(共26张PPT)
第5课时 实数(1)——实数的相关概念及分类
知识导学
课堂讲练
第八章 实数
课堂检测
了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成，了解实数与数轴上的点一一对应；能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小；能用有理数估计一个无理数的大致范围．
随堂测
知识导学
1．(衔接回顾)可以写成________形式的数称为有理数．
2．(1)探究：将下列有理数写成小数的形式：
2＝______，＝______，－＝________，＝_____，＝______；
(2)发现：上面的有理数都可以写成有限小数或____________小数的形式；
(思考：再举出一些有理数的例子，本题结论是否仍成立？)
(3)拓展：任何有限小数或无限循环小数都是有理数．
3．______________小数叫作无理数．例如，，－，π．
分数
2.0
0.6
－1.75
0.
1.
无限循环
无限不循环
课堂讲练
无理数的概念
例1 下列各数为无理数的是 ( )
A．0.618 B．
C． D．
知识点 1
C
含有根号的数不一定就是无理数．
训练 1．已知下列各数：① 0；② －；③ 4.；④ ；⑤ ；⑥ π；⑦ 0.121 221…(相邻的两个1之间依次多一个2)．其中是无理数的有__________．(填序号)
②⑥⑦
无理数的常见类型：①开方开不尽的数的方根，如 ，－；②化简后含π的数，如π，π－1，；③一些具有特定结构的数，如0.101 001 000 1…(相邻的两个1之间依次多一个0)．
实数的概念及分类
知识点 2
概念 __________和__________统称实数
分类
按定义分：实数
有理数
无理数
按正负分：实数
例2 (人教七下P54改编)下列说法正确的是 ( )
A．无限小数都是无理数
B．用根号表示的数都是无理数
C．正实数包括正有理数和正无理数
D．实数包括有理数、0和无理数
C
训练 2．把下列各数填在对应的横线上．
－，0，，－，4.131．
整数：___________；分数：____________；
无理数：______________．
0，－
，4.131
－
实数与数轴的关系
知识点 3
一一对应
例3 (1)如图，将数轴上标有字母的各点与下列实数对应起来：
－，0，2，－．
点A对应________，点B对应________，
点O对应_____，点C对应_____．
(2)将(1)中4个数用“＜”连接起来．
解：(2)－＜－＜0＜2．
－
－
0
2
训练 3．(人教七下P54改编)把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小(用“＜”连接)：
－2，，－π，－3.5．
解：各数在数轴上的表示如答图所示．
训练3题答图
用“＜”连接为－3.5＜－π＜－2＜＜．
与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大．
课堂检测
1．《九章算术》中用“面”表示开平方开不尽的数，这是我国传统数学对无理数的最早记载．下面符合“面”的描述的数是 ( )
A． B．1
C．0 D．
A
2．(2025广州期中)如图，在数轴上表示 的点可能是 ( )
A．点P B．点Q
C．点M D．点N
3．下列实数中，最小的是 ( )
A．4 B．－
C．π D．－
B
D
4．下列说法错误的是 ( )
A．有理数和无理数统称实数
B．无理数都是实数
C．有理数可以用有限小数或无限循环小数表示
D．实数可以分为正实数和负实数两类
5．比较下列各组数的大小：
(1)；(2)4______；(3)3.14______π．
D
＜
＜
6．将下列各数分别填入相应的集合中：
－7，，0.32，－，0，，π，0.．
(1)有理数集合：{__________________________________…}；
(2)无理数集合：{________________…}；
(3)正实数集合：{_____________________________…}；
(4)负实数集合：{_______________…}．
－7，0.32，－，0，，0.，
，π，
，0.32，，π，0.，
－7，－，
7．(人教七下P54改编)如图，正方形OABC的边长为1，顶点O，A在数轴上，且对应的数分别为0，－1，以点A为圆心，正方形对角线AC的长为半径画弧，与数轴交于一点D，则点D表示的数是___________ ___________．
－1或
－1－
(拔高： )8．将下列各数近似地表示在数轴上，并把它们按照从小到大的顺序排列．
－，|－4|，，－．
解：各数在数轴上的表示如答图所示．
按照从小到大的顺序排列为－＜－＜＜|－4|．
第8题答图
随 堂 测
1．下列关于 的说法，错误的是 ( )
A．是无理数 B．是有理数
C．是正实数 D．在数轴上有对应的点
2．下列各实数中，最小的数是 ( )
A．－2 B．0
C． D．－
B
A
3．(2025扬州)如图，数轴上点A表示的数可能是 ( )
A． B．
C． D．
C
4．判断下列说法是否正确：(括号内填“√”或“×”)
(1)实数不是有理数就是无理数； ( )
(2)带根号的数都是无理数； ( )
(3)有理数都是有限小数； ( )
(4)无理数与数轴上的点是一一对应的． ( )
√
×
×
×
5．(人教七下P57改编)大于－且小于2.4的所有整数有 ( )
A．5个 B．6个
C．7个 D．8个
B
6．把下列各数分别填在相应的集合中：
－13.141 59，－0.， ．
有理数集合 无理数集合
－13.141 59，－ 0.， …
， …
运算滚动 7．(1)若x2＝16，则x＝_______；
(2)若(x－1)3＝8，则x＝_____．
±4
3(共6张PPT)
新题型、新考向——综合探究
第八章 实数
1．(人教七下P58阅读与思考改编)阅读与思考：为什么 不是有理数
【材料阅读】古希腊有个毕达哥拉斯学派，他们认为“万物皆数”，即一切量都可以用整数或整数的比表示，后来毕达哥拉斯学派发现，边长为1的正方形的对角线的长不能表示为整数或整数之比(即 不是有理数)，对此他们感到惊恐不安，由此，引发了第一次数学危机．历史上，人们对无理数的认识经历了曲折、漫长的过程，直到19世纪下半叶，才最终给出了无理数的严格定义．这时，实数的理论体系才建立起来，持续两千多年的第一次数学危机终于结束了．
【方法探究】下面给出 不是有理数的一种证明方法，请将证明过程补充完整．
假设 是有理数，那么存在两个互质的正整数p，q，使得 ＝．
于是p＝q．两边平方，得p2＝_______①．
由2q2是偶数，得p2是偶数，而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数．
因此可设p＝2r(r是正整数)，代入①，得__________，即q2＝____．
2q2
4r2＝2q2
2r2
所以q也是偶数．这样，p，q都是偶数，与假设p，q互质矛盾．
这个矛盾说明， 不能写成分数的形式，所以 不是有理数．
(提示：奇数乘奇数等于奇数．奇数乘偶数等于偶数．偶数乘偶数等于偶数)
这种证明“ 是无理数”的方法是 ( )
A．反证法 B．综合法
C．举反例法 D．列举法
A
【类比应用】请你类比上面的方法，证明 不是有理数．
解：假设 是有理数，那么存在两个互质的正整数p，q，使得 ＝．
于是p＝q．两边立方，得p3＝2q3①．
由2q3是偶数，得p3是偶数，而只有偶数的立方才是偶数，所以p也是偶数．
因此可设p＝2r(r是正整数)，代入①，得8r3＝2q3，即q3＝4r3．
所以q也是偶数．这样，p，q都是偶数，与假设p，q互质矛盾．
这个矛盾说明， 不能写成分数的形式，所以 不是有理数．
【猜想探究】(n为正整数，k为正整数)不是有理数可以用上面的方法证明吗？
解：因为 (n为正整数，k为正整数)去掉根号后不能得到一边是偶数，所以它们都不可以用上面的方法证明．(共8张PPT)
新趋势、新动向——教材母题溯源与衍生
第八章 实数
教材母题溯源
例1 (人教七下P62)(1)怎样把由5个边长为1的小正方形组成的图形(如图)剪拼成一个大正方形？
解：其中一种剪拼方法如答图1所示．
例1题答图1
(2)在数轴上画出这个大正方形的边长所对应的点．
解：由上可知，画一个长为2，宽为1的长方形，其对角线长即为大正方形边长．以原点为圆心，长方形的对角线长为半径画弧，与数轴正半轴的交点就是大正方形边长所对应的点 ，如答图2所示．
例1题答图2
衍生1 由不同大小的正方形剪拼得到大正方形构造无理数
【阅读与思考】下面是小恺同学写的数学日记的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务．
2025年3月11日 天气：晴
正方形的剪拼与无理数
今天在数学课上同学们利用准备好的两个边长为1的小正方形进行剪拼(无缝隙不重叠的拼接)，得到了一个大的正方形，在老师的引导下进一步学习了无理数．我在课堂上是按照图1所示的方法进行剪拼的，课后我有了进一步的思考：
问题1：能否利用一个边长为1的正方形和一个边长为2的正方形剪拼出一个大正方形？
对于上面的问题我进行了尝试并找到了图2和图3两种剪拼的方法．
问题2：如图4，一个边长为1的正方形和一个边长为3的正方形也能剪拼出一个大正方形吗？如果能，该如何剪拼呢？
任务1：图1中拼成的大正方形的边长为______，图2和图3中拼成的大正方形的边长为______．
任务2：请参考日记中图2或图3的剪拼方法，解决问题2．
要求：①在图4中画出剪切线并在图中仿照图2或图3标出相应线段的长度；
②在图4右侧画出拼接成的大正方形的示意图及其内部的拼接线．
解：任务2：能．剪拼方法①：如答图1所示．
剪拼方法②：如答图2所示．
第1题答图1
第1题答图2
任务3：结合上述问题解决经验，在图5所示的数轴上找到表示数的点A．(尺规作图，保留作图痕迹，不用说明作法)
解：任务3：如答图3，点A即为所求．
第1题答图3(共26张PPT)
第3课时 算术平方根(2)
知识导学
课堂讲练
第八章 实数
课堂检测
会用计算器计算算术平方根；能用有理数估计一个无理数的大致范围．
随堂测
知识导学
1．(人教七下P43改编)估算 的大小．
因为12＝1，22＝4，12＜2＜22，所以_____＜＜_____；
因为1.42＝1.96，1.52＝2.25，1.42＜2＜1.52，所以________＜＜________；
因为1.412＝1.988 1，1.422＝2.016 4，1.412＜2＜1.422，所以_________＜＜_________；……
精确到1，≈_____；保留1位小数，≈________．
事实上，＝1.414 213 562…，它是一个无限不循环小数．
1
2
1.4
1.5
1.41
1.42
1
1.4
无限不循环小数是指小数位数_______，且小数部分_________的小数．例如，等．
无限
不循环
用“夹逼法”估计有理数的算术平方根的近似值：
课堂讲练
算术平方根的估值
例1 估计 的值在 ( )
A．1和2之间 B．2和3之间
C．3和4之间 D．4和5之间
训练 1．(2025重庆)若n为正整数，且满足n＜＜n＋1，则n＝_____．
知识点 1
C
5
算术平方根的大小比较
例2 比较下列各组数的大小：
(1)；(2)______5；
(3)－1______4；(4)______1.5．
训练 2．比较下列各组数的大小：
(1)；(2)3______；
(3)；(4)．
＜
知识点 2
＞
＜
＞
＜
＞
＞
＜
比较算术平方根大小的方法：
①平方法：两边同时平方，比较平方后的数的大小；
②估算法：先估算出一边的取值范围，再与另一边进行比较．
用计算器计算算术平方根
例3 (1)用计算器计算：＝______，≈_________(精确到0.01)；
(2)在计算器上依次按键 ，显示结果为______．
39
知识点 3
3.32
64
算术平方根的应用
知识点 4
x 0.000 1 0.01 1 100 10 000
例4 (人教七下P44改编)(1)完成下表：
(2)发现规律：被开方数的小数点每向右或向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动_____位；
(3)应用规律：①已知≈1.732，则≈_________；
②已知≈7.07，≈70.7，则m＝______．
1
17.32
50
0.01
0.1
1
10
100
例5 (人教七下P45改编)小丽想用一块面积为36 cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为24 cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3∶1．请通过计算说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的纸片．
解：设长方形纸片的宽为x cm，则长为3x cm．
根据边长与面积的关系，得3x·x＝24．
由边长的实际意义，得x＝．
因此长方形纸片的长为3 cm．
因为8＞4，所以 ＞2．
所以3＞6，即长方形纸片的长应该大于6 cm．
因为正方形纸片的边长为＝6 cm，
所以小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片．
训练 3．某管理员准备用总长为48 m的篱笆将小区内一块正方形草坪沿其边缘围起来，已知正方形草坪的面积为140 m2，请通过估算判断篱笆是否够用．
解：根据题意，得正方形草坪的边长为 m．
所以篱笆共需4 m．
因为140＜144，
所以＜12．
所以4＜48．
所以篱笆够用．
课堂检测
1．根据 ＜＜＜＜＜，估计 的值在 ( )
A．1和2之间 B．2和3之间
C．3和4之间 D．4和5之间
2．用计算器依次按键 ，则下列各数与计算器显示的结果最接近的是 ( )
A．2.5 B．2.6
C．2.7 D．2.8
B
B
3．(人教七下P47改编)摆钟的钟摆摆动一个来回所用的时间t(单位：s)与钟摆的长度l(单位：m)之间满足t＝2π．若钟摆的长为 0.1 m，当π取3时，该钟摆摆动一个来回所用的时间为 ( )
A．0.05 s B．0.06 s
C．0.5 s D．0.6 s
D
4．【易错题】(2025广州期中)已知≈4.858，≈1.536，则≈__________．
5．比较下列各组数的大小：
(1)；(2)______4；
(3)；(4)______0.2．
153.6
＞
＜
＞
＜
6．【开放性、数形结合】如图，A，B，C均为正方形，若A的面积为10，C的面积为1，则B的边长可以是_________________．(写出一个答案即可)
2(答案不唯一)
7．【阅读】我们学过 是无限不循环小数，因此 的小数部分不可能全部地写出来．因为1＜＜2，所以可以用 －1来表示 的小数部分．
【应用】(1) 的整数部分是_____，小数部分是_________；
(2)1＋ 的整数部分是_____，小数部分是_________．
3
－3
2
－1
(拔高： )8．(人教七下P42改编)如图，用两个面积均为200 cm2的小正方形纸片拼成一个大正方形纸片．
(1)大正方形纸片的边长为______cm．
(2)若沿此大正方形纸片边的方向裁出一个长方形纸片，能否使裁出的长方形纸片的长宽之比为5∶4，且面积为360 cm2？请说明理由．
20
解：不能裁出符合要求的长方形纸片．理由如下：
设裁出的长方形纸片的长为5x cm，则宽为4x cm．
根据边长与面积的关系，得5x·4x＝360．
由边长的实际意义，得x＝．
因此裁出的长方形纸片的长为5 cm．
因为18＞16，所以＞4．所以5＞20．
所以不能裁出符合要求的长方形纸片．
随 堂 测
1．估计 的值在 ( )
A．2与3之间 B．3与4之间
C．4与5之间 D．5与6之间
2．请写出一个比 小的正整数：______________．
C
1(或2，或3)
3．用计算器求下列各式的值：
(1)＝______；
(2)≈________(结果精确到0.01)．
4．比较大小：(填“＞”“＜”或“＝”)
(1)5______；
(2)______ ．
52
2.24
＜
＞
5．若一个面积为128 m2的期刊阅览室恰好能被200块面积相同的正方形地砖铺满，求每块正方形地砖的边长．
解：设每块正方形地砖的边长是a m．
由题意，得200a2＝128．
解得a＝0.8或a＝－0.8(舍去)．
答：每块正方形地砖的边长是0.8 m．
运算滚动 6．计算：
(1)±＝________； (2)－＝_______；
(3)＝________； (4)＝_____．
±25
－
0.02
2(共25张PPT)
第6课时 实数(2)——实数的相关性质及运算
第八章 实数
能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数和绝对值．
课堂讲练
课堂检测
随堂测
课堂讲练
实数的相反数与绝对值
有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数．
即：|a|＝
(1)实数a的相反数是_______．
(2)一个正实数的绝对值是_________；一个负实数的绝对值是_____ __________；0的绝对值是_____．
－a
知识点 1
它本身
它的
相反数
0
例1 填空：
(1) 的相反数是________；
(2)－ 的相反数是______；
(3)2－π的相反数是_________；
(4)_________的相反数是－2．
－
π－2
2－
训练 1．填空：(1)0的相反数是_____；
(2)π的相反数是________；
(3)－ 的相反数是______；
(4) 的相反数是__________；
(5)一个数的相反数是3－，这个数是_________．
0
－π
－3
例2 填空：(1)||＝______；
(2)＝______；
(3)|3－π|＝_________；
(4)3－ 的绝对值是___________；
(5)若|x|＝，则x＝________．
π－3
－3
±
训练 2．填空：(1)|－|＝______；
(2)|4－π|＝________；
(3)|－1.5|＝____________；
(4)一个数的绝对值是 ，这个数是________；
(5) 的相反数是_______，绝对值是_____．
4－π
1.5－
±
－9
9
实数的运算
1．实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算．
2．在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用．
知识点 2
例3 计算：(1)()2＝_____；
(2)＝_____；
(3)3＋4＝_______．
训练 3．计算：(1)2×＝_______；
(2)＝_____；
(3)2－3＝________．
3
5
7
2
1
－
例4 计算：
(1)2－9＋3；
解：原式＝(2－9＋3)＝－4．
(2)．
解：原式＝4＝4－1．
训练 4．计算：
(1)3＋()2＋；
解：原式＝3＋2＋(－2)＝3＋2－2＝3．
(2)|－3|＋4．
解：原式＝3－＋4＝3＋3．
课堂检测
1．如图，数轴上A，B两点到原点的距离相等，若点B表示的数为 ，则点A表示的数为 ( )
A． B．－
C．2 D．－2
B
2．若|x|＝，则x的值是 ( )
A．－ B．
C．± D．3
3．下列各组数中，互为相反数的是 ( )
A．－2与 B．－2与
C．－2与 D．|－2|与2
C
B
4．下列计算正确的是 ( )
A．＝ B．3－2＝1
C．2＋＝2 D．3＋2＝5
5．(人教七下P56改编)计算：≈_______．(结果保留小数点后两位)
D
3.15
6．填表：
0 －π 1－
相反数
绝对值
0
π
－
－4
－1
0
π
4
－1
7．(人教七下P57改编)计算：
(1)＋(－)2；
解：原式＝－2＋2＝0．
(2)＋2)－2；
解：原式＝3＋2－2＝3．
(3)()2－|2－|．
解：原式＝2－(－2)＝2－＋2＝4－．
8．实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，计算|a－π|＋|1－a|的结果为 ( )
A．π＋1 B．π－1
C．1－π D．π－2
B
(拔高： )9．(人教七下P57改编)如图，长
方形ABCD内两个正方形的面积分别为4，10．
(1)求长方形ABCD的周长；
解：因为两个正方形的面积分别为4，10，
所以小正方形的边长为 ＝2，大正方形的边长为．
所以长方形ABCD的长为 ＋2，宽为 ．
所以长方形ABCD的周长为2×(＋2)＝4＋4．
(2)求图中两块阴影部分的面积和．
解：因为长方形ABCD的面积为×(＋2)＝10＋2，
所以两块阴影部分的面积和为10＋2－4－10＝2－4．
随 堂 测
1．计算：|－|＝ ( )
A． B．－
C．5 D．－5
2．若实数a的相反数是－3，则a的值为 ( )
A．－3 B．0
C． D．3
A
D
3．计算：
(1)()2＝_____；
(2)4＝_______．
4．填空：
(1)－ 的相反数是______，绝对值是______；
(2) 的相反数是________，绝对值是______；
(3)3－π的相反数是_________，绝对值是_________．
8
3
－
π－3
π－3
5．计算：
(1)；
解：原式＝10＋2
＝12．
(2)－1)＋－|－2|．
解：原式＝3－＋(－3)－(2－)
＝3－－3－2＋
＝－2．
易错滚动 6．下列各式中，正确的是 ( )
A．＝±5 B．±＝7
C．＝－3 D．＝－4
D(共24张PPT)
第4课时 立方根
第八章 实数
了解立方根的概念，会用根号表示数的立方根；了解乘方与开方互为逆运算，会用立方运算求千以内完全立方数(及对应的负整数)的立方根，会用计算器计算立方根．
课堂讲练
课堂检测
随堂测
课堂讲练
求立方根
一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数____叫作_____的立方根或三次方根．求一个数的立方根的运算，叫作开立方．开立方与立方互为逆运算．
一个数a的立方根记为“______”，读作“______________”，其中a是被开方数，3是根指数．
例如，因为23＝8，所以8的立方根是_____，即 ＝_____；
因为(_____)3＝－8，所以－8的立方根是_____，即___________．
知识点 1
x
a
三次根号a
2
2
－2
－2
＝－2
例1 填空：
(1)1的立方根是_____；
(2) 的立方根是______；
(3)－0.027的立方根是_________；
(4)10的立方根是_______．
1
－0.3
训练 1．填空：
(1)－1的立方根是_______；
(2)0.008的立方根是_______；
(3)3的立方根是______；
(4)(－4)3的立方根是_______．
－1
0.2
－4
正数的立方根是______数，负数的立方根是______数，0的立方根是_____．
正
负
0
例2 求下列各式的值：
(1)＝_____，＝_______；
(2)＝________，－＝________．
4
－4
－
－
一般地，．
训练 2．求下列各式的值：
(1)＝_____；
(2)－＝_________；
(3)＝________．
6
－0.1
－
利用立方根的概念解方程
例3 (人教七下P51改编)求下列各式中x的值：
(1)2x3＝－16；
解：两边同除以2，得x3＝－8．
开立方，得x＝－2．
(2)x3－0.008＝0．
解：移项，得x3＝0.008．
开立方，得x＝0.2．
知识点 2
训练 3．(人教七下P51改编)求下列各式中x的值：
(1)x3＋＝4；
解：移项、合并同类项，得x3＝．
开立方，得x＝．
(2)(x＋1)3＝－1．
解：开立方，得x＋1＝－1．
解得x＝－2．
立方根的应用
例4 (人教七下P50改编)利用计算器计算下表中各数的立方根，结果如下：
知识点 3
… …
… 0.07 0.7 7 70 …
(1)发现规律：被开方数的小数点向右或向左移动3k位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动______位；
(2)应用规律：已知≈2.35，则≈________， ≈______．
k
0.235
23.5
例5 (人教七下P51改编)把一个长6 cm、宽4 cm、高9 cm的长方体铁块熔化后铸成一个正方体铁块(不计损耗)，这个正方体的棱长是多少厘米？
解：设这个正方体的棱长是x cm．
根据题意，得6×4×9＝x3．
整理，得x3＝216．
开立方，得x＝6．
答：这个正方体的棱长是6 cm．
训练 4．有两个正方体水箱，已知第一个正方体水箱的棱长为6 dm，第二个正方体水箱的体积比第一个水箱体积的3倍还多81 dm3，求第二个正方体水箱的棱长．
解：第一个正方体水箱的体积为63＝216(dm3)，
所以第二个正方体水箱的体积为3×216＋81＝729(dm3)．
所以第二个正方体水箱的棱长为＝9(dm)．
课堂检测
1．下列说法正确的是 ( )
A．27的立方根是3 B．±2是8的立方根
C．－8没有立方根 D．立方根是它本身的数只有0和1
2． 的立方根是 ( )
A．2 B．±2
C．8 D．－8
A
A
3．填空：(1)－125的立方根是_______；
(2)73的立方根是_____；
(3)＝________；
(4)＝_______．
－5
7
0.8
－
4．(人教七下P51改编)比较下列各组数的大小：
(1)______2；(2)－______－2；
(3) ______ ；(4)______－2.5．
＞
＞
＜
立方根的大小比较可类比算术平方根．
5．求下列各式中x的值：
(1)8x3－125＝0；
解：移项，得8x3＝125．
等号两边同除以8，得x3＝．
开立方，得x＝．
(2)(x＋3)3＝－27．
解：开立方，得x＋3＝－3．
解得x＝－6．
6．要生产一种容积为96 L的圆柱形容器，使它的高等于底面直径的2倍，这种容器的底面直径应取多少分米？(π取3)
解：设这种容器的底面直径为d dm，则它的高为2d dm．
根据题意，得π·2d＝96．
整理，得d3＝64．开立方，得d＝4．
答：这种容器的底面直径应取4 dm．
(拔高： )7．(人教七下P51改编)(1)填空：
①()3＝_____，()3＝_____，()3＝_______，
()3＝______，()3＝_______；
②＝_____，＝_____，＝_______，
＝_______，＝_____．
(2)归纳：
①对于任意数a，()3＝_____，()3＝_______；
②对于任意数a，＝______，＝________．
0
8
－8
27
－27
0
2
－2
－3
4
a
－a
a
－a
随 堂 测
1．(1)因为33＝27，所以______的立方根是_____，即＝____；
(2)因为(－0.6)3＝－0.216，所以__________的立方根是_________，即＝_________．
2． 的立方根是 ( )
A． B．±
C． D．±
27
3
3
－0.216
－0.6
－0.6
A
3．(人教七下P49改编)一种形状为正方体的魔方，它的体积为512 cm3，则它的棱长为_____cm．
4．填空：(1)9的立方根是______；
(2)___________的立方根是－0.1；
(3)若－x3＝1，则x的值为_______．
8
－0.001
－3
5．求下列各式的值：
(1)； (2)；
解：＝7．
(3)－； (4)．
解：－＝－．
解：＝－0.2．
解：＝－＝－4．
易错滚动 6．如图，直线a，b被直线c所截，则∠1的度数是 ( )
A．55°
B．75°
C．110°
D．无法确定
D(共35张PPT)
第八章 章末复习
知识导图
考点训练
第八章 实数
综合提升
知识导图
两
相反数
0
负数
算术平方根
正数
0
正数
负数
0
无理数
0
无限不循环
大
－a
它本身
相反数
0
考点训练
考点 算术平方根、平方根、立方根
1． 的算术平方根是 ( )
A．± B．±3
C．－ D．
D
2．的值是 ( )
A．4 B．－4
C．8 D．－8
3．(2025福建)若 在实数范围内有意义，则实数x的值可以是 ( )
A．－2 B．－1
C．0 D．2
B
D
4．计算：
(1)－＝________；
(2)±＝________；
(3) 的平方根是_______；
(4)＝_______．
5．若a，b均为实数，且|a＋3|＋＝0，则ab的平方根为_______．
－0.2
±
±2
－3
±3
6．(2025汕头期中)已知一个正数的两个平方根分别是5a－1和a－5，且2b－4的立方根是－2．
(1)求5a－2b的算术平方根；
解：根据题意，得5a－1＋a－5＝0，2b－4＝(－2)3＝－8．
解得a＝1，b＝－2．
所以5a－2b＝9．
所以＝＝3．
所以5a－2b的算术平方根是3．
(2)解关于x的方程：4(x＋b)2－9a＝0．
解：由(1)，得a＝1，b＝－2．
所以4(x－2)2－9＝0．
解得x＝ 或x＝．
考点 算术平方根、平方根、立方根的应用
7．某地气象资料表明：当地雷雨持续的时间t(h)可以用公式t2＝ 来估计，其中d(km)表示雷雨区域的直径．
(1)如果某场雷雨区域的直径是10 km，那么这场雷雨大约能持续多长时间？(结果保留根号)
解：根据题意，得t2＝＝＝．
由时间的实际意义，得t＝＝(h)．
答：这场雷雨大约能持续 h．
(2)如果某场雷雨持续了20 min，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？(结果精确到0.1 km，参考数据：≈4.64)
解：因为20 min＝ h，所以＝．
解得d＝≈4.64≈4.6(km)．
答：这场雷雨区域的直径大约是4.6 km．
8．《清秘藏》是明代张应文撰写的工艺美术鉴赏专著，其中记载的刺绣在我国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类．现有一张长方形绣布，已知绣布的长、宽之比为4∶3，面积为588 cm2．
(1)求绣布的周长．
解：设绣布的长为4x cm，则宽为3x cm．
根据题意，得4x·3x＝588，即x2＝49．
由边长的实际意义，得x＝7．
所以绣布的长为4x＝4×7＝28(cm)，宽为3x＝3×7＝21(cm)．
所以绣布的周长为2×(28＋21)＝98(cm)．
(2)若刺绣师傅想利用这张绣布裁出一张面积为375 cm2的圆形绣布来绣花鸟图，她能裁出来吗？请说明理由．(π取3)
解：她不能裁出来．理由如下：
设圆形绣布的半径为r cm．
根据题意，得πr2＝375．
因为π取3，所以r2＝125．
由半径的实际意义，得r＝．
因为＞＝11，所以2r>22＞21．
所以她不能裁出来．
考点 实数的概念及分类
9．下列实数中，是无理数的是 ( )
A． B．3.14
C． D．
C
10．下列说法正确的是 ( )
A．不带根号的数都是有理数
B．－1的立方根是无理数
C．无限小数是无理数，有限小数是有理数
D．无理数包括正无理数和负无理数
D
11．(2025广州期中)如图，若数轴上的点P表示的数为x，则x为 ( )
A．－ B．
C． D．π
B
12．把下列各数填在相应的横线上：
－0.030 030 003…(每两个3之间依次多一个0)，0.125，，0，－，－．
(1)有理数：_______________________；
(2)无理数：________________________________________________
____________；
(3)正实数：__________________；
(4)负分数：_______．
0.125，，0，－
－0.030 030 003…(每两个3之间依次多一个0)，，
－
0.125，
－
考点 无理数的估值和实数的大小比较
13．在0，－2，－，π四个数中，最大的数是 ( )
A．－2 B．0
C．π D．－
C
14．如图，数轴上手掌遮挡住的点表示的数可能是 ( )
A．－ B．－
C． D．
B
15．比较下列各组数的大小(填“＞”“＜”或“＝”)：
(1)π______3.14；(2)______4；
(3)－2______3；(4) ______ ．
16．若 的整数部分为a，－27的立方根为b，则ba＝_____．
＞
＜
＜
＞
9
考点 实数的相反数和绝对值
17．的相反数是 ( )
A． B．－
C． D．5
B
18．下列各数在数轴上对应的点距离原点最近的是 ( )
A．－2 B．－
C． D．
19．若一个数的绝对值是，则这个数是________．
20．－2的相反数是_________，绝对值是_________．
C
±
2－
－2
考点 实数的运算
21．计算：(1)－|－|＋；
解：原式＝2－＋6＝8－．
(2)|－2|－－1)．
解：原式＝2－－(3－)
＝2－－3＋
＝－1．
22．定义一种新运算“△”，规定：a△b＝|a－b|，其中a，b为任意实数．计算：(△3)＋(2△)．
解：(△3)＋(2△)
＝|－3|＋|2－|
＝3－－2
＝1．
综合提升
23．(2025汕头期中)在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量，已知某微观粒子的能量E可以用公式E＝表示．当a＝6，b＝7时，该微观粒子的能量E的值在 ( )
A．4和5之间 B．5和6之间
C．6和7之间 D．8和9之间
C
24．(2025陆丰期中)有一个数值转换器，计算流程如图所示，当输入的x值为64时，输出的y值是 ( )
A．2 B．
C．±2 D．
25．已知≈4.858，≈1.536，则－≈ ________.
B
－48.58
26．如图，数轴上点O，B，C表示的数分别为0，1，，点A在数轴的负半轴上，且点B到点C的距离与点O到点A的距离相等．设点A表示的数为x．
(1)求x的值；
解：∵点B，C表示的数分别为1，，
∴BC＝－1．
∴|x|＝－1．
∵点A在数轴的负半轴上，∴x＝1－．
(2)求|x－|＋|x＋1|的值．
解：由(1)可知x＝1－．
∴|x－|＋|x＋1|＝|1－|＋|1－＋1|＝2－1＋2－＝＋1．
27．综合与实践
课题 中山市景点卡片及封皮制作
图示
相关数据 及说明 正方形卡片的面积为64 cm2，长方形封皮的长与宽的比为2∶1，面积为140 cm2．
计算结果 …
【任务驱动】某中学课外活动小组制作了精美的中山市景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色的包装封皮．
【实践操作】A小组成员制作正方形景点卡片，B小组成员制作长方形包装封皮．
【解决问题】请你通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮中．
解：设长方形封皮的宽为x cm，则长为2x cm．
根据题意，得x·2x＝140，即x2＝70．解得x＝±．
∵x＞0，∴x＝．
∵＞＝8，∴＞8．
答：正方形卡片能直接装进长方形封皮中．
28．综合与实践
【问题情境】如图1，有一条长为8个单位长度的纸条(宽度忽略不计)．已知半径为1的圆上的一点M与纸条上表示数0的点重合，将圆沿着纸条向右滚动一周，重合点变为点N，点N表示的数为n．
【问题解答】
(1)n的值为_______．(结果保留π)
(2)求－(n－)＋2π的平方根．
2π
解：(2)原式＝－2π＋＋2π＝4．
∵4的平方根是±＝±2，
∴－(n－)＋2π的平方根是±2．
(3)“善思小组”将纸条进行如下操作．
①操作一：如图2，将纸条沿表示数4的点对折，则表示数 的点与表示数_________的点重合；
②操作二：如图3，在操作一的条件下，将对折的纸条沿着点B剪开．如图4，展开后BB′ 的长为2＋2，则点B表示的数为_________．
8－
3－(共25张PPT)
第1课时 平方根
知识导学
课堂讲练
第八章 实数
课堂检测
了解平方根的概念，会用根号表示数的平方根；了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内完全平方数的平方根．
随堂测
知识导学
1．(人教七下P40改编)(1)填写右表：
一般地，如果一个数x的平方等于a，
即x2＝a，那么这个数____叫作_____
的平方根或二次方根．求一个数的平
方根的运算，叫作开平方．平方和开
平方互为逆运算．
表示方法：正数a的平方根可以用“________”表示，读作“_____ __________”，a叫作____________．特别地，0的平方根记为______．
x
a
±
正、
负根号a
被开方数
x2 x
1
36
1或－1(或±1)
6或－6(或±6)
或－
(2)因为(_______)2＝64，所以64的平方根是_______，即±＝_______．
±8
±8
±8
课堂讲练
求平方根
例1 填空：(1)1的平方根是_______；
(2)25的平方根是_______；
(3)0.04的平方根是________；
(4) 的平方根是________；
(5)3的平方根为________．
±1
知识点 1
±5
±0.2
±
±
训练 1．填空：(1)16的平方根是_______；
(2)0的平方根是_____；
(3) 的平方根是________；
(4)0.64的平方根是__________；
(5)－0.09________平方根．(填“有”或“没有”)
±4
0
±
±0.8
没有
正数有______个平方根，它们互为__________；0的平方根是_____；负数________平方根．
两
相反数
0
没有
例2 填空：(1)±＝_______；
(2)＝______；
(3)－＝_________；
(4)±＝_______．
±7
－1.2
±5
训练 2．填空：(1)＝______；
(2)±＝_________；
(3)－＝________；
(4)±＝_______．
16
±0.1
－
±3
平方根的特征(互为相反数)
例3 已知一个正数x的两个平方根分别是m＋5与1－3m．
(1)求m的值；
解：因为正数x的两个平方根分别是m＋5与1－3m，
所以m＋5＋(1－3m)＝0．解得m＝3．
(2)求这个正数x．
解：由(1)，得m＋5＝8．
所以x＝(m＋5)2＝82＝64．
知识点 2
训练 3．已知一个数x的两个平方根分别是3a＋2和a＋14，求a和x的值．
解：因为数x的两个平方根分别是3a＋2和a＋14，
所以3a＋2＋(a＋14)＝0．解得a＝－4．
所以a＋14＝－4＋14＝10．
所以x＝(a＋14)2＝102＝100．
利用平方根的概念解方程
例4 (人教七下P42改编)求下列各式中x的值：
(1)x2＝81；
解：因为(±9)2＝81，所以x＝±9．
(2)4x2＝121．
解：等号两边同除以4，得x2＝．
因为＝，所以x＝±．
知识点 3
训练 4．求下列各式中x的值：
(1)x2－9＝0；
解：移项，得x2＝9．
因为(±3)2＝9，所以x＝±3．
(2)25x2＝9．
解：等号两边同除以25，得x2＝．
因为＝，所以x＝±．
课堂检测
1．36的平方根是 ( )
A．6 B．－6
C．±6 D．±
2．下列实数中，没有平方根的是 ( )
A．0 B．10
C．(－4)2 D．－100
C
D
3．(人教七下P41改编)下列说法正确的是 ( )
A．－4的平方根是－2
B．任何数都有两个平方根
C．－1是1的一个平方根
D．0.01的平方根是0.1
C
4．(人教七下P42改编)填空：
(1)5的平方根是________；
(2)±＝_______；
(3)－＝________；
(4)的平方根是_______．
±
±4
－
±3
5．求下列各式中x的值：
(1)x2－＝0；
解：移项，得x2＝．
因为＝，所以x＝±．
(2)4(x－5)2＝16．
解：等号两边同除以4，得(x－5)2＝4．
因为(±2)2＝4，所以x－5＝±2．
所以x＝7或x＝3．
6．已知3a－4和2a－1均是正数m的平方根，求m的值．
解：分为以下两种情况：
①当3a－4与2a－1相等时，
3a－4＝2a－1．解得a＝3．
所以3a－4＝5．所以m＝52＝25．
②当3a－4与2a－1互为相反数时，
(3a－4)＋(2a－1)＝0．解得a＝1．
所以2a－1＝1．所以m＝12＝1．
综上所述，m的值为25或1．
“已知一个数m的两个平方根分别是××和××”和“已知××和××均是数m的平方根”有什么区别？
(拔高： )7．(人教七下P47改编)(1)填空：
①()2＝_____，()2＝_____，()2＝______，
()2＝______，()2＝______，()2＝_____；
②＝_____，＝_____，＝_____，
＝_____，＝_____，＝_____．
4
9
25
36
49
0
2
5
6
0
3
6
(2)归纳：
①对于任意非负数a，()2＝______；
②对于任意数a，当a≥0时，＝____；当a＜0时，＝____．
a
a
－a
随 堂 测
1．填空：
(1)因为(±1)2＝1，所以_____的平方根是_______，即±＝_______；
(2)因为(±0.2)2＝0.04，所以_________的平方根是__________，即±＝__________．
1
±1
±1
0.04
±0.2
±0.2
2． 的平方根是 ( )
A． B．－
C．± D．±
C
3．填空：
(1)64的平方根是_______； (2)－＝_______；
(3)±＝_________； (4)＝_____．
4．若一个正数的平方根分别是m与m－4，则m的值为_____．
±8
－7
±0.4
7
2
5．求下列各式中x的值：
(1)x2＝16；
解：因为(±4)2＝16，所以x＝±4．
(2)16x2＝25．
解：等号两边同除以16，得x2＝．
因为＝所以x＝±．
运算滚动 6．计算：(－2)3×5－|－3|＋(－3)．
解：原式＝－8×5－3－3
＝－40－3－3
＝－46．(共21张PPT)
第2课时 算术平方根(1)
第八章 实数
了解算术平方根的概念，会用根号表示数的算术平方根；会用平方运算求百以内完全平方数的算术平方根．
课堂讲练
课堂检测
随堂测
课堂讲练
求算术平方根
正数a有两个平方根，其中______的平方根______叫作a的算术平方根．
表示方法：正数a的算术平方根用______来表示．
规定：0的算术平方根是_____，0的算术平方根也记为______．
例如，因为32＝9，所以9的算术平方根是_____，即 ＝_____；
因为42＝16，所以16的算术平方根是_____，即＝_____．
正
知识点 1
0
3
3
4
4
例1 填空：
(1)1的算术平方根是_____；
(2)36的算术平方根是_____；
(3) 的算术平方根是______；
(4)0.04的算术平方根是_______；
(5)5的算术平方根是______．
1
6
0.2
观察(1)～(5)中的数据，被开方数的大小与对应算术平方根的大小有什么关系？
训练 1．写出下表中各数的平方根和算术平方根：
0 25 0.81 10
平方根
算术平方根
0
±5
±0.9
±
±
0
5
0.9
被开方数越大，对应的算术平方根就越大．
例2 求下列各式的值：
(1)＝_____；
(2)＝______；
(3)＝________；
(4)＝_____．
9
0.05
7
训练 2．求下列各式的值：
(1)＝______；
(2)＝_______；
(3)＝______；
(4)＝______．
10
0.8
算术平方根的性质
算术平方根具有双重非负性：
知识点 2
例3 (1)当式子 取最小值时，a的值为________；
(2)已知＝0，则m＋n＝_______．
－
－4
若几个非负数的和为0，则每个非负数均为0．
训练 3．若 有意义，则x的值不可以是 ( )
A．1 B．2
C．3 D．4
4．已知a，b都是实数，若|a＋1|和 互为相反数，则a－b＝_______．
D
－3
课堂检测
1． 的算术平方根是 ( )
A． B．
C．± D．
B
2．下列各式中，正确的是 ( )
A．＝4 B．＝－4
C．＝±4 D．±＝2
3． 的算术平方根是 ( )
A．4 B．2
C．±4 D．±2
A
B
4．下列说法正确的是 ( )
A．1的算术平方根是±1
B．8的算术平方根是4
C．算术平方根不可能是负数
D．一个正数的平方根一定是它的算术平方根
5．若一个数的算术平方根是3，则这个数的平方根是_______．
C
±3
6．求下列各式的值：
(1)＝_____；(2)＝________；(3)＝______；
(4)＝______；(5)＝_____．
7
0.1
9
7．【开放性】写出一个正整数m，使得 是整数：_______ ___________．
2(答
案不唯一)
为整数 a为整数的平方．
8．(人教七下P44)排球比赛场地呈长方形，长是宽的2倍，面积为162 m2．它的长与宽分别是多少？
解：设它的宽为x m，则它的长为2x m．
根据题意，得2x2＝162，即x2＝81．
解得x＝9或x＝－9(不合题意，舍去)．
所以2x＝2×9＝18．
所以它的长为18 m，宽为9 m．
9．已知＋|b－2|＝0，则ab的值为_____．
(拔高： )10．已知3b＋3的平方根是±3，3a＋2b的算术平方根是5．求4a－6b的算术平方根．
解：根据题意，得3b＋3＝(±3)2＝9，3a＋2b＝52＝25．
解得b＝2，a＝7．
所以＝＝＝4．
所以4a－6b的算术平方根是4．
4
随 堂 测
1．填空：
(1)因为22＝4，所以_____的算术平方根是_____，即＝_____；
(2)因为＝所以_____的算术平方根是____，即＝____.
4
2
2
2．0.64的算术平方根是 ( )
A．0.8 B．－0.8
C．0.08 D．－0.08
3．若＋|y－2 025|＝0，则x的值是 ( )
A．2 025 B．1
C．－2 025 D．－1
4．(2025济南)已知一个正方形的面积为2，则其边长为______．
A
D
5．求下列各式的值：
(1)；
解：因为0.22＝0.04，所以＝0.2．
(2)；
解：因为＝所以＝．
(3)．
解：＝10．
运算滚动 6．解方程：(x＋2)2＝0.49．
解：因为(±0.7)2＝0.49，
所以x＋2＝0.7或x＋2＝－0.7．
所以x＝－1.3或x＝－2.7．(共13张PPT)
新题型、新考向——综合探究
第八章 实数
活动 估算A0纸的长与宽(素材来源：人教七下P59数学活动1)
1．按照国际标准，A系列纸为长方形(如图1)，其中A0纸的面积为1 m2．将A0纸沿长边对折、裁开，便成A1纸；将A1纸沿长边对折、裁开，便成A2纸；将A2纸沿长边对折、裁开，便成A3纸；将A3纸沿长边对折、裁开，便成A4纸……
【操作发现】将一张A4纸按如图2所示的方式进行两次折叠(折痕分别是AE和AF)，发现点E恰好与点D重合．
【初步尝试】(1)求A4纸的长宽之比；(提示：正方形对角线的长是边长的 倍)
解：∵第一次折叠形成一个正方形，∴AE＝AB．
∵第二次折叠可以得到AD＝AE，∴AD＝AB．
∴AD∶AB＝∶1，即A4纸的长宽之比为∶1．
【类比迁移】(2)按照国际标准，根据上述信息可以得到A0纸的长宽之比是_________；
∶1
【思考探究】(3)求用A0纸可以裁剪出的最大正方形的面积(结果保留根号)；
解：由(2)，得A0纸的长宽之比为∶1．
设A0纸的宽为x m，则长为 x m．
∵A0纸的面积为1 m2，∴x·x＝1．∴x2＝．
∴当用A0纸裁剪出的正方形的边长等于A0纸的宽时，面积最大，为 m2．
【问题解决】(4)估计A0纸的长与宽分别是多少毫米？(参考数据：≈1.414，1.1892≈1.414，0.8412≈0.707．结果保留整数)
解：由(3)，得x2＝≈0.707．
∵x＞0，∴x≈0.841．∴x≈1.189．
∴A0纸的长约为1.189 m＝1 189 mm，宽约为0.841 m＝841 mm．
活动 口算求立方根(素材来源：人教七下P59数学活动2)
2．【问题背景】我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59 319，求它的立方根．华罗庚脱出而出：39．
你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？请你按照下面的方法试一试：
【初步尝试】(1)∵1 000＜59 319＜1 000 000，即103＜59 319＜1003，
∴______＜＜_______．
∴ 是一个_____位数．
【分析思考】(2)∵13＝____，23＝____，33＝_____，43＝______，53＝______，63＝______，73＝______，83＝_______，93＝______，
∴ 的个位上的数是____．
10
100
两
1
8
27
64
125
216
343
512
729
9
【深入探究】(3)我们知道，被开方数的小数点向右或向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动_____位．
(4)确定 的十位上的数时，可先划去59 319后面的三位319得到数59．
∵27＜59＜64，即33＜59＜43，
∴_____＜＜_____．
∴30＜＜40．
∴ 的十位上的数是_____．
1
3
4
3
【归纳总结】(5)求较大完全立方数的立方根时，先确定结果的________，再确定各位数上的________．
位数
数字
如果一个整数是另一个整数的完全立方，那么我们就称这个数为完全立方数，也叫作立方数．
【迁移应用】(6)已知110 592是一个整数的立方，按照上述方法，完成下列填空：
①它的立方根是______位数；
②它的立方根的个位上的数是_____；
③它的立方根是______．
两
8
48
(7)已知1 225是一个整数的平方，类比上述方法，求1 225的算术平方根．(过程可仿照上述步骤)
解：∵100＜1 225＜10 000，即102＜1 225＜1002，
∴10＜＜100．∴ 是两位数．
又个位数中只有5的平方的结果的个位数为5，
∴ 的个位上的数是5．
划去1 225后面的两位25得到数12．
∵9＜12＜16，即32<12<42，∴3＜＜4．∴30＜＜40．
∴ 的十位上的数是3．
∴1 225的算术平方根为35．
