型，能得到下列图中的( )
B
A. B. C. D.
3.现实世界中，平移现象无处不在，中国的方块字中有些也具有
平移性，下列汉字是由平移构成的是( )
B
A. B. C. D.
知识点2 平移的性质
4.（怀化中考）如图，平移直线至 ，直
线，被直线所截， ，则
的度数为( )
B
A. B. C. D.
5.（南充中考改编）如图，将三角形沿
向右平移得到三角形，若， ，
则 的长是( )
A
A.2 B.2.5 C.3 D.5
6.如图，将三角形平移得到三角形 ，下列结论中不一定
成立的是( )
C
A. B.
C. D.
7.如图，将三角形沿射线 的方向平移2个
单位长度到三角形的位置，连接 ，点
，，的对应点分别是，， ．
（1）直接写出图中所有平行的直线；
解：，， ．
（2）直接写出图中与 相等的线段；
解： .
（3）若，则 ___；
（4）若 ，求 的度数．
解：由（1），可知 ，
.
由（1），可知 ，
，
．
知识点3 平移作图
8.下列平移作图错误的是( )
C
A. B. C. D.
9.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中.
题图
（1）把三角形进行平移，得到三角形，使点与点
对应，请在网格中画出三角形 ；
解：如解图，三角形 即为所求.
解图
（2）线段与线段 的关系是____________.
平行且相等
10.如图，在一块长，宽 的长方形
场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分
为绿化区，道路的左边线向右平移 就
是它的右边线，则绿化区的面积是( )
B
A. B. C. D.
11.如图，将三角形沿方向平移得到三角形 ，若
三角形的周长为，则四边形 的周长为( )
C
A. B. C. D.
12.如图, ,直线平移后得到直线，则 ______.
13.某学校准备在升旗台的台阶上铺设一种红色的地毯
（含台阶的最上层），已知这种地毯的批发价为每平方米20元，
升旗台的台阶宽为3米，其侧面如图所示，请你帮助测算一下，
买地毯至少需要多少元？
题图
解图
解：如解图，把台阶向上、向左、向右平移，
构成一个长方形，长宽分别为6.4米， 米，
地毯的长度为
（米）.
升旗台的台阶宽为3米，
地毯的面积为 （平方米），
买地毯至少需要 （元）．
答：买地毯至少需要840元．
14.如图1，将三角形平移，使点沿的延长线平移至点
得到三角形，交于点，平分 .
图1
图2
（1）猜想与 之间的关系，并写出理由；
解： .理由如下：
平分 ，
.
由平移的性质，得， ，
.
（2）将三角形平移至如图2所示的位置，得到三角形 ，
请问：平分 吗？为什么？
图2
解：平分 .理由如下：
由平移的性质，得 ，
，
.
平分 ,
,
,
平分 .
图2(共10张PPT)
第七章 相交线与平行线
易错易混专练
易错点1 未给出图形，考虑不周全致错
1.两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是 和
，则 _________.
2.已知直线,相交于点，,垂足为 .若
,则 的度数为____________.
或80
或
易错点2 对垂线段的性质理解不透彻
3.是直线外一点，，，是直线上三点，且 ，
，，则点到直线 的距离( )
C
A.小于 B.等于 C.不大于 D.等于
易错点3 不能准确识别截线导致找错位置角
4.下列图形中，和 是同位角的是( )
A
A. B. C. D.
5.如图，下列结论中正确的是( )
D
A.与是对顶角 B.与 是同位角
C.与是同旁内角 D.与 是同旁内角
6.如图.
（1）当直线，被直线所截时， 的内错角是_______；
（2） 的同位角有_______________；
（3） 的同旁内角有______________________.
，
，，
易错点4 无法准确画出图形致错
7.如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角
的关系是____________.
相等或互补
易错点5 不能准确识别截线与被截线，从而误判两直线平行
8.下列图形中，由能得到 的是( )
A
A. B. C. D.
9.如图，下列条件中，不能判定 的是( )
C
A.
B.
C.
D.
易错点6 误用平行线的性质致错
10.已知与是同旁内角，若 ，则 的度数是( )
D
A. B. C. 或 D.不能确定(共10张PPT)
第七章 相交线与平行线
专题训练（三） 利用平移转化求图形的周长或面积
【模型展示】
①周长为
②
③
1.（邵阳中考）某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图
所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所
用铁丝的长度关系是( )
D
A.甲种图形所用铁丝最长
B.乙种图形所用铁丝最长
C.丙种图形所用铁丝最长
D.三种图形所用铁丝一样长
2.如图，直角三角形 的周长为100，在其内部有6个小直角三
角形，则6个小直角三角形的周长之和为______.
3.如图，有一块长,宽 的长方形草坪，其中有两条直道
将草坪分为四块，则分成四块草坪的总面积是_________.
4.如图，将直角三角形沿着点到点 的方向平移到三角形
的位置，平移距离为7，， ，求图中阴影部
分的面积.
解：由平移的性质，得 ，
，
，
，
，
.
5.如图（本题4个图形中的长方形一致，长为，宽为 ），图形
的操作过程如下：在图1中，将线段 向右平移1个单位长度到
，得封闭图形 （即阴影部分），在图2中，将折线
向右平移1个单位长度到 ，得封闭图形
（即阴影部分）.
（1）在图3中，请你类似地设计一个有两个折点的折线，同样向
右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并用阴影表示；
解：作图如图3所示.
（2）请你分别写出图1，图2，图3中除去阴影部分后的剩余部分
的面积：________,________, ________；
（3）探究：如图4，在一块长方形草地上，有一条弯曲的小路
（小路任何地方的水平宽度均是1个单位长度），求空白部分表
示的草地面积 .
解： .(共12张PPT)
第七章 相交线与平行线
教材回归（一） 垂线段最短的应用（针对教材P6
思考题）
教材母题（教材P6思考题）
如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田 处，如何挖渠能使渠
道最短？
题图
解：如解图，沿线段 挖渠，能使渠道最短．
因为连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
解图
1.如图，马路上斑马线的作用是为了引导行
人安全地通过马路.某数学小组的同学们认为
行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，
这一想法体现的数学依据是( )
D
A.两点确定一条直线 B.两点之间，线段最短
C.平行线间的距离相等 D.垂线段最短
2.如图， 处有个雨污分流工厂，计划铺设一条
雨水排放管道收集雨水，用于灌溉农场.已知
，， ，以下挖渠方式能
使管道最短的是( )
B
A. B. C. D.
3.如图，河道的一侧有， 两个村庄，现要铺设一条引水管道
把河水引向， 两村，下列四种方案中最节省材料的是( )
B
A. B. C. D.
4.如图，点表示一个村庄， 表示一条河道.某测绘队沿河道路
线上的点进行测量，测量角度与线段 的长度如表所示：
度数 52.3 69.3 88.8 93.5 105.8 117.8
长度 693 587 549 550 570 620
则下面说法正确的是( )
A.村庄到河道距离等于
B.村庄到河道距离小于
C.村庄到河道距离大于
D.村庄到河道距离等于
√
5.如图所示，火车站、码头分别位于，两点，直线和 分别表
示河流与铁路.
题图
（1）从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由；
解：如解图所示，沿 走，理由：两点之间线段最短.
解图
（2）从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由；
解：如解图所示，沿 走，理由：垂线段最短.
解图
（3）从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由.
解：如解图所示，沿 走，理由：垂线段最短.
解图(共10张PPT)
第七章 相交线与平行线
本章思想方法
方程思想
1.如图，已知直线，相交于点 ，
，点为垂足，平分 .
（1）若 ，求 的度数；
解：平分， ，
.
， ，
.
（2）若，求 的度数.
解：由于，可设， .
平分 ，
，
.
， ,
，即 ，
解得 ，的度数为 .
转化思想
2.如图，在一块长，宽 的长方形草坪上修筑宽度均为
的小路（图中阴影部分），其余部分种草，则种草的面积是
( )
A
A. B. C. D.
分类讨论思想
3.如图，直线，， 分别为直线
，上一点，且满足 ，
是射线上的一个动点（不包括端点 ），
将三角形沿折叠，使顶点 落在点
或
处.若，则 的度数为___________.
【分析】分两种情况：①点在与之间；②点在 下方.
结合折叠性质可得 ，由平行线的性质可求得
，结合 ，从而可求解.
4.线段和线段交于点，平分，点为线段 上一
点（不与点和点重合）过点作，交线段于点 ，
若 ，求 的度数.
图1
解：分两种情况：①当点在线段 边上时，
如图1所示.
， .
平分 ，
.
， .
图2
②当点在线段 上时，如图2所示.
同情况①， .
， ，
.
综上，的度数为 或 .
目
录
E
F
IC
B
D
解：OF平分ㄥAOC,∠A0F=64
.∠40C=2∠A0F=128°
.OE⊥AB,.∠A0E=90
.∠C0E=∠A0C-∠A0E=128°-90°=38°
解：由于∠A0F:∠C0E=3:2,可设A0F=3x,∠C0E=2x.
:OF平分ㄥA0C,
.∠AOC=2LA0F=6x,.∠EOF=∠AOC-∠AOP-∠COE
6x一3x一2x=x。
.OE⊥AB,.∠AOE=90
.∠A0F+∠E0F=90°，即3x+x=
解得x=22.5°，.∠E0F的度数为22.5°.
2
m
10
52m
A
M
P
B
C
N
D
3.如图，直线AB/CD,M,N分别为直线
AB,CD上一点，且满足∠BMN=54°
是射线MB上的一个动点（不包括端点M）
将三角形PMN沿PN折叠，使顶点M落在点
0
EB
E
G
D
解：分两种情况：①当点F在线段OB边上时
如图1所示。
:∠A0C=140°，.∠A0D=40°
:OE平分∠AOD,
F
G
B
E
②当点F在线段0A上时，如图2所示。
同情祝①，∠A0E=20
:FG//0E,.∠GF0=∠A0E=20
.∠AFG=180°-∠GF0=160
综上，∠AFG的度数为20°或160(共22张PPT)
第七章 相交线与平行线
7.2 平行线
7.2.2 平行线的判定
基础 分点训练
中档 提分训练
拓展 素养训练
知识点1 同位角相等，两直线平行
1.（河池中考）如图， ，要使 ，
则 的大小是( )
D
A. B. C. D.
2.如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依
据是________________________．
同位角相等，两直线平行
3.如图，若 ，则____//____；
若 ，则____//____.
知识点2 内错角相等，两直线平行
4.如图，下列推理正确的是( )
B
A.（已知）， （内错角相等，两
直线平行）
B.（已知）， （内错角相等，两
直线平行）
C.（已知）， （内错角相等，两
直线平行）
D.（已知）， （内错角相等，两
直线平行）
5.如图，用符号语言表达平行线的判定方法“内错角相等，两直线
平行”的推理形式：
__________， ．
6.请在横线上和括号内完成推理过程并填写推理
依据．
已知：如图，直线分别与直线， 相交于点
，，垂直于， ．
试说明： ．
解： （已知），
________ （____________），
垂直的定义
即____ ．
（已知），
_______ （________________），
（________________________）．
同角的余角相等
内错角相等，两直线平行
知识点3 同旁内角互补，两直线平行
7.如图，已知 ，要使 ，则需具备的
另一个条件可以是( )
C
A. B.
C. D.
8.如图，已知 ， ，
.试说明： .
解： ，
（已知），
______.
（已知），
______.
（__________________________）.
同旁内角互补，两直线平行
易错点 对两直线平行的判定条件理解不透彻而致错
9.如图，要得到 ，则需要条件( )
C
A. B.
C. D.
10.【新考向·情境素材】如图，已知 ，为保证两条铁轨
平行，添加的下列条件中，正确的是( )
C
A. B. C. D.
11.如图，直线,,被直线, 所截，下列说法错误的是( )
C
A.若，，则
B.若，则
C.若，则
D.若 ，则
12.如图，已知直线，垂足为，且 ，则当
等于_____时， ．
13.如图，某工件要求 ，若质检员小李量得
， ， ，则此工件
______．（填“合格”或“不合格” ）
合格
14.如图，在三角形中，，平分，
平分.如果，那么与 平行吗？为什么？
解： .理由如下：
平分，平分 ，
， .
，,即 .
， .
.
15.【新考向·跨学科】如图，击打母球，使其击中桌边的点 ，
经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点，再次反弹后经过点
（提示：， ）.
（1）若 ，求 的度数；
解： ， ，
，
.
（2）已知 ，母球经过的路线与 一
定平行吗？请说明理由.
解：母球经过的路线与 一定平行.理由如下：
， ，
.
同理,可得 .
,
.
.
故母球经过的路线与 一定平行.(共22张PPT)
第七章 相交线与平行线
7.1 相交线
7.1.1 两条直线相交
基础 分点训练
中档 提分训练
拓展 素养训练
知识点1 邻补角与对顶角的概念
1.下列图形中，和 是邻补角的是( )
B
A. B. C. D.
2.下列图形中，和 是对顶角的是( )
C
A. B. C. D.
3.（教材P8习题变式）如图，直线，相交于点， 是
内部的一条射线．
（1）分别写出和 的邻补角；
解：的邻补角为；的邻补角为和 ．
（2）写出图中所有的对顶角．
解：和互为对顶角；和 互为对顶角．
知识点2 邻补角与对顶角的性质
4.（2024·日照）如图，直线， 相交于
点.若 ， ，则 的度
数为( )
B
A. B. C. D.
5.（贵阳中考）如图，直线，相交于点 ，如果
，那么 是( )
A
A. B. C. D.
6.如图，直线，相交， ，则 等于( )
C
A. B. C. D.
7.（教材P3练习T3变式）如图，直线， 相
交于点，且，则 的度
数是( )
A
A. B. C. D.
8.如图，直线，相交于点，平分 .
（1）若 ，求 的度数；
解：因为 ，平分 ，
所以 ，
所以 .
（2）若，求 的度数.
解：因为， ，
所以 .
又因为平分 ，
所以 .
所以 .
易错点 未给出图形，考虑不周全致错
9.两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是 和
，则 _________.
或80
10.泰勒斯被誉为古希腊及西方第一个自然科学家和哲学家，据
说“两条直线相交，对顶角相等”就是泰勒斯首次发现并论证的.论
证“对顶角相等”使用的依据是( )
D
A.等角的补角相等 B.同角的余角相等
C.等角的余角相等 D.同角的补角相等
11.如图，直线，，交于点， ，
，则 ______.
12.如图，已知直线，相交于点，平分 ，若
，则 的度数是______.
13.如图，直线，，相交于点， ，
，则 _____.
14.（教材P9习题变式）如图，直线，
相交于点，平分，平分 ．
（1）求 的度数；
解：因为平分，平分 ，
所以， ，
所以 .
（2）若，求 的度数．
解：因为， ，
所以 ，
所以 .
因为平分 ，
所以 .
由（1）知, ,
所以 ．
15.【逻辑推理】探究题：
（1）如图1，两条直线相交，对顶角有___对；邻补角有___对；
图1
（2）如图2,三条直线相交，对顶角有___对,邻补角有____对；
图2
（3）如图3,四条直线相交，对顶角有____对；邻补角有____对；
图3
（4）在同一平面内,条直线相交 为大于2的整数），交点最多时,
所组成的角中,对顶角有__________对，邻补角有___________对.(共21张PPT)
第七章 相交线与平行线
章末复习 相交线与平行线
复习点1 相交线
1.六盘水市初中毕业生体育考试实行综合性结构评价，现目标效
果测试项目第一类：立定跳远（男、女），分值5分．体育课上，
老师正在给准备参加体育中考的学生模拟测试立定跳远，成绩的
示意图如图，即 的长为某同学的跳远成绩，其依据是( )
A.两点之间，线段最短
B.两点确定一条直线
C.垂线段最短
D.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
√
2.科技是国家强盛之基，创新是民族进步之魂.近些年来，我国的
航空事业不断发展，从如图1所示的飞机中抽象出图2的数学图形，
则下列说法正确的是( )
D
A.与是同位角 B.与 是同旁内角
C.与是内错角 D.与 是同旁内角
3.如图，三条直线，，相交于一点，则 等于
( )
A
A. B. C. D.不能确定
4.如图，直线，相交于点， 于
点， ，则 的度数
为( )
B
A. B. C. D.
5.如图，在三角形中， ，， ，
是线段上的一个动点，则 的最小值为_ __.
复习点2 平行线的判定与性质
6.如图，，，若 ，则 的度数为( )
C
A. B. C. D.
7.（2024·盐城）小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图，
若 ，则 的度数为( )
B
A. B. C. D.
8.（2024·天津期末）如图，已知 ，
，则 等于( )
D
A. B. C. D.
9.（2024·潍坊改编）一种路灯的示意图如图所示，
其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架
所成锐角 .顶部支架与灯杆 所成锐角
，则与所成锐角的度数为____ .
10.如图，,， ，
， .
（1）求证： ;
证明：, ,
, .
,, .
（2）求 的度数.
解：由（1），知 ,
, .
又 , ，
,
解得 ,
.
复习点3 命题
11.下列命题中，是真命题的是( )
D
A.若，则
B.垂直于同一条直线的两条直线平行
C.任何角都比它的补角小
D.正数大于负数
12.下列命题中，是假命题的是( )
A
A.相等的两个角是对顶角 B.两直线平行，同位角相等
C.内错角相等，两直线平行 D.同角的余角相等
13.把命题“同角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式是
______________________________________________，它是____
命题.（填“真”或“假”）
如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等
真
14.完成下面的证明.
如图，已知，射线交于点 ，交
于点，从点引一条射线 ，若
，求证：
．
证明： （已知）,
_______（________________________）.
两直线平行，内错角相等
（已知）,
（________________）,
_____（__________________________）,
_______ （________________________）.
_______ （对顶角相等）,
（等式的基本事实）.
等式的基本事实
同旁内角互补，两直线平行
两直线平行，同位角相等
复习点4 平移
15.如图，这是某公园里一处长方形风景欣
赏区 ，长米，宽
米，为方便游人观赏，公园修建了如图所
示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那么小明沿
着小路的中间，从出口到出口 所走的路线（图中虚线）长为
____米.
16.如图，将周长为8的三角形沿方向平移得到三角形 ，
四边形的周长为13， ．根据题意完成下列各题：
（1）和的数量关系为 __________；
和 的位置关系为_________；
（2）______ ；
（3） _____．
题图
17.（教材P29练习T1变式）如图，在方格纸
中平移三角形，使点移到点，则点
和点 应移动到什么位置？再次平移三角形
使点由点移到点 ，分别画出两次平移后
的三角形.如果直接平移三角形，使点
移到点 ，平移后的三角形和前面第二次平
移后得到的三角形位置相同吗？
解图
解：如解图，点和点分别移动到点 和
点 的位置.两次平移后的三角形分别为三角
形，三角形 如解图所示.如果直
接平移三角形，使点移到点 ，平移
后的三角形和前面第二次平移后得到的三角
形位置相同.(共11张PPT)
第七章 相交线与平行线
专题训练（二） 利用平行线的性质求角度
类型1 直接利用平行线的性质或判定求角度
1.（2024·陕西）如图，，， ，则
的度数为( )
B
A. B. C. D.
2.如图，，，若 ，则 的度数为
( )
A
A. B. C. D.
3.如图，平行线，被直线所截，平分 ，若
，则 的度数是( )
A
A. B. C. D.
4.（2024·呼和浩特）如图，直线和 被直线
和所截， ， ，则
的度数为( )
B
A. B. C. D.
类型2 借助学具的特征求角度（针对教材P17练习T3）
5.（2024·泸州）把一块含 角的直角三角板按
如图方式放置于两条平行线间，若 ，则
( )
B
A. B. C. D.
6.（深圳中考）一副三角板如图所示放置，
斜边平行，则 的度数为( )
C
A. B. C. D.
7.（黔西南州中考）将一副三角板按如图
所示的位置摆放在直尺上，则 的度数为
( )
C
A. B. C. D.
类型3 抽象出平行线模型求角度
8.【新考向·情境素材】某中学将国家非物质文化遗产——“抖空
竹”引入特色大课间.某同学“抖空竹”的一个瞬间如图1所示.将图1
抽象成图2的数学问题：在平面内，.若 ，
，则 的度数为( )
B
A. B. C. D.
9.（烟台中考）一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知
，则 的度数为_____．
10.如图是一款长臂折叠 护眼灯示意
图，与桌面垂直，当发光的灯管
恰好与桌面平行时， ，
，则 的度数为______。 ．
类型4 折叠问题中求角度
11.（荆州中考）将一张长方形纸片折叠成如图所示的图形，若
，则 的度数是( )
D
A. B. C. D.(共9张PPT)
第七章 相交线与平行线
课标新动向（情境创设） 挖掘教材中相交线与平行
线的跨学科融合
【概述】2022版新课标中加大了数学学科的跨学科融合，强调
“要探索命制问题解决及多学科融合类试题”.
1.（2024·常州）如图，推动水桶，以点 为支点，使其向右倾
斜.若在点处分别施加推力，，则的力臂大于 的力臂
.这一判断过程体现的数学依据是( )
A
A.垂线段最短
B.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C.两点确定一条直线
D.过直线外一点有且只有一条直线与已知直
线平行
2.（2024·深圳）如图，一束平行光线照射平面镜后反射，
,.若入射光线与平面镜夹角 ，则反射
光线与平面镜夹角 的度数为( )
B
A. B. C. D.
3.如图，水面与底面平行，光线 从空气射入水里时发生
了折射，折射光线射到水底处，点在 的延长线上，若
， ，则 的度数为( )
A
A. B. C. D.
4.如图是一种卫星接收天线的轴截面示意图，卫星波束与
平行射入接收天线，经反射后聚集到焦点处.若 ，
，则 的度数为_____.
5.如图是地球截面图，其中， 分别表
示赤道和南回归线，冬至正午时，太阳光直
射南回归线（太阳光线 的延长线经过地
心 ），此时，太阳高度最大（即太阳光线
与地面水平线 垂直），若已知南回归线与地面水平线的夹角
为 ，则太阳光线与赤道夹角的度数为________．
6.如图，，分别表示两面相互平行的镜面，一束光线 照
射到镜面上，反射光线为，此时，；光线 经镜
面反射后的反射光线为，此时.求证： .
证明：， .
又，， .
.
，
， .(共25张PPT)
第七章 相交线与平行线
7.2 平行线
7.2.1 平行线的概念
基础 分点训练
中档 提分训练
拓展 素养训练
知识点1 认识平行
1.有下列生活实例:①交通路口的斑马线；②百米直跑道的两边；
③平直的火车铁轨.其中属于平行线的有( )
C
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
2.下列表示方法正确的是( )
D
A. B. C. D.
3.在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是( )
C
A.平行 B.相交
C.平行或相交 D.平行、相交或垂直
4.下列说法中，正确的是( )
D
A.在同一平面内，没有公共点的两条线段平行
B.在同一平面内，没有公共点的两条射线平行
C.没有公共点的两条直线互相平行
D.互相平行的两条直线没有公共点
5.在同一平面内，直线与 满足下列条件，把它们的位置关系填
在横线上．
（1）若直线与没有公共点，则直线与 ______；
（2）若直线与有且只有一个公共点，则直线与 ______；
（3）若直线与有两个公共点，则直线与 ______．
平行
相交
重合
知识点2 平行线的画法
6.用三角尺和直尺画平行线:
（1）如图1，过点画 ；
图1
解：直线 即为所求.
图1
（2）如图2，过点画，交于点；画 ，交
于点 .
图2
解：直线， 即为所示.
图2
知识点3 平行线的基本事实及其推论
7.三条直线，，，若，，则与 的位置关系是 ( )
B
A. B. C.或 D.无法确定
8.如图，，，则点，， 在同一条直线上，
理由是____________________________________________.
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
9.如图，，分别是直线 外两点．
（1）过点画直线，过点画直线 ；
解：如图，直线, 即为所求．
（2）与 有怎样的位置关系？为什么？
解： .理由如下：
因为， ，
所以 .
易错点 对平行线的基本事实理解不透彻而致错
10.经过一点画已知直线 的平行线，能画的条数是( )
D
A.0条 B.1条 C.2条 D.不能确定
11.下列说法中错误的个数是( )
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一
条直线与已知直线垂直；③在同一平面内，不重合的两条直线只有
两种位置关系:相交与平行；④不相交的两条直线叫作平行线．
C
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
12.如图，直线, 是一条河的两岸,并且
,点为直线,外一点,现想过点 作
河岸的平行线，只需过点 作_____的平行
线即可,其理由是__________________________
________________________________.
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
13.平面上不重合的四条直线，可能产生交点的个数最多为___个，
最少为___个．
14.（教材P21习题 变式）观察如图所示的
长方体，回答下列问题:
（1）用符号表示两条棱的位置关系：
_____,___,___,____ ；
（2）与 所在的直线是两条不相交的直线，它们______
（填“是”或“不是”）平行线.由此可知，在__________内，两条不
相交的直线才能叫作平行线.
不是
同一平面
15.如图：
（1）过上一点作的平行线交于点 ；
解：过点作的平行线交于点 ，如解图1.
解图1
（2）过点作 ；
解：过点作 ，如解图2.
解图2
（3）直线， 有何种位置关系？试说明理由.
解： .理由如下：
，， .
16.（几何直观）【实验与操作】
画 ，在内部有一点，过点画交
于点（点，在点的两侧），过点画交于点
（点，在点 的两侧）.
解：如图.
（1）测量和 的度数；
[答案] ， .
【观察与猜想】
（2）与，与 有什么关系？再画一个图验
证一下；
[答案] ， .
画图验证略.
【拓展与应用】
（3）在（2）的基础上，已知 的两边与 的两边分别平
行， 比 的2倍少 ，求 与 的度数.
[答案] 由题意，知 .
因为 的两边与 的两边分别平行，所以 或
.
当 时， ，解得 ，则
.
当 时， ，解得
，则 .
综上， ， 或 ， .
