(共23张PPT)
第3课时 相交线(3)——点到直线的距离
知识导学
课堂讲练
第七章 相交线与平行线
课堂检测
理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离．
随堂测
知识导学
1．如图，P是直线l外一点，连接点P与直线l上A，B，C，D四点．
(1)在线段PA，PB，PC，PD中，最短的线段是________．
PC
→垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
简单说成：垂线段最短．
(2)点P到直线l的距离为垂线段________的长．
→点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度．
PC
课堂讲练
点到直线的距离
例1 如图，A，B，C，D四点在直线l上，点M在直线l外，MC⊥ l，若MA＝5 cm，MB＝4 cm，MC＝2 cm，MD＝3 cm，则点M到直线l的距离是 ( )
A．2 cm
B．3 cm
C．4 cm
D．5 cm
知识点 1
A
训练 1．如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，下列说法不正确的是 ( )
A．点A到BC的距离为线段AD的长
B．点C到AD的距离为线段CD的长
C．点B到AC的距离为线段AB的长
D．点D到AB的距离为线段BD的长
D
训练 2．(人教七下P6改编)如图，在三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝12 cm，AC＝5 cm，AB＝13 cm，那么点A到BC的距离为______，点B到AC的距离为_________，A，B两点之间的距离为________．
5 cm
12 cm
13 cm
垂线段的性质及应用
例2 如图，在三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝5，P是边BC上的动点，则AP的长不可能是 ( )
A．4.8 B．5
C．6 D．7
知识点 2
A
训练 3．如图，小智同学的家在P处，他想尽快赶到附近公路边搭顺风车，他选择P→B路线，用几何知识解释其道理是_____________．
垂线段最短
训练 4．如图，点A表示小明家，点B表示小明外婆家，若小明从家出发，先去外婆家拿渔具，再去河边钓鱼，怎样走能使路线最短？请画出最短的行走路线．
解：如答图，连接AB，过点B作BC垂直于河岸，垂足为C，折线ABC即为最短的行走路线．
训练4题答图
课堂检测
1．如图是人行横道的示意图，若从点P出发通过马路，则在PA，PB，PC，PD四条路线中，最短的路线是 ( )
A．PA B．PB
C．PC D．PD
C
2．如图，在正方形网格中画有村庄M，N和一段笔直的铁路及道口A，B．小强从道口A到公路BN，他选择的路线为公路AN，其理由为 ( )
A．两点确定一条直线
B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短
D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C
3．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝12 cm，AC＝9 cm，AB＝15 cm．
(1)点B到AC的距离是_____cm，点A到BC的距离是_____cm；
12
9
(2)在图中画出表示点C到AB的距离的线段，并求出这个距离．
解：如答图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则线段CD的长度就是点C到AB的距离．
因为S三角形ABC＝BC·AC＝AB·CD，
所以CD＝＝＝(cm)．
所以点C到AB的距离为 cm．
第3题答图
可利用直角三角形的面积转换求解．
4．如图，在一条河流的一侧有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池．
(1)不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H的位置，使它到四个村庄的距离之和最小．
解：如答图，连接AD，BC，交点就是蓄水池H的位置．
第4题答图
(2)在(1)的条件下，计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠可使渠道最短？请你画图确定渠道的位置，并说明理由．
解：如答图，过点H作HG垂直于河岸，垂足为G，线段HG即为渠道的位置．
理由：垂线段最短．
第4题答图
(拔高： )5．在如图所示的正方形网格中，所有小正方形的边长都为1，点A，B，C都在格点上．
(1)利用网格作图：过点C画直线AB的垂线段CE，垂足为E；
解：如答图，线段CE即为所求．
第5题答图
(2)线段CE的长度是点______到直线________的距离；
(3)比较大小：CE______CB(填“＞”“＜”或“＝”)，其理由为：______________．
C
AB
＜
垂线段最短
第5题答图
随 堂 测
1．如图，AB⊥AC，AD⊥BC，那么点C到直线AD的距离是指 ( )
A．线段AC的长度
B．线段AD的长度
C．线段BD的长度
D．线段CD的长度
D
2．已知A为直线l外一点，B为直线l上一点，若点A到直线l的距离为3 cm，则AB______3 cm(填“≥”“≤”或“＝”)，依据是________ ______．
≥
3．(人教七下P9改编)如图，这是小明同学在体育课上跳远后留下的脚印，直线l表示起跳线．经测量，BP＝3.3 m，CP＝3.1 m，DP＝3.5 m，则小明同学的跳远成绩是________m．
垂线段
最短
3.1
4．如图，某国道a上有一出口M，现想在附近公路b旁建一个加油站N，欲使出口M到加油站N的距离最短，则加油站N应建在什么地方？请你在图中标出加油站N的位置．
解：如答图，过点M作MN⊥b，垂足为N，点N即为所求．
第4题答图
运算滚动 5．方程7x－5＝6x的解是________．
x＝5(共25张PPT)
第9课时 平行线的判定与性质
知识导学
课堂讲练
第七章 相交线与平行线
课堂检测
随堂测
知识导学
平行线的判定 图示 平行线的性质
同位角________，两直线平行． 几何语言： ∵____________，∴a∥b 两直线平行，同位角________．
几何语言：
∵a∥b，∴____________
相等
∠1＝∠2
相等
∠1＝∠2
平行线的判定 图示 平行线的性质
内错角________，两直线平行． 几何语言： ∵____________，∴a∥b 两直线平行，内错角________．
几何语言：
∵a∥b，∴____________
同旁内角________，两直线平行． 几何语言：∵____________ ______，∴a∥b 两直线平行，同旁内角________．
几何语言：∵a∥b，∴__________________
相等
∠1＝∠2
相等
∠1＝∠2
互补
∠1＋∠2 ＝
180°
互补
∠1＋∠2＝180°
课堂讲练
例1 (人教七下P17改编)如图，∠ADE＝60°，∠B＝60°，∠DEC＝140°，求∠C的度数．
解：∵∠ADE＝60°，∠B＝60°，
∴∠ADE＝∠B．
∴DE∥BC．
∴∠DEC＋∠C＝180°．
∵∠DEC＝140°，
∴∠C＝180°－∠DEC＝180°－140°＝40°．
训练 1．(人教七下P18改编)如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，求证：BE∥CF．
证明：∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD．
∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，
∴∠EBC＝∠ABC，∠FCB＝∠BCD．
∴∠EBC＝∠FCB．∴BE∥CF．
例2 (人教七下P18改编)如图，直线a，b，c被直线l所截，∠1＋∠2＝180°，∠1＝∠3．求证：b∥c．
证明：∵∠1＋∠2＝180°，
∴a∥b．
∵∠1＝∠3，∴a∥c．
∴b∥c．
训练 2．如图，已知AB⊥BF，CD⊥BF，∠1＝∠2．求证：∠3＝∠E．
证明：∵∠1＝∠2，
∴AB∥EF．
∵AB⊥BF，CD⊥BF，
∴∠B＝∠CDF＝90°．∴AB∥CD．
∴CD∥EF．∴∠3＝∠E．
例3 如图，已知∠AFE＝∠ADC，∠1＋∠2＝180°．判断GD与CA的位置关系，并说明理由．
解：GD∥CA．理由如下：
∵∠AFE＝∠ADC，
∴EF∥CD．
∴∠1＋∠DCE＝180°．
∵∠1＋∠2＝180°，∴∠2＝∠DCE．
∴GD∥CA．
训练 3．(北师八上P195改编)如图，直线BC分别与直线AE，ED，AF，DF相交于点B，G，H，C，且∠1＝∠2，∠A＝∠D．求证：∠B＝∠C．
证明：∵∠1＝∠2，∠2＝∠AHB，
∴∠1＝∠AHB．∴AF∥DE．
∴∠D＝∠AFC．
∵∠A＝∠D，∴∠A＝∠AFC．
∴AB∥CD．∴∠B＝∠C．
课堂检测
1．如图，点E在BC的延长线上，已知∠1＝∠2，则一定与∠DCE相等的角是 ( )
A．∠B B．∠D
C．∠2 D．∠1
A
2．如图，∠1＝50°，∠2＝130°，∠4＝85°，则∠3＝_______．
95°
3．(人教七下P24改编)如图，已知∠1＝∠2，DE∥BC，求证：AB∥EF．
证明：∵①______________，
根据“两直线平行，②__________相等”，
∴③_____________．
又∠1＝∠2，
∴∠2＝④________．
根据“⑤__________________________”，
∴AB∥EF．
DE∥BC
同位角
∠1＝∠B
∠B
同位角相等，两直线平行
4．如图，已知AC∥FE，∠1＋∠2＝180°．
(1)FA与CD平行吗？请说明理由．
解：FA∥CD．理由如下：
∵AC∥FE，∴∠1＋∠FAC＝180°．
又∠1＋∠2＝180°，
∴∠FAC＝∠2．
∴FA∥CD．
(2)若AC平分∠FAD，EF⊥BE于点E，∠FAD＝70°，则∠BCD的度数为_______．
55°
5．张师傅用锤子起钉子，如图1所示，将其抽象成如图2所示的示意图，其中AM∥OD，锤柄AB⊥OC，AB⊥AF，若∠COD＝25°，则∠FAM的度数为 ( )
A．50°
B．45°
C．35°
D．25°
D
(拔高： )6．如图是超市购物车的侧面示意图，扶手AB∥框顶CE∥框底FG，车轮两支脚架MH⊥HN，∠BAG＝110°，∠DGA＝50°．
(1)求∠FGD的度数；
解：∵AB∥FG，
∴∠AGF＝∠BAG＝110°．
∵∠DGA＝50°，
∴∠FGD＝∠AGF－∠DGA＝60°．
(2)若支脚架MH所在的直线垂直于DG，∠C＝60°，试判断CF与支脚架HN的位置关系，并说明理由．
解：CF∥HN．理由如下：
如答图，延长MH，交DG于点K．
∵MH⊥HN，MH⊥DG，∴HN∥DG．
∴∠GHN＝∠FGD＝60°．
∴∠FHN＝180°－∠GHN＝120°．
∵CE∥FG，∴∠C＋∠F＝180°．
∵∠C＝60°，∴∠F＝120°＝∠FHN．
∴CF∥HN．
第6题答图
随 堂 测
1．如图，下列结论中不正确的是 ( )
A．若AE∥CD，则∠1＋∠3＝180°
B．若∠1＝∠2，则AD∥BC
C．若∠2＝∠C，则AE∥CD
D．若AD∥BC，则∠1＝∠B
D
2．如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝50°，则∠4的度数为 ( )
A．120° B．125°
C．130° D．135°
C
3．补全下列推理过程．
如图，已知∠1＝∠2，AC∥DF，求证：BD∥CE．
证明：∵AC∥DF，
∴∠1＝∠BDF(_________________________)．
∵∠1＝∠2，∴∠2＝___________(等量代换)．
∴BD∥CE(__________________________)．
两直线平行，内错角相等
∠BDF
同位角相等，两直线平行
4．如图，∠1＋∠2＝180°，∠A＝∠C．判断AD与BC的位置关系，并说明理由．
解：AD∥BC．理由如下：
∵∠1＋∠2＝180°，∠BDC＋∠2＝180°，
∴∠1＝∠BDC．∴AB∥CD．
∴∠C＝∠CBE．
∵∠A＝∠C，∴∠A＝∠CBE．
∴AD∥BC．
易错滚动 5．如图，已知A是线段BC上一点，且AC＝2AB，D是线段BC的中点．若线段BC＝12，则线段AD的长是_____．
2(共23张PPT)
第5课时 平行线及平行公理
课堂讲练
第七章 相交线与平行线
课堂检测
理解平行线的概念；掌握平行线基本事实Ⅰ：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；能用三角板和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线；了解平行于同一条直线的两条直线平行．
随堂测
课堂讲练
平行线
1．在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：
2．平行线的概念：在同一平面内，__________的两条直线叫作平行线．直线a与b互相平行，记作“________”．
知识点 1
________ ________
相交
平行
不相交
a∥b
训练 1．观察如图所示的长方体，回答下列问题：
(1)与线段AB平行的线段是___________________．
(2)AB与DH不在同一平面内，且所在直线不相交，它
们________(填“是”或“不是”)平行线．
由此可知，在____________内，两条不相交的直线才是平行线．
DC，EF和HG
不是
同一平面
平行线的基本事实
1．平行线的基本事实：过直线外一点有且只有______条直线与这条直线平行．
2．借助直尺和三角尺画平行线的方法：
知识点 2
一
训练 2．如图，MC∥AB，NC∥AB，则M，C，N三点在同一条直线上，理由是______________________________________________．
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
3．如图，在∠AOB内有一点P．
(1)过点P画a∥OA．
解：画直线a如答图所示．
(2)过点P画b∥OB．
解：画直线b如答图所示．
训练3题答图
平行线基本事实的推论
平行线基本事实的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也____________．即如果b∥a，c∥a，那么_________．
例1 (人教七下P12改编)如图，点B，C是直线a外两点．
(1)请在图中过点B画出直线a的平行线b，能画_____条；
互相平行
知识点 3
b∥c
例1题答图
解：如答图，直线b即为所求．
1
(2)请在图中过点C画出直线a的平行线c，它与(1)中所画的直线b________．(填“平行”或“不平行”)
平行
解：如答图，直线c即为所求．
例1题答图
训练 4．如图，AB∥CD，E为AC的中点．
(1)请过点E画EF∥AB，交BD于点F．
解：画EF∥AB如答图所示．
(2)EF与CD平行吗？为什么？
解：EF∥CD．理由如下：
因为EF∥AB，AB∥CD，
所以EF∥CD．
训练4题答图
课堂检测
1．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是 ( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．无法确定
C
重合的直线视为一条直线，不属于任何一种位置关系(平行和相交)．
2．下列说法中，正确的是 ( )
A．两条不相交的直线叫作平行线
B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行
D．如果两条直线与第三条直线相交，那么这两条直线也相交
C
3．如图，工人师傅在架设电线时，为了检验三条电线是否平行，只检验其中两条是否与第三条平行即可．这种做法的依据是__________ __________________________________________________．
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
4．【几何直观】如图，将一张长方形纸片对折两次，产生的折痕与折痕之间的位置关系是 ( )
A．平行 B．垂直
C．平行或垂直 D．无法确定
A
5．(人教七下P12)如图，用直尺和三角尺画平行线：
(1)过点A画MN∥BC；
解：画直线MN如答图所示．
(2)过点C画CE∥DA，与AB交于点E；过点C画CF∥DB，与AB的延长线交于点F．
解：画直线CE、直线CF如答图所示．
第5题答图
6．如图，AB∥CD．
(1)过点E画EF∥AB；
解：画EF∥AB如答图所示．
(2)请判断EF与CD的位置关系，并说明理由．
解：EF∥CD．理由如下：
因为EF∥AB，AB∥CD，
所以EF∥CD．
第6题答图
(拔高： )7．【动手能力】如图，在方格纸中，有两条线段AB，BC．利用方格纸完成以下操作：
(1)过点A画BC的平行线AF；
解：画平行线AF如答图所示．
(2)过点C画AB的平行线，与AF交于点D；
解：画平行线CD如答图所示．
(3)用符号表示图中所画的平行关系．
解：BC∥AF，AB∥CD．
第7题答图
随 堂 测
1．如图，在直线l外任取一点Q，过点Q画直线l的平行线，可画出的平行线有 ( )
A．0条 B．1条
C．2条 D．无数条
B
2．如图，已知直线AB∥l，AC∥l，则A，B，C三点在同一条直线上，理由是______________________________________________．
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
3．如图，AB∥DC，在AD上取一点E，过E作EF∥AB交BC于点F，试判断EF与DC的位置关系，并说明理由．
解：EF∥DC．
理由：因为AB∥DC，EF∥AB，
所以EF∥DC(如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)．
4．如图，已知一块大的三角形木板ABC，D是边AB上一点，现要过点D切割出一块小的三角形木板ADE，点E在边AC上且DE∥BC，请用直尺和三角尺画出切割线DE．
解：画出切割线DE如答图所示．
运算滚动 5．若2a－b＝1，则4a－2b＋1＝_____．
第4题答图
3(共9张PPT)
新趋势、新动向——教材母题溯源与衍生
第七章 相交线与平行线
教材母题溯源
例1 (人教七下P21拓广探索改编)如图，潜望镜中的两面镜子AB与CD互相平行放置，光线经过镜子反射时，∠1＝∠2，∠3＝∠4．若入射光线a与镜面AB的夹角∠1＝45°，则∠4的度数是 ( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
B
衍生1 【跨学科融合】物理学光的反射现象中，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射，此时∠1＝∠2，∠3＝∠4．
【问题解决】
(1)判断BC与EF是否平行．
解：平行．理由如下：
∵AB∥DE(已知)，∴∠1＝∠3(_________________________)．
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4(已知)，∴∠2＝∠4(___________)．
∴BC∥EF(_________________________)．
两直线平行，同位角相等
等量代换
同位角相等，两直线平行
图1
【尝试探究】
(2)利用这个规律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜工作原理示意图，AB，CD是平行放置的两面平面镜．已知光线经过平面镜反射时，有∠1＝∠2，∠3＝∠4，请证明进入潜望镜的光线EF和离开潜望镜的光线GH平行．
图2
证明：∵AB∥CD，∴∠2＝∠3．
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4．
∴180°－∠1－∠2＝180°－∠3－∠4，即∠EFG＝∠FGH．
∴EF∥GH．
【拓展应用】
(3)如图3，改变两平面镜之间的位置，若两平面镜的夹角∠ABC＝α，经过两次反射后，∠1＝∠2，∠3＝∠4，仍可以使入射光线EF与反射光线GH平行但方向相反．求α的度数．
解：∵EF∥GH，∴∠FEG＋∠EGH＝180°．
∵∠1＋∠2＋∠FEG＋∠3＋∠4＋∠EGH＝360°，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°－(∠FEG＋∠EGH)＝360°－180°＝180°．
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠2＋∠3＝×180°＝90°．
∴α＝180°－(∠2＋∠3)＝180°－90°＝90°．
教材母题溯源
例2 (人教七下P30拓广探索改编)如图，在一块长为11 m，宽为6 m的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移1 m就是它的右边线，那么这块草地青草覆盖的面积是 ( )
A．66 m2
B．60 m2
C．55 m2
D．50 m2
B
衍生2 现有一块长方形草地，需在其中修建一条等宽的小路，下列四个设计方案中，有一个方案在修建小路后，剩余的草坪面积与其他三个方案不相等，这个方案是 ( )
B
衍生3 图形操作：(图1、图2中长方形的长均为10 m，宽均为5 m)
在图1中，将线段AB向上平移1 m到A′B′，得到封闭图形AA′B′B(阴影部分)；
在图2中，将折线ABC(其中点B叫作折线ABC的一个“折点”)向上平移1 m到折线A′B′C′，得到封闭图形AA′B′C′CB(阴影部分)．
图1
(1)问题解决：设图1、图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为S1，S2，则S1＝______m2，并比较大小：S1______S2(填“＞”“＜”或“＝”)；
图2
40
＝
(2)联想探索：一个长为a m，宽为b m的街心花园的设计图如图3所示，空白部分为花坛，阴影部分是宽为1 m的小路，则花坛的总面积可以表示为_______________m2；(用含a，b的代数式表示)
(3)实际运用：如图4，在长方形地块内修筑同样宽的两条“相交”的道路(道路与长方形的边平行或垂直)，余下部分作为耕地，若道路宽为4 m，则剩余的耕地面积为______m2．
(a－2)(b－1)
448
图3
图4(共24张PPT)
第6课时 平行线的判定(1)
课堂讲练
第七章 相交线与平行线
课堂检测
掌握平行线基本事实Ⅱ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；探索并证明平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等(或同旁内角互补)，那么这两条直线平行．
随堂测
课堂讲练
平行线的判定
知识点 1
平行线 的判定 判定方法1 判定方法2 判定方法3
同位角________，两直线平行 __________相等，两直线平行 同旁内角________，两直线平行
图示
几何 语言 ∵∠1＝∠2， ∴a∥b ∵____________， ∴a∥b ∵_________________，
∴__________
相等
内错角
互补
∠1＝∠2
∠1＋∠2＝180°
a∥b
例1 补全下列过程．
(1)如图，直线a，b被直线l所截．
∵∠1＝50°，∠2＝50°(已知)，
∴____________(等量代换)．
∴__________(同位角相等，两直线平行)．
∠1＝∠2
a∥b
(2)如图．
∵∠ACB＝∠1(已知)，
∴________∥________(内错角相等，两直线平行)．
∵∠BAC＝∠ACD(已知)，
∴________∥________(__________相等，两直线平行)．
AD
BC
AB
CD
内错角
(3)如图．
∵∠D＋∠A＝180°(已知)，
∴________∥________(____________互补，两直
线平行)．
∵∠C＋∠B＝180°(已知)，
∴________∥________(____________互补，两直线平行)．
CD
AB
同旁内角
CD
AB
同旁内角
训练 1．如图，直线a，b被直线l所截，∠1＝∠2．求证：a∥b．
证明：∵∠1＝∠2(已知)，∠2＝∠3(对顶角相等)，
∴∠1＝∠3(等量代换)．
∴a∥b(同位角相等，两直线平行)．
训练 2．如图，CB平分∠ACD，∠1＝∠3．求证：AB∥CD．
证明：∵CB平分∠ACD(已知)，
∴∠1＝∠2(角平分线的定义)．
∵∠1＝∠3(已知)，
∴∠2＝∠3(等量代换)．
∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)．
训练 3．如图，AC⊥BC，BD⊥CD，∠A＝30°，∠BCD＝60°.判断AB与CD的位置关系，并说明理由．
解：AB∥CD．理由如下：
∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°．
∵∠BCD＝60°，
∴∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝150°．
∴∠A＋∠ACD＝180°．
∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．
课堂检测
1．如图，下列条件能判定a∥b的是 ( )
A．∠3＝∠4
B．∠1＝∠2
C．∠1＝∠4
D．∠1＋∠2＝90°
C
2．(人教七下P35改编)如图，弯形管道ABCD的拐角∠ABC＝120°，要保证管道AB∥CD，则∠BCD等于 ( )
A．60° B．50°
C．70° D．65°
A
3．(人教七下P12改编)如图，利用“推平行线”法过直线外一点画已知直线的平行线，其依据是__________________________．
同位角相等，两直线平行
4．(北师七下P53)如图，已知∠1＝∠3＝60°，∠2＝120°，可以判定哪些直线平行？请说明理由．
解：AB∥DC，AE∥FC．
理由：∵∠3＝60°，∠2＝120°，
∴∠2＋∠3＝180°．
∴AB∥DC．
∵∠2＝120°，∴∠AOF＝120°．
∴∠1＋∠AOF＝180°．∴AE∥FC．
5．如图是铁轨的示意图，∠2是直角，只需量出___________________(请填写一个在图中标出的角)的度数就可以判断两条铁轨是否平行，请你说明这样做的依据．
∠3(或∠4或∠5)
解：若∠3＝90°，则∠2＋∠3＝180°．根据“同旁内角互补，两直线平行”即可判定两条铁轨平行，否则两条铁轨不平行．(∠4，∠5依据略)
6．(人教七下P14改编)如图．
(1)若∠B＝∠DCG，则_______∥_______，依据是__________________________．
(2)若使EF∥BC，则需要添加的一个条件是___________________________________．
AB
DC
同位角相等，两直线平行
∠B＋∠BEF＝180°(答案不唯一)
(3)若∠D＝∠DCG，∠D＋∠DFE＝180°，可判定EF∥BC吗？为什么？
解：可以．理由如下：
∵∠D＝∠DCG，
∴AD∥BC(内错角相等，两直线平行)．
∵∠D＋∠DFE＝180°，
∴AD∥EF(同旁内角互补，两直线平行)．
∴EF∥BC(如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)．
(拔高： )7．将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．
(1)三角板的位置如图1所示．
①若∠BCD＝130°，则∠ACE＝______°；
②猜想∠ACE与∠BCD的数量关系，并说明理由．
50
解：②∠BCD＋∠ACE＝180°．理由如下：
∵∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝90°＋∠ACD，
∠ACE＝∠DCE－∠ACD＝90°－∠ACD，
∴∠BCD＋∠ACE＝180°．
(2)如图2，若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板DCE，探究当∠BCD等于多少度时，CE∥AB？请直接写出答案．
解：当∠BCD＝150°或30°时，CE∥AB．
随 堂 测
1．如图．
(1)如果∠A＝∠3，那么_______∥_______，理由是：______________，两直线平行；
(2)如果依据“内错角相等，两直线平行”得到AB∥FD，那么判定平行的条件是____________；
(3)要判定AC∥ED，可添加的一个条件是______________________ _________，依据是_____________________________________________ _________．
AB
FD
同位角相等
∠1＝∠4
∠2＋∠4＝180°(或∠3＝∠4)
同旁内角互补，两直线平行(或内错角相等，两直线平行)
2．如图，木工常用角尺画平行线，依据是_____________________ _____．
同位角相等，两直线
平行
3．如图，将一把含45°角的三角尺的直角顶点放在直线b上．若∠1＝50°，则当∠2＝______°时，a∥b．
40
4．如图，已知∠1＝30°，∠B＝60°，AB⊥AC．求证：AD∥BC.
证明：∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°．
∵∠1＝30°，∠B＝60°，
∴∠1＋∠BAC＋∠B＝180°，
即∠BAD＋∠B＝180°．
∴AD∥BC(同旁内角互补，两直线平行)．
易错滚动 5．若线段AB＝12 cm，C是线段AB的中点，CD＝2 cm，则线段BD的长为________cm．
8或4(共24张PPT)
第2课时 相交线(2)——两条直线垂直
课堂讲练
第七章 相交线与平行线
课堂检测
理解垂线、垂线段等概念，能用三角板或量角器过一点画已知直线的垂线；掌握基本事实：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
随堂测
课堂讲练
垂直的定义及性质
两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的________，它们的交点叫作________．
知识点 1
垂线
垂足
垂直的定义 图示 垂直的性质
文字描述 如果两条直线相交所成的四个角中有一个角等于90°，那么这两条直线互相垂直 (AB⊥CD，垂足为O) 如果两条直线互相垂直，那么它们相交所成的四个角为90°
几何语言 因为∠BOC＝90°， 所以_____________ 因为AB⊥CD，
所以∠AOC＝∠BOC＝∠AOD＝∠BOD＝_____°
AB⊥CD
90
例1 如图，OA⊥OB，∠AOC＝135°，则∠1＝______°．
45
训练 1．如图，点O在直线AB上，且OC⊥OD．若∠DOB＝65°，则∠COA＝______°．
25
例2 如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD．若∠BOD＝32°，求∠AOE的度数．
解：因为___________与∠BOD是对顶角，∠BOD＝32°，
所以___________＝∠BOD＝32°．
因为OE⊥CD，
所以___________＝90°．
所以∠AOE＋___________＝______°．
所以∠AOE＝90°－___________＝90°－______°＝______°．
∠AOC
∠AOC
∠COE
∠AOC
90
∠AOC
32
58
训练 2．如图，直线AB与EF相交于点O，已知OC和OD位于AB的两侧，且OC⊥OD，OF平分∠BOC，若∠BOD＝20°，求∠AOE的度数．
解：因为OC⊥OD，所以∠COD＝90°．
因为∠BOD＝20°，
所以∠BOC＝∠COD－∠BOD＝90°－20°＝70°．
因为OF平分∠BOC，
所以∠BOF＝∠BOC＝×70°＝35°．
所以∠AOE＝∠BOF＝35°．
垂线的画法
例3 过直线l外一点P画l的垂线CD，下列各图中，三角尺操作正确的是 ( )
知识点 2
D
训练 3．按下列要求画图．
(1)如图1，过点P画线段AB的垂线l；
图1
解：如答图1，直线l即为所求．
训练3题答图1
(2)如图2，过点P画直线l的垂线，垂足为Q；
图2
解：如答图2，直线PQ即为所求．
训练3题答图2
(3)如图3，过点P画射线AB的垂线，垂足为Q．
图3
解：如答图3，直线PQ即为所求．
训练3题答图3
课堂检测
1．如图，OA⊥OB，若∠1＝30°，则∠2的度数
是 ( )
A．60° B．50°
C．40° D．30°
2．同一个平面内，经过一点能作几条直线与已知直线垂直( )
A．0条 B．1条
C．2条 D．无数条
A
B
3．如图，直线a，b相交于点O，射线c⊥a，垂足为O，若∠1＝40°，则∠2的度数为 ( )
A．50° B．120°
C．130° D．140°
C
4．如图，已知∠AOB是钝角，点D在射线OB上，请根据下列语句画出图形：
(1)过点D作DE⊥OB，点E在OB上方；
解：如答图，DE即为所求．
(2)过点D作DF⊥OA，垂足为F．
解：如答图，DF即为所求．
第4题答图
5．已知OA⊥OC，∠AOB∶∠AOC＝4∶5，则∠BOC的度数为_____________．
18°或162°
题中未给图，要进行分类讨论，OB的位置有两种：一种是在∠AOC内，一种是在∠AOC外．
(拔高： )6．如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠BOC．
(1)若∠COE＝27°，求∠AOD的度数；
解：因为OE平分∠BOC，
所以∠BOC＝2∠COE＝2×27°＝54°．
所以∠AOD＝∠BOC＝54°．
(2)若OF⊥OE，∠DOF＝2∠BOC，求∠AOC的度数．
解：因为OF⊥OE，所以∠EOF＝90°．
所以∠BOF＋∠BOE＝90°．
因为OE平分∠BOC，所以∠BOE＝∠BOC．
所以∠BOF＝90°－∠BOC．
因为∠DOF＋∠BOF＋∠BOC＝180°，∠DOF＝2∠BOC，
所以2∠BOC＋90°－∠BOC＋∠BOC＝180°．
解得∠BOC＝36°．
所以∠AOC＝180°－∠BOC＝180°－36°＝144°．
随 堂 测
1．在同一平面内，P是直线l上一点，Q是直线l外一点，下列说法不正确的是 ( )
A．过点P可画直线l的垂线
B．过点Q可画直线l的垂线
C．连接PQ，则PQ⊥l
D．过点Q只能画一条直线与l垂直
C
2．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM．若∠AOM＝35°，则∠CON的度数为 ( )
A．35°
B．45°
C．55°
D．65°
C
3．如图，已知三角形ABC，按下列要求作图．
(1)过点A画AC的垂线m；
解：如答图，直线m即为所求．
(2)过点A画BC的垂线n．
解：如答图，直线n即为所求．
第3题答图
4．如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥CD，若∠BOE＝2∠AOC，求∠AOD的度数．
解：因为OE⊥CD，所以∠DOE＝90°．
因为∠AOC＝∠BOD，∠BOE＝2∠AOC，
所以∠BOE＝2∠BOD．
因为∠BOE＋∠BOD＝∠DOE＝90°，
所以3∠BOD＝90°．所以∠BOD＝30°．
因为∠AOD＋∠BOD＝180°，
所以∠AOD＝180°－∠BOD＝180°－30°＝150°．
易错滚动 5．月球表面白天的平均温度是零上126 ℃，记作＋126 ℃，夜间的平均温度是零下150 ℃，记作____________．
－150 ℃(共24张PPT)
第8课时 平行线的性质
第七章 相交线与平行线
掌握平行线的性质定理I：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等；*了解定理的证明．探索并证明平行线的性质定理Ⅱ：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等(或同旁内角互补)．
课堂讲练
课堂检测
随堂测
课堂讲练
平行线的性质
知识点
平行线 的性质 性质1 性质2 性质3
两直线平行，同位角________ 两直线平行，__________相等 两直线平行，同旁内角________
图示
几何语言 ∵a∥b，∴____________ ∵_________， ∴∠1＝∠2 ∵_________，∴_________________
相等
内错角
互补
∠1＝∠2
a∥b
a∥b
∠1＋∠2＝180°
例1 (人教七下P17改编)如图，直线l分别与直线a，b相交，a∥b，若∠1＝71°，则∠2的度数为________．
109°
训练 1．一杆古秤在称物时某时刻的状态如图所示，已知∠1＝102°，则∠2的度数是_______．
78°
例2 如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，∠1＝30°，则∠2的度数为 ( )
A．15°
B．30°
C．45°
D．60°
B
训练 2．(2025辽宁)如图，点C在∠AOB的边OA上，CD⊥OB，垂足为D，DE∥OA，若∠EDB＝40°，则∠ACD的度数为 ( )
A．50°
B．120°
C．130°
D．140°
C
例3 (人教七下P25改编)如图，AB∥CD，BC∥DE，∠B＝80°，求∠D的度数．
解：∵AB∥CD，∠B＝80°，
∴∠C＝∠B＝80°．
∵BC∥DE，
∴∠D＋∠C＝180°．
∴∠D＝180°－∠C＝180°－80°＝100°．
训练 3．如图，已知∠B＝50°，AD∥BC，AD平分∠EAC，求∠C的度数．
解：∵AD∥BC，∠B＝50°，
∴∠EAD＝∠B＝50°．
∵AD平分∠EAC，
∴∠DAC＝∠EAD＝50°．
∵AD∥BC，
∴∠C＝∠DAC＝50°．
课堂检测
1．(2025重庆)如图，AB∥CD，直线EF分别与AB，CD交于点E，F．若∠1＝70°，则∠2的度数是_______．
70°
2．(2025苏州)如图，在A，B两地间修一条笔直的公路，从A地测得公路的走向为北偏东70°．若A，B两地同时开工，要使公路准确接通，则∠α的度数应为 ( )
A．100° B．105°
C．110° D．115°
C
3．(2025自贡)如图，一束平行光线穿过一张对边平行的纸板，若∠1＝115°，则∠2的度数为 ( )
A．75° B．90°
C．100° D．115°
D
4．(2025深圳)如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线OA经平面镜后反射入眼，若CB∥ OA，∠CBO＝122°，∠BON＝90°，则入射角∠AON的度数为 ( )
A．22° B．32°
C．35° D．122°
B
5．(2025齐齐哈尔)将一个含30°角的三角尺和直尺按如图摆放，若∠1＝50°，则∠2的度数是 ( )
A．50° B．60°
C．70° D．80°
C
6．如图，已知D，E，F分别是三角形ABC的边BC，AC，AB上的点，DE∥AB，DF∥AC．求证：∠FDE＝∠A．
证明：∵DE∥AB，
∴∠FDE＝∠BFD．
∵DF∥AC，∴∠A＝∠BFD．
∴∠FDE＝∠A．
7．(2025凉山州)如图，DF∥AB，∠BAC＝120°，∠ACE＝100°，则∠CED＝ ( )
A．30° B．40°
C．60° D．80°
B
(拔高： )8．中国汉字形意相生，方寸之间横竖藏乾坤，如图1是一个“九”字，图2是由图1抽象出的几何图形，其中AB∥CD，且∠AGH＝∠B，BC∥DE．求证：∠AGF＝∠D．
证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C．
∵∠AGH＝∠B，∴∠C＝∠AGH．
∵BC∥DE，∴∠C＋∠D＝180°．
∵∠AGH＋∠AGF＝180°，
∴∠AGF＝∠D．
随 堂 测
1．(2025浙江)如图，直线a，b被直线c所截．若a∥b，∠1＝91°，则 ( )
A．∠2＝91°
B．∠3＝91°
C．∠4＝91°
D．∠5＝91°
B
2．(2025湖南)如图，一条排水管连续两次转弯后又回到与原来相同的方向，若第一次转弯时∠CAB＝145°，则∠ABD＝_______°．
145
3．(人教七下P16改编)一块四边形铁片的残余部分如图所示，且AB ∥CD．若量得∠A＝100°，∠B＝120°，则∠D的度数为______．
80°
4．如图，在三角形ABC中，AD平分∠BAC，AC∥ED，∠ADE＝28°，求∠1的度数．
解：∵AC∥ED，
∴∠CAD＝∠ADE＝28°．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠CAD＝56°．
∵AC∥ED，
∴∠1＝∠BAC＝56°．
运算滚动 5．若x＝2是关于x的方程 ＋a＝x＋1的解，则a的值为_____．
2(共11张PPT)
新题型、新考向——综合探究
第七章 相交线与平行线
探究 两条平行线间的三角板
1．(人教七下P17延伸)【问题情境】
在综合与实践课上，同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图1，直线a∥b，三角形ABC是直角三角形，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，∠ABC＝60°．
(1)在图1中，若∠1＝45°，则∠2＝_______；
45°
图1
【深入探究】
(2)如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把∠2的位置改变，发现∠2－∠1＝120°，请说明理由；
解：理由：如答图1，过点B作BD∥a．
∴∠2＋∠ABD＝180°．
∵a∥b，∴b∥BD．∴∠1＝∠DBC．
∴∠ABD＝∠ABC－∠DBC＝60°－∠1．
∴∠2＋60°－∠1＝180°．
∴∠2－∠1＝120°．
图2
第1题答图1
【拓展应用】
(3)缜密小组将图2中的图形继续变化得到图3，AC平分∠BAM，此时发现∠1与∠2又存在新的数量关系，请写出∠1与∠2的数量关系，并说明理由．
图3
解：∠1＝∠2．理由如下：
如答图2，过点C作CP∥a．
∵AC平分∠BAM，
∴∠CAM＝∠BAC＝30°，∠BAM＝2∠BAC＝60°．
第1题答图2
∵a∥b，∴CP∥b，∠1＝∠BAM＝60°．
∴∠PCA＝∠CAM＝30°．
∴∠BCP＝∠BCA－∠PCA＝90°－30°＝60°．
∵CP∥a，∴∠2＝∠BCP＝60°．
∴∠1＝∠2．
第1题答图2
探究 两个三角板不同摆放位置形成的平行
2．根据以下素材，探索完成任务．
探究平行线在一副三角尺中的运用 素材背景 亲爱的同学们，学习数学要求我们“用数学的眼光观察现实世界”．一副三角尺为我们观察世界提供一个小小的窗口，学完平行线的性质，可探究三角尺摆放位置不同涉及的数学问题．
素材 如图1是一副三角尺，∠C＝∠F＝90°，∠A＝∠B＝45°，∠D＝30°，∠E＝60°．
图1
问题解决 任务图
图2 图3 图4
任务1 如图2，将两个三角尺按图所示摆放，使点A与点F重合，点E在AC上，AB与DE相交于点G，则∠BGD＝______°．
75
问题解决 任务2 如图3，将三角尺ABC的直角顶点C放在直线MN上，使AB∥MN，三角尺DEF的顶点E在直线MN上，DF与AB相交于点P，则∠DEM与∠DPB有怎样的数量关系？请说明理由．
解：任务2：∠DEM－∠DPB＝30°．理由如下：
如答图1，过点D作DH∥MN．
∵AB∥MN，∴DH∥AB∥MN．
∴∠HDE＝∠DEM，∠HDP＝∠DPB．
∵∠HDE－∠HDP＝∠EDF＝30°，
∴∠DEM－∠DPB＝30°．
图3
第2题答图1
问题解决 任务3 将三角尺DEF固定不动，改变三角尺ABC的摆放位置，但始终保持两个三角尺的顶点C，F重合，当点A在直线EC的下方时，探究这两块三角尺一组边互相平行的情况，请直接写出∠ACE角度所有可能的值(如图4提供了其中一种情况)．
解：任务3：∠ACE角度所有可能的值是135°或150°或60°或45°或15°．
图4
【提示】依题意有以下5种情况：
①当AB∥EC时，如答图2所示；②当BC∥DE时，如答图3所示；③当AC∥DE时，如答图4所示；
第2题答图2
第2题答图３
第2题答图４
④当AB∥CD时，如答图5所示；⑤当AB∥DE时，如答图6所示．
第2题答图5
第2题答图6(共22张PPT)
第12课时 平移作图及应用
知识导学
课堂讲练
第七章 相交线与平行线
课堂检测
认识并欣赏平移在自然界和现实生活中的应用；运用图形的平移进行图案设计．
随堂测
知识导学
1．如图，点A，B，C均在格点上，将线段AB平移得到线段CD，其中点A的对应点为点C．
(1)将点A先向____________平移__________格，再向____________平移__________格得到点C；
(2)请在图中标出点B的对应点D，并画出线段CD．
解：如答图，点D、线段CD即为所求．
右(或上)
第1题答图
1(或2)
上(或右)
2(或1)
课堂讲练
平移作图
例1 (人教七下P27改编)如图，平移三角形ABC，使点C移动到点C′，画出平移后的三角形A′B′C′．
知识点 1
例1题答图
解：如答图，三角形A′B′C′即为所求．
训练 1．画图并填空．
(1)画出四边形ABCD先向左平移5格再向下平移2格后的四边形A1B1C1D1；
(2)线段AA1与线段BB1的关系是____________.
训练1题答图
平行且相等
解：(1)如答图，四边形A1B1C1D1即为所求．
平移作图的步骤：(1)定：确定平移的方向和距离；(2)找：找到图形中的关键点；(3)移：按确定的方向和距离平移关键点；(4)连：根据原图形顺次连接平移后的关键点．
平移的应用
例2 如图是一个台阶的侧面示意图，若要在台阶上铺地毯，则地毯长度至少需要_____m．
训练 2．某景点拟在长方形荷塘上架设如图所示的小桥．若荷塘周长为600 m，则小桥总长为_______ m．(桥宽忽略不计)
5
知识点 2
300
例3 如图，有一块长方形区域，AD＝2AB，拟在其中修建两条长方形小路，每条小路的宽度均为1米，若AB的长为5米，则图中空白区域的面积为 ( )
A．50平方米
B．45平方米
C．36平方米
D．35平方米
C
训练 3．如图，有一块长为44 m、宽为24 m的长方形草坪，其中有三条直道将草坪分为六块，则分成的六块草坪的总面积是______m2．
880
课堂检测
1．如图，将直线l向右平移，当直线l经过点O时，直线l还经过点 ( )
A．M
B．N
C．P
D．Q
B
2．如图，在长为10，宽为8的长方形内部，沿平行于长方形各边的方向分割出三个小长方形(阴影部分)，则三个小长方形的周长之和是______．
3．如图，在一块长为10米、宽为6米的长方形草地上，有一条弯曲的柏油马路，马路的水平宽度始终是2米，则草地的面积为______平方米．
36
48
4．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，其顶点称为格点，三角形ABC与点D的位置如图所示，A，B，C，D四个点均在格点上．
(1)平移三角形ABC，画出平移后的三角形DEF(点A，B，C的对应点分别为点D，E，F)；
解：如答图，三角形DEF即为所求．
(2)三角形DEF的面积为______．
第4题答图
5．(人教七下P29改编)如图，将四边形ABCD按箭头所指的方向平移，使点B的对应点B′落在CD边上，画出平移后的图形．
解：如答图，四边形A′B′C′D′即为所求．
第5题答图
6．【易错点】如图，根据图中给出的数据，判断第一个图形的周长L1与第二个图形的周长L2的大小关系：L1______L2．(填“>”“<”或“＝”)
＞
(拔高： )7．【利用平移设计图案】传统建筑中的窗格设计精巧，样式繁多，体现了我国建筑独特的艺术表现力和文化内涵．许多窗格都是由一个“基本图案”经过平移、旋转、对称等变形得到的．
(1)下列窗格图案中可以看作由一个“基本图案”经过平移得到的是 ( )
A
(2)按照这种思路，请你用一个“基本图案”设计一幅窗格图案，并和同学交流一下．
解：设计的窗格图案如答图所示．
第7题答图
随 堂 测
1．如图，在长为a m，宽为b m的长方形草地上有两条小路l1和l2，每条小路的左边线向右平移1 m就是它的右边线，若弯路l1的占地面积为S1 m2，直路l2的占地面积为S2 m2，则S1与S2的大小关系是 ( )
A．S1＝S2
B．S1＜S2
C．S1＞S2
D．不能确定
A
2．某商场重新装修后，准备在门前台阶上铺设地毯，台阶的尺寸如图所示，若这种地毯的批发价为每平方米60元，则购买地毯至少需要 ( )
A．298元 B．288元
C．287元 D．297元
B
3．如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，已知三角形ABC的顶点都在格点上(小正方形的顶点称为格点)，在方格纸内将三角形ABC经过一次平移后得到三角形DEF，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F，其中点D的位置如图所示．
(1)画出平移得到的三角形DEF；
解：如答图，三角形DEF即为所求．
(2)线段AB平移至DE时扫过的图形的面积为
______．
第3题答图
12
运算滚动 4．计算：8x－(3x－5)＝________．
5x＋5(共34张PPT)
第七章 章末复习
知识导图
考点训练
第七章 相交线与平行线
综合提升
知识导图
互补
相等
一条
90°
最短
最短
长度
距离
不相交
一条
b∥c
相等
相等
互补
形状
大小
位置
方向
距离
相等且平行(或在同一条直线上)
相等
相等且平行(或在同一条直线上)
考点训练
考点 对顶角、邻补角
1．如图，直线a，b相交，∠1＝44°，则∠2＝________，∠3＝_______．
136°
44°
考点 垂线
2．如图是小海同学一次立定跳远的示意图，小海从点A起跳，落到了点B处，若AB＝2.02米，则小海的跳远成绩可能是 ( )
A．2.01米
B．2.04米
C．2.07米
D．2.10米
A
3．如图，直线AB，CD交于点O，OF平分∠BOD，OE⊥OD．
(1)若∠BOF＝25°，求∠AOE的度数；
解：∵OF平分∠BOD，
∴∠BOD＝2∠BOF＝2×25°＝50°．
∵OE⊥OD，∴∠DOE＝90°．
∴∠AOE＝180°－∠DOE－∠BOD＝180°－90°－50°＝40°．
(2)若∠AOC∶∠AOD＝3∶7，求∠BOF的度数．
解：∵∠AOC∶∠AOD＝3∶7，∠AOC＋∠AOD＝180°，
∴∠AOC＝×180°＝54°．
∴∠BOD＝∠AOC＝54°．
∵OF平分∠BOD，
∴∠BOF＝∠BOD＝×54°＝27°．
考点 同位角、内错角、同旁内角
4．如图，直线a，b，c两两相交，∠1和∠2是一对 ( )
A．同位角
B．内错角
C．同旁内角
D．对顶角
C
考点 平行线的判定与性质
5．(2025湖北)数学中的“≠”可以看作是两条平行的线段被第三条线段所截而成，放大后如图所示．若∠1＝56°，则∠2的度数是 ( )
A．34°
B．44°
C．46°
D．56°
D
6．在一次数学活动课上，老师让同学们借助一副三角板画平行线AB，CD，如图是小曼的作法，则该作法的依据是__________________ ________．
内错角相等，两直
线平行
7．图1为我国高铁座位的实物图，图2是它的简易图，座位AD和座椅靠背AE的夹角∠DAE＝100°，小桌板BC与座位AD平行，小桌板支撑杆AB与桌面BC的夹角∠ABC＝125°，则座椅靠背AE与小桌板支撑杆AB的夹角∠EAB的度数是 ( )
A．25°
B．20°
C．15°
D．10°
A
8．如图，已知∠A＝∠C，AD⊥BE于点F，BC⊥BE于点B，点E，D，C在同一条直线上．
(1)求证：AB∥CD；
证明：∵AD⊥BE，BC⊥BE，
∴∠EFD＝∠EBC＝90°．
∴AD∥BC．
∴∠ADE＝∠C．
∵∠A＝∠C，∴∠ADE＝∠A．
∴AB∥CD．
(2)若∠ABC＝130°，求∠BEC的度数．
解：∵∠ABC＝130°，∠EBC＝90°，
∴∠ABE＝∠ABC－∠EBC＝130°－90°＝40°．
∵AB∥CD，
∴∠BEC＝∠ABE＝40°．
考点 定义、命题、定理
9．下列命题是真命题的是 ( )
A．和为180°的两个角是邻补角
B．一条直线的垂线有且只有一条
C．点到直线的距离是指这点到直线的垂线段
D．两条直线被第三条直线所截，若内错角相等，则同位角必相等
D
考点 平移
10．下列图形中，不能通过其中一个图形平移得到的是 ( )
A
11．如图，在三角形ABC中，BC＝9，把三角形ABC平移到三角形DEF的位置，点B，E，C，F在同一直线上，CF＝3，∠ADE＝60°．下列结论错误的是 ( )
A．BE＝3
B．AD∥BE
C．∠DEC＝60°
D．EC＝5
D
12．如图，在一块长为14 m，宽为6 m的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿化区，道路的左边线向右平移3 m就是它的右边线，则绿化区的面积是 ( )
A．56 m2
B．66 m2
C．72 m2
D．96 m2
B
综合提升
13．一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行．若斜面的坡角α＝25°，则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为 ( )
A．155° B．125°
C．115° D．65°
C
14．(2025扬州)如图，平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后，折射光线BE，DF交于主光轴上一点G．若∠ABE＝130°，∠CDF＝150°，则∠EGF的度数是 ( )
A．60° B．70°
C．80° D．90°
C
15．如图是小明利用平移设计出的一张图案，根据图案我们可以得到∠1＋∠2＋∠3的度数为_______．
180°
16．图1是长方形纸条，∠DEF＝27°，将纸条沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中的∠CFE＝______°．
99
17．如图所示是驱逐舰、巡洋舰两艘舰艇参与某次演练的情景，已知∠MAC＝120°，∠NBE＝60°．
(1)已知驱逐舰在AC方向上航行，巡洋舰在BE方向上航行，假设在航行过程中各自航行方向保持不变，试判断这两艘舰艇是否会相撞，请说明理由；
解：不会．理由如下：
∵∠MAC＝120°，∠MAC＋∠CAN＝180°，
∴∠CAN＝180°－∠MAC＝180°－120°＝60°．
∵∠NBE＝60°，∴∠CAN＝∠NBE．
∴AC∥BE．∴这两艘舰艇不会相撞．
(2)已知驱逐舰到达点C后沿CD方向继续航行，巡洋舰到达点E后沿EF方向继续航行，且∠ACD＝140°，MN∥EF．若驱逐舰在原航向上向左转动α(0°＜α＜180°)后，才能与巡洋舰航向相同，求α的值．
解：如答图，设驱逐舰在原航向上向左转动α后沿HG方向航行，过点C作CI∥HG．若要驱逐舰与巡洋舰航向相同，则EF∥HG．
∵MN∥EF，
∴HG∥MN∥CI．
第17题答图
∴∠CHG＋∠DCI＝180°，∠ACI＋∠CAN＝180°．
∴∠CHG＋∠CAN＋∠ACD＝360°．
∴∠CHG＝360°－∠CAN－∠ACD＝
360°－60°－140°＝160°．
∵∠CHG＋α＝180°，
∴α＝180°－∠CHG＝180°－160°＝20°．
18．在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能．
(1)问题情景：如图1，已知∠CDF＋∠DFE＝180°，∠C＝∠DAE.
①问题初探：请证明：AD∥BC．
证明：∵∠CDF＋∠DFE＝180°，
∴AE∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．
∴∠AEB＝∠C(两直线平行，同位角相等)．
∵∠C＝∠DAE，
∴∠AEB＝∠DAE(等量代换)．
∴AD∥BC(内错角相等，两直线平行)．
②拓展探究：试问∠ADF，∠AEB与∠DFE之间满足怎样的数量关系？并说明理由．
解：∠DFE＝∠ADF＋∠AEB．理由如下：
如答图1，过点F作FM∥BC．
∴∠EFM＝∠AEB．
∵FM∥BC，AD∥BC，∴FM∥AD．
∴∠DFM＝∠ADF．
又∠DFE＝∠DFM＋∠EFM，
∴∠DFE＝∠ADF＋∠AEB．
第18题答图1
(2)迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若∠1＝40°，则∠2＋∠3的度数为_______．(直接写出答案)
解：【提示】如答图2，过点B作BA∥CD，则EF∥AB∥CD．
∴∠ABC＝∠1＝40°，∠ABF＋∠3＝180°．
∴∠2＋∠3＝∠ABC＋∠ABF＋∠3＝∠ABC＋(∠ABF＋∠3)＝40°＋180°＝220°．
第18题答图2
220°
19．数学老师在课后服务中，请同学们利用平行线的有关知识探究：三角形的三个内角和等于180°．小颖通过探究发现：可以过三角形的一个顶点作其对边的平行线来证明．
证明：过点A作MN∥BC．
∵MN∥BC，∴∠B＝∠1，∠C＝∠2．
∴∠BAC＋∠B＋∠C＝∠BAC＋∠1＋∠2＝∠MAN＝180°，
即∠BAC＋∠B＋∠C＝180°．
(1)如图1，已知三角形ABC，求证：∠BAC＋∠B＋∠C＝180°．证明：过点A作MN∥BC……，请将小颖的证明补充完整．
图1
(2)利用三角形的内角和等于180°，解答下列问题：
①如图2，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点G．判断EG与FG的位置关系，并说明理由．
解：EG⊥FG．理由如下：
由条件可知∠BEF＋∠DFE＝180°，∠FEG＝
∠BEF，∠EFG＝∠DFE，
∴∠FEG＋∠EFG＝∠BEF＋∠DFE＝(∠BEF＋∠DFE)＝× 180°＝90°．
∴∠EGF＝180°－(∠FEG＋∠EFG)＝180°－90°＝90°．
∴EG⊥FG．
图2
②如图3，在①的基础上，延长EG交CD于点M，过点M作PM⊥EM交直线EF于点P，延长FG交AB于点H，∠BHF的平分线HQ交EM的延长线于点Q，请判断∠P与∠Q的数量关系，并说明理由．
解：∠P＝2∠Q．理由如下：
∵FG⊥EM，PM⊥EM，∴PM∥FG．
∴∠EFH＝∠P．
∵FG平分∠DFE，∴∠EFH＝∠DFH．
∵AB∥CD，∴∠EHF＝∠DFH．
∴∠EFH＝∠EHF．∴∠P＝∠EHF．
图3
∵HQ平分∠BHF，
∴∠GHQ＝∠BHF＝(180°－∠EHF)＝
(180°－∠P)．
∵∠HGQ＝∠EGF＝90°，
∴∠GHQ＋∠Q＝180°－∠HGQ＝180°－90°＝90°．
∴(180°－∠P)＋∠Q＝90°．
∴∠P＝2∠Q．
图3(共26张PPT)
第11课时 平移的概念及性质
知识导学
课堂讲练
第七章 相交线与平行线
课堂检测
通过具体实例认识平移，探索它的基本性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行(或在同一条直线上)且相等．
随堂测
知识导学
平移的定义 一般地，在平面内，将一个图形按某一方向移动一定的距离，这样的图形运动叫作平移．平移前后图形的________和________完全相同．
平移的要素 1．平移的方向：例如，射线_________________的方向； 2．平移的距离：平移前后对应点连线的长度，例如，线段__________________的长度 形状
平移只改变图形的________
大小
位置
AA′(或BB′或CC′)
AA′(或BB′或CC′)
平移的性质 1．平移前后对应的线段平行(或在同一条直线上)且相等， 例如，AB∥_________，且AB＝_________； 2．平移前后对应的角相等，例如，∠BAC＝∠___________； 3．平移前后对应点的连线平行(或在同一条直线上)且相等， 例如，AA′∥_______∥________，且AA′＝_______ ＝_______
A′B′
A′B′
B′A′C′
BB′
CC′
BB′
CC′
课堂讲练
平移的概念
例1 判断下面的生活现象中，物体的运动情况是否可以看成平移，可以的打“√”，不可以的打“×”．
(1)足球在草地上滚动； ( )
(2)传送带上移动的行李箱； ( )
(3)公路上直线行驶的汽车； ( )
(4)月亮绕地球运动． ( )
知识点 1
×
√
√
×
训练 1．下列图形或物体的运动情况，属于平移的是 ( )
A．风车的转动 B．电梯的升降
C．书页的翻动 D．对称的蝴蝶
B
例2 下列图案中，不能用其中一部分平移得到的图案是 ( )
A
训练 2．下列大学校徽中，可以看成是自身的一部分经平移后得到的是 ( )
C
平移的性质
例3 如图，将三角形ABC沿BA方向平移至△A′B′C′，若A′B＝5，AB′＝1，则平移距离为 ( )
A．2 B．3
C．4 D．5
A
知识点 2
训练 3．(2025凉山州)如图，将周长为20的三角形ABC沿BC方向平移2个单位长度得到三角形DEF，连接AD，则四边形ABFD的周长为______．
24
例4 如图，将直角三角形ABC沿直角边AB所在的直线向上平移得到三角形DEF，下列结论不一定正确的是 ( )
A．∠DEF＝90°
B．BE＝AD
C．AC∥DF
D．AE＝BE
D
训练 4．如图，将三角形ABC沿AB方向平移得到三角形DEF．若∠A＝50°，∠C＝60°，则∠EDF＝______°，∠F＝______°，∠DOB＝______°．
50
60
60
课堂检测
1．下列运动属于平移的是 ( )
B
2．在下列由运动项目的图标组成的图形中，能将其中一个图形经过平移得到另一个图形的是 ( )
C
3．如图，将三角形ABC沿某一方向平移一定距离得到三角形DEF，下列结论不一定成立的是 ( )
A．AD＝CF
B．AC∥DF
C．∠ABC＝∠DFE
D．S三角形ABC＝S三角形DEF
C
4．“科教兴国，强国有我”．在科技实验活动中，陈臻设计制作了“水火箭”升空实验．观察发射过程，他把水火箭抽象成几何图形，如图，火箭主体BD的长约为50 cm，若起飞过程中B′D的长约为85 cm，则BD′的长约为______cm．
15
5．【实际操作】如图，把三角板的斜边紧靠直尺平移，则顶点C平移的距离为_____cm．
5
6．如图，将三角形ABC沿直线AB向右平移2个单位长度，使点A到达点B的位置，得到三角形BDE．其中∠ACB＝35°，BC＝4．下列结论：①AB＝BD；②∠CEB＝35°；③∠CBE＝35°；④四边形BCED的周长为12．正确的是__________．(填序号)
①③④
(拔高： )7．如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着BC方向平移13 cm到达三角形DEF的位置，若AB＝5 cm，BC＝10 cm，则阴影部分的面积为______cm2．
40
随 堂 测
1．春节联欢晚会上，歌手站在升降台上上升出场的过程可以看作数学中的 ( )
A．轴对称 B．平移
C．旋转 D．以上都对
B
2．下列四组图形中，通过平移其中一个图形能得到另一个图形的是 ( )
D
3．如图，将三角形ABC沿射线BC的方向平移得到三角形DEF，则下列能够表示平移距离的是 ( )
A．线段BC的长度
B．线段BF的长度
C．线段BE的长度
D．线段CE的长度
C
4．如图，将三角形ABC沿着射线AC的方向平移到三角形CDE的位置，连接BD．若AE＝12 cm，则线段BD的长是_____cm．
5．如图，长方形BB′C′C的边BC的长为4 cm. 将三角形ABC沿边BB′向上平移2 cm得到三角形A′B′C′，则图中阴影部分的面积为_____cm2．
6
8
运算滚动 6．已知一艘潜水艇所在的高度是－50 m，若一条鲨鱼在潜水艇的上方10 m处，则鲨鱼所在的高度是________m．
－40(共11张PPT)
新题型、新考向——活动探究
第七章 相交线与平行线
活动 你有多少种画平行线的方法(素材来源：人教七下P32数学活动1)
学行线后，李明、刘伟、王芳三位同学分别想出了过直线外一点画这条直线的平行线的新方法．
一、李明的画法(利用直尺和量角器)：
他的依据是__________________________．
同位角相等，两直线平行
思考1：根据李明的画法，小丽想出了另外一种画法：
她的依据是__________________________．
内错角相等，两直线平行
思考2：如果利用直尺和三角尺呢？小丽又想出了一种画法：
她的依据是__________________________．
同位角相等，两直线平行
二、刘伟的画法(利用三角尺和圆规)：
他的画法通过画垂直于一条直线的两条等长的垂线段来确定另一条直线，从而得到平行线．(严格证明b∥a，要用到后面学行四边形的知识)
思考3：如图，在方格纸中，格点C在直线AB外．
①过点C画AB的垂线；
②过点C画AB的平行线CH．
解：①如答图1，直线CB即为所求．
②如答图1，直线CH即为所求．
活动1题答图1
三、王芳的画法：
第一步：过点P折叠纸片，使点C的对应点C′落在直线BC上(如图2)，记折痕DE与BC的交点为A，则折痕DE与BC的位置关系是______，依据是______________；
垂直
折叠的性质
第二步：将纸片展开并铺平，再过点P将纸片进行折叠，使得点E的对应点E′落在直线DE上(如图3)，则折痕PF与EE′的位置关系是______，依据是______________；
垂直
折叠的性质
第三步：将纸片展开并铺平(如图4)，此时折痕PF与BC的位置关系是________，依据是____________________________________________ ____________________________．
平行
在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行
拓展 小颖说：“我只用一个三角尺就能画出过点P且平行于AB的直线．”
请你利用图5中提供的三角尺，绘制一种小颖画法的过程示意图．
图5
解：第一步：如答图2，把三角尺的一直角边放置在直线AB上，另一条直角边经过点P，画直线EF；
活动1题答图2
第二步：如答图3，把三角尺沿射线DE向上平移，使直角顶点与点P重合，画直线MN．
则MN就是经过点P且平行于AB的直线．(答案不唯一)
活动1题答图3(共24张PPT)
第4课时 相交线(4)——两条直线被第三条直线所截
知识导学
课堂讲练
第七章 相交线与平行线
课堂检测
随堂测
知识导学
图示 三种角 特点 举例 模型 直线a，b被直线c所截，构成八个角 同位角 同位角在截线同侧，被截两线同一侧 ∠1与______， ∠3与_______ “F”型
内错角 内错角在截线两侧，被截两线之间 ∠4与______， ∠5与_______ “Z”型
同旁 内角 同旁内角在截线同侧，被截两线之间 ∠3与______， ∠5与_______ “C”型
∠5
∠7
∠6
∠3
∠6
∠4
课堂讲练
认识同位角、内错角、同旁内角
例1 如图，分别在横线上写出∠1和∠2是什么位置关系的角．
知识点 1
__________ ____________ __________
同位角
同旁内角
内错角
训练 1．如图，下列说法不正确的是 ( )
A．∠1和∠5是同旁内角
B．∠1和∠4是内错角
C．∠3和∠4是同位角
D．∠1和∠2是同旁内角
D
从复杂图形中判断三种角
例2 如图，∠1的同位角是________，∠2的内错角是________，∠A的同旁内角是________________．
∠B
知识点 2
∠A
∠ACB和∠B
训练 2．在如图所示的6个角中，同位角有_____对，它们是____ _________________；内错角有____对，它们是___________________；同旁内角有_____对，它们是____________________________________ __________．
2
∠1
与∠6，∠3与∠5
2
∠2与∠3，∠4与∠6
4
∠1与∠2，∠2与∠4，∠4与∠5，∠1
与∠5
找出“三线八角”
例3 根据图形填空：
(1)∠1和∠2是直线________和________被直线_______所截形成的________角；
(2)∠1和∠3是直线________和________被直线_______所截形成的________角；
AB
知识点 3
(3)∠2和______是直线_______和EF被直线_______所截形成的同旁内角．
CD
EF
同位
EF
CD
AB
内错
∠3
AB
CD
训练 3．根据图形填空：
(1)∠1和_______是直线ED，BC被直线AB所截形成的同位角；
(2)∠3和_______是直线ED，BC被直线AF所截形成的内错角；
(3)∠1和∠3是直线_______，_______被直线_______所截形成的_______角．
∠2
∠4
AB
AF
DE
内错
课堂检测
1．图1是“垃圾入桶”标志，图2是垃圾桶的侧面示意图，则∠1与∠2的位置关系是 ( )
A．同位角
B．内错角
C．同旁内角
D．对顶角
C
2．下列图形中，∠1与∠2是内错角的是 ( )
A
3．如图，在所标识的角中，下列说法不正确的是 ( )
A．∠1与∠5是内错角
B．∠3与∠5是对顶角
C．∠1与∠4是同位角
D．∠1与∠2是同旁内角
C
4．如图，在已经标出的五个角中，
(1)直线AC，BD被直线CD所截，∠1与_______是同位角；
∠2
(2)直线________，________被直线________所截，∠1与_______是内错角；
(3)直线________，________被直线________所截，∠2与∠3是____________．
AB
CD
AC
∠4
AB
CD
BD
同旁内角
5．数学课上老师用双手形象地表示了“三线八角”图形，如图所示(两大拇指代表被截直线，食指代表截线)．从左至右依次表示 ( )
A．同位角、内错角、同旁内角
B．同旁内角、同位角、内错角
C．同位角、对顶角、同旁内角
D．同位角、内错角、对顶角
A
(拔高： )6．如图是一个跳棋棋盘，其游戏规则是：一个棋子从某一个起始角开始，经过若干步跳动以后，到达终点角．跳动时，每一步只能跳到它的同位角、内错角或同旁内角的位置上．例如：从起始位置∠1跳到终点位置∠3的路径有：
路径1：∠1∠9∠3；
路径2：∠1∠12∠6∠10
∠3；
路径3：……
(1)写出从∠1跳到∠8的一条路径；
解：∠1∠12∠8．
(答案不唯一)
(2)从起始位置∠1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能否跳到终点位置∠8
解：能．路径是∠1∠10∠5∠8．
随 堂 测
1．在下列图形中，∠1与∠2不是同旁内角的是 ( )
D
2．某区举办了第六届风筝节，如图所示的风筝骨架中，与∠4构成内错角的是 ( )
A．∠1 B．∠2
C．∠3 D．∠5
A
3．如图，下列结论正确的是 ( )
A．∠1与∠2是内错角
B．∠3与∠4是内错角
C．∠1与∠3是同旁内角
D．∠2与∠4是同位角
D
4．如图，观察图形，并回答下列问题：
(1)∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6是直线_______，
_______被第三条直线_______所截形成的；
(2)∠2的同位角是_______，∠1的同位角是_______；
(3)∠3的内错角是_______，∠4的内错角是_______；
(4)∠6的同旁内角是_____________，∠5的同旁内角是_______．
AB
AC
EF
∠5
∠6
∠6
∠5
∠4和∠A
∠3
易错滚动 5．上午9：30这一时刻，钟面上分针与时针的夹角的度数为_______．(角度小于180°)
105°(共12张PPT)
微专题1 平行线中的拐点问题
第七章 相交线与平行线
遇见平行线中的拐点问题时，作辅助线的方法：逢“拐点”作平行线．一般地，有几个拐点就需作几条平行线．
类型 铅笔型(或子弹型)
【模型提取】
图示 辅助线 关键结论
辅助线：作EF∥AB 1．若AB∥CD，
则∠A＋∠AEC＋∠C＝360°；
2．若∠A＋∠AEC＋∠C＝360°，则AB∥CD
1．图1是一款落地的平板支撑架，AB，BC是可转动的支撑杆．调整支撑杆使得其侧面示意图如图2所示，此时平板DE∥ AF，∠BAF＝∠BCE，∠B＝84°，求∠BCD的度数．
解：如答图，过点B作BG∥AF．
∵DE∥AF，∴DE∥BG∥AF．
∴∠BAF＋∠ABG＝∠BCE＋∠CBG＝180°．
∵∠BAF＝∠BCE，∴∠ABG＝∠CBG．
∵∠B＝84°，∴∠CBG＝∠B＝42°．
∵BG∥DE，∴∠BCD＝∠CBG＝42°．
图1 图2
第1题答图
类型 燕尾型(或“M”型)
【模型提取】
图示 辅助线 关键结论
辅助线：作EF∥AB 1．若AB∥CD，则∠B＋∠D＝∠BED；
2．若∠B＋∠D＝∠BED，则AB∥CD
2．(2025烟台)如图是一款儿童小推车的示意图，若AB∥CD，∠1＝30°，∠2＝70°，则∠3的度数为 ( )
A．40° B．35°
C．30° D．20°
A
3．如图，∠B＝30°，∠D＝42°，∠C＝72°，试判断AB与DE的位置关系，并说明理由．
解：AB∥DE．理由如下：
如答图，过点C作CF∥AB．
∵∠B＝30°，∴∠BCF＝∠B＝30°．
∵∠BCD＝72°，
∴∠DCF＝72°－30°＝42°．
又∠D＝42°，∴∠D＝DCF．
∴CF∥DE．∴AB∥DE．
第3题答图
4．如图，平面上有两条直线AB，CD，且AB∥ CD，P是平面上这两直线之间的一点．
问题提出
(1)如图1，若∠BAP＝45°，∠DCP＝50°，则∠APC的度数为______；
问题探究
(2)如图2，∠BAP＋∠APQ＋∠PQC＋∠QCD＝________；
95°
540°
问题解决
(3)如图3，若∠B＝x，∠P＝y，∠Q＝z，则∠C＝___________. (用含x，y，z的式子表示)
x－y＋z
类型 锄头型或犀牛角型
锄头型 犀牛角型
辅助线：作CF∥AB
辅助线：作CF∥AB
关键结论： 1．若AB∥DE，则∠B＝∠BCD＋∠D； 2．若∠B＝∠BCD＋∠D，则AB∥DE 5．“抖空竹”是国家级非物质文化遗产．“抖空竹”的一个瞬间如图1所示，可将其抽象成一个数学问题：如图2，若AB∥CD，∠EAB＝75°，∠ECD＝110°，则∠E的度数为______．
35°
【拓展延伸】已知AB∥CD，点P为AB，CD外任意一点．
(1)如图3，探究∠DFP，∠BEP与∠EPF之间的数量关系，并说明理由；
解：∠DFP＝∠BEP＋∠EPF．理由如下：
如答图1，过点P作PQ∥AB．∴∠QPE＝∠BEP．
∵AB∥CD，∴PQ∥CD．∴∠QPF＝∠DFP．
∵∠QPF＝∠QPE＋∠EPF，
∴∠DFP＝∠BEP＋∠EPF．
第5题答图1
(2)如图4，探究∠BPC与∠B，∠C之间的数量关系，请直接写出结果．
解：∠BPC＝∠B＋∠C－180°．
【提示】如答图2，过点P作PF∥AB．
∵AB∥CD，∴PF∥CD∥AB．
∴∠BPF＝∠B，∠CPF＋∠C＝180°．
∴∠BPC＝∠BPF－∠CPF＝∠B－(180°－∠C)＝∠B＋∠C－180°．
第5题答图2
你还有其他辅助线作法吗？(共23张PPT)
第1课时 相交线(1)—— 两条直线相交
课堂讲练
第七章 相交线与平行线
课堂检测
理解对顶角、补角等概念，探索并掌握对顶角相等的性质．
随堂测
课堂讲练
邻补角、对顶角的定义
知识点 1
图示 两种角 定义 性质 几何语言
任意画两条相交的直线，形成四个角 邻补角 两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线．例如，∠1和∠2 邻补角 _______ 因为∠1和∠2是邻补角，所以__________ ________
对顶角 两个角有一个公共顶点，并且角的两边互为反向延长线．例如，∠1和∠3 对顶角 _______ 因为∠1和∠3是对顶角，所以__________
互补
∠1＋∠2 ＝
180°
相等
∠1＝∠3
例1 (人教七下P3改编)下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是( )
D
训练 1．下列各图中，∠1与∠2互为邻补角的是 ( )
B
邻补角互补、对顶角相等
例2 (人教七下P3改编)如图，已知直线AB，CD相交于点O，若∠1＝105°，则∠BOD＝______°，∠AOC＝______°，∠BOC＝_______°．
75
知识点 2
75
105
训练 2．如图，直线AB，CD相交于点O，若∠1＋∠2＝135°，则∠1＝________°，∠3＝_________°．
67.5
112.5
邻补角、对顶角的相关计算
例3 (人教七下P9改编)如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠BOD＝35°，求∠EOC的度数．
解：因为∠BOD＝35°，
所以∠AOC＝∠BOD＝35°．
因为OA平分∠EOC，
所以∠EOC＝2∠AOC＝2×35°＝70°．
知识点 3
训练 3．如图，直线AB，CD相交于点O，∠1∶∠2＝2∶1，求∠3和∠4的度数．
解：因为∠1＋∠2＝180°，∠1∶∠2＝2∶1，
所以2∠2＋∠2＝3∠2＝180°．
所以∠2＝60°．
所以∠1＝2∠2＝120°．
所以∠3＝∠1＝120°，∠4＝∠2＝60°．
课堂检测
1．如图，直线a，b相交于点O，若∠1＝60°，则∠2的度数是 ( )
A．40°
B．60°
C．120°
D．140°
C
2．(人教七下P20改编)如图，利用工具测量角，则∠1的度数为_______．
30°
3．如图，直线AB，CD，EF相交于点O．
(1)写出∠AOC，∠BOE的邻补角；
解：∠AOC的邻补角是∠AOD和∠COB，
∠BOE的邻补角是∠EOA和∠BOF．
(2)写出∠DOA，∠EOC的对顶角；
解：∠DOA的对顶角是∠COB，∠EOC的对顶角是∠DOF．
(3)如果∠AOC＝50°，求∠BOD，∠COB的度数．
解：因为∠AOC＝50°，
所以∠BOD＝∠AOC＝50°，
∠COB＝180°－∠AOC＝180°－50°＝130°．
4．【几何直观】如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOD比∠EOC大20°．求∠BOD的度数．
解：因为∠EOD比∠EOC大20°，
所以∠EOD＝20°＋∠EOC．
因为∠EOD＋∠EOC＝180°，
所以20°＋2∠EOC＝180°．
所以∠EOC＝80°．
因为OA平分∠EOC，所以∠AOC＝∠EOC＝×80°＝40°．
所以∠BOD＝∠AOC＝40°．
5．(人教七下P3改编)如图，取两根木条a，b，将它们钉在一起，得到一个相交线的模型，固定木条a，转动木条b，当∠1减小7°时，下列说法正确的是 ( )
A．∠2增大7°
B．∠3增大7°
C．∠4减小7°
D．∠2与∠4的和增大7°
A
(拔高： )6．【方程思想】如图，直线AB，CD相交于点O，OE是∠AOD的平分线，∠AOC∶∠AOD＝2∶3．
(1)求∠AOE的度数；
解：因为∠AOC∶∠AOD＝2∶3，
所以设∠AOC＝2x，∠AOD＝3x．
因为∠AOC＋∠AOD＝180°，
所以2x＋3x＝180°．解得x＝36°．
所以∠AOC＝2x＝72°，∠AOD＝3x＝108°．
因为OE是∠AOD的平分线，
所以∠AOE＝∠AOD＝×108°＝54°．
已知角度的比，常考虑根据比例设参，如本题可设∠AOC＝2x，∠AOD＝3x．
(2)求∠BOE的度数．
解：由(1)，得∠AOE＝54°．
所以∠BOE＝180°－∠AOE＝180°－54°＝126°．
随 堂 测
1．下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是 ( )
A
2．如图，O是直线AB上一点，若∠BOC＝37°，则∠AOC的度数为________．
143°
3．将一把剪刀张开一定的角度，可以构成4个角，并将其抽象成如图所示的几何图形．若∠1＝45°，则∠4－∠3＝______°．
90
4．下列说法正确的有 ( )
①对顶角相等；②互补的两个角是邻补角；③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角；④若两个角不是对顶角，则这两个角一定不相等．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
B
5．如图，直线AB，CD相交于点O，若∠1比∠2的2倍多33°，求∠1，∠2的度数．
解：根据题意，得∠1＝2∠2＋33°，
∠1＋∠2＝180°．
所以2∠2＋33°＋∠2＝180°．解得∠2＝49°．
所以∠1＝180°－∠2＝180°－49°＝131°．
运算滚动 6．若∠α＝110°20′，则∠α的补角的度数为________．
69°40′(共23张PPT)
第10课时 定义、命题、定理
第七章 相交线与平行线
通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义；结合具体实例，会区分命题的条件和结论；知道证明的意义和证明的必要性，知道数学思维要合乎逻辑，知道可以用不同的形式表述证明的过程，会用综合法的证明格式；了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的．
课堂讲练
课堂检测
随堂测
课堂讲练
定义与命题
对一些数学对象进行的清晰、明确的描述称为数学对象的定义．
例1 判断下列语句中哪些是定义，是的打“√”，不是的打“×”．
(1)点A到点B的距离是3 cm；______
(2)在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线；______
(3)直角都相等；______
(4)整数与分数统称为有理数．______
×
知识点 1
√
×
√
例2 下列语句是命题的是 ( )
A．画线段AB B．请不要作弊
C．对顶角相等 D．垂线段最短吗
C
可以判断为正确(或真)或错误(或假)的陈述语句，叫作命题．
命题的题设和结论
命题由________和________两部分组成．
例3 写出下列命题的题设和结论．
(1)如果a2＞1，那么a＞1．
题设：_________，结论：_________．
(2)两直线平行，同旁内角互补．
题设：______________，结论：________________．
(3)同角的补角相等．
题设：__________________________，结论：________________．
题设
知识点 2
结论
a2＞1
a＞1
两直线平行
同旁内角互补
两个角是同一个角的补角
这两个角相等
训练 1．将下列命题写成“如果……那么……”的形式．
(1)同位角相等，两直线平行．
如果______________，那么______________．
(2)互为相反数的两个数的和为零．
如果____________________，那么____________________．
(3)锐角小于90°．
如果________________，那么_________________．
同位角相等
两直线平行
两个数互为相反数
这两个数的和为零
一个角是锐角
这个角小于90°
命题的真假
真命题：被判断为正确(或真)的命题．
假命题：被判断为错误(或假)的命题．
知识点 3
例4 判断下列命题是真命题还是假命题．如果是假命题，在横线上写出一个反例．
(1)在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. ______命题，反例：______．
(2)两个锐角的和一定是钝角．______命题，反例：______________ __________．
(3)如果ac＝bc，那么a＝b．______命题，反例：______________ ________．
真
/
假
∠1＝30°，
∠2＝20°
假
a＝1，b＝2，
c＝0
训练 2．给出下列4个命题：
(1)内错角相等；
(2)两点之间，线段最短；
(3)直角的补角仍然是直角；
(4)如果|a|＝|b|，那么a＝b．
找出其中的假命题，并写出一个反例．
解：(1)(4)是假命题．
(1)的反例：如答图，∠1＝95°，∠2＝77°．
(4)的反例：a＝2，b＝－2．
训练2题答图
定理与证明
定理：正确性经过推理证实的______命题叫作定理．定理也可以作为继续推理的依据．
证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明．
真
知识点 4
例5 请你将下列推理过程补充完整．
如图，∠A＝∠C，∠1＋∠2＝180°．
求证：AB∥CD．
证明：∵∠1＋∠2＝180°(已知)，
∴________∥________(________________，两直线平行)．
∴∠______＝∠__________(两直线平行，同位角相等)．
又∠A＝∠C(已知)，∴∠______＝∠__________(等量代换)．
∴________∥________(______________，两直线平行)．
AD
BC
同旁内角互补
C
ADE
A
ADE
AB
CD
内错角相等
课堂检测
1．下列命题为真命题的是 ( )
A．非负数都有两个平方根
B．同旁内角互补
C．同一平面内没有公共点的两直线平行
D．带根号的都是无理数
C
2．下列图形中，能说明“相等的角是对顶角”为假命题的是 ( )
A
判断一个命题是错误的，只需举出一个反例即可．
3．把命题“正方形的四个角都是直角”改写成“如果……那么……”的形式是______________________________________________ ____，该命题是______命题(填“真”或“假”)．
如果一个四边形是正方形，那么它的四个角都是直
角
真
(拔高： )4．在数学课上，老师提出了这样一个问题：
如图，点E在AB的延长线上，请从①AB∥CD；②AC∥BD；③∠DBE＋∠C＝180°中，选取两个作为题设，第三个作为结论，组成一个命题，判断其真假，并证明．
小明的做法如下：
选取①②作为题设，③作为结论．
“如果AB∥CD，AC∥BD，那么∠DBE＋∠C＝
180°”是一个真命题．
证明：∵AB∥CD(已知)，
∴∠A＋∠C＝180°(__________________________)．
∵AC∥BD(已知)，
∴∠A＝__________(_________________________)．
∴∠DBE＋∠C＝180°(等量代换)．
(1)请帮助小明补全证明过程及推理依据；
两直线平行，同旁内角互补
∠DBE
两直线平行，同位角相等
(2)请做出与小明不同的选择，组成一个新的命题，判断其真假，并证明．
解：选取①③作为题设，②作为结论．“如果AB∥CD，∠DBE＋∠C＝180°，那么AC∥BD”是一个真命题．
证明：∵AB∥CD(已知)，
∴∠A＋∠C＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．
∵∠DBE＋∠C＝180°(已知)，
∴∠A＝∠DBE(等量代换)．
∴AC∥BD(同位角相等，两直线平行)．
随 堂 测
1．判断下列语句是不是命题．(打“√”或“×”)
(1)多彩的青春； ( )
(2)两点确定一条直线； ( )
(3)∠A＝90°吗？ ( )
2．“相交的两条直线一定不平行”，这个命题的题设是_________ _______，结论是________________________，这个命题是______(填“真”或“假”)命题．
×
√
×
两条直
线相交
这两条直线一定不平行
真
3．下列命题中，真命题有 ( )
①有一条公共边的角叫作邻补角；
②如果两个角都是直角，那么这两个角相等；
③直线外一点到这条直线的垂线段，叫作点到直线的距离．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
B
4．如图，已知直线AB，CD，EF被直线BF所截，从①∠B＋∠1＝180°；②∠2＝∠3；③AB∥EF三个条件中选出两个作为题设，另一个作为结论，使其构成一个真命题，并写出证明过程．
解：题设：①②；结论：③．
证明：∵∠B＋∠1＝180°，
∴AB∥CD．
∵∠2＝∠3，∴EF∥CD．
∴AB∥EF．(答案不唯一)
运算滚动 5．(2025广州)如图，直线AB，CD相交于点O．若∠1＝36°，则∠2的度数为_______°．
144(共21张PPT)
第7课时 平行线的判定(2)
第七章 相交线与平行线
课堂讲练
课堂检测
随堂测
课堂讲练
类型 与对顶角、邻补角有关的判定
例1 (人教七下P20改编)如图，当∠1＝∠2时，直线a，b平行吗？为什么？
解：a∥b．理由如下：
如答图，设∠1的对顶角为∠3．
∵∠1＝∠3，∠1＝∠2，
∴∠3＝∠2．
∴a∥b(同位角相等，两直线平行)．
例1题答图
你还有其他证明方法吗？请再写出另外一种吧！
训练 1．如图，直线l1，l2被直线l3所截，∠1＝45°，∠2＝135°，判断l1与l2是否平行，并说明理由．
解：直线l1与l2平行．理由如下：
∵∠2＝135°，
∴∠3＝180°－∠2＝45°．
∵∠1＝45°，
∴∠1＝∠3＝45°．
∴直线l1与l2平行(同位角相等，两直线平行)．
类型 与角平分线有关的判定
例2 如图，点D，E分别在AB和AC上，CD平分∠ACB，∠BCD＝40°，∠AED＝80°．求证：DE∥BC．
证明：∵CD平分∠ACB，∠BCD＝40°，
∴∠BCE＝2∠BCD＝2×40°＝80°．
∵∠AED＝80°，
∴∠BCE＝∠AED．∴DE∥BC．
训练 2．如图，∠ABC＝∠ADC，BF，DE分别是∠ABC，∠ADC的平分线，∠1＝∠2，那么CD∥AB吗？说出你的理由．
解：CD∥AB．理由如下：
∵BF，DE分别是∠ABC，∠ADC的平分线，
∴∠ABC＝2∠2，∠ADC＝2∠3．
∵∠ABC＝∠ADC，∴∠2＝∠3．
∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3．
∴CD∥AB．
类型 与垂线有关的判定
例3 如图，AB⊥BC，∠1与∠2互余，∠2＝∠3．BE与DF平行吗？为什么？
解：BE∥DF．理由如下：
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，即∠3＋∠4＝90°．
∵∠1与∠2互余，∴∠1＋∠2＝90°．
∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠4．
∴BE∥DF．
训练 3．如图，EF⊥FG，垂足为F，且点F在直线CD上，EF与直线AB相交于点H，∠1＋∠2＝90°．求证：AB∥CD．
证明：∵EF⊥FG，
∴∠EFG＝90°，即∠EFD＋∠2＝90°．
又∠1＋∠2＝90°，
∴∠EFD＝∠1．
∴AB∥CD．
课堂检测
1．图1是视觉错觉艺术风格的作品，这种设计利用背景线条、图案的干扰，制造出视觉认知偏差的冲突，具有很强的迷惑性与趣味性．如图2，现将其中的一组背景线条与直线a，b抽象出来，下列说法不能判断出a∥b的是 ( )
A．∠1＝∠2
B．∠2＝∠5
C．∠1＋∠4＝180°
D．∠3＋∠4＝180°
D
2．如图，∠AME＋∠D＝180°，∠B＝∠D．请找出图中的平行线并证明．
解：AB∥DF，DE∥BC．
证明：∵∠AME＋∠D＝180°，
∠AME＋∠AMD＝180°，
∴∠AMD＝∠D．∴AB∥DF．
∵∠B＝∠D，∴∠AMD＝∠B．
∴DE∥BC．
3．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC上一点，且∠1＋∠2＝90°．求证：DE∥BC．
证明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠1＋∠EDC＝90°．
∵∠1＋∠2＝90°，
∴∠EDC＝∠2．∴DE∥BC．
4．将一副三角板按如图1所示的位置摆放，图2是其示意图，其中∠B＝45°，∠D＝30°．若CF平分∠DCE，交DE于点F，求证：CF∥AB．
证明：∵CF平分∠DCE，∠DCE＝90°，
∴∠ECF＝∠DCE＝45°．
∵∠B＝45°，∴∠ECF＝∠B．
∴CF∥AB．
5．如图，点O在直线AB上，点F在射线DE上，OC平分∠AOF，OD平分∠BOF．
(1)求证：OC⊥OD．
证明：∵OC平分∠AOF，OD平分∠BOF，
∴∠COF＝∠AOF，∠DOF＝∠BOF．
∴∠COD＝∠COF＋∠DOF＝(∠AOF＋∠BOF)＝×180°＝90°．
∴OC⊥OD．
(2)如果∠D与∠AOC互余，那么ED与AB平行吗？请说明理由．
解：ED∥AB．理由如下：
∵∠COD＝90°，
∴∠AOC＋∠BOD＝90°．
∵∠D与∠AOC互余，
∴∠AOC＋∠D＝90°．
∴∠D＝∠BOD．∴ED∥AB．
(拔高： )6．如图，∠BEC＝95°，∠ABE＝120°，∠DCE＝35°．求证：AB∥CD．
证明：如答图，延长BE，交CD于点F．
∵∠BEC＝95°，∴∠CEF＝180°－95°＝85°．
∵∠BFC＋∠DCE＋∠CEF＝180°，∠DCE＝35°，
∴∠BFC＝180°－35°－85°＝60°．
∵∠ABE＝120°，∴∠ABE＋∠BFC＝180°．
∴AB∥CD．
第6题答图
你还有其他作辅助线求证的方法吗？
随 堂 测
1．下面各图中，由∠1＝∠2，能得到AB∥CD的是 ( )
C
2．如图，已知FG交AB于点Q，交CD于点F，FE平分∠DFG，交AB于点E，∠AQG＝50°．当∠DFE＝______°时，AB∥CD．
65
3．如图，已知OA⊥OC，OB⊥OD．若∠OBE＝∠COD．求证：BE∥AO．
证明：∵OA⊥OC，OB⊥OD，
∴∠AOC＝∠BOC＋∠AOB＝90°，
∠BOD＝∠BOC＋∠COD＝90°．
∴∠AOB＝∠COD．
又∠OBE＝∠COD，∴∠OBE＝∠AOB．
∴BE∥AO(内错角相等，两直线平行)．
运算滚动 4．若一个角的余角是48°42′，则这个角的补角是____________．
138°42′
