2026届上海复兴中学高三下学期2026.3）数学摸底考试卷（含答案）

复兴中学2025-2026学年第二学期高三年级数学摸底考
2026.3
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1.设全集，，则______．
2.抛物线的焦点坐标为______．
3.双曲线的渐近线方程是______．
4.已知数列满足，，则______．
5.一个圆柱的侧面展开图是一个边长为1的正方形，则该圆柱的体积是______．
6.设，若的展开式中项的系数为10，则______．
7.设、，，则的最小值为______．
8.已知两个随机事件，若，，，则______．
9.植物社团的同学观察一株植物的生长情况，为了解植物高度（单位：cm）与生长期（单位：天）之间的关系，随机统计了某4天的植物高度，并制作了如下对照表：
生长期 3 9 11 17
植物高度 2.4 3.4 3.8 5.2
由表中数据可得回归方程中，试预测生长日期是30天时，植物高度约
为______cm．（，）
10.已知正方体的棱长为2，分别为的中点，点在正方体表面上运动，且平面，则动点的轨迹（包含）所围成图形面积为_____．
11.雨天外出虽然有雨伞，但时常总免不了淋湿衣袖、裤脚、背包等，热爱探究数学问题的小明想通过数学建模的方法研究如何撑伞可以让淋湿的面积尽量小．为了简化问题小明做出下列假设：
假设1：小明把人假设为身高、肩宽分别为170cm、40cm的矩形“纸片人”；
假设2：受风的影响，雨滴下落轨迹视为与水平地面所成角为的直线；
假设3：伞柄长为60cm，可绕矩形“纸片人”上点旋转；
假设4：伞面为被伞柄垂直平分的线段，．
如图3，在矩形“纸片人”上身恰好不被淋湿时，求其“裤脚”被淋湿部分的面积（结果精确到）______．
12.已知数列的前项和为，，且满足，则所有可能值的个数为______．
二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13.“”的一个必要非充分条件是（ ）
A. B. C. D.
14.已知，函数，若存在常数，使得是偶函数，则的可能取值为（ ）
A. B. C. D.
15.设为正整数，空间中个单位向量构成集合，若存在实数，满足对任意，，，都有，则当取得最大值时，的值为（ ）．
A. B. C. D.
16.已知函数的定义域为，对定义域内任意的，的取值为或．有如下两个命题：
①若有且仅有2025个实数使得关于的方程只有1个解，则函数至少存在2025个严格减区间；
②若对任意满足条件的函数，方程都有解，则实数存在4051个可能的取值；则（ ）
A.①正确；②正确 B.①正确；②错误
C.①错误；②正确 D.①错误；②错误
三、解答题（本大题共有78分，第17～19题每题14分，第20、21题每题18分）
17.（第1小题6分，第2小题8分）
某公司生产的糖果每包标识“净含量500g”，但公司承认实际的净含量存在误差．已知每包糖果的实际净含量（单位：g）服从正态分布．
（1）随机抽取一包该公司生产的糖果，求其净含量误差超过5g的概率（精确到0.001）；
（2）随机抽取3包该公司生产的糖果，记其中净含量小于497.5g的包数为．求的分布和期望（精确到0.001）．（参考数据：，，．）
18.（第1小题6分，第2小题8分）
已知函数，，为自然常数．
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）若函数在区间上有最小值，求实数的值．
19.（第1小题4分，第2小题5分，第3小题6分）
如图，等腰直角三角形中，，为中点，、分别为、边上的动点，且，将三角形沿折起，使点折至点的位置，二面角大小为，联结、、．
（1）求证：平面；
（2）若点为中点，求异面直线与所成的角的大小；
（3）试判断直线与平面所成的角的大小是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
20.（第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，短轴长为2，点是上位于第一象限内的一点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设，，三角形的面积为，三角形的面积为，若，求点的坐标；
（3）设直线与交于另外一点，直线与交于另外一点，为直线上一点，问是否存在实数满足，使得为定值？若存在，求出和定值；若不存在，请说明理由．
21.（第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
若函数，满足：对于任意、，均有（为正整数）成立，则称函数具有“级”性质．
（1）分别判断，是否具有“1级”性质，并说明理由；
（2）已知定义域为的函数具有“2级”性质，求证：对于任意的，都有；
（3）已知定义域为的函数具有“3级”性质，求证：函数为常值函数．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11.雨天外出虽然有雨伞，但时常总免不了淋湿衣袖、裤脚、背包等，热爱探究数学问题的小明想通过数学建模的方法研究如何撑伞可以让淋湿的面积尽量小．为了简化问题小明做出下列假设：
假设1：小明把人假设为身高、肩宽分别为170cm、40cm的矩形“纸片人”；
假设2：受风的影响，雨滴下落轨迹视为与水平地面所成角为的直线；
假设3：伞柄长为60cm，可绕矩形“纸片人”上点旋转；
假设4：伞面为被伞柄垂直平分的线段，．
如图3，在矩形“纸片人”上身恰好不被淋湿时，求其“裤脚”被淋湿部分的面积（结果精确到）______．
【答案】
【解析】如图，过点作对边的垂线，垂足为点，过点作对边的垂线，垂足为点，
连接，由题意，因为为的中点，所以，
又，所以，又，
由正弦定理，所以，
又，所以
所以），
所以
所以阴影部分面积为
故答案为：．
12.已知数列的前项和为，，且满足，则所有可能值的个数为______．
【答案】
【解析】已知两边同时平方可得
通过累加法得到的表达式：当时：
，
，

将以上个式子累加可得：
因为，且，所以．
当时，．又因为，所以，
代入上式可得：，
由求根公式可得．因为为实数，所以，即
分析的可能取值个数：
因为，所以的值由决定，又因为，所以．
当时，；当时，．以此类推，的值有多种可能，
而的取值取决于的取值．
通过分析可知，的取值为，共14个．故答案为：14．
二、选择题
13.C 14. C 15. C 16.
15.设为正整数，空间中个单位向量构成集合，若存在实数，满足对任意，，，都有，则当取得最大值时，的值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】令集合的各向量起点为，对应终点依次为．
由向量为单位向量，则点、在以为球心，1为半径的球面上．由，得点中任意三点不共线.
由，得，则．
由，同理得，而点不共线．
于是点不共面，点、为球内接正四面体的4个顶点．
若，不共取，同理得平面，
又，由过一点有且只有一个平面垂直于已知直线，得点平面，
与点不共面矛盾．因此，设正四面体的棱长为，
则正的外接圆半径为正四面体的高为，
球心到平面的距离为，因，解得
所以.故选C．
三、解答题
17.（1） （2）分布列，期望如下：
18.（1） （2）
19.（1）证明略 （2） （3）存在，最大值为
20.（第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，短轴长为2，点是上位于第一象限内的一点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设，，三角形的面积为，三角形的面积为，若，求点的坐标；
（3）设直线与交于另外一点，直线与交于另外一点，为直线上一点，问是否存在实数满足，使得为定值？若存在，求出和定值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） （2） （3）存在，定值为．
【解析】（1）由由圆的短轴长为2，得，由离心率为，得，
又，所以，由圆的方程为．
（2）设，则①，且，
因为，所以直线的方程为，即，
故点到直线的距离，
因为，所以，即.②
联立①②，且，解得，故点的坐标为．
（3）设，直线的方程为，
由得又，
解得，所以．
当时，直线的方程为，
由，得，
所以，解得，
所以，经检验，当时，当时也联立，
由，得．
令，解得，
故，定值为．
21.（第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
若函数，满足：对于任意、，均有（为正整数）成立，则称函数具有“级”性质．
（1）分别判断，是否具有“1级”性质，并说明理由；
（2）已知定义域为的函数具有“2级”性质，求证：对于任意的，都有；
（3）已知定义域为的函数具有“3级”性质，求证：函数为常值函数．
【答案】（1）不具，具有 （2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】（1）对于函数，取，则，
而.因为，即，
所以函数不具有＂1级＂性质.
对于函数，任意.
则，
所以函数具有＂1级＂性质.
（2）当时，此时，
不等式成立.
当时，不妨设，因为函数具有＂2级＂性质，
所以对于任意，有.将区间进行2020等分，
记
则
根据绝对值不等式，
可得
又因为
所以
综上，对于任意的，都有成立.
（3）因为函数具有＂3级＂性质，
所以对于任意，有则.
令，根据极限的定义，表示函数在处的导数的绝对值（如果导数存在）.
而，由夹夹准则可得，
即（这里假设可导），所以.
因为是任意的，所以对任意都成立.
根据导数的性质，若函数的导数恒为0，则函数为常值函数，
所以函数为常值函数.