2026年中考数学第一轮复习分层练专题二 矩形（含解析）
文档属性
| 名称 | 2026年中考数学第一轮复习分层练专题二 矩形（含解析） |
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| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 20.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-26 00:00:00 | ||
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文档简介
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2026年中考数学第一轮复习分层练（山西卷）
第五章 四边形
专题二 矩形
命题点1 矩形的判定
1．（2025·山西吕梁·三模）如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和底边垂直，只需要用绳子比较书架的两条对角线的长就可以判断，其中证明“四边形是矩形”的依据是：_________________．
2．（2025·山西长治·模拟预测）综合与实践
问题情境
如图1，在中，，，，是斜边的中线．
初步探究
（1）如图2，将沿方向平移，当点C落在点D的位置时，点D，B的对应点分别是点，，连接，．试判断四边形的形状，并说明理由．
深入思考
将绕点D顺时针旋转得到，，的对应点分别是N，M．
（2）如图3，当时，垂足为Q，与交于点P，与交于点E，求线段的长．
（3）在旋转的过程中，线段与交于点E，当点B在线段上时，直接写出线段的长．
3．（2025·山西长治·二模）如图，在平行四边形中，相交于点，且，分别是的中点，连接，求证：四边形为矩形．
4．（2025·山西·模拟预测）问题提出：如图，已知四边形是平行四边形，，请在中画出一个矩形并加以验证．
操作探究：
方法一：如图①，过顶点A、C分别作于点E，于点F，则四边形是矩形；
理由如下：∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴（依据1），
∴，
∴，
∴四边形是矩形（依据2）；
方法二：如图②，连接对角线，取的中点，以点为圆心，的长为半径画弧交于，连接并延长交于点，连接，则四边形是矩形．
问题解决：
(1)方法一中的依据1是指_______；依据2是指________；
(2)请你依据方法二的操作方法完成相应的证明过程；
(3)如图③，若点是上一点，连接，以为边长作正方形经过点，已知，请直接写出的长．
5．（2025·山西吕梁·二模）如图，四边形是菱形，对角线相交于点．
(1)尺规作图：以为边，作矩形（不要求写作法，但保留作图痕迹）；
(2)若在菱形中，，求所作矩形的面积．
6．（2025·山西太原·一模）如图，已知在中，，点分别是的中点，连接．
(1)实践与操作：利用尺规在外部作，射线交的延长线于点（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法）；
(2)猜想与证明：猜想（1）中的四边形的形状，并加以证明．
7．（2025·山西临汾·一模）综合与实践
问题情境：
如图1，在Rt中，是斜边上的中线．
初步探究：
（1）如图2，将沿方向平移，当点落在点的位置时，D，B的对应点分别是、，连接、．“笃学”小组发现四边形的形状是矩形，请你证明这一结论．
深入思考：
（2）“勤思”小组将绕点顺时针旋转得到，、的对应点分别是N，M，如图3，当时，与交于点E，与，分别交于点P，Q，请判断与的关系，并说明理由．
拓展延伸：
（3）若，请直接写出四边形的面积．
8．（2024·山西大同·模拟预测）如图，在中，于点E，于点F，延长至点G，使，连接．求证：四边形是矩形．
命题点2 矩形的性质
1．（2025·山西吕梁·三模）如图，在矩形中，下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山西·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AC是对角线．
(1)实践与操作：利用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足为点O，交边AD于点E，交边BC于点F（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母），
(2)猜想与证明：试猜想线段AE与CF的数量关系，并加以证明．
3．（2025·山西·中考真题）阅读与思考
下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．
双关联线段【概念理解】如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段．例如，下列各图中的线段与所在直线形成的夹角中有一个角是，若，则下列各图中的线段都是相应线段的双关联线段． 【问题解决】问题1：如图，在矩形中，，若对角线与互为双关联线段，则________． 问题2：如图，在等边中，点D，E分别在边的延长线上，且，连接． 求证：线段是线段的双关联线段．证明：延长交于点F．是等边三角形，．，（依据）．，，；…
任务：
(1)问题1中的________，问题2中的依据是________________；
(2)补全问题2的证明过程；
(3)如图，点C在线段上，请在图3中作线段的双关联线段．
（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可）．
4．（2025·山西临汾·二模）如图，四边形是矩形，是延长线上的一点，连接，，且．求证：四边形是正方形．
5．（2024·山西·模拟预测）如图，已知矩形．
(1)实践与操作：利用尺规在边上取一点，使，连接，过点作于点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)猜想与证明：试猜想线段与之间的数量关系，并说明理由．
6．（2025·山西朔州·模拟预测）综合与探究
问题情境：
如图，在矩形中，，，是边上的一个动点（不与点，重合），把沿着折叠后，点落在点处．
操作发现：
（1）如图，当时，试判断的形状，并说明理由；
（2）如图，当时，求BP的长；
深入探究：
（3）如图，过点作直线，垂足为，连接，在点运动的过程中，若，请探究，并直接写出所有符合题意的的长度．
7．（2025·山西临汾·三模）综合与实践
【问题情境】
数学活动小组在进行矩形纸片折纸活动．
如图1，在矩形纸片中，E是边上的动点，G是边上的动点，将沿折叠，点D恰好落到边上的点F处，展平，连接，再将沿折叠，使点B与点E重合，展平，连接．
【猜想证明】
（1）直接判断四边形的形状．
（2）求证：．
【深入探究】
（3）如图2，M，N分别是边，上的点，若将矩形纸片沿第三次折叠，使得点C与点G重合，然后展平，连接，．
①判断与的位置关系，并证明；
②直接写出的值．
8．（2025·山西·三模）综合与探究
问题情境：数学活动课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形绕点A逆时针旋转得到矩形，当点E落在线段上时，连接交于点H，连接，，．
特例探究：（1）试判断和的数量关系，并说明理由．
探索发现：（2）如图2，当点E落在对角线上时，连接交于点P，“奋进”小组发现垂直平分，请你证明这个结论．
拓展延伸：（3）在矩形旋转的过程中，当E，D，F三点在同一条直线上时，连接．若，，请直接写出此时的长．
1．如图，在矩形中，，，点是边的中点，点在线段上，且，则线段的长度为__________．
2．在矩形中，，，对角线，交于点，过点作，垂足为，为中点，连接交于点，则的长为________．
3．如图，在矩形中，是对角线，．
(1)实践与操作：利用尺规作的平分线交于点E，过点E作的垂线，垂足为点O，交于点F，连接（要求：尺规作图，不写作法、不写结论，但要保留作图痕迹，标明字母）；
(2)猜想与证明：试猜想四边形的形状，并证明你的结论．
4．【动手实践】阅读与思考
下面是小刚同学的数学笔记，请仔细阅读并完成相应的任务．
确定过道可通过的物体的最大长度我家过道宽度都为．一个长方体盒子（高度低于楼高）的宽为，则这个盒子的长最长为多少时，能顺利通过过道？建立模型：如图1为过道示意图，为直角顶点，经测量过道宽度都是．矩形是某物品经过该过道时的俯视图，宽为．操作步骤：1．靠边：将图1中矩形的一边靠在上；2．推移：矩形沿方向推移一定距离，使点在边上；3．旋转：如图2，将矩形绕点旋转；4．推移：将矩形沿方向继续推移．尝试思考：如图2，已知，当时，我求得，则该物体能顺利通过直角过道．……
任务：
(1)在“尝试思考”环节，你赞同小刚得出的结论吗？请通过计算说明理由．
(2)请你帮小刚算出该过道可以通过的长方形盒子的最大长度，即求的最大值．（精确到）
5．如图1，是一张矩形纸片，沿过点A的直线折叠该纸片，使点B的对应点落在边上的点F处，展开后折痕交边于点E，连接．
(1)判断四边形的形状，并证明你的结论；
(2)在图1中，作的平分线交于点G，得到图2．若，则线段的长为_____．
6．如图，在中，，是的外角的平分线．
(1)在上求作一点，在上求作一点，使四边形是矩形；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)求证：四边形是矩形．
7．如图，在平行四边形中，、是对角线，点、、、在同一条直线上，且，延长线交延长线于．
(1)求证：；
(2)条件：①；②．请从①和②中任选其一作为条件，判断并证明四边形的形状
8．如图，点，，，在同一条直线上，，，连接，，．
(1)求证：；
(2)当时，求证四边形是矩形．
9．综合与实践
在数学活动课上，老师带领同学们以“构造特殊四边形”为主题展开探究活动．
动手操作：
如图1是老师给大家提供的参考图，已知矩形，将矩形 沿某一条直线分割成两部分，重新再拼成一个新的特殊四边形，小明同学按照以下操作得到了新四边形：
①在 上取一点 E，连接，使得；
②沿直线把矩形分割成两部分，将沿平移得到；
连接后，小明发现．
解决问题：
(1)请根据上述操作中得到的条件，帮助小明证明这个结论；
(2)如图2，已知平行四边形，将沿某一条直线分割成两部分，重新再拼成一个新的特殊四边形，还能拼成什么特殊四边形？请画出其中一种裁法并证明．
10．如图，四边形中，与互相垂直平分，于点E，延长到点F，使，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若，，求的长．
1．综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“平行四边形的折叠”为主题开展数学活动．
问题情境：
已知中∠A为锐角，，点E、F分别是、边的中点，点G、H分别是、边上的点．分别沿和折叠，点A、C的对应点分别为点、．
(1)操作判断：如图（1），折叠后点与点B重合，点与点D重合．
①四边形________平行四边形（填“是”或“不是”）．
②当满足某个条件时，四边形能成为矩形．这个条件可以是________．
(2)迁移探究：如图（2），若点，落在内部（含边界），连接，，若，则四边形是平行四边形吗？若是，请就图（2）进行证明；若不是，请说明理由．
(3)拓展应用：在（2）的条件下，若，，且，则此时四边形的面积为________．
2．综合与实践：数学活动课上，某数学兴趣小组对图形的翻折进行了如下探究．
问题背景：已知等腰直角三角形，．
（1）如图1，若直线l经过的中点O，将边关于直线l翻折，点，分别为A，B的对应点．连接，判断四边形的形状，并说明理由；
问题迁移：
（2）如图2，，直线l与交于点H，点A关于直线l的对称点恰好落在上，若恰好平分，求的长；
问题拓展：
（3）如图3，，且，若直线l经过点C，将边关于直线l翻折，当A，B的对应点，与点D在同一条直线上时，求的度数．
3．综合与实践
《数学》八年级上册的数学活动中，让用全等三角形研究“筝形”
定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”（如图1）
(1)［性质探究］根据“筝形”的定义，学生们通过探究，得出下列命题：
①“筝形”有一组对角相等
②“筝形”的对角线互相垂直平分
③“筝形”的每一条对角线平分每一组对角
④“筝形”的面积等于两条对角线长的乘积的一半
其中，____________是真命题（填序号）；
(2)［综合应用］如图1，筝形中，，，若，求筝形的面积的最大值；
(3)［拓展实践］如图2是一块矩形铁片，其中厘米，厘米，张华想从这块铁片中裁出一个筝形，要求点是边的中点，点分别在上（含端点），是否存在一种裁剪方案，使得筝形的面积最大？若存在，求出筝形的面积最大值，若不存在，请说明理由．
4．综合与实践：
在综合与实践课上，刘老师引导学生探究矩形的折叠．
矩形纸片中，点为射线上一点，小明沿折叠得到，点的对应点为，分别延长，交直线于点，N．
【问题提出】
（1）如图1，若点与点重合，请判断与的数量关系为______；
【再次探究】
（2）如图2，当点与点不重合时，（）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
【拓展延伸】
（3）若，，当时，直接写出的长．
1．如图，点，在矩形内，．若，，，则的长为 ．
2．如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C均在格点上．
（1）只用无刻度的直尺在上找一点D，使得最短（保留作图痕迹） ．
（2）在（1）的基础上，在边上找一点M，使得最小，最小值为 ．
3．已知矩形，，，是边的中点，是边上的动点，线段分别与，相交于点，．若，则的长为 ．
4．在四边形中，对角线、相交于点O，，．
(1)若是等腰三角形，则_______；
(2)已知，．
①若，判断四边形是怎样的特殊四边形，并说明理由；
②如图，在中，，求的长．
5．如图，在中，点O，D分别是边，的中点，过点A作交的延长线于点E，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，试判断四边形的形状，并证明．
6．某数学兴趣小组活动，准备将一张三角形纸片（如图）进行如下操作，并进行猜想和证明．
(1)用三角板分别取的中点，连接，画于点；
(2)用（1）中所画的三块图形经过旋转或平移拼出一个四边形（无缝隙无重叠），并用三角板画出示意图；
(3)请判断（2）中所拼的四边形的形状，并说明理由．
7．如图,在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EFBC分别交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E，F．
(1)若CE=8，CF=6，求OC的长．
(2)连接AE，AF．问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
2026年中考数学第一轮复习分层练（山西卷）
第五章 四边形
专题二 矩形（解析版）
命题点1 矩形的判定
1．（2025·山西吕梁·三模）如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和底边垂直，只需要用绳子比较书架的两条对角线的长就可以判断，其中证明“四边形是矩形”的依据是：_________________．
【答案】对角线相等的平行四边形是矩形
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）
故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形．
2．（2025·山西长治·模拟预测）综合与实践
问题情境
如图1，在中，，，，是斜边的中线．
初步探究
（1）如图2，将沿方向平移，当点C落在点D的位置时，点D，B的对应点分别是点，，连接，．试判断四边形的形状，并说明理由．
深入思考
将绕点D顺时针旋转得到，，的对应点分别是N，M．
（2）如图3，当时，垂足为Q，与交于点P，与交于点E，求线段的长．
（3）在旋转的过程中，线段与交于点E，当点B在线段上时，直接写出线段的长．
【答案】（1）四边形是矩形，见解析；（2）；（3）或
【分析】（1）由直角三角形斜边中线得，由平移可知，那么，故四边形是平行四边形，而，则四边形是矩形；
（2）由勾股定理得，则，那么，可求，由题意得，，则，在中，解直角三角形得，则，在中，解直角三角形得；
（3）当点与点重合时，过点作于点，可得，则，即可求解；当点不与点重合时，如图：过点作于点，可证明，由，再由线段和差求解即可．
【详解】（1）解：四边形是矩形，理由如下：
在中，是斜边的中线，
∴，
由平移可知，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵，，，
∴，
∵是斜边的中线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由题意得，，
∴，
∴，即，
∴，即旋转角为，
∴，
由平移可得：，
∴，
∴在中，，
∴，
∴在中，；
（3）当点B与点N重合时，如图：过点作于点，
由旋转和平移得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：；
当点B不与点N重合时，如图：过点作于点，
∵由旋转，平移得到，，
∴，
∴，
∴，
由旋转，平移得到，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上：的长为或．
【点睛】本题考查了旋转，平移的性质，解直角三角形，矩形的判定，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，综合性强，难度大，熟练掌握知识点并灵活运用，是解题的关键．
3．（2025·山西长治·二模）如图，在平行四边形中，相交于点，且，分别是的中点，连接，求证：四边形为矩形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合平行四边形的性质得，，因为分别为的中点，故，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，得四边形为平行四边形．结合，，则，运用对角线相等的平行四边形是矩形，即可证明四边形为矩形．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
，，
分别为的中点，
，，
四边形为平行四边形．
，，
，
，
，
四边形为矩形．
4．（2025·山西·模拟预测）问题提出：如图，已知四边形是平行四边形，，请在中画出一个矩形并加以验证．
操作探究：
方法一：如图①，过顶点A、C分别作于点E，于点F，则四边形是矩形；
理由如下：∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴（依据1），
∴，
∴，
∴四边形是矩形（依据2）；
方法二：如图②，连接对角线，取的中点，以点为圆心，的长为半径画弧交于，连接并延长交于点，连接，则四边形是矩形．
问题解决：
(1)方法一中的依据1是指_______；依据2是指________；
(2)请你依据方法二的操作方法完成相应的证明过程；
(3)如图③，若点是上一点，连接，以为边长作正方形经过点，已知，请直接写出的长．
【答案】(1)两直线平行，同旁内角互补；有三个角是直角的四边形是矩形
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据“两直线平行，同旁内角互补”和“有三个角是直角的四边形是矩形”即可解答；
（2）证明，得到，进而证明四边形是平行四边形，再证明，从而可得证；
（3）过点作于点，延长和交于点，过点作于点．证明，得到边长关系，再证明，根据边长关系，求出，从而可求．
本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，三角形相似，三角形全等，作出适当的辅助线是解题关键．
【详解】（1）解：∵，
∴（依据1），
则依据1为：两直线平行，同旁内角互补；
∵，
∴四边形是矩形（依据2）
则依据2为：有三个角是直角的四边形是矩形；
故答案为：两直线平行，同旁内角互补；有三个角是直角的四边形是矩形；
（2）证明：四边形是平行四边形，
，
．
为的中点，
．
在和中，，
，
．
，
四边形是平行四边形．
，
，
四边形是矩形；
（3）解：如图：
过点作于点，延长和交于点，过点作于点，
四边形是平行四边形，
．
∵，
∴，即，
∴，
∵四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
在中，，
∴，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
5．（2025·山西吕梁·二模）如图，四边形是菱形，对角线相交于点．
(1)尺规作图：以为边，作矩形（不要求写作法，但保留作图痕迹）；
(2)若在菱形中，，求所作矩形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】本题考查了尺规作图，菱形的性质，矩形的判定与性质等知识，解题的关键是：
（1）以点为圆心，为半径作弧，以点为圆心，为半径作弧，两弧交于点，可得，那么四边形为平行四边形，而菱形得到，即可得到矩形；
（2）根据菱形得到菱形对角线相等，互相平分且垂直，则，由勾股定理得，即可求出，，即可求解矩形面积．
【详解】（1）解：如图：
四边形即为所要作的矩形；
（2）解：四边形是菱形，
．
．
又，
．
在中，．
又，
，
（舍负），
，
矩形的面积为．
6．（2025·山西太原·一模）如图，已知在中，，点分别是的中点，连接．
(1)实践与操作：利用尺规在外部作，射线交的延长线于点（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法）；
(2)猜想与证明：猜想（1）中的四边形的形状，并加以证明．
【答案】(1)见解析
(2)矩形，见解析
【分析】本题考查了尺规作图----作一个角等于已知角，矩形的判定，三角形的中位线定理，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
（1）由作一个角等于已知角步骤即可作图；
（2）先根据得到，可得是的中位线，那么，继而可得四边形是平行四边形，再根据即可求证．
【详解】（1）解：如图，、射线、点即为所求.
（2）解：四边形是矩形.
证明：，
，
分别是的中点，
是的中位线，
∴，
，
四边形是平行四边形，
，
是矩形．
7．（2025·山西临汾·一模）综合与实践
问题情境：
如图1，在Rt中，是斜边上的中线．
初步探究：
（1）如图2，将沿方向平移，当点落在点的位置时，D，B的对应点分别是、，连接、．“笃学”小组发现四边形的形状是矩形，请你证明这一结论．
深入思考：
（2）“勤思”小组将绕点顺时针旋转得到，、的对应点分别是N，M，如图3，当时，与交于点E，与，分别交于点P，Q，请判断与的关系，并说明理由．
拓展延伸：
（3）若，请直接写出四边形的面积．
【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）四边形的面积为
【分析】（1）由直角三角形斜边中线得，由平移可知，那么，故四边形是平行四边形，而，则四边形是矩形；
（2）由平移性质和旋转性质得，，利用直角三角形的两个锐角互余可推导出，进而可得；
（3）连接，先根据直角三角形的性质得到，，利用锐角三角形函数定义得到，，进而解直角三角形分别求得，，，，然后由求解四边形的面积即可．
【详解】（1）证明：在中，是斜边的中线，
∴，
由平移可知，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形；
（2）解：．理由如下：
由平移性质得，，
由旋转性质得，，
∵，
∴，
∴，
∴，则；
（3）解：连接，
∵，，，
∴，
∴，，
∵是斜边上的中线，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴四边形的面积为
．
【点睛】本题考查了旋转，平移的性质，直角三角形的性质，矩形的判定，勾股定理，解直角三角形等知识点，综合性强，难度大，熟练掌握知识点并灵活运用，是解题的关键．
8．（2024·山西大同·模拟预测）如图，在中，于点E，于点F，延长至点G，使，连接．求证：四边形是矩形．
【答案】详见解析
【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．先证明，推出，得到，证明四边形是平行四边形，据此即可证明结论成立．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∴．
∵于点E，于点F，
∴，．
在和中，
，
∴．
∴．
∵，
∴．
又，
∴．
∴四边形是平行四边形．
又∵，
∴四边形是矩形．
命题点2 矩形的性质
1．（2025·山西吕梁·三模）如图，在矩形中，下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】题目主要考查矩形的性质，根据矩形的性质依次判断即可，熟练掌握其性质是解题关键．
【详解】解：∵矩形，
∴，，，
∵O为中点，
∴，故选项A、B、C正确，不符合题意；
无法得出，故选项D错误，符合题意；
故选：D．
2．（2024·山西·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AC是对角线．
(1)实践与操作：利用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足为点O，交边AD于点E，交边BC于点F（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母），
(2)猜想与证明：试猜想线段AE与CF的数量关系，并加以证明．
【答案】(1)作图见解析
(2)，证明见解析
【分析】（1）根据垂直平分线的尺规作图的画法，分别以A、C为圆心，以大于AC的长为半径画弧，交于两点，过两点作直线即可得到线段AC的垂直平分线．
（2）利用矩形及垂直平分线的性质，可以证得，根据全等三角形的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：如图，
（2）解：．证明如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴．
∴．
∵EF为AC的垂直平分线，
∴．
∴．
∴．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的尺规作图的画法、矩形的性质、全等三角形的判定和性质．
3．（2025·山西·中考真题）阅读与思考
下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．
双关联线段【概念理解】如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段．例如，下列各图中的线段与所在直线形成的夹角中有一个角是，若，则下列各图中的线段都是相应线段的双关联线段． 【问题解决】问题1：如图，在矩形中，，若对角线与互为双关联线段，则________． 问题2：如图，在等边中，点D，E分别在边的延长线上，且，连接． 求证：线段是线段的双关联线段．证明：延长交于点F．是等边三角形，．，（依据）．，，；…
任务：
(1)问题1中的________，问题2中的依据是________________；
(2)补全问题2的证明过程；
(3)如图，点C在线段上，请在图3中作线段的双关联线段．
（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可）．
【答案】(1)，等角的补角相等；
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）设的交点为O，利用矩形的性质及已知可证明是等边三角形，由等边三角形的性质及矩形性质即可求解．利用等角的补角相等即可完成问题2的依据．
（2）利用三角形外角的性质及等边三角形的性质即可，从而问题完成；
（3）作一个等边三角形即可完成．
【详解】（1）解：设的交点为O，如图；
∵四边形是矩形，
∴；
∵对角线与互为双关联线段，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
故答案为：；
问题2中的依据是：等角的补角相等；
故答案为：等角的补角相等；
（2）解：是的外角，
．
是的外角，
．
，
．
即线段与线段所在直线形成的夹角中有一个角是．
，
线段与线段是双关联线段．
（3）解：答案不唯一，例如：
作法一： 作法二：
如图，线段即为所求．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，尺规作图等知识，掌握这些知识是解题的关键．
4．（2025·山西临汾·二模）如图，四边形是矩形，是延长线上的一点，连接，，且．求证：四边形是正方形．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了矩形和正方形，熟练掌握矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，正方形的判定是解题的关键，
连接交于点，由矩形对角线性质和等腰三角形性质得，得， 即得矩形是正方形．
【详解】证明：如图，连接交于点．
四边形是矩形，
．
，
．
．
四边形是正方形．
5．（2024·山西·模拟预测）如图，已知矩形．
(1)实践与操作：利用尺规在边上取一点，使，连接，过点作于点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)猜想与证明：试猜想线段与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题考查了基本作图，作线段、作垂线，矩形的性质，全等三角形的性质与判定；
（1）根据题意画出图形，即可求解；
（2）证明，即可得出结论．
【详解】（1）解：如图所示，
（2），理由如下：
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
6．（2025·山西朔州·模拟预测）综合与探究
问题情境：
如图，在矩形中，，，是边上的一个动点（不与点，重合），把沿着折叠后，点落在点处．
操作发现：
（1）如图，当时，试判断的形状，并说明理由；
（2）如图，当时，求BP的长；
深入探究：
（3）如图，过点作直线，垂足为，连接，在点运动的过程中，若，请探究，并直接写出所有符合题意的的长度．
【答案】
（1）当时，是等腰直角三角形，见解析；
（2）的长为；
（3）的长度为或4cm．
【分析】（1）由折叠的性质，可得，，可得，，即可得的形状；
（2）证明，由相似三角形的性质，可得的长；
（3）分两种情况讨论，先证由点，点，点，点所构成的四边形是平行四边形，由勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：当时，是等腰直角三角形．
理由如下：
∵，，
∴．
∵四边形是矩形，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵沿着折叠，
∴，
∴，
∴，，
∴．
∴是等腰直角三角形．
（2）解：由折叠可得，
∵，
∴．
∴，，三点在同一条直线上，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
解得，．
∴的长为．
（3）解：∵沿着折叠，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴四边形是平行四边形，
分两种情况：
情况，如图，当点在的延长线上时，连接交的延长线于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴
在中，，
∴，
∴，
情况，如图，当点在上时，连接交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，，
∴
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，即点与点重合（如图），
答：的长度为或4cm．
【点睛】本题考查折叠的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用分类讨论思想解决问题．
7．（2025·山西临汾·三模）综合与实践
【问题情境】
数学活动小组在进行矩形纸片折纸活动．
如图1，在矩形纸片中，E是边上的动点，G是边上的动点，将沿折叠，点D恰好落到边上的点F处，展平，连接，再将沿折叠，使点B与点E重合，展平，连接．
【猜想证明】
（1）直接判断四边形的形状．
（2）求证：．
【深入探究】
（3）如图2，M，N分别是边，上的点，若将矩形纸片沿第三次折叠，使得点C与点G重合，然后展平，连接，．
①判断与的位置关系，并证明；
②直接写出的值．
【答案】（1）四边形是正方形；（2）见解析；（3）①．见解析；②．
【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质，勾股定理、正方形的性质及判定以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握折叠的性质，利用矩形和折叠的性质进行推理和证明。
（1）由折叠可知，，可知是等腰直角三角形，得到，故四条边相等，即四边形是菱形，再由可得四边形是正方形；
（2）由折叠可得，由四边形是正方形可得，由平角定义可知，由已知可知，所以是等腰直角三角形，从而得到；
（3）①设，根据折叠可得，分别求与的关系，再根据勾股定理分别求，而，代入可知，即，再根据证明，得到，根据可得，从而得证；
（2）设，用的式子表示，连接，设，在中根据勾股定理得到方程解（含的代数式），在计算即可．
【详解】（1）∵四边形是矩形，
，
由折叠可知，，
∴是等腰直角三角形，
，
，
∴四边形是菱形，
又
∴四边形是正方形；
（2）由（1）可知四边形是正方形，
，
由折叠可知，，
，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
；
（3）①设，
∵四边形是正方形，
∴是等腰直角三角形，，
，
由折叠可知，
，
，
，
，
在中，，
在中，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
∴；
②设，
由①可知，
∵四边形是正方形，
∴是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
连接，设，则，
由折叠可知，
，
，
在中，，
，
，
．
8．（2025·山西·三模）综合与探究
问题情境：数学活动课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形绕点A逆时针旋转得到矩形，当点E落在线段上时，连接交于点H，连接，，．
特例探究：（1）试判断和的数量关系，并说明理由．
探索发现：（2）如图2，当点E落在对角线上时，连接交于点P，“奋进”小组发现垂直平分，请你证明这个结论．
拓展延伸：（3）在矩形旋转的过程中，当E，D，F三点在同一条直线上时，连接．若，，请直接写出此时的长．
【答案】（1），见解析；（2）见解析；（3）的长为或
【分析】（1）过点作于，证明即可得出结论；
（2）设与相交于，得，从而可证得，得出，则，即，再利用等腰三角形“三线合一”的性质可得出结论．
（3）分两种情况：当三点在同一条直线上，点在下方时，当三点在同一条直线上，点在上方时，分别求解即可．
【详解】解：（1），
理由：如图 1，过点作于，
∵矩形，
，
∵矩形，
，
，
，
∴四边形为矩形，
，
由旋转可得：，
，
，
，
，
，即，
在与中，
，
，
，
（2）如图，设与相交于，
∵矩形，
，
，
由旋转可得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即垂直平分．
（3）当三点在同一条直线上，点在下方时，如图，
由旋转可得：，
∵矩形，
，
，
，
；
当三点在同一条直线上，点在上方时，如图，
由旋转可得：，
∵矩形，
，
在中，由勾股定理，得，
，
在 中，由勾股定理，，
综上，当三点在同一条直线上时，的长为或．
【点睛】本题考查矩形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，本题属旋转综合题目，掌握相关性质与判定是解题的关键．
1．如图，在矩形中，，，点是边的中点，点在线段上，且，则线段的长度为__________．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的计算，掌握相似三角形的判定和性质，解直角三角形的计算是关键．
根据矩形，勾股定理得到，如图所示，过点作于点，根据解直角三角形的计算得到，设，则，再证明，得到，即，由此即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∵点是线段的中点，
∴，
∴，
如图所示，过点作于点，
∴，则，
∴，
∴，
∴，
∴设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
解得，，
故答案为：．
2．在矩形中，，，对角线，交于点，过点作，垂足为，为中点，连接交于点，则的长为________．
【答案】/
【分析】如图，延长交于点，先利用三角函数求得，得出为等边三角形，得出，再证出和，得出，进而即可得解．
【详解】如图，延长交于点，
在矩形中，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，，
，
，
，
在中，由勾股定理可得，
，
，
，
为中点，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握以上知识点并能正确添加辅助线是解决此题的关键．
3．如图，在矩形中，是对角线，．
(1)实践与操作：利用尺规作的平分线交于点E，过点E作的垂线，垂足为点O，交于点F，连接（要求：尺规作图，不写作法、不写结论，但要保留作图痕迹，标明字母）；
(2)猜想与证明：试猜想四边形的形状，并证明你的结论．
【答案】(1)见解析
(2)猜想：四边形是菱形，证明见解析
【分析】本题考查角平分线作法，垂线的作法，矩形的性质，菱形的判定，等边三角形的判定与性质，平行四边形判定及性质等．
（1）以点为圆心，任意长为半径画弧，交于两点，再分别以这两点为圆心，大于这两点间距离一半的长为半径画弧，两弧交于一点，连接点与这点，并延长交于点，即为的平分线，再以点为圆心，任意长为半径画弧，交于两点，再分别以这两点为圆心，任意长为半径画弧，两弧交于一点，连接点与这点，并延长分别交于点，点，连接即可；
（2）根据题意先证明四边形是平行四边形，后继而证明出四边形是菱形．
【详解】（1）解：如图所示为所求：
（2）解：猜想：四边形是菱形，证明如下：
∵矩形中，，，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
4．【动手实践】阅读与思考
下面是小刚同学的数学笔记，请仔细阅读并完成相应的任务．
确定过道可通过的物体的最大长度我家过道宽度都为．一个长方体盒子（高度低于楼高）的宽为，则这个盒子的长最长为多少时，能顺利通过过道？建立模型：如图1为过道示意图，为直角顶点，经测量过道宽度都是．矩形是某物品经过该过道时的俯视图，宽为．操作步骤：1．靠边：将图1中矩形的一边靠在上；2．推移：矩形沿方向推移一定距离，使点在边上；3．旋转：如图2，将矩形绕点旋转；4．推移：将矩形沿方向继续推移．尝试思考：如图2，已知，当时，我求得，则该物体能顺利通过直角过道．……
任务：
(1)在“尝试思考”环节，你赞同小刚得出的结论吗？请通过计算说明理由．
(2)请你帮小刚算出该过道可以通过的长方形盒子的最大长度，即求的最大值．（精确到）
【答案】(1)不赞同小刚的结论．理由见解析
(2)
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理的应用，无理数的估算，熟练掌握勾股定理是解题的关键；
（1）连接，勾股定理求得，即可求解；
（2）勾股定理求得，根据，即可求解．
【详解】（1）解：不赞同小刚的结论．
理由如下：如图，连接．
∵，小刚求得，
四边形是矩形，
，
，
，
，
过道宽度都是，
该物品不能顺利通过直角过道．
不赞同小刚的结论．
（2）若该过道可以通过的物品长度最大，则点为的中点，且．
∴的最大值为．
5．如图1，是一张矩形纸片，沿过点A的直线折叠该纸片，使点B的对应点落在边上的点F处，展开后折痕交边于点E，连接．
(1)判断四边形的形状，并证明你的结论；
(2)在图1中，作的平分线交于点G，得到图2．若，则线段的长为_____．
【答案】(1)四边形是正方形，证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，矩形与折叠问题，勾股定理，角平分线的定义，等角对等边，熟知正方形的性质与判定定理，矩形的性质与折叠的性质是解题的关键．
（1）由矩形的性质可得，由折叠的性质可得，据此可证明四边形是正方形；
（2）由正方形的性质和勾股定理可得，由矩形的性质得到，再由平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，则．
【详解】（1）解：四边形是正方形，证明如下：
∵四边形是矩形，
∴，
由折叠的性质可得，
∴四边形是矩形，
又∵，
∴四边形是正方形；
（2）解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
6．如图，在中，，是的外角的平分线．
(1)在上求作一点，在上求作一点，使四边形是矩形；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)求证：四边形是矩形．
【答案】(1)作图见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、角平分线的尺规作图与性质以及矩形的判定，同时考查了尺规作图的基本操作能力．关键是熟练运用等腰三角形的三线合一和等边对等角性质，结合三角形外角性质证得直线平行，通过平行四边形的判定完成矩形判定的过渡，尺规作图则需掌握角平分线的基本作法，将作图与几何性质结合起来．
（1）先利用尺规作角平分线的方法作出的平分线，再通过尺规截取等长线段的方法在相关边上确定点．
（2）先由得出，结合三角形外角性质，推出内错角相等，进而证得，再结合，根据一组对边平行且相等证出四边形是平行四边形，又由等腰三角形三线合一得出，即，最后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，完成证明．
【详解】（1）解：如图，①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；
②分别以点，为圆心，大于长为半径画弧交于点；
③作射线交于点；
④以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则点，即为所求．
（2）证明：∵，
∴．
∵是的外角的平分线，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形，
由作图可知平分，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
7．如图，在平行四边形中，、是对角线，点、、、在同一条直线上，且，延长线交延长线于．
(1)求证：；
(2)条件：①；②．请从①和②中任选其一作为条件，判断并证明四边形的形状
【答案】(1)见解析
(2)选①时，四边形是菱形，理由见解析；选②时，四边形是矩形，理由见解析
【分析】本题考查了矩形的判定，菱形的判定，平行四边形的性质等知识，解题的关键是掌握这些特殊四边形的判定与性质；
（1）根据平行四边形和平行线的性质得出，然后根据证明即可；
（2）选①时，先证明平行四边形是矩形，可得出，根据全等三角形的性质得出，然后证明四边形是平行四边形，最后根据菱形的判定即可得证；选②时，根据全等三角形的性质得出，然后证明四边形是平行四边形，结合已知和平行四边形的性质可证得，然后根据矩形的判定即可得证．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又，，
∴；
（2）解：选①时，四边形是菱形；
理由：如图，
∵四边形是平行四边形，，
∴平行四边形是矩形，，
∴，即，
∵，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形；
又，
∴平行四边形是菱形；
选②时，四边形是矩形；
理由：如图，
∵，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
又，
∴，
∴平行四边形是矩形．
8．如图，点，，，在同一条直线上，，，连接，，．
(1)求证：；
(2)当时，求证四边形是矩形．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、平行四边形的判定、矩形的判定，掌握这些性质定理是解题关键．
（1）利用全等三角形的性质得到对应边和对应角相等，进而证明，从而得出；
（2）先根据全等和角的关系证明四边形是平行四边形，再证明有一个角是直角，进而判定为矩形．
【详解】（1）证明：，
，，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，，
，
四边形是矩形
9．综合与实践
在数学活动课上，老师带领同学们以“构造特殊四边形”为主题展开探究活动．
动手操作：
如图1是老师给大家提供的参考图，已知矩形，将矩形 沿某一条直线分割成两部分，重新再拼成一个新的特殊四边形，小明同学按照以下操作得到了新四边形：
①在 上取一点 E，连接，使得；
②沿直线把矩形分割成两部分，将沿平移得到；
连接后，小明发现．
解决问题：
(1)请根据上述操作中得到的条件，帮助小明证明这个结论；
(2)如图2，已知平行四边形，将沿某一条直线分割成两部分，重新再拼成一个新的特殊四边形，还能拼成什么特殊四边形？请画出其中一种裁法并证明．
【答案】(1)证明见解析
(2)还能拼成矩形，所画裁法与证明见解析
【分析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、平移的性质及特殊四边形（矩形）的拼接与证明，解题的关键是利用图形分割与平移的性质，结合特殊四边形的判定定理（如一组邻边相等的平行四边形是菱形、有一个角是直角的平行四边形是矩形）进行推理．
（1）先由矩形性质与平移性质证四边形是平行四边形，再结合证其为菱形，最后利用菱形“对角线互相垂直”证；
（2）选择将平行四边形拼为矩形，裁法：过A作于H，沿分割平行四边形为和四边形，将沿方向平移至（使与重合），再证拼接后的四边形是矩形．
【详解】（1）证明：∵ 四边形是矩形，
∴ ，，．
∵ 将沿平移得到，
∴ ，，．
∴ 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
又∵ 已知，
∴ 平行四边形是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）．
∵ 菱形的对角线互相垂直，
∴ ．
（2）解：可拼成矩形，裁法与证明如下：
裁法：如图2，在平行四边形中，过点作于点，沿直线将平行四边形分割成和四边形；将沿方向平移，使点与点重合，点与点重合，得到，则四边形即为拼成的矩形．
证明：∵ 四边形是平行四边形，
∴ ，，．
∵ 将平移后与重合，与重合，
∴ ，（平移性质：对应线段平行且相等），且（平移后对应角相等）．
∵ ，，
∴ ，即．
∵ ，，
∴ ，即．
∴ 四边形中，，
∴ 四边形是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）．
10．如图，四边形中，与互相垂直平分，于点E，延长到点F，使，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若，，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题考查菱形的性质，矩形的判定，勾股定理，斜边上的中线等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活应用，是解题的关键．
（1）先证明四边形是菱形，再证明四边形是平行四边形，根据，得到，即可得证；
（2）勾股定理求出的长，再利用勾股定理求出的长，斜边上的中线求出的长即可．
【详解】（1）证明：∵与互相垂直平分，
∴四边形是菱形，
，
，
，即，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是菱形，，
，
，
，
在中，，
在中，，
∵四边形是菱形，
，
又，
．
1．综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“平行四边形的折叠”为主题开展数学活动．
问题情境：
已知中∠A为锐角，，点E、F分别是、边的中点，点G、H分别是、边上的点．分别沿和折叠，点A、C的对应点分别为点、．
(1)操作判断：如图（1），折叠后点与点B重合，点与点D重合．
①四边形________平行四边形（填“是”或“不是”）．
②当满足某个条件时，四边形能成为矩形．这个条件可以是________．
(2)迁移探究：如图（2），若点，落在内部（含边界），连接，，若，则四边形是平行四边形吗？若是，请就图（2）进行证明；若不是，请说明理由．
(3)拓展应用：在（2）的条件下，若，，且，则此时四边形的面积为________．
【答案】(1)①是；②∠A=45°（答案不唯一）
(2)四边形是平行四边形，证明见解析
(3)
【分析】（1）①是；由折叠知，,，可证，可证，从而，命题得证；②∠A=45°（答案不唯一）；若，可证，得证四边形是矩形．
（2）四边形是平行四边形．如图，连接GH．求证，得．结合折叠证得，，从而，于是，结论得证．
（3）如图，，则点落在上，，可证为等边三角形，于是，中，根据勾股定理，，于是．
【详解】（1）解：①是；
由折叠知，,
∵中,
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴四边形是平行四边形．
②∠A=45°（答案不唯一）
若，则
而四边形是平行四边形
∴四边形是矩形．
（2）证明：四边形是平行四边形．
如图，连接GH．
∵四边形是平行四边形，
∴，，．
∵点E、F分别是、的中点，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
由折叠可知，，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（3）解：如图，，则点落在上，，
由折叠知，．
∴为等边三角形，
∴．
在中，根据勾股定理，．
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理；运用全等三角形判定线段相等、角相等是解题的关键．
2．综合与实践：数学活动课上，某数学兴趣小组对图形的翻折进行了如下探究．
问题背景：已知等腰直角三角形，．
（1）如图1，若直线l经过的中点O，将边关于直线l翻折，点，分别为A，B的对应点．连接，判断四边形的形状，并说明理由；
问题迁移：
（2）如图2，，直线l与交于点H，点A关于直线l的对称点恰好落在上，若恰好平分，求的长；
问题拓展：
（3）如图3，，且，若直线l经过点C，将边关于直线l翻折，当A，B的对应点，与点D在同一条直线上时，求的度数．
【答案】（1）四边形是矩形，见解析；（2）；（3）的度数为或．
【分析】（1）由折叠的性质得，，又，则，根据对角相互平分且相等的四边形是矩形，即可判断；
（2）设，由折叠的性质得，，推出，求得，∴，得到，，根据，列式计算即可求解；
（3）分两种情况讨论，当共线时，连接，，作于点，证得也是等腰直角三角形，求得，，得到，利用余弦函数的定义求得，据此求解即可；当共线时，同理求解即可．
【详解】解：（1）四边形是矩形，理由如下；
由折叠的性质得，，
∵直线l经过的中点O，
∴，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）设，
由折叠的性质得，，
∵恰好平分，
∴，
∴，
∴，
∵等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴；
（3）当共线时，连接，，作于点，如图，
由折叠的性质得，即也是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
当共线时，连接，，作于点，如图，
同理，，，
∴，
综上，的度数为或．
【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰直角三角形的性质，解直角三角形，二次根式的混合运算．正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
3．综合与实践
《数学》八年级上册的数学活动中，让用全等三角形研究“筝形”
定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”（如图1）
(1)［性质探究］根据“筝形”的定义，学生们通过探究，得出下列命题：
①“筝形”有一组对角相等
②“筝形”的对角线互相垂直平分
③“筝形”的每一条对角线平分每一组对角
④“筝形”的面积等于两条对角线长的乘积的一半
其中，____________是真命题（填序号）；
(2)［综合应用］如图1，筝形中，，，若，求筝形的面积的最大值；
(3)［拓展实践］如图2是一块矩形铁片，其中厘米，厘米，张华想从这块铁片中裁出一个筝形，要求点是边的中点，点分别在上（含端点），是否存在一种裁剪方案，使得筝形的面积最大？若存在，求出筝形的面积最大值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)①④
(2)12.5
(3)存在，3000
【分析】（1）由题意证明，然后得到垂直平分，然后逐项求解判断即可；
（2）由得到，，根据，求出面积的最值即可；
（3）由题意可知，分两种情况讨论：①当为中点时，如图2，筝形中，，，，则厘米，厘米，由（2）可知，根据，求出筝形的面积；②当与重合时，如图3，筝形中，，，，在中，由勾股定理得，求出的值，设，则，在中，由勾股定理得，即，求出的值，设，则，根据，可得，求出的值，如图3，作于，则，在中，由勾股定理得，求出的值，根据，求出筝形的面积；然后比较①②的大小，进而可得结论．
【详解】（1）解：如图所示，设，交于点O，
在和中，
∵，
∴，
∴，故①正确，是真命题；
∵，
∴垂直平分，但不一定垂直平分，故②错误，是假命题；
∴，，
∴平分和，但不一定平分和，故③错误，是假命题；
∵
∴“筝形”的面积，故④正确，是真命题；
综上所述，①④是真命题；
（2）解：∵
∴，
∵，
∴，
∴
，
∵，
∴时，面积最大，值为；
（3）解：由题意可知，分两种情况讨论：
①当为中点时，如图2，筝形中，，，，
∴厘米，厘米，
由（1）可知，平方厘米；
②当与重合时，如图3，筝形中，，，，
在中，由勾股定理得，
设，则，
在中，由勾股定理得，即，
解得，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得，
如图3，作于，则，
在中，由勾股定理得，
∴平方厘米；
∵，
∴存在一种裁剪方案，使得筝形的面积最大，面积为3000平方厘米．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，二次函数的最值等知识．解题的关键在于明确筝形面积与对角线乘积的关系．
4．综合与实践：
在综合与实践课上，刘老师引导学生探究矩形的折叠．
矩形纸片中，点为射线上一点，小明沿折叠得到，点的对应点为，分别延长，交直线于点，N．
【问题提出】
（1）如图1，若点与点重合，请判断与的数量关系为______；
【再次探究】
（2）如图2，当点与点不重合时，（）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
【拓展延伸】
（3）若，，当时，直接写出的长．
【答案】（1）；（2）成立，证明见解析；（3）或．
【分析】本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理，相似三角形的性质与判定；
（1）根据矩形的性质可得，根据平行线的性质可得，由折叠可知：， 等量代换，即可得证；
（2）同（1）的方法证明即可；
（3）分两种情况讨论：①当点在线段上时，证明得出，，进而证明点与点重合；即可得出；②当点在的延长线上时，由可得：， 得出，设，则，在中，勾股定理求得，进而即可求解．
【详解】（1）∵四边形是矩形，
∴
∴
由折叠可知：，
∴
故答案为：．
（2）证明：四边形为矩形，
∴，
∴，
由折叠可知：，
∴；
（3）当时，线段的长为或．
①当点在线段上时，如图1，
由可得：，
∴，
∴，，
∴，
∵ 折叠可得，又在上，则
∴点与点重合，
∴；
②当点在的延长线上时，如图2，
由可得：，
∴，即，
则，
∵，
∴，
设，则，
在中，，即，
解得：，
∴．
综上所述：当时，线段的长为或．
1．如图，点，在矩形内，．若，，，则的长为 ．
【答案】
【分析】延长，交于点，利用勾股定理求得，计算和，借助矩形内角为直角、全等三角形的角相等，证得，，利用和得出、长，进而得、，利用勾股定理即可求的长．
【详解】解：如图，延长，交于点，
在中，，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，，
∵，
∴，，，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的性质、勾股定理、三角函数的应用，利用全等三角形转移角的关系，结合矩形内角为直角推导直角三角形是解题的关键．
2．如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C均在格点上．
（1）只用无刻度的直尺在上找一点D，使得最短（保留作图痕迹） ．
（2）在（1）的基础上，在边上找一点M，使得最小，最小值为 ．
【答案】 见解析
【分析】本题考查了勾股定理与网格，矩形的性质，等腰三角形的性质，轴对称求最短距离等，掌握相关知识点是解题关键．
（1）由勾股定理可得，根据矩形的对角线互相平分找出的中点，再根据等腰三角形三线合一的性质，得到，由垂线段最短可知此时最短；
（2）作点关于的对称点，连接，由轴对称的性质可得当、、三点共线时，最小，最小值为的长，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）如图，点即为所求作，
故答案为：
（2）如图，作点关于的对称点，连接，
由轴对称的性质可知，，
，
当、、三点共线时，最小，最小值为的长，
过点作，由方格和为的中点知，，，
，
故答案为：．
3．已知矩形，，，是边的中点，是边上的动点，线段分别与，相交于点，．若，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，平行四边形的判定和性质；过点A作交于点G，过点A作交的延长线于点K，过点G作于点H，即可得到为平行四边形，进而得到，然后根据正切的定义得到，，利用勾股定理求出，然后根据求出的长解答即可．
【详解】解：过点A作交于点G，过点A作交的延长线于点K，过点G作于点H，
则，，
∵是矩形，
∴，，，，
∴为平行四边形，
∴，
∵点P是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
4．在四边形中，对角线、相交于点O，，．
(1)若是等腰三角形，则_______；
(2)已知，．
①若，判断四边形是怎样的特殊四边形，并说明理由；
②如图，在中，，求的长．
【答案】(1)
(2)①四边形是矩形，理由见解析；②
【分析】（1）由是等腰三角形，，，分别讨论：当时和当时，利用三角形的三边关系判断是否成立即可；
（2）①利用，，得出四边形是平行四边形，再利用，即可判定四边形是矩形；②过点作于点，利用，得出是直角三角形，且，证明，得出，，利用勾股定理求出，得出，再利用勾股定理求出，得出，即可求解．
【详解】（1）解：∵是等腰三角形，，，
∴当时，此时满足三角形三边关系，符合题意；
当时，，此时不满足三角形三边关系，不符合题意；
综上，，
故答案为：；
（2）解：①四边形是矩形，理由如下：
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形；
②过点作于点，
∵，
∴是直角三角形，且，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴在中，，
∴，
∴在中，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，三角形的三边关系，等腰三角形的定义，矩形的判定，二次根式的运算等，熟练掌握相关性质和判定是解题的关键．
5．如图，在中，点O，D分别是边，的中点，过点A作交的延长线于点E，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，试判断四边形的形状，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)当时，四边形是矩形，理由见解析
【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质；
（1）先证明，可得，结合可得结论；
（2）由，点是边上的中点，可得即，结合由（1）得四边形是平行四边形，从而可得结论.
【详解】（1）证明：∵点为的中点
∴，
∵
∴，，
在和中
∴，
∴
∵
∴四边形是平行四边形；
（2）证明：当时，四边形是矩形，
理由如下：
∵ ，点是边上的中点，
∴ 即，
∵ 由（1）得四边形是平行四边形，
∴ 四边形是矩形.
6．某数学兴趣小组活动，准备将一张三角形纸片（如图）进行如下操作，并进行猜想和证明．
(1)用三角板分别取的中点，连接，画于点；
(2)用（1）中所画的三块图形经过旋转或平移拼出一个四边形（无缝隙无重叠），并用三角板画出示意图；
(3)请判断（2）中所拼的四边形的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)答案不唯一，见解析
【分析】（1）根据题意画出图形即可；
（2）方法一：将绕点D逆时针旋转到，将绕E点顺时针旋转到即可得出四边形；
方法二：将绕E点顺时针旋转到，将绕点D逆时针旋转后再沿向右平移到，即可得出四边形；
方法三：将绕点D逆时针旋转到，将绕E点顺时针旋转后沿向左平移到，即可得出四边形；
（3）方法一：先证明点在同一直线上，根据为的中位线，得出且．证明且，得出四边形为平行四边形，根据，得出平行四边形为矩形．
方法二：证明点在同一直线上，根据为的中位线，得出且，证明，得出且，证明四边形为平行四边形．
方法三：证明点在同一直线上，根据为的中位线，得出且，证明且，得出四边形为平行四边形．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：方法一：四边形为所求作的四边形
方法二：四边形是所求的四边形．
方法三：四边形是所求的四边形．
（3）解：方法一（图1），
∵，
∴点在同一直线上，
∵点分别是的中点，
∴为的中位线，
∴且．
∵，
∴且，
∴四边形为平行四边形．
∵，，
∴平行四边形为矩形．
方法二（图2），
∵，
∴点在同一直线上．
∵点分别是的中点，
∴为的中位线，
∴且．
∵，
∴且，
∴四边形为平行四边形．
方法三（图3），
∵，
∴点在同一直线上．
∵点分别是的中点，
∴为的中位线，
∴且．
∵，
∴且，
∴四边形为平行四边形．
【点睛】本题主要考查了旋转作图或平移作图，平行四边形的判定，矩形的判定，解题的关键熟练掌握旋转的性质和平移的性质．
7．如图,在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EFBC分别交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E，F．
(1)若CE=8，CF=6，求OC的长．
(2)连接AE，AF．问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
【答案】（1）5；（2）四边形AECF是矩形，理由详见解析．
【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，证出OE=OC=OF，∠ECF=90°，由勾股定理求出EF，即可得出答案；
（2）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．
【详解】解：（1）证明：∵EF交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F
∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠DCF，
∵MNBC，
∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠DCF
∴∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，
∴OE=OC，OF=OC，
∴OE=OF；
∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF=180°，
∴∠ECF=90°，在Rt△CEF中，由勾股定理得：EF=，
∴OC=OE=EF=5；
（2）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：
连接AE、AF，如图所示：
当O为AC的中点时，AO=CO，
∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
【点睛】本题考查矩形的判定、平行线的性质以及等腰三角形的判定与性质，属于探究型问题，综合性较强．
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2026年中考数学第一轮复习分层练（山西卷）
第五章 四边形
专题二 矩形
命题点1 矩形的判定
1．（2025·山西吕梁·三模）如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和底边垂直，只需要用绳子比较书架的两条对角线的长就可以判断，其中证明“四边形是矩形”的依据是：_________________．
2．（2025·山西长治·模拟预测）综合与实践
问题情境
如图1，在中，，，，是斜边的中线．
初步探究
（1）如图2，将沿方向平移，当点C落在点D的位置时，点D，B的对应点分别是点，，连接，．试判断四边形的形状，并说明理由．
深入思考
将绕点D顺时针旋转得到，，的对应点分别是N，M．
（2）如图3，当时，垂足为Q，与交于点P，与交于点E，求线段的长．
（3）在旋转的过程中，线段与交于点E，当点B在线段上时，直接写出线段的长．
3．（2025·山西长治·二模）如图，在平行四边形中，相交于点，且，分别是的中点，连接，求证：四边形为矩形．
4．（2025·山西·模拟预测）问题提出：如图，已知四边形是平行四边形，，请在中画出一个矩形并加以验证．
操作探究：
方法一：如图①，过顶点A、C分别作于点E，于点F，则四边形是矩形；
理由如下：∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴（依据1），
∴，
∴，
∴四边形是矩形（依据2）；
方法二：如图②，连接对角线，取的中点，以点为圆心，的长为半径画弧交于，连接并延长交于点，连接，则四边形是矩形．
问题解决：
(1)方法一中的依据1是指_______；依据2是指________；
(2)请你依据方法二的操作方法完成相应的证明过程；
(3)如图③，若点是上一点，连接，以为边长作正方形经过点，已知，请直接写出的长．
5．（2025·山西吕梁·二模）如图，四边形是菱形，对角线相交于点．
(1)尺规作图：以为边，作矩形（不要求写作法，但保留作图痕迹）；
(2)若在菱形中，，求所作矩形的面积．
6．（2025·山西太原·一模）如图，已知在中，，点分别是的中点，连接．
(1)实践与操作：利用尺规在外部作，射线交的延长线于点（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法）；
(2)猜想与证明：猜想（1）中的四边形的形状，并加以证明．
7．（2025·山西临汾·一模）综合与实践
问题情境：
如图1，在Rt中，是斜边上的中线．
初步探究：
（1）如图2，将沿方向平移，当点落在点的位置时，D，B的对应点分别是、，连接、．“笃学”小组发现四边形的形状是矩形，请你证明这一结论．
深入思考：
（2）“勤思”小组将绕点顺时针旋转得到，、的对应点分别是N，M，如图3，当时，与交于点E，与，分别交于点P，Q，请判断与的关系，并说明理由．
拓展延伸：
（3）若，请直接写出四边形的面积．
8．（2024·山西大同·模拟预测）如图，在中，于点E，于点F，延长至点G，使，连接．求证：四边形是矩形．
命题点2 矩形的性质
1．（2025·山西吕梁·三模）如图，在矩形中，下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山西·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AC是对角线．
(1)实践与操作：利用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足为点O，交边AD于点E，交边BC于点F（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母），
(2)猜想与证明：试猜想线段AE与CF的数量关系，并加以证明．
3．（2025·山西·中考真题）阅读与思考
下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．
双关联线段【概念理解】如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段．例如，下列各图中的线段与所在直线形成的夹角中有一个角是，若，则下列各图中的线段都是相应线段的双关联线段． 【问题解决】问题1：如图，在矩形中，，若对角线与互为双关联线段，则________． 问题2：如图，在等边中，点D，E分别在边的延长线上，且，连接． 求证：线段是线段的双关联线段．证明：延长交于点F．是等边三角形，．，（依据）．，，；…
任务：
(1)问题1中的________，问题2中的依据是________________；
(2)补全问题2的证明过程；
(3)如图，点C在线段上，请在图3中作线段的双关联线段．
（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可）．
4．（2025·山西临汾·二模）如图，四边形是矩形，是延长线上的一点，连接，，且．求证：四边形是正方形．
5．（2024·山西·模拟预测）如图，已知矩形．
(1)实践与操作：利用尺规在边上取一点，使，连接，过点作于点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)猜想与证明：试猜想线段与之间的数量关系，并说明理由．
6．（2025·山西朔州·模拟预测）综合与探究
问题情境：
如图，在矩形中，，，是边上的一个动点（不与点，重合），把沿着折叠后，点落在点处．
操作发现：
（1）如图，当时，试判断的形状，并说明理由；
（2）如图，当时，求BP的长；
深入探究：
（3）如图，过点作直线，垂足为，连接，在点运动的过程中，若，请探究，并直接写出所有符合题意的的长度．
7．（2025·山西临汾·三模）综合与实践
【问题情境】
数学活动小组在进行矩形纸片折纸活动．
如图1，在矩形纸片中，E是边上的动点，G是边上的动点，将沿折叠，点D恰好落到边上的点F处，展平，连接，再将沿折叠，使点B与点E重合，展平，连接．
【猜想证明】
（1）直接判断四边形的形状．
（2）求证：．
【深入探究】
（3）如图2，M，N分别是边，上的点，若将矩形纸片沿第三次折叠，使得点C与点G重合，然后展平，连接，．
①判断与的位置关系，并证明；
②直接写出的值．
8．（2025·山西·三模）综合与探究
问题情境：数学活动课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形绕点A逆时针旋转得到矩形，当点E落在线段上时，连接交于点H，连接，，．
特例探究：（1）试判断和的数量关系，并说明理由．
探索发现：（2）如图2，当点E落在对角线上时，连接交于点P，“奋进”小组发现垂直平分，请你证明这个结论．
拓展延伸：（3）在矩形旋转的过程中，当E，D，F三点在同一条直线上时，连接．若，，请直接写出此时的长．
1．如图，在矩形中，，，点是边的中点，点在线段上，且，则线段的长度为__________．
2．在矩形中，，，对角线，交于点，过点作，垂足为，为中点，连接交于点，则的长为________．
3．如图，在矩形中，是对角线，．
(1)实践与操作：利用尺规作的平分线交于点E，过点E作的垂线，垂足为点O，交于点F，连接（要求：尺规作图，不写作法、不写结论，但要保留作图痕迹，标明字母）；
(2)猜想与证明：试猜想四边形的形状，并证明你的结论．
4．【动手实践】阅读与思考
下面是小刚同学的数学笔记，请仔细阅读并完成相应的任务．
确定过道可通过的物体的最大长度我家过道宽度都为．一个长方体盒子（高度低于楼高）的宽为，则这个盒子的长最长为多少时，能顺利通过过道？建立模型：如图1为过道示意图，为直角顶点，经测量过道宽度都是．矩形是某物品经过该过道时的俯视图，宽为．操作步骤：1．靠边：将图1中矩形的一边靠在上；2．推移：矩形沿方向推移一定距离，使点在边上；3．旋转：如图2，将矩形绕点旋转；4．推移：将矩形沿方向继续推移．尝试思考：如图2，已知，当时，我求得，则该物体能顺利通过直角过道．……
任务：
(1)在“尝试思考”环节，你赞同小刚得出的结论吗？请通过计算说明理由．
(2)请你帮小刚算出该过道可以通过的长方形盒子的最大长度，即求的最大值．（精确到）
5．如图1，是一张矩形纸片，沿过点A的直线折叠该纸片，使点B的对应点落在边上的点F处，展开后折痕交边于点E，连接．
(1)判断四边形的形状，并证明你的结论；
(2)在图1中，作的平分线交于点G，得到图2．若，则线段的长为_____．
6．如图，在中，，是的外角的平分线．
(1)在上求作一点，在上求作一点，使四边形是矩形；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)求证：四边形是矩形．
7．如图，在平行四边形中，、是对角线，点、、、在同一条直线上，且，延长线交延长线于．
(1)求证：；
(2)条件：①；②．请从①和②中任选其一作为条件，判断并证明四边形的形状
8．如图，点，，，在同一条直线上，，，连接，，．
(1)求证：；
(2)当时，求证四边形是矩形．
9．综合与实践
在数学活动课上，老师带领同学们以“构造特殊四边形”为主题展开探究活动．
动手操作：
如图1是老师给大家提供的参考图，已知矩形，将矩形 沿某一条直线分割成两部分，重新再拼成一个新的特殊四边形，小明同学按照以下操作得到了新四边形：
①在 上取一点 E，连接，使得；
②沿直线把矩形分割成两部分，将沿平移得到；
连接后，小明发现．
解决问题：
(1)请根据上述操作中得到的条件，帮助小明证明这个结论；
(2)如图2，已知平行四边形，将沿某一条直线分割成两部分，重新再拼成一个新的特殊四边形，还能拼成什么特殊四边形？请画出其中一种裁法并证明．
10．如图，四边形中，与互相垂直平分，于点E，延长到点F，使，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若，，求的长．
1．综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“平行四边形的折叠”为主题开展数学活动．
问题情境：
已知中∠A为锐角，，点E、F分别是、边的中点，点G、H分别是、边上的点．分别沿和折叠，点A、C的对应点分别为点、．
(1)操作判断：如图（1），折叠后点与点B重合，点与点D重合．
①四边形________平行四边形（填“是”或“不是”）．
②当满足某个条件时，四边形能成为矩形．这个条件可以是________．
(2)迁移探究：如图（2），若点，落在内部（含边界），连接，，若，则四边形是平行四边形吗？若是，请就图（2）进行证明；若不是，请说明理由．
(3)拓展应用：在（2）的条件下，若，，且，则此时四边形的面积为________．
2．综合与实践：数学活动课上，某数学兴趣小组对图形的翻折进行了如下探究．
问题背景：已知等腰直角三角形，．
（1）如图1，若直线l经过的中点O，将边关于直线l翻折，点，分别为A，B的对应点．连接，判断四边形的形状，并说明理由；
问题迁移：
（2）如图2，，直线l与交于点H，点A关于直线l的对称点恰好落在上，若恰好平分，求的长；
问题拓展：
（3）如图3，，且，若直线l经过点C，将边关于直线l翻折，当A，B的对应点，与点D在同一条直线上时，求的度数．
3．综合与实践
《数学》八年级上册的数学活动中，让用全等三角形研究“筝形”
定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”（如图1）
(1)［性质探究］根据“筝形”的定义，学生们通过探究，得出下列命题：
①“筝形”有一组对角相等
②“筝形”的对角线互相垂直平分
③“筝形”的每一条对角线平分每一组对角
④“筝形”的面积等于两条对角线长的乘积的一半
其中，____________是真命题（填序号）；
(2)［综合应用］如图1，筝形中，，，若，求筝形的面积的最大值；
(3)［拓展实践］如图2是一块矩形铁片，其中厘米，厘米，张华想从这块铁片中裁出一个筝形，要求点是边的中点，点分别在上（含端点），是否存在一种裁剪方案，使得筝形的面积最大？若存在，求出筝形的面积最大值，若不存在，请说明理由．
4．综合与实践：
在综合与实践课上，刘老师引导学生探究矩形的折叠．
矩形纸片中，点为射线上一点，小明沿折叠得到，点的对应点为，分别延长，交直线于点，N．
【问题提出】
（1）如图1，若点与点重合，请判断与的数量关系为______；
【再次探究】
（2）如图2，当点与点不重合时，（）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
【拓展延伸】
（3）若，，当时，直接写出的长．
1．如图，点，在矩形内，．若，，，则的长为 ．
2．如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C均在格点上．
（1）只用无刻度的直尺在上找一点D，使得最短（保留作图痕迹） ．
（2）在（1）的基础上，在边上找一点M，使得最小，最小值为 ．
3．已知矩形，，，是边的中点，是边上的动点，线段分别与，相交于点，．若，则的长为 ．
4．在四边形中，对角线、相交于点O，，．
(1)若是等腰三角形，则_______；
(2)已知，．
①若，判断四边形是怎样的特殊四边形，并说明理由；
②如图，在中，，求的长．
5．如图，在中，点O，D分别是边，的中点，过点A作交的延长线于点E，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，试判断四边形的形状，并证明．
6．某数学兴趣小组活动，准备将一张三角形纸片（如图）进行如下操作，并进行猜想和证明．
(1)用三角板分别取的中点，连接，画于点；
(2)用（1）中所画的三块图形经过旋转或平移拼出一个四边形（无缝隙无重叠），并用三角板画出示意图；
(3)请判断（2）中所拼的四边形的形状，并说明理由．
7．如图,在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EFBC分别交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E，F．
(1)若CE=8，CF=6，求OC的长．
(2)连接AE，AF．问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
2026年中考数学第一轮复习分层练（山西卷）
第五章 四边形
专题二 矩形（解析版）
命题点1 矩形的判定
1．（2025·山西吕梁·三模）如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和底边垂直，只需要用绳子比较书架的两条对角线的长就可以判断，其中证明“四边形是矩形”的依据是：_________________．
【答案】对角线相等的平行四边形是矩形
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）
故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形．
2．（2025·山西长治·模拟预测）综合与实践
问题情境
如图1，在中，，，，是斜边的中线．
初步探究
（1）如图2，将沿方向平移，当点C落在点D的位置时，点D，B的对应点分别是点，，连接，．试判断四边形的形状，并说明理由．
深入思考
将绕点D顺时针旋转得到，，的对应点分别是N，M．
（2）如图3，当时，垂足为Q，与交于点P，与交于点E，求线段的长．
（3）在旋转的过程中，线段与交于点E，当点B在线段上时，直接写出线段的长．
【答案】（1）四边形是矩形，见解析；（2）；（3）或
【分析】（1）由直角三角形斜边中线得，由平移可知，那么，故四边形是平行四边形，而，则四边形是矩形；
（2）由勾股定理得，则，那么，可求，由题意得，，则，在中，解直角三角形得，则，在中，解直角三角形得；
（3）当点与点重合时，过点作于点，可得，则，即可求解；当点不与点重合时，如图：过点作于点，可证明，由，再由线段和差求解即可．
【详解】（1）解：四边形是矩形，理由如下：
在中，是斜边的中线，
∴，
由平移可知，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵，，，
∴，
∵是斜边的中线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由题意得，，
∴，
∴，即，
∴，即旋转角为，
∴，
由平移可得：，
∴，
∴在中，，
∴，
∴在中，；
（3）当点B与点N重合时，如图：过点作于点，
由旋转和平移得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：；
当点B不与点N重合时，如图：过点作于点，
∵由旋转，平移得到，，
∴，
∴，
∴，
由旋转，平移得到，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上：的长为或．
【点睛】本题考查了旋转，平移的性质，解直角三角形，矩形的判定，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，综合性强，难度大，熟练掌握知识点并灵活运用，是解题的关键．
3．（2025·山西长治·二模）如图，在平行四边形中，相交于点，且，分别是的中点，连接，求证：四边形为矩形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合平行四边形的性质得，，因为分别为的中点，故，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，得四边形为平行四边形．结合，，则，运用对角线相等的平行四边形是矩形，即可证明四边形为矩形．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
，，
分别为的中点，
，，
四边形为平行四边形．
，，
，
，
，
四边形为矩形．
4．（2025·山西·模拟预测）问题提出：如图，已知四边形是平行四边形，，请在中画出一个矩形并加以验证．
操作探究：
方法一：如图①，过顶点A、C分别作于点E，于点F，则四边形是矩形；
理由如下：∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴（依据1），
∴，
∴，
∴四边形是矩形（依据2）；
方法二：如图②，连接对角线，取的中点，以点为圆心，的长为半径画弧交于，连接并延长交于点，连接，则四边形是矩形．
问题解决：
(1)方法一中的依据1是指_______；依据2是指________；
(2)请你依据方法二的操作方法完成相应的证明过程；
(3)如图③，若点是上一点，连接，以为边长作正方形经过点，已知，请直接写出的长．
【答案】(1)两直线平行，同旁内角互补；有三个角是直角的四边形是矩形
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据“两直线平行，同旁内角互补”和“有三个角是直角的四边形是矩形”即可解答；
（2）证明，得到，进而证明四边形是平行四边形，再证明，从而可得证；
（3）过点作于点，延长和交于点，过点作于点．证明，得到边长关系，再证明，根据边长关系，求出，从而可求．
本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，三角形相似，三角形全等，作出适当的辅助线是解题关键．
【详解】（1）解：∵，
∴（依据1），
则依据1为：两直线平行，同旁内角互补；
∵，
∴四边形是矩形（依据2）
则依据2为：有三个角是直角的四边形是矩形；
故答案为：两直线平行，同旁内角互补；有三个角是直角的四边形是矩形；
（2）证明：四边形是平行四边形，
，
．
为的中点，
．
在和中，，
，
．
，
四边形是平行四边形．
，
，
四边形是矩形；
（3）解：如图：
过点作于点，延长和交于点，过点作于点，
四边形是平行四边形，
．
∵，
∴，即，
∴，
∵四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
在中，，
∴，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
5．（2025·山西吕梁·二模）如图，四边形是菱形，对角线相交于点．
(1)尺规作图：以为边，作矩形（不要求写作法，但保留作图痕迹）；
(2)若在菱形中，，求所作矩形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】本题考查了尺规作图，菱形的性质，矩形的判定与性质等知识，解题的关键是：
（1）以点为圆心，为半径作弧，以点为圆心，为半径作弧，两弧交于点，可得，那么四边形为平行四边形，而菱形得到，即可得到矩形；
（2）根据菱形得到菱形对角线相等，互相平分且垂直，则，由勾股定理得，即可求出，，即可求解矩形面积．
【详解】（1）解：如图：
四边形即为所要作的矩形；
（2）解：四边形是菱形，
．
．
又，
．
在中，．
又，
，
（舍负），
，
矩形的面积为．
6．（2025·山西太原·一模）如图，已知在中，，点分别是的中点，连接．
(1)实践与操作：利用尺规在外部作，射线交的延长线于点（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法）；
(2)猜想与证明：猜想（1）中的四边形的形状，并加以证明．
【答案】(1)见解析
(2)矩形，见解析
【分析】本题考查了尺规作图----作一个角等于已知角，矩形的判定，三角形的中位线定理，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
（1）由作一个角等于已知角步骤即可作图；
（2）先根据得到，可得是的中位线，那么，继而可得四边形是平行四边形，再根据即可求证．
【详解】（1）解：如图，、射线、点即为所求.
（2）解：四边形是矩形.
证明：，
，
分别是的中点，
是的中位线，
∴，
，
四边形是平行四边形，
，
是矩形．
7．（2025·山西临汾·一模）综合与实践
问题情境：
如图1，在Rt中，是斜边上的中线．
初步探究：
（1）如图2，将沿方向平移，当点落在点的位置时，D，B的对应点分别是、，连接、．“笃学”小组发现四边形的形状是矩形，请你证明这一结论．
深入思考：
（2）“勤思”小组将绕点顺时针旋转得到，、的对应点分别是N，M，如图3，当时，与交于点E，与，分别交于点P，Q，请判断与的关系，并说明理由．
拓展延伸：
（3）若，请直接写出四边形的面积．
【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）四边形的面积为
【分析】（1）由直角三角形斜边中线得，由平移可知，那么，故四边形是平行四边形，而，则四边形是矩形；
（2）由平移性质和旋转性质得，，利用直角三角形的两个锐角互余可推导出，进而可得；
（3）连接，先根据直角三角形的性质得到，，利用锐角三角形函数定义得到，，进而解直角三角形分别求得，，，，然后由求解四边形的面积即可．
【详解】（1）证明：在中，是斜边的中线，
∴，
由平移可知，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形；
（2）解：．理由如下：
由平移性质得，，
由旋转性质得，，
∵，
∴，
∴，
∴，则；
（3）解：连接，
∵，，，
∴，
∴，，
∵是斜边上的中线，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴四边形的面积为
．
【点睛】本题考查了旋转，平移的性质，直角三角形的性质，矩形的判定，勾股定理，解直角三角形等知识点，综合性强，难度大，熟练掌握知识点并灵活运用，是解题的关键．
8．（2024·山西大同·模拟预测）如图，在中，于点E，于点F，延长至点G，使，连接．求证：四边形是矩形．
【答案】详见解析
【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．先证明，推出，得到，证明四边形是平行四边形，据此即可证明结论成立．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∴．
∵于点E，于点F，
∴，．
在和中，
，
∴．
∴．
∵，
∴．
又，
∴．
∴四边形是平行四边形．
又∵，
∴四边形是矩形．
命题点2 矩形的性质
1．（2025·山西吕梁·三模）如图，在矩形中，下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】题目主要考查矩形的性质，根据矩形的性质依次判断即可，熟练掌握其性质是解题关键．
【详解】解：∵矩形，
∴，，，
∵O为中点，
∴，故选项A、B、C正确，不符合题意；
无法得出，故选项D错误，符合题意；
故选：D．
2．（2024·山西·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AC是对角线．
(1)实践与操作：利用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足为点O，交边AD于点E，交边BC于点F（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母），
(2)猜想与证明：试猜想线段AE与CF的数量关系，并加以证明．
【答案】(1)作图见解析
(2)，证明见解析
【分析】（1）根据垂直平分线的尺规作图的画法，分别以A、C为圆心，以大于AC的长为半径画弧，交于两点，过两点作直线即可得到线段AC的垂直平分线．
（2）利用矩形及垂直平分线的性质，可以证得，根据全等三角形的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：如图，
（2）解：．证明如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴．
∴．
∵EF为AC的垂直平分线，
∴．
∴．
∴．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的尺规作图的画法、矩形的性质、全等三角形的判定和性质．
3．（2025·山西·中考真题）阅读与思考
下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．
双关联线段【概念理解】如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段．例如，下列各图中的线段与所在直线形成的夹角中有一个角是，若，则下列各图中的线段都是相应线段的双关联线段． 【问题解决】问题1：如图，在矩形中，，若对角线与互为双关联线段，则________． 问题2：如图，在等边中，点D，E分别在边的延长线上，且，连接． 求证：线段是线段的双关联线段．证明：延长交于点F．是等边三角形，．，（依据）．，，；…
任务：
(1)问题1中的________，问题2中的依据是________________；
(2)补全问题2的证明过程；
(3)如图，点C在线段上，请在图3中作线段的双关联线段．
（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可）．
【答案】(1)，等角的补角相等；
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）设的交点为O，利用矩形的性质及已知可证明是等边三角形，由等边三角形的性质及矩形性质即可求解．利用等角的补角相等即可完成问题2的依据．
（2）利用三角形外角的性质及等边三角形的性质即可，从而问题完成；
（3）作一个等边三角形即可完成．
【详解】（1）解：设的交点为O，如图；
∵四边形是矩形，
∴；
∵对角线与互为双关联线段，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
故答案为：；
问题2中的依据是：等角的补角相等；
故答案为：等角的补角相等；
（2）解：是的外角，
．
是的外角，
．
，
．
即线段与线段所在直线形成的夹角中有一个角是．
，
线段与线段是双关联线段．
（3）解：答案不唯一，例如：
作法一： 作法二：
如图，线段即为所求．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，尺规作图等知识，掌握这些知识是解题的关键．
4．（2025·山西临汾·二模）如图，四边形是矩形，是延长线上的一点，连接，，且．求证：四边形是正方形．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了矩形和正方形，熟练掌握矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，正方形的判定是解题的关键，
连接交于点，由矩形对角线性质和等腰三角形性质得，得， 即得矩形是正方形．
【详解】证明：如图，连接交于点．
四边形是矩形，
．
，
．
．
四边形是正方形．
5．（2024·山西·模拟预测）如图，已知矩形．
(1)实践与操作：利用尺规在边上取一点，使，连接，过点作于点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)猜想与证明：试猜想线段与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题考查了基本作图，作线段、作垂线，矩形的性质，全等三角形的性质与判定；
（1）根据题意画出图形，即可求解；
（2）证明，即可得出结论．
【详解】（1）解：如图所示，
（2），理由如下：
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
6．（2025·山西朔州·模拟预测）综合与探究
问题情境：
如图，在矩形中，，，是边上的一个动点（不与点，重合），把沿着折叠后，点落在点处．
操作发现：
（1）如图，当时，试判断的形状，并说明理由；
（2）如图，当时，求BP的长；
深入探究：
（3）如图，过点作直线，垂足为，连接，在点运动的过程中，若，请探究，并直接写出所有符合题意的的长度．
【答案】
（1）当时，是等腰直角三角形，见解析；
（2）的长为；
（3）的长度为或4cm．
【分析】（1）由折叠的性质，可得，，可得，，即可得的形状；
（2）证明，由相似三角形的性质，可得的长；
（3）分两种情况讨论，先证由点，点，点，点所构成的四边形是平行四边形，由勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：当时，是等腰直角三角形．
理由如下：
∵，，
∴．
∵四边形是矩形，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵沿着折叠，
∴，
∴，
∴，，
∴．
∴是等腰直角三角形．
（2）解：由折叠可得，
∵，
∴．
∴，，三点在同一条直线上，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
解得，．
∴的长为．
（3）解：∵沿着折叠，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴四边形是平行四边形，
分两种情况：
情况，如图，当点在的延长线上时，连接交的延长线于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴
在中，，
∴，
∴，
情况，如图，当点在上时，连接交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，，
∴
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，即点与点重合（如图），
答：的长度为或4cm．
【点睛】本题考查折叠的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用分类讨论思想解决问题．
7．（2025·山西临汾·三模）综合与实践
【问题情境】
数学活动小组在进行矩形纸片折纸活动．
如图1，在矩形纸片中，E是边上的动点，G是边上的动点，将沿折叠，点D恰好落到边上的点F处，展平，连接，再将沿折叠，使点B与点E重合，展平，连接．
【猜想证明】
（1）直接判断四边形的形状．
（2）求证：．
【深入探究】
（3）如图2，M，N分别是边，上的点，若将矩形纸片沿第三次折叠，使得点C与点G重合，然后展平，连接，．
①判断与的位置关系，并证明；
②直接写出的值．
【答案】（1）四边形是正方形；（2）见解析；（3）①．见解析；②．
【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质，勾股定理、正方形的性质及判定以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握折叠的性质，利用矩形和折叠的性质进行推理和证明。
（1）由折叠可知，，可知是等腰直角三角形，得到，故四条边相等，即四边形是菱形，再由可得四边形是正方形；
（2）由折叠可得，由四边形是正方形可得，由平角定义可知，由已知可知，所以是等腰直角三角形，从而得到；
（3）①设，根据折叠可得，分别求与的关系，再根据勾股定理分别求，而，代入可知，即，再根据证明，得到，根据可得，从而得证；
（2）设，用的式子表示，连接，设，在中根据勾股定理得到方程解（含的代数式），在计算即可．
【详解】（1）∵四边形是矩形，
，
由折叠可知，，
∴是等腰直角三角形，
，
，
∴四边形是菱形，
又
∴四边形是正方形；
（2）由（1）可知四边形是正方形，
，
由折叠可知，，
，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
；
（3）①设，
∵四边形是正方形，
∴是等腰直角三角形，，
，
由折叠可知，
，
，
，
，
在中，，
在中，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
∴；
②设，
由①可知，
∵四边形是正方形，
∴是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
连接，设，则，
由折叠可知，
，
，
在中，，
，
，
．
8．（2025·山西·三模）综合与探究
问题情境：数学活动课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形绕点A逆时针旋转得到矩形，当点E落在线段上时，连接交于点H，连接，，．
特例探究：（1）试判断和的数量关系，并说明理由．
探索发现：（2）如图2，当点E落在对角线上时，连接交于点P，“奋进”小组发现垂直平分，请你证明这个结论．
拓展延伸：（3）在矩形旋转的过程中，当E，D，F三点在同一条直线上时，连接．若，，请直接写出此时的长．
【答案】（1），见解析；（2）见解析；（3）的长为或
【分析】（1）过点作于，证明即可得出结论；
（2）设与相交于，得，从而可证得，得出，则，即，再利用等腰三角形“三线合一”的性质可得出结论．
（3）分两种情况：当三点在同一条直线上，点在下方时，当三点在同一条直线上，点在上方时，分别求解即可．
【详解】解：（1），
理由：如图 1，过点作于，
∵矩形，
，
∵矩形，
，
，
，
∴四边形为矩形，
，
由旋转可得：，
，
，
，
，
，即，
在与中，
，
，
，
（2）如图，设与相交于，
∵矩形，
，
，
由旋转可得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即垂直平分．
（3）当三点在同一条直线上，点在下方时，如图，
由旋转可得：，
∵矩形，
，
，
，
；
当三点在同一条直线上，点在上方时，如图，
由旋转可得：，
∵矩形，
，
在中，由勾股定理，得，
，
在 中，由勾股定理，，
综上，当三点在同一条直线上时，的长为或．
【点睛】本题考查矩形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，本题属旋转综合题目，掌握相关性质与判定是解题的关键．
1．如图，在矩形中，，，点是边的中点，点在线段上，且，则线段的长度为__________．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的计算，掌握相似三角形的判定和性质，解直角三角形的计算是关键．
根据矩形，勾股定理得到，如图所示，过点作于点，根据解直角三角形的计算得到，设，则，再证明，得到，即，由此即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∵点是线段的中点，
∴，
∴，
如图所示，过点作于点，
∴，则，
∴，
∴，
∴，
∴设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
解得，，
故答案为：．
2．在矩形中，，，对角线，交于点，过点作，垂足为，为中点，连接交于点，则的长为________．
【答案】/
【分析】如图，延长交于点，先利用三角函数求得，得出为等边三角形，得出，再证出和，得出，进而即可得解．
【详解】如图，延长交于点，
在矩形中，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，，
，
，
，
在中，由勾股定理可得，
，
，
，
为中点，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握以上知识点并能正确添加辅助线是解决此题的关键．
3．如图，在矩形中，是对角线，．
(1)实践与操作：利用尺规作的平分线交于点E，过点E作的垂线，垂足为点O，交于点F，连接（要求：尺规作图，不写作法、不写结论，但要保留作图痕迹，标明字母）；
(2)猜想与证明：试猜想四边形的形状，并证明你的结论．
【答案】(1)见解析
(2)猜想：四边形是菱形，证明见解析
【分析】本题考查角平分线作法，垂线的作法，矩形的性质，菱形的判定，等边三角形的判定与性质，平行四边形判定及性质等．
（1）以点为圆心，任意长为半径画弧，交于两点，再分别以这两点为圆心，大于这两点间距离一半的长为半径画弧，两弧交于一点，连接点与这点，并延长交于点，即为的平分线，再以点为圆心，任意长为半径画弧，交于两点，再分别以这两点为圆心，任意长为半径画弧，两弧交于一点，连接点与这点，并延长分别交于点，点，连接即可；
（2）根据题意先证明四边形是平行四边形，后继而证明出四边形是菱形．
【详解】（1）解：如图所示为所求：
（2）解：猜想：四边形是菱形，证明如下：
∵矩形中，，，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
4．【动手实践】阅读与思考
下面是小刚同学的数学笔记，请仔细阅读并完成相应的任务．
确定过道可通过的物体的最大长度我家过道宽度都为．一个长方体盒子（高度低于楼高）的宽为，则这个盒子的长最长为多少时，能顺利通过过道？建立模型：如图1为过道示意图，为直角顶点，经测量过道宽度都是．矩形是某物品经过该过道时的俯视图，宽为．操作步骤：1．靠边：将图1中矩形的一边靠在上；2．推移：矩形沿方向推移一定距离，使点在边上；3．旋转：如图2，将矩形绕点旋转；4．推移：将矩形沿方向继续推移．尝试思考：如图2，已知，当时，我求得，则该物体能顺利通过直角过道．……
任务：
(1)在“尝试思考”环节，你赞同小刚得出的结论吗？请通过计算说明理由．
(2)请你帮小刚算出该过道可以通过的长方形盒子的最大长度，即求的最大值．（精确到）
【答案】(1)不赞同小刚的结论．理由见解析
(2)
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理的应用，无理数的估算，熟练掌握勾股定理是解题的关键；
（1）连接，勾股定理求得，即可求解；
（2）勾股定理求得，根据，即可求解．
【详解】（1）解：不赞同小刚的结论．
理由如下：如图，连接．
∵，小刚求得，
四边形是矩形，
，
，
，
，
过道宽度都是，
该物品不能顺利通过直角过道．
不赞同小刚的结论．
（2）若该过道可以通过的物品长度最大，则点为的中点，且．
∴的最大值为．
5．如图1，是一张矩形纸片，沿过点A的直线折叠该纸片，使点B的对应点落在边上的点F处，展开后折痕交边于点E，连接．
(1)判断四边形的形状，并证明你的结论；
(2)在图1中，作的平分线交于点G，得到图2．若，则线段的长为_____．
【答案】(1)四边形是正方形，证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，矩形与折叠问题，勾股定理，角平分线的定义，等角对等边，熟知正方形的性质与判定定理，矩形的性质与折叠的性质是解题的关键．
（1）由矩形的性质可得，由折叠的性质可得，据此可证明四边形是正方形；
（2）由正方形的性质和勾股定理可得，由矩形的性质得到，再由平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，则．
【详解】（1）解：四边形是正方形，证明如下：
∵四边形是矩形，
∴，
由折叠的性质可得，
∴四边形是矩形，
又∵，
∴四边形是正方形；
（2）解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
6．如图，在中，，是的外角的平分线．
(1)在上求作一点，在上求作一点，使四边形是矩形；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)求证：四边形是矩形．
【答案】(1)作图见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、角平分线的尺规作图与性质以及矩形的判定，同时考查了尺规作图的基本操作能力．关键是熟练运用等腰三角形的三线合一和等边对等角性质，结合三角形外角性质证得直线平行，通过平行四边形的判定完成矩形判定的过渡，尺规作图则需掌握角平分线的基本作法，将作图与几何性质结合起来．
（1）先利用尺规作角平分线的方法作出的平分线，再通过尺规截取等长线段的方法在相关边上确定点．
（2）先由得出，结合三角形外角性质，推出内错角相等，进而证得，再结合，根据一组对边平行且相等证出四边形是平行四边形，又由等腰三角形三线合一得出，即，最后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，完成证明．
【详解】（1）解：如图，①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；
②分别以点，为圆心，大于长为半径画弧交于点；
③作射线交于点；
④以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则点，即为所求．
（2）证明：∵，
∴．
∵是的外角的平分线，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形，
由作图可知平分，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
7．如图，在平行四边形中，、是对角线，点、、、在同一条直线上，且，延长线交延长线于．
(1)求证：；
(2)条件：①；②．请从①和②中任选其一作为条件，判断并证明四边形的形状
【答案】(1)见解析
(2)选①时，四边形是菱形，理由见解析；选②时，四边形是矩形，理由见解析
【分析】本题考查了矩形的判定，菱形的判定，平行四边形的性质等知识，解题的关键是掌握这些特殊四边形的判定与性质；
（1）根据平行四边形和平行线的性质得出，然后根据证明即可；
（2）选①时，先证明平行四边形是矩形，可得出，根据全等三角形的性质得出，然后证明四边形是平行四边形，最后根据菱形的判定即可得证；选②时，根据全等三角形的性质得出，然后证明四边形是平行四边形，结合已知和平行四边形的性质可证得，然后根据矩形的判定即可得证．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又，，
∴；
（2）解：选①时，四边形是菱形；
理由：如图，
∵四边形是平行四边形，，
∴平行四边形是矩形，，
∴，即，
∵，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形；
又，
∴平行四边形是菱形；
选②时，四边形是矩形；
理由：如图，
∵，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
又，
∴，
∴平行四边形是矩形．
8．如图，点，，，在同一条直线上，，，连接，，．
(1)求证：；
(2)当时，求证四边形是矩形．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、平行四边形的判定、矩形的判定，掌握这些性质定理是解题关键．
（1）利用全等三角形的性质得到对应边和对应角相等，进而证明，从而得出；
（2）先根据全等和角的关系证明四边形是平行四边形，再证明有一个角是直角，进而判定为矩形．
【详解】（1）证明：，
，，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，，
，
四边形是矩形
9．综合与实践
在数学活动课上，老师带领同学们以“构造特殊四边形”为主题展开探究活动．
动手操作：
如图1是老师给大家提供的参考图，已知矩形，将矩形 沿某一条直线分割成两部分，重新再拼成一个新的特殊四边形，小明同学按照以下操作得到了新四边形：
①在 上取一点 E，连接，使得；
②沿直线把矩形分割成两部分，将沿平移得到；
连接后，小明发现．
解决问题：
(1)请根据上述操作中得到的条件，帮助小明证明这个结论；
(2)如图2，已知平行四边形，将沿某一条直线分割成两部分，重新再拼成一个新的特殊四边形，还能拼成什么特殊四边形？请画出其中一种裁法并证明．
【答案】(1)证明见解析
(2)还能拼成矩形，所画裁法与证明见解析
【分析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、平移的性质及特殊四边形（矩形）的拼接与证明，解题的关键是利用图形分割与平移的性质，结合特殊四边形的判定定理（如一组邻边相等的平行四边形是菱形、有一个角是直角的平行四边形是矩形）进行推理．
（1）先由矩形性质与平移性质证四边形是平行四边形，再结合证其为菱形，最后利用菱形“对角线互相垂直”证；
（2）选择将平行四边形拼为矩形，裁法：过A作于H，沿分割平行四边形为和四边形，将沿方向平移至（使与重合），再证拼接后的四边形是矩形．
【详解】（1）证明：∵ 四边形是矩形，
∴ ，，．
∵ 将沿平移得到，
∴ ，，．
∴ 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
又∵ 已知，
∴ 平行四边形是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）．
∵ 菱形的对角线互相垂直，
∴ ．
（2）解：可拼成矩形，裁法与证明如下：
裁法：如图2，在平行四边形中，过点作于点，沿直线将平行四边形分割成和四边形；将沿方向平移，使点与点重合，点与点重合，得到，则四边形即为拼成的矩形．
证明：∵ 四边形是平行四边形，
∴ ，，．
∵ 将平移后与重合，与重合，
∴ ，（平移性质：对应线段平行且相等），且（平移后对应角相等）．
∵ ，，
∴ ，即．
∵ ，，
∴ ，即．
∴ 四边形中，，
∴ 四边形是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）．
10．如图，四边形中，与互相垂直平分，于点E，延长到点F，使，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若，，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题考查菱形的性质，矩形的判定，勾股定理，斜边上的中线等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活应用，是解题的关键．
（1）先证明四边形是菱形，再证明四边形是平行四边形，根据，得到，即可得证；
（2）勾股定理求出的长，再利用勾股定理求出的长，斜边上的中线求出的长即可．
【详解】（1）证明：∵与互相垂直平分，
∴四边形是菱形，
，
，
，即，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是菱形，，
，
，
，
在中，，
在中，，
∵四边形是菱形，
，
又，
．
1．综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“平行四边形的折叠”为主题开展数学活动．
问题情境：
已知中∠A为锐角，，点E、F分别是、边的中点，点G、H分别是、边上的点．分别沿和折叠，点A、C的对应点分别为点、．
(1)操作判断：如图（1），折叠后点与点B重合，点与点D重合．
①四边形________平行四边形（填“是”或“不是”）．
②当满足某个条件时，四边形能成为矩形．这个条件可以是________．
(2)迁移探究：如图（2），若点，落在内部（含边界），连接，，若，则四边形是平行四边形吗？若是，请就图（2）进行证明；若不是，请说明理由．
(3)拓展应用：在（2）的条件下，若，，且，则此时四边形的面积为________．
【答案】(1)①是；②∠A=45°（答案不唯一）
(2)四边形是平行四边形，证明见解析
(3)
【分析】（1）①是；由折叠知，,，可证，可证，从而，命题得证；②∠A=45°（答案不唯一）；若，可证，得证四边形是矩形．
（2）四边形是平行四边形．如图，连接GH．求证，得．结合折叠证得，，从而，于是，结论得证．
（3）如图，，则点落在上，，可证为等边三角形，于是，中，根据勾股定理，，于是．
【详解】（1）解：①是；
由折叠知，,
∵中,
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴四边形是平行四边形．
②∠A=45°（答案不唯一）
若，则
而四边形是平行四边形
∴四边形是矩形．
（2）证明：四边形是平行四边形．
如图，连接GH．
∵四边形是平行四边形，
∴，，．
∵点E、F分别是、的中点，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
由折叠可知，，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（3）解：如图，，则点落在上，，
由折叠知，．
∴为等边三角形，
∴．
在中，根据勾股定理，．
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理；运用全等三角形判定线段相等、角相等是解题的关键．
2．综合与实践：数学活动课上，某数学兴趣小组对图形的翻折进行了如下探究．
问题背景：已知等腰直角三角形，．
（1）如图1，若直线l经过的中点O，将边关于直线l翻折，点，分别为A，B的对应点．连接，判断四边形的形状，并说明理由；
问题迁移：
（2）如图2，，直线l与交于点H，点A关于直线l的对称点恰好落在上，若恰好平分，求的长；
问题拓展：
（3）如图3，，且，若直线l经过点C，将边关于直线l翻折，当A，B的对应点，与点D在同一条直线上时，求的度数．
【答案】（1）四边形是矩形，见解析；（2）；（3）的度数为或．
【分析】（1）由折叠的性质得，，又，则，根据对角相互平分且相等的四边形是矩形，即可判断；
（2）设，由折叠的性质得，，推出，求得，∴，得到，，根据，列式计算即可求解；
（3）分两种情况讨论，当共线时，连接，，作于点，证得也是等腰直角三角形，求得，，得到，利用余弦函数的定义求得，据此求解即可；当共线时，同理求解即可．
【详解】解：（1）四边形是矩形，理由如下；
由折叠的性质得，，
∵直线l经过的中点O，
∴，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）设，
由折叠的性质得，，
∵恰好平分，
∴，
∴，
∴，
∵等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴；
（3）当共线时，连接，，作于点，如图，
由折叠的性质得，即也是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
当共线时，连接，，作于点，如图，
同理，，，
∴，
综上，的度数为或．
【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰直角三角形的性质，解直角三角形，二次根式的混合运算．正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
3．综合与实践
《数学》八年级上册的数学活动中，让用全等三角形研究“筝形”
定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”（如图1）
(1)［性质探究］根据“筝形”的定义，学生们通过探究，得出下列命题：
①“筝形”有一组对角相等
②“筝形”的对角线互相垂直平分
③“筝形”的每一条对角线平分每一组对角
④“筝形”的面积等于两条对角线长的乘积的一半
其中，____________是真命题（填序号）；
(2)［综合应用］如图1，筝形中，，，若，求筝形的面积的最大值；
(3)［拓展实践］如图2是一块矩形铁片，其中厘米，厘米，张华想从这块铁片中裁出一个筝形，要求点是边的中点，点分别在上（含端点），是否存在一种裁剪方案，使得筝形的面积最大？若存在，求出筝形的面积最大值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)①④
(2)12.5
(3)存在，3000
【分析】（1）由题意证明，然后得到垂直平分，然后逐项求解判断即可；
（2）由得到，，根据，求出面积的最值即可；
（3）由题意可知，分两种情况讨论：①当为中点时，如图2，筝形中，，，，则厘米，厘米，由（2）可知，根据，求出筝形的面积；②当与重合时，如图3，筝形中，，，，在中，由勾股定理得，求出的值，设，则，在中，由勾股定理得，即，求出的值，设，则，根据，可得，求出的值，如图3，作于，则，在中，由勾股定理得，求出的值，根据，求出筝形的面积；然后比较①②的大小，进而可得结论．
【详解】（1）解：如图所示，设，交于点O，
在和中，
∵，
∴，
∴，故①正确，是真命题；
∵，
∴垂直平分，但不一定垂直平分，故②错误，是假命题；
∴，，
∴平分和，但不一定平分和，故③错误，是假命题；
∵
∴“筝形”的面积，故④正确，是真命题；
综上所述，①④是真命题；
（2）解：∵
∴，
∵，
∴，
∴
，
∵，
∴时，面积最大，值为；
（3）解：由题意可知，分两种情况讨论：
①当为中点时，如图2，筝形中，，，，
∴厘米，厘米，
由（1）可知，平方厘米；
②当与重合时，如图3，筝形中，，，，
在中，由勾股定理得，
设，则，
在中，由勾股定理得，即，
解得，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得，
如图3，作于，则，
在中，由勾股定理得，
∴平方厘米；
∵，
∴存在一种裁剪方案，使得筝形的面积最大，面积为3000平方厘米．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，二次函数的最值等知识．解题的关键在于明确筝形面积与对角线乘积的关系．
4．综合与实践：
在综合与实践课上，刘老师引导学生探究矩形的折叠．
矩形纸片中，点为射线上一点，小明沿折叠得到，点的对应点为，分别延长，交直线于点，N．
【问题提出】
（1）如图1，若点与点重合，请判断与的数量关系为______；
【再次探究】
（2）如图2，当点与点不重合时，（）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
【拓展延伸】
（3）若，，当时，直接写出的长．
【答案】（1）；（2）成立，证明见解析；（3）或．
【分析】本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理，相似三角形的性质与判定；
（1）根据矩形的性质可得，根据平行线的性质可得，由折叠可知：， 等量代换，即可得证；
（2）同（1）的方法证明即可；
（3）分两种情况讨论：①当点在线段上时，证明得出，，进而证明点与点重合；即可得出；②当点在的延长线上时，由可得：， 得出，设，则，在中，勾股定理求得，进而即可求解．
【详解】（1）∵四边形是矩形，
∴
∴
由折叠可知：，
∴
故答案为：．
（2）证明：四边形为矩形，
∴，
∴，
由折叠可知：，
∴；
（3）当时，线段的长为或．
①当点在线段上时，如图1，
由可得：，
∴，
∴，，
∴，
∵ 折叠可得，又在上，则
∴点与点重合，
∴；
②当点在的延长线上时，如图2，
由可得：，
∴，即，
则，
∵，
∴，
设，则，
在中，，即，
解得：，
∴．
综上所述：当时，线段的长为或．
1．如图，点，在矩形内，．若，，，则的长为 ．
【答案】
【分析】延长，交于点，利用勾股定理求得，计算和，借助矩形内角为直角、全等三角形的角相等，证得，，利用和得出、长，进而得、，利用勾股定理即可求的长．
【详解】解：如图，延长，交于点，
在中，，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，，
∵，
∴，，，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的性质、勾股定理、三角函数的应用，利用全等三角形转移角的关系，结合矩形内角为直角推导直角三角形是解题的关键．
2．如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C均在格点上．
（1）只用无刻度的直尺在上找一点D，使得最短（保留作图痕迹） ．
（2）在（1）的基础上，在边上找一点M，使得最小，最小值为 ．
【答案】 见解析
【分析】本题考查了勾股定理与网格，矩形的性质，等腰三角形的性质，轴对称求最短距离等，掌握相关知识点是解题关键．
（1）由勾股定理可得，根据矩形的对角线互相平分找出的中点，再根据等腰三角形三线合一的性质，得到，由垂线段最短可知此时最短；
（2）作点关于的对称点，连接，由轴对称的性质可得当、、三点共线时，最小，最小值为的长，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）如图，点即为所求作，
故答案为：
（2）如图，作点关于的对称点，连接，
由轴对称的性质可知，，
，
当、、三点共线时，最小，最小值为的长，
过点作，由方格和为的中点知，，，
，
故答案为：．
3．已知矩形，，，是边的中点，是边上的动点，线段分别与，相交于点，．若，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，平行四边形的判定和性质；过点A作交于点G，过点A作交的延长线于点K，过点G作于点H，即可得到为平行四边形，进而得到，然后根据正切的定义得到，，利用勾股定理求出，然后根据求出的长解答即可．
【详解】解：过点A作交于点G，过点A作交的延长线于点K，过点G作于点H，
则，，
∵是矩形，
∴，，，，
∴为平行四边形，
∴，
∵点P是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
4．在四边形中，对角线、相交于点O，，．
(1)若是等腰三角形，则_______；
(2)已知，．
①若，判断四边形是怎样的特殊四边形，并说明理由；
②如图，在中，，求的长．
【答案】(1)
(2)①四边形是矩形，理由见解析；②
【分析】（1）由是等腰三角形，，，分别讨论：当时和当时，利用三角形的三边关系判断是否成立即可；
（2）①利用，，得出四边形是平行四边形，再利用，即可判定四边形是矩形；②过点作于点，利用，得出是直角三角形，且，证明，得出，，利用勾股定理求出，得出，再利用勾股定理求出，得出，即可求解．
【详解】（1）解：∵是等腰三角形，，，
∴当时，此时满足三角形三边关系，符合题意；
当时，，此时不满足三角形三边关系，不符合题意；
综上，，
故答案为：；
（2）解：①四边形是矩形，理由如下：
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形；
②过点作于点，
∵，
∴是直角三角形，且，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴在中，，
∴，
∴在中，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，三角形的三边关系，等腰三角形的定义，矩形的判定，二次根式的运算等，熟练掌握相关性质和判定是解题的关键．
5．如图，在中，点O，D分别是边，的中点，过点A作交的延长线于点E，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，试判断四边形的形状，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)当时，四边形是矩形，理由见解析
【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质；
（1）先证明，可得，结合可得结论；
（2）由，点是边上的中点，可得即，结合由（1）得四边形是平行四边形，从而可得结论.
【详解】（1）证明：∵点为的中点
∴，
∵
∴，，
在和中
∴，
∴
∵
∴四边形是平行四边形；
（2）证明：当时，四边形是矩形，
理由如下：
∵ ，点是边上的中点，
∴ 即，
∵ 由（1）得四边形是平行四边形，
∴ 四边形是矩形.
6．某数学兴趣小组活动，准备将一张三角形纸片（如图）进行如下操作，并进行猜想和证明．
(1)用三角板分别取的中点，连接，画于点；
(2)用（1）中所画的三块图形经过旋转或平移拼出一个四边形（无缝隙无重叠），并用三角板画出示意图；
(3)请判断（2）中所拼的四边形的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)答案不唯一，见解析
【分析】（1）根据题意画出图形即可；
（2）方法一：将绕点D逆时针旋转到，将绕E点顺时针旋转到即可得出四边形；
方法二：将绕E点顺时针旋转到，将绕点D逆时针旋转后再沿向右平移到，即可得出四边形；
方法三：将绕点D逆时针旋转到，将绕E点顺时针旋转后沿向左平移到，即可得出四边形；
（3）方法一：先证明点在同一直线上，根据为的中位线，得出且．证明且，得出四边形为平行四边形，根据，得出平行四边形为矩形．
方法二：证明点在同一直线上，根据为的中位线，得出且，证明，得出且，证明四边形为平行四边形．
方法三：证明点在同一直线上，根据为的中位线，得出且，证明且，得出四边形为平行四边形．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：方法一：四边形为所求作的四边形
方法二：四边形是所求的四边形．
方法三：四边形是所求的四边形．
（3）解：方法一（图1），
∵，
∴点在同一直线上，
∵点分别是的中点，
∴为的中位线，
∴且．
∵，
∴且，
∴四边形为平行四边形．
∵，，
∴平行四边形为矩形．
方法二（图2），
∵，
∴点在同一直线上．
∵点分别是的中点，
∴为的中位线，
∴且．
∵，
∴且，
∴四边形为平行四边形．
方法三（图3），
∵，
∴点在同一直线上．
∵点分别是的中点，
∴为的中位线，
∴且．
∵，
∴且，
∴四边形为平行四边形．
【点睛】本题主要考查了旋转作图或平移作图，平行四边形的判定，矩形的判定，解题的关键熟练掌握旋转的性质和平移的性质．
7．如图,在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EFBC分别交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E，F．
(1)若CE=8，CF=6，求OC的长．
(2)连接AE，AF．问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
【答案】（1）5；（2）四边形AECF是矩形，理由详见解析．
【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，证出OE=OC=OF，∠ECF=90°，由勾股定理求出EF，即可得出答案；
（2）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．
【详解】解：（1）证明：∵EF交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F
∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠DCF，
∵MNBC，
∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠DCF
∴∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，
∴OE=OC，OF=OC，
∴OE=OF；
∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF=180°，
∴∠ECF=90°，在Rt△CEF中，由勾股定理得：EF=，
∴OC=OE=EF=5；
（2）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：
连接AE、AF，如图所示：
当O为AC的中点时，AO=CO，
∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
【点睛】本题考查矩形的判定、平行线的性质以及等腰三角形的判定与性质，属于探究型问题，综合性较强．
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