2026年中考数学第一轮复习分层练专题四 正方形（含解析）
文档属性
| 名称 | 2026年中考数学第一轮复习分层练专题四 正方形（含解析） |
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| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 19.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-26 00:00:00 | ||
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文档简介
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2026年中考数学第一轮复习分层练（山西卷）
第五章 四边形
专题四 正方形
命题点1 正方形判定
1．（2023·山西·中考真题）问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中．将和按图2所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点）．当时，延长交于点．试判断四边形的形状，并说明理由．
(1)数学思考：谈你解答老师提出的问题；
(2)深入探究：老师将图2中的绕点逆时针方向旋转，使点落在内部，并让同学们提出新的问题．
①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点作交的延长线于点与交于点．试猜想线段和的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；
②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点作于点，若，求的长．请你思考此问题，直接写出结果．
2．（2025·山西临汾·二模）如图，四边形是矩形，是延长线上的一点，连接，，且．求证：四边形是正方形．
3．（2024·山西·模拟预测）综合与实践
问题情境：课堂上，同学们探究直角三角形纸片旋转中的数学问题．如图，是一张直角三角形纸片，其中，，．点D，E分别是边和的中点．连接．一张透明纸片上印有，且．将透明纸片上的的顶点H与点D重合（记为点D），并将其绕点D逆时针旋转，的延长线交直线于点N，交边于点M．老师提出如下问题：如图1，当点N是的中点时，判断四边形的形状并说明理由；
数学思考：（1）请你解答老师提出的问题；
深入探究：（2）老师将图1中的绕点D逆时针方向旋转；
①如图2，当点F与点A重合时，求的长；
②如图3，当于点P时，请直接写出线段的长．
4．（2025·山西临汾·三模）综合与实践
【问题情境】
数学活动小组在进行矩形纸片折纸活动．
如图1，在矩形纸片中，E是边上的动点，G是边上的动点，将沿折叠，点D恰好落到边上的点F处，展平，连接，再将沿折叠，使点B与点E重合，展平，连接．
【猜想证明】
（1）直接判断四边形的形状．
（2）求证：．
【深入探究】
（3）如图2，M，N分别是边，上的点，若将矩形纸片沿第三次折叠，使得点C与点G重合，然后展平，连接，．
①判断与的位置关系，并证明；
②直接写出的值．
5．（2025·山西朔州·三模）综合与实践
问题情境：数学课上，老师让同学们以“直角三角形的旋转”为主题展开探究活动，已知在中，，，．将绕点旋转一定角度得到，延长交于点．
初步探究：（1）如图1，勤思小组发现，当时，四边形是正方形，请你证明这一结论．
深入思考：（2）如图2，笃学小组发现，当点正好落在斜边上时，可以求出四边形的面积，你能解决这一问题吗？
拓展延伸：（3）善思小组继续探究，当和在同一条直线上时，连接．请你在图3中画出图形，并直接写出的长．
6．（2025·山西吕梁·二模）综合与探究
如图，在中，，，D是的中点，P是射线上一动点（点D除外），将线段绕点P顺时针旋转得到，连接．
操作发现：
（1）如图，当点P与点A重合时，四边形的形状是 ；
（2）如图，当点P在线段上时（点A，D除外），试猜想的度数，并证明你的猜想；
拓展延伸：
（3）当，时，请直接写出的长．
7．（2025·山西太原·二模）如图1，是一张矩形纸片，沿过点A的直线折叠该纸片，使点B的对应点落在边上的点F处，展开后折痕交边于点E，连接．
(1)判断四边形的形状，并证明你的结论；
(2)在图1中，作的平分线交于点G，得到图2．若，则线段的长为_____．
8．（2024·山西晋中·三模）综合与实践
综合与实践课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
(1)如图，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为，则四边形的形状为________；
(2)如图，在矩形纸片中，，，用图的方法折叠纸片，折痕为，在线段上取一点（不与点重合），沿折叠，点的对应点为点，延长交边于点．
与之间有什么数量关系？请说明理由．
当射线经过的直角边的中点时，请直接写出的长．
9．（2024山西吕梁模拟）阅读与思考
阅读下列材料完成后面任务．
仅利用折纸将线段三等分
我们已经学过线段的中点、三等分点、四等分点等概念，并且可以利用三角函数等方法求出线段的三等分点，下面介绍一种新的方法可以利用其将线段三等分—折纸法．
具体步骤如下．
第一步：如图1，准备一张长为，宽为的矩形纸片．
第二步：如图2，将矩形纸片折叠，使得点B的对应点F落在边上，展开后得到折痕．
第三步：如图3，再将该矩形纸片沿过点C的直线折叠，使得点D的对应点H落在上，展开后得到折痕．
第四步：如图4，再将矩形纸片折叠，使得点G落在边上的点M处，展开后得到折痕，则M为的三等分点，即．
下面是该结论的部分证明过程：
证明：由折叠的性质，得．，根据勾股定理，可得．
设，，…
任务：
(1)请再仔细阅读上面的操作步骤，完成材料中剩余的证明过程．
(2)在解决问题的过程中，我们通过计算的长，从而得到结论，这里运用的数学思想方法是 .（填序号即可）
①函数思想；②公理化思想；③数形结合思想；④分类讨论思想．
(3)如图5，在图4的基础上，将矩形纸片沿着折痕折叠后，点C恰好落在上的点Q处，连接，判断四边形的形状，并加以证明．
命题点2 正方形的性质
1．（2024·山西·中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且，连接EF交边AD于点G．过点A作，垂足为点M，交边CD于点N．若，，则线段AN的长为_________
2．（2025·山西·一模）如图，正方形中，，点E在边上，，F是的中点，点G在边上，，则的长为______．
3．（2025·山西长治·二模）如图，正方形的边长为4，为上一点，连接，过点作的垂线，与交于点为的中点，连接，若，则_____．
4．（2025·山西临汾·三模）如图，已知正方形的边长为6，E是正方形的边上的一点，沿将折叠，点A落在点F处，连接，，若，则的长为________．
5．（2025山西吕梁模拟）如图，正方形的边长为5，O是边的中点，点E是正方形内一动点，，将线段绕C点逆时针旋转得，连，线段的最小值为______．
6．（2025·山西大同·三模）如图，在边长为6的正方形中，对角线相交于点O，点E在上，且，点F是边的中点，连接交于点G，则线段的长为________．
7．（2025·山西·模拟预测）如图，在正方形中，为对角线延长线上一点，连接．
(1)实践操作：利用尺规在线段下方作，射线与的延长线交于点．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)猜想与证明：试猜想线段，的位置关系，并加以证明．
8．（2025·山西长治·三模）问题背景
如图1，四边形是一个正方形花园，，分别是它的两个门，且，要修建两条路和，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？
问题探究
(1)如图2，在正方形中，若，试证明．
知识迁移
(2)如图3，在矩形中，点，，，分别在线段，，，上，且．若，，求的值．（用含，的代数式表示）
知识运用
(3)如图4，，是两个直角三角形，，，，交于点，经过的中点，交于点，，且，请直接写出的值．
9．（2025·山西运城·模拟预测）综合与探究
问题情境：数学活动课上，老师提出如下问题：如图，已知正方形，点是边上一点（不与点，重合），连接，过点作交的延长线于点，延长交的延长线于点．试猜想与的数量关系，并说明理由．
独立思考：（1）请解答老师提出的问题．
实践探究：（2）希望小组受此启发，如图，连接，过点作交的延长线于点，请判断与的数量关系，并说明理由．
拓展延伸：（3）点是射线上一点（不与点，重合），连接，过点作交所在直线于点，连接，过点作，交所在直线于点．若，，请直接写出线段的长．
1．（2025·北京·中考真题）如图，在正方形中，点E在边上，，垂足为F．若，，则的面积为_______．
2．（2025·四川乐山·中考真题）如图，在中，对角线与相交于点．小乐同学欲添加两个条件使得四边形是正方形，现有三个条件可供选择：①；②；③．则正确的组合是______（只需填一种组合即可）．
3．（2025·陕西·中考真题）如图，在正方形中，点，分别在边，上，且．求证：．
4．（2025·青海西宁·中考真题）如图，点E是正方形的边的中点，连接，将沿所在直线折叠，点C落在点F处，连接并延长交于点G，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
5．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，为正方形的对角线．
(1)尺规作图：作的垂直平分线交于点，在上确定点，使得点到的两边距离相等；（不写作法，保留痕迹）
(2)在（1）的条件下，求的度数．（请直接写出的度数）
6．（2024·内蒙古·中考真题）如图，，平分，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)过点B作于点G，若，请直接写出四边形的形状．
7．（2025·湖北十堰·中考真题）如图，的对角线交于点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接．
(1)试判断四边形的形状，并说明理由；
(2)请说明当的对角线满足什么条件时，四边形是正方形？
8．（2025·湖南邵阳·中考真题）如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，在对角线上，且，．
求证：四边形是正方形．
9．（2025·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，是的角平分线，，，垂足分别是E、F，连接，与相交千点H．
（1）求证：；
（2）满足什么条件时，四边形是正方形？说明理由．
10．（2025·广西玉林·中考真题）如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）若H是AB上的一点（H与A，B不重合），连接DH，将线段DH绕点H顺时针旋转90度，得到线段HE，过点E分别作BC及AB的延长线的垂线，垂足分别是F，G，设四边形BGEF的面积为，以HB，BC为邻边的矩形面积为，且，当时，求AH的长；
1．（2025·河南·中考真题）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
(1)操作判断
操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．
根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：______．
(2)迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．
①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；
②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．
(3)拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长．
2．（2025·甘肃兰州·中考真题）【提出问题】数学讨论课上，小明绘制图1所示的图形，正方形与正方形（），点E，G分别在上，根据图形提出问题：如图2，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，探究线段，，之间的数量关系．
【解决问题】（1）小明将上述问题特殊化，如图3，当点G，H重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由；
（2）小明借鉴（1）中特殊化的解题策略后，再解决图2所示的一般化问题，当点G，H不重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由；
【拓展问题】（3）小明将图2所示问题中的旋转角的范围再扩大，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，请直接写出，，之间的数量关系．
3．（2024山西·中考真题）综合与实践
问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1，在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AB延长线上一点，且BE=AB，连接DE，交BC于点M，以DE为一边在DE的左下方作正方形DEFG，连接AM．试判断线段AM与DE的位置关系．
探究展示：勤奋小组发现，AM垂直平分DE，并展示了如下的证明方法：
证明：∵BE=AB，∴AE=2AB．
∵AD=2AB，∴AD=AE．
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC．
∴．（依据1）
∵BE=AB，∴．∴EM=DM．
即AM是△ADE的DE边上的中线，
又∵AD=AE，∴AM⊥DE．（依据2）
∴AM垂直平分DE．
反思交流：
（1）①上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？
②试判断图1中的点A是否在线段GF的垂直平分线上，请直接回答，不必证明；
（2）创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2，连接CE，以CE为一边在CE的左下方作正方形CEFG，发现点G在线段BC的垂直平分线上，请你给出证明；
探索发现：
（3）如图3，连接CE，以CE为一边在CE的右上方作正方形CEFG，可以发现点C，点B都在线段AE的垂直平分线上，除此之外，请观察矩形ABCD和正方形CEFG的顶点与边，你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上，请写出一个你发现的结论，并加以证明．
1．如图，四边形是正方形，E为上一点，将绕点A顺时针旋转至，连接，于点H，交于点G．若，，则的长为________．
2．如图．在边长为6的正方形中，点，分别在，上，且，，垂足为，是对角线的中点，连接、则的长为________．
3．如图1，正方形的边长为2．E、F分别为边、上的动点，的周长为4，是延长线上的一点，且．
(1)求证：；
(2)试问的大小是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由；
(3)如图2，若为边的中点，过点作，垂足为．求的最小值．
4．如图，点E是正方形的边的中点，连接，将沿所在直线折叠，点C落在点F处，连接并延长交于点G，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
5．图形的平移、旋转和对称是我们从图形变换的视角研究图形的重要方法．为了深入理解旋转的本质，王老师和同学们在数学实践课上以正方形为背景进行如下探究．
【知识技能】
（1）如图1，在正方形中，、分别是边、上的点，连接、、、且．将绕点按逆时针方向旋转至，则点在的延长线上．
①证明，并判断是否成立；
②若，，请计算正方形的周长．
【教学理解】
（2）如图2，在正方形中，、分别是边、上的点，．连接、，、分别是线段、上的点，连接、、，且（点、、、均不与端点重合）．请猜想线段、、的数量关系，并说明理由．
【拓展研究】
（3）如图3，是正方形的对角线，、分别为线段、上的点，且．将绕点按顺时针方向旋转（旋转角小于）至．连接，取线段的中点，连接、，求的值．
6．宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．现有一张黄金矩形纸片，长．如图1，折叠纸片，点B落在上的点E处，折痕为，连接，然后将纸片展开．
(1)求的长；
(2)求证：四边形是黄金矩形；
(3)如图2，点G为的中点，连接，折叠纸片，点B落在上的点H处，折痕为，过点P作于点Q．四边形是否为黄金矩形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由．
7．如图，矩形中，．
(1)求作正方形，使得点E，G分别落在边上，点F，H落在上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)若，求（1）中所作的正方形的边长．
8．如图1，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，∠C=90°，M，N分别是边AC，BC上的点，以CM，CN为邻边作矩形PMCN，交AB于E，F．设CM=a，CN=b，若ab=8．
(1)判断由线段AE，EF，BF组成的三角形的形状，并说明理由；
(2)①当a=b时，求∠ECF的度数；
②当a≠b时，①中的结论是否成立？并说明理由．
2026年中考数学第一轮复习分层练（山西卷）
第五章 四边形
专题四 正方形（解析版）
命题点1 正方形判定
1．（2023·山西·中考真题）问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中．将和按图2所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点）．当时，延长交于点．试判断四边形的形状，并说明理由．
(1)数学思考：谈你解答老师提出的问题；
(2)深入探究：老师将图2中的绕点逆时针方向旋转，使点落在内部，并让同学们提出新的问题．
①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点作交的延长线于点与交于点．试猜想线段和的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；
②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点作于点，若，求的长．请你思考此问题，直接写出结果．
【答案】(1)正方形，见解析
(2)①，见解析；②
【分析】（1）先证明四边形是矩形，再由可得，从而得四边形是正方形；
（2）①由已知可得，再由等积方法，再结合已知即可证明结论；②设的交点为M，过M作于G，则易得，点G是的中点；利用三角函数知识可求得的长，进而求得的长，利用相似三角形的性质即可求得结果．
【详解】（1）解：四边形为正方形．理由如下：
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴四边形为矩形．
∵，
∴．
∴矩形为正方形．
（2）：①．
证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，即，
∴．
∵，
∴．
由（1）得，
∴．
②解：如图：设的交点为M，过M作于G，
∵，
∴，，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴点G是的中点；
由勾股定理得，
∴；
∵，
∴，即；
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴，即的长为．
【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识点，适当添加的辅助线、构造相似三角形是解题的关键．
2．（2025·山西临汾·二模）如图，四边形是矩形，是延长线上的一点，连接，，且．求证：四边形是正方形．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了矩形和正方形，熟练掌握矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，正方形的判定是解题的关键，
连接交于点，由矩形对角线性质和等腰三角形性质得，得， 即得矩形是正方形．
【详解】证明：如图，连接交于点．
四边形是矩形，
．
，
．
．
四边形是正方形．
3．（2024·山西·模拟预测）综合与实践
问题情境：课堂上，同学们探究直角三角形纸片旋转中的数学问题．如图，是一张直角三角形纸片，其中，，．点D，E分别是边和的中点．连接．一张透明纸片上印有，且．将透明纸片上的的顶点H与点D重合（记为点D），并将其绕点D逆时针旋转，的延长线交直线于点N，交边于点M．老师提出如下问题：如图1，当点N是的中点时，判断四边形的形状并说明理由；
数学思考：（1）请你解答老师提出的问题；
深入探究：（2）老师将图1中的绕点D逆时针方向旋转；
①如图2，当点F与点A重合时，求的长；
②如图3，当于点P时，请直接写出线段的长．
【答案】（1）四边形是正方形，理由见解析；（2）①；②
【分析】（1）根据题意易证都是的中位线，进而推出，再根据，易证，推出，结合旋转的性质得到，证明四边形是正方形；
（2）①由（1）知，是的中位线，求出，由旋转的性质得，，，再根据直角三角形的性质证明，推出，进而得到，设，求出，在中，由，建立方程求解即可；②根据题意当于点P时，易证四边形是矩形，得到，进而求出，由旋转的性质可得，推出，设交点为，利用直角三角形的性质推出，进而得到，利用正切的定义得到，求出，由即可求解．
【详解】解：（1）四边形是正方形，理由如下：
∵点N是的中点，点D，E分别是边和的中点，点D与点H重合，
∴都是的中位线，
∴，
∵，
∴，，
∴，
由旋转的性质，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形；
∵，
∴四边形是正方形；
（2）①由（1）知，是的中位线，
∴，
由旋转的性质得，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点D是的中点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴；
②∵，
∴，
∵
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
设交点为，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查旋转的性质、矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、三角形中位线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理，解题的关键是熟练掌握矩形、正方形的判定与性质．
4．（2025·山西临汾·三模）综合与实践
【问题情境】
数学活动小组在进行矩形纸片折纸活动．
如图1，在矩形纸片中，E是边上的动点，G是边上的动点，将沿折叠，点D恰好落到边上的点F处，展平，连接，再将沿折叠，使点B与点E重合，展平，连接．
【猜想证明】
（1）直接判断四边形的形状．
（2）求证：．
【深入探究】
（3）如图2，M，N分别是边，上的点，若将矩形纸片沿第三次折叠，使得点C与点G重合，然后展平，连接，．
①判断与的位置关系，并证明；
②直接写出的值．
【答案】（1）四边形是正方形；（2）见解析；（3）①．见解析；②．
【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质，勾股定理、正方形的性质及判定以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握折叠的性质，利用矩形和折叠的性质进行推理和证明。
（1）由折叠可知，，可知是等腰直角三角形，得到，故四条边相等，即四边形是菱形，再由可得四边形是正方形；
（2）由折叠可得，由四边形是正方形可得，由平角定义可知，由已知可知，所以是等腰直角三角形，从而得到；
（3）①设，根据折叠可得，分别求与的关系，再根据勾股定理分别求，而，代入可知，即，再根据证明，得到，根据可得，从而得证；
（2）设，用的式子表示，连接，设，在中根据勾股定理得到方程解（含的代数式），在计算即可．
【详解】（1）∵四边形是矩形，
，
由折叠可知，，
∴是等腰直角三角形，
，
，
∴四边形是菱形，
又
∴四边形是正方形；
（2）由（1）可知四边形是正方形，
，
由折叠可知，，
，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
；
（3）①设，
∵四边形是正方形，
∴是等腰直角三角形，，
，
由折叠可知，
，
，
，
，
在中，，
在中，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
∴；
②设，
由①可知，
∵四边形是正方形，
∴是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
连接，设，则，
由折叠可知，
，
，
在中，，
，
，
．
5．（2025·山西朔州·三模）综合与实践
问题情境：数学课上，老师让同学们以“直角三角形的旋转”为主题展开探究活动，已知在中，，，．将绕点旋转一定角度得到，延长交于点．
初步探究：（1）如图1，勤思小组发现，当时，四边形是正方形，请你证明这一结论．
深入思考：（2）如图2，笃学小组发现，当点正好落在斜边上时，可以求出四边形的面积，你能解决这一问题吗？
拓展延伸：（3）善思小组继续探究，当和在同一条直线上时，连接．请你在图3中画出图形，并直接写出的长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）画图见解析，或
【分析】（1）由旋转得，．根据，得出，证出四边形是矩形．结合，即可证明矩形是正方形．
（2）在 中，，根据勾股定理求出，得出，由旋转得，，得，在 中，，求出，求出，，再根据即可求解．
（3）如图，情况一：如图，点A在中间时，过点D作，根据，求出，根据，求出，根据图象求出，再根据勾股定理即可求解；情况二：如图，点C在中间时，同理得出，再根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）由旋转得，．
，
，
，
∴四边形是矩形．
又，
∴矩形是正方形．
（2）在 中，，
，，
由旋转得，，
，
在 中，，
，
，
，
．
（3）如图，情况一：如图，点A在中间时，
过点D作，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
情况二：如图，点C在中间时，
同理，
∴．
综上，或．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，旋转的性质，矩形的性质和判定，正方形的判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
6．（2025·山西吕梁·二模）综合与探究
如图，在中，，，D是的中点，P是射线上一动点（点D除外），将线段绕点P顺时针旋转得到，连接．
操作发现：
（1）如图，当点P与点A重合时，四边形的形状是 ；
（2）如图，当点P在线段上时（点A，D除外），试猜想的度数，并证明你的猜想；
拓展延伸：
（3）当，时，请直接写出的长．
【答案】（1）正方形；（2）的度数为，证明见解析；（3）的长为或
【分析】本题主要考查正方形的判定；全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作出图形是解答本题的关键．
（1）先证明四边形是菱形，再根据有一个角是直角的菱形是正方形可得结论；
（2）连接，由等腰直角三角形的性质得，，过点作，可证明，根据证明，得，，故可得结论；
（3）分点在上和在的延长线上两种情况讨论，方法同（2）．
【详解】解：（1）在中，，，
∴，
由旋转得，，
又，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
又，
∴菱形是正方形，即四边形是正方形；
故答案为：正方形；
（2）
连接，如图，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
过点作，则，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
（3）点在上时，如图，
∵，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴
由（2）得，
∴，
当点在的延长线上时如图，
方法同上，可得，
∴，
综上，的长为或．
7．（2025·山西太原·二模）如图1，是一张矩形纸片，沿过点A的直线折叠该纸片，使点B的对应点落在边上的点F处，展开后折痕交边于点E，连接．
(1)判断四边形的形状，并证明你的结论；
(2)在图1中，作的平分线交于点G，得到图2．若，则线段的长为_____．
【答案】(1)四边形是正方形，证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，矩形与折叠问题，勾股定理，角平分线的定义，等角对等边，熟知正方形的性质与判定定理，矩形的性质与折叠的性质是解题的关键．
（1）由矩形的性质可得，由折叠的性质可得，据此可证明四边形是正方形；
（2）由正方形的性质和勾股定理可得，由矩形的性质得到，再由平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，则．
【详解】（1）解：四边形是正方形，证明如下：
∵四边形是矩形，
∴，
由折叠的性质可得，
∴四边形是矩形，
又∵，
∴四边形是正方形；
（2）解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
8．（2024·山西晋中·三模）综合与实践
综合与实践课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
(1)如图，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为，则四边形的形状为________；
(2)如图，在矩形纸片中，，，用图的方法折叠纸片，折痕为，在线段上取一点（不与点重合），沿折叠，点的对应点为点，延长交边于点．
与之间有什么数量关系？请说明理由．
当射线经过的直角边的中点时，请直接写出的长．
【答案】(1)正方形
(2)，理由见解析；或，
【分析】（1）根据矩形的性质得到，由折叠得，即可证得四边形是正方形；
（2）由矩形性质得，由折叠得，，结合，可得．；
（3）由矩形性质得，推出，由折叠可知，，由此推出，即可推出；
【详解】（1）解：正方形
证明： 四边形是矩形，
由折叠性质可得：，
四边形是正方形，
故答案为正方形．
（2）．
理由：四边形是矩形，
，．
．
由折叠，得，
．
∵
．
或．
由题得得四边形和都是边长为的正方形，
有两种情况：
如图，当射线经过的中点时，设中点为，则，连接．
由折叠，得，，，
在与中，，，
，
，
设，则，，
在中，，
即，解得，
的长为．
如图，当射线经过的中点时，则，
，
，
，
由折叠，得，，，，
，，
，
，
，
，
综上，的长为或
【点睛】此题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，正方形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握各判定和性质定理是解题的关键．
9．（2024山西吕梁模拟）阅读与思考
阅读下列材料完成后面任务．
仅利用折纸将线段三等分
我们已经学过线段的中点、三等分点、四等分点等概念，并且可以利用三角函数等方法求出线段的三等分点，下面介绍一种新的方法可以利用其将线段三等分—折纸法．
具体步骤如下．
第一步：如图1，准备一张长为，宽为的矩形纸片．
第二步：如图2，将矩形纸片折叠，使得点B的对应点F落在边上，展开后得到折痕．
第三步：如图3，再将该矩形纸片沿过点C的直线折叠，使得点D的对应点H落在上，展开后得到折痕．
第四步：如图4，再将矩形纸片折叠，使得点G落在边上的点M处，展开后得到折痕，则M为的三等分点，即．
下面是该结论的部分证明过程：
证明：由折叠的性质，得．，根据勾股定理，可得．
设，，…
任务：
(1)请再仔细阅读上面的操作步骤，完成材料中剩余的证明过程．
(2)在解决问题的过程中，我们通过计算的长，从而得到结论，这里运用的数学思想方法是 .（填序号即可）
①函数思想；②公理化思想；③数形结合思想；④分类讨论思想．
(3)如图5，在图4的基础上，将矩形纸片沿着折痕折叠后，点C恰好落在上的点Q处，连接，判断四边形的形状，并加以证明．
【答案】(1)见解析
(2)③
(3)正方形，见解析
【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，正方形的判定，利用数形结合的思想解决问题是关键．
（1）由折叠的性质，可得，，，进而得出，，设，利用勾股定理列方程，求出，即可证明；
（2）根据运用的数学思想方法作答即可；
（3）根据矩形和折叠的性质证明即可．
【详解】（1）证明：由折叠的性质，可得，，．
，，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，
；
（2）解：通过计算的长，从而得到结论，这里运用的数学思想方法是数形结合思想，
故答案为：③；
（3）解：四边形是正方形．证明如下：
四边形是矩形，
，，
由折叠的性质可知，，，
，
四边形为矩形，
又
四边形是正方形．
命题点2 正方形的性质
1．（2024·山西·中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且，连接EF交边AD于点G．过点A作，垂足为点M，交边CD于点N．若，，则线段AN的长为_________
【答案】
【分析】连接AE、AF、EN，首先可证得，AE=AF，可证得垂直平分EF，可得EN=FN，再根据勾股定理即可求得正方形的边长，再根据勾股定理即可求得AN的长．
【详解】解：如图：连接AE、AF、EN，
四边形ABCD是正方形
设AB=BC=CD=AD=a，，
在与中，
，
，
是等腰三角形，
又，
垂直平分EF，
，
又，
，
在中，，
，
解得a=20，
，，
在中，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，证得垂直平分EF是解决本题的关键．
2．（2025·山西·一模）如图，正方形中，，点E在边上，，F是的中点，点G在边上，，则的长为______．
【答案】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握正方形的性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
延长与的延长线交于，过点作于点，先分别求出，证明和相似，利用相似三角形的性质求出，证明和相似，利用相似三角形的性质得到，设，则，然后根据，由此解出即可得出的长．
【详解】解：如图，延长与的延长线交于点，过点作于点，
四边形是正方形，，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
∵，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
设，则，
，
是等腰直角三角形，
，
由勾股定理得：，
，
，点是的中点，
，
，
，
，
，
故答案为：．
3．（2025·山西长治·二模）如图，正方形的边长为4，为上一点，连接，过点作的垂线，与交于点为的中点，连接，若，则_____．
【答案】
【分析】过作，交于点，交于点，作于点，可得，，然后，再求，再证明，求出，最后在中根据勾股定理即可求解.
【详解】解：如图；过作，交于点，交于点，作于点，
∵四边形是正方形，是对角线，
∴，，，
∵在中，，
∴
∵正方形的边长为4
∴，
∴在中，
在中，
∴
∵为的中点，
∴
∴在中，
∴
∴
∵
∴
又∵
∴
∵，正方形的边长为4
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴在中，
故答案为：.
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等，勾股定理，题目综合性强，理清思路，准确作出辅助线是解题的关键．
4．（2025·山西临汾·三模）如图，已知正方形的边长为6，E是正方形的边上的一点，沿将折叠，点A落在点F处，连接，，若，则的长为________．
【答案】4
【分析】本题主要考查了正方形的折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质．延长交于点，连接．设，则．由折叠的性质得，，，可证明，可得，从而得到．再证得，可得，从而得到，进而得到然后在中，由勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：如图，延长交于点，连接．
四边形为正方形，且边长为6，
，．
设，则．
由折叠的性质得，，，
，．
在和中，
，
，
，
．
，
，，
，
，
，
，
在中，，，，
由勾股定理得，
，
解得，
．
故答案为：4．
5．（2025山西吕梁模拟）如图，正方形的边长为5，O是边的中点，点E是正方形内一动点，，将线段绕C点逆时针旋转得，连，线段的最小值为______．
【答案】
【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理得到，从而求得，再根据三角形三边关系即可得到结论．
【详解】解：连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵正方形中，，是边的中点，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴线段的最小值为．
6．（2025·山西大同·三模）如图，在边长为6的正方形中，对角线相交于点O，点E在上，且，点F是边的中点，连接交于点G，则线段的长为________．
【答案】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，过点F作于H，由勾股定理得，解直角三角形得到，证明，得到，则，再证明，，则，证明，得到，则．
【详解】解：如图所示，过点F作于H，
∵四边形是边长为6的正方形，
∴，
∴，
∵F为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
7．（2025·山西·模拟预测）如图，在正方形中，为对角线延长线上一点，连接．
(1)实践操作：利用尺规在线段下方作，射线与的延长线交于点．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)猜想与证明：试猜想线段，的位置关系，并加以证明．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题考查尺规作图作一个角等于已知角，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握尺规作图的方法和题中相关几何性质与判定是解题的关键．
（1）利用尺规作图作一个角等于已知角的方法作图即可；
（2）利用正方形的性质证明，，再证明，得出，得出，即可证明．
【详解】（1）解：如答图所示即为所求．
（2）解：，理由如下：
证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，即，
，
，
．
8．（2025·山西长治·三模）问题背景
如图1，四边形是一个正方形花园，，分别是它的两个门，且，要修建两条路和，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？
问题探究
(1)如图2，在正方形中，若，试证明．
知识迁移
(2)如图3，在矩形中，点，，，分别在线段，，，上，且．若，，求的值．（用含，的代数式表示）
知识运用
(3)如图4，，是两个直角三角形，，，，交于点，经过的中点，交于点，，且，请直接写出的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用正方形的性质证出，再利用全等三角形的性质即可证明；
（2）作于点，作于点，设与交于点，利用矩形的性质得到，再由和得到，推出四边形、都是矩形，则有，，再通过证明得到，代入数据即可求解；
（3）在中利用正切的定义得到，设，通过证明得到，进而求出，再由得到，在中利用正切的定义求出，再利用平行线的性质即可求出的值．
【详解】（1）证明：设与交于点，如图：
正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
．
（2）解：作于点，作于点，设与交于点，如图：
矩形，
，
，，
，
四边形、都是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
的值为．
（3）解：在中，，
，
设，则，
点是的中点，
，
，即，
，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、矩形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、解直角三角形，熟练掌握相关知识点，结合图形找出全等三角形和相似三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理能力，适合有能力解决几何难题的学生．
9．（2025·山西运城·模拟预测）综合与探究
问题情境：数学活动课上，老师提出如下问题：如图，已知正方形，点是边上一点（不与点，重合），连接，过点作交的延长线于点，延长交的延长线于点．试猜想与的数量关系，并说明理由．
独立思考：（1）请解答老师提出的问题．
实践探究：（2）希望小组受此启发，如图，连接，过点作交的延长线于点，请判断与的数量关系，并说明理由．
拓展延伸：（3）点是射线上一点（不与点，重合），连接，过点作交所在直线于点，连接，过点作，交所在直线于点．若，，请直接写出线段的长．
【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）或
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键；
（1）根据四边形是正方形，得出，进而证明，进而证明，即可得证；
（2）过点分别作于点，于点，由（1）可知，，可得，进而证明平分，得出，进而证明是等腰直角三角形，即可求解．
（3）由（2）可得是等腰直角三角形，则，分当在上时，当在的延长线上时，分别求得的长，进而即可求解．
【详解】（1），理由如下，
∵四边形是正方形，
∴
∴
∴
∵交的延长线于点，
∴
∴
∴
在和中，
∴
∴，
（2），理由如下，
如图，过点分别作于点，于点，
，
由（1）可知，，
，
，
，，
平分，
，
，
.
，
，
，
；
（3）如图，当在上时，
由（2）可得是等腰直角三角形，则
∵，
∴，，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
当在的延长线上时，如图，
同理可得，
∵，
∴
∴
∴，即
∴
∴
同理可得是等腰直角三角形，则
∴
∴
综上所述，线段的长为或.
1．（2025·北京·中考真题）如图，在正方形中，点E在边上，，垂足为F．若，，则的面积为_______．
【答案】/0.375
【分析】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，解直角三角形，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．过点F分别作，垂足为M，N，连接，则，先根据平行线间的距离处处相等得出，继而得出，通过解直角三角形得出，即可求解．
【详解】解：过点F分别作，垂足为M，N，连接，则，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵,
∴，
∵，垂足为F，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
2．（2025·四川乐山·中考真题）如图，在中，对角线与相交于点．小乐同学欲添加两个条件使得四边形是正方形，现有三个条件可供选择：①；②；③．则正确的组合是______（只需填一种组合即可）．
【答案】①②或①③（填写一组即可）
【分析】本题考查了正方形，矩形，菱形的判定，熟练掌握正方形，矩形，菱形的判定是解题的关键．
根据正方形，矩形，菱形的判定分析求解即可．
【详解】解：当选择①；②时，
∵四边形是平行四边形，当，
∴四边形是菱形，
∵，
∴，
∴均是等腰直角三角形，
∴，
∴四边形是正方形；
当选择①；③时，
∵四边形是平行四边形，当，
∴四边形是菱形，
∵，
∴四边形是正方形；
当选择②；③，
由于四边形是平行四边形，若或，
均只能得到四边形是矩形，不能证明其为正方形，故不符合题意；
∴选择①②或①③均可以，
故答案为：①②或①③（填写一组即可）．
3．（2025·陕西·中考真题）如图，在正方形中，点，分别在边，上，且．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质，运用全等转化思想．解题关键是利用正方形的边和角的性质证明三角形全等，进而通过线段的和差关系推导结论；易错点是对正方形性质理解不全面，或全等三角形的对应关系判断错误．
先根据正方形性质得出，，结合已知，证明，得到．再由正方形中，通过，推出．
【详解】证明：四边形是正方形，
．
，
，
，
，即．
4．（2025·青海西宁·中考真题）如图，点E是正方形的边的中点，连接，将沿所在直线折叠，点C落在点F处，连接并延长交于点G，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查轴对称的性质，正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键．
（1）由正方形的性质与折叠可得，与都是直角三角形，根据 “”即可证明；
（2）由中点的定义得到，由折叠得到，设，则，，在中，根据勾股定理构造方程，求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形
∴，，
由折叠可得，，
∴，，
∴在和中
∴；
（2）解：∵，点E是的中点，
∴，
由折叠得到，
∵，
∴
设，则，
∵在中，，
∴
解得
∴．
5．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，为正方形的对角线．
(1)尺规作图：作的垂直平分线交于点，在上确定点，使得点到的两边距离相等；（不写作法，保留痕迹）
(2)在（1）的条件下，求的度数．（请直接写出的度数）
【答案】(1)画图见解析
(2)
【分析】本题主要考查了尺规作图及角的计算，角平分线的性质定理，正方形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键.
（1）由题意先作的垂直平分线，再根据点到的两边距离相等可知点在的角平分线上，据此作图即可.
（2）根据正方形的性质和角平分线的定义求得，然后由和，得到，即可求解．
【详解】（1）解：如图，直线，点即为所求.
（2）解：∵四边形是正方形，是对角线，
∴，，
∵平分，
∴，
∵直线，即，
∴，
∴．
6．（2024·内蒙古·中考真题）如图，，平分，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)过点B作于点G，若，请直接写出四边形的形状．
【答案】(1)证明见详解
(2)四边形为正方形
【分析】（1）由角平分线的定义可得出，由平行线的性质可得出，等量代换可得出，利用证明，由全等三角形的性质得出，结合已知条件可得出四边形是平行四边形．
（2）由已知条件可得出，由平行四边形的性质可得出，，根据平行线的性质可得出，，由全等三角形的性质可得出，等量代换可得出， 即可得出四边形为正方形．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
由∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）四边形是正方形．
过点B作于点G，
∴，
∵四边形是平行四边形．
∴，，
∴，，
∴，，
由（1），
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是正方形．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，平行四边形的性质和判定，正方形的判定，以及平行线的性质，掌握全等三角形的判定以及性质，平行四边形的性质和判定，正方形的判定定理是解题的关键．
7．（2025·湖北十堰·中考真题）如图，的对角线交于点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接．
(1)试判断四边形的形状，并说明理由；
(2)请说明当的对角线满足什么条件时，四边形是正方形？
【答案】(1)平行四边形，见解析
(2)且
【分析】（1）根据平行四边形的性质，得到，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定即可．
（2）根据对角线相等、平分且垂直的四边形是正方形判定即可．
【详解】（1）四边形是平行四边形．理由如下：
∵的对角线交于点，
∴，
∵以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，
∴
∴四边形是平行四边形．
（2）∵对角线相等、平分且垂直的四边形是正方形，
∴且时，四边形是正方形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，正方形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．
8．（2025·湖南邵阳·中考真题）如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，在对角线上，且，．
求证：四边形是正方形．
【答案】证明过程见解析
【分析】菱形的两条对角线相互垂直且平分，再根据两条对角线相互垂直平分且相等的四边形是正方形即可证明四边形AECF是正方形．
【详解】证明：∵ 四边形ABCD是菱形
∴ OA=OC，OB=OD且AC⊥BD，
又∵ BE=DF
∴ OB-BE=OD-DF
即OE=OF
∵OE=OA
∴OA=OC=OE=OF且AC=EF
又∵AC⊥EF
∴ 四边形DEBF是正方形．
【点睛】此题考查了菱形的性质和正方形的判定，解题的关键是掌握上述知识．
9．（2025·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，是的角平分线，，，垂足分别是E、F，连接，与相交千点H．
（1）求证：；
（2）满足什么条件时，四边形是正方形？说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）满足∠BAC=90°时，四边形是正方形，理由见解析
【分析】（1）根据角平分线的性质定理证得DE=DF，再根据HL定理证明△AED≌△AFD，则有AE=AF，利用等腰三角形的三线合一性质即可证得结论；
（2）只需证得四边形AEDF是矩形即可，
【详解】解：（1）∵是的角平分线，，，
∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，
又∵AD=AD，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE=AF，又是的角平分线，
∴AD⊥EF；
（2）满足∠BAC=90°时，四边形是正方形，
理由：∵∠AED=∠AFD=90°，∠BAC=90°，
∴四边形AEDF是矩形，
又∵AE=AF，
∴四边形AEDF是正方形．
【点睛】本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的三线合一性质、矩形的判定、正方形的判定，熟练掌握相关知识间的联系和运用是解答的关键．
10．（2025·广西玉林·中考真题）如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）若H是AB上的一点（H与A，B不重合），连接DH，将线段DH绕点H顺时针旋转90度，得到线段HE，过点E分别作BC及AB的延长线的垂线，垂足分别是F，G，设四边形BGEF的面积为，以HB，BC为邻边的矩形面积为，且，当时，求AH的长；
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）由题根据可得对角线相等且互相平分，可得四边形ABCD是矩形，又因为在中，利用勾股定理逆定理可得出为等腰直角三角形，可得，所以也是等腰直角三角形，可得，所以得出四边形ABCD是正方形；
（2）根据题意，易证得，可得，设，则，，可得，则，令，即：，解方程即可得出的长.
【详解】解：（1）依题意可得：
，
四边形为平行四边形；
又，
四边形为矩形；
又在中，，且三边满足
为等腰直角三角形；
,
,
,
,
四边形为正方形；
即：四边形为正方形.
（2）由题可得：,
，
又
，
在与中
设，则，
可得：，，
令，可得，
解得：，（舍去）.
即.
【点睛】本题考查正方形的判定以及与正方形相关的几何证明.在证明正方形的时候必须先证明四边形是矩形或者菱形，然后得出正方形；如果题中涉及到边之间的关系是或倍的关系，则利用勾股定理逆定理验证是否是等腰直角三角形；如果遇到直角比较多的地方，注意观察题中是否有一线三垂直，要积累和熟练应用这个全等模型.
1．（2025·河南·中考真题）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
(1)操作判断
操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．
根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：______．
(2)迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．
①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；
②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．
(3)拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长．
【答案】(1)或或或
(2)①15，15；②，理由见解析
(3)cm或
【分析】（1）根据折叠的性质，得，结合矩形的性质得，进而可得；
（2）根据折叠的性质，可证，即可求解；
（3）由（2）可得，分两种情况：当点Q在点F的下方时，当点Q在点F的上方时，设分别表示出PD，DQ，PQ，由勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：
，sin∠BME=
（2）∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC，∠A=∠ABC=∠C=90°
由折叠性质得：AB=BM，∠PMB=∠BMQ=∠A=90°
∴BM=BC
①
∴
②
（3）当点Q在点F的下方时，如图，
，DQ=DF+FQ=4+1=5(cm)
由（2）可知，
设
，
即
解得：
∴；
当点Q在点F的上方时，如图，
cm，DQ =3cm，
由（2）可知，
设
，
即
解得：
∴．
【点睛】本题主要考查矩形与折叠，正方形的性质、勾股定理、三角形的全等，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
2．（2025·甘肃兰州·中考真题）【提出问题】数学讨论课上，小明绘制图1所示的图形，正方形与正方形（），点E，G分别在上，根据图形提出问题：如图2，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，探究线段，，之间的数量关系．
【解决问题】（1）小明将上述问题特殊化，如图3，当点G，H重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由；
（2）小明借鉴（1）中特殊化的解题策略后，再解决图2所示的一般化问题，当点G，H不重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由；
【拓展问题】（3）小明将图2所示问题中的旋转角的范围再扩大，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，请直接写出，，之间的数量关系．
【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析
【分析】（1）利用正方形的性质求得，证明，推出，根据即可求解；
（2）在上截取，证明，推出，，证明是等腰直角三角形，求得，根据，即可求得；
（3）在上截取，证明，得到，，同理，得到是等腰直角三角形，求得，根据，即可求得．
【详解】解：（1），理由如下，
如图，当点G，H重合时，
∵正方形与正方形，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2），理由如下，
由（1）得，
∴，
在上截取，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴；
（3），理由如下，
由（1）得，
∴，，
在上截取，
∵，，
∴，
∴，，
同理，是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识点，作出辅助线，证明三角形全等是解本题的关键．
3．（2024山西·中考真题）综合与实践
问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1，在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AB延长线上一点，且BE=AB，连接DE，交BC于点M，以DE为一边在DE的左下方作正方形DEFG，连接AM．试判断线段AM与DE的位置关系．
探究展示：勤奋小组发现，AM垂直平分DE，并展示了如下的证明方法：
证明：∵BE=AB，∴AE=2AB．
∵AD=2AB，∴AD=AE．
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC．
∴．（依据1）
∵BE=AB，∴．∴EM=DM．
即AM是△ADE的DE边上的中线，
又∵AD=AE，∴AM⊥DE．（依据2）
∴AM垂直平分DE．
反思交流：
（1）①上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？
②试判断图1中的点A是否在线段GF的垂直平分线上，请直接回答，不必证明；
（2）创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2，连接CE，以CE为一边在CE的左下方作正方形CEFG，发现点G在线段BC的垂直平分线上，请你给出证明；
探索发现：
（3）如图3，连接CE，以CE为一边在CE的右上方作正方形CEFG，可以发现点C，点B都在线段AE的垂直平分线上，除此之外，请观察矩形ABCD和正方形CEFG的顶点与边，你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上，请写出一个你发现的结论，并加以证明．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.
【分析】（1）①直接得出结论；
②借助问题情景即可得出结论；
（2）先判断出∠BCE+∠BEC=90°，进而判断出∠BEC=∠BCG，得出△GHC≌△CBE，判断出AD=BC，进而判断出HC=BH，即可得出结论；
（3）先判断出四边形BENM为矩形，进而得出∠1+∠2=90°，再判断出∠1=∠3，得出△ENF≌△EBC，即可得出结论．
【详解】（1）①依据1：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（或平行线分线段成比例）．
依据2：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高互相重合（或等腰三角形的“三线合一”）．
②答：点A在线段GF的垂直平分线上．
理由：由问题情景知，AM⊥DE，
∵四边形DEFG是正方形，
∴DE∥FG，
∴点A在线段GF的垂直平分线上．
（2）证明：过点G作GH⊥BC于点H，
∵四边形ABCD是矩形，点E在AB的延长线上，
∴∠CBE=∠ABC=∠GHC=90°，
∴∠BCE+∠BEC=90°．
∵四边形CEFG为正方形，
∴CG=CE，∠GCE=90°，
∴∠BCE+∠BCG=90°．
∴∠2BEC=∠BCG．
∴△GHC≌△CBE．
∴HC=BE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC．
∵AD=2AB，BE=AB，
∴BC=2BE=2HC，
∴HC=BH．
∴GH垂直平分BC．
∴点G在BC的垂直平分线上．
（3）答：点F在BC边的垂直平分线上（或点F在AD边的垂直平分线上）．
过点F作FM⊥BC于点M，过点E作EN⊥FM于点N．
∴∠BMN=∠ENM=∠ENF=90°．
∵四边形ABCD是矩形，点E在AB的延长线上，
∴∠CBE=∠ABC=90°，
∴四边形BENM为矩形．
∴BM=EN，∠BEN=90°．
∴∠1+∠2=90°．
∵四边形CEFG为正方形，
∴EF=EC，∠CEF=90°．
∴∠2+∠3=90°．
∴∠1=∠3．
∵∠CBE=∠ENF=90°，
∴△ENF≌△EBC．
∴NE=BE．∴BM=BE．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC．
∵AD=2AB，AB=BE．
∴BC=2BM．
∴BM=MC．
∴FM垂直平分BC．
∴点F在BC边的垂直平分线上．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，构造全等三角形是解本题的关键．
1．如图，四边形是正方形，E为上一点，将绕点A顺时针旋转至，连接，于点H，交于点G．若，，则的长为________．
【答案】
【分析】连接，根据旋转知，则和，可知垂直平分，有，设，则和，利用勾股定理列出代入求解即可．
【详解】解：如图所示，连接，
由旋转可知，
∴，，，
∴点F、B、C三点共线，
∵ ，
∴ H为的中点，
∴垂直平分，
∴，
设，
∵，，
∴正方形的边长为3，
∴，，
∵，
∴，
即，
解得，
∴的长为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、旋转的性质、中垂线的判定和性质以及勾股定理的应用，解题的关键是熟悉旋转的性质和利用勾股定理列方程．
2．如图．在边长为6的正方形中，点，分别在，上，且，，垂足为，是对角线的中点，连接、则的长为________．
【答案】
【分析】以B为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，根据已知求出A、E、F、D、O的坐标，从而得AE、BF解析式，可求G坐标，即可得到OG的长度．．
【详解】解：以B为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图：
∵四边形ABCD是正方形，边长为6，
∴AB=BC=6，∠ABE=∠BCF=90°，
∵BC=3BE，BE=CF，
∴BE=CF=2，
∴E（2，0），F（6，2），A（0，6），D（6，6），
设直线AE解析式为y=ax+b，则，
解得，
∴直线AE解析式为y=-3x+6，
设直线BF解析式为y=cx，则2=6c，
解得c=，
∴直线BF解析式为y=x，
由得
∴，
∵O为BD中点，
∴O（3，3），
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质及应用，解题的关键是以B为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，求出O和G的坐标．
3．如图1，正方形的边长为2．E、F分别为边、上的动点，的周长为4，是延长线上的一点，且．
(1)求证：；
(2)试问的大小是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由；
(3)如图2，若为边的中点，过点作，垂足为．求的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)的大小是定值，定值为
(3)
【分析】（1）利用正方形的性质证明，得到，再利用角的和差得到，即可证明；
（2）由的周长为4，得到，由正方形的边长为2得到，得到，进而利用线段的和差推出，通过证明得到，结合即可得出结论；
（3）连接，利用全等三角形的性质得到，利用三角形的面积公式得到，利用勾股定理求出的长，再根据即可求出的最小值．
【详解】（1）证明：∵正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵的周长为4，
∴，
∵正方形的边长为2，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）得，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴的大小是定值，定值为；
（3）解：连接，
∵正方形的边长为2，
∴，，
∴是的高，
∵，
∴是的高，
由（2）得，，
∴，
∴，
由（2）得，，
∴，
∵为边的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理、三角形的面积公式、线段最值问题，正确找出全等三角形并证明是解题的关键．
4．如图，点E是正方形的边的中点，连接，将沿所在直线折叠，点C落在点F处，连接并延长交于点G，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查轴对称的性质，正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键．
（1）由正方形的性质与折叠可得，与都是直角三角形，根据 “”即可证明；
（2）由中点的定义得到，由折叠得到，设，则，，在中，根据勾股定理构造方程，求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形
∴，，
由折叠可得，，
∴，，
∴在和中
∴；
（2）解：∵，点E是的中点，
∴，
由折叠得到，
∵，
∴
设，则，
∵在中，，
∴
解得
∴．
5．图形的平移、旋转和对称是我们从图形变换的视角研究图形的重要方法．为了深入理解旋转的本质，王老师和同学们在数学实践课上以正方形为背景进行如下探究．
【知识技能】
（1）如图1，在正方形中，、分别是边、上的点，连接、、、且．将绕点按逆时针方向旋转至，则点在的延长线上．
①证明，并判断是否成立；
②若，，请计算正方形的周长．
【教学理解】
（2）如图2，在正方形中，、分别是边、上的点，．连接、，、分别是线段、上的点，连接、、，且（点、、、均不与端点重合）．请猜想线段、、的数量关系，并说明理由．
【拓展研究】
（3）如图3，是正方形的对角线，、分别为线段、上的点，且．将绕点按顺时针方向旋转（旋转角小于）至．连接，取线段的中点，连接、，求的值．
【答案】（1）①见解析；②；（2）；（3）
【分析】（1）①先根据正方形的性质得出，再根据旋转的性质得出，，，，然后证明，根据全等三角形性质与线段的和差得到结论成立；②先根据勾股定理求得，再求得，从而可求得，再求出正方形的边长，从而可求得正方形的周长；
（2）将绕点B逆时针旋转得，连接，先由旋转性质可得：，根据全等三角形的性质可得，，，，再证明，根据全等三角形的性质得出，再证明四边形是平行四边形，从而可得，再根据平行线的性质可得，进而可证明，再利用勾股定理可求解；
（3）先利用正方形的性质，结合，可得同H为中点，是等腰直角三角形，从而可得，再根据中位线定理可得，，从而可说明是等腰直角三角形，再根据旋转的性质可得是等腰直角三角形，于是就有，进而求得，再证明，列出比例式，求得的值．
【详解】（1）解：①证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵将绕点B按逆时针方向旋转90°至，
∴，，，，
∴，，
∴点M在的延长线上，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴成立；
②∵，，，
，
∴，
∴，
∴正方形的边长为，
∴正方形的周长为；
（2），理由如下：
将绕点B逆时针旋转得，连接，如图：
由旋转性质可得：，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴；
（3）过C作于H，连接，设交于K，如图：
∵四边形是正方形，，
∴H为中点，是等腰直角三角形，
，
∵E为的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∵将绕点B按顺时针方向旋转（旋转角小于）至，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
即的值为．
【点睛】本题考查了相似三角形综合应用，全等三角形判定与性质，等腰直角三角形三边的关系，勾股定理及应用等知识，解题关键是掌握全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质．
6．宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．现有一张黄金矩形纸片，长．如图1，折叠纸片，点B落在上的点E处，折痕为，连接，然后将纸片展开．
(1)求的长；
(2)求证：四边形是黄金矩形；
(3)如图2，点G为的中点，连接，折叠纸片，点B落在上的点H处，折痕为，过点P作于点Q．四边形是否为黄金矩形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由．
【答案】(1)2
(2)证明见解析
(3)四边形是黄金矩形．证明见解析
【分析】（1）根据黄金矩形的定义可得：，再进一步求解即可；
（2）先证明四边形是正方形；可得，，证明四边形是矩形，从而可得答案；
（3）先证四边形是矩形，然后求解，由对折可得：，设，则，由面积可得：，可得：，再进一步可得结论．
【详解】（1）解：∵，矩形是黄金矩形，
∴，
∴；
（2）证明：∵折叠黄金矩形纸片，点B落在上的点E处，
∴，，
又∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形；
∴，
由（1）可知，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴四边形是黄金矩形．
（3）解：四边形是黄金矩形，证明如下：
∵，四边形是正方形，
∴，
∴四边形是矩形；
由（2）可知，，
∵为的中点，
∴，
∴，
如图，连接，由对折可得：，，，
设，则，
∵
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴四边形是黄金矩形．
【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，理解黄金矩形的定义是关键．
7．如图，矩形中，．
(1)求作正方形，使得点E，G分别落在边上，点F，H落在上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)若，求（1）中所作的正方形的边长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）作的中垂线交于点，交于点，以为直径画圆，交于点，即可得到正方形；
（2）勾股定理求出的长，进而求出的长，证明，求出的长，再根据正方形的性质，结合勾股定理求出的长即可．
【详解】（1）解：如图，四边形就是所求作的正方形．
由作图可知，，，
∵矩形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
由作图可知，，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形；
（2）由（1）知：，，
四边形是矩形，
，
在中，，
，
．
，
．
又，
，
，即，
．
在中，，
，
∴正方形EFGH的边长为．
【点睛】本题考查尺规作图、矩形的性质、线段垂直平分线的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，考查推理能力、运算能力、几何直观与空间观念，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
8．如图1，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，∠C=90°，M，N分别是边AC，BC上的点，以CM，CN为邻边作矩形PMCN，交AB于E，F．设CM=a，CN=b，若ab=8．
(1)判断由线段AE，EF，BF组成的三角形的形状，并说明理由；
(2)①当a=b时，求∠ECF的度数；
②当a≠b时，①中的结论是否成立？并说明理由．
【答案】(1)直角三角形，理由见解析
(2)①45°；②成立，理由见解析
【分析】（1）分别表示出AE，BF及EF，计算出AE2+BF2及EF2，从而得出结论；
（2）①连接PC，可推出PC⊥AB，可推出AE=PE=PF=BF，从而得出ME=EG=GF=NF，进而得出CE平分∠PCF，CF平分∠BCP，从而得出结果；
②将△BCF逆时针旋转90°至△ACD，连接DE，可推出DE=EF，进而推出△DCF≌△FCE，进一步得出结果．
【详解】（1）解：线段AE，EF，BF组成的是直角三角形，理由如下：
∵AM=AC-CM=4-a，BN=4-b，
∴AE=AM=(4 a)，BE=(4 b)，
∴AE2+BF2=2（4-a）2+2（4-b）2=2（a2+b2-8a-8b+32），
AC=4，
∴EF=AB-AE-BF=[4-（4-a）-（4-b）]，
∵ab=8，
EF2=2（a+b-4）2=2（a2+b2-8a-8b+16+2ab）=2（a2+b2-8a-8b+32），
∴AE2+BF2=EF2，
∴线段AE，EF，BF组成的是直角三角形；
（2）解：①如图1，
连接PC交EF于G，
∵a=b，
∴ME=AM=BN=NF，
∵四边形CNPM是矩形，
∴矩形CNPM是正方形，
∴PC平分∠ACB，
∴CG⊥AB，
∴∠PEG=90°，
∵CM=CN=PM=PN，
∴PE=PF，
∵△AEM，△BNF，△PEF是等腰直角三角形，
EF2=AE2+BF2，EF2=PE2+PF2，
∴PE=AE=PF=BF，
∴ME=EG=FG=FN，
∴∠MCE=∠GCE，∠NCF=∠GCF，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECG+∠FCG=∠ACB=45°；
②如图2，
仍然成立，理由如下：
将△BCF逆时针旋转90°至△ACD，连接DE，
∴∠DAC=∠B=45°，AD=BF，
∴∠DAE=∠DAC+∠CAB=90°，
∴DE2=AD2+AE2=BF2+AE2，
∵EF2=BF2+AE2，
∴DE=EF，
∵CD=CF，CE=CE，
∴△DCF≌△FCE（SSS），
∴∠ECF=∠DCF=∠DCF=×90°=45°．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质，正方形判定和性质，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
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2026年中考数学第一轮复习分层练（山西卷）
第五章 四边形
专题四 正方形
命题点1 正方形判定
1．（2023·山西·中考真题）问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中．将和按图2所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点）．当时，延长交于点．试判断四边形的形状，并说明理由．
(1)数学思考：谈你解答老师提出的问题；
(2)深入探究：老师将图2中的绕点逆时针方向旋转，使点落在内部，并让同学们提出新的问题．
①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点作交的延长线于点与交于点．试猜想线段和的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；
②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点作于点，若，求的长．请你思考此问题，直接写出结果．
2．（2025·山西临汾·二模）如图，四边形是矩形，是延长线上的一点，连接，，且．求证：四边形是正方形．
3．（2024·山西·模拟预测）综合与实践
问题情境：课堂上，同学们探究直角三角形纸片旋转中的数学问题．如图，是一张直角三角形纸片，其中，，．点D，E分别是边和的中点．连接．一张透明纸片上印有，且．将透明纸片上的的顶点H与点D重合（记为点D），并将其绕点D逆时针旋转，的延长线交直线于点N，交边于点M．老师提出如下问题：如图1，当点N是的中点时，判断四边形的形状并说明理由；
数学思考：（1）请你解答老师提出的问题；
深入探究：（2）老师将图1中的绕点D逆时针方向旋转；
①如图2，当点F与点A重合时，求的长；
②如图3，当于点P时，请直接写出线段的长．
4．（2025·山西临汾·三模）综合与实践
【问题情境】
数学活动小组在进行矩形纸片折纸活动．
如图1，在矩形纸片中，E是边上的动点，G是边上的动点，将沿折叠，点D恰好落到边上的点F处，展平，连接，再将沿折叠，使点B与点E重合，展平，连接．
【猜想证明】
（1）直接判断四边形的形状．
（2）求证：．
【深入探究】
（3）如图2，M，N分别是边，上的点，若将矩形纸片沿第三次折叠，使得点C与点G重合，然后展平，连接，．
①判断与的位置关系，并证明；
②直接写出的值．
5．（2025·山西朔州·三模）综合与实践
问题情境：数学课上，老师让同学们以“直角三角形的旋转”为主题展开探究活动，已知在中，，，．将绕点旋转一定角度得到，延长交于点．
初步探究：（1）如图1，勤思小组发现，当时，四边形是正方形，请你证明这一结论．
深入思考：（2）如图2，笃学小组发现，当点正好落在斜边上时，可以求出四边形的面积，你能解决这一问题吗？
拓展延伸：（3）善思小组继续探究，当和在同一条直线上时，连接．请你在图3中画出图形，并直接写出的长．
6．（2025·山西吕梁·二模）综合与探究
如图，在中，，，D是的中点，P是射线上一动点（点D除外），将线段绕点P顺时针旋转得到，连接．
操作发现：
（1）如图，当点P与点A重合时，四边形的形状是 ；
（2）如图，当点P在线段上时（点A，D除外），试猜想的度数，并证明你的猜想；
拓展延伸：
（3）当，时，请直接写出的长．
7．（2025·山西太原·二模）如图1，是一张矩形纸片，沿过点A的直线折叠该纸片，使点B的对应点落在边上的点F处，展开后折痕交边于点E，连接．
(1)判断四边形的形状，并证明你的结论；
(2)在图1中，作的平分线交于点G，得到图2．若，则线段的长为_____．
8．（2024·山西晋中·三模）综合与实践
综合与实践课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
(1)如图，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为，则四边形的形状为________；
(2)如图，在矩形纸片中，，，用图的方法折叠纸片，折痕为，在线段上取一点（不与点重合），沿折叠，点的对应点为点，延长交边于点．
与之间有什么数量关系？请说明理由．
当射线经过的直角边的中点时，请直接写出的长．
9．（2024山西吕梁模拟）阅读与思考
阅读下列材料完成后面任务．
仅利用折纸将线段三等分
我们已经学过线段的中点、三等分点、四等分点等概念，并且可以利用三角函数等方法求出线段的三等分点，下面介绍一种新的方法可以利用其将线段三等分—折纸法．
具体步骤如下．
第一步：如图1，准备一张长为，宽为的矩形纸片．
第二步：如图2，将矩形纸片折叠，使得点B的对应点F落在边上，展开后得到折痕．
第三步：如图3，再将该矩形纸片沿过点C的直线折叠，使得点D的对应点H落在上，展开后得到折痕．
第四步：如图4，再将矩形纸片折叠，使得点G落在边上的点M处，展开后得到折痕，则M为的三等分点，即．
下面是该结论的部分证明过程：
证明：由折叠的性质，得．，根据勾股定理，可得．
设，，…
任务：
(1)请再仔细阅读上面的操作步骤，完成材料中剩余的证明过程．
(2)在解决问题的过程中，我们通过计算的长，从而得到结论，这里运用的数学思想方法是 .（填序号即可）
①函数思想；②公理化思想；③数形结合思想；④分类讨论思想．
(3)如图5，在图4的基础上，将矩形纸片沿着折痕折叠后，点C恰好落在上的点Q处，连接，判断四边形的形状，并加以证明．
命题点2 正方形的性质
1．（2024·山西·中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且，连接EF交边AD于点G．过点A作，垂足为点M，交边CD于点N．若，，则线段AN的长为_________
2．（2025·山西·一模）如图，正方形中，，点E在边上，，F是的中点，点G在边上，，则的长为______．
3．（2025·山西长治·二模）如图，正方形的边长为4，为上一点，连接，过点作的垂线，与交于点为的中点，连接，若，则_____．
4．（2025·山西临汾·三模）如图，已知正方形的边长为6，E是正方形的边上的一点，沿将折叠，点A落在点F处，连接，，若，则的长为________．
5．（2025山西吕梁模拟）如图，正方形的边长为5，O是边的中点，点E是正方形内一动点，，将线段绕C点逆时针旋转得，连，线段的最小值为______．
6．（2025·山西大同·三模）如图，在边长为6的正方形中，对角线相交于点O，点E在上，且，点F是边的中点，连接交于点G，则线段的长为________．
7．（2025·山西·模拟预测）如图，在正方形中，为对角线延长线上一点，连接．
(1)实践操作：利用尺规在线段下方作，射线与的延长线交于点．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)猜想与证明：试猜想线段，的位置关系，并加以证明．
8．（2025·山西长治·三模）问题背景
如图1，四边形是一个正方形花园，，分别是它的两个门，且，要修建两条路和，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？
问题探究
(1)如图2，在正方形中，若，试证明．
知识迁移
(2)如图3，在矩形中，点，，，分别在线段，，，上，且．若，，求的值．（用含，的代数式表示）
知识运用
(3)如图4，，是两个直角三角形，，，，交于点，经过的中点，交于点，，且，请直接写出的值．
9．（2025·山西运城·模拟预测）综合与探究
问题情境：数学活动课上，老师提出如下问题：如图，已知正方形，点是边上一点（不与点，重合），连接，过点作交的延长线于点，延长交的延长线于点．试猜想与的数量关系，并说明理由．
独立思考：（1）请解答老师提出的问题．
实践探究：（2）希望小组受此启发，如图，连接，过点作交的延长线于点，请判断与的数量关系，并说明理由．
拓展延伸：（3）点是射线上一点（不与点，重合），连接，过点作交所在直线于点，连接，过点作，交所在直线于点．若，，请直接写出线段的长．
1．（2025·北京·中考真题）如图，在正方形中，点E在边上，，垂足为F．若，，则的面积为_______．
2．（2025·四川乐山·中考真题）如图，在中，对角线与相交于点．小乐同学欲添加两个条件使得四边形是正方形，现有三个条件可供选择：①；②；③．则正确的组合是______（只需填一种组合即可）．
3．（2025·陕西·中考真题）如图，在正方形中，点，分别在边，上，且．求证：．
4．（2025·青海西宁·中考真题）如图，点E是正方形的边的中点，连接，将沿所在直线折叠，点C落在点F处，连接并延长交于点G，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
5．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，为正方形的对角线．
(1)尺规作图：作的垂直平分线交于点，在上确定点，使得点到的两边距离相等；（不写作法，保留痕迹）
(2)在（1）的条件下，求的度数．（请直接写出的度数）
6．（2024·内蒙古·中考真题）如图，，平分，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)过点B作于点G，若，请直接写出四边形的形状．
7．（2025·湖北十堰·中考真题）如图，的对角线交于点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接．
(1)试判断四边形的形状，并说明理由；
(2)请说明当的对角线满足什么条件时，四边形是正方形？
8．（2025·湖南邵阳·中考真题）如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，在对角线上，且，．
求证：四边形是正方形．
9．（2025·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，是的角平分线，，，垂足分别是E、F，连接，与相交千点H．
（1）求证：；
（2）满足什么条件时，四边形是正方形？说明理由．
10．（2025·广西玉林·中考真题）如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）若H是AB上的一点（H与A，B不重合），连接DH，将线段DH绕点H顺时针旋转90度，得到线段HE，过点E分别作BC及AB的延长线的垂线，垂足分别是F，G，设四边形BGEF的面积为，以HB，BC为邻边的矩形面积为，且，当时，求AH的长；
1．（2025·河南·中考真题）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
(1)操作判断
操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．
根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：______．
(2)迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．
①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；
②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．
(3)拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长．
2．（2025·甘肃兰州·中考真题）【提出问题】数学讨论课上，小明绘制图1所示的图形，正方形与正方形（），点E，G分别在上，根据图形提出问题：如图2，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，探究线段，，之间的数量关系．
【解决问题】（1）小明将上述问题特殊化，如图3，当点G，H重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由；
（2）小明借鉴（1）中特殊化的解题策略后，再解决图2所示的一般化问题，当点G，H不重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由；
【拓展问题】（3）小明将图2所示问题中的旋转角的范围再扩大，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，请直接写出，，之间的数量关系．
3．（2024山西·中考真题）综合与实践
问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1，在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AB延长线上一点，且BE=AB，连接DE，交BC于点M，以DE为一边在DE的左下方作正方形DEFG，连接AM．试判断线段AM与DE的位置关系．
探究展示：勤奋小组发现，AM垂直平分DE，并展示了如下的证明方法：
证明：∵BE=AB，∴AE=2AB．
∵AD=2AB，∴AD=AE．
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC．
∴．（依据1）
∵BE=AB，∴．∴EM=DM．
即AM是△ADE的DE边上的中线，
又∵AD=AE，∴AM⊥DE．（依据2）
∴AM垂直平分DE．
反思交流：
（1）①上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？
②试判断图1中的点A是否在线段GF的垂直平分线上，请直接回答，不必证明；
（2）创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2，连接CE，以CE为一边在CE的左下方作正方形CEFG，发现点G在线段BC的垂直平分线上，请你给出证明；
探索发现：
（3）如图3，连接CE，以CE为一边在CE的右上方作正方形CEFG，可以发现点C，点B都在线段AE的垂直平分线上，除此之外，请观察矩形ABCD和正方形CEFG的顶点与边，你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上，请写出一个你发现的结论，并加以证明．
1．如图，四边形是正方形，E为上一点，将绕点A顺时针旋转至，连接，于点H，交于点G．若，，则的长为________．
2．如图．在边长为6的正方形中，点，分别在，上，且，，垂足为，是对角线的中点，连接、则的长为________．
3．如图1，正方形的边长为2．E、F分别为边、上的动点，的周长为4，是延长线上的一点，且．
(1)求证：；
(2)试问的大小是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由；
(3)如图2，若为边的中点，过点作，垂足为．求的最小值．
4．如图，点E是正方形的边的中点，连接，将沿所在直线折叠，点C落在点F处，连接并延长交于点G，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
5．图形的平移、旋转和对称是我们从图形变换的视角研究图形的重要方法．为了深入理解旋转的本质，王老师和同学们在数学实践课上以正方形为背景进行如下探究．
【知识技能】
（1）如图1，在正方形中，、分别是边、上的点，连接、、、且．将绕点按逆时针方向旋转至，则点在的延长线上．
①证明，并判断是否成立；
②若，，请计算正方形的周长．
【教学理解】
（2）如图2，在正方形中，、分别是边、上的点，．连接、，、分别是线段、上的点，连接、、，且（点、、、均不与端点重合）．请猜想线段、、的数量关系，并说明理由．
【拓展研究】
（3）如图3，是正方形的对角线，、分别为线段、上的点，且．将绕点按顺时针方向旋转（旋转角小于）至．连接，取线段的中点，连接、，求的值．
6．宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．现有一张黄金矩形纸片，长．如图1，折叠纸片，点B落在上的点E处，折痕为，连接，然后将纸片展开．
(1)求的长；
(2)求证：四边形是黄金矩形；
(3)如图2，点G为的中点，连接，折叠纸片，点B落在上的点H处，折痕为，过点P作于点Q．四边形是否为黄金矩形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由．
7．如图，矩形中，．
(1)求作正方形，使得点E，G分别落在边上，点F，H落在上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)若，求（1）中所作的正方形的边长．
8．如图1，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，∠C=90°，M，N分别是边AC，BC上的点，以CM，CN为邻边作矩形PMCN，交AB于E，F．设CM=a，CN=b，若ab=8．
(1)判断由线段AE，EF，BF组成的三角形的形状，并说明理由；
(2)①当a=b时，求∠ECF的度数；
②当a≠b时，①中的结论是否成立？并说明理由．
2026年中考数学第一轮复习分层练（山西卷）
第五章 四边形
专题四 正方形（解析版）
命题点1 正方形判定
1．（2023·山西·中考真题）问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中．将和按图2所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点）．当时，延长交于点．试判断四边形的形状，并说明理由．
(1)数学思考：谈你解答老师提出的问题；
(2)深入探究：老师将图2中的绕点逆时针方向旋转，使点落在内部，并让同学们提出新的问题．
①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点作交的延长线于点与交于点．试猜想线段和的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；
②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点作于点，若，求的长．请你思考此问题，直接写出结果．
【答案】(1)正方形，见解析
(2)①，见解析；②
【分析】（1）先证明四边形是矩形，再由可得，从而得四边形是正方形；
（2）①由已知可得，再由等积方法，再结合已知即可证明结论；②设的交点为M，过M作于G，则易得，点G是的中点；利用三角函数知识可求得的长，进而求得的长，利用相似三角形的性质即可求得结果．
【详解】（1）解：四边形为正方形．理由如下：
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴四边形为矩形．
∵，
∴．
∴矩形为正方形．
（2）：①．
证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，即，
∴．
∵，
∴．
由（1）得，
∴．
②解：如图：设的交点为M，过M作于G，
∵，
∴，，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴点G是的中点；
由勾股定理得，
∴；
∵，
∴，即；
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴，即的长为．
【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识点，适当添加的辅助线、构造相似三角形是解题的关键．
2．（2025·山西临汾·二模）如图，四边形是矩形，是延长线上的一点，连接，，且．求证：四边形是正方形．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了矩形和正方形，熟练掌握矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，正方形的判定是解题的关键，
连接交于点，由矩形对角线性质和等腰三角形性质得，得， 即得矩形是正方形．
【详解】证明：如图，连接交于点．
四边形是矩形，
．
，
．
．
四边形是正方形．
3．（2024·山西·模拟预测）综合与实践
问题情境：课堂上，同学们探究直角三角形纸片旋转中的数学问题．如图，是一张直角三角形纸片，其中，，．点D，E分别是边和的中点．连接．一张透明纸片上印有，且．将透明纸片上的的顶点H与点D重合（记为点D），并将其绕点D逆时针旋转，的延长线交直线于点N，交边于点M．老师提出如下问题：如图1，当点N是的中点时，判断四边形的形状并说明理由；
数学思考：（1）请你解答老师提出的问题；
深入探究：（2）老师将图1中的绕点D逆时针方向旋转；
①如图2，当点F与点A重合时，求的长；
②如图3，当于点P时，请直接写出线段的长．
【答案】（1）四边形是正方形，理由见解析；（2）①；②
【分析】（1）根据题意易证都是的中位线，进而推出，再根据，易证，推出，结合旋转的性质得到，证明四边形是正方形；
（2）①由（1）知，是的中位线，求出，由旋转的性质得，，，再根据直角三角形的性质证明，推出，进而得到，设，求出，在中，由，建立方程求解即可；②根据题意当于点P时，易证四边形是矩形，得到，进而求出，由旋转的性质可得，推出，设交点为，利用直角三角形的性质推出，进而得到，利用正切的定义得到，求出，由即可求解．
【详解】解：（1）四边形是正方形，理由如下：
∵点N是的中点，点D，E分别是边和的中点，点D与点H重合，
∴都是的中位线，
∴，
∵，
∴，，
∴，
由旋转的性质，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形；
∵，
∴四边形是正方形；
（2）①由（1）知，是的中位线，
∴，
由旋转的性质得，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点D是的中点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴；
②∵，
∴，
∵
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
设交点为，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查旋转的性质、矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、三角形中位线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理，解题的关键是熟练掌握矩形、正方形的判定与性质．
4．（2025·山西临汾·三模）综合与实践
【问题情境】
数学活动小组在进行矩形纸片折纸活动．
如图1，在矩形纸片中，E是边上的动点，G是边上的动点，将沿折叠，点D恰好落到边上的点F处，展平，连接，再将沿折叠，使点B与点E重合，展平，连接．
【猜想证明】
（1）直接判断四边形的形状．
（2）求证：．
【深入探究】
（3）如图2，M，N分别是边，上的点，若将矩形纸片沿第三次折叠，使得点C与点G重合，然后展平，连接，．
①判断与的位置关系，并证明；
②直接写出的值．
【答案】（1）四边形是正方形；（2）见解析；（3）①．见解析；②．
【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质，勾股定理、正方形的性质及判定以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握折叠的性质，利用矩形和折叠的性质进行推理和证明。
（1）由折叠可知，，可知是等腰直角三角形，得到，故四条边相等，即四边形是菱形，再由可得四边形是正方形；
（2）由折叠可得，由四边形是正方形可得，由平角定义可知，由已知可知，所以是等腰直角三角形，从而得到；
（3）①设，根据折叠可得，分别求与的关系，再根据勾股定理分别求，而，代入可知，即，再根据证明，得到，根据可得，从而得证；
（2）设，用的式子表示，连接，设，在中根据勾股定理得到方程解（含的代数式），在计算即可．
【详解】（1）∵四边形是矩形，
，
由折叠可知，，
∴是等腰直角三角形，
，
，
∴四边形是菱形，
又
∴四边形是正方形；
（2）由（1）可知四边形是正方形，
，
由折叠可知，，
，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
；
（3）①设，
∵四边形是正方形，
∴是等腰直角三角形，，
，
由折叠可知，
，
，
，
，
在中，，
在中，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
∴；
②设，
由①可知，
∵四边形是正方形，
∴是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
连接，设，则，
由折叠可知，
，
，
在中，，
，
，
．
5．（2025·山西朔州·三模）综合与实践
问题情境：数学课上，老师让同学们以“直角三角形的旋转”为主题展开探究活动，已知在中，，，．将绕点旋转一定角度得到，延长交于点．
初步探究：（1）如图1，勤思小组发现，当时，四边形是正方形，请你证明这一结论．
深入思考：（2）如图2，笃学小组发现，当点正好落在斜边上时，可以求出四边形的面积，你能解决这一问题吗？
拓展延伸：（3）善思小组继续探究，当和在同一条直线上时，连接．请你在图3中画出图形，并直接写出的长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）画图见解析，或
【分析】（1）由旋转得，．根据，得出，证出四边形是矩形．结合，即可证明矩形是正方形．
（2）在 中，，根据勾股定理求出，得出，由旋转得，，得，在 中，，求出，求出，，再根据即可求解．
（3）如图，情况一：如图，点A在中间时，过点D作，根据，求出，根据，求出，根据图象求出，再根据勾股定理即可求解；情况二：如图，点C在中间时，同理得出，再根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）由旋转得，．
，
，
，
∴四边形是矩形．
又，
∴矩形是正方形．
（2）在 中，，
，，
由旋转得，，
，
在 中，，
，
，
，
．
（3）如图，情况一：如图，点A在中间时，
过点D作，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
情况二：如图，点C在中间时，
同理，
∴．
综上，或．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，旋转的性质，矩形的性质和判定，正方形的判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
6．（2025·山西吕梁·二模）综合与探究
如图，在中，，，D是的中点，P是射线上一动点（点D除外），将线段绕点P顺时针旋转得到，连接．
操作发现：
（1）如图，当点P与点A重合时，四边形的形状是 ；
（2）如图，当点P在线段上时（点A，D除外），试猜想的度数，并证明你的猜想；
拓展延伸：
（3）当，时，请直接写出的长．
【答案】（1）正方形；（2）的度数为，证明见解析；（3）的长为或
【分析】本题主要考查正方形的判定；全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作出图形是解答本题的关键．
（1）先证明四边形是菱形，再根据有一个角是直角的菱形是正方形可得结论；
（2）连接，由等腰直角三角形的性质得，，过点作，可证明，根据证明，得，，故可得结论；
（3）分点在上和在的延长线上两种情况讨论，方法同（2）．
【详解】解：（1）在中，，，
∴，
由旋转得，，
又，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
又，
∴菱形是正方形，即四边形是正方形；
故答案为：正方形；
（2）
连接，如图，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
过点作，则，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
（3）点在上时，如图，
∵，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴
由（2）得，
∴，
当点在的延长线上时如图，
方法同上，可得，
∴，
综上，的长为或．
7．（2025·山西太原·二模）如图1，是一张矩形纸片，沿过点A的直线折叠该纸片，使点B的对应点落在边上的点F处，展开后折痕交边于点E，连接．
(1)判断四边形的形状，并证明你的结论；
(2)在图1中，作的平分线交于点G，得到图2．若，则线段的长为_____．
【答案】(1)四边形是正方形，证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，矩形与折叠问题，勾股定理，角平分线的定义，等角对等边，熟知正方形的性质与判定定理，矩形的性质与折叠的性质是解题的关键．
（1）由矩形的性质可得，由折叠的性质可得，据此可证明四边形是正方形；
（2）由正方形的性质和勾股定理可得，由矩形的性质得到，再由平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，则．
【详解】（1）解：四边形是正方形，证明如下：
∵四边形是矩形，
∴，
由折叠的性质可得，
∴四边形是矩形，
又∵，
∴四边形是正方形；
（2）解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
8．（2024·山西晋中·三模）综合与实践
综合与实践课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
(1)如图，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为，则四边形的形状为________；
(2)如图，在矩形纸片中，，，用图的方法折叠纸片，折痕为，在线段上取一点（不与点重合），沿折叠，点的对应点为点，延长交边于点．
与之间有什么数量关系？请说明理由．
当射线经过的直角边的中点时，请直接写出的长．
【答案】(1)正方形
(2)，理由见解析；或，
【分析】（1）根据矩形的性质得到，由折叠得，即可证得四边形是正方形；
（2）由矩形性质得，由折叠得，，结合，可得．；
（3）由矩形性质得，推出，由折叠可知，，由此推出，即可推出；
【详解】（1）解：正方形
证明： 四边形是矩形，
由折叠性质可得：，
四边形是正方形，
故答案为正方形．
（2）．
理由：四边形是矩形，
，．
．
由折叠，得，
．
∵
．
或．
由题得得四边形和都是边长为的正方形，
有两种情况：
如图，当射线经过的中点时，设中点为，则，连接．
由折叠，得，，，
在与中，，，
，
，
设，则，，
在中，，
即，解得，
的长为．
如图，当射线经过的中点时，则，
，
，
，
由折叠，得，，，，
，，
，
，
，
，
综上，的长为或
【点睛】此题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，正方形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握各判定和性质定理是解题的关键．
9．（2024山西吕梁模拟）阅读与思考
阅读下列材料完成后面任务．
仅利用折纸将线段三等分
我们已经学过线段的中点、三等分点、四等分点等概念，并且可以利用三角函数等方法求出线段的三等分点，下面介绍一种新的方法可以利用其将线段三等分—折纸法．
具体步骤如下．
第一步：如图1，准备一张长为，宽为的矩形纸片．
第二步：如图2，将矩形纸片折叠，使得点B的对应点F落在边上，展开后得到折痕．
第三步：如图3，再将该矩形纸片沿过点C的直线折叠，使得点D的对应点H落在上，展开后得到折痕．
第四步：如图4，再将矩形纸片折叠，使得点G落在边上的点M处，展开后得到折痕，则M为的三等分点，即．
下面是该结论的部分证明过程：
证明：由折叠的性质，得．，根据勾股定理，可得．
设，，…
任务：
(1)请再仔细阅读上面的操作步骤，完成材料中剩余的证明过程．
(2)在解决问题的过程中，我们通过计算的长，从而得到结论，这里运用的数学思想方法是 .（填序号即可）
①函数思想；②公理化思想；③数形结合思想；④分类讨论思想．
(3)如图5，在图4的基础上，将矩形纸片沿着折痕折叠后，点C恰好落在上的点Q处，连接，判断四边形的形状，并加以证明．
【答案】(1)见解析
(2)③
(3)正方形，见解析
【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，正方形的判定，利用数形结合的思想解决问题是关键．
（1）由折叠的性质，可得，，，进而得出，，设，利用勾股定理列方程，求出，即可证明；
（2）根据运用的数学思想方法作答即可；
（3）根据矩形和折叠的性质证明即可．
【详解】（1）证明：由折叠的性质，可得，，．
，，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，
；
（2）解：通过计算的长，从而得到结论，这里运用的数学思想方法是数形结合思想，
故答案为：③；
（3）解：四边形是正方形．证明如下：
四边形是矩形，
，，
由折叠的性质可知，，，
，
四边形为矩形，
又
四边形是正方形．
命题点2 正方形的性质
1．（2024·山西·中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且，连接EF交边AD于点G．过点A作，垂足为点M，交边CD于点N．若，，则线段AN的长为_________
【答案】
【分析】连接AE、AF、EN，首先可证得，AE=AF，可证得垂直平分EF，可得EN=FN，再根据勾股定理即可求得正方形的边长，再根据勾股定理即可求得AN的长．
【详解】解：如图：连接AE、AF、EN，
四边形ABCD是正方形
设AB=BC=CD=AD=a，，
在与中，
，
，
是等腰三角形，
又，
垂直平分EF，
，
又，
，
在中，，
，
解得a=20，
，，
在中，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，证得垂直平分EF是解决本题的关键．
2．（2025·山西·一模）如图，正方形中，，点E在边上，，F是的中点，点G在边上，，则的长为______．
【答案】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握正方形的性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
延长与的延长线交于，过点作于点，先分别求出，证明和相似，利用相似三角形的性质求出，证明和相似，利用相似三角形的性质得到，设，则，然后根据，由此解出即可得出的长．
【详解】解：如图，延长与的延长线交于点，过点作于点，
四边形是正方形，，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
∵，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
设，则，
，
是等腰直角三角形，
，
由勾股定理得：，
，
，点是的中点，
，
，
，
，
，
故答案为：．
3．（2025·山西长治·二模）如图，正方形的边长为4，为上一点，连接，过点作的垂线，与交于点为的中点，连接，若，则_____．
【答案】
【分析】过作，交于点，交于点，作于点，可得，，然后，再求，再证明，求出，最后在中根据勾股定理即可求解.
【详解】解：如图；过作，交于点，交于点，作于点，
∵四边形是正方形，是对角线，
∴，，，
∵在中，，
∴
∵正方形的边长为4
∴，
∴在中，
在中，
∴
∵为的中点，
∴
∴在中，
∴
∴
∵
∴
又∵
∴
∵，正方形的边长为4
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴在中，
故答案为：.
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等，勾股定理，题目综合性强，理清思路，准确作出辅助线是解题的关键．
4．（2025·山西临汾·三模）如图，已知正方形的边长为6，E是正方形的边上的一点，沿将折叠，点A落在点F处，连接，，若，则的长为________．
【答案】4
【分析】本题主要考查了正方形的折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质．延长交于点，连接．设，则．由折叠的性质得，，，可证明，可得，从而得到．再证得，可得，从而得到，进而得到然后在中，由勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：如图，延长交于点，连接．
四边形为正方形，且边长为6，
，．
设，则．
由折叠的性质得，，，
，．
在和中，
，
，
，
．
，
，，
，
，
，
，
在中，，，，
由勾股定理得，
，
解得，
．
故答案为：4．
5．（2025山西吕梁模拟）如图，正方形的边长为5，O是边的中点，点E是正方形内一动点，，将线段绕C点逆时针旋转得，连，线段的最小值为______．
【答案】
【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理得到，从而求得，再根据三角形三边关系即可得到结论．
【详解】解：连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵正方形中，，是边的中点，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴线段的最小值为．
6．（2025·山西大同·三模）如图，在边长为6的正方形中，对角线相交于点O，点E在上，且，点F是边的中点，连接交于点G，则线段的长为________．
【答案】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，过点F作于H，由勾股定理得，解直角三角形得到，证明，得到，则，再证明，，则，证明，得到，则．
【详解】解：如图所示，过点F作于H，
∵四边形是边长为6的正方形，
∴，
∴，
∵F为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
7．（2025·山西·模拟预测）如图，在正方形中，为对角线延长线上一点，连接．
(1)实践操作：利用尺规在线段下方作，射线与的延长线交于点．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)猜想与证明：试猜想线段，的位置关系，并加以证明．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题考查尺规作图作一个角等于已知角，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握尺规作图的方法和题中相关几何性质与判定是解题的关键．
（1）利用尺规作图作一个角等于已知角的方法作图即可；
（2）利用正方形的性质证明，，再证明，得出，得出，即可证明．
【详解】（1）解：如答图所示即为所求．
（2）解：，理由如下：
证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，即，
，
，
．
8．（2025·山西长治·三模）问题背景
如图1，四边形是一个正方形花园，，分别是它的两个门，且，要修建两条路和，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？
问题探究
(1)如图2，在正方形中，若，试证明．
知识迁移
(2)如图3，在矩形中，点，，，分别在线段，，，上，且．若，，求的值．（用含，的代数式表示）
知识运用
(3)如图4，，是两个直角三角形，，，，交于点，经过的中点，交于点，，且，请直接写出的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用正方形的性质证出，再利用全等三角形的性质即可证明；
（2）作于点，作于点，设与交于点，利用矩形的性质得到，再由和得到，推出四边形、都是矩形，则有，，再通过证明得到，代入数据即可求解；
（3）在中利用正切的定义得到，设，通过证明得到，进而求出，再由得到，在中利用正切的定义求出，再利用平行线的性质即可求出的值．
【详解】（1）证明：设与交于点，如图：
正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
．
（2）解：作于点，作于点，设与交于点，如图：
矩形，
，
，，
，
四边形、都是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
的值为．
（3）解：在中，，
，
设，则，
点是的中点，
，
，即，
，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、矩形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、解直角三角形，熟练掌握相关知识点，结合图形找出全等三角形和相似三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理能力，适合有能力解决几何难题的学生．
9．（2025·山西运城·模拟预测）综合与探究
问题情境：数学活动课上，老师提出如下问题：如图，已知正方形，点是边上一点（不与点，重合），连接，过点作交的延长线于点，延长交的延长线于点．试猜想与的数量关系，并说明理由．
独立思考：（1）请解答老师提出的问题．
实践探究：（2）希望小组受此启发，如图，连接，过点作交的延长线于点，请判断与的数量关系，并说明理由．
拓展延伸：（3）点是射线上一点（不与点，重合），连接，过点作交所在直线于点，连接，过点作，交所在直线于点．若，，请直接写出线段的长．
【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）或
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键；
（1）根据四边形是正方形，得出，进而证明，进而证明，即可得证；
（2）过点分别作于点，于点，由（1）可知，，可得，进而证明平分，得出，进而证明是等腰直角三角形，即可求解．
（3）由（2）可得是等腰直角三角形，则，分当在上时，当在的延长线上时，分别求得的长，进而即可求解．
【详解】（1），理由如下，
∵四边形是正方形，
∴
∴
∴
∵交的延长线于点，
∴
∴
∴
在和中，
∴
∴，
（2），理由如下，
如图，过点分别作于点，于点，
，
由（1）可知，，
，
，
，，
平分，
，
，
.
，
，
，
；
（3）如图，当在上时，
由（2）可得是等腰直角三角形，则
∵，
∴，，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
当在的延长线上时，如图，
同理可得，
∵，
∴
∴
∴，即
∴
∴
同理可得是等腰直角三角形，则
∴
∴
综上所述，线段的长为或.
1．（2025·北京·中考真题）如图，在正方形中，点E在边上，，垂足为F．若，，则的面积为_______．
【答案】/0.375
【分析】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，解直角三角形，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．过点F分别作，垂足为M，N，连接，则，先根据平行线间的距离处处相等得出，继而得出，通过解直角三角形得出，即可求解．
【详解】解：过点F分别作，垂足为M，N，连接，则，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵,
∴，
∵，垂足为F，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
2．（2025·四川乐山·中考真题）如图，在中，对角线与相交于点．小乐同学欲添加两个条件使得四边形是正方形，现有三个条件可供选择：①；②；③．则正确的组合是______（只需填一种组合即可）．
【答案】①②或①③（填写一组即可）
【分析】本题考查了正方形，矩形，菱形的判定，熟练掌握正方形，矩形，菱形的判定是解题的关键．
根据正方形，矩形，菱形的判定分析求解即可．
【详解】解：当选择①；②时，
∵四边形是平行四边形，当，
∴四边形是菱形，
∵，
∴，
∴均是等腰直角三角形，
∴，
∴四边形是正方形；
当选择①；③时，
∵四边形是平行四边形，当，
∴四边形是菱形，
∵，
∴四边形是正方形；
当选择②；③，
由于四边形是平行四边形，若或，
均只能得到四边形是矩形，不能证明其为正方形，故不符合题意；
∴选择①②或①③均可以，
故答案为：①②或①③（填写一组即可）．
3．（2025·陕西·中考真题）如图，在正方形中，点，分别在边，上，且．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质，运用全等转化思想．解题关键是利用正方形的边和角的性质证明三角形全等，进而通过线段的和差关系推导结论；易错点是对正方形性质理解不全面，或全等三角形的对应关系判断错误．
先根据正方形性质得出，，结合已知，证明，得到．再由正方形中，通过，推出．
【详解】证明：四边形是正方形，
．
，
，
，
，即．
4．（2025·青海西宁·中考真题）如图，点E是正方形的边的中点，连接，将沿所在直线折叠，点C落在点F处，连接并延长交于点G，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查轴对称的性质，正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键．
（1）由正方形的性质与折叠可得，与都是直角三角形，根据 “”即可证明；
（2）由中点的定义得到，由折叠得到，设，则，，在中，根据勾股定理构造方程，求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形
∴，，
由折叠可得，，
∴，，
∴在和中
∴；
（2）解：∵，点E是的中点，
∴，
由折叠得到，
∵，
∴
设，则，
∵在中，，
∴
解得
∴．
5．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，为正方形的对角线．
(1)尺规作图：作的垂直平分线交于点，在上确定点，使得点到的两边距离相等；（不写作法，保留痕迹）
(2)在（1）的条件下，求的度数．（请直接写出的度数）
【答案】(1)画图见解析
(2)
【分析】本题主要考查了尺规作图及角的计算，角平分线的性质定理，正方形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键.
（1）由题意先作的垂直平分线，再根据点到的两边距离相等可知点在的角平分线上，据此作图即可.
（2）根据正方形的性质和角平分线的定义求得，然后由和，得到，即可求解．
【详解】（1）解：如图，直线，点即为所求.
（2）解：∵四边形是正方形，是对角线，
∴，，
∵平分，
∴，
∵直线，即，
∴，
∴．
6．（2024·内蒙古·中考真题）如图，，平分，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)过点B作于点G，若，请直接写出四边形的形状．
【答案】(1)证明见详解
(2)四边形为正方形
【分析】（1）由角平分线的定义可得出，由平行线的性质可得出，等量代换可得出，利用证明，由全等三角形的性质得出，结合已知条件可得出四边形是平行四边形．
（2）由已知条件可得出，由平行四边形的性质可得出，，根据平行线的性质可得出，，由全等三角形的性质可得出，等量代换可得出， 即可得出四边形为正方形．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
由∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）四边形是正方形．
过点B作于点G，
∴，
∵四边形是平行四边形．
∴，，
∴，，
∴，，
由（1），
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是正方形．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，平行四边形的性质和判定，正方形的判定，以及平行线的性质，掌握全等三角形的判定以及性质，平行四边形的性质和判定，正方形的判定定理是解题的关键．
7．（2025·湖北十堰·中考真题）如图，的对角线交于点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接．
(1)试判断四边形的形状，并说明理由；
(2)请说明当的对角线满足什么条件时，四边形是正方形？
【答案】(1)平行四边形，见解析
(2)且
【分析】（1）根据平行四边形的性质，得到，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定即可．
（2）根据对角线相等、平分且垂直的四边形是正方形判定即可．
【详解】（1）四边形是平行四边形．理由如下：
∵的对角线交于点，
∴，
∵以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，
∴
∴四边形是平行四边形．
（2）∵对角线相等、平分且垂直的四边形是正方形，
∴且时，四边形是正方形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，正方形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．
8．（2025·湖南邵阳·中考真题）如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，在对角线上，且，．
求证：四边形是正方形．
【答案】证明过程见解析
【分析】菱形的两条对角线相互垂直且平分，再根据两条对角线相互垂直平分且相等的四边形是正方形即可证明四边形AECF是正方形．
【详解】证明：∵ 四边形ABCD是菱形
∴ OA=OC，OB=OD且AC⊥BD，
又∵ BE=DF
∴ OB-BE=OD-DF
即OE=OF
∵OE=OA
∴OA=OC=OE=OF且AC=EF
又∵AC⊥EF
∴ 四边形DEBF是正方形．
【点睛】此题考查了菱形的性质和正方形的判定，解题的关键是掌握上述知识．
9．（2025·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，是的角平分线，，，垂足分别是E、F，连接，与相交千点H．
（1）求证：；
（2）满足什么条件时，四边形是正方形？说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）满足∠BAC=90°时，四边形是正方形，理由见解析
【分析】（1）根据角平分线的性质定理证得DE=DF，再根据HL定理证明△AED≌△AFD，则有AE=AF，利用等腰三角形的三线合一性质即可证得结论；
（2）只需证得四边形AEDF是矩形即可，
【详解】解：（1）∵是的角平分线，，，
∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，
又∵AD=AD，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE=AF，又是的角平分线，
∴AD⊥EF；
（2）满足∠BAC=90°时，四边形是正方形，
理由：∵∠AED=∠AFD=90°，∠BAC=90°，
∴四边形AEDF是矩形，
又∵AE=AF，
∴四边形AEDF是正方形．
【点睛】本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的三线合一性质、矩形的判定、正方形的判定，熟练掌握相关知识间的联系和运用是解答的关键．
10．（2025·广西玉林·中考真题）如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）若H是AB上的一点（H与A，B不重合），连接DH，将线段DH绕点H顺时针旋转90度，得到线段HE，过点E分别作BC及AB的延长线的垂线，垂足分别是F，G，设四边形BGEF的面积为，以HB，BC为邻边的矩形面积为，且，当时，求AH的长；
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）由题根据可得对角线相等且互相平分，可得四边形ABCD是矩形，又因为在中，利用勾股定理逆定理可得出为等腰直角三角形，可得，所以也是等腰直角三角形，可得，所以得出四边形ABCD是正方形；
（2）根据题意，易证得，可得，设，则，，可得，则，令，即：，解方程即可得出的长.
【详解】解：（1）依题意可得：
，
四边形为平行四边形；
又，
四边形为矩形；
又在中，，且三边满足
为等腰直角三角形；
,
,
,
,
四边形为正方形；
即：四边形为正方形.
（2）由题可得：,
，
又
，
在与中
设，则，
可得：，，
令，可得，
解得：，（舍去）.
即.
【点睛】本题考查正方形的判定以及与正方形相关的几何证明.在证明正方形的时候必须先证明四边形是矩形或者菱形，然后得出正方形；如果题中涉及到边之间的关系是或倍的关系，则利用勾股定理逆定理验证是否是等腰直角三角形；如果遇到直角比较多的地方，注意观察题中是否有一线三垂直，要积累和熟练应用这个全等模型.
1．（2025·河南·中考真题）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
(1)操作判断
操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．
根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：______．
(2)迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．
①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；
②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．
(3)拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长．
【答案】(1)或或或
(2)①15，15；②，理由见解析
(3)cm或
【分析】（1）根据折叠的性质，得，结合矩形的性质得，进而可得；
（2）根据折叠的性质，可证，即可求解；
（3）由（2）可得，分两种情况：当点Q在点F的下方时，当点Q在点F的上方时，设分别表示出PD，DQ，PQ，由勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：
，sin∠BME=
（2）∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC，∠A=∠ABC=∠C=90°
由折叠性质得：AB=BM，∠PMB=∠BMQ=∠A=90°
∴BM=BC
①
∴
②
（3）当点Q在点F的下方时，如图，
，DQ=DF+FQ=4+1=5(cm)
由（2）可知，
设
，
即
解得：
∴；
当点Q在点F的上方时，如图，
cm，DQ =3cm，
由（2）可知，
设
，
即
解得：
∴．
【点睛】本题主要考查矩形与折叠，正方形的性质、勾股定理、三角形的全等，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
2．（2025·甘肃兰州·中考真题）【提出问题】数学讨论课上，小明绘制图1所示的图形，正方形与正方形（），点E，G分别在上，根据图形提出问题：如图2，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，探究线段，，之间的数量关系．
【解决问题】（1）小明将上述问题特殊化，如图3，当点G，H重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由；
（2）小明借鉴（1）中特殊化的解题策略后，再解决图2所示的一般化问题，当点G，H不重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由；
【拓展问题】（3）小明将图2所示问题中的旋转角的范围再扩大，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，请直接写出，，之间的数量关系．
【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析
【分析】（1）利用正方形的性质求得，证明，推出，根据即可求解；
（2）在上截取，证明，推出，，证明是等腰直角三角形，求得，根据，即可求得；
（3）在上截取，证明，得到，，同理，得到是等腰直角三角形，求得，根据，即可求得．
【详解】解：（1），理由如下，
如图，当点G，H重合时，
∵正方形与正方形，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2），理由如下，
由（1）得，
∴，
在上截取，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴；
（3），理由如下，
由（1）得，
∴，，
在上截取，
∵，，
∴，
∴，，
同理，是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识点，作出辅助线，证明三角形全等是解本题的关键．
3．（2024山西·中考真题）综合与实践
问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1，在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AB延长线上一点，且BE=AB，连接DE，交BC于点M，以DE为一边在DE的左下方作正方形DEFG，连接AM．试判断线段AM与DE的位置关系．
探究展示：勤奋小组发现，AM垂直平分DE，并展示了如下的证明方法：
证明：∵BE=AB，∴AE=2AB．
∵AD=2AB，∴AD=AE．
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC．
∴．（依据1）
∵BE=AB，∴．∴EM=DM．
即AM是△ADE的DE边上的中线，
又∵AD=AE，∴AM⊥DE．（依据2）
∴AM垂直平分DE．
反思交流：
（1）①上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？
②试判断图1中的点A是否在线段GF的垂直平分线上，请直接回答，不必证明；
（2）创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2，连接CE，以CE为一边在CE的左下方作正方形CEFG，发现点G在线段BC的垂直平分线上，请你给出证明；
探索发现：
（3）如图3，连接CE，以CE为一边在CE的右上方作正方形CEFG，可以发现点C，点B都在线段AE的垂直平分线上，除此之外，请观察矩形ABCD和正方形CEFG的顶点与边，你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上，请写出一个你发现的结论，并加以证明．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.
【分析】（1）①直接得出结论；
②借助问题情景即可得出结论；
（2）先判断出∠BCE+∠BEC=90°，进而判断出∠BEC=∠BCG，得出△GHC≌△CBE，判断出AD=BC，进而判断出HC=BH，即可得出结论；
（3）先判断出四边形BENM为矩形，进而得出∠1+∠2=90°，再判断出∠1=∠3，得出△ENF≌△EBC，即可得出结论．
【详解】（1）①依据1：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（或平行线分线段成比例）．
依据2：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高互相重合（或等腰三角形的“三线合一”）．
②答：点A在线段GF的垂直平分线上．
理由：由问题情景知，AM⊥DE，
∵四边形DEFG是正方形，
∴DE∥FG，
∴点A在线段GF的垂直平分线上．
（2）证明：过点G作GH⊥BC于点H，
∵四边形ABCD是矩形，点E在AB的延长线上，
∴∠CBE=∠ABC=∠GHC=90°，
∴∠BCE+∠BEC=90°．
∵四边形CEFG为正方形，
∴CG=CE，∠GCE=90°，
∴∠BCE+∠BCG=90°．
∴∠2BEC=∠BCG．
∴△GHC≌△CBE．
∴HC=BE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC．
∵AD=2AB，BE=AB，
∴BC=2BE=2HC，
∴HC=BH．
∴GH垂直平分BC．
∴点G在BC的垂直平分线上．
（3）答：点F在BC边的垂直平分线上（或点F在AD边的垂直平分线上）．
过点F作FM⊥BC于点M，过点E作EN⊥FM于点N．
∴∠BMN=∠ENM=∠ENF=90°．
∵四边形ABCD是矩形，点E在AB的延长线上，
∴∠CBE=∠ABC=90°，
∴四边形BENM为矩形．
∴BM=EN，∠BEN=90°．
∴∠1+∠2=90°．
∵四边形CEFG为正方形，
∴EF=EC，∠CEF=90°．
∴∠2+∠3=90°．
∴∠1=∠3．
∵∠CBE=∠ENF=90°，
∴△ENF≌△EBC．
∴NE=BE．∴BM=BE．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC．
∵AD=2AB，AB=BE．
∴BC=2BM．
∴BM=MC．
∴FM垂直平分BC．
∴点F在BC边的垂直平分线上．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，构造全等三角形是解本题的关键．
1．如图，四边形是正方形，E为上一点，将绕点A顺时针旋转至，连接，于点H，交于点G．若，，则的长为________．
【答案】
【分析】连接，根据旋转知，则和，可知垂直平分，有，设，则和，利用勾股定理列出代入求解即可．
【详解】解：如图所示，连接，
由旋转可知，
∴，，，
∴点F、B、C三点共线，
∵ ，
∴ H为的中点，
∴垂直平分，
∴，
设，
∵，，
∴正方形的边长为3，
∴，，
∵，
∴，
即，
解得，
∴的长为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、旋转的性质、中垂线的判定和性质以及勾股定理的应用，解题的关键是熟悉旋转的性质和利用勾股定理列方程．
2．如图．在边长为6的正方形中，点，分别在，上，且，，垂足为，是对角线的中点，连接、则的长为________．
【答案】
【分析】以B为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，根据已知求出A、E、F、D、O的坐标，从而得AE、BF解析式，可求G坐标，即可得到OG的长度．．
【详解】解：以B为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图：
∵四边形ABCD是正方形，边长为6，
∴AB=BC=6，∠ABE=∠BCF=90°，
∵BC=3BE，BE=CF，
∴BE=CF=2，
∴E（2，0），F（6，2），A（0，6），D（6，6），
设直线AE解析式为y=ax+b，则，
解得，
∴直线AE解析式为y=-3x+6，
设直线BF解析式为y=cx，则2=6c，
解得c=，
∴直线BF解析式为y=x，
由得
∴，
∵O为BD中点，
∴O（3，3），
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质及应用，解题的关键是以B为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，求出O和G的坐标．
3．如图1，正方形的边长为2．E、F分别为边、上的动点，的周长为4，是延长线上的一点，且．
(1)求证：；
(2)试问的大小是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由；
(3)如图2，若为边的中点，过点作，垂足为．求的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)的大小是定值，定值为
(3)
【分析】（1）利用正方形的性质证明，得到，再利用角的和差得到，即可证明；
（2）由的周长为4，得到，由正方形的边长为2得到，得到，进而利用线段的和差推出，通过证明得到，结合即可得出结论；
（3）连接，利用全等三角形的性质得到，利用三角形的面积公式得到，利用勾股定理求出的长，再根据即可求出的最小值．
【详解】（1）证明：∵正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵的周长为4，
∴，
∵正方形的边长为2，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）得，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴的大小是定值，定值为；
（3）解：连接，
∵正方形的边长为2，
∴，，
∴是的高，
∵，
∴是的高，
由（2）得，，
∴，
∴，
由（2）得，，
∴，
∵为边的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理、三角形的面积公式、线段最值问题，正确找出全等三角形并证明是解题的关键．
4．如图，点E是正方形的边的中点，连接，将沿所在直线折叠，点C落在点F处，连接并延长交于点G，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查轴对称的性质，正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键．
（1）由正方形的性质与折叠可得，与都是直角三角形，根据 “”即可证明；
（2）由中点的定义得到，由折叠得到，设，则，，在中，根据勾股定理构造方程，求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形
∴，，
由折叠可得，，
∴，，
∴在和中
∴；
（2）解：∵，点E是的中点，
∴，
由折叠得到，
∵，
∴
设，则，
∵在中，，
∴
解得
∴．
5．图形的平移、旋转和对称是我们从图形变换的视角研究图形的重要方法．为了深入理解旋转的本质，王老师和同学们在数学实践课上以正方形为背景进行如下探究．
【知识技能】
（1）如图1，在正方形中，、分别是边、上的点，连接、、、且．将绕点按逆时针方向旋转至，则点在的延长线上．
①证明，并判断是否成立；
②若，，请计算正方形的周长．
【教学理解】
（2）如图2，在正方形中，、分别是边、上的点，．连接、，、分别是线段、上的点，连接、、，且（点、、、均不与端点重合）．请猜想线段、、的数量关系，并说明理由．
【拓展研究】
（3）如图3，是正方形的对角线，、分别为线段、上的点，且．将绕点按顺时针方向旋转（旋转角小于）至．连接，取线段的中点，连接、，求的值．
【答案】（1）①见解析；②；（2）；（3）
【分析】（1）①先根据正方形的性质得出，再根据旋转的性质得出，，，，然后证明，根据全等三角形性质与线段的和差得到结论成立；②先根据勾股定理求得，再求得，从而可求得，再求出正方形的边长，从而可求得正方形的周长；
（2）将绕点B逆时针旋转得，连接，先由旋转性质可得：，根据全等三角形的性质可得，，，，再证明，根据全等三角形的性质得出，再证明四边形是平行四边形，从而可得，再根据平行线的性质可得，进而可证明，再利用勾股定理可求解；
（3）先利用正方形的性质，结合，可得同H为中点，是等腰直角三角形，从而可得，再根据中位线定理可得，，从而可说明是等腰直角三角形，再根据旋转的性质可得是等腰直角三角形，于是就有，进而求得，再证明，列出比例式，求得的值．
【详解】（1）解：①证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵将绕点B按逆时针方向旋转90°至，
∴，，，，
∴，，
∴点M在的延长线上，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴成立；
②∵，，，
，
∴，
∴，
∴正方形的边长为，
∴正方形的周长为；
（2），理由如下：
将绕点B逆时针旋转得，连接，如图：
由旋转性质可得：，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴；
（3）过C作于H，连接，设交于K，如图：
∵四边形是正方形，，
∴H为中点，是等腰直角三角形，
，
∵E为的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∵将绕点B按顺时针方向旋转（旋转角小于）至，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
即的值为．
【点睛】本题考查了相似三角形综合应用，全等三角形判定与性质，等腰直角三角形三边的关系，勾股定理及应用等知识，解题关键是掌握全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质．
6．宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．现有一张黄金矩形纸片，长．如图1，折叠纸片，点B落在上的点E处，折痕为，连接，然后将纸片展开．
(1)求的长；
(2)求证：四边形是黄金矩形；
(3)如图2，点G为的中点，连接，折叠纸片，点B落在上的点H处，折痕为，过点P作于点Q．四边形是否为黄金矩形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由．
【答案】(1)2
(2)证明见解析
(3)四边形是黄金矩形．证明见解析
【分析】（1）根据黄金矩形的定义可得：，再进一步求解即可；
（2）先证明四边形是正方形；可得，，证明四边形是矩形，从而可得答案；
（3）先证四边形是矩形，然后求解，由对折可得：，设，则，由面积可得：，可得：，再进一步可得结论．
【详解】（1）解：∵，矩形是黄金矩形，
∴，
∴；
（2）证明：∵折叠黄金矩形纸片，点B落在上的点E处，
∴，，
又∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形；
∴，
由（1）可知，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴四边形是黄金矩形．
（3）解：四边形是黄金矩形，证明如下：
∵，四边形是正方形，
∴，
∴四边形是矩形；
由（2）可知，，
∵为的中点，
∴，
∴，
如图，连接，由对折可得：，，，
设，则，
∵
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴四边形是黄金矩形．
【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，理解黄金矩形的定义是关键．
7．如图，矩形中，．
(1)求作正方形，使得点E，G分别落在边上，点F，H落在上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)若，求（1）中所作的正方形的边长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）作的中垂线交于点，交于点，以为直径画圆，交于点，即可得到正方形；
（2）勾股定理求出的长，进而求出的长，证明，求出的长，再根据正方形的性质，结合勾股定理求出的长即可．
【详解】（1）解：如图，四边形就是所求作的正方形．
由作图可知，，，
∵矩形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
由作图可知，，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形；
（2）由（1）知：，，
四边形是矩形，
，
在中，，
，
．
，
．
又，
，
，即，
．
在中，，
，
∴正方形EFGH的边长为．
【点睛】本题考查尺规作图、矩形的性质、线段垂直平分线的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，考查推理能力、运算能力、几何直观与空间观念，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
8．如图1，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，∠C=90°，M，N分别是边AC，BC上的点，以CM，CN为邻边作矩形PMCN，交AB于E，F．设CM=a，CN=b，若ab=8．
(1)判断由线段AE，EF，BF组成的三角形的形状，并说明理由；
(2)①当a=b时，求∠ECF的度数；
②当a≠b时，①中的结论是否成立？并说明理由．
【答案】(1)直角三角形，理由见解析
(2)①45°；②成立，理由见解析
【分析】（1）分别表示出AE，BF及EF，计算出AE2+BF2及EF2，从而得出结论；
（2）①连接PC，可推出PC⊥AB，可推出AE=PE=PF=BF，从而得出ME=EG=GF=NF，进而得出CE平分∠PCF，CF平分∠BCP，从而得出结果；
②将△BCF逆时针旋转90°至△ACD，连接DE，可推出DE=EF，进而推出△DCF≌△FCE，进一步得出结果．
【详解】（1）解：线段AE，EF，BF组成的是直角三角形，理由如下：
∵AM=AC-CM=4-a，BN=4-b，
∴AE=AM=(4 a)，BE=(4 b)，
∴AE2+BF2=2（4-a）2+2（4-b）2=2（a2+b2-8a-8b+32），
AC=4，
∴EF=AB-AE-BF=[4-（4-a）-（4-b）]，
∵ab=8，
EF2=2（a+b-4）2=2（a2+b2-8a-8b+16+2ab）=2（a2+b2-8a-8b+32），
∴AE2+BF2=EF2，
∴线段AE，EF，BF组成的是直角三角形；
（2）解：①如图1，
连接PC交EF于G，
∵a=b，
∴ME=AM=BN=NF，
∵四边形CNPM是矩形，
∴矩形CNPM是正方形，
∴PC平分∠ACB，
∴CG⊥AB，
∴∠PEG=90°，
∵CM=CN=PM=PN，
∴PE=PF，
∵△AEM，△BNF，△PEF是等腰直角三角形，
EF2=AE2+BF2，EF2=PE2+PF2，
∴PE=AE=PF=BF，
∴ME=EG=FG=FN，
∴∠MCE=∠GCE，∠NCF=∠GCF，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECG+∠FCG=∠ACB=45°；
②如图2，
仍然成立，理由如下：
将△BCF逆时针旋转90°至△ACD，连接DE，
∴∠DAC=∠B=45°，AD=BF，
∴∠DAE=∠DAC+∠CAB=90°，
∴DE2=AD2+AE2=BF2+AE2，
∵EF2=BF2+AE2，
∴DE=EF，
∵CD=CF，CE=CE，
∴△DCF≌△FCE（SSS），
∴∠ECF=∠DCF=∠DCF=×90°=45°．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质，正方形判定和性质，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
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