2025-2026人教版七年级数学分层精析精练专题1 平面直角坐标系中图形面积、点的坐标规律（含解析）

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2025-2026学年人教版七年级数学下分层精练精析
专题1 平面直角坐标系中图形面积、点的坐标规律
一、平面直角坐标系中的图形面积
方法指导：
当图形有边在坐标轴上或与坐标轴平行时，可考虑直接将点的坐标转化为线段长，进而计算图形面积
1．如图，在平面直角坐标系中，，，，．则四边形的面积是（ ）
A．22 B．23 C．24 D．25
2．已知：如图，把△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A'B'C'．
（1）请画出，写出的坐标；
（2）若点是内部一点，则平移后对应点的坐标为__________；
（3）求出的面积；
（4）点在轴上，且与的面积相等，求点的坐标．
3．如图，在平面直角坐标系中，已知三点，若a，b，c满足关系式： ．求的面积．
4．在平面直角坐标系中描出以下各点：
、、、．
（1）顺次连接、、、得到四边形；
（2）计算四边形的面积．
5．如图，已知点是平面直角坐标系内的三点，求三角形的面积．
方法指导：
将图形通过作坐标轴平行线补成规则图形，转化成规则图形的差
6．已知．
(1)在平面直角坐标系（如图）中描出各点，画出，计算的面积是_____；
(2)作出关于轴对称的；
(3)设点在轴上，且与的面积相等，求点的坐标．
7．如图，在平面直角坐标系中，三角形顶点的坐标分别为，，．
(1)求三角形的面积；
(2)若x轴上存在一点P，使得三角形的面积为三角形面积的，求点P的坐标．
8．如图，三角形ABC中任一点P（m，n）经平移后对应点为P1（m+4，n-3），将三角形ABC作同样的平移得到三角形A1B1C1．
(1)直接写出A1、C1的坐标分别为A1 ，C1 ；
(2)在图中画出△A1B1C1；
(3)求出△A1B1C1的面积；
(4)点M在y轴上，若三角形MOC1的面积的面积为6，直接写出点M的坐标 ．
9．如图，在网格图中，平移使点A平移到点D．点C的坐标是．
(1)画出平移后的，并写出各点坐标；
(2)求的面积．
10．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点都在格点上，其中，点的坐标为，点的坐标为．
(1)填空：点的坐标是________，点的坐标是________．
(2)求四边形的面积．
方法指导：
将图形通过作坐标轴平行线或垂线割成若干规则图形，转化成规则图形的和
11．阅读与思考
利用面积法求直线上点的坐标
如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于，两点，点，在直线上，求点的坐标．
【问题探究】
（1）请阅读并填空：
第一步：过点作轴于点，由，两点的坐标，可直接得出三角形的面积为________；
第二步：过点作轴于点，三角形的面积，三角形的面积为________．
∵三角形的面积三角形的面积三角形的面积，
∴可得关于的一元一次方程为________．
解这个方程，可得点的坐标为________．
【问题迁移】
（2）连接，请仿照（1）中的方法，求点的坐标．
【问题拓展】
（3）若点在直线上，且在轴的左侧，三角形的面积为5，请直接写出点的坐标．
12．如图，已知．
(1)求四边形的面积；
(2)在y轴上存在一点P，使三角形的面积等于四边形面积的2倍，求点P 的坐标．
13．在如图所示的平面直角坐标系中，点，，，．
(1)求四边形的面积；
(2)在轴上找一点，使三角形的面积等于四边形面积的一半，求点的坐标．
14．如图，在平面直角坐标系中，已知，，b满足．
(1)求a，b的值；
(2)如果在第二象限内有一点，请用含m的式子表示四边形的面积；
(3)在（2）条件下，当时，在坐标轴的负半轴上是否存在点N，使得四边形的面积与的面积相等？若存在，求出点N的坐标，请说明理由．
15．如图，在直角坐标系中，已知三点，其中满足关系式，．
(1)求的值；
(2)如果在第二象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积；
(3)在（2）的条件下，是否存在点，使四边形的面积与三角形的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
方法指导：
已知坐标系中图形面积求点的坐标时，可将点的横（纵）坐标转化成到坐标轴的距离，利用面积公式解决线段数量关系，从而求出点的坐标
16．如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知点，且a，b满足，连接．
(1)请直接写出a，b的值；
(2)若点满足的面积等于12，求点P的坐标；
(3)如图2，动点C从点B出发，在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动，动点D从点O出发，在x轴上以每秒2个单位的速度向右运动，若点C，D同时出发，当的面积等于面积的2倍时，请直接写出点C的坐标．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点，且，．
(1)点A的坐标为__________，点B的坐标为__________；
(2)将线段平移得到线段，点A的对应点是点C，求三角形的面积；
(3)在（2）的条件下，过点D作轴于点E，请问在射线上，是否存在点P，使得三角形的面积等于三角形面积的一半？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
18．如图，在平面直角坐标系中，点，，，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．

(1)直接写出点D的坐标：______；
(2)求的面积；
(3)已知点，若的面积与的面积相等，求m的值．
19．在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，且轴．
(1)求a的值；
(2)求的面积；
(3)在y轴上是否存在一点P，使得的面积等于面积的一半？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
20．如图，在平面直角坐标系中，，，且满足，将线段平移得线段，点对应点，点对应点，点的对应点在轴上，点的对应点在轴上．
(1)直接写出、、三点的坐标；
(2)如图，点是轴上的一个动点，当三角形面积是三角形的面积的一半时，求点的坐标；
(3)如图，若动点从点出发向左运动，同时动点从点出发向上运动，两个点的运动速度之比是：，运动过程中直线和交于点，若三角形的面积等于，求出点的坐标．
二、平面直角坐标系中的点的坐标规律
方法指导：
循环规律：从特殊的点入手，依次求出点的坐标，直到发现循环规律为止，然后依据每一个循环周期中对应位置的点的坐标相同来确定任意点的坐标。
递进规律：从特殊的点（或起点）入手，依次求出几个点的坐标，找出递进的规律，然后根据递进的规律确定任意点的坐标。
1．如图，直角坐标系中长方形的四个顶点坐标分别为，，，，点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒个长度单位，同时点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒个长度单位，记，在长方形边上第次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，……，则点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
2．法国数学家笛卡尔创立了平面直角坐标系，被誉为“解析几何之父”．在平面直角坐标系中，我们定义点的“笛卡尔变换”为：．已知点的坐标为，则经过次笛卡尔变换后得到的点的坐标为( ）
A． B． C． D．
3．如图，在单位为1的方格纸上，，是斜边在轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，则依图中所示规律，的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，一个粒子在第一象限和x轴，y轴的正半轴上运动，在第1秒内，它从原点运动到，接着它按图所示在x轴，y轴的平行方向来回运动，即…，且每秒运动一个单位长度，那么2024秒时，这个粒子所处位置为（ ）
A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中，对于点，我们把点称为点P的伴随点．已知点的伴随点为点，点的伴随点为点，点的伴随点为点，……，这样依次得到点，，，，…，（n为正整数）．若点的坐标为，则点的坐标为______．
6．在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“可余点”．将某“可余点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．
例：“可余点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下．
若“可余点”按上述规则连续平移20次后，到达点，则点的坐标为________．
7．如图，在平面直角坐标系中，动点从点出发，按照箭头所示顺序运动，依次经过点和，则动点P第2026次运动到达的点的坐标为________．
8．如图，在平面直角坐标系中，一个动点从原点出发，沿着箭头所示方向，每次移动一个单位，依次得到点；；；；；……，则点的坐标是______．
9．在直角坐标系中，点从原点出发，沿如图所示的方向运动，到达位置的坐标依次为：，，，，，，，则的坐标为_______．
10．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次平移，每次移动一个单位长度，得到点那么点的坐标为___________．
2025-2026学年人教版七年级数学下分层精练精析
专题1 平面直角坐标系中图形面积、点的坐标规律（解析版）
一、平面直角坐标系中的图形面积
方法指导：
当图形有边在坐标轴上或与坐标轴平行时，可考虑直接将点的坐标转化为线段长，进而计算图形面积
1．如图，在平面直角坐标系中，，，，．则四边形的面积是（ ）
A．22 B．23 C．24 D．25
【答案】C
【分析】本题考查的是坐标与图形面积，如图，过作于，过作于，再利用割补法求解面积即可．
【详解】解：如图，过作于，过作于，
∵，，，，
∴，，，，，
∴四边形的面积是．
故选：C
2．已知：如图，把△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A'B'C'．
（1）请画出，写出的坐标；
（2）若点是内部一点，则平移后对应点的坐标为__________；
（3）求出的面积；
（4）点在轴上，且与的面积相等，求点的坐标．
【答案】（1）画图见解析，A′（0，4）；（2）（m+2，n+3）；（3）6；（4）P（0，1）或（0，-5）．
【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用平移的性质得出答案；
（3）直接根据三角形的面积公式求解即可；
（4）根据同底等高的三角形面积相等即可得出结论．
【详解】解：（1）如图所示：△A′B′C′，即为所求；
A′（0，4）；
（2）∵点M（m，n）是△ABC某边上的点，
∴向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，点M的对应点为M′的坐标为：（m+2，n+3）；
故答案为：（m+2，n+3）；
（3）△ABC的面积为×4×3=6；
（4）设P（0，y），
∵△BCP与△ABC同底等高，
∴|y-(-2)|=3，即y+2=3或y+2=-3，
解得y=1或y=-5，
∴P（0，1）或（0，-5）．
【点睛】本题考查的是作图-平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
3．如图，在平面直角坐标系中，已知三点，若a，b，c满足关系式： ．求的面积．
【答案】6
【分析】本题主要考查了非负数的性质，坐标与图形．根据绝对值和算术平方根的非负性可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴轴，
∴．
4．在平面直角坐标系中描出以下各点：
、、、．
（1）顺次连接、、、得到四边形；
（2）计算四边形的面积．
【答案】描点见解析；（1）图见解析；（2）
【分析】本题考查了坐标与图形；
（1）根据坐标系描点、连线，即可求解．
（2）根据点的坐标求出梯形的上底，下底，高后求面积．
【详解】解：（1）如图所示：
（2）．
5．如图，已知点是平面直角坐标系内的三点，求三角形的面积．
【答案】
【分析】本题考查直角坐标系中三角形的面积求法，以为底并求出点A到的距离从而求面积是解题的关键．过点A作轴，交x轴于点D，求出和，再用面积公式求解即可．
【详解】解：过点A作轴，交x轴于点D．
，
．
，
，
．
方法指导：
将图形通过作坐标轴平行线补成规则图形，转化成规则图形的差
6．已知．
(1)在平面直角坐标系（如图）中描出各点，画出，计算的面积是_____；
(2)作出关于轴对称的；
(3)设点在轴上，且与的面积相等，求点的坐标．
【答案】(1)图见解析，4
(2)见解析
(3)或
【分析】本题考查作图﹣轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据的坐标画出图形即可．
（2）分别作出的对应点即可．
（3）利用三角形面积公式求出的长，即可解决问题．
【详解】（1）解：如图所示，
∴，
故答案为：4．
（2）解：如图，即为所求．
（3）解：∵点在轴上，，即，
解得．
∴点的坐标为或．
7．如图，在平面直角坐标系中，三角形顶点的坐标分别为，，．
(1)求三角形的面积；
(2)若x轴上存在一点P，使得三角形的面积为三角形面积的，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)点P的坐标为或
【分析】本题主要考查图形与坐标，熟练掌握点的坐标表示的几何意义及割补法是解题的关键．
（1）分别过点A、C作x轴平行线，分别过点B、C作y轴平行线，相交于点E、F、D，根据割补法可直接进行求解；
（2）由（1）可得，进而的面积以点C的纵坐标的绝对值为高，为底，然后可得或，最后问题可求解．
【详解】（1）解：分别过点A、C作x轴平行线，分别过点B、C作y轴平行线，相交于点E、F、D，如下图：
，，，
；
（2）解：设点，由题意得：，
∴的面积以点C的纵坐标的绝对值为高，为底，即，
∴或，
∴点P的坐标为或．
8．如图，三角形ABC中任一点P（m，n）经平移后对应点为P1（m+4，n-3），将三角形ABC作同样的平移得到三角形A1B1C1．
(1)直接写出A1、C1的坐标分别为A1 ，C1 ；
(2)在图中画出△A1B1C1；
(3)求出△A1B1C1的面积；
(4)点M在y轴上，若三角形MOC1的面积的面积为6，直接写出点M的坐标 ．
【答案】(1)（5，1），（3，-4）
(2)见解析
(3)8
(4)（0，﹣4）或（0，4）
【分析】（1）由点P（m，n）经平移后对应点为P1（m+4，n-3）可知：△ABC向右平移4个单位，向下平移3个单位；
（2）根据平移的性质可得△A1B1C1；
（3）利用△A1B1C1所在的矩形面积减去周围三个直角三角形的面积，可得答案；
（4）根据三角形MOC1的面积的面积为6，得×OM×3=6，求出OM的长，可得答案．
【详解】（1）解：由点P（m，n）经平移后对应点为P1（m+4，n-3）可知：
△ABC向右平移4个单位，向下平移3个单位，
∴A1（5，1），C1（3，-4），
故答案为：（5，1），（3，-4）；
（2）解：如图所示，△A1B1C1即为所求；
；
（3）解：△A1B1C1的面积为=4×5-×2×3 ×2×4 ×2×5=8；
（4）解：∵三角形MOC1的面积的面积为6，
∴×OM×3=6，
∴OM=4，
∴M（0，4）或（0，-4），
故答案为：（0，4）或（0，-4）．
【点睛】本题主要考查了作图-平移变换，平移的性质，三角形的面积，坐标与图形的性质等知识，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
9．如图，在网格图中，平移使点A平移到点D．点C的坐标是．
(1)画出平移后的，并写出各点坐标；
(2)求的面积．
【答案】(1)作图见解析，，，
(2)7
【分析】本题考查了平移作图，写出点的坐标，坐标与图形，数形结合，掌握平移的性质是解题的关键．
（1）根据平移的性质，可得平移方式为向右平移6个单位，然后向下平移2个单位，找到的对应点，顺次连接，根据坐标系写出点的坐标，即可求解．
（2）根据正方形的面积减去三个三角形的面积即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
由图可知，，，；
（2）的面积为．
10．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点都在格点上，其中，点的坐标为，点的坐标为．
(1)填空：点的坐标是________，点的坐标是________．
(2)求四边形的面积．
【答案】(1)，；
(2)
【分析】本题主要考查了坐标与图形，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
（1）根据点在坐标系中的位置，写出对应点坐标即可；
（2）利用割补法求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，点的坐标是，点的坐标是；
（2）解：四边形的面积
方法指导：
将图形通过作坐标轴平行线或垂线割成若干规则图形，转化成规则图形的和
11．阅读与思考
利用面积法求直线上点的坐标
如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于，两点，点，在直线上，求点的坐标．
【问题探究】
（1）请阅读并填空：
第一步：过点作轴于点，由，两点的坐标，可直接得出三角形的面积为________；
第二步：过点作轴于点，三角形的面积，三角形的面积为________．
∵三角形的面积三角形的面积三角形的面积，
∴可得关于的一元一次方程为________．
解这个方程，可得点的坐标为________．
【问题迁移】
（2）连接，请仿照（1）中的方法，求点的坐标．
【问题拓展】
（3）若点在直线上，且在轴的左侧，三角形的面积为5，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）6；m；；；（2）；（3）
【分析】本题考查了坐标与图形，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键．
（1）用两种不同的方法求出的面积，构建方程求解即可；
（2）利用面积法，构建方程求解即可；
（3）首先判断出点在轴下方，过点作轴于点，则，然后根据构建方程求解．
【详解】解：（1）过点作轴于点，过点作轴于点，
，，点，
∴，，，，
，
∴，．
，
，
解得，，
点的坐标为；
故答案为：，，，；
（2）如图，连接，过点作于，于．
依题意，直线与坐标轴交于，两点，点，在直线上，
，
，
，
点的坐标为；
（3）∵点在直线上，且三角形的面积等于5，
∵，
∴点在轴下方，
如图所示，过点作轴于点，则
∴，
∴，
∴，
解得：，，
∴．
12．如图，已知．
(1)求四边形的面积；
(2)在y轴上存在一点P，使三角形的面积等于四边形面积的2倍，求点P 的坐标．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题主要考查了坐标与图形，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
（1）过点C和点D分别作x轴的垂线，垂足分别为点E，点F，根据结合各点的坐标求解即可；
（2）求出线段的长和的面积，再根据三角形面积计算公式求出的长即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示，过点C和点D分别作x轴的垂线，垂足分别为点E，点F，
∵，
∴，
∴，，
∴
；
（2）解：∵，
∴；
∵三角形的面积等于四边形面积的2倍，
∴，
∵点P在y轴上，
∴，
∴，
∴点P的坐标为或；
13．在如图所示的平面直角坐标系中，点，，，．
(1)求四边形的面积；
(2)在轴上找一点，使三角形的面积等于四边形面积的一半，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查了坐标与图形综合，采用数形结合的思想是解此题的关键．
（1）分别过，两点作轴的垂线，垂足分别为，，结合题意可得，，，，，再由计算即可得解；
（2）设，根据三角形的面积等于四边形面积的一半，，得出，求解即可．
【详解】（1）解：如图，分别过，两点作轴的垂线，垂足分别为，．
∵点，，，，
∴，，，，，
∴
．
（2）解：设，
∵三角形的面积等于四边形面积的一半，，
∴，
解得：或，
∴或．
14．如图，在平面直角坐标系中，已知，，b满足．
(1)求a，b的值；
(2)如果在第二象限内有一点，请用含m的式子表示四边形的面积；
(3)在（2）条件下，当时，在坐标轴的负半轴上是否存在点N，使得四边形的面积与的面积相等？若存在，求出点N的坐标，请说明理由．
【答案】(1)a的值是2，b的值是3
(2)
(3)或
【分析】考查了坐标与图形性质，非负数的性质，三角形的面积，关键是求得a，b的值，其中（3）中注意分类思想和数形结合思想的应用．
（1）根据非负数的性质得到，解方程即可得到a，b的值；
（2）过点M作轴于点D．根据四边形面积求解即可；
（3）当时，四边形的面积，可得，再分两种情况：①当N在x轴负半轴上时，②当N在y轴负半轴上时，进行讨论得到点N的坐标．
【详解】（1）解：∵a，b满足，
∴，
解得．
故a的值是2，b的值是3；
（2）解：过点M作轴于点D．
四边形面积
；
（3）解：当时，四边形的面积．
∴，
①当N在x轴的负半轴上时，
设，则，
∴，
解得，
∴点的坐标为；
②当N在y轴负半轴上时，
设，则，
∴，
解得．
∴点的坐标为．
综上，点的坐标为或．
15．如图，在直角坐标系中，已知三点，其中满足关系式，．
(1)求的值；
(2)如果在第二象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积；
(3)在（2）的条件下，是否存在点，使四边形的面积与三角形的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，；
(2)
(3)存在点
【分析】本题考查了坐标与图形性质，实数的非负性，熟练掌握实数的非负性，灵活运用分割法求面积是解题的关键．
（1）根据非负数的性质，即可解答；
（2）根据，即可解答；
（3）存在，根据面积相等求出m的值，即可解答．
【详解】（1）解：由，且，得
，，，
∴，，；
（2）解：∵，，
∴；
（3）解：∵，
又∵，
∴，
解得，
∴存在点，使．
方法指导：
已知坐标系中图形面积求点的坐标时，可将点的横（纵）坐标转化成到坐标轴的距离，利用面积公式解决线段数量关系，从而求出点的坐标
16．如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知点，且a，b满足，连接．
(1)请直接写出a，b的值；
(2)若点满足的面积等于12，求点P的坐标；
(3)如图2，动点C从点B出发，在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动，动点D从点O出发，在x轴上以每秒2个单位的速度向右运动，若点C，D同时出发，当的面积等于面积的2倍时，请直接写出点C的坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】（1）根据平方、算术平方根的非负性求解；
（2）根据坐标可得，，根据求解；
（3）设运动时间为t，则，，，当的面积等于面积的2倍时，，代入数值求出t的值，即可得出答案．
【详解】（1）解：，
，，
；
（2）解：由（1）得，
，
，，
，
，
解得或，
或；
（3）解：设运动时间为t，则，，
，
，
，
当的面积等于面积的2倍时，，
，
解得或，
时，点C的纵坐标为：；.
时，点C的纵坐标为：；
点C的坐标为或．
【点睛】本题考查平面直角坐标系，非负数的性质，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点，且，．
(1)点A的坐标为__________，点B的坐标为__________；
(2)将线段平移得到线段，点A的对应点是点C，求三角形的面积；
(3)在（2）的条件下，过点D作轴于点E，请问在射线上，是否存在点P，使得三角形的面积等于三角形面积的一半？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)，．
(2)12
(3)存在，点
【分析】本题考查绝对值和平方根的性质、图形的平移、坐标与图形等知识，熟练掌握相关知识的运用，分类讨论是解答的关键．
（1）利用绝对值和算术平方根的性质求得a、b值即可；
（2）先由点A和其对应点C的坐标得到平移方式，进而得到点B对应点D的坐标，过点D作轴于点F，然后根据面积公式即可求解；
（3）设，三角形的面积为，则，然后分当时，当时，当时，当时四种情况分析即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
∵A在x轴负半轴，
∴，
∴，，
故答案为：，．
（2）解：点的对应点是点，
将线段先向右平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度得到线段，
点对应点D坐标为．
如图-1，过点D作轴于点F，则，．
三角形的面积．
（3）解：存在，点．
设，三角形的面积为，三角形的面积为，则．
当时，如图-1，连接．
，，
．
不成立；
当时，，不成立；
当时，如图-2．
．
，．
．
，此时点P的坐标为．
当时，，不成立．
综上可知，点P的坐标为．
18．如图，在平面直角坐标系中，点，，，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．

(1)直接写出点D的坐标：______；
(2)求的面积；
(3)已知点，若的面积与的面积相等，求m的值．
【答案】(1)
(2)9
(3)
【分析】本题主要考查了坐标与图形，平移的性质等知识．
（1）根据平移的性质求解即可．
（2）过点D作轴与点F，根据计算即可．
（3）先求出，即可得出，解绝对值方程即可求解即可．
【详解】（1）解：∵将向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．
，，
∴，
故答案为：；
（2）解：过点D作轴与点F，如下图：
则，

∵，，，
∴，，，，
∴
=
；
（3）解：∵
又∵，
∴ ，
解得
19．在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，且轴．
(1)求a的值；
(2)求的面积；
(3)在y轴上是否存在一点P，使得的面积等于面积的一半？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或
【分析】本题考查的是坐标与图形的综合应用；
（1）由轴可得，再解方程即可；
（2）先求解，可得，再利用三角形的面积公式计算即可；
（3）设点P的坐标为，求解，可得，再解方程即可.
【详解】（1）解：∵轴，
∴，
解得：；
（2）解：∵，
∴，
∵点B的坐标为，
∴，
∴；
（3）解：设点P的坐标为，
∵，
∴，
∴，
解得：或，
∴点P的坐标为或．
20．如图，在平面直角坐标系中，，，且满足，将线段平移得线段，点对应点，点对应点，点的对应点在轴上，点的对应点在轴上．
(1)直接写出、、三点的坐标；
(2)如图，点是轴上的一个动点，当三角形面积是三角形的面积的一半时，求点的坐标；
(3)如图，若动点从点出发向左运动，同时动点从点出发向上运动，两个点的运动速度之比是：，运动过程中直线和交于点，若三角形的面积等于，求出点的坐标．
【答案】(1)，，
(2)或
(3)或
【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性求出，，根据到向下平移的距离，求出点坐标即可；
（2）设交轴于，作轴于，根据的面积等于和梯形的面积和，求出点坐标，根据割补法，用点坐标表示出和的面积，然后代入数量关系求解即可；
（3）连接，假设点坐标，根据点位置分类讨论，根据不同的割补方法列出关于点坐标的二元一次方程组，求解点坐标即可．
【详解】（1）解：，
，，
，，
，，
平移到向下平移了，
到向下平移了，
；
（2）解：，，，
，
设交轴于，作轴于，如图：
设，
，
，
解得：，
，
设，
，，
，
当或时，，
解得：，
当时，，
解得：，
或；
（3）解：，
不在内，
设，
，运动速度之比是，
，
设，，
当在轴上方时，如图：
，
，
，
又，
，
解得：，，
；
当在轴下方时，作轴于，轴于，如图：
，
，
，
，
，
解得：，，
，
综上所述，点坐标为或．
【点睛】本题考查的是坐标与图形，平移的性质，动点问题与面积，合理利用割补法求三角形面积是本题解题的关键．
二、平面直角坐标系中的点的坐标规律
方法指导：
循环规律：从特殊的点入手，依次求出点的坐标，直到发现循环规律为止，然后依据每一个循环周期中对应位置的点的坐标相同来确定任意点的坐标。
递进规律：从特殊的点（或起点）入手，依次求出几个点的坐标，找出递进的规律，然后根据递进的规律确定任意点的坐标。
1．如图，直角坐标系中长方形的四个顶点坐标分别为，，，，点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒个长度单位，同时点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒个长度单位，记，在长方形边上第次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，……，则点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点坐标的规律，根据点坐标可得长方形的周长，设点与点每次相遇所需时间为秒，由行程问题的数量关系可得，由此可得每次相遇的时间，从而找出规律计算即可求解．
【详解】解：如图可知，
∴长方形的周长为，
∴每一次相遇后，出发到再相遇，点和点所运动的路程和均为，
设点与点每次相遇所需时间为秒，则，解得，
即每秒相遇一次，则根据运动方式可求出，可以发现相遇点的坐标每次完成一循环，
又∵，
∴点的坐标与点的坐标相同，即点的坐标为．
2．法国数学家笛卡尔创立了平面直角坐标系，被誉为“解析几何之父”．在平面直角坐标系中，我们定义点的“笛卡尔变换”为：．已知点的坐标为，则经过次笛卡尔变换后得到的点的坐标为( ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查点的坐标规律探索，关键是通过计算前几次变换的坐标，找到变换的周期，再利用周期确定第次变换后的坐标．
【详解】解：已知点的坐标为，根据“笛卡尔变换”规则，依次计算前几次变换后的坐标：
，
，
，
，
……
可见每次变换后回到初始坐标．
∵，
∴第次变换后的坐标与第次变换后的坐标相同．
故选：A．
3．如图，在单位为1的方格纸上，，是斜边在轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，则依图中所示规律，的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题是对点的坐标变化规律的考查，根据2025是奇数，求出点的下标是奇数时的变化规律进行求解．
【详解】解：观察点的坐标变化发现：在轴正半轴上的点横坐标每次增加2，在轴负半轴上的点横坐标每次减少2，
根据点旋转的度数，可看作循环，循环周期为4，
∵，由图可知，为循环周期，
∴的坐标为，即为．
4．如图，一个粒子在第一象限和x轴，y轴的正半轴上运动，在第1秒内，它从原点运动到，接着它按图所示在x轴，y轴的平行方向来回运动，即…，且每秒运动一个单位长度，那么2024秒时，这个粒子所处位置为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了点坐标规律探索，坐标系中的动点问题（不含函数），写出直角坐标系中点的坐标等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解．
先求出这个粒子运动到，，，，所用时间，则归纳类推出这个粒子运动到所用时间，再观察运动规律可得在点中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动，然后根据，，可得第1980秒时，这个粒子所处位置为，再向左运动44秒即为第2024秒，由此即可得．
【详解】解：由题意得：这个粒子运动到所用时间为秒，
这个粒子运动到所用时间为秒，
这个粒子运动到所用时间为秒，
这个粒子运动到所用时间为秒，
这个粒子运动到所用时间为秒，
归纳类推得：这个粒子运动到所用时间为秒（其中为正整数），
观察运动规律可知，在点中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动，
∵，，，且44为偶数，
∴第1980秒时，这个粒子所处位置为，再向左运动44秒即为第2024秒，此时这个粒子所处位置为，即，
故选：A．
5．在平面直角坐标系中，对于点，我们把点称为点P的伴随点．已知点的伴随点为点，点的伴随点为点，点的伴随点为点，……，这样依次得到点，，，，…，（n为正整数）．若点的坐标为，则点的坐标为______．
【答案】
【分析】根据新定义，求出前几个点的坐标，进而找到坐标规律，进行判断即可．
【详解】解：根据题意可知：
，即：，
，即：，
，即：，
，即：，
，即，
，
即：的坐标按照：，，，，每四次一个循环，
∵，
∴点的坐标为．
6．在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“可余点”．将某“可余点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．
例：“可余点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下．
若“可余点”按上述规则连续平移20次后，到达点，则点的坐标为________．
【答案】或
【分析】本题考查了点的坐标规律探索，先分别计算余0，1，2的点的平移规律，然后分两种情况进行反方向平移求解即可．
【详解】解：根据已知：点横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又向上平移1个单位……，因此发现规律为：
①若“可余点”横、纵坐标之和除以所得的余数为时，先向右平移个单位，再按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移；
②若“可余点”横、纵坐标之和除以所得的余数为时，则按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移；
③若“可余点”横、纵坐标之和除以所得的余数为时，则按照向左、向上，向左、向上不断重复的规律平移；
若“可余点”按上述规则连续平移20次后，到达点，则按照“可余点”反向运动次即可，可以分为两种情况：
若按照②或③方式：则向右平移次，向下平移次即为“可余点”，则，即；
若按照①方式：则需要向下平移10次，向右平移9次，再向左平移1次，则，即，
综上：点的坐标为或
故答案为：或．
7．如图，在平面直角坐标系中，动点从点出发，按照箭头所示顺序运动，依次经过点和，则动点P第2026次运动到达的点的坐标为________．
【答案】
【分析】本题为平面直角坐标系下的规律探究题，解题的关键是注意探究动点的运动规律，又要注意动点的坐标的所在象限及符号．观察图形可知，点的横坐标运动规律是每运动四次向右平移4个单位，纵坐标是按照0，1，0，四个为一个循环的．，用2026除以4，然后根据商的情况确定运动后点的坐标即可．
【详解】解：∵第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到．
∴点的横坐标运动规律是每运动四次向右平移4个单位，纵坐标是按照0，1，0，四个为一个循环的．
，
∴动点第2026次运动时向右个单位，纵坐标为第二次移动后的点为0，
∵第一次是从开始运动，
，
∴点此时坐标为，
故答案为：．
8．如图，在平面直角坐标系中，一个动点从原点出发，沿着箭头所示方向，每次移动一个单位，依次得到点；；；；；……，则点的坐标是______．
【答案】
【分析】本题是平面直角坐标系中点的规律问题，观察数据，找到横纵坐标的规律是解题的关键．
根据，，，…，得出当时，，即可得出的横坐标为675，根据，，，，，，…，可得到纵坐标的规律，据此即可得到答案．
【详解】解：∵，，，…，
∴，
∴当时，，
∴的横坐标为675，
∵，，，，，，…，
∴由题图可知动点的纵坐标为1，1，0，，，0，每6个一循环，
∵，
∴点与点的纵坐标相同，
即点的纵坐标为，
∴的坐标为．
故答案为：．
9．在直角坐标系中，点从原点出发，沿如图所示的方向运动，到达位置的坐标依次为：，，，，，，，则的坐标为_______．
【答案】
【分析】本题考查了点坐标的位置及坐标变化规律的知识点，善于观察并寻找题目中蕴含的规律是解题的关键．
根据题意可得在第二象限内，然后根据第二象限内点，，的坐标特点求解即可．
【详解】解：根据题意得：从点开始点所到达的位置按第一、二、三、四象限的顺序，4个一循环，
∵，
∴在第二象限内，
根据题意得：在第二象限的点为，，，……，
∴的横坐标为，纵坐标为，
∴的坐标为．
故答案为：．
10．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次平移，每次移动一个单位长度，得到点那么点的坐标为___________．
【答案】
【分析】本题考查了坐标与图形点的坐标规律变化，根据点，，，，，，，，，得点的纵坐标个点一循环，从而求出点为．
【详解】解：∵点，，，，，，，，，
∴点的纵坐标个点一循环，
∵余2，
∴在，，的位置上，纵坐标为，横坐标为序号的一半，即，
∴点为，
故答案为：．
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