2025-2026人教版七年级数学分层精析精练9.1.2用坐标描述简单的几何图形（含解析）

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2025-2026学年人教版七年级数学下分层精练精析
9.1.2用坐标描述简单的几何图形
知识点1、用坐标描述简单的几何图形
1．如图，将5个边长均为3的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点、的坐标分别为、，则顶点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在长方形中，若，则点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．已知线段，轴，若点M坐标为，则N点坐标为（ ）
A． B．或 C． D．或
5．如图，在平面直角坐标系中，正方形的面积为25，点A的坐标为，则点C的坐标为（______，______）．
6．已知点，，若直线轴，则的值为______．
知识点2 根据几何图形的关键点的坐标确定几何图形
1．如图，在长方形中，若，则点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．已知长方形的三个顶点坐标为，，，则顶点D的坐标为________．
3．如图，B所表示的点为，C表示的点为，并且长方形的面积为6，则点D可以表示为______．
4．在直角坐标系中摆成如图所示的图案，5个大小形状完全相同的长方形纸片，已知，则点的坐标是______．
5．如图，的三个顶点位置分别是，，，线段与y轴交于．
(1)求的面积；
(2)若点A、B的位置不变，当点P在坐标轴上什么位置时，使？
6．如图，在四边形中，，，已知．
(1)点的坐标为 ；
(2)在轴上找一点，使得．
7．如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为，点C的坐标为，且a、b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动
(1)求点的坐标．
(2)当点移动4秒时，请求出点的坐标．
(3)当点移动到距离轴3个单位长度时，求点移动的时间．
8．如图，点，，，，，，为正方形网格图中的7个格点，建立平面直角坐标系，使点，的坐标分别为和．
(1)在图中建立合适的平面直角坐标系；
(2)写出图中七个点中在第二象限的点的坐标．
知识点3 利用“割补法”求几何图形面积
1．如图是一块不规则的四边形地皮，各顶点坐标分别为，，，（图上一个单位长度表示），则这块地皮的面积是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，若由点，，确定的的面积为2，则的值为_____．
3．如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别为，，，则三角形的面积为___________．
4．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点都在格点上，其中，点的坐标为，点的坐标为．
(1)填空：点的坐标是________，点的坐标是________．
(2)求四边形的面积．
5．如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，且a，b满足，点C的坐标为．
(1)求a，b及的值；
(2)若点M在y轴上，且，试求点M的坐标．
6．与在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)直接写出A、B、C三点的坐标
(2)求的面积．
7．如图，在平面直角坐标系中，直角三角形的边，，，点的坐标为，且轴．
(1)求点，的坐标；
(2)连接，，求三角形的面积．
8．如图，在平面直角坐标系中，三角形顶点的坐标分别为，，．
(1)求三角形的面积；
(2)若x轴上存在一点P，使得三角形的面积为三角形面积的，求点P的坐标．
1．如图，线段的端点，的坐标分别为，，，，且，则点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
2．在如图所示的平面直角坐标系中，点，，，．
(1)求四边形的面积；
(2)在轴上找一点，使三角形的面积等于四边形面积的一半，求点的坐标．
3．如图，在平面直角坐标系中，，，，且满足，线段交轴于点．
(1)点的坐标为__________，点的坐标为__________；
(2)求点的坐标；
(3)点为轴上一点，若三角形的面积和三角形的面积相等，求出点P的坐标．
4．如图，在平面直角坐标系中，已知三点，若a，b，c满足关系式．
(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)求的面积；
(3)是否存在，使得的面积为面积的两倍？若存在，写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，在平面直角坐标系中，线段交于第一象限的点B，B点到y轴的距离是3，到x轴的距离为4，点A，C均在x轴上，C点坐标为，线段．
(1)A点坐标为______，B点坐标为______；
(2)若线段上存在一点D，使（O为原点），求D点纵坐标；
(3)点是坐标平面内的动点，若满足，求a的取值范围．
6．如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，点A在x轴负半轴上，点B、C分别在x轴、y轴正半轴上，且，点和满足．
(1)求点B和C的坐标；
(2)点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿向点B匀速运动，同时点Q从点B出发以每秒3个单位的速度沿向终点A匀速运动，当点Q到达终点A时，点P、Q均停止运动，设点P运动的时间为t（）秒，线段的长度为y，用含t的式子表示y，并写出相应的t的范围；
(3)在（2）的条件下，连接，是否存在t的值使的面积是面积的一半？若存在求t值，并求出P、Q的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点B在x轴的负半轴上，，点在第二象限，轴，且，点在第一象限．
(1)求两点的坐标；
(2)是否存在m，使以为顶点的四边形的面积等于？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
8．在平面直角坐标系中，O为原点，点，，．
(1)如图1，的面积为 ；
(2)如图2，将点B向右平移至点．
①若线段的长为5，求点D到直线的距离；
②点P是x轴上一动点，若的面积等于3，请求出点P的坐标．
9．如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，且a，b满足．
(1)填空： ，；
(2)若在第四象限内有一点，用含m的式子表示三角形的面积；
(3)在（2）的条件下，线段与y轴相交于点，当时，P是y轴上一动点，当满足，试求点P的坐标．
10．在平面直角坐标系中，．
(1)求的面积；
(2)已知为轴上一点，若，求点的坐标．
1．如图，在平面直角坐标系中，，，满足．
(1)求、两点的坐标及的面积；
(2)若点是轴上一点，且的面积为6，求点的坐标；
(3)若是轴上方到轴的距离为6的一条直线，在直线上是否存在点，使的面积等于的面积，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，，且．
(1)直接写出，的值和三角形的面积；
(2)设与轴交于点，求三角形的面积；
(3)如图2，连接，点在轴上，使三角形与三角形的面积相等，求的值；
(4)如图3，点在四边形内部，使三角形的面积是三角形的面积的2倍，且三角形的面积是三角形的面积的2倍，直接写出点的坐标．
3．如图1，在平面直角坐标系中，O为原点，已知，，且a，b满足关系式：，其中，连接，．
(1)填空：_______，_______，三角形的面积是_______；
(2)点C是x轴上一点，连接，延长与x轴相交于点D．
①如图2，当点C在x轴负半轴上，三角形的面积与三角形的面积相等时，求点C的坐标；
②若三角形的面积等于三角形面积的一半，三角形的面积等于，求点B，C，D的坐标．
2025-2026学年人教版七年级数学下分层精练精析
9.1.2用坐标描述简单的几何图形（解析版）
知识点1、用坐标描述简单的几何图形
1．如图，将5个边长均为3的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点、的坐标分别为、，则顶点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由图形可得轴，，轴，可求正方形的边长，即可求解．
【详解】解：∵顶点M、N的坐标分别为、，
∴轴，，轴，
∴正方形的边长为3，
∴，
∴，
∵，
∴轴，
∴．
故选：A．
2．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查平面直角坐标系，正确建立坐标系是解题关键．根据点、两点坐标，建立坐标系，即可得出点坐标．
【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为，
∴建立坐标系如下：
∴点的坐标是．
故选：A．
3．如图，在长方形中，若，则点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了坐标与图形，根据点的坐标可得轴，再由长方形对边平行且相等得到，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴轴，
∵长方形对边平行且相等，
∴，
∴轴，
∴，即，
故选：D．
4．已知线段，轴，若点M坐标为，则N点坐标为（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】B
【分析】本题考查了坐标与图形，平行于x轴的线段上所有点的纵坐标相等，且该线段上两点间的距离等于横坐标之差的绝对值，据此求解即可．
【详解】解：∵轴，点M坐标为，
∴点 N的纵坐标为2．
∵，
∴点N的横坐标为或，
∴点N的坐标为或，
故选：B．
5．如图，在平面直角坐标系中，正方形的面积为25，点A的坐标为，则点C的坐标为（______，______）．
【答案】
【分析】本题考查了坐标与图形；由正方形的面积得正方形的边长为5，结合点A的坐标得点D的坐标，即可求得点C的坐标．
【详解】解：∵正方形的面积为25，
∴正方形的边长为5，即，
∵点A的坐标为，
∴点D的坐标为，
∴点C的坐标为，
故答案为：．
6．已知点，，若直线轴，则的值为______．
【答案】
【分析】本题考查了坐标与图形性质，熟记“平行于轴的直线上的点的纵坐标相等”是解题的关键．由于直线轴，因此点和点的纵坐标相等，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值．
【详解】解：直线轴，
，
解得：．
故答案为：．
知识点2 根据几何图形的关键点的坐标确定几何图形
1．如图，在长方形中，若，则点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了坐标与图形，根据点的坐标可得轴，再由长方形对边平行且相等得到，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴轴，
∵长方形对边平行且相等，
∴，
∴轴，
∴，即，
故选：D．
2．已知长方形的三个顶点坐标为，，，则顶点D的坐标为________．
【答案】
【分析】本题主要考查坐标与图形性质，解题的关键是掌握坐标与图形性质．根据长方形对边平行且相等的性质，通过点的坐标变化确定点D的位置即可．
【详解】解：∵点和点的纵坐标相同，
∴轴，
∵点和点的横坐标相同，
∴轴，
∵四边形为长方形，
∴点D的横坐标应与点A的横坐标相同，为2；点D的纵坐标应与点C的纵坐标相同，为，即点D的坐标为．
故答案为：．
3．如图，B所表示的点为，C表示的点为，并且长方形的面积为6，则点D可以表示为______．
【答案】
【分析】该题考查了坐标与图形，根据坐标的特点，长方形的面积，解答即可．
【详解】解：根据题意，得，由长方形的面积为6，得到，
得到，
故．
故答案为：．
4．在直角坐标系中摆成如图所示的图案，5个大小形状完全相同的长方形纸片，已知，则点的坐标是______．
【答案】
【分析】本题考查了直角坐标系中的几何图形问题，特别是如何利用给定的点坐标来推导图形的尺寸以及未知点的坐标．解题的关键在于运用方程的思想，通过建立并求解二元一次方程组来确定长方形的长和宽．设长方形纸片的长为x，宽为y，利用点B的坐标所反映的水平与垂直方向的长度关系，建立二元一次方程组，求解出长和宽后，再根据点A的位置确定其横、纵坐标．
【详解】解：如图，设未知数 设长方形纸片的长为x，宽为y，
，
,
解得，，
，，
点在第二象限，
点A的坐标为，
故答案为：．
5．如图，的三个顶点位置分别是，，，线段与y轴交于．
(1)求的面积；
(2)若点A、B的位置不变，当点P在坐标轴上什么位置时，使？
【答案】(1)6
(2)或或或
【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的特征及三角形的面积，掌握三角形的面积公式及点在平面直角坐标系中的位置是解题的关键．
（1）根据点A，B，C三个点的坐标，求出的长、点B到的距离，利用三角形面积公式列式计算即可得解；
（2）根据得到，然后分两种情况，根据三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：∵、、，
∴，点B到的距离为3，
∴的面积是；
（2）解：由题意得，，
当P点在x轴上，
∴
解得，
∵
∴点P坐标为或；
当点在轴上时，记线段与y轴交于，
∵
∴
∴，
∴点P坐标为或，
综上：点P坐标为或或或．
6．如图，在四边形中，，，已知．
(1)点的坐标为 ；
(2)在轴上找一点，使得．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查了坐标与平面综合，坐标系中三角形的面积，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）根据平行于轴的直线上两点纵坐标相等，横坐标差的绝对值即为两点的距离求解即可；
（2）根据三角形面积公式求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解： ∵，
∴，
∴，
∴或．
7．如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为，点C的坐标为，且a、b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动
(1)求点的坐标．
(2)当点移动4秒时，请求出点的坐标．
(3)当点移动到距离轴3个单位长度时，求点移动的时间．
【答案】(1)
(2)
(3)秒或秒
【分析】本题考查坐标与图形的性质，非负性的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
（1）利用非负数的性质可以求得的值，根据长方形的性质，可以求得点B的坐标；
（2）根据题意点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动，可以得到当点P移动4秒时，点P的位置和点P的坐标；
（3）由题意可以得到符合要求的有两种情况，分别求出两种情况下点P移动的时间即可．
【详解】（1）解：∵a、b满足，
∴，
解得，
∴点B的坐标是；
（2）解：∵点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动，
∴点移动4秒时，点P的路程：，
∵
∴当点P移动4秒时，在线段上，
即当点P移动4秒时，此时点P的坐标是；
（3）解：由题意可得，在移动过程中，当点P到y轴的距离为3个单位长度时，存在两种情况：
第一种情况，当点P在上时，
点P移动的时间是：（秒），
第二种情况，当点P在上时．
点P移动的时间是：（秒），
综上分析可知：在移动过程中，当点P到y轴的距离为3个单位长度时，点P移动的时间是秒或秒．
8．如图，点，，，，，，为正方形网格图中的7个格点，建立平面直角坐标系，使点，的坐标分别为和．
(1)在图中建立合适的平面直角坐标系；
(2)写出图中七个点中在第二象限的点的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)，
【分析】本题考查了坐标与图形、写出平面直角坐标系中的坐标，采用数形结合的思想是解此题的关键．
（1）根据点，的坐标建立平面直角坐标系即可；
（2）根据（1）中建立的平面直角坐标系结合图形即可得解．
【详解】（1）解：∵点，的坐标分别为和，
∴建立平面直角坐标系如图：
；
（2）解：由图可得：在第二象限的点的坐标为，．
知识点3 利用“割补法”求几何图形面积
1．如图是一块不规则的四边形地皮，各顶点坐标分别为，，，（图上一个单位长度表示），则这块地皮的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了求点到坐标轴的距离，坐标与图形综合，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
根据，，，，结合图形，可分别求出三角形（左）、梯形（中）、三角形（右），再求和即可．
【详解】解：∵一块不规则的四边形地皮，各顶点坐标分别为，，，（图上一个单位长度表示），
∴这块地皮的面积是
()，
故选：C．
2．如图，若由点，，确定的的面积为2，则的值为_____．
【答案】1
【分析】本题考查了坐标与图形的性质，利用三角形的面积公式得出关于的一元二次方程是解题的关键．
根据坐标上点和点的位置，可以得到的长为,由点的坐标，可知以为底的三角形的高为，由三角形的面积公式列式解答即可．
【详解】解：且的面积为2．
，化简得．
解得：．
故答案为：1．
3．如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别为，，，则三角形的面积为___________．
【答案】
【分析】本题主要考查了坐标与图形综合，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握在平面直角坐标系中求图形的面积是解题的关键．
先求出的长，然后利用三角形的面积公式求解即可：根据即可得解．
【详解】解：，，，
，
，
故答案为：．
4．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点都在格点上，其中，点的坐标为，点的坐标为．
(1)填空：点的坐标是________，点的坐标是________．
(2)求四边形的面积．
【答案】(1)，；
(2)
【分析】本题主要考查了坐标与图形，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
（1）根据点在坐标系中的位置，写出对应点坐标即可；
（2）利用割补法求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，点的坐标是，点的坐标是；
（2）解：四边形的面积
5．如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，且a，b满足，点C的坐标为．
(1)求a，b及的值；
(2)若点M在y轴上，且，试求点M的坐标．
【答案】(1)，，
(2)或
【分析】本题主要考查了坐标与图形、非负数的性质等知识，运用数形结合的思想分析问题是解题关键．
（1）根据非负数的性质解得的值，再根据三角形面积公式求得的值即可；
（2）设点的坐标为，则，由题意可得，可得，解方程即可获得点的坐标．
【详解】（1）解：∵，,
∴，
∴，，
∴，，
∴点，点，
又∵点，
∴，，
∴；
（2）解：设点的坐标为，则，
又∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得 或，
故点的坐标为或．
6．与在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)直接写出A、B、C三点的坐标
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)2
【分析】本题考查坐标与图形，利用数形结合的思想进行求解即可；
（1）直接根据点所在位置，写出点的坐标即可；
（2）根据分割法求出三角形的面积即可．
【详解】（1）解：由图可知：；
（2）由图可知：．
7．如图，在平面直角坐标系中，直角三角形的边，，，点的坐标为，且轴．
(1)求点，的坐标；
(2)连接，，求三角形的面积．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了坐标与图形；
（1）根据的长度与点A的坐标得出点的坐标，根据的长度得出点的坐标；
（2）过点作轴，交轴于点，过点作轴，交轴于点，，的延长线交于点，根据，即可求解．
【详解】（1）解： 三角形是直角三角形，，，轴，
，即，
∵，
，即．
（2）解：如图，过点作轴，交轴于点，过点作轴，交轴于点，，的延长线交于点，
则，，，，，
．
8．如图，在平面直角坐标系中，三角形顶点的坐标分别为，，．
(1)求三角形的面积；
(2)若x轴上存在一点P，使得三角形的面积为三角形面积的，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)点P的坐标为或
【分析】本题主要考查图形与坐标，熟练掌握点的坐标表示的几何意义及割补法是解题的关键．
（1）分别过点A、C作x轴平行线，分别过点B、C作y轴平行线，相交于点E、F、D，根据割补法可直接进行求解；
（2）由（1）可得，进而的面积以点C的纵坐标的绝对值为高，为底，然后可得或，最后问题可求解．
【详解】（1）解：分别过点A、C作x轴平行线，分别过点B、C作y轴平行线，相交于点E、F、D，如下图：
，，，
；
（2）解：设点，由题意得：，
∴的面积以点C的纵坐标的绝对值为高，为底，即，
∴或，
∴点P的坐标为或．
1．如图，线段的端点，的坐标分别为，，，，且，则点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标以及平行线的性质．
根据已知条件求出和的长度，再结合平行线的性质确定点的坐标．
【详解】解：∵ , ,
∴，
∵，，
又∵，，
∴，，
∴点横坐标为，点纵坐标为，
∴．
故选：．
2．在如图所示的平面直角坐标系中，点，，，．
(1)求四边形的面积；
(2)在轴上找一点，使三角形的面积等于四边形面积的一半，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查了坐标与图形综合，采用数形结合的思想是解此题的关键．
（1）分别过，两点作轴的垂线，垂足分别为，，结合题意可得，，，，，再由计算即可得解；
（2）设，根据三角形的面积等于四边形面积的一半，，得出，求解即可．
【详解】（1）解：如图，分别过，两点作轴的垂线，垂足分别为，．
∵点，，，，
∴，，，，，
∴
．
（2）解：设，
∵三角形的面积等于四边形面积的一半，，
∴，
解得：或，
∴或．
3．如图，在平面直角坐标系中，，，，且满足，线段交轴于点．
(1)点的坐标为__________，点的坐标为__________；
(2)求点的坐标；
(3)点为轴上一点，若三角形的面积和三角形的面积相等，求出点P的坐标．
【答案】(1)；
(2)
(3)或
【分析】本题考查非负数的性质、坐标与图形性质，熟练掌握坐标与图形性质是解答的关键．
（1）根据绝对值和平方的非负性求得a、b的值即可求解；
（2）连接，设，由，结合坐标与图形性质列方程求解即可；
（3）先求得，设，根据题意列方程，解方程即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为，点的坐标为；
（2）解：如图，连接，设，
∵，，且，
∴，
解得，
∴点F的坐标为；
（3）解：∵，，
∴，
∴．
设，
∵三角形的面积和三角形的面积相等，
∴，
解得或，
∴此时点P的坐标为或．
4．如图，在平面直角坐标系中，已知三点，若a，b，c满足关系式．
(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)求的面积；
(3)是否存在，使得的面积为面积的两倍？若存在，写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)点
(2)6
(3)存在，点P的坐标为或
【分析】（1）根据非负数性质得，，，由此得，，，进而可得出A，B，C三点的坐标；
（2）根据点得，，，且轴，再由三角形的面积公式即可得出的面积；
（3）先求出，进而得，再根据点，轴得点P到直线BC的距离为，则，解此方程求出x即可得出点P的坐标．
此题主要考查了点的坐标，非负数的性质，三角形的面积，理解点的坐标，熟练掌握非负数的性质，三角形的面积公式是解决问题的关键．
【详解】（1）解：，，，
又，
，，，
，，，
点，，；
（2）解：∵点，，；
，，，且轴，
；
（3）解：存在．
，，
，
，
点P的坐标为，轴，
点P到直线的距离为，
，
，
，，
由，解得：，
当时，，
此时点P的坐标为；
由，解得：，
当时，，
此时点P的坐标为，
点P的坐标为或
5．如图，在平面直角坐标系中，线段交于第一象限的点B，B点到y轴的距离是3，到x轴的距离为4，点A，C均在x轴上，C点坐标为，线段．
(1)A点坐标为______，B点坐标为______；
(2)若线段上存在一点D，使（O为原点），求D点纵坐标；
(3)点是坐标平面内的动点，若满足，求a的取值范围．
【答案】(1)，；
(2)点D的纵坐标为2；
(3)且．
【分析】（1）首先确定，结合点A在x轴负半轴上，可知点坐标；再根据点B在第一象限，B点到x轴，y轴的距离，可确定点坐标；
（2）首先计算的面积，易得，进而计算点D的纵坐标即可；
（3）设直线交直线于点F，过点B作x轴的垂线分别交x轴，直线于M，N，易得，，，，，由可求得，进而可得，令，解得的值，结合题意即可获得答案．
【详解】（1）解：∵点A，C均在x轴上，C点坐标为，
∴，
∵线段，
∴，
又∵点A在x轴负半轴上，
∴，
∵点B在第一象限，B点到y轴的距离是3，到x轴的距离为4，
∴．
故答案为：，；
（2）∵，
又∵，
∴，即，解得，
∵点D在第一象限，
∴，即点D的纵坐标为2；
（3）设直线交直线于点F，过点B作x轴的垂线分别交x轴，直线于M，N，
则，，，，，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，令，
∵，即，
∴，
∴，解得或，
∵，
∴，
当点与点重合，即时，点在同一直线上，无法构成三角形，
∴．
综上所述，a的取值范围为且．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形、点到坐标轴的距离、绝对值方程等知识，运用数形结合的思想分析问题．
6．如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，点A在x轴负半轴上，点B、C分别在x轴、y轴正半轴上，且，点和满足．
(1)求点B和C的坐标；
(2)点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿向点B匀速运动，同时点Q从点B出发以每秒3个单位的速度沿向终点A匀速运动，当点Q到达终点A时，点P、Q均停止运动，设点P运动的时间为t（）秒，线段的长度为y，用含t的式子表示y，并写出相应的t的范围；
(3)在（2）的条件下，连接，是否存在t的值使的面积是面积的一半？若存在求t值，并求出P、Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查坐标与图形，熟练掌握数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键：
（1）非负性求出的值，进而求出的坐标，根据，求出点坐标即可；
（2）分相遇前和相遇后，两种情况进行讨论求解即可；
（3）由题意，得到当的面积是面积的一半时，，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知：，
∴，
由题意，得：，
相遇所用时间为秒，点运动时间为秒；
当时，；
当时，；
综上：；
（3）解：∵，，
∴，
∴当时，，解得：；
当时，，解得：（不合题意，舍去）
综上：．
7．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点B在x轴的负半轴上，，点在第二象限，轴，且，点在第一象限．
(1)求两点的坐标；
(2)是否存在m，使以为顶点的四边形的面积等于？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)存在，点的坐标为
【分析】本题主要考查了点坐标与图形、点所在的象限，熟练掌握点坐标的应用是解题关键．
（1）先根据点在轴的负半轴上，可得；再根据点在第二象限，轴，且，可得；
（2）先求出的面积和的面积，再根据使以为顶点的四边形的面积等于可得，由此即可得．
【详解】（1）解：∵点在轴的负半轴上，，
∴；
∵点在第二象限，轴，且，，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵点在第一象限，
∴，
∴的边上的高为，
∴，
∵以为顶点的四边形的面积等于，
∴，
∴，
∴，
∴存在，使以为顶点的四边形的面积等于，此时点的坐标为．
8．在平面直角坐标系中，O为原点，点，，．
(1)如图1，的面积为 ；
(2)如图2，将点B向右平移至点．
①若线段的长为5，求点D到直线的距离；
②点P是x轴上一动点，若的面积等于3，请求出点P的坐标．
【答案】(1)9
(2)①点D到直线的距离为；②点P的坐标为或
【分析】本题考查了坐标与图形，点的平移，平面直角坐标系中求三角形面积，平面直角坐标系中求三角形面积时，如果三角形中无一边与坐标轴平行，则常常用割补的方法，使得三角形表示为易于求得面积的三角形或四边形面积的和或差．注意（2）问中点P的坐标有两种情况，不要忽略x轴负半轴上的情况．
（1）由题意可得、的长，由三角形面积公式即可求得；
（2）①过点D作轴于E，由求出的面积，然后再求出距离即可；
②由面积可得，根据点P在x轴上的位置即可求得点P的坐标．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，，，
∴，
∴；
故答案为：9；
（2）解：①如图，过点D作轴于E，
∵点D坐标为，
∴点E坐标为，
∵，
∴，，，
∴
，
∵线段的长为5，
∴点D到直线的距离为：
；
②由题意得：，
即
∴
∵点P在x轴上
∴点P的坐标为或．
9．如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，且a，b满足．
(1)填空： ，；
(2)若在第四象限内有一点，用含m的式子表示三角形的面积；
(3)在（2）的条件下，线段与y轴相交于点，当时，P是y轴上一动点，当满足，试求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查了非负数的性质、平面直角坐标系中三角形面积的计算，解题的关键是利用非负数性质求出a、b的值，再结合坐标与图形性质计算三角形面积．
（1）根据非负数的性质，两个非负数的和为0，则这两个非负数分别为0，求出a、b的值；
（2）先求出的长度，再根据点的坐标确定三角形的高，最后利用三角形面积公式计算；
（3）设出点坐标，求出，由（2）知，再结合已知面积关系求出，利用三角形面积公式列方程求解．
【详解】（1）解：由题意可得：
解，得，
解，得，
故答案为：；
（2）解：∵点在第四象限，
，
∵点A，B的坐标分别为
；
（3）解：设点的坐标为，
点，
∵
∴
由（2）知，
，
，
，
，
，
解得：或，故点的坐标为或．
10．在平面直角坐标系中，．
(1)求的面积；
(2)已知为轴上一点，若，求点的坐标．
【答案】(1)6
(2)或
【分析】（1）利用分割法计算即可．
（2）设，则，根据面积相等，建立方程求解即可．
本题考查了坐标系中的作图，分割法求面积，解绝对值方程，数轴上两点间距离计算，熟练掌握分割法是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意，，得的面积为：．
（2）解：设，则，
又，
根据题意，得，
解得或，
故点或．
1．如图，在平面直角坐标系中，，，满足．
(1)求、两点的坐标及的面积；
(2)若点是轴上一点，且的面积为6，求点的坐标；
(3)若是轴上方到轴的距离为6的一条直线，在直线上是否存在点，使的面积等于的面积，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，；
(2)点的坐标为或；
(3)存在这样的点，点坐标为或．
【分析】本题考查了非负数的性质，坐标与图形等知识；
（1）由非负数的性质即可求得a，b的值，从而求得A、B的坐标及的面积；
（2）设，由的面积为6，建立关于n的方程，求出n的值，即可求解；
（3）设，由（1）知：；分点P位于y轴左侧，点P位于y轴右侧，两种情况考虑即可．
【详解】（1）解：由得：，，
，，
，，
，，
，
（2）解：设，
，
，
，
或，
点的坐标为或．
（3）解：存在，理由：设，
由（1）知：，
，
当P位于y轴左侧时，设直线交y轴于点D，如图；
，
，
，
；
当P位于y轴右侧时，过点P作轴于点D，如图；
，
，
，
；
存在这样的点，点坐标为或．
2．如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，，且．
(1)直接写出，的值和三角形的面积；
(2)设与轴交于点，求三角形的面积；
(3)如图2，连接，点在轴上，使三角形与三角形的面积相等，求的值；
(4)如图3，点在四边形内部，使三角形的面积是三角形的面积的2倍，且三角形的面积是三角形的面积的2倍，直接写出点的坐标．
【答案】(1)，，
(2)
(3)或
(4)
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标，完全平方公式和算术平方根的非负性，解一元一次方程求三角形的面积，
对于（1），根据平方和二次根式的非负性求出a，c，即可得出，再求出面积即可；
对于（2），先根据求出，进而得出答案；
对于（3），分三种情况根据面积相等列出方程，求出解，并判断即可；
对于（4），先根据求出点的纵坐标为2，再求出，然后根据求出，则答案可得．
【详解】（1）解：∵，
∴，
解得．
∵点，
∴点，
则，
∴；
（2）解：∵ ，
∴，
，
；
（3）解：①当点在线段上时，
，，
即，
解得：；
同理：当在点B上方时，，
解得：；
当在点下方时，，
解得：，不存在．
所以m的值为或8；
（4）解：，理由如下：
过点作直线轴，交于，交轴于，交于，
∵，
，
即，
解得：，
因此点的纵坐标为2；
设点的坐标为，
，
解得：，
，同理，
．
，
，
解得：，
．
3．如图1，在平面直角坐标系中，O为原点，已知，，且a，b满足关系式：，其中，连接，．
(1)填空：_______，_______，三角形的面积是_______；
(2)点C是x轴上一点，连接，延长与x轴相交于点D．
①如图2，当点C在x轴负半轴上，三角形的面积与三角形的面积相等时，求点C的坐标；
②若三角形的面积等于三角形面积的一半，三角形的面积等于，求点B，C，D的坐标．
【答案】(1)3，2，3
(2)①②，或，
【分析】本题考查坐标与图形，非负性，熟练掌握数形结合的思想，是解题的关键：
（1）非负性求出的值，面积公式求出三角形的面积即可；
（2）①根据面积公式求出的长，即可求出点C的坐标；②根据三角形的面积等于三角形面积的一半，求出的面积，再根据面积公式求出的长，进而求出点坐标，再根据三角形的面积等于三角形面积的一半，求出点坐标，然后根据三角形的面积等于，求出的长，进而求出点坐标．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴三角形的面积是；
（2）①由（1）知：三角形的面积是3，，
∴，
∴；
∴；
②∵三角形的面积等于三角形面积的一半，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴或，
∴或．
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